Taller Resuelto Sobre Derivadas

Taller resuelto sobre derivadas  2 Ejemplo 1. Hallar la derivada de  y  t   1 t 2  1

Solución: Al aplicar la regla del cociente, con u  t 2  1 y v  t 2  1 , tenemos:

.dy



2 2t . t 2  1  2t .(t   1)

t 2  12

dt 



3 3 2t   2t   2t   2t 

t 2  12



4t 

t 2  12

Ejemplo 2:. Hallar la pendiente de la recta tangente a la grafica de x 2 + 4y 2 =4 en el punto A



2 ,1 /  2 .

Solución:

2 x  8 yy'  0   y '  

2 x 8 y



dy dx

 m( x,  y )  

 x 4 y

 2 m( 2 ,1 /  2 ) 

 2 2 1  1   4 4 2   1   4   2   2 

Ejemplo 3: Hallar la pendiente de la grafica de 3( x 2  y 2 )2  100xy Solución : 6( x 2   y 2 )(2 x  2 yy' )  100 y   y'100 x  12  x 2   y 2  x   y y    100 y  100 x y   4  3( x 2   y 2 )( x   yy' )  25 y  25 xy'  (3 x 2  3 y 2 )( x   yy' )  25 y  25 xy'

 3 x 3  3 x 2 y y   3 y 2 x  3 y 3 y '  25 y  25 xy'  3 x 2 yy'3 y 3 y '25 xy'  25 y  3 x 3  3 y 2 x 3 2 dy 25 y  3 x  3 y  x 2 3 3 2  y ' (3 x  y  3 y  25 x)  25 y  3 x  3 y  x    m( x,  y ) dx 3 x 2 y  3 y 3  25 x Ejemplo 4: Dada x

2

 y 2  25 . Calcular y”

y simplifique lo máximo máximo

2 x  2 yy '  0   y '  

Soluciön :

 y   x(  y  

  x  y

 y 

)



 y 2

 x

2 x 2 y

  y'  

2

 y

 y 

  y' '  

 y 2

 x

 x

  y' '  

 y

 y

2

 y

 y  y 2

1 Ejemplo

5:

Hallar

la

ecuación

de

2



2 2  y   x



 y 2

1   y   y x



 y 2   x 2  y 3



25  y 3

1

la

recta

tangente

a

la

curva

  2 2  . x 2 ( x 2  y 2 )  y 2 en el punto c ,   2 2   Solución:

 x 4   x 2 y 2   y 2  4 x 3  2 xy 2 2 yy' x 2  2 yy' 2 yx 2 y '2 yy'  4 x 3  2 xy 2 ;  2   yx 2 y    yy'  2 x 3   xy 2 2 2 2 2  2( ) 3  ( ) 3 2  2 x   xy 2 2 2 2 2  m( , ) m( x,  y )   y '  2 2 2 2 2 2 2  yx   y ( )  2 2 2

4 2 

8 2 2 8

  y  

  2

2 2 8 2

 3   Ec.   y   y1  m( x   x1 )

2

 3( x 

2

)

2 2 0  6 x  2 y  2 2



2 y  2

2

 3(

2 x  2 2

)

 2 y  2  6 x  3 2

 2  0  3 x   y  2

Ejemplo 6: Hallar la derivada de la función  y 

1 ( x  1)( x  3) 2 2

 x  1

, con x  1

usando las propiedades de los logaritmos.

Soluciön: Aplicando logaritmo natural (ln) a ambos lados del igual, queda:

1   2 2 1    x 1 ( x 3 )  2       Ln y ln ln  x 1 ( x 3) 2   ln ( x  1)   ( x  1)    







 ln( x 2  1)  ln( x  3)

1 2



 ln( x  1)  ln( x 2  1)  1 ln( x  3)  ln( x  1) 2

Derivamos en ambos lados de igual: 1 1  2x  Y' 2x 1 1 2 2      y'  y  2   Y x2  1 x  3 x  1 x 3 x 1   x  1 



( x 2  1)( x  3) Y'  ( x  1)



1  2x 1  2     2 x 3 x 1    x  1  

1 2

El estudiante debe realizar este mismo ejercicio, pero aplicando la formula de la derivada para un cociente, y comprobar si llega al mismo resultado anterior.

Ejemplo 7:  y  arc. sen x   x 1  x

1

 y 



2

y simplificar lo máximo.

