Ejercicios Resueltos de Derivadas

Ejercicios propuestos

Soluciones de los ejercicios propuestos

1.- Encontrar la derivada de las siguientes funciones polinomiales. a).b).-

c).-

d).-

a). – Solución

como sabemos el operador de derivada se distribuye sobre cada uno de los términos de las funciones, es decir si entonces por lo que para la función planteada en el ejercicio:

Recordando que la derivada de una función potencia es tendremos

es decir b). – Solución Para este caso

y que en la derivada de una constante es cero

Distribuyendo la derivada tenemos:

y utilizando directamente la fórmula para es

la cual

:

observamos que al derivar, por ejemplo, obtenemos

por lo que :

c). – Solución De forma similar a los dos ejercicios anteriores obtenemos:

como sabemos si f(x)=a v(x) donde a es constante se obtiene

por lo tanto:

d). – Solución

derivando cada término

Por lo que:

2.- Obtener los siguientes problemas.

a).-

b).-

c).-

d).-

Para la solución de estos problemas utilizaremos, además de las fórmulas expuestas en el ejercicio anterior la fórmula siguiente:

a).- Solución

para obtener la solución tenemos dos caminos. 1ero en este caso si comparamos con la fórmula para derivar la división de dos funciones tendríamos el análogo f(x)=x y g(x)=x2+1

derivando cada función obtendríamos: f´(x)=1 y g´(x)=2x sustituyendo en (A.1) tendríamos:

simplificando:

2ada forma Como

ya que x2+1 nunca es cero, entonces:

podremos utilizar la fórmula:

donde f(x)=x y g(x)=(x2+1)-1

derivando cada función obtendríamos:

f´(x)=1 y

sustituyendo en A.2 obtenemos:

b).-Solución

aplicando la fórmula

tenemos:

del ejercicio anterior ya obtuvimos que:

y

entonces:

por lo tanto:

c).- Solución

sustituyendo en la ecuación (A.1)

por lo tanto:

d).- Solución

aplicando la fórmula

tenemos:

pero ya hemos calculado

y la derivada de x3-x es:

de lo que:

del ejercicio a)

1.-Encontrar las derivadas de las siguiente funciones:

a).-

b).c).d).e).-

a) Solución

para la solución de estos problemas ocuparemos las siguientes fórmulas

utilizando C.5 y haciendo

tenemos

pero por lo que

simplificando

b) Solución

utilizando C.5 y haciendo

tenemos:

utilizaremos la derivada de un cociente:

en este caso la f(x)= x2 cos x y g(x)=(2x+1)3 pero la hemos obtenido, del ejercicio anterior el valor de f´(x)

por lo que solo falta calcular la derivada de g(x)

sustituyendo en la fórmula (B.2)

factorizando (2x+1)2 tendremos:

pero

por lo tanto:

finalmente al sustituir en b.1 tenemos:

c) Solución

tomando, en la fórmula C.3, u=x y v=sen x tenemos:

d) Solución

aplicando directamente C.1 tenemos

e). solución

aplicando primeramente la derivada par aun producto de funciones obtenemos:

2.- Demuestre la fórmula

como

pero de la propiedad:

entonces

derivando tenemos:

utilizando el hecho de que tenemos:

y la derivada de un logaritmo natural

simplificando, tenemos:

Derivadas trigonométricas 1.-Encontrar las derivadas de las siguiente funciones:

a).-

b).c).-

d).-

a) Solución

aplicaremos la fórmula para derivar un producto de funciones:

tenemos:

pero:

por lo tanto:

b) Solución

utilizaremos la derivada de un cociente:

en este caso la f(x)= x2 cos x y g(x)=(2x+1)3 pero la hemos obtenido, del ejercicio anterior el valor de f´(x)

por lo que solo falta calcular la derivada de g(x)

sustituyendo en la fórmula (B.2)

factorizando (2x+1)2 tendremos:

pero

por lo tanto:

c) Solución

haciendo u=csc 3x tenemos:

aplicando la regla de la cadena

tenemos

pero v= csc 3x

recordando que

tenemos

sustituyendo en y´(x) tenemos:

d) Solución

aplicando la fórmula (B.1) tenemos:

simplificando tenemos: