UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS ESCUELA DE MATEMATICA Y ESTADISTICA
CATEDRATICO
LIC. MARIO CRESPIN
ASIGNATURA:
MATEMATICA 3
GRUPO TEORICO: 15 TAREA: CRECIMIENTO POBLACIONAL
TRABAJO PRESENTADO POR:
CARNET:
NELSON ANTONIO CAMPOS NAVIDAD
CN09010
CIUDAD UNIVERSITARIA, 6 DE MAYO DEL 2011
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INDICE
Contenido INTRODUCCION............................................................................................................................ 3 OBJETIVOS .................................................................................................................................... 4 OBJETIVOS GENERAL: ................................................................................................................. 4 OBJETIBO ESPECÍFICO ................................................................................................................ 4 MARCO DE REFERENCIA.............................................................................................................. 5
Funciones exponencial ............................................................................................................... 5 La teoría maltheusiana ................................................................................................................... 6 Aumento en la población Humana. Humana. ............................................................................................. 6 Planteamiento del problema ...................................................................................................... 7 Maltusianismo............................................................................................................................ 7 Modelo 1: Crecimient o Exponencial ............................................................................................. 7 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL .................................................................................................... 9 Modelo 2: Crecimient o Logístico ................................................................................................ 13
Crecimiento logístico ................................................................................................................ 13 LA FUNCIÓN LOGÍSTICA ............................................................................................................ 14
Conclusión .................................................................................................................................. 21 BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................. 22
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INTRODUCCION
En el presente documento se pretende estudiar y profundizar el análisis aplicativo acerca de los modelos de crecimiento poblacional mostrando y dando a conocer la historia en la teoría malthesiana hasta y su desarrollo hasta poder convertirse modelos tanto logístico como exponencial con el único objetivo de poder conocer las diferencias de cada uno de ellos. Y poder representar los tipos de crecimiento poblacional más potenciales en los cuales son representados en la realidad y proporcionar la información necesarias que faciliten las comparaciones distintas de la realidad.
Se presenta cada una de los tema un ejemplo practico acera de como poder medir matemáticamente el crecimiento logístico como poblacional y mostrando cada una de ellas sus graficas. Con ello llevar al lado que es crecimiento poblacional y como antes fue importante y que hasta ahora es de mucho valor.
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OBJETIVOS OBJETIVOS GENERAL: Conocer los modelos de crecimiento que simulan un crecimiento poblacional y como se desarrolla la población.
OBJETIBO ESPECÍFICO: Identificar cada uno de los modelos de crecimiento como exponencial y logístico y su papel especial en las matemáticas y aplicadas y su diferente notación para un mejor razonamiento algebraico
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RCO DE REFERENCI A
MA
Funciones exponencial
Una función exponencial es una función de la forma f(x)= a^(x), donde a es una constante positiva en una función exponencial la variable independiente x es el exponente de una constante positiva a conocida como la base de la función por consiguiente una función exponencial es fundamentalmente diferente de la función potencia f(x) = x^(n) donde la base es la variable y el exponente es la constante. Las funciones exponenciales desempeñan un papel especial en las matemáticas aplicadas. Se utilizan en demografía para pronosticar el tamaño dela población; en finanzas para calcular en valor de las inversiones; en arqueología para conocer la edad de objetos antiguos; en psicología, para estudiar fenómenos de aprendizaje en salud publica par analizar la propagación de una epidemia y en la industria, para estimar la confiabilidad de los productos. Al trabajar con funciones exponenciales se requiere el empleo de la notación exponencial y las leyes algebraicas de exponentes. Para referencia a continuación se resume los siguientes casos. Un repaso mas completo, incluidos ejemplos resueltos y problemas prácticos; se presenta en la sección repaso de algebra, al final del libro.
Definición de a ^n para los valores racionales de n (y a > 0
Pot encia ent eros: Si n es un ent ero positivo a^ n = a . a. . .a Pot encia f raccionarias: Si n es un ent ero positivo a^(n/m) = (ma)^n = ma^n
Un método para obtener con rapidez un trazo aproximado de una función exponencial consiste en buscar su intersección con el eje y y determinar su comportamiento a medida que x crece sin limite y también cuando x decrece sin limite.
