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Au to r de l a ob r a Carlos Maroto Belmonte
© Carlos Maroto Belmonte, 2013
[email protected] http://campusdematematicas.com
¿Cómo se estructura el Taller? El taller contiene 4 módulos y cada módulo se estructura en las siguientes partes:
• Formulario • Ejercicios modelo resueltos • Ejercicios para practicar
Formulario Para revisar los conceptos y fórmulas fundamentales del módulo antes de empezar a trabajar.
Ejercicios modelo resueltos Ejercicios resueltos que sirven de ejemplo de aplicación de los conceptos y fórmulas resumidas en el formulario.
Ejercicios para practicar Ejercicios propuestos para resolver por el alumno y practicar los conceptos y fórmulas del módulo.
Soluciones y Anexos Al final del taller el alumno puede corregir los ejercicios realizados con la lista de soluciones. También dispone de una sección en la que se detallan todos los procesos de resolución de los ejercicios para practicar. En un anexo final se adjuntan en una tabla todos los formularios de los módulos del taller.
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2
Indice Potencias, sumas de funciones y producto de una constante por una función ........... 4 Formulario................................................................................................................4 Ejercicios modelo resueltos .....................................................................................4 Ejercicios para practicar ..........................................................................................5 Producto y cociente de funciones. Derivación del resto de funciones.........................6 Formulario................................................................................................................6 Ejercicios modelo resueltos .....................................................................................6 Ejercicios para practicar ..........................................................................................7 Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena .............................................8 Formulario................................................................................................................8 Ejercicios modelo resueltos .....................................................................................8 Ejercicios para practicar ..........................................................................................9 Exponenciales y logaritmos especiales, y derivación implícita..................................11 Formulario..............................................................................................................11 Ejercicios modelo resueltos ...................................................................................11 Ejercicios para practicar ........................................................................................12 Soluciones.................................................................................................................13 Resoluciones.............................................................................................................16 Potencias, sumas de funciones y producto de una constante por una función......16 Producto y cociente de funciones. Derivación del resto de funciones ...................17 Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena........................................20 Exponenciales y logaritmos especiales, y derivación implícita ..............................25 Anexo: Tabla de derivadas........................................................................................ 28
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3
Potencias, sumas de funcion es y product o de una constante por una función
Potencias, sumas de funciones y producto de una const ante por una funci ón Formulario
• • • • •
y = k (constante)
ï
y ′ = 0
y = x
ï
y ′ = 1
y = x n
ï
y ′ = nx n −
y = f ( x) ± g ( x)
ï
y ′ = f ′( x) ± g ′( x)
y = k ⋅ f ( x)
ï
y ′ = k ⋅ f ′( x)
1
Ejercicio s modelo r esueltos Cálculo de derivadas. 1 a) y = x 4 − x 2 + 3 x − 2 5
Resolución 1 2 3 3 y ′ = 4 x − 2 x + 3 = 4 x − x + 3 5 5 b) y = 4 x 5 −
1 3 x 2
Resolución 1 − 1 2 1 2 − y = 4 x 5 − x 2 ⇒ y ′ = 4 ⋅ 5 x 4 − ⋅ ( −2) x 3 = 20 x 4 + ⋅ 3 = 20 x 4 + 3 3 3 3 x 3 x c) y = 5 x + 3
x
2
+
2
3 x
Resolución 3
1
y = 5 x + x + 3 x 2 2
d) y =
2
−1
3
1
1
⇒ y ′ = 5 ⋅ x 2 + 2
2
⋅ 2 x + 3 ⋅ (−1) x − 2 =
15 2
x + x −
3 x 2
5 x 2 7 x 5
Resolución y =
5 x 2
=
7 ⋅ x 5
⇒ y ′ =
−5 2 7
5 x 2
⋅
5
7 ⋅ x 2 1 −5 3
x 2
=
2 7
=
5 7
⋅
x
1 x 3
2−
=
5 2
=
5 7
−1
x
2
⇒ y ′ =
5 7
⋅
( −1) 2
−3
x
2
⇒
−5 2 7 x 3
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4
Potencias, sumas de funcion es y product o de una constante por una función
Ejercicio s para practicar Calcular las siguientes derivadas. 1) y = 7 x 3 + 2
17) y =
2) y = −8 x 4 − 5 x 3 3) y = 9 − 6 x 5 4) y = 8
18) y =
8 x
− 7 x 6 + x − 7
2
3 2 x
5
− 5x3 + 3
5) y = 10 x10 − x
19) y = 5 x 3
6) y = −6 x 2 + 1
20) y = 5 x 3
7) y = 5 x 3 − x 2 + 6
21) y = 2 x + 5
