PARTE 1: EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE DERIVADAS l as siguientes funciones: 1. Hallar la derivada con respecto a “x” de las
1) y ( x 5 4 x 2 100) Sen Sen( x) y' ( x 5
4 x 2
100 100)'
Sen Sen( x)
Sen Sen( x) ' ( x 5
4x 2
100)
1 1 y ' (5 x 8 x) Sen( x) Sen( x ) 2 Cos ( x ) ( x 5 4 x 2 100) 2 4
2)
y
1 x 2 5
y
( x 3 ) 2
1 x 2 6
x 5 (1 x y '
2
65 65 )' x x ' (1 x 2 ) 2 65 x
65 6 15 (2 x) x x (1 x 2 ) 5 y ' 12 x 11
2 x
5
y '
6 15 6 115 x x 5 5 12
x 11
4 y '
5
x
5
5
6 12
x
5
5
5
1
x 5
3)
y
5 x
3
y
3
4
5 x
x
5 x
3 x
3 x
4
1
x 2
5 x
(5 x
3
(5 x
3
12 12 3 x )' x 5 x x 5 x ' (5 x 3 3 x 4 ) 2 12 x 5 x 4
y '
12 12 3 x )' x 5 x x 5 x ' (5 x 3 3 x 4 ) 4
y '
12 x 5 x
12 1 12 3 12 x ) x 5 x x 5 (5 x 3 x 4 ) 2
2
(15 x
3
y '
3
x
10 x 2 25 x 2
5
15 x
7
2
75 x
3
12 x
2
60 x
4
y '
5
25 2
x
2
50 x
21
3
2
10 x
4) y
x 2
20 x
2
10 x
2
25 x
2
x 1
y '
(20 x 1 4
2
(20 x
2
x) 4
x)
3 4
2
7
3
x
y
5
5 2
x
2
3
3
x
y '
2
(40 x 1)
45 x
4
25 x
2
2
7
x 2
25 x
3
15 x
4
3)
y
5 x
3
y
3
4
5 x
x
5 x
3 x
3 x
4
1
x 2
5 x
(5 x
3
(5 x
3
12 12 3 x )' x 5 x x 5 x ' (5 x 3 3 x 4 ) 2 12 x 5 x 4
y '
12 12 3 x )' x 5 x x 5 x ' (5 x 3 3 x 4 ) 4
y '
12 x 5 x
12 1 12 3 12 x ) x 5 x x 5 (5 x 3 x 4 ) 2
2
(15 x
3
y '
3
x
10 x 2 25 x 2
5
15 x
7
2
75 x
3
12 x
2
60 x
4
y '
5
25 2
x
2
50 x
21
3
2
10 x
4) y
x 2
20 x
2
10 x
2
25 x
2
x 1
y '
(20 x 1 4
2
(20 x
2
x) 4
x)
3 4
2
7
3
x
y
5
5 2
x
2
3
3
x
y '
2
(40 x 1)
45 x
4
25 x
2
2
7
x 2
25 x
3
15 x
4
5)
y
y '
ln(ln( 2 x ))
(ln(ln( 2 x)))'5 (5)' (ln(ln( 2 x )))
y '
y '
y '
5
52
1 1 (2)(5) x l n ( 2 ) 2 x 25
1 1 ln( 2 x) x 5 1
(ln( 2 x))( x)(5)
6) y = Cos (x4+1) y’ = y’ = (-Sen (x4+1)) (4x3)
7) y = Cos (Cos (3x)) y’ = y’ = (-Sen (Cos (3x))) (-Sen (3x)) (3)
8) y
y'
4 x.e sen( x ) (4 x )' (e sen( x) ) (e sen( x) )' (4 x )
(ln 4)(e sen( x) ) (e sen( x ) )(Cosx)(4 x ) y' 4 x (ln x sen( x ) )(ln 4 Cosx) y' 4 (e
ln( 4 x 2
9) y
y '
2 x)
Sen( x) (ln( 4 x
2
2 x))' ( Sen( x)) ( Sen( x))' (ln( 4 x
2
2 x))
2
Sen ( x)
1 2 2 (8 x 2)( Sen( x)) (Cos( x))(ln( 4 x 2 x)) 4 x 2 x y ' 2 Sen ( x )
(8 x 2)( Sen( x)) 2 (Cos( x))(ln( 4 x 2 x)) 2 4 x 2 x y ' 2 Sen ( x)
10)
y
5
x
5 x
y '
y '
y '
y '
12 x
8
7
(12 x 5 x 8 )' ( 5 x 7 ) ( 5 x 7 )' (12 x 5 x 8 ) ( 5 x 7 ) 2 (60 x 4
8 x 7 )( 5 x 7 ) (7 5 x 6 )(12 x 5 5 x
60 5 x11 8 5 x14
14
24 5 x
5 x 5 x
3
