GUÍA: LA DERIVADA
Área de EET
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Confeccionado por: Srta. Marina Salamé Salamé
Derechos Reservados Titular del Derecho: Derecho: INACAP N° de inscripción en el Registro de Propiedad Propiedad Intelectual # ___ . ____ de fecha ___-___-___. © INACAP 2002.
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3. LA DERIVADA 3.1 Introducción “Esta ciencia (matemáticas) no tiene como único objetivo contemplar eternamente su propio ombligo; ella toca la naturaleza y algún día hará contacto con ella. En ese día será necesario descartar las definiciones puramente verbales y no ser nunca más la víctima de palabras vacías”. ( Henri Henri Poincaré)
En los capítulos anteriores hemos introducido de manera intuitiva la noción de derivada y, luego, hemos estudiado el concepto de límite y sus propiedades. Esto nos va a permitir establecer en lo que sigue la definición de la derivada con un mayor grado de precisión matemática. Aunque esta precisión se empezaría a desarrollar con los matemáticos del siglo XIX, la realidad es que, en sus aspectos esenciales, los resultados que vamos a estudiar a continuación fueron obtenidos en los dos siglos anteriores. Los padres del Cálculo, Newton y Leibniz, y los grandes matemáticos que les siguieron como los hermanos Bernoulli, Euler, D'Alembert y otros, desarrollaron ampliamente el nuevo campo matemático y sus aplicaciones a las ciencias físicas sin las precisiones y el rigor que solo se lograría en el siglo XIX.
3.2 El Concepto de Derivada Definición
1: y = f (x) definida en x0, y en v (x0) para valores menores que x0. h ∈ − tal qu que x 0 + h ∈ v ( x 0 )
Entonces : Si
lim
h →0
f ( x0 + h ) − f ( x0 ) h
existe, el numero real correspondiente se
llama “La derivada lateral por la izquierda de y f(x) en x = x 0, respecto ,
de x “ Se denota f (x0) −
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Definición
2: y = f (x) definida en x 0, y en v (x0) para valores menores que x 0. h ∈ + tal que x 0 + h ∈ v (x 0 ) Entonces : Si
lim
f (x0 + h ) − f (x0 )
existe, el numero real correspondiente se
h
h →0
llama “La derivada lateral por la derecha de y f(x) en x = x 0, respecto ,
de x “ Se denota f (x0). +
Definición
3: y = f (x) definida en x 0, y en v (x0). Si las derivadas laterales de
y
= f(x) respecto de x, existen y son iguales en x = x 0, el numero real común se llama “ La derivada de y = f(x) en x = x 0, respecto de x” Se denota: ,
f (x0),
,
y
x0
,
dy , dx x 0
D X f (x)
] x0
Observaciones: 1) En las definiciones anteriores: h se llama El Incremento de la Variable Independiente, que también se denota ∆x y que tiene un valor muy pequeño dado que x0 + h o f (x0 + h ) − f (x0 )
A
o
x0 + ∆ x están en v (x 0). f (x0 + ∆ x ) − f (x0 )
se le llaman El
Incremento de la función o de la variable dependiente : ∆y . A
f (x0 + h ) − f (x0 ) h
,
=
∆y ∆x
cuociente de incrementos
∆y ∆x → 0 ∆x
∴ f ( x0 ) = lim
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2) La definición 3) de derivada de y = f (x) definida en x = x 0 respecto de x es: y = f(x) definida en x 0 y en v (x 0).
Si
lim
f (x0 + h ) − f (x0 ) h
h →0
= α entonces α es la derivada de y = f(x) en
x = x0 respecto de x.