8) y = x 5 + x 3 − 2 x 9) y = −3 x 4 + 5 x 2 + 13x + 7
22) y =
10) y = −2 x 9 − 7 x 6 − x 3 + 5 11) y = x 7 + 7 x 4 − 5 x 3 + x + 8 12) y = 4 x + 6 x − x + 2 x − 13 1 3 13) y = x 3 − x 2 + x − 5 3 2 2 ⎛ 5 ⎞ 14) y = ⋅ ⎜ x 5 − x 3 + 5 x − 5 ⎟ 5 ⎝ 2 ⎠ 6 15) y = 3 x 1 16) y = 4 x 5 − 2 3 x 5
3
23) y =
2
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24) y = 25) y = 26) y =
−9 2 x 4
4
x
3
2
+ 2 x 2 − x
− 5 x 7 + x − 6
1 x
5
x x 5 3 x
6 x 3 2 x 3 x
2
−
2 x
+ 5 x 3 − x + 5
5
Producto y cociente de funciones. Derivación del resto de funci ones
Producto y cociente de funciones. Derivación del resto de funciones Formulario ï
y ′ = f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x)
ï
y ′ =
y = a
ï
y ′ = a ⋅ ln a
Si a = e y = e x
ï
y ′ = e
•
y = log a x
ï
y ′ =
•
Si a = e y = ln x
ï
y ′ =
• •
y = sin x
ï
x y ′ = cos x
y = cos x
ï
y ′ = − sin x
•
y = tan x
ï
y ′ = 1 + tan 2 x =
•
y = cot x
ï
y ′ = − 1 + cot x =
•
y = arcsin x
ï
y ′ =
•
y = arccos x
ï
y ′ =
•
y = arctan x
ï
y ′ =
ï
y ′ =
•
y = f ( x) ⋅ g ( x)
•
y =
• •
f ( x) g ( x) x
• y = arccot x
f ′( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g ′( x)
(g ( x) )2 x
x
1
⋅
1
x ln a 1
(
2
1 cos 2 x −1
)
sin 2 x
1 1 − x 2 −1 1 − x 2 1 1 + x 2 −1 1 + x 2
Ejercicio s modelo r esueltos Cálculo de derivadas. a) y = 4 sin x − 3 ⋅ 2 x Resolución x y ′ = 4 cos x − 3 ⋅ 2 ⋅ ln 2 b) y = x 3 − x ⋅ e x Resolución x x x y ′ = 3 x 2 − (1 ⋅ e + x ⋅ e ) = 3 x 2 − (1 + x ) ⋅ e
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6
Producto y cociente de funciones. Derivación del resto de funci ones
c) y = x 2 ln x Resolución y ′ = 2 x ln x + x 2 ⋅
d) y =
1 x
= 2 x ln x + x
x 2 + 1 x 3 − 1
Resolución 2 x ⋅ ( x 3 − 1) − ( x 2 + 1)⋅ 3 x 2 y ′ =
( x
3
− 1)
2
=
2 x 4 − 2 x − 3 x 4 − 3 x 2
( x
3
− 1)
2
=
− x 4 − 3 x 2 − 2 x
( x
3
− 1)
2
Ejercicio s para practicar Calcular las siguientes derivadas. 27) y = x 3 e x
43) y = 5 x cos x + log 3 x
28) y = ( x 2 + 2 ) ⋅ ln x
44) y =
29) y = 3 x ⋅ sin x 30) y = log x ⋅ tan x
⎛ 1
⎞ 31) y = ⎜ x + x − 1⎟ ⋅ cos x ⎝ 3 ⎠ 32) y = arctan x ⋅ (x 2 + 1) 33) y = 5 tan x + log 2 x 34) y =
3
2
2
+ ln x − 5 x 2 35) y = x 3 ln x − x 2 cos x x
36) y = log 5 + 3 x ⋅ cos x 4 x + 3 37) y = 2 x + 1 x 4 − 3 x 3 38) y = x − 2 ln x 39) y = 2 x x 40) y = 2 x − 3 41) y = 5 arccos x + 2 x 42) y =
45) y =
2 x 2 − 1 x − 3 1 x + x + 1 2
46) y = ( x 3 − 1) ⋅ x 47) y = 3 x 5 − 2 x ⋅ arcsin x 48) y = e x cot x + ln x 49) y = ( x 5 + 2 x − 1) ⋅ sin x x − 3 sin x 50) y = 2 x + 2 sin x 6 x 3 − 5 x 51) y = x cos x x − tan x 52) y = x + tan x 53) y = cos x ⋅ ln x x cos x 54) y = tan x 2 x − 5 x 55) y = log 2 x 56) y = x 2 ln x sin x
x xe + ln x
x
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7
Derivada de la funci ón c ompuest a. Regla de la cadena
Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena y = ( f g )( x ) = f ( g ( x ) )
y ′ = f ′( g ( x) ) ⋅ g ′( x)
ï
o
Formulario Las anteriores reglas de derivación aplicadas a la función compuesta quedan así: n −1
• • •
Si a = e y = e f ( x )
ï
⋅ f ′( x) f ( x ) ⋅ ln a ⋅ f ′( x) y ′ = a f ( x ) ⋅ f ′( x) y ′ = e
•
y = log a f ( x)
ï
y ′ =
•
Si a = e y = ln f ( x)
ï
• •
y = sin f ( x)
ï
y ′ = cos f ( x) ⋅ f ′( x)
y = cos f ( x)
ï
y ′ = − sin f ( x) ⋅ f ′( x)
•
y = tan f ( x)
ï
2 y ′ = 1 + tan f ( x) ⋅ f ′( x) =
•
y = cot f ( x)
ï
y ′ = − 1 + cot 2 f ( x) ⋅ f ′( x) =
•
y = arcsin f ( x)
ï
y ′ =
y = arccos f ( x)
ï
y ′ =
y = arctan f ( x)
ï
y ′ =
ï
y ′ =
• •
y = ( f ( x) )
ï
y = a
ï
n
f ( x )
• y = arccot f ( x)
y ′ = n( f ( x) )
1
⋅
1
⋅ f ′( x)
f ( x) ln a 1 ⋅ f ′( x) y ′ = f ( x)
(
)
(
)
1 1 − ( f ( x ) )
2
−1 1 − ( f ( x ) )
2
1
f ′( x)
cos 2 f ( x)
− f ′( x) sin 2 f ( x)
⋅ f ′( x) ⋅ f ′( x)
⋅ f ′( x)
1 + ( f ( x) )
2
−1
⋅ f ′( x)
1 + ( f ( x) )
2
Ejercicio s modelo r esueltos Cálculo de derivadas. a) y = (3 x 2 + 5 x − 2 )
5
Resolución
(
)
4
(
)
4
y ′ = 5 3 x + 5 x − 2 ⋅ (3 ⋅ 2 x + 5 − 0) = 5 3 x + 5 x − 2 ⋅ (6 x + 5) 2
2
b) y = sin 4 x Resolución 4 3 4 3 y = sin x = (sin x ) ⇒ y ′ = 4(sin x ) ⋅ cos x = 4 sin x cos x
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8
Derivada de la funci ón c ompuest a. Regla de la cadena
c) y = ln 3 ( x 5 − x 2 + 2 ) Resolución
(
) ( ( ⇒ y ′ = 3(ln ( x − x + 2)) ⋅
y = ln 3 x 5 − x 2 + 2 = ln x 5 − x 2 + 2 5
d) y =
2
))
3
1
2
⋅ (5 x − 2 x ) = 3 ln ( x − x + 2 )⋅ 4
x − x + 2 5
⇒
2
2
5
5 x 4 − 2 x
2
x − x + 2 5
2
x − x e +e
2
Resolución x − x x − x 1 x 1 x e +e e −e − x − x = ⋅ (e + e ) ⇒ y ′ = ⋅ (e + e ⋅ (−1) ) = y = 2 2 2 2 Ejercicio s para practicar Calcular las siguientes derivadas. 57) y = (x 3 + 4 )
7
76) y = ln
58) y = tan x 2 − 3 59) y = sin (log x ) 60) y = cos 3 x 2 − x − 2 61) y = 2 5 x
3
+ 2 x −1
63) y = ln x 3 + x 2 + 2 64) y = arcsin x
2
⎛ x 2 + 1 ⎞ cos x 65) y = ln⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⋅ e ⎝ x ⎠ e −e x
66) y =
− x
e x + e − x ⎛ x + 2 ⎞ 67) y = arctan⎜ ⎟ ⎝ 1 − 2 x ⎠
68) y = cos x 2 ⋅ ln x 2 1
69) y = 5 x 70) y = 71) y =
1 − sin (2 x ) 1 + sin (2 x )
1 − ln x 1 + ln x e x − e − x
79) y = ln
e x + e − x ⎛ 1 ⎞ 80) y = x arctan⎜ ⎟ ⎝ x ⎠
81) y = ln x + ln x 2 + 1 82) y = ln
