UNIDAD 2: TAREA 2 – SEÑALES SEÑALES EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
PRESENTADO POR: JUAN FERNANDO CASTRILLON CÓD.: 71293505 LEONARDOQUINTERO CÓD.: JULIÁN ANDRÉS TORO CÓD.: 14801079 ALEXIS PEDROZA COD: 67032716 JAIME ANDRES PEREA COD.: 1113667509 CURSO 203042_34
TUTOR: FREDDY VALDERRAMA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A D ISTANCIA “UNAD”
SEÑALES Y SISTEMAS ABRIL – 2019. 2019.
INTRODUCCION
Cuando se estudian y aplican de señales en los diferentes campos del saber del hombre se requiere la posibilidad de combinar o realizar cambios a dichas señales dependiendo de la necesidad particular de cada aplicación que se esté desarrollando, gracias a la convolución es posible analizar y predecir el resultado de un sistema completo donde se cuenta con una señal de entrada, una señal de respuesta respuesta a un impulso y una señal de salida.
Con la misma premisa anterior, es necesario estudiar señales desde el punto de vista de la frecuencia, dominio de frecuencia, perspectiva un poco diferente a lo que se ha estudiado en cursos anteriores donde el análisis se desarrolla desde el dominio del tiempo, las series de Fourier permiten p ermiten matemáticamente realizar esta conversión de dominio de manera tal que es posible realizar análisis y tratamiento a las señales desde el dominio de frecuencia.
Objetivos •
Comprender el concepto de convolución entre señales, de igual manera la técnica para determinarla analíticamente.
•
Determinar mediante el método de tabulación o lápiz y papel la respuesta de un sistema, apropiándose del procedimiento para aprenderlo.
•
Estudiar y entender las series de Fourier a través de los conceptos y demostraciones matemáticas de la manera como se llevan a cabo.
ACTIVIDADES A DESARROLLAR Aporte por: Juan Fernando Castrillón Paso 1: Definición de conceptos a- Explique qué es convolución continua y discreta. De cuatro ejemplos de usos en la ingeniería. En el dominio del tiempo la convolución puede considerarse como un método para encontrar la respuesta de estado cero de sistemas relajados lineales e invariantes en el tiempo (LTI) considera que la información del sistema se conoce en términos de su respuesta al impulso. Se asume que el sistema es descrito por medio de su respuesta al impulso, la convolución es una operación integral que puede ser evaluada analítica, grafica o numéricamente. El resultado depende de la naturaleza de las señales que están siendo convulsionadas. Ejemplos: - Señales de audio en equipos electrónicos - Señales electrónicas en todo tipo de dispositivos.
b- ¿Qué es estabilidad y causalidad de sistemas LTI? La estabilidad BIBI (entrada acotada, salida acotada) de sistema LTI descritos por ecuaciones de diferencias requiere que cada raíz de la ecuación característica tenga una magnitud menor a la unidad. También decimos que la respuesta al impulso sea absolutamente sumable, si esto se cumple podemos afirmar que el sistema es un sistema estable. La casualidad de un sistema discreto en tiempo implica a un sistema no anticipado con una respuesta al impulso.
c- Explique que es correlación y de un (1) ejemplo de uso y/o aplicación en la ingeniería. La correlación es una operación similar a la convulsión, esta implica desplazar una función más allá de otra para encontrar el área bajo el producto restante, sin embargo, a diferencia de la convulsión no se efectúa ninguna reflexión. Para dos funciones diferentes la correlación se conoce como correlación cruzada.
d- Explique qué es auto correlación y de un (1) ejemplo de uso y/o aplicación en la ingeniería. La autocorrelación es la correlación de dos funciones idénticas, esto puede presentarse en cualquier orden y refleja una operación conmutativa, la autocorrelación puede verse como una medida de similitud o coherencia entre una función y su versión de desplazamiento.
e- ¿Cuál es la diferencia de correlación continua y correlación discreta? La correlación continua se encarga de asemejar un producto resultado de un desplazamiento de una función sobre otra una relación es lineal cuando el cambio en una variable se asocia en un cambio proporcional en otra variable y la correlación discreta se encarga de encontrar la similitud entre señales o valores semejantes por emparejamiento. emparejamiento.
f- ¿Qué son las series de Fourier? Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continúa por partes, esta constituye una herramienta de la matemática básica empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simple. Las 3 formas de una serie de Fourier son forma trigonométrica, forma polar y forma exponencial.
Las áreas de aplicación incluyen análisis de vibratorio, acústico, óptico procesamiento de imágenes y comprensión de datos, ecuaciones de calor y de ondas, además circuitos eléctricos.
g- ¿Qué es la transformada Continua de Fourier? De dos (2) ejemplos de uso y/o aplicación en la ingeniería. La transformada Continua de Fourier puede considerarse como una extensión de la serie de Fourier aplicada a señales no periódicas, esta sirve para unificar las representaciones de señales periódicas y sus contrapartes no periódicas. Se dice que la función original esta en el dominio del tiempo y la transformada la pasa al dominio de la frecuencia. Las aplicaciones son muy numerosas por ejemplo algunos circuitos eléctricos, comprensión de audio sabemos que una señal de audio como una canción es una función temporal y en la telefonía móvil, el sonido de la voz se codifica. La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha).
EJERCICIO: 1.1.
Ejercicio 1- Convolución continua (analítica): usando como guía el
ejemplo 6.2 de la página 134 del libro guía Ambardar y teniendo en cuenta las propiedades de dicha operación determine la convolución entre
ℎ
descritas a continuación: Ítem grupal
y
− ℎ − − ℎ4 − 4 4− 4− ℎ − 4 −−4
donde,
=
convolución analítica
ℎ −. ℎ Remplazando − ∗ −+4 4 − Organizando − ∗ −+ ∗ ∗ 4 4 − Hallamos los límites:
4 0 0 0 4 4 , donde
− 4 − ∗ −+
− 4−+ −−+ Distribuyendo
− − −+ 4 −−+
Propiedad de las exponenciales exponenciales
Entonces
Dando
integrando
evaluando
Simplificando
Desarrollando
− − − 4 −− − − − − 4 − − − − − 4 1 − 4 ∗ 4 | 0 4 −| 0 4 − − 4 ∗ 4 4 − ∗4 − − 4 ∗ 4 14 − ∗4
− − 4 ∗ 4 14 − ∗4
− − − 4 4 4 4 −4− − − − −4− − − −4− − 3− − ℎ
Ejercicio 2 – Convolución Convolución discreta (tabular y gráfica): Usando
2.2
como guía el ejemplo 7.3 de la página 173 del libro Ambardar, determine la respuesta de un filtro FIR (
), ), a la entrada
.