5 x
14
24 5 3
11
14
84 5 x11 7 5 x14
5 x14 5 x
y '
x
8
)
11)
y
2 x
2
12
x
y
2 x
5 x
2
5 x
1
x 2
12
(2 x
2
12 12 5 x)' x 12 x 12 ' (2 x 2 5 x) 2 12 x 12
y '
12 1 12 2 (4 x 5) x 12 x (2 x 5 x) 2 y ' 1 x 24 x 2 144 4 x
3
1
3
2
2
2
48 x 5 x
y '
1
x 3
3 x
2
24 x 2
x 2
2
1
x
12) y
24 x 2
144
2 x 2 1
1 3
1 1
y 2 x 13 4 2
y'
y '
2 x 1 12 1 3
2
1
2 x
2 x
2
2
1
12
1
1
11 12
(4 x)
11
12
144
1
5
48 x
y '
y
60 x
( x)
60
5
2
1
x 2
13) y ( x 6 6 x
3
9).(6 x 10
x )
1 6
y ( x 6 x
3
y ' ( x
6
3
y '
6 x
(6 x 18 x 5
9)(6 x x 2 ) 10
1 1 10 10 2 9)' 6 x x 6 x x 2 ' ( x 6 6 x 3 9)
4
1 10 9 1 12 6 2 ) 6 x x 60 x x ( x 6 x 3 9) 2
11
y ' 36 x
15
y ' 96 x
15
6 x
2
540 x
7
108 x
9
6
18 x
252 x
2
2
11
13
6
60 x
15
x
2
360 x
7
15 x
2
2
y’ = (25) Cos(x3) (3x2) y’ = (75x2) Cos(x3)
15) y = Sen (Sen(5x+1)) Y’ = (Cos (Sen(5x+1))) (Cos (5x+1)) (5)
5 x.e 2 x
5
3
y' (5 )' (e x
5
2 x 3
y' 5 x (ln 5)(e 2 x 5
5
) (e 2 x 5
3
3
)' (5 x )
) (e 2 x
5
3
y' 5 x (e 2 x 3 )(ln 5 10 x 4 )
)(10 x 4 )(5 x )
1
9
14) y = 25.Sen(x3)
16) y
6
x
2
540 x
9
11
1
2
x
2
7
3 x
2
1
9
2
x
2
2. Hallar la derivada con respecto a “t” de: 17) f (t )
SenCos(t 3 .2t
f ' (t ) SenCos(t ' (2 t ) (2 t )' SenCos(t 3
3
f ' (t ) 3SenCos(t (Cos(Cos(t )))( Sen(t ))(2 t ) (2 t )(ln 2) SenCos(t
18)
g (t )
2
c ln( t ) 2
3t
4
1
g (t )
c ln( t ) 2 2
3t
4
1 1 t 4 t 4 2 (c ln( t )) ' (3 ) (3 )' (c ln( t )) 2 g ' (t ) 2
2
(3t 4 ) 2 2
1 1 1 1 4 4 t t (c ln( t )) 2 (c) (3 ) (3 )(ln 3)(2t ) (c ln( t )) 2 2 t g ' (t ) 2
2
2
32t 8
1 1 (c ln( t )) 2 )(c)(3t 4 ) t 4 2 t c t ( 3 )(ln 3 )( 2 ) ( ln( )) t 2 ( ) g ' (t ) 2
2
3
2 19) f (t ) Sen7t .3t 4
5
f ' (t ) Sen7t ' 3t 2 4
2t 2 8
5
3t
2
5 ' Sen7t
4
4
4
f ' (t ) 4Sen7t (Cos(7t ))( 7)3t 2 5 (6t ) Sen7t 3
f ' (t ) (28) Sen7t (Cos(7t )) 3t 2 5 3
(6t ) Sen7t
3
20) g (t )
aCos(5t ) bt
g ' (t )
g ' (t )
at 3 bt 2
1
(aCos(5t ) bt )' (at 3 bt 2
1) (at 3 bt 2
(at 3 bt 2 (5aSen(5t ) b)(at 3 bt 2
de
un
1)' (aCos(5t ) bt )
1) 2
1) (3at 2 2bt )(aCos(5t ) bt )
(at 3 bt 2
3. Concentración
1) 2
Medicamento.- La
concentración de un medicamento t horas después de haber sido inyectado en el brazo de un paciente está dada por: C (t )
0.15t t
2
0.81
a) Hallar la razón de cambio de la concentración respecto al tiempo. C ' (t )
(0.15t )' (t 2
0.81) (t 2 (t 2
C ' (t )
0.15(t 2
0.81) 2
0.81) 2
4 horas.
