Derivada
1
Derivada En cálculo (rama de las matemáticas), la derivada representa cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de variación); por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando. La derivada de una función en un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en la gráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función. El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciación. El teorema fundamental del cálculo dice que la diferenciación es el proceso inverso de la integración en funciones continuas.
Historia de la derivada Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz). En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen: • El problema problema de la tangente tangente a una curva curva (Apolo (Apolonio nio de Perge) Perge) • El problema problema de los los extremos: extremos: máximos máximos y mínimos mínimos (Pierre de Fermat)
La derivada de la f unción en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).
En su conjunto dieron origen a lo que moderadamente se conoce como cálculo diferencial. Siglo XVII Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez mas usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral. Newton y Leibniz A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos "derivadas" e "integrales". Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo). Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable "fluye"(varía) con el tiempo.
Derivada
2
Leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad. Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos y el símbolo de la integral .
Conceptos y aplicaciones El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la "antiderivada" o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal. La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad. Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación. Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.
Introducción geométrica a las derivadas Supongamos que tenemos una función y la llamamos
. La derivada de
representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de En términos geométricos, esta pendiente
es otra función que llamaremos
en el punto
.
.
es "la inclinación" de la línea recta que pasa justo por encima del
punto y que es tangente a la gráfica de . Al identificar dos puntos muy cercanos en la gráfica y al unirlos mediante una línea recta, una pendiente queda visualizada. Cuanto más cercanos sean los dos puntos que se unen por medio de la recta, la recta se parece más a una recta tangente a la gráfica y su pendiente se parece más a la pendiente de una recta tangente. Notamos que esta pendiente coincide con la rapidez con que aumenta el valor de la función en cada punto. Dicho de otra manera, si la pendiente en un punto es muy grande, entonces el valor de la función en ese punto crece muy deprisa; si la pendiente es muy pequeña, entonces el valor de la función crece muy despacio en ese punto. Es decir, tanto la pendiente de la recta tangente como la rapidez de crecimiento en un punto
de una función
está dado por . No todas las funciones poseen derivada. Desde el punto de vista geométrico esto se puede deber a varios motivos. Por ejemplo hay funciones donde se da el caso de que por un mismo punto pasan muchas rectas tangentes(por ejemplo la función valor absoluto en el punto 0) y no es posible definir de manera única la pendiente a la recta tangente. También se da el caso de que no se puede definir la pendiente a una recta tangente en una función que no es continua. Incluso hay funciones donde cualquier recta que pase por uno de sus puntos intersecta en una infinidad
Derivada
3
de puntos muy cercanos y por tanto no hay recta tangente. Las funciones que poseen derivada se llaman diferenciables. Conocer la derivada de una función diferenciable por lo general resulta una tarea sencilla utilizando las técnicas de derivación desarrolladas por Gottfried Leibniz e Isaac Newton, las cuales permiten conocer las derivadas de muchas de las funciones de interés frecuente o bien, simplificar el trabajo para encontrar derivadas menos comunes.
Condiciones de continuidad de una función Una función continua es aquella cuya regla de correspondencia asigna incrementos pequeños en la variable dependiente a pequeños incrementos de los elementos del dominio de dicha función, es decir, ,y usando la expresión . Ello quiere decir que
, queda
donde en este caso,
, y si este último límite existe significa en consecuencia por un
teorema de límites (un límite existe si y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función que cumpla con es continua en el punto
.
Condición no recíproca La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su derivabilidad. Es posible que los límites laterales sean equivalentes pero las derivadas laterales no; en este caso la función presenta un punto anguloso en dicho punto. Un ejemplo puede ser la función valor absoluto (también llamada módulo) en el punto
. Dicha función es
equivalente a la función partida Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las derivadas resultan Cuando vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no existe derivada en el punto, a pesar de que sea continuo. De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable.
Derivada
4
Definición analítica de derivada como un límite En
terminología clásica, diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad . En matemáticas coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc. En física coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo. En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto de la función por el resultado de la división representada por la relación
, que
Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y.
como puede
comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto de la función. Esto es fácil de entender puesto que el triangulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto , por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de
es siempre el mismo.
Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la r ecta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea. En particular, se tiene que la derivada de la función en el punto
se define como sigue:
, Si este límite existe, de lo contrario,
no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea
del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática. Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal. También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera: , La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de . El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.
Derivada
5
No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado. El conocimiento de todas las expresiones anteriores y su significado representan el acercamiento epistémico más completo posible en torno a la definición de derivada, y con ello, al aspecto esencial del cálculo diferencial.