Posteriormente Posteriormente verifique su respuesta diseñando un script con el método gráfico de convolución, en Matlab u Octave y anexe el resultado junto con el script (práctica):
[1,,2̌̌,,,4] ℎ [ 2.5,,0.5] ̌ ,4,5,4] [1, 4 , 2 ℎ 2. 2.5,5,0.5 21313 4 : 16318 números a trabajar
n =
-2
-1
0
1
2
3
x[n]
-1
4
2
4
5
4
=
h[n]
2,5
5
0,5
-2,5
10
5
10
12,5
10
-5
20
10
20
25
-0,5
2
1
2
2,5
2
24,5
22
33,5
37
22,5
2
=
-2,5
5
h[n] = [−2.5,5,24.5, 22,33.5,37,22.5,2]
̂
%% Grafica x[n] Juan Fernando Castrillón Xn= [-1, 4, 2, 4, 5, 4]; n= [-2, -1, 0, 1, 2, 3]; Subplot (3, 1, 1)
20
stem(n,Xn,'m' stem(n,Xn,'m')) grid title ('Señal ('Señal discreta X[n] - Juan Fernando Castrillón') Castrillón' ) xlabel ('n' ('n')) ylabel ('Amplitud' ('Amplitud')) xlim([-3,4]) %% Grafica h[n] name Hn=[0, 2.5, 5, 0.5, 0, 0]; subplot(3,1,2) stem(n,Hn,'r' stem(n,Hn, 'r')) grid title ('Señal ('Señal discreta h[n]- Juan Fernando Castrillón') Castrillón') xlabel ('n' ('n')) ylabel ('Amplitud' ('Amplitud')) xlim([-3,4]) %% convolución discreta x[n]*h[n] - Juan Fernando Castrillón ConDis=conv(Xn,Hn); ncon=(-4:1:6); subplot(3,1,3) stem(ncon,ConDis,'b' stem(ncon,ConDis,'b')) grid title ('convolución ('convolución discreta x[n]*h[n] - Juan Fernando Castrillón') Castrillón' ) xlabel ('n' ('n')) ylabel ('Amplitud' ('Amplitud')) xlim([-4,5])
2.4. Ejercicio 4 – Transformada Transformada de Fourier : Usando como guía los ejemplos 9.5 de las páginas 259 del libro Ambardar y las tablas 9.1 y 9.2 , determine la transformada de Fourier de las señales
y
, usando pares de
transformadas y propiedades reconocibles. Posteriormente verifique su respuesta diseñando un script con la combinación lineal de señales usadas para obtener x(t) y y(t), en Matlab u Octave y anexe el resultado junto con el script (práctica):
X(t) 1 +5
+10
t
-1
La Señal
5 5 10 1 1 − 1 − 1 −
La transformada de Fourier es
Queda
1 2 2 1 − 1 − − − 1 2
En términos de Laplace
clear all clc syms t rect_1=-heaviside(t)+heaviside(t-5); rect_2=heaviside(t-5)-heaviside(t-10); rect_3=rect_1+rect_2; fplot(rect_1,'m' fplot(rect_1,'m',,'linewidth' 'linewidth',2) ,2) hold on fplot(rect_2,'y' fplot(rect_2,'y',,'linewidth' 'linewidth',2) ,2) hold on fplot(rect_3,'r' fplot(rect_3,'r',,'linewidth' 'linewidth',1) ,1) grid on title('señal title('señal x(t) - Juan Fernando Castrillón ') ') xlabel ('Tiempo' ('Tiempo')) ylabel ('Amplitud' ('Amplitud')) xlim ([-1 11]); TL=laplace(rect_3)
Transformada de Fourier : Usando como guía los ejemplos 9.5 2.4. Ejercicio 4 – Transformada de las páginas 259 del libro Ambardar y las tablas 9.1 y 9.2 , determine la transformada de Fourier de las señales
y
, usando pares de
transformadas y propiedades reconocibles. Posteriormente verifique su respuesta diseñando un script con la combinación lineal de señales usadas para obtener x(t) y y(t), en Matlab u Octave y anexe el resultado junto con el script (práctica): a. Ítem grupal
y(t)
1
0
La Señal
+8
t
sin216 ∗ 8 4 La transformada de Fourier
clc
1 1 2∗ 16 2 ∗ 16∗ 8 ∗ −
clear all % señal senoidal syms t sen=sin(2*t*pi/16); fplot(sen,'c' fplot(sen,'c',,'linewidth' 'linewidth',1) ,1) grid on hold on %señal escalones %señal rect (t) rect=rectangularPulse((1/8)*(t-4)); fplot(rect,'r' fplot(rect,'r',,'linewidth' 'linewidth',1) ,1) hold on y=rect.*sen; %señal solicitada fplot(y,'b' fplot(y,'b',,'linewidth' 'linewidth',3) ,3) hold on title('señal title('señal x(t) - Juan Fernando Castrillón ') ') xlabel ('Tiempo' ('Tiempo')) ylabel ('Amplitud' ('Amplitud')) xlim ([-1 9]);
TL=laplace(y) pretty(TL)
APORTE POR: LEONARDOQUINTERO 1. Definición de los conceptos. 1.1 Explique qué es convolución continua y discreta. De cuatro (4) ejemplos de usos y/o aplicaciones en la ingeniería.
Convolución continua: La Convolución continua nos ayuda a determinar el efecto que tiene el sistema en la señal de entrada. A partir de la descomposición descomposición infinita de impulsos de la señal. Está dada d ada por:
Sus propiedades son: •
Elemento neutro.
•
Conmutativa.
•
Asociativa.
•
Distributiva. Ejemplo:
Imagen
tomada
de
https://cnx.org/contents/Qji8B https://cnx.org/contents/
[email protected]:Z361zPMM@4/Co
[email protected]:Z361zPMM@4/Convoluci%C3%B3nnvoluci%C3%B3nde-Tiempo-Continuo Reflejada y Desplazada Ahora tomemos una de las funciones y los reflejos a través del eje de la y. Después de que
podamos desplazar la función, así como el origen,
el punto de la l a función que originalmente estaba en el origen, está marcada
como el punto τ. Este paso se muestra en la siguiente figura, h( t - τ). Sin
embargo, esta función no se refleja, no importa qué función se ha reflejado y desplazado, sin embargo, se ha confirmado que las funciones son más complicadas.
Imagen
tomada
de
https://cnx.org/contents/Qji8B https://cnx.org/contents/
[email protected]:Z361zPMM@4/Co
[email protected]:Z361zPMM@4/Convoluci%C3%B3nnvoluci%C3%B3nde-Tiempo-Continuo Resultados de la convolución:
Imagen
tomada
de
https://cnx.org/contents/Qji8B https://cnx.org/contents/
[email protected]:Z361zPMM@4/Co
[email protected]:Z361zPMM@4/Convoluci%C3%B3nnvoluci%C3%B3nde-Tiempo-Continuo
Convolución discreta:
Su finalidad es igual a la Convolución continua, el movimiento a través de d e la señal es una manera común de presentar la convolución, ya que se demuestra como la convolución construye el resultado a través del eje del tiempo. Se define como:
Ejemplo
Convolución a través del eje del tiempo: tiempo:
Imagen
tomada
de
https://cnx.org/contents/Qji8B https://cnx.org/contents/
[email protected]:mpDxJkZ
[email protected]:mpDxJkZ7@4/Convoluci%C3%B3n7@4/Convoluci%C3%B3nDiscreta
Imagen
tomada
de
https://cnx.org/contents/Qji8B https://cnx.org/contents/
[email protected]:mpDxJkZ
[email protected]:mpDxJkZ7@4/Convoluci%C3%B3n7@4/Convoluci%C3%B3nDiscreta
Imagen
tomada
de
https://cnx.org/contents/Qji8B https://cnx.org/contents/
[email protected]:mpDxJkZ
[email protected]:mpDxJkZ7@4/Convoluci%C3%B3n7@4/Convoluci%C3%B3nDiscreta
Imagen
tomada
de
https://cnx.org/contents/Qji8B https://cnx.org/contents/
[email protected]:mpDxJkZ
[email protected]:mpDxJkZ7@4/Convoluci%C3%B3n7@4/Convoluci%C3%B3nDiscreta Lo que estamos haciendo en la demostración de arriba es reflejar la respuesta del impulso en el tiempo y "hacerlo caminar a través" de la entrada en la señal.
1.2 ¿Qué es estabilidad estabilidad y causalidad causalidad de sistemas LTI? Causalidad: El sistema es causal si la salida depende sólo de valores valore s pasados y presentes de la entrada y anticausal si la salida depende sólo de valores futuros de la entrada. Para sistemas causales causales la suma e integral de la Convolución quedan:
Estabilidad: Un sistema es estable si entradas acotadas producen salidas acotadas.
1.3 Explique que es correlación y de un (1) ejemplo de uso y/o aplicación en la ingeniería. Correlación: Es una operación similar a la convolución, con la diferencia de que en la correlación no hay que “reflejar” una de las señales:
La correlación nos da una medida de la similitud entre dos señales. No existe la propiedad conmutativa. Ejemplo: La correlación es una operación básica del procesamiento de imágenes digitales. La correlación es la operación básica en los procesos de búsqueda de patrones por emparejamiento. emparejamiento. Resultado de correlacionar dos funciones:
Imagen tomada de http://www6.uniovi.es/vision/intro http://www6.uni ovi.es/vision/intro/node31.html#SECTION0035100 /node31.html#SECTION0035100000000000 000000000 0000
1.4Explique 1.4 Explique qué es auto correlación y de un (1) ejemplo de uso y/o aplicación en la ingeniería.