1 + x 1 − x
⎛ 1 + x 2 + x ⎞ ⎟ 83) y = ln⎜ ⎜ 1 + x 2 − x ⎟ ⎝ ⎠ 3 x ⋅ x 3 84) y = 3 x
( )
cos x 2 2
85) y =
cos x
( )
tan x
1 + cos x
77) y = arctan 78) y =
62) y = arctan e x
1 − cos x
4
72) y = sin (2 x 3 + x )
2
73) y = sin 2 (2 x 3 + x ) 74) y = arctan ln x 75) y = cos( x 2 e x )
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86) y =
x 3 x 2 − 4 x cos(2 x )
tan (3 x )
87) y = 2 cos(5 x ) x − 1 2
88) y =
2 x + 5
9
Derivada de la funci ón c ompuest a. Regla de la cadena
x
89) y = e
cos x
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90) y = ln
1 + 1 + x 4 1 + x 4 − 1
10
Exponenciales y l ogaritmos especiales, y derivación implícita
Exponenciales implícita
y
logaritmos
especiales,
y
derivación
Formulario
•
Exponencial: y = f ( x)
g ( x)
ï
y ′ = f ( x) g
⎛ f ′( x ) ⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ g ′( x) ⋅ ln f ( x) + g ( x) ⋅ f x ( ) ⎝ ⎠
(x)
Demostración
y = f ( x) g ( x ) ⇒ ln y = ln f ( x ) g ( x ) = g ( x ) ⋅ ln f ( x ) ⇒
y
′ ⋅ y ′ = ( g ( x) ⋅ ln f ( x) ) ⇒
⎛ f ′( x ) ⎞ ⎟⎟ ⇒ ⇒ y ′ = y ⋅ ⎜⎜ g ′( x) ⋅ ln f ( x) + g ( x) ⋅ y f ( x) f x ( ) ⎝ ⎠ ⎛ f ′( x ) ⎞ ⎟⎟ ⇒ y ′ = f ( x) g ( x ) ⋅ ⎜⎜ g ′( x) ⋅ ln f ( x) + g ( x) ⋅ f x ( ) ⎝ ⎠ f ′( x) g ′( x ) ⋅ ln g ( x) − ⋅ ln f ( x) f ( x) g ( x ) y ′ = ï • Logaritmos: y = log g ( x ) f ( x) 2 ⇒
y ′
1
= g ′( x) ⋅ ln f ( x) + g ( x) ⋅
f ′( x )
ln g ( x )
Demostración
y = log g ( x ) f ( x ) ⇒ g ( x ) y = f ( x) ⇒ ln g ( x ) y = ln f ( x ) ⇒ y ln g ( x) = ln f ( x) ⇒
1
⇒ y =
ln f ( x) ln g ( x ) f ′( x )
⇒ y ′ = •
f ( x)
⇒ y ′ =
f ( x)
⋅ ln g ( x) −
⋅ f ′( x) ln g ( x) − ln f ( x) ⋅
(ln g ( x) )2 g ′( x) g ( x )
1 g ( x)
⋅ g ′( x) ⇒
⋅ ln f ( x)
ln 2 g ( x )
Derivación implícita: f ( x, y )
′ = 0 ⇒ ( f ( x, y ) ) = 0 ⇒ F ( x, y, y ′) = 0 ⇒ y ′ = F ( x, y )
Ejercicio s modelo r esueltos Cálculo de derivadas. a) y = x x Resolución ln y = ln x x = x ⋅ ln x ⇒
1 y
⋅ y ′ = 1 ⋅ ln x + x ⋅
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1 x
⇒ y ′ = y ⋅ (ln x + 1) ⇒ y ′ = x x ⋅ (ln x + 1)
11
Exponenciales y l ogaritmos especiales, y derivación implícita
b) y = log x (ln x ) Resolución x y = ln x ⇒ ln x y = ln (ln x ) ⇒ y ln x = ln (ln x ) ⇒ y =
1
1
⋅ ⋅ ln x − ln(ln x ) ⋅
⇒ y ′ = ln x x
(ln x )2
1
1
x = x
⋅ (1 − ln(ln x )) ln 2 x
=
ln(ln x ) ln x
⇒
1 − ln(ln x ) x ln 2 x
c) x 4 y 2 − 7 x 2 y + 4 = 0 Resolución 4 x 3 y 2 + x 4 2 y y ′ − (14 xy + 7 x 2 y ′) = 0 ⇒ 4 x 3 y 2 + x 4 2 y y ′ − 14 xy − 7 x 2 y ′ = 0 ⇒
⇒ ( x 2 y − 7 x ) y ′ = 14 xy − 4 x y ⇒ y ′ = 4
2
3
2
14 xy − 4 x 3 y 2 2 x 4 y − 7 x 2
Ejercicio s para practicar Calcular las siguientes derivadas. 91) y = x 5 sin x
99) 2 x y − 3 x 2 − 7 xy − 1 = 0
92) y = x cos x
100) 2 x ⋅ y 2 − 2 y ⋅ x 2 = xy
93) y = (ln x )
e
(
101) x 2 + y 2 + 3 x − 5 y + 2 = 0
x
1
)
94) y = 1 − x ln (1+ x ) 95) y = log ln x ( x ) 96) y = log x 2
x −1 2
97) y = log sin x 1 + x 2
⎛ x + y ⎞ ⎟=2 2 3 ⎟ x y − ⎝ ⎠
102) ln⎜⎜
103) sin ( x + y ) + e y = y 104) x 2 + 2 xy + y 2 + y − x = 0 105) xy 2 − x 3 + y − 1 = 0
98) y = log arctan x (x 2 )
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12
Soluciones
Soluciones 1) y ′ = 21 x 2 2) y ′ = −32 x 3 − 15 x 2 3) y ′ = −30 x 4 4) y ′ = 0
8) y ′ = 5 x 4 + 3x 2 − 2 9) y ′ = −12 x + 10 x + 13 3
10) y ′ = −18 x 8 − 42 x 5 − 3 x 2 11) y ′ = 7 x 6 + 28 x 3 − 15 x 2 + 1 12) y ′ = 20 x 4 + 18 x 2 − 2 x + 2 13) y ′ = x 2 − 3x + 1 14) y ′ = 2 x 4 − 3x 2 + 2 − 18 15) y ′ = 4 x
17) y ′ = 18) y ′ = 19) y ′ = 20) y ′ =
− 16 3
x − 15
2 x 15
6
2 3 x 3
− 42 x 5 + 1 − 15 x
3 5 2
36) y ′ = 37) y ′ = 38) y ′ =
41) y ′ =
x
x
27) y ′ = (3 x + x ) ⋅ e 2
x x 2 35) y ′ = x (3 ln x + 1 + sin x ) − 2 x cos x
40) y ′ =
3 21) y ′ = 5 x 3 + x 2 + 4 x − 1 2 18 35 x5 +1 22) y ′ = 5 − 2 x −5 23) y ′ = 44 x 9 −9 24) y ′ = 2 x 11 −3 25) y ′ = 2 6 x 3 −1 2 26) y ′ = + 2 + 15 x 2 − 1 x 3
3
ln 10 ⋅ x
+ log x ⋅ (1 + tan 2 x )
32) y ′ = 1 + 2 x arctan x 5 1 33) y ′ = + cos 2 x ln 2 ⋅ x −4 1 34) y ′ = 3 + − 5 x ⋅ ln 5
39) y ′ =
2
x
2
tan x
⎛ 1 ⎞ 31) y ′ = ( x 2 + 2 x ) ⋅ cos x − ⎜ x 3 + x 2 − 1⎟ ⋅ sin x ⎝ 3 ⎠
7) y ′ = 15 x 2 − 2 x
16) y ′ = 20 x +
x 29) y ′ = (ln 3 ⋅ sin x + cos x ) ⋅ 3 x
30) y ′ =
5) y ′ = 100 x 9 − 1 6) y ′ = −12 x
4
28) y ′ = 2 x ln x +
2 x + 2
42) y ′ =
cos x
− 3 x ⋅ sin x
33 x 2
− 4 x 2 − 6 x + 4
( x
2
+ 1)
2
3 x 4 − 14 x 3 + 18 x 2
( x − 2)2 1 − 2 ln x x 3 − 3 x 2 − 3
(
2 x x 2 − 3
−5
)
2
+ 2 x ⋅ ln 2
1 − x 2
x e x + 1 − ln x 2
x
2
43) y ′ = 5 x (ln 5 ⋅ cos x − sin x ) + 44) y ′ = 45) y ′ =
2 x − 12 x + 1
( x − 3)2 − 2 x − 1
( x
2
+ x + 1)
2
x +
2
x 3 − 1
2 x
47) y ′ = (15 x − 2 ) ⋅ arcsin x +
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x ln 3
2
46) y ′ = 3 x
x
1
4
3 x 5 − 2 x 1 − x 2
13
Soluciones
1 ⎞ 1 ⎛ 48) y ′ = e x ⎜ cot x − ⎟+ sin 2 x ⎠ x ⎝ 49) y ′ = (5 x 4 + 2 ) ⋅ sin x + ( x 5 + 2 x − 1)⋅ cos x 2(sin x − x cos x ) 50) y ′ = ( x + sin x )2 12 x cos x + (6 x 2 − 5)sin x 51) y ′ = 2
52) y ′ =
cos x − 2 x tan x − 2 x + 2 tan x
54) y ′ =
55) y ′ =
L
69) y ′ = 70) y ′ =
− 5 ln 5 x 2 2 cos x 2 sin x − x sin x 2 cos x
( ( )
( )) tan ( x ) 72) y ′ = cos(2 x + x ) ⋅ (24 x 73) y ′ = sin (2 x + x ) ⋅ cos(2 x 71) y ′ =
cos x
74) y ′ =
x