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a teoría maltheusiana
L
Se lo conoció como Ensayo sobre el principio de la población. Fue publicado en 1803 y escrito por el economista y clérigo protestante inglés Thomas Malthus. Según él, el mundo tendría un desenfrenado crecimiento en su población, que generaría conflictos, hambre y enfermedades. La teoría malthusiana sostenía que mientras el crecimiento de la población en el mundo se daba en forma geométrica, la producción de alimentos aumentaba en progresión aritmética. Ante esto, Malthus proponía como solución aplicar un control de la natalidad y confiaba en que los factores de regulación natural (guerras y epidemias) retardarían la llegada de una crisis total de alimentación. Pese a los avances que hubo en la medicina, que prolongaron la expectativa de vida, la teoría malthusiana quedó superada por los hechos. Hoy la producción de alimentos, ayudada por la tecnología, crece mucho más rápido que la población. La población humana. Teoría Malthusiana. En 1798, el economista inglés Thomas R. Malthus, tasando el futuro del hombre, concluyó que el tamaño de la población humana sobre nuestro planeta estaba restringido en parte por la limitación de alimento. Creía que las enfermedades y las guerras eran los medios que impedían el crecimiento de la raza humana. Aunque Malthus estaba en un principio en lo correcto al suponer que existían factores definitivos que obstaculizaban el aumento de la población humana, fue demasiado pesimista por los limitados conocimientos de que disponía, pensó que las penalidades económicas del hombre se harían más grandes a medida que la población aumentara.
Aumento en la población Humana. Los estudios de la población humana total del mundo, indican que estamos actualmente en la fase logarítmica de la curva de crecimiento, tal y como nos indica la población mundial. Esta última sería la que la población mundial actual es de más ocho mil millones de personas. El número de seres humanos que habitan la Tierra ha aumentado rápidamente. En 1650 había menos de quinientos millones de personas sobre la Tierra, representando el doble de la población humana en cerca de 1700 años desde el tiempo de Cristo, hasta la mitad del siglo XVII. En 1850 el número de seres humanos había llegado a mil millones, correspondiendo esto al doble de la población en dos Siglos. El rápido crecimiento de la sociedad entre 1850 y 1900, tuvo el equivalente al doble de la población de cada siglo. Entre 1900 y 1950 el aumento de la población humana siguió en ascenso doblemente en 75 años. Los últimos reportes indican que la población
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Mundial actual está aumentando en un 2 por ciento por año (más rápido que en cualquier otro período de la historia del hombre), ¡lo cual equivale a duplicar la población cada 35 años! Si este ritmo de crecimiento continúa, se predice que existirá una población mundial de diez mil millones para el año 2,020, 25,000 millones para el año 2070 y más de200 mil millones de personas dentro de dos siglos. El ritmo al cual crece la población es el reflejo de la diferencia entre el grado de nacimientos y el de muertes. El desarrollo de nuestra sociedad científica-tecnológicaindustrial ha comenzado a surgir con la iniciación de la revolución. Planteamiento del problema
En el capítulo I del Libro Primero sobre los obstáculos que se han puesto al aumento de la población señala Malthus que: Más en el hombre los efectos de éste obstáculo (límites naturales de espacio y alimento) son muy complicados; guiados por el mismo instinto, le detiene la voz de la razón que le inspira el temor de ver a sus hijos con necesidades que no podrá satisfacer. Si cede a este justo temor es muchas veces por virtud. Si por el contrario le arrastra su instinto, la población crece más que los medios de subsistencia. Maltusianismo
Artículo principal: Maltusianismo Se da el maltusianismo o maltusianismo a la teoría demográfica, económica y sociopolítica, desarrollada por Malthus durante la revolución industrial, según la cual el ritmo de crecimiento de la población responde a una progresión geométrica, mientras que el ritmo de aumento de los recursos para su supervivencia lo hace en progresión aritmética. Según esta hipótesis, de no intervenir obstáculos represivos (hambre, guerras, pestes, etc.), el nacimiento de nuevos seres provocaría el crecimiento de la población, aumentando la pauperización gradual de la especie humana e incluso podría provocar su extinción -lo que se ha denominado catástrofe malthusiana además de la bancarrota del Estado.