1

1   x

2

 1 1   x 2  (1   x 2 ) 1 / 2  2 x . x 

1  1   x 2   x 2 1   x 2

1

2



2  2 x 2 1   x 2

1   x

2(1   x 2 )



2 1 / 2

(1   x )

2

2

 1   x 

 x 2

1   x

 2.(1   x 2 )1 / 2  2 1   x 2   y

1  1

 x  1    ln tan x  y simplificar  arc.tan 2  2  x  1   1  x  1 1 1 1 1   f  ( x) = ln  arc.tan x = ln ( x  1)  ln( x  1)  arc.tanx  4  x  1 2 4 4 2

Ejemplo 8:

 y   y =  y =

1

.

 f  ( x) =

1

4  x  1

1

1

 .

4  x  1

1

1

 .

2 1   x 2

2

2

( x  1)(1   x )  ( x  1)(1   x )  2( x  1)( x  1) 2

4( x  1)( x  1)(1   x ) 3

2

3

2

2

 x   x  1   x   x   x  1   x  2 x  2 2

2

4( x  1)( x  1)

=

Ejemplo 9: Derivar y simplificar y(t) = tan(arc.sent)

 4 x 2 4

4( x  1)

=

  x 2 4

 x  1

=  y

2



1

2

 y ' (t ) = sec (arc.sen t ) Ejemplo 10:

1  t 2

 y  tan 1 (sen 2 x)   y ' 

Ejemplo 11:  y = arc. sen(ln  x)   y ' = 1   1  y =   arc.sen   x    x

Ejemplo 12:

cos 2 x  2 1  sen 2 2 x 1  x

1  (ln x) 2



=

2. cos 2 x 1  sen 2 2 x

1  x 1  ln 2  x

4

            3 3 2  1   1  1 1   x   1  1 2  y = 4  arc.sen  .   x  4 arc . sen         2  x   x  x    x 2 1    x   2  x  1    1  x  2   2   x      x     1   1 = 4  arc. sen   x    x

Ejemplo 13:  y

3  

. 

1

 2    x

    2  x  1   x

  x

2

sen ln  x   c osln  x    x         



1 sen ln  x  x  x  sen  x  x             

sen sen ln  x   cosln  x   cosln  x  x Solución:  y´ 1        

 y´ senln  x   cosln  x  

1



1

cosln  x   senln  x  x  x ´  y´ senln  x   cosln  x   cosln  x   senln  x    y´ 2 cosln  x

 y

Ejemplo 14: Solución:

 y

 y   x

  x 2

 x

 x

2

 ln  y  ln  x

x2

 ln  y   x 2  ln  x 



1 2 x2  2 x ln  x   x   y´ 2 x  ln  x   x  y   x2 ln  x  1 x  y  x

 y´



 y´ ln  x



2

x

 1  x

2

1





 y   x  ln a 2   x 2  2 x  2a  arctg

Ejemplo 15:



  



Solución:  y´ 1ln a

2

  x

2



  



 y´ ln a   x

 y´



2

2 x 2 a   x 2

2

 x

  x  2  2a 

2 2 a   x  

2

 ax 2  a  1     x 

2

2a 2 2     x

 a 2    x 2      x   2

a 2   x 2  ln a 2   x 2  2 x 2  2 a 2   x 2  2a 2 a 2   x 2

a  y´  y´

2

2 x

a

2

a

  x 2  ln a 2   x 2   2 x 2  2a 2  2 x 2  2a 2 a 2   x 2 2

  x

 lna

2

a



2

  x

2

2

  x

2





3





 y´ ln a

2



x

2



3

 x   y  8  x   y

Ejemplo 16:



Solución: 3 x

2



3 y

2

  y´

  y 8  

 y´

8 y



3 y



3 x

2 



 y´  8  x 

3 y

2

  y´8 x   y´

8 y

 3x



2

8 x

2

Ejemplo 17:



2   arc  sen  y   x  arc  s en x   2 x  2 1  x  x        

     

2

Solución: 1

2

 y´ 1arc  sen  x   2arc  sen  x   

     

1  x 2

 x  2  

 y´ arc  sen  x  

2 x  arcsen x 1   x 2

2

1  x 2   2

2

   

2 x arcsen x 1   x 2



 y´ arc arc  sen x

2

Ejemplo 18:

 x   y 2   x   y 2   x 4   y 4



 2 x   arc  sen  x 

        

          

2

1

2

2 1   x 2 1   x 2

1 1   x 2

2 1 2  x 

   

 arc  sen x 2  2  2

 x 2  2 xy   y 2  x 2  2 xy   y 2   x 4   y 4  4 xy   x 4  y 4  4 y   y´4 x  4 x 3  4 y 3 y´ 4   y   xy´  x 3   y 3 y´

Solución:

  xy´ y  y´  x   y   y´ x   y 3

3

3

   x

3

  y   y´

 x 3   y  x   y 3