0.15(4)
C (4) C ( 4)
0.81)' (0.15t )
0.81) 2t (0.15t )
(t 2
b) Hallar la concentración en t
4 2 0.81 0.0357 unidades.
La concentración del medicamento en 4 horas es de 0.0357 unidades.
c) Hallar la razón de cambio en t 4 horas. C ' ( 4)
0.15(4 2
0.81) 2(4)(0.15(4))
(4 2 C ' ( 4)
0.81) 2
2.5215 4.8 282.5761
C ' (4) 0.0081 unidades/hora. Cuando han pasado 4 horas, la concentración del medicamento ha disminuido a razón de 0.0081 unidades/hora.
4. Infección por epidemia.- Un equipo de investigación médica determina que t días después del inicio de una epidemia la cantidad de personas infectadas es: N (t )
10t 3
5t
t
¿A qué razón se incrementa la población infectada en el noveno día? N ' (t )
N ' (9)
N ' (9)
30t
2
30(9)
2
5
5
1
t
1 2
2 1 2
(9)
1 2
2435 .17 personas/día.
Cuando han pasado 9 días, la población infectada ha aumentado a razón de 2435.17 personas/día.
5. El numero de dólares del costo total de la manufactura de x unidades de cierta mercancía está dada por: C(x) = 40 + 3x + 9
2x
. Obtenga:
a) El costo marginal cuando se producen 50 unidades C’(x) = 3 +
9
C’(50) = 3 +
1
2
x
2
2
9 2 2 50
C’(50) = 3 + 0.9 C’(50) = 3.9 dólares/unidad. Cuando se fabrican 50 unidades, el costo total aumenta a razón de 3.9 dólares/unidad.
b) El número de unidades producidas cuando el costo marginal es de $4.50
9
C’(x) = 3 +
4.5 = 3 +
x )
2
2
2
9 2 x
9 2 2
(3
x
2
1.5 =
1
2
x
(9 2 ) 2
x = 18 unidades. Cuando el costo marginal es de $4.50 es porque se han producido 18 unidades.
6. Crecimiento de la Población: Se estima que dentro de t años, la población de cierta comunidad suburbana será:
P (t )
P (t )
20
6 t 1
miles.
20t 14 t 1
a) Deduzca una fórmula para la razón de cambio a la cual cambiará la población respecto al tiempo dentro de t años. P ' (t )
(20t 14)' (t 1) (t 1)' (20t 14) (t 1) 2
P ' (t )
20(t 1) (20t 14) (t 1) 2
P ' (t )
6 t 2
2t 1
b) ¿A qué razón crecerá la población dentro de 1 año? P ' (1) P ' (1)
6 12 3
2
2(1) 1
miles/año.
Cuando ha pasado 1 año, la población ha aumentado a razón de 3/2 miles/año.
c) ¿A qué razón crecerá la población dentro de 9 años?
P ' (9) P ' (9)
6 92 3
2(9) 1
miles/año.
50
Cuando han pasado 9 años, la población ha aumentado a razón de 3/50 miles/año.
