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Unidad 2 – Ciclo de la tarea 2 – Sistemas lineales de ecuaciones, rectas, planos y espacios vectoriales
Maira Alejandra Vásquez Astrid Sulay Martínez Eduard Alexander Paipilla Edward Alexander Guerrero Havith Armando Bohorquez
Grupo: 208046_37
Tutor: Pedro José Carrillo
Mayo 2017 Universidad Nacional Abierta y a Distancia Bogotá Algebra Lineal
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Introducción El Algebra lineal se ha convertido en una herramienta matemática fundamental para calcular variaciones, verificación de unidades, análisis de funciones con la influencia de varios factores y así poder hallar sus valores. hoy día, son significativos e incontables sus aplicaciones en el campo de la tecnología; lo que hace necesario el estudio y comprensión de los Sistemas Lineales de ecuaciones, rectas y planos en el espacio, que fundamentan la unidad dos de este curso, para potenciar el proceso de aprendizaje del estudiante en formación. Para la resolución de los ejercicios propuestos se requiere de métodos como la eliminación de Gauss Jordán, la inversa, la ecuación general del plano y los puntos de intersección de los planos. El siguiente trabajo ha sido elaborado con la información especificada en la guía donde se han resuelto los ejercicios según la temática a desarrollar entre ellos se encuentran, sistemas lineales de ecuaciones, rectas, planos y espacios vectoriales, graficando en el programa geogebra, se aplican métodos como el de cramer y gauss para su respectiva solución y/o comprobación; el álgebra lineal se ha convertido en una herramienta matemática fundamental para calcular variaciones, verificación de unidades, análisis de funciones con la influencia de varios factores y así poder hallar sus valores, hoy día son significativos e incontables sus aplicaciones en el campo de la tecnología, lo que hace necesario su estudio y comprensión.
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Problemas a desarrollar Desarrolle los siguientes ejercicios por el método de Gauss Jordán a) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: 𝑥 + 𝑦 + +𝑧 = 6 𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 12 −2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 15
X
y
1 1 | 1 −2 −2 1 Celdas: 3,1 2,1 3,2
z
1 6 −1 | 12 2 15
1,3 2,3 1,2
3,1 𝐹3 + 2𝐹1 → 𝐹3 −2 + 2 ∗ 1 → 0 1+2∗1→3 2+2∗1→4 15 + 2 ∗ 6 → 27 1 1 1 6 |1 −2 −1 | 12 0 3 4 27 2,1 𝐹2 − 𝐹1 → 𝐹2 1−1 →0 −2 − 1 → −3