odelo 1: Crecimiento Exponencial
M
El primer modelo se muestra en la Figura 6.1. Él representa el crecimiento de la población en una uente de presión constante. La fuente de presión constante puede abastecer tanta energía como se necesita. Por ejemplo, piense en una población de conejos en crecimiento, con abastecimiento de alimento que no considera la rapidez con que ellos comen. Siga el flujo del diagrama para ver como la población de conejos aumenta, esta retroalimenta para traer mas energía (a través de más alimentación) para procrear mas
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conejos. Si el sistema comienza con un conejo macho y una hembra, y ellos producen cuatro conejitos que a su vez producen ocho; y así, en la misma tasa de aumento, la próxima generación producirá 16, la próxima 32, la próxima 64 y así sucesivamente. Como el número de conejos aumenta, ellos usan más de la fuente de energía y el número aumenta rápidamente.
Crecimiento exponencial de un sistema con fuente de energía que mantiene una presión constante.
Puede verse que existe una aceleración del crecimiento de la población de conejos a lo largo de la misma concentración de abastecimiento de alimento. La curva de una población bajo estas condiciones se denomina crecimiento exponencial. El crecimiento exponencial aumenta en un constante porcentual en función del tiempo. En la práctica, la fuente de energía a presión constante no puede ser mantenida indefinidamente, entonces el crecimiento exponencial infinito es imposible. De cualquier manera, durante las primeras etapas del crecimiento de la población, cuando la demanda de alimento es pequeña (comparada con la cantidad disponible) la energía puede estar disponible a presión constante y el crecimiento puede ser exponencial. Pero eventualmente, el alimento podría volverse limitante y la situación necesitaría ser representada por un modelo diferente.
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Materia L A
FUNCIÓN EXPONENCI AL
En primer lugar vamos a plantearnos un problema con un crecimiento exponencial y después veremos cómo se puede transformar en una situación de crecimiento l ogístico.
Se ha observado que el número de personas afectadas por una enfermedad contagiosa aumenta diariamente a un ritmo del 60%. Inicialmente se han detectado 10 personas enfermas. Realiza en el cuaderno de trabajo las siguientes actividades: 1.- Escribe la expresión analítica de la función que nos da el número de personas afectadas, N (t ), dependiendo del número de días transcurridos t . 2.- Queremos expresar la función anterior como una exponencial de base e, del tipo
Donde C es la cantidad inicial de enfermos. ¿Cómo puedes hacer esa transformación? Halla el valor de a. Las funciones que se relacionan con potencias de e desempeñan un papel importante en las matemáticas aplicadas. A continuación se presentan algunas situaciones prácticas de las ciencias sociales, administrativas y naturales que pueden describirse matemáticamente en términos de tales funciones. Si una cantidad Q (t) crece de acuerdo con una ley de la forma Q (t)=Q0e (KT), donde Q0 Y K son constantes positivas, se dice que experimenta un crecimiento exponencial. Por ejemplo, si el interés se capitaliza continuamente, el saldo bancario resultante B (t)=Pe (rt) crece exponencialmente. De igual manera, en ausencia de restricciones ambientales, la población crece en forma exponencial. Como se estudiara mas adelante en este libro, las cantidades que aumentan exponencialmente se caracteriza por el hecho de que su ritmo de crecimiento es proporcional a su tamaño y que su razón porcentual de cambio de constante. Crecimiento
exponencial
Q (t) crece exponencialmente entre si: Q (t) = Q0e (kt)
Donde k es una constant e positiva y Q0es el valor inicial Q (t = 0) Página 9
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Suponga que una población cuyo tamaño en el instante de t se denomina N (t), crece de acuerdo con
RESOLVER EL EJERCIO CUANDO N (0)=10
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Una persona deposita en capitalización una suma de $5000 al 4%de int erés. De cuant o será el capital final (principal mas int ereses) al cabo de diez años (a) si el int erés es pagadero anualment e, y (b) si el int erés es pagadero t rimest ralment e
A)
B)
Ejemplo: se examinara, con más cuidado el ef ect o del int erés compuest o cuando la cantidad crece en f orma continua a una taza de crecimient o constant e k:
Cuando la cantidad crece continuament e a una taza de k% ala año, la cantidad real al
final del año (t=1) es:
El lenguaje bancario, p(t)se int erpreta como la cantidad de dinero que hay de un f ondo en le tiempo t. la cantidad inicial p(0) se llama principal. Página 11
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El crecimient o exponencial se conoce como int erés compuest o o continuo. El int erés
ganado después de un año es . El rendimient o (taza de int erés ef ectivo) se define como el int erés real ganado durant e un año dividido ent re el principal:
RENDIMIENTO = = En est e análisis, el dinero tiene un int erés compuest o continuament e, de esta manera que se puede describir mediant e una ecuación dif erencial. Ejemplo: Rendimient o Suponga que un banco tiene una taza de int erés del 5% al año ¿cual será el rendimient o? SOLUCION: Usando (12) se tiene Rendimient o =
Esta corresponde a un rendimient o del 5.13% que a un banco puede of recer cuando su taza de int erés es 5% anual.(el mundo real puede ser mas complicado que est o . en el pasado, ene los días de calculo de int erés manuales, los bancos definían un año de solo 360dias. El consumidor en realidad se beneficiaba a recibir cinco días de int erés adicional al 5% prometido).