7. Temperatura durante una enfermedad: La temperatura T de una persona durante una enfermedad está dada por: T (t )
T (t )
4t t
2
98.6t 2
1
98.6
4t 98.6
2
t
1
Donde T es la temperatura en grados Fahrenheit, en el tiempo t, en horas. a) Hallar la razón de cambio de la temperatura respecto al tiempo. T ' (t )
(98.6t 2
4t 98.6)' (t 2
1) (t 2
(t 2
T ' (t )
(197.2t 4)(t 2
1)' (98.6t 2
4t 98.6)
1) 2
1) 2t (98.6t 2 (t 2
4t 98.6)
1) 2
b) Hallar la temperatura en t 2 horas. T ( 2)
98.6(2) 2
(2) T ( 2)
4(2) 98.6
2
1
501
5
T ( 2) 100.2 °Farenheit. La temperatura de la persona en 2 horas es de 100.2° Farenheit.
c) Hallar la razón de cambio en t 2 horas. T ' (2)
(197.2(2) 4)(2 2
1) 2(2)(98.6(2) 2 (2 2
T ' ( 2)
1) 2
1992 2004 25
4(2) 98.6)
T ' (2)
12 25
°Farenheit/hora.
Cuando han pasado 2 horas, la temperatura ha disminuido a razón de 12/25 °Farenheit/hora.
8. El ingreso mensual “I” por vender compactadoras es una función de la demanda “X” del mercado: I(x)= 300x – 2x2 La demanda es función del precio “p” por compactadora: X (p) = 300 – 2p a) Hallar la dependencia del ingreso “I” en función del precio “p”. I (x) = 300x – 2x2 X (p) = 300 – 2p I (p) = 300(300 – 2p) – 2(300 – 2p)2 I (p) = 90000 – 600p – 2(90000 – 1200p + 4p2) I (p) = 90000 – 600p – 180000 + 2400p – 8p2 I (p) = – 8p2 + 1800p – 90000 b) Hallar la razón de cambio del Ingreso “I (p)” en miles de $, cuando p = 30 dólares. I’ (p) = – 16p + 1800 I’ (30) = – 16(30) + 1800 I’ (30) = – 480 + 1800 I’ (30) = 1320 miles de dólares/dólares Cuando el precio por compactadora ha sido 30 dólares, el ingreso ha aumentado a razón de 1320 miles de dólares/dólares.
9. Un taller de soldadura está especializado en la producción de silenciadores para autos. Los precios de fábrica: C(x) en euros, están relacionados con el número de silenciadores fabricados: “x”, a través de la siguiente expresión: C (x)=
10x2 + 20x + 25
¿Cuál es el ingreso marginal relacionado con este artículo cuando se venden 4 unidades?
I ( x) (10 x
2
20 x 25) x
I ( x) 10 x
3
I ' ( x) 30 x
2
I ' (4) 30(4)
2
I ' ( 4)
I ' (4)
20 x 2
25 x
40x 25
40(4) 25
480 160 25
665 euros/unidad.
Cuando se han vendido 4 unidades, el ingreso ha aumentado a razón de 665 euros/unidad.
10. Un estudio de eficiencia del turno matinal en cierta fábrica revela que un trabajador promedio que llega al trabajo a las 8:00 am habrá producido () = − 3 + 8 2 + 15 unidades t horas más tarde. a) Calcular la tasa de producción del trabajador a las 9:00 am. 3
Q(t ) t Q(1) (1)
3
8t 2
8(1) 2
15t
15(1)
Q(1) 1 8 15 Q(1)
22 unidades.
El trabajador produce 22 unidades en 1 hora.
b) ¿Cuál es la razón de cambio de la tasa de producción del trabajador con respecto al tiempo a las 9:00 am.? 2
Q' (t ) 3t Q' (1) 3(1)
2
16t 15
16(1) 15
Q' (1) 3 16 15
Q' (1) 28 unidades/hora. Cuando ha pasado 1 hora, la producción ha aumentado a razón de 28 unidades/hora.
PARTE 2: PROBLEMAS SOBRE DERIVADA
1. Volumen de un globo.- Si un globo se infla a razón de 4000 cm 3/min ¿con qué rapidez crece su radio (se expande) cuando éste es de 10 cm? Relación volumen -tiempo
4 3 r dvol 3 d
dt
dt
4000
dt
4 (10) 2
dt
10
min.
Relación distancia -tiempo dd dt
dv
d (r )
dt 1
10
dv
10
dv
3.18 cm/min.
Cuando el radio se expande a 10 cm, la velocidad con la que crece aumenta a razón de 3.18 cm/min.