3) Gráficamente: y y= f (x) f( x0 +h
f(x0 + h ) − f (x0 ) = ∆y
f(x0)
x x0
x0 + h
1 424 3 h = ∆x
Ejercicio 1: Calcular la derivada lateral por la izquierda en x 0 = 4 para y = 3x + 1. Resolución : f (x) = 3x + 1, f (x0 + h ) − f (x0 ) = f(4 + h) – f(4) = 3h donde h ∈ − f (x0 + h ) − f (x0 )
lim
h
h→0
= lim 3 h →0
h = lim 3 = 3 h h→ 0
,
∴ f (4) = 3 −
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Ejercicio 2: Calcular la derivada de y = sen x en x = x 0 = 4 Resolución : f (x) = sen x , f (x0 + h ) − f (x0 ) = sen (x0 + h) – sen (x 0) = 2 cos ( x0 +
h 2
)
f (x0 + h ) − f (x0 )
lim
h
h→0
h
sen
2
= lim
h →0
cos x 0 +
h
sen
2
h 2
h
= cos x0
2 ,
∴ f (x0) = cos x 0 x
Ejercicio 3: Calcular la derivada de y = 7 en x = x0. x
Resolución : f (x) = 7 , f (x0 + h ) − f (x0 ) = 7
f (x0 + h ) − f (x0 )
lim
h
h→0
,
∴ f (x0) = 7
x0
= lim
h →0
7
x0 + h
x0 + h
h
− 7
− 7
x0
x0
=7
x0
lim
7
h→0
h
− 1
h
=7
x0
ln 7
ln 7
Observaciones: 1) En adelante cuando nos refiramos a las derivadas, nos estamos refiriendo a la tercera definición: con h ∈ . Cuando nos refiramos a las derivadas laterales, lo señalaremos explícitamente.
2) Si existe la derivada de y = f(x) en x = x 0, diremos que y = f(x) es Derivable o diferenciable en x = x 0. El proceso para encontrar la derivada: Derivación o Diferenciación ( respecto de x ) en x = x 0.
3) La derivada de y = f(x) en x = x0 es un numero real.
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Teorema Observación
1: Si y = f (x) es derivable en x = x 0 entonces es continua en x = x 0 : La proposición reciproca es falsa
3.3 Las Funciones Derivadas. Definición
1: y = f (x) es derivable en D (Dominio) si y solo si es derivable ∀ x0 ∈ D .
Definición
2: La función que da la derivada de y = f (x) en D, se llama la función Derivada de y = f (x) en D. Se denota: f
Ejercicio Resolución
,
,
( x ) , ( f(x) ) ,
,
y ,
dy , dx
d f (x), dx
D X f(x)
1: Encontrar la función derivada de y = 5x 2 – 2x + 3. : f (x) = 5x2 – 2x + 3 tiene D = f (x0 + h ) − f (x0 ) h lim
=
5h2 − 10 x 0 h − 2h
f (x0 + h ) − f (x0 )
h→0
. Sea x0 ∈ D
h
h
= 5h + 10 x 0 − 2
= lim ( 5h + 10 x0 − 2 ) =10 x 0 − 2 h→0
, La función derivada es y = 10 x0 – 2 donde x 0 ∈ D = Esta función se anota: , , y = 10 x – 2 , f ( x ) = 10 x − 2,
dy dx
= 10 x − 2,
DX f (x) = 10 x − 2
, La función derivada y = 10 x0 – 2 da la derivada de y = 5x2 – 2x + 3
∀x ∈ . Ejemplo si x = 5 o x = 5 ∴ f
,
( 5 ) = 10 ⋅ 5 − 2 = 48...........etc.
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Ejercicio Resolución
2: Encontrar la función derivada de y = 1
: y = f (x) =
1 x
tiene D = ∗ .
x
f (x + h ) − f (x) =
1 x +h
1
+
x
=
−h x ( x + h)
f (x + h ) − f (x) 1 1 = =− h x ( x + h) x 2 + xh
f (x + h ) − f (x) 1 1 = lim − =− h h → 0 x 2 + xh x2
lim
h→0
,
∴ y =−
Ejercicio Resolución
1 x2
es la función derivada de y =
3: Encontrar la función derivada de y = :
f (x) =
x
1 en ∗ x
x
D = + ∪ { 0 } el único valor conflictivo es x 0
tiene
pero no hay elementos de v (x 0) menores que 0,
esto debe reflejarse
en la función derivada. f (x + h ) − f (x) h h
= h
(
x+h − x
=
x +h + x
)
h
=
f (x + h ) − f (x)
lim
h
h →0
,
∴ y =− ∴y =
x
1 2 x
⋅
x +h + x x +h + x
1 x +h + x
= lim
h →0
1 2 x
, y tal como dijimos, y no existe.