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odelo 2: Crecimiento Logístico
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Las poblaciones creciendo inicialmente rápido en una fuente de presión constante, se vuelven tan numerosas que pierden su capacidad de crecer debido a interacciones entre los miembros de la población, resultando entonces un estado de equilibrio. Este tipo de crecimiento se llama
Crecimiento logístico Crecimiento logístico es el balance entre producción en proporción a la población, y a las pérdidas en proporción a la oportunidad de interacciones individuales. El proceso de crecimiento puede ser entendido con el auxilio del diagrama de símbolos del modelo en la Figura 6.2. Un ejemplo es el crecimiento de levadura en el fermento del pan. Primeramente, el crecimiento de la población es casi exponencial. La disponibilidad de alimento es constante y como la población crece esto implica comer más y más.
Sin embargo, las células de levaduras se vuelven tan numerosas que sus productos comienzan a interferir con el propio crecimiento.
Resultando un estado de equilibrio entre producción y pérdida de células.
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Materia Crecimiento logístico: Crecimiento de un sistema con una fuente de energía a
presión constante y una auto-interacción en un drenaje de salida.
En la Figura 6.2 se observa que parte de la producción del modelo, es la misma que aquella de la Figura 6.1. El abastecimiento de energía es una fuente de presión constante, y la población está extrayendo energía y retroalimentando para extraer más. El crecimiento de la población es por esta razón, al principio, exponencial. No obstante, la Figura 6.2 muestra que la población, por interacciones consigo misma, crea un drenaje acelerado de energía, el cual irá eventualmente a extraer energía suficiente para detener el crecimiento de la población. En estas condiciones, el gráfico muestra el crecimiento exponencial que disminuye, y eventualmente se nivela a un estado de equilibrio. Este sistema tiene una fuente de presión constante y un drenaje de auto-interacción.
LA FUNCIÓN LOGÍSTICA Supongamos ahora que estamos estudiando la evolución de la enfermedad en u n instituto que tiene mil alumnos, por tanto el contagio sólo puede extenderse, como máximo a 1000 personas.
Según hemos dicho, inicialment e la f unción logística se comporta como una exponencial y el parámet ro a es el mismo en las dos f unciones, es decir, las ecuaciones de una población P (t) exponencial y logística son.
En nuestro caso sabemos, que si el crecimiento fuese ilimitado el número de infectados es
1.- En la función logística, ¿qué valores toma el parámetro a? ¿Y el parámetro L? Sustitúyelos en la ecuación. 2.- Teniendo en cuenta que en el instante inicial hay 10 enfermos y que ambas funciones coinciden, halla el valor del parámetro k . Ahora ya tienes la ecuación de la función logística. Partiendo de la función exponencial
para t =0
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,
.
Y en la función logística, cero.
por tanto,
, para valores próximos a
Curvas logísticas La grafica de una función de la forma Q (t) = B/ 1 + A ^ (-Bkt) donde B, A Y k son constantes positivas, es una curva sigmoidal o de forma de s. el termino curva logística también se utiliza para referirse a una grafica de este tipo. Para representar la función logística Q (t) = B/ 1 + A ^ (-B k t), obsérvese que la intersección con el eje vertical es.