2. Ondas circulares concéntricas.- Una piedra se deja caer sobre un estanque en reposo y produce ondas circulares concéntricas. El radio “ r” de la onda exterior crece a una tasa constante de 30 cm/seg cuando su radio es 120 cm. ¿A qué ritmo está creciendo el área total A de la zona perturbada? Relación distancia -tiempo
dd dt
30
d ( r ) dt 1 dt
1
dt
30
seg.
Relación área -tiempo 2
d ( r
dA
dt dA dt
)
dt
2 (120) 1 30
dA dt dA dt
7200
22608 cm2/seg.
Cuando el radio crece a una tasa constante de 30 cm/seg, el área crece a razón de 22608 cm2/seg.
3. Alambre conductor.- El flujo de corriente en un alambre conductor de cobre
está dado por la expresión siguiente: I ( x) ln 3 x 2
2
2 e x en watts, donde
x es la conductividad eléctrica para el cobre. Hallar la razón de cambio del flujo de corriente cuando x= 1.5 (siemens / metro) I ' ( x)
I ' (1.5)
I ' (1.5)
6 x 3 x
2
2
6(1.5) 3(1.5)
2
9 8.75
2e 2 x
2e 2 (1.5)
2
40.1701
I ' (1.5) 41.1987 watts*metro/siemens. Cuando la conductividad eléctrica ha sido 1.5 siemens/metro, el flujo de corriente ha aumentado a razón de 41.1987 watts*metro/siemens.
4. Resistencia.- La fuerza en Newtons de resistencia de unos neumáticos para autos deportivos en circuitos arenosos depende del coeficiente de rozamiento del terreno esto se refleja en la ecuación:
R( x) ln 5 x
2
15 x
Determinar la razón de cambio de la resistencia cuando el coeficiente de rozamiento es 0.5 10 x 15
R ' ( x )
R' (0.5)
5 x
2
15 x
10(0.5) 15 5(0.5) 2
R ' (0.5)
R ' (0.5)
15(0.5)
10
6.25
1.6 Newton.
Cuando el coeficiente de rozamiento ha sido 0.5, la resistencia ha aumentado a razón de 1.6 N.
5. Volumen de agua.- A un depósito cilíndrico de base circular y 5 m de radio, le está entrando agua a razón de 25 litros por segundo. Calcular la rapidez a la que sube la superficie del agua.
25 lt/seg = 0.025 m 3/seg
Relación volumen – tiempo 2
d ( hr
dvol
dt
dt d ( 25 h)
dvol dt
dt
0.025
dt
)
25
dt
1000 seg.
Relación distancia -tiempo
dd dt dv
d ( h) dt 1
1000
dv 0.0003 m/seg.
Cuando el agua entra a razón de 0.025 m 3/seg, la velocidad con la que el agua sube aumenta a razón de 0.0003 m/seg.
6. Efecto Doppler: La frecuencia F de la sirena de un coche de bomberos oída por un observador en reposo viene dada por:
F
132.400 331 v
Donde ±v representa la velocidad del coche de bomberos.
Calcular el ritmo de cambio de F respecto de v cuando: a) El coche se acerca a 30 m/s (usar – v) F ' (v )
(132400)' (331
v)
(331 F ' (v)
F ' (30)
(331
v)
v )' (132400)
2
132400
109561 662v v 2
132400
109561 662(30) 30 2
F ' (30)
F ' (30)
132400 90601
1.46 hz*s/m.
Cuando el coche se ha acercado a 30 m/s, la frecuencia ha disminuido a razón de 1.46 hz*s/m.
b) El coche se aleja a 30 m/s (usar +v)
F ' (v)
(132400)' (331 v) (331 v)' (132400) (331 v) 2 F ' (v)
F ' (30)
132400
109561 662v v 2
132400
109561 662(30) 30 2
F ' (30)
F ' (30)
132400
130321
1.02 hz*s/m.
Cuando el coche se ha alejado a 30 m/s, la frecuencia ha disminuido a razón de 1.02 hz*s/m.