Notación Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Si f es una función, se escribe la derivada de la función respecto al valor
en varios modos:
• {Notación de Lagrange} se lee "efe prima de equis" •
o
se lee " •
{Notaciones de Cauchy y Jacobi, respectivamente} sub
de
", y los símbolos D y d deben entenderse como operadores.
{ Notación de Newton}
se lee "punto " o " punto". Actualmente está en desuso en Matemáticas puras, sin embargo se sigue usando en áreas de la física como la mecánica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notación de velocidad relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una variable. •
,
ó
{Notación de Leibniz}
se lee "derivada de
(
ó
de
) con respecto a
". Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada de
una función con respecto a otra como un cociente de diferenciales. La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de en el punto
, se escribe: para la primera derivada, para la segunda derivada, para la tercera derivada, para la enésima derivada (
Para la función derivada de
en
). (También se pueden usar números romanos).
, se escribe
. De modo parecido, para la segunda derivada de
se escribe , y así sucesivamente. La otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de
Con esta notación, se puede escribir la derivada de
Si
en el punto
en
,
, se escribe:
de dos modos diferentes:
, se puede escribir la derivada como
Las derivadas sucesivas se expresan como o para la enésima derivada de tercera derivada es
o de
respectivamente. Históricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la
Derivada
la cual se puede escribir como
La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos "d" parecen cancelarse simbólicamente:
En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos "d" no pueden cancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En análisis no-estándar, no obstante, se puede ver como números infinitesimales que se cancelan. La notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la función:
y así sucesivamente. Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas de tiempo tales comos velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solo se usa para las primeras y segundas derivadas.
Diferenciabilidad Una función con dominio en un subconjunto de los reales es diferenciable en un punto si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si es diferenciable en todos los puntos del intervalo. Si una función es diferenciable en un punto , la función es continua en ese punto. Sin embargo, una función continua en , puede no ser diferenciable en dicho punto. En otras palabras, diferenciabilidad implica continuidad, pero no su recíproco. La derivada de una función diferenciable puede ser, a su vez, diferenciable. La derivada de una primera derivada se llama derivada segunda. De un modo parecido. La derivada de una derivada segunda es la derivada tercera, y así sucesivamente. Esto también recibe el nombre de derivación sucesiva o derivadas de orden superior.
6
Derivada
7
Cociente de diferencias de Newton La derivada de una función
es la pendiente geométrica de la línea
tangente del gráfico de en . Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente: . La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente.
Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número relativamente pequeño. representa un cambio relativamente pequeño en , el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la línea que cruza los dos puntos y es . Esta expresión es el cociente de diferencias de Newton. La derivada de en es el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:
Inclinación de la secante de la curva y=f(x).
. Si la derivada de
existe en todos los puntos
, se puede definir la derivada de
como la función cuyo valor en
cada punto es la derivada de en . Puesto que sustituir por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se puede cancelar la del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples. Sea una función continua, y un ángulo. En el punto pendiente, es La función
su curva. Sea la abscisa de un punto regular, es decir donde no hace de se puede trazar la tangente a la curva. Su coeficiente director, o sea su
, el número derivado de en es la derivada de .
.
Derivada
8
En el punto de contacto, conociendo la pendiente de la tangente, es decir decrece la función. El signo de
En este gráfico se ve que donde y por lo tanto
determina en función
(si crece o no).
es creciente, las tangentes apuntan hacia arriba (mirando de izquierda a derecha),
es positiva, como en el punto
apuntan hacia abajo y
(
es negativa, como en el punto
), mientras que donde (
mínimo local, la tangente es horizontal, luego La función derivada se puede calcular sin dibujar la curva de tangente, se tiene la fórmula:
Por ejemplo, sea entonces:
, se puede saber a qué ritmo crece o
). En los puntos
es decreciente, las tangentes y
, que son máximo y
. . En efecto, gracias a una propiedad geométrica de la
Derivada
9
Lista de derivadas de funciones elementales
(regla de la cadena)
Derivada
10
Ejemplo Sea
la función
, definida sobre el conjunto de los números reales (denotado
por
). Para conocer sus variaciones se observa su derivada:
Para encontrar el signo de
, se tiene que factorizar:
lo anterior que se hace resolviendo una ecuación de segundo grado. También se observa su segunda derivada: Dado que Dado que
y y
entonces entonces
tiene un máximo local en -1 y su valor es
tiene un mínimo local en 4 y su valor es
Nótese que la derivada es diferenciable en todo su dominio y hay exactamente 2 valores de , los cuales son
y
.