cos x ⋅ sin x − x sin x − x 2
cos x ⋅ tan 2 x 1 ⎞ ⎛ 2 x ⎜ ln 2 log 2 x − ⎟+ x ln 2 ⎠ ⎝
(log 2 x )
2
⎛ 1 + 5 x ⎜ − ln 5 log 2 x ln 2 ⎝
75) y ′ = 76) y ′ = L
(
4
⎞ ⎠
56) y ′ = 2 x ln x sin x + x sin x + x ln x cos x 57) y ′ = 21 x 2 (x 3 + 4 )
78) y ′ =
− (2 x + x 2 ) ⋅ e x sin ( x 2 e x )
(
2 cos x 2 e x
62) y ′ = 63) y ′ =
sin x
64) y ′ =
81) y ′ =
⋅ ln 2 ⋅ (15 x + 2) 2
82) y ′ = 83) y ′ =
x + x + 2 2 x 2
84) y ′ =
4
⎛ − x 2 − 3 ⎞ cos x ⎛ x 2 + 1 ⎞ ⎟⋅e ⎜ ⎟ x 65) y ′ = ⎜⎜ ln sin − ⋅ 2 ⎜ x 3 ⎟ ⎟ x ( x ) 1 + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 66) y ′ = 67) y ′ =
e x + e − x
2
(e
x
+e
)
− x 2
e −e x
85) y ′ =
1 + sin (2 x )
2
x 2 + x + 1
( x
2
(
+ 1) ⋅ x + ln x 2 + 1
−x
L
)
1 1 − x 2 2 1 + x 2 x 2 3 x (2 ln 3 ⋅ x + 5)
2 3 x
(
) 2( x − 4 )
x x 2 − 12 x 2 − 4 2
2
⋅ x
(cos(2 x ) − 2 x sin (2 x )) ⋅ tan(3 x ) − tan 2 (3 x ) − 3 x cos(2 x ) ⋅ (1 + tan 2 (3 x ))
86) y ′ =
1 1 + x
1 − sin (2 x )
e 2 x − e − 2 x x ⎛ 1 ⎞ 80) y ′ = arctan⎜ ⎟ − 2 ⎝ x ⎠ x + 1
1 + e 2 x 3 x 2 + 2 x
1 − x
− cos(2 x )
1 + ln x −1 2 x (1 + ln x ) 1 − ln x
79) y ′ =
e x
3
)
1
6
58) y ′ = 2 x(1 + tan 2 (x 2 − 3)) cos(log x ) 59) y ′ = x ln 10 60) y ′ = − sin 3 x 2 − x − 2 ⋅ (6 x − 1)
+ 16 x 3 + 2 x ) 3 + x )⋅ (12 x 2 + 2 )
5
2 x ln x ⋅ (1 + ln x )
(1 + sin (2 x )) ⋅ 2
61) y ′ = 2
2
1
77) y ′ =
x⎟
)
cos 3 x 2 x 3 1 + tan 2 x 4
3
( x + tan x )2
3 5 x + 2 x −1
( )
3
2
53) y ′ = − sin x ⋅ ln x +
1 x
L
2
68) y ′ = −2 x sin ( x ) ⋅ ln ( x 2
2
)+
( )
2 cos x 2 x
87) y ′ = −5 ln 2 ⋅ 2 cos(5 x ) sin (5 x ) 5 x + 2 88) y ′ = (2 x + 5)2 ⋅ x 2 − 1
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14
Soluciones
x
89) y ′ = e 90) y ′ =
cos x ⋅ (cos x + x sin x )
⋅
cos x
98) y ′ =
(
2
)
2
−2 x 1 + x 4
99) y ′ =
100) y ′ =
(
94) y ′ = 1 − x
)
⎛ 1 − x ⎞ ⎟ − ln (1 − x ) + x ⋅ ln⎜⎜ 1 + x ⎠⎟ ⎝ ⋅
2
x
))
2
( ) − ( x − 1)⋅ ln ( x x ⋅ ( x − 1) ⋅ ln ( x )
x ln x
2
2
2
2
2
− 1)
x y y − 2 ln 2 ⋅ y + 2 ⋅ 2 x
2
2 x ⋅ 2 y − 2 y ln 2 ⋅ x 2 − x
2
(
2 2 x ln (sin x ) ⋅ sin x − ln 1 + x ⋅ cos x ⋅ 1 + x
(1 + x ) ⋅ sin x ⋅ ln (sin x ) 2
− 7 x
− 2 x − 3 2 y − 5 2 3 x + 2 xy + y 102) y ′ = 2 2 3 x + 3 xy + 2 y − cos( x + y ) 103) y ′ = cos( x + y ) + e y − 1 1 − 2 x − 2 y 104) y ′ = 1 + 2 x + 2 y 3 x 2 − y 2 105) y ′ = 2 xy + 1
) ⋅
(1 − x ) ⋅ 2 x ⋅ (ln(1 + ln (ln x ) − 1 95) y ′ = 2 x ln (ln x )
x
101) y ′ =
1
(
ln 1+ x
6 x + 7 y − 2 y y
x
97) y ′ =
)
x ⋅ 1 + x arctan x ⋅ ln (arctan x )
2 x cos 2 x
⎛ − ln(5 sin x ) cos x ⎞ 91) y ′ = x 5 sin x ⋅ ⎜ + ⎟ 2 x sin x ⎠ x ⎝ cos x ⎞ ⎛ 92) y ′ = x cos x ⋅ ⎜ − sin x ⋅ ln x + ⎟ x ⎠ ⎝ 1 ⎞ ⎛ e 93) y ′ = (ln x ) ⋅ e x ⎜ ln(ln x ) + ⎟ x ln x ⎠ ⎝
96) y ′ =
(
2 1 + x 2 arctan x ⋅ ln (arctan x ) − 2 x ln x
)
2
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15
Resoluciones
Resoluciones Potencias, sumas de funciones y pr oducto de una constante por una funci ón 1) y ′ = 7 ⋅ 3 x 2 + 0 = 21x 2 2) y ′ = ( −8) ⋅ 4 x 3 − 5 ⋅ 3 x 2 = −32 x 3 − 15 x 2 3) y ′ = 0 − 6 ⋅ 5 x 4 = −30 x 4 4) y ′ = 0 5) y ′ = 10 ⋅ 10 x 9 − 1 = 100 x 9 − 1 6) y ′ = (−6) ⋅ 2 x + 0 = −12 x 7) y ′ = 5 ⋅ 3 x 2 − 2 x + 0 = 15 x 2 − 2 x 8) y ′ = 5 x 4 + 3 x 2 − 2 9) y ′ = ( −3) ⋅ 4 x 3 + 5 ⋅ 2 x + 13 + 0 = −12 x 3 + 10 x + 13 10) y ′ = ( −2) ⋅ 9 x 8 − 7 ⋅ 6 x 5 − 3 x 2 + 0 = −18 x 8 − 42 x 5 − 3 x 2 11) y ′ = 7 x 6 + 7 ⋅ 4 x 3 − 5 ⋅ 3 x 2 + 1 + 0 = 7 x 6 + 28 x 3 − 15 x 2 + 1 12) y ′ = 4 ⋅ 5 x 4 + 6 ⋅ 3 x 2 − 2 x + 2 ⋅ 1 − 0 = 20 x 4 + 18 x 2 − 2 x + 2 1 3 13) y ′ = ⋅ 3 x 2 − ⋅ 2 x + 1 − 0 = x 2 − 3 x + 1 3 2 2 ⎛ 5 2 5 2 2 2 ⎞ 2 14) y = ⋅ ⎜ x 5 − x 3 + 5 x − 5 ⎟ = x 5 − ⋅ x 3 + ⋅ 5 x − ⋅ 5 = x 5 − x 3 + 2 x − 1 ⇒ 5 ⎝ 2 5 2 5 5 5 ⎠ 5 2 ⇒ y ′ = ⋅ 5 x 4 − 3 x 2 + 2 ⋅ 1 − 0 = 2 x 4 − 3 x 2 + 2 5 6 − 18 15) y = 3 = 6 x −3 ⇒ y ′ = 6 ⋅ ( −3) x − 4 = 4 x x 1 1 1 2 16) y = 4 x 5 − 2 = 4 x 5 − x − 2 ⇒ y ′ = 4 ⋅ 5 x 4 − ⋅ ( −2) x −3 = 20 x 4 + 3 3 3 3 x 3 x 8 17) y = 2 − 7 x 6 + x − 7 = 8 x − 2 − 7 x 6 + x − 7 ⇒ y ′ = 8 ⋅ ( −2) x −3 − 7 ⋅ 6 x 5 + 1 − 0 ⇒ x − 16 ⇒ y ′ = 3 − 42 x 5 + 1 x 3 3 3 18) y = − 5 x 3 + 3 = x −5 − 5 x 3 + 3 ⇒ y ′ = ⋅ (−5) x −6 − 5 ⋅ 3 x 2 + 0 ⇒ 5 2 2 2 x − 15 ⇒ y ′ = 6 − 15 x 2 2 x 3 1 3 2 15 3 2 19) y = 5 x = 5 x ⇒ y ′ = 5 ⋅ x = x 2 2 3 1 3 2 3 5 3 3 2 20) y = 5 x = 5 ⋅ x = 5 ⋅ x ⇒ y ′ = 5 ⋅ x = x 2 2 21) y = 2 x + 5
5
x
5
3
2 3
⇒ y ′ = 2 ⋅ x 2 + 2
1
+ 2 x − x = 2 x 2 + x 3 + 2 x 2 − x ⇒ 2
2
1 2
3
⋅ 3 x 2 + 2 ⋅ 2 x − 1 = 5 x 3 + x 2 + 4 x − 1
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2
16
Resoluciones
22) y =
−9 2 x
4
−9
⇒ y ′ = 23) y =
4
− 5 x + x − 6 = 7
2
1
4
=
x 5
4
1
x
24) y =
25) y =
x
=
5
5
x
3 x 6 x
= 3
5
5
⇒ y ′ =
2
−9
−5
6 ⋅ x
⋅
2
6
18
= x
2
4
=
−9
⇒ y ′ = 3 x
2 3
=
3
3
6
6 ⋅ x 2
−3
x
2
=
−3
1
⋅
2 6
=
3
x
x
−5
4
x
( −1)
5
= x 4 ⇒ y ′ =
3 x
3
− 5 x 2 + x − 6 ⇒
−5
1
=
= x
x
2
1
x 2
7
−4
− 5 ⋅ x 2 + 1 − 0 =
1
x
2
7
−5
⋅ (−4) x
−9
−
5
4
x
x 5 + 1
2
−9
−5
=
9
−11
−9
=
2
x
11
44 x 9
x
−3
3 2
2 x 11 −1
3
=
6 1
⋅
x
= 3
−9
=
2 x 2 1−
−5
=
4 x 4
2 6
2
35
x
2
⇒
−3 2 6 x 3
3
26) y =
2 x x
3
−
2
3
⇒ y = 2 x
2
⇒ y ′ = 2 ⋅
2 x 2
+ 5 x − x + 5 = 3
x
x
2
− 2 x −1 + 5 x 3 − x + 5 ⇒ −1
−2
−1
− 2 x + 5 x − x + 5 = 2 x 2 − 2 x −1 + 5 x 3 − x + 5 ⇒
( −1) 2
−1
⇒ y ′ =
2
−3
− 2 ⋅ (−1) x − 2 + 5 ⋅ 3 x 2 − 1 + 0 =