Autocorrelación: Es la correlación de una señal consigo misma. Ejemplo: En el procesado de señal, la autocorrelación proporciona información sobre las periodicidades de la señal y sus frecuencias características como los armónicos de una nota musical producida por un instrumento determinado (tono y timbre).
1.5¿Cuál 1.5 ¿Cuál es la diferencia de correlación continua y correlación discreta? La correlación continua es una operación que aplica para dos señales idénticas en cambio la correlación discreta es una medida de similitud entre dos señales.
1.6¿Qué 1.6 ¿Qué son las series de Fourier? Las series de Fourier son series de términos coseno y seno mucho más simples que surgen en la tarea práctica de representar funciones periódicas generales. Fourier demostró que una señal de este tipo es equivalente a una colección de funciones senos y cosenos cuyos frecuencias son múltiplos del recíproco del periodo de la señal de tiempo.
1.7¿Qué 1.7 ¿Qué es la transformada Continua de Fourier? De dos (2) ejemplos de uso y/o aplicación en la ingeniería. Es una transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Aplicaciones: La transformada de Fourier se utiliza en el ámbito del tratamiento digital de imágenes, como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas zonas de una imagen fotográfica o tomada con una computadora, Para el diseño de filtros de radiotransistores.
1)
ℎ− − −) ( ) ℎ −− − ∗ ℎ ( −) ⋅ −− ≤ >0
Re expresamos las ecuaciones como:
Hacemos la convolución,
Las condiciones de los escalones unitarios serán
Reescribimos la integral como,
2)
− ( −)−−−− − (− −) −− ==−=− −|==−= 1 Para a=4 tenemos que, − − 3
[1,4,^2,4,2,4]
ℎ [2.5,2^,0.5]
Realizamos la convolución con ayuda de la siguiente tabla
Finalmente simulamos a través
e MATLAB, primero se muestra la gráfica y posteriormente el script para generarla
3) a)
3∗ 3∗ 4
Primero hallamos el valor de
1 ⟨⟩ 34 |=.=−. =−.++ 34
2 2 1 ∴ 14 . + 3 2 −.+ 0.5
Ahora hallamos el valor de
En nuestro caso b=2
3 0.5||=.=−. =−.++
3 [(0.50. 522)(0.50.522)] 3 54 34 2 2 . + 3 2 −.+ 0.5 3 0.5||=.=−. =−.++
Finalmente hallamos el valor de
En nuestro caso b=2
3 [(0.50. 52)(0.50.52)] 3 54 34 4) a)
Esta señal se puede construir a partir de una señal triangular invertida, esta señal además se le hace un desplazamiento, una contracción y una amplificación. amplificación. Posteriormente se deriva
∗ La señal inicial es,
∗ Aplicando las tablas de propiedades, propiedades, vemos que la transformada de Fourier es,
⋅( −) La señal triangular se debe derivar para obtener la señal original, por ende,
2 − 822−
En nuestro caso b=2, por ende,
b)
Esta señal es la l a multiplicación de dos señales.
2⋅ 2 La primera señal es una senoidal a la que se le aplica una contracción, contracción,
2
Aplicando las tablas de propiedades, propiedades, vemos que la transformada de Fourier es,
0.5 4 4 La segunda señal es una señal rectangular con una contracción y un desplazamiento,
2
Aplicando las tablas de propiedades, propiedades, vemos que la transformada de Fourier es,
2 22 2− Por ende, la transformada de Fourier de la señal original será
⋅ 2− 4 4 48− 16 16
En nuestro caso a=4, por ende,
Código y gráficas
b)
Aporte por: Julián Andrés Toro
Señales y sistemas continuos y discretos 1.Definición de conceptos: estudiando el libro de (Ambardar), El estudiante investiga de manera individual y da respuesta a las siguientes preguntas teóricas:
A. Explique qué es convolución continua y discreta. De cuatro (4) ejemplos de usos y/o aplicaciones en la ingeniería. La convolución puede considerarse como un método para encontrar la respuesta de estado cero de un sistema LTI relajado, El método de convolución para encontrar la respuesta de estado cero y(t) se aplica a sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI). Se asume que el sistema es descrito por medio de su respuesta al impulso h(t). La convolución es una herramienta muy importante que es representada por el símbolo *, y puede ser escrita como y(t)=x(t)*h(t) La integral de convolución nos da una manera matemática matemática fácil de expresar la salida de un sistema LTI basado en una señal arbitraria, arbitraria, x(t)x t,y la respuesta al impulso, h(t)h t. La integral in tegral de convolución es expresada como
−ℎ τdτ
La convolución discreta en tiempo es un método para encontrar la respuesta de estado cero de sistemas relajados relajados lineales e invariantes en el tiempo (LTI). Se basa en los l os conceptos de lineal e invariante en el tiempo y considera que la información del sistema se conoce en términos de su respuesta al impulso h[n]. En otras palabras, si la entrada es δ[n], una muestra unitaria en el origen n = 0, la l a respuesta del sistema es h[n]. Para las funciones discretas se puede usar una forma discreta de la convolución
=−∑ ℎ ℎ ∗
b. ¿Qué es estabilidad y causalidad de sistemas LTI? Causalidad: Un sistema es causal cuando su salida no anticipa valores futuros de la entrada. Podemos asegurar que un sistema es causal si:
ℎ 0 < 0 ℎ 0 <0
Aplicaciones de la convolución en la
ingeniería:
En acústica, un eco es la convolución del sonido original con una función que represente los objetos variados que lo reflejan. En este mismo campo, una aplicación reciente del proceso de Convolución es el de “componer” virtualmente el sonido real de la palabra o de una
pieza musical, en un determinado recinto, a par tir de la convolución de la respuesta impulsional impulsional del mismo y un registro “seco” de las se ñales realizado
en cámara anecoica o en espacio abierto, es decir sin reflexiones. La Integral de Convolución de ambas señales proporciona la respuesta del sistema (recinto), ponderando las distintas componentes de las señales y dando el colorido, presencia, volumen, etc de la audición real. En general, la distorsiones, ruido, reverberación, etc que aparecen en las señales originales, se pueden resolver a base de “extraer” las señales
originales del proceso de Convolución Demostración: Si el sistema es causal, al no poder depender de valores futuros de x[n] en la suma de convolución no podrá depender de valores de x[k] si k>n
=− ∑ ℎ =−∑ ℎ
Esta igualdad solo si es causal Para que se de esa igualdad:
ℎℎ00 > < 0 Si recordamos que (h[n] o h(t)) es la respuesta al impulso, parece parece lógico que un sistema LTI que es causal (y por tanto no puede anticipar la entrada) no pueda tener salida no nula antes de del instante cero. Estabilidad: Un sistema LTI es estable si se cumple:
∑−|ℎ| < ∞
−|ℎℎ| <∞
Demostración: Demostración: En un sistema estable, la salida tiene que estar acotada si la entrada está acotada:
|| ≤ | | < ∞ || =−∑ ℎ =−∑ | | |ℎ | < 0
c. Explique que es correlación y de un (1) ejemplo de uso y/o aplicación en la ingeniería. l a convolución. Implica desplazar desplazar La correlación es una operación similar a la una función más allá de otra y encontrar el área bajo el producto resultante. Sin embargo, a diferencia de la convolución, no se efectúa ninguna reflexión. La correlación es la convolución de una señal con una versión reflejada de la otra.
=∗∗=∗−
=∗∗=∗−
Un de las aplicaiones La correlación cruzada puede ser utilizada para detectar y localizar una señal conocida de referencia inmersa en ruido: – Una copia de la señal conocida de referencia se correlaciona con la señal desconocida.
d. Explique qué es auto correlación y de un (1) ejemplo de uso y/o aplicación en la ingeniería.