, es derivable en + solamente, y su derivada y =
1 2 x
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Ejercicio
Resolución
x + 1 si x > 2 4: Dada f (x) = 5 si x = 2 x si x < 2
Calcular
, , f (3) y f (2)
,
: Para f (3) como 3 es mayor que 2 f (x) se comporta como f(x) = x + 1 en 3 y en v(3) f (x0 + h ) − f (x) h , Para f− (2),
∴
h →0
h ∈ −,
,
( 3 ) =1
2 + h < 2 ∴ f ( 2 + h) = 2 + h, f (2) = 5
f (x + h ) − f (x) = lim h h →0 ,
∴
f− (2)
, Para f+ (2),
no
3 1− h = + ∞
existe
h ∈ +,
2 + h > 2 ∴ f ( 2 + h) = 3 + h, f (2) = 5
f ( 2 + h) − f(2) 3 + h − 5 2 = = 1 − h h h
lim
h →0
∴
h
f
f ( 2 + h) − f(2) −3 + h 3 = = 1 − h h h
lim
∴
( 3 + h ) + 1 − [3 + 1] = =1 ∴
f (2 + h) − f (2) = lim h h→0 ,
f+ (2)
no
existe
2 1− h = − ∞ ,
∴ f (2) no existe.
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Gráficamente:
f (x)
5
•
3
o
2
o 0
2
x
Figura 3.3.1
3.3 Reglas de Derivación Aún cuando se puede calcular un solo límite que nos da la función derivada de una función dada, los cálculos tal como usted lo ha visto suelen ser muy engorrosos. Pero aquí, también, podemos tomar caminos más cortos que nos permiten calcular derivadas con un mínimo de esfuerzo. Para ello veremos un teorema que da una lista de propiedades de la derivada.
Teoremas : . Propiedades de las Derivadas 1) f(x) = x es derivable en 2) f(x) = k es derivable en
f (x) = 1 , , y f ( x) = 0
, y
,
Observación : Los dos teoremas anteriores se pueden enunciar: ,
1) ( x ) = 1 ,
2) (k ) = 0
en
en
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Teoremas : f(x), g(x), derivables en D, entonces: ,
,
,
,
,
,
3) ( f (x) + g(x) ) = f ( x) + g (x) 4) ( f (x) − g(x) ) = f (x) − g (x) , , , , ....... ( f (x) + g(x) − h(x) ) = f ( x) + g (x) − h (x) ,
,
,
5) ( f (x) ⋅ g(x) ) = f (x) ⋅ g(x) + g (x) ⋅ f(x) , , , , ...... ( f (x) ⋅ g(x) ⋅ h(x)) = f (x) ⋅ g(x) ⋅ h(x) + g (x) ⋅ f(x) ⋅ h(x) + h (x) ⋅ f(x) ⋅ g(x) ,
,
,
f (x) f (x) ⋅ g(x) − g (x) ⋅ f (x) 6) = 2 g(x) ( g(x)) ,
......... en D.