B
=
1 + A ^ (0)
Q (t = 0) =
B
=
1 + A ^ (0)
B 1+ A
B 1+ A
Cuando t crece sin limit e, A ^ (-B k t) se aproxima a cero (ya que B y K son positivas). Por lo consiguiente, Lim Q (t)= limB =
t
1 + A ^ (0)
B 1+ 0
Cuando t decrece sin límite ^ (-B k t) crece sin limite (debido al signo menos en el exponente). Por tanto, el denominador 1 + A ^ (-B k t) crece sin limite.
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Lim Q (t) = t
Lim -
B t
-
1 + A ^ (-B k t)
La figura muestra una grafica de las propiedades. Q (t) B B 1+A t
Las curvas logísticas son modelos bastante preciosos de crecimiento de la población cuando los factores ambientales imponen una cota superior al tamaño posible de la población. También describen la propagación de epidemias y rumores en una comunidad. A continuación se presenta un ejemplo corriente.
Ejemplo: Suponga que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa a la escuela, donde hay 1000 est udiant es. Si se supone que la razón con que se propaga el
virus es proporcional no solo a la cantidad x de alumnos inf ectados, det ermine la cantidad de alumnos inf ectados seis días después, si se observa que a los cuat ro días x(4)=50
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Crecimient o logístico
Solución: suponiendo que nadie sale del campus durante la epidemia, debemos resolver el problema del valor inicial
Sustituimos a=1000K y b=ken la ecuación vemos de inmediato que
Usamos la condición x(4)= 50 y calculamos k con
Esto da como resultado 1000k=1/4in19/999=-0.9906. entonces L
a respuesta es : 276 alumnos
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Ejemplo: sean (t 0, P0), (t 1, P0) Y (t 2, P2) tres puntos de abscisas equidistantes, o sea, T2- T1 = T1-T0= >0. Supongamos además que P 0, P1 Y P2 son estrictamente positivos. Estúdiese entonces si existen o no las curvas logísticas. Curvas logísticas Con k>0y S0>0 que pasan simultáneamente por los tres puntos
Estúdiense la curvas logísticas Cuando S0 es negativo Como hemos visto, el modelo logístico Es de la forma Con a, b >0y con p(t 0)
hora la solución es decreciente, con limite a/b. se supone que la población verifica la ecuación anterior hasta llegar a un valor mínimo
A
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omento en el que comienza a ser descrita de nuevo por la ecuación M
así sucesivamente. L
a ecuación a) Pruébese que efectivamente a/b es el limite de las soluciones de la primera ecuación, y a/bel limite de la solucione segunda.
b)pruébese que cada pa
Ejemplo 3 Suponga que la taza de interés sobre un depósito de $1000 es 7% anual. Esto significa que k=0.07. Pero suponga que en lugar de dejar dinero a que crezca , se depositan $10 al día, adicionales. Determine la cantidad de dinero que habrá en la cuenta como una función del tiempo. Suponga que el interés es compuesto continuamente y que los depósitos son continuos.
Tasa de cambio Del dinero
= Tasa de incremento debida
+ tasa de incremento debida al deposito
al interés Dp/dt: es la tasa de de cambio de cantidad de dinero Kp= 0.07p: es la cantidad de interés anual a tasa de depósito constante es $10 por día. Esto equivalente a una tasa de depósito de 3650 L
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Conclusión
Los modelos simples del crecimiento como exponencial y logístico influyen mucho al modelo del crecimiento de Thomas Malthus. En el cual e mas representado a través de los eres humanos para una mejor precisión mucho mas fiable hacia el usuario que le permita conocer como poder valorar el hecho o acción ya sea en términos pasados o futuramente podrán suceder. Un ejemplo que se puede apreciar para poder entender mucho mejor el tema es que la función exponencial se puede mostrar cuando hay un porcentaje de natalidad excesivas durante cada año, y el crecimiento logístico cuando muchas veces los años de vida de una persona se va reduciendo cada vez mas gracias a muchos factores ambientales.
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BIBLIOGRAFIA
CALCULO, PARA LA ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CIENCIAS ECONOMICAS.
WWW. MODELOS DE CRCIMIENTO.COM WEBER ARYA
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