2
x
−1 3
+
x 2
2
+
x
x 3
3
2
2 x
2
+ 15 x 2 − 1 ⇒
+ 15 x 2 − 1
Producto y cociente de funciones. Derivación d el resto de funciones 27) y ′ = 3 x 2 e x + x 3 e x = (3 x 2 + x 3 ) ⋅ e x 28) y ′ = (2 x + 0) ⋅ ln x + ( x 2 + 2 )⋅
x 2 + 2
1
= 2 x ln x + x x x x 29) y ′ = 3 ⋅ ln 3 ⋅ sin x + 3 ⋅ cos x = (ln 3 ⋅ sin x + cos x ) ⋅ 3 x 30) y ′ =
1
1
⋅
⋅ tan x + log x ⋅ (1 + tan 2 x ) =
tan x
+ log x ⋅ (1 + tan 2 x )
ln 10 ⋅ x x ln 10 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 31) y ′ = ⎜ ⋅ 3 x 2 + 2 x − 0 ⎟ ⋅ cos x + ⎜ x 3 + x 2 − 1⎟ ⋅ ( − sin x) ⇒ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
⎛ 1 ⎞ ⇒ y ′ = ( x 2 + 2 x ) ⋅ cos x − ⎜ x 3 + x 2 − 1⎟ ⋅ sin x ⎝ 3 ⎠ 32) y ′ =
1 1 + x
33) y ′ = 5 ⋅
x ⋅ (2 x + 0) = 1 + 2 x arctan x ⋅ ( x 2 + 1) + arctan
2
1 2
cos x
+
1
⋅
1
x ln 2
=
5 2
cos x
+
1 ln 2 ⋅ x
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Resoluciones
34) y =
2 x
+ ln x − 5 x = 2 x −2 + ln x − 5 x ⇒ y ′ = 2 ⋅ (−2) x −3 +
2
⇒ y ′ =
−4 x
+
3
1
1 x
− 5 x ⋅ ln 5 ⇒
− 5 x ⋅ ln 5
x
35) y ′ = 3 x 2 ln x + x 3 ⋅
1
− (2 x cos x + x 2 (− sin x) ) ⇒
x ⇒ y ′ = 3 x ln x + x 2 − 2 x cos x − x 2 sin x = 3 x 2 ln x + x 2 − 2 x cos x + x 2 sin x ⇒
(
2
)
⇒ y ′ = x 2 (3 ln x + 1 + sin x ) − 2 x cos x 1
−2
1
1
36) y = log 5 + x ⋅ cos x = log 5 + x 3 ⋅ cos x ⇒ y ′ = 0 + x 3 ⋅ cos x + x 3 ⋅ ( − sin x) ⇒ 3 cos x 3 cos x 3 sin ⇒ y ′ = − ⋅ = − x ⋅ sin x x x 2 3 2 3 x 3 x 3 4 ⋅ 1 + 0) ⋅ ( x 2 + 1) − (4 x + 3) ⋅ (2 x + 0) 4( x 2 + 1) − (4 x + 3) ⋅ 2 x ( 37) y ′ = = ⇒ 2 2 2 2 ( x + 1) ( x + 1) 3
⇒ y ′ =
4 x 2 + 4 − 8 x 2 − 6 x
( x
(4 x 38) y ′ =
2
+ 1)
2
− 4 x 2 − 6 x + 4
=
( x
2
+ 1)
2
− 3 ⋅ 3 x 2 ) ⋅ ( x − 2) − ( x 4 − 3 x 3 )⋅ (1 − 0) (4 x 3 − 9 x 2 ) ⋅ ( x − 2 ) − ( x 4 − 3 x 3 ) = ⇒ ( x − 2)2 ( x − 2)2 4 x 4 − 8 x 3 − 9 x 3 + 18 x 2 − x 4 + 3 x 3 3 x 4 − 14 x 3 + 18 x 2 ⇒ y ′ = = ( x − 2 )2 ( x − 2)2 1
39) y ′ = x
3
⋅ x 2 − ln x ⋅ 2 x =
( x )
2 2
x − ln x ⋅ 2 x
1
1
40) y =
x x − 3 2
=
4
x
x 2 x − 3 2
⇒ y ′ = 2
x(1 − ln x ⋅ 2 )
=
x −1
x
4
=
1 − 2 ln x x
1
⋅ ( x − 3) − x 2 ⋅ (2 x − 0) 2
2
( x
2
− 3)
3
x 2 − 3
= 2 x
(x
2
− x ⋅ 2 x − 3)
2
2
⇒
x − 3 − 2 x ⋅ x ⋅ 2 x 2
⇒ y ′ = 41) y ′ = 5
( x −1 1 − x
2
2
x − 3 − 4 x 2
2 x
=
− 3)
2
+ 2 x ⋅ ln 2 =
(
2 x x − 3
−5 1 − x
2
2
2
)
2
=
− 3 x 2 − 3
(
2 x x 2 − 3
)
2
+ 2 x ⋅ ln 2
1 ⎞ ⎛ x x x ⎜1 ⋅ e + xe + ⎟ x − ( xe + ln x ) ⋅ 1 xe x + x 2 e x + 1 − xe x − ln x x 2 e x + 1 − ln x x ⎠ ⎝ 42) y ′ = = = 2 2 2 x
x
43) y ′ = 5 x ⋅ ln 5 ⋅ cos x + 5 x ⋅ (− sin x ) + 44) y ′ =
1
⋅
1
x
= 5 x (ln 5 ⋅ cos x − sin x ) +
x ln 3 (2 ⋅ 2 x − 0) ⋅ ( x − 3 ) − 2 x − 1 ⋅ (1 − 0) 4 x( x − 3) − 2 x 2 − 1
⇒ y ′ =
(
( x − 3)2
2
)
=
(
( x − 3)2
)=
1
x ln 3 4 x 2 − 12 x − 2 x 2 + 1
( x − 3)2
⇒
2 x 2 − 12 x + 1
( x − 3)2
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18
Resoluciones
45) y ′ =
(
)
0 ⋅ x 2 + x + 1 − 1 ⋅ (2 x + 1 + 0)
( x
2
+ x + 1)
2
=
− 2 x − 1
( x
2
+ x + 1)
2
1
1
46) y = ( x − 1)⋅ x = ( x − 1) ⋅ x ⇒ y ′ = (3 x − 0 )⋅ x + ( x − 1)⋅ 3
3
⇒ y ′ = 3 x 2 x +
2
2
3
2
1 2
−1
x
2
⇒
x − 1 3
2 x
47) y ′ = (3 ⋅ 5 x 4 − 2 )⋅ arcsin x + (3 x 5 − 2 x )⋅
1
(
)
= 15 x − 2 ⋅ arcsin x + 1 − x 2 1 1 ⎞ 1 −1 ⎛ 48) y ′ = e x cot x + e x ⋅ + = e x ⎜ cot x − ⎟+ 2 sin x x sin 2 x ⎠ x ⎝ 4
3 x 5 − 2 x 1 − x 2
49) y ′ = 5 x 4 + 2 − 0 ⋅ sin x + x 5 + 2 x − 1 ⋅ cos x = 5 x 4 + 2 ⋅ sin x + x 5 + 2 x − 1 ⋅ cos x (1 − 3 cos x ) ⋅ (2 x + 2 sin x ) − ( x − 3 sin x ) ⋅ (2 + 2 cos x ) 50) y ′ = ⇒ (2 x + 2 sin x )2 2 x + 2 sin x − 6 x cos x − 6 sin x cos x − 2 x − 2 x cos x + 6 sin x + 6 sin x cos x ⇒ y ′ = ⇒ (2 x + 2 sin x )2 8 sin x − 8 x cos x 8(sin x − x cos x ) 2(sin x − x cos x ) ⇒ y ′ = = = 2 2 4( x + sin x ) (2 x + 2 sin x ) ( x + sin x )2
(6 ⋅ 3 x 51) y ′ =
2
(18 x ⇒ y ′ = ⇒ y ′ = ⇒ y ′ = ⇒ y ′ = 52) y ′ =
− 5) ⋅ x cos x − (6 x 3 − 5 x ) ⋅ (1 ⋅ cos x + x ⋅ (− sin x) )
( x cos x )2 2
− 5) ⋅ x cos x − (6 x 3 − 5 x )⋅ (cos x − x sin x )
⇒
⇒
x 2 cos 2 x 18 x 3 cos x − 5 x cos x − 6 x 3 cos x + 6 x 4 sin x + 5 x cos x − 5 x 2 sin x x 2 cos 2 x 12 x 3 cos x + 6 x 4 sin x − 5 x 2 sin x x 2 12 x cos x + 6 x 2 − 5 sin x 2
(
=
2
x cos x 12 x cos x + 6 x 2 − 5 sin x
(
(
2
)
))
)⇒
x cos x
cos 2 x 1 − 1 + tan 2 x ⋅ ( x + tan x ) − ( x − tan x ) ⋅ 1 + 1 + tan 2 x
( (
)
2
⇒
(
( x + tan x )2 − tan 2 x ⋅ ( x + tan x ) − ( x − tan x ) ⋅ (2 + tan 2 x ) ⇒ y ′ = ⇒ ( x + tan x )2
)⇒
− x tan 2 x − tan 3 x − 2 x − x tan 2 x + 2 tan x + tan 3 x ⇒ y ′ = ⇒ 2 ( x + tan x ) − 2 x tan 2 x − 2 x + 2 tan x ⇒ y ′ = ( x + tan x )2 53) y ′ = (− sin x ) ⋅ ln x + cos x ⋅
1 x
= − sin x ⋅ ln x +
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cos x x
19
Resoluciones
54) y ′ =
(1 ⋅ cos x + x ⋅ (− sin x) ) tan x − x cos x tan 2 x
(cos x − x sin x ) tan x −
⇒ y ′ =
2
cos x tan 2 x
(2
=
)
cos x tan x
)
(log 2 x )2 2 ln 2 log 2 x − 5 ln 5 log 2 x −
⇒ y ′ =
⋅
x ln 2
+
(log 2 x )
⇒ y ′ =
cos x ⇒
x ln 2 ⇒
2
⎛ ⎝
x
cos x ⋅ tan 2 x 1 1
2 x
x
2 x ⎜ ln 2 log 2 x −
−
cos x ⋅ sin x − x sin 2 x − x
(
x
sin x
2
ln 2 − 5 x ln 5 ⋅ log 2 x − 2 x − 5 x ⋅
x
cos 2 x ⇒
(cos x − x sin x ) ⋅
cos x =
tan x (cos x − x sin x ) ⋅ sin x − x
⇒ y ′ =
55) y ′ =
x
1
5 x x ln 2 ⇒
1 ⎞ ⎞ x ⎛ 1 − ln 5 log 2 x ⎟ ⎟+5 ⎜ x ln 2 ⎠ ⎝ x ln 2 ⎠