,
7) ( k ⋅ g (x) ) = k ⋅ f ( x) ,
,
1 f (x) 8) =− 2 f(x) ( f ( x ))
9)
(n
(
,
f (x)
r
10) [ f(x)]
Observación:
)
=
1 ⋅ [ f (x)] n
,
) = r ⋅ [ f (x)] (
,
f(x)
)
=
1 −1 n
r −1
,
⋅ f (x)
,
⋅ f (x)
, r ∈
, f (x) 2 f(x)
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Teoremas : En sus dominios de definición. ,
11) ( sen x ) = cos x ,
12) ( cos x ) = − sen x ,
13) ( tg x ) = − sec 2 x ,
14) ( cot x ) = − co sec 2 x ,
15) ( sec x ) = sec x ⋅ tg x ,
16) ( cos ec x ) = − co sec x ⋅ cot x Teoremas : En sus dominios de definición. ,
1
17) ( arc senx ) =
1− x 2
,
1
18) ( arc cos x ) = − ,
19) ( arc tg x ) =
1− x 2 1
1 + x2
,
20) ( arc cot x ) = −
1 1 + x2
,
1
21) ( arc sec x ) = x
x2 − 1
,
1
22) ( arc cos ec x ) = − x
x2 − 1
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Teoremas : En sus dominios de definición.
( )
23) a
x
,
( )
24) e
x
,
= a x ⋅ lna = ex ,
25) ( loga x ) = ,
26) ( ln x ) =
1 ⋅ loga e x
1 x
3.4 Derivación de Funciones Compuestas. La derivación de las funciones compuestas esta regida por el siguiente teorema:
Teorema ( REGLA DE LA CADENA) y = g (u) , u = f(x), tales que u = f(x) es derivable respecto a x en D f , y tiene recorrido R f . y = g (u) es derivable respecto a u en R f .
Entonces: y = g ( f(x)) es derivable respecto a x en D f y se tiene , dy dy du = ⋅ =y dx du dx
Observación 1: La regla de la cadena se generaliza a funciones compuestas de mas de dos funciones, cuyos dominios y recorridos estén relacionados como lo exigió el teorema. De este modo, si
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y = h (u),
u = g (v),
v = f (x)
dy du
du dv
y existen
Entonces
dv dx
y = h (g(f(x))) es derivable respecto a x en D f
y se tiene
dy dx
=
, dy du dv ⋅ ⋅ =y du dv dx
..... el resultado se expresa en función de la variable x.
Observación 2: Los teoremas que dan las funciones derivadas se acostumbran a anotarlas llevando implícita la regla de la cadena. u = f(x) ejemplo: ..................... 7)
d du k ⋅u= k ⋅ dx dx
............................... 11)
d du ⋅ cos u = − senu ⋅ dx dx
...................................... 26)
d 1 du ⋅ ln u = ⋅ dx u dx
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3.5 Derivadas de Orden Superior. Dada una función, una vez que se calcula la primera derivada, es posible a su vez calcular la derivada de esta derivada y así sucesivamente. Estas se llaman derivadas de orden superior . Así
,
A partir de f(x) derivando respecto a x obtenemos. Pero f (x) puede a su vez ser derivada respecto a x, obteniéndose: la función derivada de, llamada también La Función Segunda Derivada de f(x. Este proceso puede repetirse y se tiene:
f(x) , 1) Derivando respecto a x : f (x) ,
y
,
,
dy , dx
d f(x) dx
o Dxf(x), llamada Función
Primera Derivada de f(x). 2) Derivando respecto a x nuevamente: "
f (x) , y
"
d2 y
,
dx
2
d2
,
dx
2
f(x) o D2X f(x), llamada Función Segunda Derivada de f(x) o
Derivada de Segundo Orden. 3) Derivando respecto a x nuevamente: f
,,,
(x) , y
,,,
,
d3 y dx 3
,
d3 dx3
f(x) o D3X f(x), llamada Función Tercera Derivada de f(x) o
Derivada de Tercer Orden. ........................................................................................................................................
n)................. f n (x) , y
n
,
dn y dx
n
,
dn dx
n
f(x) o DnX f(x), llamada Función Enésima o
Derivada de Orden n.