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−1 − 1 → −2 12 − 6 → 6 1 1 1 6 |0 −3 −2 | 6 0 3 4 27 3,2 𝐹3 + 𝐹2 → 𝐹3 0+0 →0 3−3 →0 4−2 →2 6 + 27 → 33 1 1 1 6 |0 −3 −2 | 6 0 0 2 33 1,3 2𝐹1 + 𝐹3 → 𝐹1 2∗1−2→0 2 ∗ 1 − 3 → −1 2∗1+0→2 2 ∗ 6 + 6 → 18 2 −1 0 18 |0 −3 −2 | 6 0 0 2 33 2,3 𝐹2 + 𝐹3 → 𝐹2 −2 + 2 → 0 −3 + 0 → −3 0+0 →0
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6 + 33 → 39 2 −1 |0 −3 0 0
0 18 0 | 39 2 33
1,2 −3𝐹1 + 𝐹2 → 𝐹1 −3 ∗ 0 + 0 → 0 −3 ∗ (−1) − 3 → 0 −3 ∗ 2 + 0 → −6 −3 ∗ 18 + 39 → −15 −6 0 | 0 −3 0 0
0 −15 0 | 39 2 33
𝐹1 ÷ (−6) → 𝐹1 −6 ÷ −6 → 1 0 ÷ −6 → 0 0 ÷ −6 → 0 −15 ÷ −6 → 2,5 𝐹2 ÷ (−3) → 𝐹2 0 ÷ −3 → 0 −3 ÷ −3 → 1 0 ÷ −3 → 0 39 ÷ −3 → −13 𝐹3 ÷ 2 → 𝐹3 0÷2 →0 0÷2 →0
6
2÷2 →1 33 ÷ 2 → 16,5 1 0 0 2,5 |0 1 0 | −13 0 0 1 16,5
Comprobación
𝑥 + 𝑦 + +𝑧 = 6 𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 12 −2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 15 𝑥 = 2,5 𝑦 = −13 𝑧 = 16.5
2.5 − 13 + 16,5 = 6 2,5 − 2(−13) − 16,5 = 12 −2 ∗ 2,5 − 13 + 2 ∗ 16.5 = 15
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Comprobación en Geogebra
(Imagen 1. Comprobación en Geogebra ejercicio 1)
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B). la suma de tres números es 1.110. Determínelos que la mitad del tercero, más diez veces el primero, es igual al séxtuplo del segundo; y que el doble del segundo, más cinco veces el primero, es igual a la cuarta parte del tercero. Compruebe y/o verifique el resultado a través del programa geogebra y anexe pantallazos de la comprobación. Solución 𝑥+
𝑥+ 10𝑥
𝑦+ +
𝑧 = 1.110 𝑧 = 6𝑦 2
2𝑦
+
1 = 10 5
1 1 : 1.110 −6 1/2 :0 2 −1/4 : 0
𝑥 𝐹3−32 −111
𝑦
1 1 =0 1 0 0
𝑧 = 1000
𝑧
5𝑥 =
1 𝐹2⁄ 0 = −16 0
= 10𝑥 − 5𝑥 +
4
𝐹2 − 𝐹3 −
𝑦+ 6𝑦 + 2𝑦 −
𝑧=
1.110 0 1 𝑧= 0 4 1
𝑧= 2
1 10𝐹 0 = 5𝐹1 0
1 1 : 1.110 −16 17/2 : −1.110 −3 −21/4 : −5.550
: 1.110 1 1 1 2.775 1 19/32 : 4 𝐹3 + 3𝐹2 = 0 0 0 −111/32 : −13875 4 𝑧 : 1.110 1 2775 19/32 : 4 1 : 1000
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𝑦 + 32 𝑧 = 𝑦=
2775 4
𝑦 = 100
−
2275 4 19000 32
: 1.110 1 1 2775 : 4 1 152 −3 −111/32 : −13.875
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1110 𝑥 = 1110 − 𝑧 − 𝑦 𝑥 = 1110 − 1000 − 100 𝑥 = 10
4
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Pantallazo de comprobación en geogebra
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1. a)- Resuelva por el método de cramer el siguiente sistema de ecuaciones 3𝑥 + 2𝑥 − 𝑥+
2𝑦 − 5𝑦 + 3𝑦 −
𝑧 = 10 8 = 16 4𝑧 = 30
Solución 𝟑 𝟐 ∆𝒔 = 𝟏 𝟑 𝟐
𝟐 −𝟏 −𝟓 𝟖 𝟑 −𝟒 𝟐 −𝟏 𝟖 −𝟓
𝟏𝟎 𝟐 ∆𝒙 = |𝟏𝟔 −𝟓 𝟑𝟎 𝟑
∆𝒔 = (𝟔𝟎 − 𝟔 + 𝟏𝟔) − (𝟓 + 𝟕𝟐 − 𝟏𝟔) = ∆𝒔 = 𝟗
−𝟏 𝟏𝟎 𝟐 𝟖 𝟏𝟔 −𝟓| ∆𝒙 = (𝟐𝟎𝟎 + 𝟒𝟖𝟎 − 𝟒𝟖) − (𝟏𝟓𝟎 + 𝟐𝟒𝟎 − −𝟒 𝟑𝟎 𝟑
𝟏𝟐𝟖) = ∆𝒙 = 𝟑𝟕𝟎