(log 2 x )2
56) y ′ = 2 x ln x sin x + x 2 ⋅
1 x
⋅ sin x + x 2 ln x cos x = 2 x ln x sin x + x sin x + x 2 ln x cos x
Deriv ada de la funció n co mpuesta. Regla de la cadena 57) y ′ = 7( x 3 + 4 ) ⋅ (3 x 2 + 0 ) = 7 ( x 3 + 4 ) ⋅ 3 x 2 = 21 x 2 (x 3 + 4 ) 6
6
6
58) y ′ = 1 + (tan ( x 2 − 3)) ⋅ (2 x − 0) = 2 x(1 + tan 2 (x 2 − 3)) 1 1 cos(log x ) 59) y ′ = cos(log x ) ⋅ ⋅ = x ln 10 x ln 10 2 60) y ′ = − sin 3 x − x − 2 ⋅ (3 ⋅ 2 x − 1 − 0) = − sin 3 x 2 − x − 2 ⋅ (6 x − 1) 2
61) y ′ = 2 5 x 62) y ′ = 63) y ′ = 64) y ′ =
3
+ 2 x −1
1
( )
2
1 + e x
⋅e =
1 x 3 + x 2 + 2 1
( )
1 2 x + 1
x
⇒ y ′ =
⋅
2
(3 x
3
+ 2 x −1
⋅ ln 2 ⋅ (15 x 2 + 2 )
e x
x
1 − x 2
65) y ′ =
⋅ ln 2 ⋅ (5 ⋅ 3 x 2 + 2 − 0) = 2 5 x 1 + e 2x 2
⋅ 2 x =
+ 2 x + 0) =
3 x 2 + 2 x x 3 + x 2 + 2
2 x 1 − x 4
(2 x + 0 ) ⋅ x 3 − ( x 2 + 1)⋅ 3 x 2
( x )
3 2
⋅e
cos x
⎛ x 2 + 1 ⎞ cos x + ln⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⋅ e ⋅ (− sin x) ⇒ x ⎝ ⎠
3
x
3
x 2 + 1
⋅
2 x 4 − 3 x 4 − 3 x 2 x 6
⋅e
cos x
⎛ x 2 + 1 ⎞ cos x − ln⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⋅ e ⋅ sin x ⇒ x ⎝ ⎠
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20
Resoluciones
(
)⋅ e
⎛ x 2 + 1 ⎞ cos x ⇒ y ′ = 6 2 − ln⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⋅ e ⋅ sin x ⇒ x ( x + 1) x ⎝ ⎠ ⎛ − x 2 − 3 ⎞ cos x ⎛ x 2 + 1 ⎞ ⎜ ⎟⋅e ′ ⎜ ⎟ x ln sin ⇒ y = ⎜ − ⋅ 2 3 ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ x ⎠ ⎝ x( x + 1) ⎠ x − x − 3 5
e −e x
66) y =
2
⇒ y ′ =
− x
x
−1
1 ⎛ e − e ⎞ 2 − x
x
⎟ ⋅⎜ 2 ⎜⎝ e x + e − x ⎠⎟
1 2
e −e x
(e ⋅
x
(e ⋅
x
1
⋅
1
⎛ e − e ⎞ 2 ⎟ ⇒ = ⎜⎜ x − x ⎟ + e e ⎝ ⎠
− x
e x + e − x
⇒ y ′ =
cos x
− x
− e − x (−1) )⋅ (e x + e − x ) − (e x − e − x )⋅ (e x + e − x (−1) )
+ e − x ) ⋅ (e x + e − x
(e
x
(e ) − (e +e
) )⋅ (e
− x 2
x
+e
x
− e − x
x
− e − x )
)
− x 2
⇒
⇒
e x + e − x
⇒ y ′ =
1
⇒ y ′ =
1
⇒ y ′ =
1
⇒ y ′ =
1
2
2
2
e x + e − x
⋅
e x − e − x e x + e − x
⋅
e x − e − x e x + e − x
⋅
e x − e − x e x + e − x
x
+ e − x ) − (e x − e − x ) 2
(e
x
⋅
2
+e
)
− x 2
(
e 2 x + 2e x e − x + e −2 x − e 2 x − 2e x e − x + e −2 x
(e
+ e − x )
2
x
⋅
e 2 x + 2 + e −2 x − e 2 x + 2 − e −2 x
(e
x
⇒ y ′ =
e x − e − x
⋅
⇒
+e
)
− x 2
4
)⇒
⇒
e x + e − x
2
= 2 + e − x ) (e x + e − x )2 e x − e − x (1 + 0) ⋅ (1 − 2 x ) − ( x + 2) ⋅ (0 − 2 ) 1 67) y ′ = ⋅ ⇒ 2 2 ( ) x 1 2 − ⎛ x + 2 ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ 1 − 2 x ⎠ 1 1 − 2 x + 2 x + 4 5 ⇒ y ′ = ⋅ = ⇒ 2 2 2 2 ( x + 2) (1 − 2 x ) (1 − 2 x ) + ( x + 2) 1+ 2 (1 − 2 x ) 2
⋅
(e ⋅
(e
x
5 1 − 4 x + 4 x 2 + x 2 + 4 x + 4
68) y ′ = − sin ( x ) ⋅ 2 x ⋅ ln ( x 2
2
=
) + cos( x )⋅ 2
5 5 + 5 x 2 1
x
2
=
5
(
5 ⋅ 1 + x 2
)
=
1 1 + x 2
⋅ 2 x = −2 x sin ( x )⋅ ln ( x ) + 2
2
( )
2 cos x 2 x
1
′ 1 1 1 − 5 x ln 5 ⎛ ⎞ −1 ′ −2 x x x 69) y ′ = 5 ln 5 ⋅ ⎜ ⎟ = 5 ln 5 ⋅ ( x ) = 5 ln 5 ⋅ (−1) x = 2 x ⎝ x ⎠ ( − sin ( x 2 )) ⋅ 2 x ⋅ cos 2 x − cos( x 2 )⋅ 2 cos x ⋅ (− sin x ) 70) y ′ = ⇒ 2 1
(cos x ) 2 cos x ⋅ (− x sin ( x )cos x + cos( x )sin x ) 2(cos( x )sin x − x sin ( x )cos x ) ⇒ y ′ = = 2
2
2
cos 4 x
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2
2
cos 3 x
21
Resoluciones
−1
)) ⋅ (1 + (tan ( x )) )⋅ 4 x ⇒ 2 1 2 x (1 + tan ( x )) ⇒ y ′ = ⋅ (1 + tan ( x )) ⋅ 4 x = 2 tan ( x ) tan ( x ) 72) y ′ = cos(2 x + x ) ⋅ 2(2 x + x )⋅ (2 ⋅ 3 x + 1) = cos(2 x + x ) ⋅ 2(2 x + x )⋅ (6 x + 1) ⇒ ⇒ y ′ = cos(2 x + x ) ⋅ (24 x + 4 x + 12 x + 2 x ) = cos(2 x + x ) ⋅ (24 x + 16 x + 2 x ) 73) y ′ = 2 sin (2 x + x ) ⋅ cos(2 x + x ) ⋅ (2 ⋅ 3 x + 1) = sin (2 x + x )⋅ cos (2 x + x )⋅ (12 x + 2 ) 71) y =
1
( ) = (tan ( x ))
tan x
4
4
⇒ y ′ =
2
1
⋅ (tan ( x
4
4
2
3
2
4
2
2
3
2
2
5
3
1+
(
ln x
⋅
)
2
1
75) y ′ =
(
3
⋅
1
2 ln x x
=
2 x
⋅ (− sin ( x e
1 1 − cos x
)
1
⋅
1 − cos x
2
⋅
3
2
2
3
2
2 x
2 cos x e
76) y ′ =
1
2
3
3
3
1
4
4
3
74) y ′ =
3
3
4
3
2
3
5
3
3
2
1 2 x ln x ⋅ (1 + ln x )
))⋅ (2 xe
x
+ x e
2 x
)=
− (2 x + x 2 )⋅ e x sin ( x 2 e x )
(
2 cos x 2 e x
)
(0 − (− sin x) ) ⋅ (1 + cos x ) − (1 − cos x ) ⋅ (0 − sin x ) ⇒ (1 + cos x )2
1 + cos x 1 + cos x 1 sin x ⋅ (1 + cos x ) + (1 − cos x ) ⋅ sin x sin x ⋅ (1 + cos x + 1 − cos x ) ⇒ y ′ = ⋅ = ⇒ 2 1 − cos x ( ) ( ) x x 2 1 cos 1 cos ⋅ − ⋅ + (1 + cos x ) 2⋅ 1 + cos x 2 sin x sin x 1 ⇒ y ′ = = = 2 2 2 ⋅ 1 − cos x sin x sin x
(
)
′ ⎛ 1 − sin (2 x ) ⎞ ⎟⎟ ⇒ 77) y ′ = ⋅ ⋅ ⎜⎜ 2 x 1 sin 2 + ( ) x 1 sin 2 − ( ) ⎝ ⎠ ⎛ 1 − sin (2 x ) ⎞ 2 ⎟ 1+ ⎜ ⎜ 1 + sin (2 x ) ⎟ 1 + sin (2 x ) ⎝ ⎠ − cos(2 x ) ⋅ 2 ⋅ (1 + sin (2 x )) − (1 − sin (2 x )) ⋅ cos(2 x ) ⋅ 2 ⇒ y ′ = ⇒ 1 − sin (2 x ) ⎛ 1 − sin (2 x ) ⎞ 2 ⋅ ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⋅ (1 + sin (2 x )) 2 1 + sin (2 x ) ⎝ 1 + sin (2 x ) ⎠ 2 ⋅ (− cos(2 x ) − cos(2 x )sin (2 x ) − cos(2 x ) + sin (2 x ) cos(2 x )) ⇒ y ′ = ⇒ 1 − sin (2 x ) 1 + sin (2 x ) + 1 − sin (2 x ) 2 2 ⋅ ⋅ (1 + sin (2 x )) 1 + sin (2 x ) 1 + sin (2 x ) − 2 cos(2 x ) − cos(2 x ) ⇒ y ′ = = 1 − sin (2 x ) 1 − sin (2 x ) ⋅ 2 ⋅ (1 + sin (2 x )) (1 + sin (2 x )) ⋅ 1 + sin (2 x ) 1 + sin (2 x ) 1
−
1
78) y ′ = 2
⇒ y ′ =
1
1 − ln x
1
⋅ x
⋅ (1 + ln x ) − (1 − ln x ) ⋅
(1 + ln x )2
1 x =
1 + ln x
−2 −1 = 2 2 x(1 + ln x ) 1 − ln x x(1 + ln x ) 2 1 + ln x 1
⋅