, tomando en cuenta el teorema del valor medio y que
. tales que entonces la
derivada es negativa en el intervalo por lo tanto la función es decreciente en el intervalo . Al ser una función basada en un polinomio cúbico no está acotada ni por arriba ni por abajo y como su derivada es una función cuadrática entonces no tiene más de 2 puntos con derivada igual a cero, por tanto la función es creciente en el intervalo y en el intervalo .
Generalizaciones El concepto simple de derivada de una función real de una sola variable ha sido generalizado de varias maneras: • Cálculo de varias variables • Derivada direccional, extiende el concepto de derivada parcial. • Derivada parcial, que se aplica a funciones reales de varias variables. • Análisis complejo: • Función holomorfa, que extiende el concepto de derivada a cierto tipo de funciones de variables complejas • Análisis funcional: • Derivada fraccional, que extiende el concepto de derivada de orden superior a orden r , r no necesita ser necesariamente un número entero como sucede en las derivadas convencionales. • Derivada funcional, que se aplica a funcionales cuyos argumentos son funciones de un espacio vectorial de dimensión no finita. • Derivada en el sentido de las distribuciones, extiende el concepto de derivada a funciones generalizadas o distribuciones, así puede definirse la derivada de una función discontinua como una distribución. • Diferenciablidad, otra generalización posible para funciones de varias variables cuando existen derivadas continuas en todas direcciones es el de: • Función diferenciable, que se aplica a funciones reales de varias variables que poseen derivadas parciales según cualquiera de las variables (El argumento de una función de varias variables pertenece a un espacio del tipo de dimensión n finita). • La diferenciación en el sentido de Fréchet generaliza el concepto de función diferenciable a espacios de Banach de dimensión infinita.
Derivada
Véase también • • • • • • • • •
Criterio de la derivada de mayor orden Pendiente de una recta Límite de una función Tabla de derivadas Derivación numérica Derivación de funciones trigonométricas Función matemática Integral Reglas de derivación
11
Fuentes y contribuyentes del artículo
Fuentes y contribuyentes del artículo Derivada Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41060636 Contribuyentes: Airunp, Angus, Antionio, Antur, Beagle, Belgrano, BlackBeast, C'est
moi, Camilo, Camilo-andres 1010, Carlos riveros v, Charly genio, Cobalttempest, Ctrl Z, Daniel Feipeler, Dark Bane, Davius, Deltasubk, Dferg, Diegusjaimes, Divalino, Dnu72, Drakens1024, Drini2, Ecemaml, Eduardosalg, Ef sacco, Egaida, Elliniká, Erik Jack, Farisori, Fernando H, Fsd141, GermanX, Ggenellina, Gomezroman, Götz, Hosg, Humberto, Ignaciojimenez89, Isha, J.R.Menzinger, J053 M4NU3L, JAGT, JMCC1, Jackbauer6, Jarisleif, Jesfervid, Jmcalderon, Joelcuervo, Joseaperez, Juankyii, Kn, Larry2323, Lobishomen, Lorenzo Braschi, Lt. CiberShark, Magister Mathematicae, Mancontr, Matdrodes, Merlucin, Monesruizsantiago, Mortadelo2005, Muro de Aguas, OboeCrack, Pello, Petronas, Pino, PoLuX124, Proferichardperez, Ramon00, Rcamacho, Rdaneel, Retama, Rubendario2000, Rumpelstiltskin, Sabbut, Sejomagno, Sergostg, Siabef, Soulreaper, Souyirojico, Super braulio, Tano4595, Thiridaz, Tirithel, Tomatejc, Txo, Usuwiki, Veon, XalD, Xexito, Yuyuik, Zulucho, 466 ediciones anónimas
Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes Archivo:Tangent to a curve.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Tangent_to_a_curve.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Original uploader was Jacj at
en.wikipedia Later versions were uploaded by Oleg Alexandrov at en.wikipedia. Archivo:Dydx.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Dydx.jpg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Darapti, Frokor Archivo:Derivative.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Derivative.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Berland, Darapti, Grafite, Maksim Archivo:Secante-calculo.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Secante-calculo.svg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Original uploader was Sebastiao.rocha at pt.wikipedia Archivo:pendiente.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Pendiente.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: ManuelGR Archivo:derivada.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Derivada.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Original uploader was Moriel at es.wikipedia
Licencia Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
12