𝟑 ∆𝒚 = |𝟐 𝟏
𝟏𝟎 −𝟏 𝟑 𝟏𝟔 𝟖 𝟐 𝟑𝟎 −𝟒 𝟏
𝟏𝟎 𝟏𝟔| ∆𝒚 = (−𝟏𝟗𝟐 + 𝟖𝟎 − 𝟔𝟎)— 𝟏𝟔 + 𝟕𝟐𝟎 − 𝟖𝟎 = 𝟑𝟎
∆𝒚 = −𝟕𝟗𝟔 𝟑 𝟐 ∆𝒛 = |𝟐 −𝟓 𝟏 𝟑
𝟏𝟎 𝟑 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 −𝟓| ∆𝒛 = (−𝟒𝟓𝟎 + 𝟑𝟐 + 𝟔𝟎) − (−𝟓𝟎 + 𝟏𝟒𝟒 + 𝟑𝟎 𝟏 𝟑
𝟏𝟐𝟎) = ∆𝒛 = −𝟓𝟕𝟐 𝒙=
𝒚=
∆𝒙 ∆𝒔
∆𝒚 ∆𝒔
=
=
𝟑𝟕𝟎 𝟗
−𝟕𝟗𝟔 𝟗
= 𝟒𝟏, 𝟏𝟏
= −𝟖𝟖, 𝟒𝟒
∆
𝒛 = ∆𝒔 =
−𝟓𝟕𝟐 𝟗
= −𝟔𝟑, 𝟓𝟓
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b)- compruebe el resultado utilizando el método de reducción de gauss. Solución 3 |2 1
2 −1 : 10 1 3 −4 : 30 1 3 −4 : 30 𝑓2 − 2𝑓1 −5 8 : 16| = |2 −5 8 : 16| = 𝑓3 − 3𝑓1 = |0 4 16 : −44| 0 −7 11 : −80 3 −4 : 30 3 2 −1 : 10 𝑋
𝑓2 → 𝑓3 →
1 = |0 0 𝑓3 + 7𝑓2
𝑓2⁄ 11
3 1 0
−4 1 : 30 −16⁄ 𝑓3−11 11 ∶ 4 | 9 = |0 9⁄ : −52 0 11
𝑍 = −63,55 16
Y=11 (−63,55) = 4 𝑌 = 𝑌 + 92,44 = 4 𝑌 =-88,44 𝑋 + 3(−88,44) − 4(63,55) = 30 𝑋 − 265,32 + 254,2 = 30 𝑋 − 11,11 = 30 𝑋 = 41,11
𝑌
𝑍
3 −4 : 30 −16 : 4 | 1 ⁄11 : −63,55 0 1
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c)- determine si el siguiente sistema tiene solución única, de ser así resuélvalo por el método de la matriz inversa. 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 +
𝑦 + 3𝑧 = −4 𝑦 + 𝑧 = 2 2𝑦 − 𝑧 = 6
Solución 1 |1 1
−1 3 : −4 1 −1 3 : 100 𝐹2 − 𝐹1 = 1 1 : 2| |1 1 1 : 010| 𝐹3 − 𝐹1 2 −1 : 6 1 2 −1 : 001
1 −1 3 : 100 1 𝐹2⁄ 2 |0 |0 2 −2 : −110| 0 3 −4 : −101 𝐹3 − 3𝐹2 0 1 |0 0
:1 0 0 −1 3 −1 1 1 −1 : ⁄2 ⁄2 0 | 𝐹3⁄−1 = 0 −1 : 1⁄ −3⁄ 1 2 2
: 1 0 0 −1 3 1 −1 −1 1 𝐹1 − 3𝐹3 : ⁄ ⁄ 0 | = |0 1 −1 1 2 2 𝐹2 + 𝐹3 0 −1 : −1⁄ 3⁄ −1 0 0 2 2
1 𝐹1 + 𝐹2 = |0 0
0 1 0
3 −5 0 : ⁄2 ⁄2 2 0 : −1 2 −1 | 1 : −1⁄ 3⁄ −1 2 2
3⁄ 2 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 = | −1 −1⁄ 2
−5⁄ 2 2 2 −1| 3⁄ 2 −1
: 5⁄2 −9⁄2 3 0 0 : −1 2 −1| 1 : −1⁄ 3⁄ −1 2 2
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3. Revisar el siguiente procedimiento dado para determinar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (1, 0,-3) y es paralela al vector 𝑣⃗ = 2𝑖 − 4𝑗 + 5𝑘
Procedimiento: 𝑟⃗ = 𝑟⃗0 + 𝑡 𝑣⃗ 𝑟⃗ = (1, 0, −3) + 𝑡 (2 − 4 + 5) 𝑟⃗ = (1, 0, −3) + (−2𝑡 − 4𝑡 + 5𝑡) 𝑟⃗ = (1 − 2𝑡 , −4𝑡 , −3 + 5𝑡) Identifique el error, corrija la ecuación y determine la ecuación paramétrica y simétrica de la recta 𝑟⃗. Solución 𝑟⃗ = 𝑟⃗0 + 𝑡 𝑣⃗
Error de signos
𝑟⃗ = (1, 0, −3) + 𝑡 (2 − 4 + 5) 𝑟⃗ = (1, 0, −3) + (−2𝑡 − 4𝑡 + 5𝑡) 𝑟⃗ = (1 − 2𝑡 , −4𝑡 , −3 + 5𝑡)
𝑒 𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 =
𝑥−1 𝑦−0 𝑧+3 = = 2 4 4
𝑒 𝑐 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑥 = 1+2𝑡 𝑦 = −46 𝑧 = −3 + 5𝑡