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− 1 − ln x − 1 + ln x ⇒ 2 x (1 + ln x ) 1 − ln x 2 1 + ln x 1 + ln x 1 − ln x 1
⋅
22
Resoluciones
79) y ′ =
1 e −e
− x
e +e
− x
x
x
2
⇒ y ′ = ⇒ y ′ =
⋅
x
e −e
− x
e +e
− x
x
2
x
(e ⋅
x
1
⇒ y ′ =
(e ⋅
1
e x − e − x
− e − x (−1) ) ⋅ (e x + e − x ) − (e x − e − x )⋅ (e x + e − x (−1) )
(e
x
+ e − x ) − (e x − e − x ) 2
(e
x
(
e
2 x
)
⇒
2
⇒
+ e − x )
2
e x + e − x e 2 x + 2e x e − x + e −2 x − e 2 x − 2e x e − x + e −2 x x x 2 e − e−
+e
− x 2
( )(e
x
+ e − x )
)⇒
4 2 + 2 + e −2 x − e 2 x + 2 − e −2 x = = 2(e 2 x − e − 2 x ) 2(e 2 x − e − 2 x ) e 2 x − e − 2 x
⎛ 1 ⎞ 80) y ′ = 1 ⋅ arctan⎜ ⎟ + x ⋅ ⎝ x ⎠
x 1 ⎛ 1 ⎞ −2 x ( 1 ) arctan ⋅ − = − ⋅ ⇒ ⎜ ⎟ 2 2 1 x x ⎝ ⎠ 1 ⎛ ⎞ 1+ 2 1+ ⎜ ⎟ x ⎝ x ⎠
1
x ⎛ 1 ⎞ ⇒ y ′ = arctan⎜ ⎟ − 2 ⎝ x ⎠ x + 1 ⎛ ⎞ x ⎞ 1 1 1 1 ⎛ 81) y ′ = ⋅ ⎜⎜1 + ⋅ ⋅ 2 x ⎟⎟ = ⋅ ⎜1 + 2 ⎟⇒ 2 2 2 2 x 1 + ⎠ x + ln x + 1 ⎝ x + 1 2 x + 1 ⎠ x + ln x + 1 ⎝ 2 2 x + 1 + x x + x + 1 1 ⇒ y ′ = ⋅ = 2 2 + x 1 x + ln x + 1 ( x 2 + 1)⋅ x + ln x 2 + 1
(
82) y ′ =
1 1 + x
83) y ′ =
1 + x
2
1 − x
⇒ y ′ =
1
⋅
⋅
1 ⋅ (1 − x ) − (1 + x ) ⋅ ( −1)
(1 − x )2
1 − x
2 2(1 + x ) ⋅ (1 − x )
=
)
=
1 1 − x + 1 + x ⋅ ⇒ 2 1 + x (1 − x ) 2 1 − x
1 1 − x 2
⎛ 1 ⎞ ⎜ 2 x + 1⎟ ⋅ 1 + x 2 − x − 1 + x 2 + x ⋅ ⎜ ⎟ 2 1 + x 2 ⎝ ⎠ ⋅
(
1 1 + x 2 + x
) (
( 1 + x
2
− x
)⋅ ⎛ ⎜⎜
)
2
⎞ ⋅ 2 x − 1⎟⎟ 2 ⎝ 2 1 + x ⎠ ⇒ 1
1 + x 2 − x
⎛ x ⎞ ⎜ 1⎟ ⋅ 1 + x 2 − x − 1 + x 2 + x + ⎜ ⎟ 1 + x 2 ⎝ ⎠ ⇒ y ′ = 1 + x 2 + x ⋅ 1 + x 2 − x
( (
x + 1 + x
⇒ y ′ = ⇒ y ′ =
1 + x 2
2
(
⋅ 1 + x
2
) ( )( − x ) − ( 1 + x
)⋅ ⎛ ⎜⎜ ⎝ )
2
)
+ x ⋅
⎞ − 1⎟⎟ 1 + x 2 ⎠ ⇒ x
x − 1 + x
2
1 + x 2
1 + x 2 − x 2 1 + x 2 + x ⋅
(1 + x ⇒ y ′ =
1 + x 2 − x − x + 1 + x 2 ⋅ x − 1 + x 2 1 + x
2
⇒ ⇒
2
2 − x 2 ) − ( x 2 − (1 + x 2 )) 1 − ( x 2 − 1 − x 2 ) = = 1 + x 2 1 + x 2 1 + x 2
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23
Resoluciones
(3
x
)
ln 3 ⋅ x 3 + 3 x ⋅ 3 x 2 ⋅ 3 x − 3 x ⋅ x 3 ⋅
84) y ′ =
(
⇒ y ′ = ⇒ y ′ =
2
− 3 x ⋅ 3 x 3
)
⇒ =
3 x ln 3 ⋅ 6 x 4 + 3 x ⋅ 18 x 3 − 3 x ⋅ 3 x 3
6 x 3 x 3 x 3 3 x (2 x ln 3 + 6 − 1)
85) y ′ =
=
x 2 3 x (2 ln 3 ⋅ x + 5)
⋅
x
2 3 x
(
)
3 x 2 x 2 − 4 − x 3 ⋅ 2 x
( x
3
2
− 4)
2
=
(
x − 4
− 12 x 2 ) x 2 − 4
4
(
)
2
2 x − 4 ⋅ x 2
=
x
)
2
( 2( x
) − 4) ⋅ x
x x − 12 x − 4 2
3
3 x 4 − 12 x 2 − 2 x 4 2 x 2 − 4 ⋅
2
( x ⇒ y ′ =
⇒
6 x 3 x
6 x 3 x 1
2
)
2 3 x 3 x 3 x ln 3 ⋅ x 3 + 3 x ⋅ 3 x 2 ⋅ 6 x − 3 x ⋅ 3 x 3
(
⇒
)
ln 3 ⋅ x 3 + 3 x ⋅ 3 x 2 ⋅ 2 3 x
x
2 3 x
⋅3
2
) (
(3 ⇒ y ′ =
3 x
1
2
2
2
⇒
3
x − 4 2
2
=
(
) 2( x − 4 )
x x − 12 x − 4 2
2
2
x
2
⋅ x
2 1 ⋅ cos(2 x ) + x ⋅ (− sin (2 x )) ⋅ 2) ⋅ tan (3 x ) − x cos(2 x ) ⋅ (1 + (tan (3 x )) )⋅ 3 ( 86) y ′ = ⇒ (tan (3 x ))2 cos(2 x ) − 2 x sin (2 x )) ⋅ tan (3 x ) − 3 x cos(2 x ) ⋅ (1 + tan 2 (3 x )) ( ⇒ y ′ = tan 2 (3 x ) 87) y ′ = 2 cos(5 x ) ln 2 ⋅ (− sin (5 x )) ⋅ 5 = −5 ln 2 ⋅ 2 cos(5 x ) sin (5 x )
2 x
88) y ′ =
2 x 2 − 1
⇒ y ′ =
2 x 2 + 5 x − 2 x 2 + 2
(2 x + 5)2 ⋅ x
89) y ′ = e
⋅ (2 x + 5) − x 2 − 1 ⋅ 2 =
(2 x + 5)2
cos x
x 2 − 1
1
⋅ 2
(
2 x 2 + 5 x − 2 x 2 − 1
x
⋅
x 2 − 1
(2 x + 5)2
)
2
=
(
)⇒
2 x 2 + 5 x − 2 x 2 − 1
(2 x + 5)2 ⋅
x 2 − 1
5 x + 2
=
(2 x + 5)2 ⋅ x 2 − 1 x 1 ⋅ cos x − x ⋅ (− sin x ) cos x 2
cos x
=e
⋅
cos x ⋅ (cos x + x sin x ) 2 x cos 2 x
cos x
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4 x 3 1
90) y ′ =
1
⋅
1 + 1 + x
2
1 + x 4 − 1
⋅
1 + 1 + x
4
1 2⋅
⇒ y ′ =
1 + 1 + x
(1 +
(
) (
)
⋅ 1 + x − 1 − 1 + 1 + x ⋅
( 1 + x
4
4
4
4 x 3 2 1 + x 4
)
−1
2
⇒
1 + x 4 − 1 2 x 3
⇒ y ′ =
2 1 + x
4
4
1 + x
⋅
(
⋅ 1 + x 4 − 1 − 1 − 1 + x 4
4
( 1 + x
4
1 + x 4 − 1 − 2 x 3
4
⇒
)
−1
)
2
− 2 x 3 − 2 x 3 −2 1 + x 4 = = = 4 1 + x 4 − 1 1 + x − 1 x 4 1 + x 4 x 1 + x 4
1 + x 4
) (
1 + x 4 ⋅
)
Exponenciales y l ogaritmos especiales, y derivación impl ícita 1
1
91) y = 5 sin x = (5 sin x ) x ⇒ ln y = ln (5 sin x ) x ⇒ ln y = x
1 x
⋅ ln (5 sin x ) ⇒
⎛ − ln (5 sin x ) cos x ⎞ ′ x y y 5 cos ⋅ ⇒ = ⋅ + ⎜ ⎟⇒ 2 2 y x 5 sin x x sin x ⎠ x x ⎝ ⎛ − ln(5 sin x ) cos x ⎞ ⇒ y ′ = x 5 sin x ⋅ ⎜ + ⎟ x sin x ⎠ x 2 ⎝ ⇒
1
⋅ y ′ =
( −1)
⋅ ln(5 sin x ) +
1
⋅
1
92) ln y = ln x cos x ⇒ ln y = cos x ⋅ ln x ⇒
1 y
⋅ y ′ = − sin x ⋅ ln x + cos x ⋅
1 x
⇒
cos x ⎞ cos x ⎞ ⎛ cos x ⎛ ⇒ y ′ = y ⋅ ⎜ − sin x ⋅ ln x + ⋅ ⎜ − sin x ⋅ ln x + ⎟ ⇒ y ′ = x ⎟ x ⎠ x ⎠ ⎝ ⎝ x
93) ln y = ln (ln x ) ⇒ ln y = e x ⋅ ln(ln x ) ⇒ e
1 y
⋅ y ′ = e x ⋅ ln (ln x ) + e x ⋅
1
⋅
1
ln x x
⇒
⎛ x e x ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎟⎟ ⇒ y ′ = (ln x )e ⋅ e x ⎜ ln (ln x ) + ⇒ y ′ = y ⋅ ⎜⎜ e ⋅ ln (ln x ) + ⎟ x ln x ⎠ x ln x ⎠ ⎝ ⎝ x
(
94) ln y = ln 1 − x 1
⇒
1
)
1
(
ln 1+ x
⋅
) ⇒ ln y =
( −1)
x 2 x 1 ⋅ y ′ = −
(
⋅ ln 1 +
1
(
)
⋅ ln 1 − x ⇒ ln y =
( ) x ) − ln (1 − x )⋅
ln 1 + x
1
⋅
( ) ⇒ ln (1 + x ) ln 1 − x
1
1 + x 2 x
⇒
(ln(1 + x )) − (1 + x )⋅ ln (1 + x ) − (1 − x )⋅ ln (1 − x ) (1 − x )⋅ (1 + x )⋅ 2 x ⇒ y ′ = y ⋅ ⇒ (ln(1 + x )) − (ln (1 + x ) + ln (1 − x )) + x ⋅ (ln (1 − x ) − ln (1 + x )) ⇒ y ′ = (1 − x ) ( ) ⋅ ⇒ (1 − x ) ⋅ 2 x ⋅ (ln (1 + x )) y
2
2
1
ln 1+ x
2
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⎛ 1 − x ⎞ ⎟ ln 1 + x ⋅ 1 − x + x ⋅ ln⎜ − ⎜ 1 + x ⎟ 1 ⎝ ⎠ ⇒ ⇒ y ′ = 1 − x ln (1+ x ) ⋅ 2 (1 − x ) ⋅ 2 x ⋅ ln 1 + x
(
( ((
)
)(
)))
( (
))
⎛ 1 − x ⎞ ⎟ ln(1 − x ) + x ⋅ ln⎜ − ⎜ 1 + x ⎟ 1 ⎝ ⎠ ⇒ y ′ = 1 − x ln (1+ x ) ⋅ 2 (1 − x ) ⋅ 2 x ⋅ ln 1 + x
