Universida Universidad d Nacional Nacional de Colombia. Colombia. C´ alculo alc ulo Difere Dif erenci ncial. al. Taller. Docente: Docente: Javier Javier Moreno. Moreno.
1. Encuen Encuentre tre dos n´ umeros umeros positivos p ositivos cuyo producto pro ducto es 100 y cuya suma es m´ınimo. 2. La suma de dos n´umeros umeros positivos es 16. Cu´al al es el menor valor posible de la suma de sus cuadrados? 3. Cu´al al es la distancia vertical m´axima axima entre la recta y = x + 2 y la par´abola abola y = x2 para 1 x 2?
− ≤ ≤
4. Cu´al al es la distancia vertical m´ınima ınima entre las par´abolas y abolas y = x = x 2 + 1 y y = x = x
2
−x ?
5. Un modelo utilizado utilizado para el rendimiento rendimiento (yield) (yield) Y Y de de una producci´on on agr´ a gr´ıcola ıco la como c omo funci´ fun ci´on on del nivel de nitr´ogeno N ogeno N en en el suelo (medido en unidades adecuadas) es Y =
kN 1 + N 2
donde k donde k es una constante p ositiva. Qu´e nivel de nitr´ogeno ogeno ofrece el mejor rendimiento? 6. La rapidez (en mg carbono/m carbono/ m3 /h) en que la fotos´ fotos´ıntesis ıntesis tiene lugar para una especie de fitoplancton es modelada por la funci´on on P =
100I 100I I 2 + I + + 4
donde I es la intensida intensidad d de luz (medida en miles de pie-candela pie-candela)) Para qu´e intensidad intensidad de luz P luz P es es m´axima? axima? 7. Se desea construir construir una caja con tapa abierta, utilizand utilizandoo una pieza cuadrada de cart´ on on de 3 pies de ancho, recortando un cuadrado en cada una de las cuatro esquinas y doblando los costados. Encuentre el volumen m´as as grande que esa caja puede tener. 8. Una caja con una base cuadrada, cuadrada, abierta abierta en la parte superior, superior, debe tener tener un volumen volumen de 3 32000cm 32000 cm . Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material que ha de utilizarse. 9. Si se dispone de 1200cm 1200 cm2 de materias para hacer una caja con una base cuadrada y sin tapa; encuentre el mayor volumen posible de la caja. 10. Un contenedor contenedor rectangular rectangular de almacenamiento almacenamiento sin tapa ha de tener un volumen volumen de 10m 10m3 . La longitud de su base es dos veces su ancho. El material para la base cuesta $10 por metro cuadrado y el material para los costados cuesta $6 por metro cuadrado. Encuentre el costo de los materiales que haga m´as as barato el contenedor. 11. Halle el punto punto sobre la curva curva y =
√ x que est´a m´as as cerca del punto (3, (3, 0). 1
12. Busque los puntos sobre la elipse 4x2 + y2 = 4 que est´an m´as lejos del punto (1, 0). 13. Halle las dimensiones del rect´ angulo de mayor ´area que puede ser inscrito en un c´ırculo de radio r. 14. Busque el rect´angulo de mayor ´area que puede ser inscrito en la elipse x 2 /a2 + y 2 /b2 = 1. 15. Encuentre las dimensiones del rect´angulo de mayor ´a rea que puede ser inscrito en un tri´angulo equil´atero de lado L si uno de los lados del rect´angulo se encuentra sobre la base del tri´angulo. 16. Halle el ´area del trapecio m´as grande que puede ser inscrito en un c´ırculo de radio 1 y cuya base es un di´ametro del c´ırculo. 17. Busque las dimensiones del tri´angulo is´ oceles de mayor ´area que puede ser inscrito en un c´ırculo de radio r. 18. Halle el cilindro de mayor volumen posible que pude inscribirse en una esfera de radio r. 19. Busque el cilindro de mayor volumen posible que puede inscribirse en un cono de altura h y radio base r. 20. Encuentre el cilindro circular recto de mayor superficie que puede inscribirse en una esfera de radio r. 21. Una ventana normanda tiene la forma de un rect´ angulo rematado por un semic´ırculo. (As´ı, el di´ametro del semic´ırculo es igual al ancho del rect´angulo). Si el per´ımetro de la ventana es de 30 pies, encuentre las dimensiones de la ventana para que sea admitida la mayor cantidad posible de luz. 22. Los m´argenes superior e inferior de un cartel son de 6cm y los m´argenes de los lados de 4cm. Si el ´area de impresi´on sobre el cartel se fija en 384cm2 , encuentre las dimensiones del cartel con la menor ´area. 23. Un pedazo de alambre de 10m de largo est´a cortado en dos piezas. Una pieza est´a doblada en forma de cuadrado y la otra de un tri´angulo equil´atero. C´ omo debe cortarse el alambre para que el ´area total encerrada sea a) un m´aximo?, b) un m´ınimo? 24. Una barde de 8 pies de altura corre paralela a una distancia de 4 pies de un edificio alto. Cu´al es la escalera de menor longitud que, colocada en el suela, pasando sobre la barda, alcanzar´a la pared del edificio? 25. Un cono de altura h est´a inscrito en un cono de mayor tama˜ no con altura H , de manera que su v´ertice est´a en el centro de la base del cono m´as grande. Demuestre que el cono 1 interior tiene volumen m´aximo cuando h = H . 3