Autocorrelación: La autocorrelación puede verse como una medida de similitud, o coherencia, entre una función x(t)y su versión de desplazamiento. Claramente, bajo ningún desplazamiento, las dos funciones se “igualan” y
resultan en un máximo para la autocorrelación. Mas con un desplazamie desplazamiento nto creciente, sería natural esperar la similitud y, por consiguiente, la reducción de la correlación entre x(t) y su versión desplazada. Conforme el desplazamiento desplazami ento se aproxima a infinito, toda traza de similitud se desvanece y la autocorrelación decae a cero. Una de las aplicaciones de la autocorrelación autocorrelación es la medida de espectros ópticos y en especial la medida de pulsos muy cortos de luz. Ejemplo 1
a) La autocorrelación autocorrelación del pulso rectangular x(t) = rect(t - 0.5) es igual a la x(-t) y se ilustra en la figura 1. convolución de x(t) y x(-t)
Figura 1 Señal para el ejemplo 1A y su autocorrelación
(b) Considere la autocorrelación de x(t) = e-tu(t). Cuando desplazamos x(λ λu(λ - t) más allá de x(λ) = e- λ λu{λ), obtenemos dos intervalos (t ≤ 0 y t t) = et- λ
> 0) sobre los l os cuales los resultados de la autocorrelación son descritos como
sigue:
El resultado puede ser expresado como r xx(t) = 0.5e-|t|.
(c) La correlación cruzada de las señales x(t) y h(t), h(t), mostradas en la figura 1 C, puede encontrarse usando la convolución de una señal y la versión reflejada de la otra. Observe que r xh hx(-t). xh(t) = r hx
e. ¿Cuál es la diferencia de correlación continua y correlación discreta?
f. ¿Qué son las series de Fourier? Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones
sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).
g. ¿Qué es la transformada Continua de Fourier? De dos (2) ejemplos de uso y/o aplicación en la ingeniería. La transformada continua de Fourier, denominada así por Joseph por Joseph Fourier, es Fourier, es una transformación una transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio el dominio de la frecuencia, que frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de transformarse en cualquiera de los dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la l a operación de transformación transformación como a la l a función que produce. La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función :
Aplicaciones:
1 √ 22 −−
La transforma de Fourier sirve en la ingeniería, especialmente para la caracterización frecuencial de señales y sistema lineales. Es decir, la transforma de Fourier se utiliza para conocer las l as características frecuenciales frecuenciales de las señales y el comportamiento de los sistemas lineales ante estas señales. •
Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
•
Análisis en el comportamiento armónico de una señal.
•
Aplicaciones en la medicina:
Diagnostico automático: la ecografía permite registrar la vibración de cada una de las membranas del corazón, proporcionando una curva periódica. Un programa de ordenador calcula los primeros términos de las sucesiones (coeficientes (coeficientes de Fourier).
2. Ejercicios: Cada estudiante de manera individual debe resolver los siguientes cuatro (4) ejercicios.
Nota: la constante “a” corresponde al último digito del número de su grupo, y la constante “b” corresponde con el último dígito de su código universitario (documento de identidad), si “a” es cero, o “b”
es cero utilice a=3, o b=3 según sea el caso.
Enlace del libro- Nota: Para poder ingresar al enlace del libro de Ambardar, debe estar registrado en campus y no debe superar los 5 minutos de ingreso. Después de los 5 minutos le pedirá contraseña y deberá salir del campus y volver a ingresar.
2.1Ejercicio 2.1 Ejercicio 1- Convolución continua (analítica): usando como guía el ejemplo 6.2 de la página 134 del libro guia Ambardar y teniendo en cuenta las propiedades de dicha operación determine la convolución entre
ℎ y
descritas a continuación: Ítem grupal
− ℎ −
Remplazamos Remplazamos la constante
− → − 4 ❖
Remplazo
− ℎ ℎ → ℎ−− ℎ 4 ❖
Remplazo
Ecuación de la convolución:
∗ ℎ − ℎ Se reemplaza −4 − ∗ −−4 4 Organizamos −4 −−− 4 4
Límites de la integral
0 0 0
4 40 4 0 4 ∫− 4−−− − 4 −−− − 4−− −−− − 4−+ −−+ Reemplazamos los límites: ❖
Propiedades de la exponencial
− 4− −− − − − 4 −− Saco los termines dt (constantes)
− − − − 4 − Propiedades de la exponencial − − − − 4 −+ − − − − 4 − − − − 4 1 − 4 ∗ 4 0 4 − ∗ 0 4 − − − 4 ∗ 4 4 − ∗40
Propiedad Distributiva
− − 4 ∗ 4 4 − ∗4 − − 4 ∗ 4 14 − ∗4 44 −− 44 − −4− − − − 4− −+ − − 3− − − 3−1 − 3−
2.2
Ejercicio 2 – Convolución Convolución discreta (tabular y gráfica): Usando como guía el ejemplo 7.3 de la página 173 del libro Ambardar, determine la respuesta de un filtro FIR (
ℎ
), ), a la entrada
.
Posteriormente Posteriormente verifique su respuesta diseñando un script con el método gráfico de convolución, en Matlab u Octave y anexe el resultado junto con el script (práctica):
a=4yb=9
[1,4,̌2̌,4,9,4] ℎ [ 2.5,9,0.5]
[1,,2̌̌,,,4] ℎ [ 2.5,,0.5]
Índice de inicio: -2 -1 = -3 Índice de terminación: 3 + 1 = 4 Longitud: L = Lx + Ly - 1 = 6 + 3 -1 = 8
n= -3
-2
-1
0
1
2
x[n]= -1
4
2
4
9
4
h[n]= 2,5
9
0,5
10
5
-9
3
2,5
10 22,5
10
36
18
36
81
36
-0,5
2
1
2
4,5
2
93
40.5
2
2
3
4
Eje h
2,5
1
-3
-2
40.5 30 59.5 -1
0
1
{2.5,1,40.5,30,30,59.5,93,40.5,2}
Ejercicio 3 – Series Series de Fourier : Usando como guía el capítulo 8 de la página 197 del libro Ambardar, dibuje tres (3) periodos de la siguiente señal calcule los coeficientes trigonometricos de la serie de Fourier. a)
3∗ •
y
con T=4 s
Encuentre los coeficientes coeficientes
,
y
Nota: Para encontrar los coeficientes de la serie de Fourier, se tienen las siguientes expresiones matemáticas:
Recuadro de repaso, Ambardar página 199 “Para la soluci ón de este ejercicio, se deben repasar los métodos de integración vistos
en el curso de cálculo integral.
•
Se realiza una ampliación de 3 unidades en el eje vertical
•
Se realiza un desplazamiento de 9 unidades hacia el lado positivo
•
tengo que
2 ,
•
•
T= 4 seg
Coeficientes
∫.. . . 1 3 4 . 3 4 . 34 34 9.58.5 34 1 34 ❖
∫.. 3cos2 3cos2 . 3 4 . cos2 2 2 ∫ coscos 2 . 3 4 . cos 2 . 3 4∗2 . cos . 3 8 . cos 83 8 83 1 2 1 ❖
83 14 2 14
∗9.5 ∗8.5 23 194 174 19 17 3 3 4 4 2 ∫.. 3sen2 3sen2 . 3 4 . sen2 2 sen ∫ 2 2 . 3 4 . sen 2 . 3 4∗2 . sen . 3 8 . sen ❖
83 2 83 1 2 1 83 14 2 14 23 12 23 12 ∗9.5 12 ∗8.5 19 17 3 42 4 2.2
Transformada de Fourier : Usando como guía los ejemplos 2.4. Ejercicio 4 – Transformada
9.5 de las páginas 259 del libro Ambardar y las tablas 9.1 y 9.2 , determine la transformada de Fourier de las señales
y
, usando pares de
transformadas y propiedades reconocibles. Posteriormente verifique su respuesta diseñando un script con la l a combinación lineal de señales usadas para obtener x(t) y y(t), en Matlab u Octave y anexe el resultado junto con el script script (práctica): (práctica):
Constante = 9
a.