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Ejercicios propuestos
1-. Usando solo la definición, calcular f ‘( x0 ) en el x 0 donde : 1 x
a)
f(x) = 3x
,
x0 = 2
b)
f(x) =
c)
f(x) =
,
x0 = 5
d)
f(x) = log x
,
x0 = 4
e)
f(x) = 1 − x 2
x0 = 5
e)
f(x) = e x
,
x 0 = −3
x
,
x0 = 3
,
2-. Comprobar las siguientes derivadas: a)
d 3x 4 − 2x 2 + 8 dx
b)
d z2 dz 2
c)
d dx
d)
d 2 3 2 − 2 = − 2 dx x x x
e)
d 4 2t dt
(
1 2 v
−1
3
+
4t
f)
= 12x 3 − 4x
6 = z − z
z7 − z
v =
)
d a + bx + cx2 dx x
4
dv dx
=
6
+
3 t 2
x3
−1 4
−5
−
t
4
a = c − 2 x
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g)
h)
i)
d a + bt + ct 2
dt
dx 2
2
−
a
ax + dx
d dθ
k)
d dx
d dx
= ax 2
1− 2θ
3
1
= x 4
d
j)
l)
t
d x
a
b
+ + = − 2t t 2 t
x
x
a
− ax
x
a 2x
ax
1
= −
1 − 2θ
3
( 4 − 9x )
2
3
x
=
a2 − x 2
2
1
+
4 − 9 x = −
1
3c t
(
a2 − x 2
3
)
3-. Hallar las siguientes derivadas:
2
a)
b y = a− x
b)
b y = a− x2
c)
y= x
d)
s= t
dy 2b = 2 dx x 3
a + bx
a2 + t 2
b a − x
dy 6b = − 3 dx x
2
b a + 2 x
dy 2a + 3bx = dx 2 a + bx ds a2 + 2t 2 = dt a2 + t 2
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e)
f)
g)
h)
y=
y=
a−x a+x
dy 2a = − 2 dx (a + x )
a2 + x 2
dy = dx
a2 − x 2
a2 + x 2
y=
x
a2 − x 2
i)
r = θ2 3− 4θ
j)
y=
k)
y=
l)
s =
1 − cx 1+ cx
3
(
dy dx
dx
2 + 3t 2 − 3t
ds = dt
n)
b y= a2 − x 2 a
+
1 2 2 x
)
a2
(a
2
−
3 2 2 x
)
dy dx
c 1 − c2 x2
(1 + cx )
a2 − x 2
2px
(a
2
= −
dy
y=
2
dr 6θ − 10θ2 = dθ 3−4 θ
a2 + x 2
m)
)
a2
dy = − dx
dy = dx
2
a2 − x 2
x x
y=
4a2 x
=
=
2a2 x
( a2 − x 2 )
a4 − x 4 4
2
4
( 2 + 3t ) 3 ( 2 − 3t ) 3 p y
dy b2 x = − 2 dx a y
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4-. Derivar las siguientes funciones: a)
y = ln
( ax + b )
dy
b)
y = ln
(ax2 + b )
dy 2ax = dx ax 2 + b
c)
y = ln
( ax + b )
d)
y = ln axn
e)
y = ln
f)
y = log
g)
y = ln
h)
y = ln
3
x
dy 3 ln2 x = dx x
2 x
dy log e = − dx x dy = dx x
1 + x2
(
j)
y = x ln x
k)
y = ln x +
(
y = ln x +
s = ln
2
(1 + x )
−2x dy = dx 9 − 2 x2
9 − 2x 2
y = ln ax a + x
m)
ax + b
dy 2a = dx ax + b
2
x2
(
a
dy n = dx x
i)
l)
dx
=
dy
)
dx
=
2a + 3x 2x ( a + x )
f ' ( x ) = 1 + ln x 1+ x 2
1+ x 2
a + bt a − bt
)
)
f ' (x) =
f ' (x) =
1 1 + x2 1 1 + x2
ds ab = 2 dt a − b2 t 2
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n)
y = eax
dy = nenx dx
o)
y = 10nx
dy = n10nx ln10 dx
p)
y = ex
q)
y=
r)
s= e
s)
y=
2 dy = 2x e x dx
2
2
dy 2 = − x dx e
ex
ds e = dt 2
t
dy 1− ln x = dx x2
ex − 1
dy = dx
y=
u)
x x − a a e − e a y= 2
ex + 1
w)
s=
t
ln x x
t)
v)
t
( ex + 1)
dy = dx
ln t 2
2
1 a e + 2 x
−
e
x a
ds 2 − 4 ln t = dt t3
t2
f(x) = ln
2 ex
x2
+1 −