2
26. Un objeto con peso W es arrastrado a lo largo de un plano horizontal por una fuerza que act´ u a a lo largo de una cuerda atada al objeto. Si la cuerda forma un a´ngulo θ con un plano, entonces la magnitud de la fuerza es F =
µW µ sin θ + cos θ
donde µ es una constante denominada coeficiente de fricci´on. Para qu´e valor de θ es F m´as peque˜ na? 27. Un pez nadando a una rapidez v relativa al agua, el gasto de energ´ıa por unidad de tiempo es proporcional a v 3 . Se cree que durante la migraci´on, los peces intenta minimizar la energ´ıa total requerida para nadar una distancia fija. Si los peces est´an nadando contra la corriente u (u < v), entonces el tiempo necesario para nadar una distancia L es L/(v u), y la energ´ıa toal E necesaria para nadar la distancia viene dada por
−
E (v) = av 3
· v −L u
donde a es la constante de proporcionalidad. (a) Determine el valor de v que minimiza E . (b) Trace la gr´afica de E . 28. Un barco sale de un muelle a las 14:00 y viaja hacia el sur a una velocidad de 20 km/h. Otro barco ha estado dirigi´endose al este a 15km/h y llega al mismo muelle a las 15:00. A qu´e hora estuvieron los barcos m´as cerca el uno del otro? 29. Una refiner´ıa de petr´oleo se encuentre en la orilla norte de un r´ıo que tiene 2km de ancho. Se debe construir una tuber´ıa desde la refiner´ıa a tanques de almacenamiento situados en la orilla sur del r´ıo, 6km al este de la refiner´ıa. El costo de colocaci´ on de tuber´ıa es de $400000/km sobre la tierra a un punto P a la orilla norte y $800000/km bajo el r´ıo a los tanques. Para minizar el costo de la tuber´ıa, d´onde debe ubicarse P ? 30. La iluminaci´o n de un objeto por una fuente de luz es directamente proporcional a la intensidad de la fuente, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de la fuente. Si dos fuentes luminosas, una tres veces m´as intensa que la otra, se colocan a 10 pies de distancia, d´onde se debe colocar un objeto en la recta entre las fuentes a fin de recibir la menor iluminaci´on? 31. Encuentre la ecuaci´o n de la recta a que pasa por el punto (3, 5) que corta el primer cuadrante con la menor ´area. 32. En cu´ales puntos sobre la curva y = 1 + 40x3 pendiente?
− 3x
5
la recta tangente tiene la mayor
33. Cu´al es el tri´angulo de menor ´area posible que corta el primer cuadrante y cuya hipotenusa es tangente a la par´abola y = 4 x2 en alg´ un punto?
−
3
34. (a) Si C (x) es el costo de producir x unidades de un producto, entonces el costo promedio por unidad es de c(x) = C (x)/x. Demuestre que si el costo promedio es un m´ınimo, entonces el costo marginal es igual al costo promedio. (b) Si C (x) = 16000 + 200x + 4x3/2 , en d´olares, encuentre (i) el costo, el costo promedio y el costo marginal a un nivel de producci´on de 1000 unidades; (ii) el nivel de producci´on que minimizar´a el costo promedio y (iii) el costo promedio m´ınimo. 35. (a) Demuestre que si la utilidad P (x) es un m´aximo, entonces el ingreso marginal es igual al costo marginal. (b) Si C (x) = 16000 + 500x 1,6x2 + 0,004x3 es la funci´on costo y p(x) = 1700 7x es la funci´on demanda, encuentre el nivel de producci´on que maximizar´a la utilidad.
−
−
36. Dos postes verticales P Q y ST est´an segurados por una cuerda P RS que van desde la parte superior del primer poste a la parte superior del segundo poste como se muestra en la figura. Demuestre que la longitud m´as corta de esa cuerda se produce cuando θ 1 = θ 2.
37. Se pliega la esquina superior derecha de un pedazo de papel de 12 pulg por 8 pulg, como se muestra en la figura, sobre la orilla inferior. C´omo deber´ıa usted plegarla para minizar la longitud del pliegue? En otras palabras, c´omo se elige x para minimizar y ?
38. Se lleva cargando un tubo de acero por un pasillo de 9m metros de ancho. Al final de la sala hay un giro recto en un estrecho pasillo de 6 pies de ancho. Cu´al es la longitud del tubo m´ as largo que puede dar la vuelta horizontalmente alrededor de la esquina?
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39. Un observador se encuentre en un punto P a una unidad de una piesta. Dos corredores comienzan en el punto S en la firuga y corren a lo largo de la pista. Un atleta corre tres veces m´as r´apido que el otro. Encuentre el valor m´aximo del ´angulo de vista del observador θ entre los corredores. [Sugerencia: maximice θ.]
40. Una pintura en una galer´ıa de arte tiene altura h y est´a cogada de manera que su borde inferior est´e a una distancia d sobre el ojo de un observador (como en la figura). Hasta qu´e punto de la pared debe estar el observador para tener la mejor vista? (En otras palabras, d´onde debe pararse el observador para maximizar el ´angulo θ subtendido a su ojo por la pintura?)
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