Tarea de Probabilidad y Simulaci´on on Mauricio Enrique Ruiz Font 16 de diciembre de 2010 NOTA : Cada ejercicio tiene su carpeta, dentro de esta se encuentran las hojas que se mencionan. Ejercicio 1. Para obtener muestras de dos variables X e Y (sendas Bernoullis de par´ametros ametros p1 y p2 con correlaci´on on ρ), vamos a utilizar una c´opula opula normal. Llamemos ρ˜ al par´ametro ametro de esta c´opula. opula. El objetivo del ejercicio es entender la relaci´on entre ρ y ρ˜ (es decir, d ecir, calcular qu´e valor de ρ˜ habr´ hab r´ıa ıa que qu e usa u sarr en la c´opula opula normal para obtener la correlaci´on final ρ entre las variables Bernoulli). Probablemente haya un cierto rango de correlaciones alcanzable con este procedimiento, y queremos determinarlo. 1. El primer ejercicio ej ercicio ser´ıa ıa hacer el an´ a n´alisis alisis por simulaci´on. on. Dados p1 y p2 , y para un ρ fijo, simulamos simulamos normales con esa correlaci´on on (conviene corregir las muestras para que la simulacion sea m´as precisa) y luego las transformamos a las respectivas Bernoullis, para medir finalmente la correlaci´on muestral. Luego vamos moviendo ˜ρ y obteniendo las correspondientes estimaciones para ρ. Una vezmontada esta hoja de c´alculo, la usamos para analizar las distintas posibilidades para p1 y p2 , distinguiendo, por ejemplo, los casos en que p1 = p2 ´o p1 = p2 (es probable que el caso p1 = p2 = 1/2 sea tambien especial)
Ejercicio o 1.xls 1.xls en la pesta˜ En la hoja Ejercici na Simulacion, esta montado los que se pide en este ejercicio, se simulan en las columnas A y B variables aleatorias con distribuci´ on N on N (0 (0,, 1) se aplico el procedimiento de antit´ an tit´eticas eticas para asegurar media m edia cero, aplicamos en las l as clumnas cl umnas C y D un producto por la matriz inversa del transpuesto de Cholesky de la matriz cov-corr para corregir la varianza. En las columnas E y F, aplicamos la correlacion dada y por ultimo mediante un diccionario en las columnas G y H generamos nuestras aleatorias. aleatorias.
Para hacer lo que se solicito se genero una tabla que fuera modificando la ρ dada, y vamos recogiendo la ρ˜. Las figuras 1 a 3 representan los valores de ρ y de ρ˜ para p1 = 0. 0 .5, p2 = 0. 0 .5, p1 = 0. 0 .1, p2 = 0. 0 .9 y p1 = 0. 0 .3, p2 = 0. 0 .3. Vemos que a priori parece que no hay una relacion directa, al menos no lineal entre ρ y ρ˜.
−√
√
Ejercicio 2. Dos variables, X e Y , toman, cada una de ellas, los valores 3, 0 y 3 con probabilidades probabilidades 1/6, 2/3 y 1/6, respectivamente. Comprueba que ambas tienen media 0 y varianza 1. Tenemos que :
E (X ) =
√ √ − 3 · 16 + 0 · 23 + 3 · 16 = 0
(1)
Como
E (X 2 ) = 3
· 16 + 0 · 23 + 3 · 16 = 1
Entonces
1
(2)
Figura 1: Simulaci´on con p1 = p2 = 0.5.
Figura 2: Simulaci´on con p1 = 0.1 y p2 = 0.9.
V ar(X ) = E (X 2 )
− (E (X ))2 = 1 − 0 = 1
(3)
Ahora queremos crear una estructura de dependencia, es decir, la tabla 3 3 que recoge las probabilidades conjuntas. Si X e Y fueran independientes, estas probabilidades conjuntas ser´ıan, simplemente, los productos de las correspondientes probabilidades por separado. Digamos que M es la tabla de esas probabilidades conjuntas (los productos).
×
Vamos a escribir la tabla M de probabilidades conjuntas de la siguiente manera: para un cierto valor > 0 como M = M + A, donde A es a b -1
b -2b b 2
-1 b a
Figura 3: Simulaci´on con p1 = 0.3 y p2 = 0.3. con a + b = 1. En las esquinas ya hemos puesto un -1 para simplificar, as´ı que, en realidad, s´olo hay un par´ametro (por ejemplo, el valor de a).