x2 + 1
+
x x
f' ( x) =
−2 x2 + 1
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5-. Derivar las siguientes funciones:
a)
y = sen ax 2
dy = 2 ax cos ax 2 dx
b)
y = tg
dy sec 2 1 − x = − dx 2 1 − x
c)
y = cos3 x
dy = −3 sen x cos dx
d)
y = sen ax
y ' = a cos ax
e)
y = 3 cos 2 x
y ' = −6 sen 2x
f)
y = sec
y ' = 4 sec 4x
g)
s=
h)
Ω=
i)
y=
j)
Ω=
k)
l)
m)
1− x
4x
cos 2t
3
tan 3θ
sec x
sen θ
dΩ = dθ
sec 2 3θ
tan 4x
cos 2t
( tan
2
3θ ) 3
θ cos θ − sen θ dΩ = dθ θ2
θ
y = ln sen ax
cos 2x
y = ln tan
−sen 2t
x
−2 tan x dy = dx sec x
4
y = ln
ds = dt
2
x 2
dy = a cot ax dx dy = − tan 2x dx dy 1 x x = cot sec 2 dx 2 2 2
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n)
y = ln
1 + sen x
dy
1 − sen x
dx
= sec
x
6-. Hallar las siguientes derivadas:
a)
dy = x x (1+ ln x ) dx
y = xx
x dy = dx
x
b)
y= x
c)
a s= t
d)
y = x sen
e)
y = ( cos x )
t
x
( 2+
ln x )
2 x t
ds a a = ln − 1 dt t t
sen x = x senx + cos x ln x dx x dy
x
x
dy = y dx
(
ln cos x − x tan x
)
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3.6 Aplicaciones Geométricas de la Derivada. 3.6.1 Tangente a una curva en un punto dado de ella. Definición
1: Sean P0 y Q dos puntos de la curva correspondiente a y = f(x). La recta P0Q se llama una secante (geométrica) de la curva por P 0 y Q. Si tiende a P 0,
la
Q
posición limite que adopta la secante se llama la
tangente geométrica de la curva en el punto P 0 de ella.
Q
y = f(x)
y = f(x)
P0
P0
Q
Tangente
Secante
Figura 3.6.1
Teorema
1: La ecuación de la Tangente (geométrica) de la curva correspondiente a y = f(x), en el punto P 0(x0,y0) de ella es: ,
y - y0 = f ( x) ( x – x0)
Observaciones: ,
La pendiente o dirección de la recta y - y 0 = f (x0 ) ( x – x0) es
m=
,
f (x 0 ) , que es numéricamente igual a tg α, donde α es el ángulo que la recta forma con el eje OX, medido desde OX:
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y
y
α
α x
0
x
0
Figura 3.6.2
Respecto de y = f(x) se dice entonces: La pendiente o dirección de la curva de ecuación y = f(x) en el punto P 0 (x0,y0) de ella es ,
,
f (x0 ) , y dado que f (x0 ) = tg α se dice también que el ángulo ( que forma......) de la curva con el eje OX en P 0 es α, medido desde OX. Si α = 0o en P0, se dice que la curva es paralela a OX en P 0. y P0 P0
α
x x0
f
,
x
0 x0
(x0 ) = tg
f
,
(x0 ) = tg
Figura 3.6.2
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3.6.2 Normal de una curva en un punto dado de ella. Definición 2:
La normal a una curva en un punto P 0 de ella es la recta perpendicular a la tangente geometrica en el punto P 0.
