DERIVADAS DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR La derivada de orden superior se conoce como la segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x).
Es importante tener en cuenta:
de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las caractersticas de la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos los órdenes pese a que se puedan calcular con las formulas.
Las notaciones usuales utili!adas con mayor frecuencia para derivadas de segundo orden son:
El orden de las derivadas, se pueden expresar de la siguiente manera:
E"ercicio: #. $eterminar
, donde
%olución: &btenemos primero
Luego:
y se tiene que:
DERIVADAS IMPLÍCITAS 'na ecuación implcita entre las variables x e y es una ecuación de la forma (x, ) * + (#) &curre a menudo que, en tal caso, la variable y puede expresarse en forma equivalente mediante varias funciones de x.
Funciones explícitas !unciones i"plícitas En los cursos de clculo la mayor parte de las funciones con que traba"amos estn expresadas en !o#"a explícita$ como en la ecuación
dónde la variable y est escrita explcitamente como función de x. %in embargo, muc-as funciones, por el contrario, estn implcitas en una ecuación. La función y * # x, viene de/nida i"plícita"ente por la ecuación: x y * #.
%i queremos -allar la derivada para esta 0ltima ecuación, lo -acemos 1# despe"ando y, as, y * # x * x , obteniendo su derivada fcilmente: El m2todo sirve siempre y cuando seamos capaces de despe"ar y en la ecuación. El problema es que si no se logra despe"ar y, es in0til este m2todo. 3or e"emplo, 4cómo -allar dydx para la ecuación x 5 1 5y6 7 8y * 5, donde resulta muy difcil despe"ar y como función explcita de x9
El "%to&o &e #e'la &e la ca&ena pa#a !unciones i"plícitas a sabemos que cuando se derivan t2rminos que solo contienen a x, la derivación ser la -abitual. %in embargo, cuando tengamos que derivar un t2rmino donde apare!ca la y, ser necesario aplicar la regla de la cadena. E"emplo #:
qu las variables coinciden: se deriva normalmente.
E"emplo 5:
qu las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
E"emplo 6:
;allar
, de la función implcita:
plicando la notación
, a cada t2rmino y extrayendo las constantes<
. En el primer t2rmino las variables coinciden, se derivan normalmente, en el segundo t2rmino se aplica la derivada de un producto (primer par2ntesis cuadrado), lo mismo en el tercer t2rmino.
.
La regla de la cadena se aplica el t2rmino , como puede observarse a continuación claramente en el segundo par2ntesis,
=uitando par2ntesis y ordenando los t2rminos,
, 3asando algunos t2rminos al lado derec-o,
Extrayendo el factor com0n
,
y /nalmente despe"ando, obtenemos la respuesta requerida:
D(&x con &e#i)a&as pa#ciales >uc-o del traba"o anterior podra omitirse se usramos la fórmula siguiente:
$onde
y
, representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,
, representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.
E"emplo 8:
;allar
, de la función implcita:
Soluci*n+ 3rimero,
%egundo,
-ora el cociente,
comodando el signo menos en el numerador, obtenemos el resultado:
3ara usar la fórmula se debe introducir al alumno a las derivadas parciales con algunos e"emplos. &bviando la teora de las mismas que no es necesaria para el tema de derivación implcita.
Nota+ %olo doy un e"emplo ya que para el buen entendido del tema es su/ciente. ?ada lector puede consultar libros sobre el tema y probar la fórmula que proponemos.
,i-lio'#a!ía consulta&a+ ?lculo $iferencial, $erivación @mplcita