(
)
95) y = log ln x ( x ) ⇒ (ln x )
y
1
( ( )) ln x = x ⇒ ln ((ln x ) ) = ln x ⇒ y ln (ln x ) = ln x ⇒ y = ⇒ ln(ln x ) y
⋅ ln(ln x ) − ln x ⋅
⇒ y ′ = x
(ln(ln x ))2
1
⋅
1
1
ln x x = x
⋅ (ln(ln x ) − 1) ln 2 (ln x )
ln (ln x ) − 1
=
x ln 2 (ln x )
96) y = log x 2 x 2 − 1 ⇒ ( x 2 ) = x 2 − 1 ⇒ ln ( x 2 ) = ln x 2 − 1 ⇒ y ln ( x 2 ) = ln x 2 − 1 ⇒ y
y
1 ln x − 1 2
⇒ y =
( )
1
⋅
− 1 2 x − 1 ⇒ y ′ = x 2
2
⋅ 2 x ⋅ ln ( x 2 ) − ln x 2 − 1 ⋅
(ln( x )) x ln ( x ) 2 ln x − 1 x ln ( x ) − ( x − 1) ⋅ ln ( − x ⋅ ( x − 1) x 1 − x ⇒ y ′ = = ln ( x ) ln ( x ) x ln ( x ) − ( x − 1) ⋅ ln ( x − 1) ⇒ y ′ = x ⋅ ( x − 1) ⋅ ln ( x ) ln x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
⇒ y ln(sin x ) = ln 1 + x ⇒ y = 2
1 + x
2
1 2 1 + x
2
⇒
2
ln 1 + x 2
y
) = ln
1+ x2 ⇒
⇒
ln(sin x )
⋅ 2 x ⋅ ln (sin x ) − ln 1 + x 2 ⋅
1 sin x
⋅ cos x ⇒
(ln(sin x ))2 x ln(sin x )
1 + x 2
⇒ y ′ =
−
sin x
(ln(sin x )) x ln (sin x ) ⋅ sin x − ln ⇒ y ′ = 2
(1 + x )⋅ sin x 2
=
(
1 + x 2 ⋅ cos x ⋅ 1 + x 2
) ⇒
ln 2 (sin x )
(1 + x )⋅ sin x ⋅ ln (sin x )
)
2
98) y = log arctan x ( x 2 ) ⇒ (arctan x ) = x 2 ⇒ ln (arctan x ) y
⇒ y ln(arctan x ) = 2 ln x ⇒ y =
⇒ y ′ = x
(
x ln (sin x ) ⋅ sin x − ln 1 + x 2 ⋅ cos x ⋅ 1 + x 2
ln 1 + x 2 ⋅ cos x 2
2
⇒
2
y
⋅
⋅ 2 x
)
2
97) y = log sin x 1 + x 2 ⇒ (sin x ) = 1 + x 2 ⇒ ln (sin x )
1
2
2
2
⇒ y ′ =
x 2 − 1
2
2
x
2
2
2
1
⋅ ln(arctan x ) − 2 ln x ⋅
2 ln x ln (arctan x ) 1
⋅
) = ln(x ) ⇒ 2
⇒
1
arctan x 1 + x 2 = (ln(arctan x ))2
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y
2 ln (arctan x ) x
−
2 ln x
(1 + x )⋅ arctan x ⇒ 2
ln 2 (arctan x )
26
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(
)
2 1 + x 2 arctan x ⋅ ln (arctan x ) − 2 x ln x
(
)
x ⋅ 1 + x arctan x
⇒ y ′ =
2
=
ln 2 (arctan x )
⎛ ⎜ ⎝
(
)
2 1 + x 2 arctan x ⋅ ln(arctan x ) − 2 x ln x
(
)
x ⋅ 1 + x arctan x ⋅ ln (arctan x ) 2
2
⎞ x y ′ ⋅ y ′ ⎟ − 6 x − 7(1 ⋅ y + x y ′) − 0 = 0 ⇒ 2 y + − 6 x − 7 y − 7 xy ′ = 0 ⇒ ⎟ 2 y y ⎠ ⎛ x ⎞ 6 x + 7 y − 2 y x y ′ ⇒ − 7 x y ′ = 6 x + 7 y − 2 y ⇒ ⎜ − 7 x ⎟ y ′ = 6 x + 7 y − 2 y ⇒ y ′ = ⎜ y ⎟ x y ⎝ ⎠ − 7 x
99) 2⎜1 ⋅ y + x ⋅
1
y
100) 2 x ln 2 ⋅ y 2 + 2 x ⋅ 2 y y ′ − 2 y ln 2 ⋅ y ′ ⋅ x 2 + 2 y ⋅ 2 x = 1 ⋅ y + xy ′ ⇒
⇒ 2 x ln 2 ⋅ y 2 + 2 x ⋅ 2 y y ′ − 2 y ln 2 ⋅ y ′ ⋅ x 2 − 2 y ⋅ 2 x = y + xy ′ ⇒ ⇒ 2 x ⋅ 2 y y ′ − 2 y ln 2 ⋅ y ′ ⋅ x 2 − x y ′ = y − 2 x ln 2 ⋅ y 2 + 2 y ⋅ 2 x ⇒ ⇒ 2 x ⋅ 2 y − 2 y ln 2 ⋅ x 2 − x y ′ = y − 2 x ln 2 ⋅ y 2 + 2 y ⋅ 2 x ⇒ ⇒ y ′ =
x y y − 2 ln 2 ⋅ y 2 + 2 ⋅ 2 x
2 x ⋅ 2 y − 2 y ln 2 ⋅ x 2 − x
101) 2 x + 2 y y ′ + 3 − 5 y ′ = 0 ⇒ 2 y y ′ − 5 y ′ = −2 x − 3 ⇒ y ′ = 102)
1 x + y
⋅
(1 + y ′) ⋅ ( x 2 − y 3 ) − ( x + y ) ⋅ (2 x − 3 y 2 y ′)
( x
x 2 − y 3
⇒
(
2
− y 3 )
2
− 2 x − 3 2 y − 5
=0⇒
)
2 3 2 3 2 2 3 x − y + x − y y ′ − 2 x + 3 xy y ′ − 2 xy + 3 y y ′
( x + y ) ⋅ ( x 2 − y 3 )
=0⇒
⇒ ( x − y + 3 xy + 3 y ) y ′ − x − 2 xy − y = 0 ⇒ y ′ = 2
3
2
3
2
3
x 2 + 2 xy + y 3 x 2 + 3 xy 2 + 2 y 3
103) cos( x + y ) ⋅ (1 + y ′) + e y ⋅ y ′ = y ′ ⇒ cos( x + y ) + cos( x + y ) ⋅ y ′ + e y ⋅ y ′ − y ′ = 0 ⇒ − cos( x + y ) ⇒ (cos( x + y ) + e y − 1) y ′ = − cos( x + y ) ⇒ y ′ = cos( x + y ) + e y − 1 104) 2 x + 2 ⋅ (1 ⋅ y + x y ′) + 2 y y ′ + y ′ − 1 = 0 ⇒ 2 x + 2 y + 2 x y ′ + 2 y y ′ + y ′ − 1 = 0 ⇒ 1 − 2 x − 2 y ⇒ 2 x y ′ + 2 y y ′ + y ′ = 1 − 2 x − 2 y ⇒ (2 x + 2 y + 1) y ′ = 1 − 2 x − 2 y ⇒ y ′ = 1 + 2 x + 2 y 105) 1 ⋅ y + x ⋅ 2 y y ′ − 3 x + y ′ − 0 = 0 ⇒ (2 xy + 1) y ′ = 3 x − y ⇒ y ′ = 2
2
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2
2
3 x 2 − y 2 2 xy + 1
27
Anexo: Tabla de derivadas Forma simple
Forma compuesta ′
Regla de la cadena: ( f g ) = f ′( g ) ⋅ g ′ o
y ′ = 0
y = k (constante) y = x y = x
n
y = a
x
y ′ = 1 y ′ = nx
n −1
y = a
y ′ = e y ′ =
1
y = sin x y = cos x
y ′ = e
Si a = e y = ln f ( x)
1
1
y ′ =
y = log a f ( x)
x ln a
f ( x )
⋅ f ′( x) 1
⋅
f ( x) ln a
1
y = sin f ( x)
⋅ f ′( x) f ( x) y ′ = cos f ( x) ⋅ f ′( x)
y ′ = − sin x
y = cos f ( x)
y ′ = − sin f ( x) ⋅ f ′( x)
1
y = tan x
y ′ = 1 + tan 2 x =
y = cot x
2 y ′ = − 1 + cot x =
(
cos 2 x
)
y = arcsin x
y ′ =
y = arccos x
y ′ =
y = arctan x
y ′ =
y = arccot x
y ′ =
−1 sin 2 x
1 1 − x
2
−1 1 − x
2
1 1 + x
2
−1 1 + x 2
y ′ =
⋅ f ′( x)
x y ′ = cos x
y ′ =
Si a = e y = ln x
1
⋅
f ( x )
Si a = e y = e f ( x )
x
y = log a x
⋅ f ′( x) f x y ′ = a ( ) ⋅ ln a ⋅ f ′( x)
n
x y ′ = a ⋅ ln a
Si a = e y = e x
n −1
y ′ = n( f ( x) )
y = ( f ( x) )
(
)
f ′( x)
y = tan f ( x)
y ′ = 1 + tan f ( x) ⋅ f ′( x) =
y = cot f ( x)
y ′ = − 1 + cot 2 f ( x) ⋅ f ′( x) =
2
(
)
y = arcsin f ( x)
y ′ =
y = arccos f ( x)
y ′ =
y = arctan f ( x)
y ′ =
y = arccot f ( x)
y ′ =
1 1 − ( f ( x ) )
2
−1 1 − ( f ( x ) )
2
1 1 + ( f ( x ) )
2
−1 1 + ( f ( x ) )
2
cos 2 f ( x)
− f ′( x) sin 2 f ( x)
⋅ f ′( x) ⋅ f ′( x) ⋅ f ′( x) ⋅ f ′( x)
Propiedades • • •
y = f ( x) ± g ( x)
ï
y ′ = f ′( x) ± g ′( x)
y = k ⋅ f ( x)
ï
y ′ = k ⋅ f ′( x)
y = f ( x) ⋅ g ( x)
ï
y ′ = f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x)
•
y =
ï
y ′ =
f ( x) g ( x)
Taller de Derivadas – CampusDeMatematicas.COM
f ′( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ′( x )
(g ( x) )2
28