• Calcula la correlaci´on de X e Y en funci´on del par´ametro a; Esta es la tabla de probabilidades conjuntas M : 1 36 + a 1 9 + b 1 36
M + A =
−
1 9 4 9 1 9
+ b 2b + b
−
1 36 1 9 + b 1 36 + a
−
Primero calcularemos cov(X, Y ), para esto veamos que las marginales que se obtienen de la tabla M son iguales a las que ya se tenian, para calcular P (X = 3, Y ) = P X (X = 3) sumamos todos los elementos de la primera fila y obtenemos P X (X = 3) = 1/6 , y para los demas casos P X (X = 3) = 1/6, P X (X = 0) = 2/3 y P Y (Y = 3) = 1/6, P Y (Y = 3) = 1/6 ,P Y (Y = 0) = 2/3.
−√ √ − −√
√
−√
√
Veamos que la variable aleatorio Z = XY , tiene valor esperado: E (XY ) = 3 (
·
1 8 1 + 2a) + 0 ( + 2b) 2b + ( 3) ( 18 9 18
·
·
− ·
− 2) = 6(1 + a)
(4)
Aplicando la definci´ on de corelaci´ on obtenemos :
Corr(X, Y ) =
E (XY ) E (X )E (Y ) = 6(1 + a) V (X )V (Y )
−
(5)
• comprueba qu´e condiciones debe cumplir el par´ametro para que las probabilidades conjuntas
est´en (todas) entre 0 y 1; Nos centramos en las entradas que son diferentes de la matriz M y planteamos las siguientes desigualdades:
≤ 361 + a ≤ 1 ≤ 19 + b ≤ 1 ≤ 361 − ≤ 1 ≤ 49 − 2b ≤ 1
0 0 0 0
3
(6) (7) (8) (9)
Notemos que la inecuaci´ on (8) y que > 0 ya nos da unas cotas superior e inferior para : 1 0 < < 36 . Esta debe ser ajustada para que satisfaga las demas inecuaciones en funci´ on del valor de a. Procederemos a examinar cada una de las 3 inecuaciones restantes, e iremos refinando la informaci´ on que aporta cada desigualdad. Empecemos con la desigualdad (6), debemos analizar cada lado de la inecuaci´ on por separado y pensando en los casos a < 0 y a > 0 : 1. Inecuaci´ on (6) lado izquierdo, suponiendo a > 0
◦
0
≤ 361 + a ≥ − 361
(10) (11)
≤ 361 + a ≤ − 361
(12) (13)
a
◦ suponiendo a < 0 0
a
2. Inecuaci´ on (6) lado derecho suponiendo a > 0
◦
1 36
+ a 1 35 36 a
≤
≤
(14) (15)
◦ suponiendo a < 0 1 36
+ a 1 35 36 a
≥
≤
(16) (17)
Combinando estos resultados con las cotas que ya teniamos para tenemos que : 35 36a −1 36a
≤ 361 ≤ 361
a > 35 a< 1
−
(18) (19)
Ya con esta informaci´ on podemos hacer una primera refinaci´ on de las cotas encontradas en funci´ on de a: 0 < 0 < 0 <
≤ −1 361 ≤ 36 35 ≤ − 36
−1 − ≤ a ≤ 35 −1 3. Inecuaci´ on (7) lado derecho haciendo la sustitucion b = 1 − a ◦ suponiendo a < 1 1 9 + (1 − a) ≤ 1 8 ≤ 9(1− ) ◦ suponiendo a > 1 1 9 + (1 − a) ≤ 1 8 ≥ 9(1− ) a
a
4
Si a < Si 1 Si a <
a
(20) (21)
a
(22) (23)
4. Inecuaci´ on (7) lado izquierdo haciendo la sustitucion b = 1 suponiendo a < 1
◦
0
−a
≤ 19 + (1 − a) −1 ≥ 9(1− )
(24) (25)
≤ 19 + (1 − a) −1 ≤ 9(1− )
(26) (27)
a
◦ suponiendo a > 1 0
a
5. Inecuaci´ on (9) lado izquierdo haciendo la sustitucion b = 1 suponiendo a < 1
◦
0
−a
≤ 49 − 2(1 − a) 2 ≤ 9(1− )
(28) (29)
− 2(1 − a) ≤ 1 2 ≥ 9(1− )
(30) (31)
a
◦ suponiendo a > 1 4 9
a
6. Inecuaci´ on (9) lado derecho haciendo la sustitucion b = 1 suponiendo a < 1
◦
4 9
−a
− 2(1 − a) ≤ 1 −5 ≥ 18(1− )
(32) (33)
≤ 49 − 2(1 − a) ≤ 1 −5 ≤ 18(1− )
(34) (35)
a
◦ suponiendo a > 1 0
a
Poniendo toda esta informacion junta obtenemos que si a > 1 las siquientes desigualdades son ciertas:
(36)
−1 ≤ 9(1− ) −5 ≤ 18(1− ) a
(37)
a
Vemos que la (36) es mas restrictiva que la (37), lo mismo hacemos cuando vemos los casos con a < 1:
≤ 9(1−8 ) ≤ 9(1−2 )
a
(38)
a
(39)
Vemos que la (39) es mas restrictiva. Reunimoes esta informaci´ on con la que se obtuvo al principio cuando analisamos los casos separando en a > 0 y a < 0 : 0 < 0 < 0 <
≤ 36−1 ≤ 361 1 ≤ − 9(1− ) a
a
5
Si a < 1 Si 1 a Si a > 5
− − ≤ ≤5
• finalmente, halla el valor de a (y luego el que se deduce para b) de forma que al mover
•
en su