N
C
P0
Tangente en P0
Normal en P0
Figura 3.6.3
Teorema
2: La ecuación de la (recta) Normal a la curva de ecuación y = f(x) en el punto P0 (x0, y0) de ella es: y - y0 = −
1 ,
⋅ ( x – x0)
f (x0 )
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3.7 Aplicaciones de la Derivada al Estudio de Funciones.
3.7.1 Teorema 1: Teorema de Rolle f(x) continua y derivable en [ a,b ] , f(x) = f(b) = 0. Entonces : existe x0 ∈
( a, b ) donde
,
f (x0 ) = 0
Gráficamente :
a
x0 x0
b
x
Figura 3.7.1
Si una curva continua parte de a y llega a b sobre el eje OX, existen x 0 donde la curva es paralela a OX.
3.7.2 Teorema 2: Teorema del Valor Medio para las Derivadas f(x) continua y derivable en [ a,b ] . Entonces : existe x0 ∈ ,
f (x0 ) =
( a, b ) donde
f(b) − f(a) b −a
Gráficamente :
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P
a
x
b
f (b ) − f (a
x
1444444424444444 3
b−a
Figura 3.7.2
3.7.3 Funciones Crecientes y Decrecientes Definición
1: f(x) en D. a) ( f(x) es una Función Creciente en D ) ⇔ ( ∀ x1, x2 ∈ D; y
x1< x2
entonces f(x 1) < f(x2)).
b) ( f(x) es una Función Decreciente en D ) ⇔ ( ∀ x1, x2 ∈ D; y x1< x2 entonces f(x 1) > f(x2)).
c) ( f(x) es una Función No Creciente en D ) ⇔ ( ∀ x1, x2 ∈ D; y x1< x2 entonces f(x1) ≥ f(x2)).
d) ( f(x) es una Función No Decreciente en D ) ⇔ ( ∀ x1, x2 ∈ D; y x1< x2 entonces f(x1) ≤ f(x2)).
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Gráficamente:
x
x
Creciente
x
Decreciente
x
No Creciente
No Decreciente
Figura 3.7.2
Teorema
3: f(x) derivable en D:
(
,
a) ( f(x) es Creciente en D ) ⇔ f ( x) > 0 en D
(
)
:
)
,
b) ( f(x) es Decreciente en D ) ⇔ f ( x) < 0 en D :
Ejemplo
1: Para f(x) = x3 – x2 encontrar los intervalos donde es creciente y los intervalos donde es decreciente.
Resolución
:
f(x) = x3 – x2 es derivable en . ,
f (x) = 3x 2 − 2x
∴
,
f (x) = 0
si
x = 0,
x=
2 3
,
Para estudiar las variaciones “ del signo “ de f (x)
x:-∞ ,
f (x)
2 3
0 +
0
-
0
+∞ +
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2 ∴ f(x) es creciente en ( − ∞, 0 ) ∪ , + ∞ : 3
es decreciente en 0,
2 3
:
3.7.4 Máximos y Mínimos Locales de Funciones
Definición
4: f(x) definida en D, entonces: a) (f(x) tiene un Máximo Local en x = x 0) ⇔ ( ∃ v(x0) donde f(x 0) > f(x) ∀ x ∈ v(x0) ).
b) (f(x) tiene un Mínimo Local en x = x 0) ⇔ ( ∃ v(x0) donde f(x0) < f(x) ∀ x ∈ v(x0) ).
Observaciones: 1) Los Máximos Locales (ML) y los Mínimos Locales ( mL) de f(x) se llama también, Valores Extremos de f(x). ( VE).