X(t) 1
+9
+18
t
-1
Se tiene que:
2 9 18 1 2− 1− 1
Resultados:
1 2− 1− 1 − − 1 2 − − 1 2 b. Ítem grupal
y(t)
1
0
+2a
t
Aporte por: Alexis Pedroza
CICLO DE TAREA TAREA 2 - SEÑALES EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA: El estudiante aplica la convolución continua y discreta utilizando los métodos gráficos, analíticos y tabulares mediante la resolución de ejercicios. El estudiante mediante la solución de ejercicios analiza las series y transformadas de Fourier, con el fin de
comprender el comportamiento de las señales continuas en el dominio de la frecuencia.
Tarea 2 - SEÑALES EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA. 1. Definición de conceptos: estudiando el libro de (Ambardar), El estudiante investiga de manera individual y da respuesta a las l as siguientes preguntas teóricas:
a- EXPLIQUE QUÉ ES CONVOLUCIÓN CONTINUA Y DISCRETA. DISCRETA . DE CUATRO (4) EJEMPLOS DE USOS Y/O APLICACIONES EN LA INGENIERÍA. CONVOLUCIÓN DISCRETA: https://www.youtube.com/wat https://www.y outube.com/watch?v=MWOfQ ch?v=MWOfQwM7Pvk wM7Pvk
1
1
Tomado de http://www4.tecnun.es/asignaturas/tratamiento%20digital/tema2.pdf
Propiedades:
CONVOLUSION CONTINUA: https://www.youtube.com/wat https://www.y outube.com/watch?v=KSsPzpq ch?v=KSsPzpqTKHo TKHo
USOS. La convolución y las l as operaciones relacionadas relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones aplicaciones de ingeniería y matemáticas. •
En estadística , como un promedio móvil ponderado.
•
En teoría de la probabilidad , la distribución de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias independientes independientes es la convolución de cada una de sus distribuciones de probabilidad.
•
En óptica, muchos tipos de manchas se describen con convoluciones. Una sombra (p. ej. la sombra en la mesa cuando se tiene la mano
entre ésta y la fuente de luz) es la convolución de la forma de la fuente de luz que crea la sombra y del objeto cuya sombra se está proyectando. Una fotografía desenfocada es la convolución de la imagen correcta con el círculo borroso formado por el diafragma del iris. •
En acústica, un eco es la convolución del sonido original con una función que represente los objetos variados que lo reflejan.
•
En ingeniería eléctrica, electrónica y otras disciplinas , la salida de un sistema lineal (estacionario o bien tiempo-invariante o espacioinvariante) es la convolución de la entrada con la l a respuesta del sistema a un impulso (ver animaciones).
•
En física, allí donde haya un sistema lineal con un principio de superposición, superposición, aparece una operación de convolución. 2
b- ¿QUÉ ES ESTABILIDAD Y CAUSALIDAD DE SISTEMAS LTI? https://www.youtube.com/wat https://www.y outube.com/watch?v=QRfOkx_3he0 ch?v=QRfOkx_3he0&t=276s &t=276s https://www.youtube.com/wat https://www.y outube.com/watch?v=iOg3u3m3CW ch?v=iOg3u3m3CWA&t=352s A&t=352s https://www.youtube.com/wat https://www.y outube.com/watch?v=E3aHJRcDW ch?v=E3aHJRcDWS0 S0
2
TOMADO DE https://es.wikipedia.org/wiki/Convoluci%C3%B3n
c- EXPLIQUE QUE ES CORRELACIÓN Y DE UN (1) EJEMPLO DE USO Y/O APLICACIÓN EN LA INGENIERÍA. https://www.youtube.com/wat https://www.y outube.com/watch?v=HZC6HLkL1wc ch?v=HZC6HLkL1wc Una herramienta útil en análisis de señales y sistemas es la correlación. La correlación obtiene información sobre las señales en base a promediados temporales y su transformada de Fourier permite obtener funciones de Densidad Espectral de Energía o Potencia, dependiendo de las características de las señales y sistemas bajo estudio. Esta propiedad es particularmente interesante puesto que la información puede obtenerse incluso si la señal carece de Transformada de Fourier. Las herramientas basadas en correlación de señales y su transformada de Fourier, son básicas en el análisis de procesos. En este capítulo se estudian aplicadas a señales
deterministas. deterministas. El objetivo es facilitar su comprensión y para ello se desarrolla el significado de la correlación como medida de parecido entre señales, se establecen las propiedades de la correlación cuando las señales bajo estudio están relacionadas por sistemas lineales e invariantes. La correlación de dos funciones reales es una operación de similares características a la convolución con la salvedad de que no giraremos alrededor del origen los valores de una de las funciones. La expresión matemática matemática para esta operación o peración es
Bajo las mismas condiciones que establecimos en la convolución en el caso discreto, la expresión de la correlación de funciones discretas reales es
para
. De manera similar se pueden transcribir las
expresiones de la correlación en el caso bidimensional. De forma paralela a como vimos que existia un teorema de convolución ahora podemos enunciar un Teorema de Correlación, que nos dice como se calcula la correlación entre dos funciones a partir de las TF de dichas funciones. El teorema establece que la TF de la correlación entre dos funciones es igual al producto de la transformada fourier conjugada de una de ellas por la otra. Es decir,
donde
.
Al igual que la convolución, la correlación es una operación básica del procesamiento procesamiento de imágenes digitales. La correlación es la l a operación básica en los procesos de búsqueda de patrones por emparejamiento. Por tanto, disponer de algoritmos que calculen de una forma eficiente estas
operaciones es del mayor interés La figura muestra el resultado de correlacionar dos funciones.
CORRELACIÓN Es frecuentemente necesario tener la posibilidad de cuantificar el grado de interdependencia de un proceso por encima de otro, o establecer la similitud entre un conjunto de datos y otro. La correlación puede ser definida matemáticamente y por ende cuantificada. Su rango de aplicación en el análisis de señal es vasto, por ejemplo, en el radar cuando se desea encontrar el rango y la posición en la cual las formas de onda son transmitidas y comparadas. También se puede encontrar como parte
integral de la técnica de estimación de los mínimos cuadrados, en el cálculo de la potencia promedio de señales. El proceso de convolución es en esencia una correlación en la cual una de las señales ha sido invertida con relación al eje de las abscisas.
d- EXPLIQUE QUÉ ES AUTOCORRELACIÓN Y DE UN (1) EJEMPLO DE USO Y/O
APLICACIÓN EN LA INGENIERÍA . Existe un caso especial cuando ambas secuencias secuencias coinciden, x1[n] = x2[n] . Este proceso se conoce como autocorrelación. autocorrelación. La función de autocorrelación se modela por la expresión:
la cual tiene la siguiente propiedad:
donde S es la energía normalizada asociada a la señal x1[n]. Este hecho proporciona un método para calcular la energía asociada a una señal. Si la señal es totalmente aleatoria. por ejemplo, ruido blanco, la autocorrelación tendrá su valor máximo para k = 0 (retraso nulo) y fluctuará entorno a cero a medida que el retraso aumenta. Esto constituye una prueba para señales aleatorias tal y como se representa en la Figura
3
Cuando se realiza la correlación de una señal consigo misma se denomina autocorrelaciones autocorrelaciones decir:
La autocorrelación representa la similitud entre una señal y su desplazada. El máximo de autocorrelación se obtiene cuando no hay desplazamiento
La autocorrelación es simétrica con respecto al origen, ya que De inmediato se puede observar como una de las aplicaciones inmediatas que podría tener la autocorrelación se encuentra en los radares.
3
Tomado de http://www.ehu.eus/Procesadodesenales/tema8/corre1.html
4
e- ¿CUÁL ES LA DIFERENCIA DE CORRELACIÓN CONTINUA Y CORRELACIÓN DISCRETA?