rango, se cubran todas las posibles correlaciones positivas (entre 0 Usando la formula para la correlacion en funci´ on de a, dado esta a vemos cual es el intervalo que le toca a nuestra para saber cuales son los posibles valores que puedes tomar. Se ha hecho una hoja que hace este calculo, Corr.xls . Se grafica la relaci´ on contra corr. Construye una matriz an´aloga para cuando queramos cubrir las correlaciones entre -100 % y 0 %. Recordemos que obtuvimos que corr(X, Y ) = 6(1+a), debemos buscar una matriz que nos permita obtener las mismas marginales . Proponemos la siguiente matriz:
M + A =
1 36 1 9 + b 1 36 + a
−
1 9 4 9 1 9
+ b 2b + b
−
1 36 + a 1 9 + b 1 36
−
Notamos que las marginales de esta matriz tienes la mismas funciones de distribucion que nuestras originales : 3, 0 y 3 con probabilidades probabilidades 1/6, 2/3 y 1/6. Por la misma causa las varianzas son igual que antes, y calculadon la covarianza:
−√
√
1 8 1 2) + 0 ( + 2b) 2b + ( 3) ( + 2a) = 18 9 18 Entonces concluimos que Corr(X, Y ) = 6(1 + a). Cov (X, Y ) = 3 (
·
−
·
·
− ·
−6(1 + a)
(40)
−
Ejercicio 3. El archivo superficie IBEX.xls contiene una serie de datos de volatilidades: en meses sucesivos, se registran las volatilidadades cotizadas para cinco vencimientos distintos y siete strikes ( le´ıdos como proporci´on frente al subyacente). Son 35 datos por mes. Obs´ ervese que cada 35 de estos datos forman la tabla (“superficie”) de volatilidades de ese mes. Se pide:
• calcular las componentes principales de esta serie de datos (uy, pero si es una tabla, no un vector, ¿qu´e hacemos?);
El archivo de este ejercicio es Ejercicio 3.xls . Primero colocalremos todos los elementos de nuestra superficie en un solo vector, acomodaremos primero los elementos que corresponden a periodo de 6 meses (6M) a diferentes spots de una misma fecha, luego los de un a˜ no (1Y) y asi sucesivamente con el resto de elementos de una misma superficie. Haciendo esto tenemos 45 filas de 35 elementos cada una. Cada una de estas filas son nuestros datos. En la pesta˜ na Datos Alineados se encuentra la matriz con nuestras superficies de volatilidad, abajo se encuentra el vector de medias µ por columna y abajo de este la matriz pero restando la media por columna, llamemos X a esta matriz. 1 Con esta matriz hacemos nuestra matriz de Covarianzas: Σ = N X T X , esta se encuentra en la pesta˜ na Covarianza Esta la obtuvimos usando las funciones MMultS, MMulT y tt MT. Esta matriz tiene dimension 35 35.
×
Una vez que tenemos la matriz de covarianzas, le aplicamos una descompocisi´ on en eigenvectores y eigenvectores, esto usando las instrucciones MEigenvecJacobi y MEigenvalJacobi respectivamente. Despu´ es debemos ordenar los eigenvalores de mayor a menor y formamos otra matriz diagonal con estos valores en orden, sea esta matriz Λ, y sobre la matriz de eigenvectores aplicamos el m´etodo MEigenSortJacobi para obtener una matriz con los eigenvectores ordenados como los eigenvalores, esta ser´ a S. Entonces ya obtenemos nuestra matriz de componentes principales ( U = ΛS). Estos calculos se encuentran en este orden en la pesta˜ na S A S.
√
Cada fila de U es un componente principal. 6
• interpretarlas;
Antes notemos que hay una gran correlaci´ on entre las supreficies de volatilidad que sirvieron de entrada, si checamos la variabilidad total que explica la primera com‘pnente princiapl tenemos : λ1 = 90.96 % λ1 + . . . + λ35
(41)
λ1 + λ2 = 99.14 % λ1 + . . . + λ35
(42)
Y para el segundo :
Estos calculos estan en la pesta˜ na Variabilidad. La siguiente es la primera componente principal, volvemos a colocarla como un mallado de 7, esto lo hacemos en la pesta˜ na S A S. Esta componente es la que representa los movimientos paralelos a nuestro escenario medio.