7. Proyectil: Se dispara un proyectil directamente hacia arriba desde la superficie de la tierra con una velocidad de 400 pies/seg. Su distancia sobre la superficie de la tierra después de t segundos está dada por la ecuación s(t) = -16t2 + 400t. a) Halla el tiempo cuando el proyectil toca la superficie de la tierra. 0 = -16t2 + 400t 0 = -16t + 400 16t = 400 t = 25 seg. Cuando la distancia a la superficie de la tierra es 0, el proyectil ha viajado 25 segundos.
b) ¿Cuál es la aceleración en cualquier tiempo? Relación velocidad -tiempo dd dv dt da
dt
dt dd
dt
2
d (16t
400t )
2
da
2
d (t
)
da
32t 400 2t
8. Movimiento de un objeto: Un objeto se mueve a lo largo de una recta de acuerdo con la ecuación: s (t) = 2t2 - 12t + 10, Donde s se mide en pies y t en segundos. Halla la velocidad del objeto cuando t = 0, 1, 2, 3. 2
d (2t
dd dt
12t 10)
d (t ) dv
4t
12
T=0 dv
dv
4(0) 12
12 pies/seg.
Cuando el objeto ha iniciado su movimiento, la velocidad con la que se mueve disminuye a razón de 12 pies/seg.
T=1 dv
dv
4(1) 12
8 pies/seg.
Cuando el objeto ha estado en movimiento por 1 segundo, la velocidad con la que se mueve disminuye a razón de 8 pies/seg.
T=2 dv
dv
4(2) 12
4 pies/seg.
Cuando el objeto ha estado en movimiento por 2 segundos, la velocidad con la que se mueve disminuye a razón de 4 pies/seg.
T=3 dv
4(3) 12
dv 0 pies/seg. Cuando el objeto ha estado en movimiento por 3 segundos, la velocidad con la que se mueve disminuye totalmente a 0 pies/seg.
9. Nivel de agua en un tanque: A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 mts de radio y 16 mts de altura entra agua a una razón de 50 cm3/seg. a) ¿A qué velocidad está subiendo el nivel del agua cuando este se encuentra a 4 mts de altura? Relación volumen -tiempo
1
dvol
dt
d (
1
dt
h
3
)
3 16
(400)
50 16
1
dt
1
dt
dt
dvol dt
h
( ) 2 h) 3 4
d (
2
dt
(160000)
16
50
628.32 seg.
Relación distancia -tiempo dd dt
dv
d ( h)
dt 1
628.32
dv 0.0016 cm/seg. Cuando el nivel está a 4m de altura, la velocidad con la que sube aumenta a razón de 0.0016 cm/seg.
b) ¿A qué velocidad está cambiando el radio en ese mismo instante? Relación volumen -tiempo
dvol dt
d (
1
2
r (4r ))
3
dt d (
dvol
dt
4
3
r
3
)
dt
4 (100) 2
50
dt
dt
dt
4 (10000 )
50 800 seg.
Relación distancia -tiempo dd dt
dv
dv
d ( h)
dt
1
800
0.000398 cm/seg.
Cuando el nivel está a 4m de altura, la velocidad con la que cambia el radio aumenta a razón de 0.000398 cm/seg.
PARTE 3: PROBLEMAS SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 1. El ingreso de la producción de x unidades de cierto producto es:
63 x x 2
R( x)
x 2
63
millones de dólares. a) ¿Cuál es el nivel de producción que genera el máximo ingreso? Paso 1
R' ( x)
(63 x x 2 )' ( x 2
R' ( x )
63) ( x 2
( x 2
(63 2 x)( x 2
63)' (63 x x 2 )
63) 2
63) (2 x)(63 x x 2 )
( x 2
63) 2
Paso 2
0
(63 2 x)( x 2
0 (63 x 2
63) (2 x)(63 x x 2 )
( x 2
3969 2 x 3
0
63 x
0
2
x
63) 2
126 x) (126 x 2
126 x 2
x 9 y
2 x 3 )
3969
2 x 63 x
7
Paso 3
R’
R
<-∞, -9>
<-9 , 7>
<7 , +∞>
x = -10 decrece
x=5 crece
x = 10 decrece
Paso 4 Cuando se producen 7 unidades, el nivel de producción genera el máximo ingreso.
b) ¿Cuál es el máximo ingreso? R(7)
R (7)
63(7) (7) 2 (7) 2 63
441 49 49 63
R (7 )
392 112
R (7) 3.5 millones de dólares. El máximo ingreso es de 3.5 millones de dólares.
2. Un biólogo realizó un experimento sobre la cantidad de individuos en una población de paramecium en un medio nutritivo y obtuvo el modelo g(t) = ln(t2 − 2t + 5) donde t se mide en días y g(t) es el número de individuos en el cultivo. Indique después de cuánto tiempo el número de individuos en la población es mínimo.