4
Tomado de https://es.slideshare.net/crico89/correlaciondesenales
CORRELACION:
f- ¿QUÉ SON LAS SERIES DE FOURIER? https://www.youtube.com/watch?v=8L7haNjw1Pw Aunque el motivo original era resolver la ecuación de calor, tiempo después fue obvio que se podía usar la l a misma técnica a un gran conjunto de problemas físicos y matemáticos, especialmente especialmente aquellos que involucraban ecuaciones diferenciales diferenciales lineales con coeficientes constantes, para los cuales sus soluciones únicas eran sinusoidales.
Fourier introdujo las series con el propósito de resolver la ecuación de conducción del calor en una lámina de metal publicando sus resultados en 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides ('Memoria sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos'), y publicando su Théorie analytique de la l a chaleur ('Teoría analítica del calor') en 1822. Ideas previas en descomponer una función periódica en la suma de simples funciones de oscilación datan desde el siglo III a.C., cuando astrónomos antiguos propusieron un modelo empírico de movimiento planetario con base en epiciclo.
La ecuación del calor es una ecuación en derivadas parciales. Previamente al trabajo de Fourier, no se conocía solución alguna para la ecuación de calor en forma general, aunque se conocían soluciones particulares si la fuente de calor se comportaba de manera sencilla, en particular, si la fuente era una onda de seno o coseno. Estas soluciones simples a veces son llamadas valores propios. propios. La idea de Fourier era modelar una fuente de calor compleja con una superposición (o combinación lineal) de simples ondas sinusoidales y para escribir la solución como una superposición de los correspondientes correspondientes valores propios. A la superposición o combinación lineal se le llama Serie de Fourier. Aunque el motivo original era resolver la ecuación de calor, tiempo después fue obvio que se podía usar la misma técnica a un gran conjunto de problemas físicos y matemáticos, especialmente aquellos que involucraban ecuaciones diferenciales diferenciales lineales l ineales con coeficientes constantes, para los l os cuales sus soluciones únicas eran sinusoidales. Las series de Fourier tienen muchas aplicaciones en la ingeniería eléctrica, análisis de vibraciones, acústica, óptica, procesamiento de señales, retoque fotográfico, mecánica cuántica, econometría, la teoría de estructuras con cascarón delgado, etc.
5
5
Tomado de https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier
g- ¿QUÉ ES LA TRANSFORMADA CONTINUA DE FOURIER? DE DOS (2) EJEMPLOS DE USO Y/O APLICACIÓN EN LA INGENIERÍA.
EJERCICIOS ALEXIS PEDROZA
a= 4
b=6
Ejercicio 1_ ALEXIS PEDROZA.
−ut xt ae ht e−ut a
señal que entra al sistema. respuesta.
Siendo a = 4. Se tiene:
−u xt 4e u t ht e−ut 4
Entonces: Remplazamos la constante λ por t, se tiene:
Remplazo
−− 4 → 4−− ℎ
ℎ → ℎ ℎ −−4
Remplazo impulso.
se genera un desplazamiento desplazamiento a la repuesta o
Formula de Convolución:
∗ ℎ − ℎ ℎ Límites de la integral
0 < 0 0 0 <0
4 0 >0 40 4 4,0
4 λ> t – 4
∞,∞
(
) = evaluada en los limites (
Reemplazamos los límites:
− 4 − ∗ −−4 4
0 4 4 0 − 4 −−− 4 4 − 4 −−− − 4 −−+ − 4−+ − ∗ −+
Siendo
)
Por la propiedad de los exponenciales se tiene:
− 4−+ − ∗ −+ − 4−4 − ∗ − − 4−4 − ∗ −
Propiedades de las integrales:
Se tiene:
− 4− − ∗ − − − − (4 ) − − Como la int − − − − 4 ( ) − Aplicando propiedad de las potenciaciones potenciaciones − 1 − − − − 4 ( ) 1 Siendo ∫ y como la ∫ 1 se tiene: egración es en función de λ
Evaluando limites para λ
Simplificando:
− 4 ∗ 4 − − 4 ∗ 4 −
− ∗ 0 4 − 0 4 − ∗ − −40 − ∗ − 1 −4 − ∗ − 1 −4 − 1 1∗− − − 4 − 1∗− − − 4 − 1 ∗ − − − 4 − − − 3 − 1 3− −− 4 1 3−
Aplicando propiedad de las l as potenciaciones
Entonces se puede concluir que la convolución de
Es
EJERCICIO 2 ALEXIS PEDROZA EJERCICIO 2
https://www.youtube.com/watc https://www. youtube.com/watch?v=4dShGBH h?v=4dShGBHDM3Y DM3Y
a=4yb=6
[1, 4, 2̌,4,6, 4] 2, 2, 1, 0 , 1 , 2 , 3 ℎ [ 2. 5 , 6̌, 0 . 5 ] 1,1, 0,1
[1,,2̌,,,4] 0̌ ℎ [ 2.5,,0.5] 0
señal de entrada. eje tiempo para señal de entrada. Respuesta al impulso filtro. eje tiempo para la respuesta o filtro.
[1, 4, 2̌,4,6, 4] 2, 2, 1, 0 , 1 , 2 , 3
señal de entrada.
eje tiempo para señal de entrada.
Índice de inicio = n= -2
ℎ [ 2. 5 , 6̌, 0 . 5 ] 1,1, 0,1
Respuesta al impulso filtro. eje tiempo para la respuesta o filtro.
Índice de inicio = n= -1
Números de elementos:
[1, 4, 2̌,4,6, 4] ℎ [ 2. 5 , 6̌, 0 . 5 ] yn [2. 5, 4 , 29, 24, 40, 48, 27, 2 ]
= 6 = lx (longitud de la función, =
ℎ
)
3 = lh (longitud de la función,
= 6+ 3 - 1 = 8
)
lx + lh -1 = ly (longitud de la función,
)
tabula tabula la respuesta a cada impulso y la
La entrada como respuesta total como:
ENTRADA 2Ᵹ[n] - Ᵹ[n-1] 3Ᵹ[n-2]
x[n] h[n] SALIDA 2h[n] - h[n-1] 3h[n-2]
suma=x[n]
suma=y[n]
-1 2,5
4 6
2 0,5
4
6
4
-2,5
10 -6
5 24 -0,5
10 12 2
15 24 1
10 36 2
24 3
2
29
24
40
48
27
2
-2,5
4
CONVOLUCION DISCRETA DE y[n] = x[n]*h[n]
yn 2.5, 4, 29, 24, 40, 48, 27, 2 1 1 2 3 3,3, 2,2, 1,1, 0, 1, 2, 3, 4 yn [2.5, 4, 29, 24, 40, 48, 27, 2 ] 0
eje tiempo para señal de entrada.
Graficando en Matlab.
Programa en Matlab clear all all; ; a=4; b=6; %%Grafica X[n]- Alexis Pedroza Xn=[-1,a,2,a,b,4]; n=[-2,-1,0,1,2,3]; subplot(3,1,1); stem(n,Xn,'r' stem(n,Xn,'r'); ); grid; title("señal title("señal discreta X[n] - Alexis Pedroza" ); xlabel("n" xlabel("n"); ); ylabel("Amplitud" ylabel("Amplitud" ); xlim([-4,4]); %%Grafica H[n]- Alexis Pedroza Hn=[2.5, b, 0.5]; m=[-1,0,1]; subplot(3,1,2); stem(m,Hn,'b' stem(m,Hn,'b'); ); grid; title("señal title("señal discreta H[n] - Alexis Pedroza" ); xlabel("m" xlabel("m"); ); ylabel("Amplitud" ylabel("Amplitud" ); xlim([-4,4]); %%Grafica y[n]- convolucion H[n]*x[n] Alexis Pedroza c=conv(Xn,Hn); ncon=[-3,-2,-1,0,1,2,3,4] subplot(3,1,3); stem(ncon,c,'g' stem(ncon,c,'g'); ); grid; title("convolution title("convolution y[n]=X[n]*Y[n] - Alexis Pedroza" ); xlabel("n" xlabel("n"); ); ylabel("Amplitud" ylabel("Amplitud" ); xlim([-4,4]);
EJERCICIO 3
https://www.youtube.com/watch?v=Qt4Bu1xTlR4 https://www.youtube.com/watc https://www. youtube.com/watch?v=60thSFL1wjs h?v=60thSFL1wjs https://www.youtube.com/watc https://www. youtube.com/watch?v=19gfvVf9Oys h?v=19gfvVf9Oys
Entonces analizando la señal x(t) se tiene:
Donde b = 6 por lo tanto:
3∗
3∗6
Para la función rec(t - b) se puede concluir que es un impulso unitario.