Figura 4: Primera componente principal. La segunda componente principal esta relacionada con las primera derivada, se grafica primero con la escala automatic´ a generada por Excel y despu´es con una escala apropiada para compararla con la primera componente. Vemos que hay un cambio de signo en esta superfiicie. La primera gr´ afica es una versi´ on cuyo eje trata vertical trata de tener la misma escala que con el primer componente para darnos una idea de su ubicaci´ on. La segunda esta con una escala autom´ atica y de lado para darnos una idea del punto donde se hace el cambio de signo en la derivada. La tercera componente principal tiene dos cambios de signo y nos dice algo sobre las desviaciones en curvatura:
•
En la figura 7 vemos el siguiente componente principal, este ya casi es plano. y, usando u ´ nicamente la primera componente, sortear posibles tablas de volatilidades. Generamos nuevas superficies de volatiliadd generendo un vector F = (F 1 , . . . , F35 ) donde cada F i es generado metiendo un valor aleatorio uniforme en la funci´ on inversa de la distribucion normal estandar, hacemos un producto punto con este vector y la primera componente principal , le sumamos el vector de medias y ya tenemos una superficie generada. En la pesta˜ na Superficies Simuladas se encuentran cuatro superficies simuladas, pongo en la figura 8 dos de ellas. 7
Figura 5: Segundo componente principal.
Figura 6: Tercera componente principal. Ejercicio 4. Nuestra cartera consta de 20 nombres. Las probabilidades de default de cada uno de ellos son p1, . . . , p20 . Los defaults se producen independientemente. Sea X la variable que registra el n´umero de defaults que se producen. Supongamos adem´as que las probabilidades pj son peque˜ nas. Digamos que son (v´ease el archivo adjunto probs de default de los 20 nombres.xls): 0.040% 0.456% 0.100% 0.010%
0.125% 0.900% 0.070% 0.300%
0.040% 0.300% 0.100% 0.120%
0.870% 0.040% 0.033% 0.500%
0.100% 0.700% 0.330% 0.780%
20
Observa que E (X ) = j =1 pj = 5.914%. Dise˜ na un procedimiento de simulaci´on (con muestreo por importancia/cambio de probabilidad) para obtener el valor de E (X ) con cierta precisi´on (sin necesidad de hacer un n´umero enorme de simulaciones, claro). Lo que haremos para calcular E (X ) ser´ a cambiar probabilidad de cada X i , lo que haremos sera cambiar las probabilidades de fallo 95 % en todas las probabilidades y haremos la simulaci´ on correspondiente cambiando las salidas de manera adecuada. En el archivo Ejercicio 4.xls en la pesta˜ na Originales se encuentra una tabla de 200 renglnes y 8
Figura 7: Cuarta componente principal.
Figura 8: Superficies simuladas. 20 columnas, se simula un volado con la probabilidad original , 1 en caso de default y 0 en caso contrario. Esto es cada columna representa la simulaci´ on de una de las variables X i . Despu´es hacemos el promedio por columna y sumamos para obtener el valor de E (X ). En la pesta˜ na Cambio de Pesos hacemos una tabla igual pero en otra de la misma dimension hacemos la correcion de peso, dividiendo la salida por el cociente pi /95 %. De esta matriz con salidas corregidas sacamos el promedio por columna y los sumamos. Para poder hacer un mejor comparaci´ on har´e lo siguiente: haremos una tabla de 200 corridas de estos procedimientos para cada una de las pesta˜ nas y sacaremos la media y la varianza de las diferencias de estas 200 corridas con el resultado teoric´ o 5.914%. A las 200 diferencias les sacaremos la media y la varianza. Obetenemos los siguientes resultados: Pesos Originales
µ σ
0.000278228 1.2583 10−7
×
Pesos cambiados
9.7374 2.08987
× 10−8 × 10−14
Con esto podemos concluir que con el mismo n´ umero de simulaciones, estamos obteniendo en promedio un resultado mucho mas exacto y no solo eso, si no que ademas la variacion de este resultado es mucho 9
menor. De manera mas formal lo que hicimos en este ejercicio fue cambiar de medidas, partimos de las probabilidades dP y las cambiamos por las probabilidades dQ, haciendo la correci´ on necesaria: 20 20 E (X ) = Σ20 i=1 E P (X i ) = Σi=1 E P (X i ) = Σi=1 E Q (X i i
10
i
dPi ) dQi
(43)