Paso 1
g ' (t )
2t 2 2
t
2t 5
Paso 2 0
2t 2
t
0
2
t
2t 5
2t
2
1
Paso 3
g’ g
<0 , 1>
<1 , +∞>
t = -2 decrece
t=2 crece
Paso 4 Después de un día, el número de individuos es el mínimo.
3. La cantidad de agua recogida en 2002 (en millones de litros), en cierto pantano, como función del instante de tiempo t (en meses), viene dada a través de la expresión:
f (t ) Paso 1
f ' (t )
10
t 6
2
1
(10)' t 6
2
t f ' (t )
; 0 t 12
t
1
6
2
6
2
1 ' (10)
1
2
10.(2(t 6)).(1)
t
6
2
1
2
20t 120
f ' (t )
t
6
2
1
2
Paso 2 0
20t 120
t 6
2
2
1
0 20t 120 20t
120
t
6
Paso 3
<0 , 6>
<6 , 12>
t=5 crece
t=7 decrece
f’ f
a) ¿En qué periodo de tiempo aumentó la cantidad de agua recogida? Desde el primer mes hasta el sexto, la cantidad de agua recogida aumentó.
b) ¿En qué instante se obtuvo la cantidad máxima de agua? En el sexto mes.
c) ¿Cuál fue esa cantidad máxima? f (6)
10
6 62 1
f (6)
10 1
f (6) 10 millones de litros.
La cantidad máxima fueron 10 millones de litros.
4. Un cierto medicamento se ha inyectado en el cuerpo de una persona con un cáncer de mama, su actuar se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V (t)= 40 + 15t - 9t 2 + t3, donde t es el tiempo (en horas) transcurrido desde que comenzó el estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima intervención en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece.
Paso 1 V ' (t )
15 18t 3t 2
Paso 2 0
15 18t
t
1 y t
3t
2
5
Paso 3
V’
V
<0 , 1>
<1 , 5>
<5 , 6>
t = 0.5 crece
t=3 decrece
t = 5.5 crece
Paso 4 Cuando ha transcurrido 1 hora se produce el instante de máxima intervención. Cuando han transcurrido 5 horas se produce el instante de mínima intervención. En la primera y última hora, la intervención del medicamento aumenta, mientras que entre la primera y la quinta hora, disminuye.
5. Cuando usted tose, la tráquea se contrae. La velocidad “v” a la cual el aire sale depende del radio “r” de la tráquea. Si R es el radio normal (de descanso) de la tráquea, entonces para “r” menor o igual “R”, la velocidad está dada por: V=a (R-r) r 2 donde “a” es una constante positiva. Paso 1 2
V (r ) aRr
3
r
2
V ' (r ) 2aRr 3r
Paso 2 2
0 2aRr 3r 3r 2 2aRr
r
2 aR
3
Paso 3
<0 , 2aR/3>
<2aR/3 , +∞>
r = aR/3 crece
r = 2aR decrece
V’ V
a) ¿Qué valor de “r” maximiza la velocidad? Cuando “r” es igual a 2aR/3, la velocidad es la máxima.
b) ¿Cuál es esa velocidad máxima? 2
2aR 2aR 2aR V aR 3 3 3 3 3 3 3 8a R 2aR 4a R V 9 27 3 3 3 3 3 2aR 12a R 8a R V 3 27 3 3 2aR 4a R V 27 3
3
La velocidad máxima es igual a 4a3R3/27.
6. En una empresa el fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la fórmula: R(x)= -0.002x 2 + 0.8x - 5, donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar teniendo en cuenta que dicha empresa dispone de 500 euros:
Paso 1 R ' ( x)
0.004 x 0.8
Paso 2
x 0.8 0.004 x 0.8 x 200
0
0.004
Paso 3
R’ R
<0 , 200>
<200 , 500>
x = 100 crece
x = 300 decrece
a) ¿Cuándo aumenta y cuando disminuye la rentabilidad? Cuando se invierten hasta 200 euros, la rentabilidad aumenta. Cuando se invierten desde 200 hasta 500 euros, la rentabilidad disminuye.
b) ¿Cuánto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible? Cuando se invierten 200 euros se obtiene la máxima rentabilidad posible.
c) ¿Cuál será el valor de dicha rentabilidad? R (200)= -0.002 (200)2 + 0.8 (200) – 5 R (200)= -80 +160 – 5 R (200)= 75 El valor de dicha rentabilidad es de 75 euros.