2) Recordemos que x0 ∉ v(x0). Para determinar los valores de x para los cuales y = f(x) tiene valores extremos, utilizaremos el siguiente teorema:
Teorema
,
,
4: f(x) continua en (a,b), x0 ∈ (a,b), f (x 0 ) = 0 o f (x 0 ) no existe : Entonces: ,
,
,
,
a) (en x0 hay un ML) ⇔ ( ∃ v(x0) donde : f (x) > 0 ∀ x < x0 y f (x) < 0 ∀ x > x0 ).
b) (en x0 hay un mL) ⇔ ( ∃ v(x0) donde : f (x) < 0 ∀ x < x0 y f (x) > 0 ∀ x > x0 ).
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Observaciones: 1) Llamaremos Valores Críticos (VC) de x a los valores de x para los cuales la primera y segunda derivada se anulan o no existen.
2) Dado que la existencia de un VE esta asociado a un cambio “de signo” de la primera derivada, para determinarlos, estudiaremos las variaciones “ de signo” de la primera derivada en los intervalos determinados por los VC de la primera derivada.
Ejemplo
2: Determinar los valores extremos de f(x) = x 3 – x2.
Resolución
:
f(x) = x3 – x2 es derivable en ∴ es continua en . ,
f (x) = 3x 2 − 2x
que existe ∀ x ∈
,
VC de f (x): x = 0, x =
2 3 ,
Las variaciones “ del signo “ de f (x)
x:-∞ ,
f (x)
+
0 ML
∴ en
2 3
0 -
0
+∞ +
mL
x = 0 hay un Máximo Local. x=
2 hay un Mínimo Local. 3
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3.7.5 Concavidades y Puntos de Inflexión de una curva. La curva correspondiente a la función
f(x) la podemos considerar compuestas de
segmentos de arcos que pueden estar “ abiertos hacia arriba o hacia abajo” f(x) PI
PI
x a
x1
x2
b
Figura 3.7.3
En la figura 3.7.3, podemos decir que aproximadamente en los intervalos [a,x 1] y
[x2, b]
los arcos correspondientes de la curva están abiertos hacia abajo, y en [x 1, x2] el arco esta abierto hacia arriba.
Definición
5: a) f(x) tiene Concavidad Positiva en un intervalo, si y solo si en ese intervalo le corresponde un arco abierto hacia arriba.
b) f(x) tiene Concavidad Negativa en un intervalo, si y solo si en ese intervalo le corresponde un arco abierto hacia abajo.
c) f(x) tiene un Punto de Inflexión en P 0 (x0, y0 ) si y solo si P0 separa arcos de concavidades opuestas.
Teorema
"
5: f(x) en D, f (x) existe en D
( b) ( f(x) tiene Concavidad Negativa en D ) ⇔ ( f (x) < 0 "
) ∪ en D ) : ∩
a) ( f(x) tiene Concavidad Positiva en D ) ⇔ f (x) > 0 en D : "
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Observación : En la figura 3.7.3, en los puntos de abscisas x 1 y x2 hay Puntos de Inflexión (PI).
Teorema
6: f (x) en (a,b), x0 ∈ (a,b), f " ( x 0 ) = 0
o
f "( x 0 )
no existe :
Entonces:
a) (en x0 hay un PI) ⇔ ( ∃ v(x0) donde : f " (x) > 0 ∀ x < x0, y f " (x) < 0 ∀ x > x0 ).
b) (en x0 hay un PI) ⇔ ( ∃ v(x0) donde : f " (x) < 0 ∀ x < x0 y f " (x) > 0 ∀ x > x0 ).
Observación : Para determinar los puntos de inflexión de y = f(x) hay que estudiar las variaciones de signos de f " (x) en los intervalos determinados por sus valores críticos.
Ejemplo
3: Determinar VE, zonas de crecimiento, de decrecimiento, concavidades x3 − 2x 2 3
y PI de y =
Resolución
:
x3 − 2x 2 y= 3 ,
f (x) = x 2 − 2x
VC :
0,4
f (x) = 2x − 2
VC :
1
x:-∞
1
"
,
0
+∞
4
f (x)
+
0
-
-
-
0
+
f " (x)
-
-
-
0
+
+
+
ML
PI
mL
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