Se tiene para el ejercicio
Con la siguiente grafica podemos determinar que x(t)=3 para (6.5 , 5.5)
SABIENDO QUE PARA EL CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LA SERIE DE FOURIER SE TIENE:
ñ 1 2πT 4 ∑ 2 2 2 = 12 =∑ an cosnwt =∑ bn sen sen
Frecuencia fundamental
Se tiene
Siendo:
a T1 xtdt a T2 xtcos2xkf dt b T2 xtsen2xkf dt Definiendo los límites de mi señal = ( 6.5, 5 .5)
Encontrando los coeficientes:
. 1 a T . xtdt Teniendo como funcion:
3∗6
Sabiendo que: la integral de un escalon es 1
Se tiene y considerando que para la grafica se obtuvo una respuesta de x(t)=3 para los limites (6.5 , 5.5).
. . . 1 3 3 4 . 3 4 . 3 4 . 1 34
34 34 6.55.5 34 1
. 1 4 . 3cos2
34 ..cos2 2 ∫ 2 . 3 4 . cos 2 . 3 4 ∗ 2 . cos . 3 2 . cos 23 2 6.5.55 23 2 6.5.55 23 2 6.5.55 6.5.55
∗6.5 ∗5.5 23 134 114 13 11 3 3 4 2 4 . 3 4 . sen 2 . 3 4 ∗ 2 . sen . 3 b 2πk . senudu b 2πk3 cos πk2 t 6.5.55 b 2πk3 cosπk2 t 6.5.55
b 2πk3 cosπk2 t 6.5.55
b cosπ os πkk t 6.5.55 b cosπk ∗ 6.5 coscos πk ∗5.5 b 2πk3 cosπk 134 cos πk 114 13 11 3cos πk 3cos πk 4 4 aK 2πk Para
3∗6 a T1 xtdt 2 a T xtcos2xkf dt
Las series de Fourier son:
2 b T xtsen2xkf dt
Ejercicio 4 Por Alexis Pedroza Transformada de Fourier. https://www.matesfacil.com/E https://www. matesfacil.com/ESO/trigonometri SO/trigonometria/identidade a/identidades/identidades-trigon s/identidades-trigonometricas-demostrac ometricas-demostracionesionesejemplos.html https://www.youtube.com/watc https://www. youtube.com/watch?v=2PkxgrKkzzI h?v=2PkxgrKkzzI http://www.mty.itesm.mx/etie http://www. mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/rec /deptos/m/ma-841/recursos/tab-trig.pd ursos/tab-trig.pdf f SEÑALES Y SISTEMAS.
UTILIZANDO LA FUNCIÓN SIN SIGNO: Función. Transformada de Fourier. Sign(t)
{ }
Grafica.
En matemáticas, la función de signo o la función de signum (de signum, latín para "signo") es una función matemática impar que extrae el signo de un número real. En las expresiones matemáticas, la función de signo a menudo se representa como sgn.
6
6
Tomado de https://en.wikipedia.org/wiki/Sign_function
FUNCIÓN IMPULSO UNIDAD: Función. Ᵹ (t-t (t-t0)
{ tt tt} −
Transformada de Fourier.
Grafica.
Ᵹ
Algunos sistemas mecánicos suelen estar sometidos a una fuerza externa (o a una tensión eléctrica en el caso de los circuitos eléctricos) eléctricos) de gran magnitud, que solamente actúa durante un tiempo t iempo muy corto. Por ejemplo, una descarga eléctrica podría caer sobre el ala vibrante de un avión; a un cuerpo sujeto a un resorte podría dársele un fuerte golpe con un martillo, m artillo, una pelota (de beisbol, de golf o de tenis) inicialmente en reposo, podría ser enviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia con un objeto como una bat de beisbol, un bastón de golf o una raqueta de tenis. La función impulso unitario puede servir como un modelo para tal fuerza.7
{ tt tt} − cosw Ᵹ
DESARROLLO DEL EJERCICIO
b = 6. 1. PRIMER PASO.
7
Tomado de https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5geo/laplace/node9.html
FUNCION SIN SIGNO DESPLAZADA 6 UNIDADES
2.
ESCALON DE LA PARTE SUPERIOR. DESPLAZAMOS 12 UNIDADES A LA DERECHA A LA FUNCION SIN SIGNO
PARA OBTENER EL PRIMER ESCALON POSITIVO
A LA SEÑAL SIN SIGNO DESPLAZADA 6 UNIDADES A LA DERECHA LA DIVIDIMOS POR 2 Y LA MULTIPLICAMOS CON LA SEÑAL SIN SIGNO DESPLAZADA 12 UNIDADES A LA DERECHA Y MULTIPLICADA POR UN MEDIO. Y OBTENEMOS.
PARA OBTENER EL SEGUNDO ESCALON NEGATIVO Primero invertimos la señal sin signo y le multiplicamos por ½ y luego le sumamos la señal sin signo desplazada 6 unidades a la derecha y multiplicada por ½.
PARA OBTENER LA SEÑAL BUSCADA
SUMAMOS ESTOS DOS ESCALONES.
ANALISIS MATEMATICO En el tiempo.
Xt 12 ∗ signnt 12 ∗signnt 6 12 signnt 6 12 ∗signt12 Xt 12 ∗ signt 12 ∗signnt 6 12 signnt 6 12 ∗signt12 Xt 12 ∗ signgnt 12 ∗signnt 61 1 12 ∗signt12 Xt 12 ∗ signgnt 12 ∗signnt 62 12 ∗signt12 ∗ ∗
ANALISIS MATEMATICO En el dominio de la frecuencia.
{ } { } −− cosw { } } − coscos6w 6w 66 6 { } cos1 cos12w2w 1212 12 ∗ ∗ Ᵹ Ᵹ Ᵹ
ANALISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA, TRANSFORMANDO A FOURIER.
∗ (−) ∗ − (−) − [(−) −] cos6w6 cos6w6 cos12w12
GRAFICAS
PROGRAMA EN OCTAVE
clc clear all clf syms t figure(1) fplot ("[sign(t)]",[-20,20,-2,2]) xlabel("tiempo") ylabel("amplitud") title("[sign(t)] _ Alexis Pedroza") grid on hold on
figure(2) fplot ("[sign(t-6)]",[-20,20,-2,2]) xlabel("tiempo") ylabel("amplitud") title("[sign(t-6)] _ Alexis Pedroza") grid on hold on
figure(3) fplot ("[-sign(t-12)]",[-20,20,-2,2]) xlabel("tiempo") ylabel("amplitud") title("[-sign(t-12)] _ Alexis Pedroza") grid on hold on
figure(4) fplot ("[1/2*sign(t-6)-1/2*sign(t-12)]",[-20,20,-4,4]) ("[1/2*sign(t-6)-1/2*sign(t-12)]",[-20,20,-4,4]) xlabel("tiempo") ylabel("amplitud") title("[1/2*sign(t-6)-1/2*sign(t-12)] title("[1/2*sign(t-6)-1/2*sign(t-12)] _ Alexis Pedroza") grid on hold on
figure(5) fplot ("[-1/2*sign(t)+1/2*sign(t-6)]",[-20,20,-4,4]) ("[-1/2*sign(t)+1/2*sign(t-6)]",[-20,20,-4,4]) xlabel("tiempo") ylabel("amplitud") title("[-1/2*sign(t)+1/2*sign(t-6)] title("[-1/2*sign(t)+1/2*sign(t-6)] _ Alexis Pedroza") grid on hold on
figure(6) fplot ("[-1/2*sign(t)+sign(t-6)-1/2*sign( ("[-1/2*sign(t)+sign(t-6)-1/2*sign(t-12)]",[-20,20,-4,4]) t-12)]",[-20,20,-4,4]) xlabel("tiempo") ylabel("amplitud") title("[-1/2*sign(t)+sign(t-6)-1/2*sign title("[-1/2*sign(t)+sign(t-6)-1/2*sign(t-12)] (t-12)] _ Alexis Pedroza") grid on hold on
FUNCIÓN IMPULSO UNIDAD: Función. Ᵹ (t-t (t-t0)
{ tt tt} −
Transformada de Fourier.