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4. Consideremos el plano definido por la ecuación: 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 8 = 0 a. Determinar si los puntos A(1, 3, −1), B(3, 5, 1) y C(1, 6, 5) pertenecen al plano. b. Determine las intercepciones en x, en y, y en z en el plano. Solución 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 8 = 0 (1,2, −1) = 𝐴 (1,3, −1) 𝐵(3,5,1)𝐶 (1,6,5) (1𝐴, 3𝐴, −1𝐴), (3𝐵, 5𝐵, 𝐵), (𝐶, 6𝐶, 5𝐶) 1𝐴 + 3𝐵 + 𝐶 = 1 3𝐴 + 5𝐵 + 6𝐶 = 2 −𝐴 + 𝐵 + 5𝐶 = −1 𝟏 | 𝟑 −𝟏 𝟏 |𝟎 𝟎
𝟑 𝟓 𝟏
𝟑 𝟏 𝟒
𝟏 :𝟏 𝟏 𝑭𝟐 − 𝟑𝑭𝟏 = |𝟎 𝟔 :𝟐 | 𝑭𝟑 + 𝑭𝟏 𝟓 : −𝟏 𝟎
𝟑 𝟏 : 𝟏 −𝟒 𝟑 : −𝟏| 𝟓⁄𝟒 𝟒 𝟔 : 𝟎
𝟏 𝟏 : 𝟏 −𝟑⁄ : 𝟏⁄ | 𝑭𝟑 − 𝟒𝑭𝟐 =|𝟎 𝟒 𝟒 :𝟎 𝟔 𝟎
𝟑 𝟏 : 𝟏 −𝟑 𝟏 ⁄𝟒 : 𝟏⁄𝟒 | : −𝟏 𝟎 𝟗
𝑿 𝒀 𝟏 𝑭𝟑⁄ = |𝟎 𝟗 𝟎
𝟑 𝟏 𝟎
𝒁 : 𝟏 𝟏 : 𝟏⁄ −𝟑⁄ 𝟒 | 𝟒 −𝟏 : ⁄𝟗 𝟗
𝒁 = −𝟏⁄𝟗 𝑌 = −3⁄4 (−1⁄9) = 1⁄4 1
𝑌 =4− 𝟏
𝒀=𝟔
1
1
1
𝑋 = 3 (6) − 9 = 1 7
𝑋 = 1 − 18
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SI PERTENECEN AL PLANO
𝑿=
𝟏𝟏 𝟖
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5. Considere el plano que tiene vector normal 𝑛̅ = [3, −2, 5] y contiene el punto 𝑃0 = (1, 2, −3). a. Escriba la ecuación escalar del plano b. Determine si el vector 𝑎̅ = [4, 1, −2] es paralelo al plano c. Determine si el vector 𝑏̅ = [15, −10, 25] es normal al plano Solución 𝑛̅ = [3, −2, 5] 𝑃0 = (1, 2, −3).
𝑛
𝑡
𝑡° (𝑥, 𝑦, 𝑧) ⃗⃗⃗⃗ =𝑡(𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝑝(1,2, −3) 𝑝𝑡 ⃗⃗⃗⃗ =𝑡〈𝑥 − 1, 𝑦 − 2, 𝑧 + 3〉. 𝑛 𝑝𝑡 〈𝑥 − 1, 𝑦 − 2, 𝑧 + 3〉. 〈3, −2,5〉 = 0 3(𝑥 − 1) − 2(𝑦 − 2) + 5(𝑧 + 3) = 0 3𝑥 − 3 − 2𝑦 + 4 + 5𝑧 + 15 = 0 3𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = −15 − 4 + 3 𝑎). 3𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = −16
b) 𝑝0 (1,2, −3) ⃗⃗⃗⃗ =(4,1, −2) 𝑎
16
(1,2, −3) => (4,1, −2) = 1 = 4𝜆 =
1 4
2=𝜆=2 −3 = −2𝜆 =
−3 −2
NO ES PARALELO
17 Conclusiones
Del siguiente trabajo puedo concluir el uso de métodos como el Gauss y Cramer para realizar la solución de ejercicios con matrices. El uso del programa geogebra para comprobación de resultados de los ejercicios Realizar ecuaciones en el plano donde se grafican en el plano. Se entiende las formas algebraicas para solucionar ecuaciones con tres incógnitas en un sistema de matrices.
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Bibliografía
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solución de un sistema de 3×3 por gauss-Jordán (Parte 2) Subido el 17 may. 2010 julioprofehttps://www.youtube.com/watch?v=pUabaQqbrug solución de un sistema de 3×3 por gauss-Jordán (Parte 1) Subido el 17 may. 2010 julioprofehttps://www.youtube.com/watch?v=91xUg1L7O7s Sistema de 3x3 resuelto por Regla de Cramer Publicado el 6 may. 2012 julioprofenet https://www.youtube.com/watch?v=lLPcHVAqY80