7. En una explotación agrícola se ha observado que cuando se utilizan Q kg de fertilizante por hectárea Ha se obtienen T kg de trigo (es decir: T(Q)). El precio de venta del trigo es 0,06 €/kg y el del fertilizante 0,4 €/kg. ¿Cuantos kg de fertilizante por hectárea Ha hemos de utilizar para maximizar el beneficio? Aplíquese al caso particular en el que: 3
T (Q) 140 9,8Q 0,5Q 2
Paso 1 B
I
C
B(Q) 0.06T (Q) 0.4(Q)
3 B (Q) 0.06 140 9,8Q 0,5Q 2 0.4(Q) 3
B(Q) 8.4 0.588Q 0,03Q 2
0.4(Q)
3
B(Q) 0,03Q 2
0.188Q 8.4 1
B' (Q) 0,045Q 2
0.188
Paso 2 1
0 0,045Q 2 1
Q2
0.188
0.188
0.045
Q 17.45
Paso 3
<0 , 17.45>
<17.45, +∞>
Q = 10 crece
Q = 25 decrece
P’ P
Paso 4 Se deben utilizar 17.45 kg para maximizar el beneficio.
8. Una compañía de transporte con una tarifa de $20, transporta 8000 pasajeros por día, al considerar un aumento de la tarifa, la compañía determina que perderá 800 pasajeros por cada $5 de aumento en estas condiciones ¿Cuál debe ser el aumento para que el ingreso sea máximo? Ingreso = n° pasajeros * (tarifa + aumento) I (x) = (8000 – 800x) (20 + 5x) I (x) = 160000 + 40000x – 16000x – 4000x2 I (x) = 160000 + 24000x – 4000x2 Paso 1
I ' ( x) 24000 8000 x Paso 2 0 24000 8000 x 24000
8000 x
x 3 Paso 3
<0 , 3>
<3 , +∞>
I’ I
x = 2 crece
x=4 decrece
Paso 4
Aumento = 5x Aumento = 5(3) Aumento = $15 El aumento debe ser de $15 para que el ingreso sea el máximo.
9. Considere una empresa que opera en el mercado bajo la siguiente función de costos totales C(x)= 0,1x 2 + 10x + 50; y con un precio de venta de $20 por unidad.
Paso 1
U ( x) U ( x)
U ( x)
I ( x)
20 x (0.1 x 2
20 x
0.1 x
2
C ( x)
10x 50)
10x
50
2
U ( x) 0.1 x 10x 50 U ' ( x) 0.2 x 10 Paso 2 0
0.2
0.2 x x
x 10
10
50
Paso 3
U’ U
<0 , 50>
<50 , +∞>
x = 10 crece
x = 100 decrece
a) Para maximizar las utilidades, ¿cuántas unidades debe producir la empresa? La empresa debe producir 50 unidades para maximizar las utilidades.
b) ¿a cuánto asciende la utilidad máxima? 2
U (50) 0.1(50) 10(50) 50 U (50) 250 500 50 U (50) 200
La utilidad máxima asciende a $200.
10. Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2 horas, viene dada por la expresión v(x) = (2-x).e x, donde x es el tiempo en horas y v(x) es a velocidad en cientos de kilómetros.
Paso 1 x
V ' ( x) (2 x)' e x
V ' ( x) e
V ' ( x) e x
(e x )(2 x)
2e x
x
V ' ( x) e V ' ( x)
x
e
(e x )' (2 x)
xe x
x
xe
(1
x
x)
Paso 2
0
0
e
x
x
(1
1
)
x
1
Paso 3
V’ V
[0 , 1>
<1 , 2]
x = 0.5 crece
x = 1.5 decrece
a) En qué momento del intervalo [0;2] circula a la velocidad máxima y calcular dicha velocidad. V (1) = (2-1).e1 V (1) = e km/h. El auto circula a velocidad máxima después de 1 hora a 2.72 km/h.
b) ¿En qué periodos gano velocidad y en cuales redujo? ¿Se detuvo alguna vez? El auto ganó velocidad en la primera hora y en la segunda redujo.
V (2) = (2-2).e1 V (2) = 0 km/h. El auto se detuvo al finalizar las 2 horas de recorrido.