Grafica.
Ᵹ
Algunos sistemas mecánicos suelen estar sometidos a una fuerza externa (o a una tensión eléctrica en el caso de los circuitos eléctricos) eléctricos) de gran magnitud, que solamente actúa durante un tiempo muy corto. Por ejemplo, una descarga eléctrica podría caer sobre el ala vibrante de un avión; a un cuerpo sujeto a un resorte podría dársele un fuerte golpe con un martillo, m artillo, una pelota (de beisbol, de golf o de tenis) inicialmente en reposo, podría ser enviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia con un objeto como una bat de beisbol, un bastón de golf o una raqueta de tenis. La función impulso unitario puede servir como un modelo para tal fuerza.8
{ tt tt} − cosw Ᵹ
UTILIZANDO LA FUNCIÓN SIN SIGNO: Función. Transformada de Fourier. Sign(t)
{ }
Grafica.
En matemáticas, la función de signo o la función de signum (de signum, latín para "signo") es una función matemática impar que extrae el signo de un número real. En las expresiones matemáticas, la función de signo a menudo se representa representa como sgn.
8
Tomado de https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5geo/laplace/node9.html
FUNCION SENO
UTILIZANDO LA FUNCIÓN SIN SIGNO: Función. Transformada de Fourier. Cos w0t
{Cos wt}
Grafica.
La función coseno. Por y = cos x se entiende la función con valores de x com compre prendi ndidos dos ent entre - y + , teniendo como imágenes el coseno coseno del ángulo ángulo x radianes. También hay que tener en cuenta que si x es superior superior a 2 (360 grados) es considerado un ángulo superior a una vuelta, como hemos dicho anteriormente para el caso del seno.
LA MULTIPLICACION O EL PRODUCTO DEL ESCALON * EL COSENO.
ANALISIS MATEMATICO En función del tiempo.
cos 2 2 2 2 2 ∗ 4 8 16 2 216 8
Para este ejercicio tenemos que
Por lo tanto: Como es una función coseno, necesitamos que su cresta o medio ciclo de la forma positiva del seno, quede dentro o coincidente con el impulso y de su mismo amplitud y periodo o frecuencia.
cos 8 ∗4
cos 8 ∗4∗ ∗
ANALISIS MATEMATICO En el dominio de la frecuencia
{ } { } −− cosw { } } − coscos4w 4w 44 4 { } coscos8w 8w 88 8 {Cos wt} Ᵹ Ᵹ Ᵹ
cos 2 2 2 2 ∗ 4 8 16 2 216 8 cos 8 ∗4∗ ∗ {} ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ − Para este ejercicio tenemos que
− − {} ∗ ∗ {} ∗ − ∗ [ −]
GRAFICAS
PROGRAMA EN OCTAVE
clc clear all clf syms t figure(15) fplot ("[1/2*sign(t)-1/2*sign(t-8)]",[-20,20,-2,2]) ("[1/2*sign(t)-1/2*sign(t-8)]",[-20,20,-2,2]) xlabel("tiempo") ylabel("amplitud") title("[1/2*sign(t)-1/2*sign(t-8)] title("[1/2*sign(t)-1/2*sign(t-8)] _ Alexis Pedroza") grid on hold on figure(15) fplot ("[cos(1/8*pi*(t-4))]",[-20,20,-2,2]) ("[cos(1/8*pi*(t-4))]",[-20,20,-2,2]) xlabel("tiempo") ylabel("amplitud") title("[cos(1/8*pi*(t-4))] title("[cos(1/8*pi*(t-4))] _ Alexis Pedroza") grid on hold on figure(12) fplot ("[cos(1/8*pi*(t-4))*(1/2*sign(t)-1 ("[cos(1/8*pi*(t-4))*(1/2*sign(t)-1/2*sign(t-8))]",[-20,20,-2,2]) /2*sign(t-8))]",[-20,20,-2,2]) xlabel("tiempo") ylabel("amplitud") title("[cos(1/8*pi*(t-4))*(1/2*sign(t)-1/ title("[cos(1/8*pi*(t-4))*(1/2*sign(t)-1/2*sign(t-8))] 2*sign(t-8))] _ Alexis Pedroza") grid on hold on
Conclusiones
El desarrollo de este trabajo ha permitido fortalecer los conocimientos de conceptos acerca de señales y sistemas. Se logro concluir que con la convolucion entre señales y tene niendo operaciones matematicas definimos la integral de un producto a ambas direcciones desplazando una de ellas . Con las series de Fourier logramos concluir que una funsion continua y periodica por metodos matematicas se da a partes , obteniendo combinacion de senos y cosenos Interactuar con el programa Matlab para el uso de señales y sus graficas Analizar las señales y sistemas, sistemas, convolución continua y discretaAprender a realizar ejercicios con series de Fourier Aprender a realizar ejercicios con Transformada Transformada de Fourier Obtener señales de forma grafica por medio del programa matlab Como resultado de este trabajo es posible concluir que la aplicación y valoración de los conceptos de señales y sistemas se logra desarrollar los problemas expuestos por la guía y que hacen parte de la vida cotidiana.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Convolución Continua: Ambardar, A. (2002). Procesamiento de señales analógicas y digitales: Convolución. Cengage Learning, (2nd ed, pp. 130-155). Recuperado de http://bibliot http://bibliotecavirtual.unad. ecavirtual.unad.edu.co:2081/p edu.co:2081/ps/retrieve.do?res s/retrieve.do?resultListType=RELA ultListType=RELATED_D TED_D OCUMENT&userGroupName=unad&inP OCUMENT&userGro upName=unad&inPS=true&contentSeg S=true&contentSegment=&prodId=GV ment=&prodId=GVRL&isET RL&isET OC=true&docId=GALE|CX4060300056 Correlación Continua: Ambardar, A. (2002). Procesamiento de señales analógicas y digitales: Correlación. Cengage Learning, (2nd ed, pp. 156-159). Recuperado de http://bibliot http://bibliotecavirtual.unad. ecavirtual.unad.edu.co:2081/p edu.co:2081/ps/retrieve.do?tab s/retrieve.do?tabID=&userGroupName ID=&userGroupName =unad&inPS=true&prodId=GVRL&cont =unad&inPS=true&pro dId=GVRL&contentSet=GALE&docId=G entSet=GALE&docId=GALE|CX4060300067 ALE|CX4060300067 Convolución Discreta: Ambardar, A. (2002). Procesamiento de señales analógicas y digitales: Convolución Discreta. Cengage Learning, (2nd ed, pp. 169-183). Recuperado de http://bibliot http://bibliotecavirtual.unad. ecavirtual.unad.edu.co:2081/p edu.co:2081/ps/retrieve.do?res s/retrieve.do?resultListType=RELATED ultListType=RELATED_D _D OCUMENT&userGroupName=unad&inP OCUMENT&userGro upName=unad&inPS=true&contentSeg S=true&contentSegment=&prodId=GV ment=&prodId=GVRL&isET RL&isET OC=true&docId=GALE|CX4060300069
