TALLER 3: OSCILACIONES AMORTIGUADAS/OSCILACIONES FORZADAS DOCENTE: CAROL JULIETH AGUILAR PAZ
1. Un peso de 8 libras está unido al extremo inferior de un resorte que está suspendido del techo y se encuentra en reposo en su posición de equilibrio, el resorte está estirado 0.4 pies. Después, el peso se desplaza 6 pulg hacia abajo de su posición de equilibrio y se suelta en t = 0. El medio ofrece una resistencia en libras numéricamente igual a 2(dx/dt), donde dx/dt es la velocidad instantánea en pies por segundo. (a) Establezca la ecuación diferencial del movimiento y diga cuáles son las condiciones iniciales. (b) Resuelva el problema con las anteriores condiciones iniciales y determine el desplazamiento del peso como una función del tiempo. (c) Exprese la solución anterior en la forma x t C cost . (d) Cuál es el llamado período del movimiento?. R/ (a) d 2x d t2 s 4
8
dx 5 4t sen 8 t cos8t 80 x 0 (b) x t e 4t e cos8 t 0.46 (c) x t dt 2 4 4
(d)
2. Un peso de 8 libras está unido al extremo inferior de un resorte que está suspendido de un punto fijo. El peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y el resorte se ha estirado 6 pulg. Después, el peso se desplaza 9 pulg hacia abajo de su posición de equilibrio y se suelta en t = 0. El medio ofrece una resistencia en libras numéricamente igual a 4(dx/dt), donde dx/dt es la velocidad instantánea en pies por segundo. Determine el desplazamiento del peso como una función del tiempo y trace un gráfico aproximado de su desplazamiento. R/ x=(6 t +3/4) e-8t 3. Un resorte tiene la característica que una fuerza de 20 lb puede estirarlo 6 pulg. El resorte cuelga verticalmente y un peso de 4 libras está unido en su extremo. Después de que este peso de 4 libras se encuentra en reposo en su posición de equilibrio, se desplaza 8 pulg hacia abajo de esta posición y se suelta después en t = 0. E1 medio ofrece una resistencia en libras numéricamente igual a 2(dx/dt), donde dx/dt, es la velocidad instantánea en pies por segundo. (a) Determine el desplazamiento del peso como una función del tiempo. (b) Determine el llamado "periodo" y determine también el decremento logarítmico. (c) ¿En qué instante el peso pasa por primera vez por su sen 16t 2 cos 16t x e 8 t posición de equilibrio?. R/ (a) 3 3
x
5 8 t e cos 16 t , donde 0,46 .(b)/8 seg, 3
(c) 0.127 s
4. Un peso de 32lb está unido al extremo inferior de un resorte que está suspendido del techo. El peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y el resorte está estirado 2 pies. Después, el peso se desplaza 6 pulg hacia abajo de su posición de equilibrio y se suelta en t = 0. Ninguna fuerza externa actúa; sin embargo, la resistencia del medio en lb es numéricamente igual a 4dx/dt, donde dx/dt es la velocidad instantánea en m por segundo. Determine el movimiento resultante del peso en el 3 2 t e cos 2 3 t . resorte. R/ x 3 6 5. Un peso de 32lb está unido al extremo inferior de un resorte que está suspendido del techo. El peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y el resorte está estirado 2 pies. Después, el peso se desplaza 6 pulg hacia abajo de su posición de equilibrio y se suelta en t = 0. Ninguna fuerza externa actúa; sin embargo, la resistencia del medio en lb es numéricamente igual a 4dx/dt, donde dx/dt es la velocidad instantánea en m por segundo. Determine el movimiento resultante del peso en el 3 2 t e cos 2 3 t resorte. R/ x 3 6
TALLER 3: OSCILACIONES AMORTIGUADAS/OSCILACIONES FORZADAS DOCENTE: CAROL JULIETH AGUILAR PAZ
6. Determine el movimiento del peso del resorte descrito en el problema anterior si la resistencia del medio en N es numéricamente igual a 8(dx/dt) en lugar de 4(dx/dt), 1 todas las otras circunstancias son las mismas. R/ x 2t e 4 t 2 7. El sistema representado por un bloque de masa m se desliza por una superficie horizontal sin fricción, como se muestra en la figura. Determine el coeficiente de amortiguamiento c del amortiguador único que podrá sustituir a los dos representados sin que cambiara la frecuencia de vibración del bloque.
8. Un bloque que pesa 50 N pende, en un plano vertical, de dos resortes y de un amortiguador, como se muestra en la figura. Si se desplaza el bloque 175 mm por encima de su posición de equilibrio y se suelta dándole una velocidad inicial hacia arriba de 3,75 m/s cuando t = 0, determine: (a) La ecuación diferencial que rige el movimiento, (b) El período de la vibración resultante, (c) la posición del bloque en función del tiempo y (c) El primer instante t1 > 0 en que el bloque pasa por su posición de equilibrio.
8. Un peso de 6 libras está unido al extremo inferior de un resorte que está suspendido del techo. La constante del resorte es 27 lb/pie. El peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y, al empezar en t = O se aplica al sistema una fuerza externa dada por F(t) = 12 cos 20t. Determine el desplazamiento resultante como una función del tiempo, suponiendo despreciable el amortiguamiento. R/ x
cos12t cos 20 t 4
9. Un peso de 16 libras está unido al extremo inferior de un resorte que está suspendido del techo. El peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y el resorte está alargado 0.4 pie. Después, al empezar en t = 0, se aplica al sistema una fuerza externa dada por F(t) = 40 cos 16t. El medio ofrece una resistencia en libras numéricamente igual a 4(dx/dt), donde dx/dt es la velocidad instantánea en pies por segundo. Determine el desplazamiento del peso como una función del tiempo.
10. Un peso de 10 libras cuelga del extremo inferior de un resorte que está suspendido del techo, la constante del resorte es 20 lb/pie. El peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y, al empezar en t = O se aplica al sistema una fuerza externa dada por F(t) =10 cos 8t. El medio ofrece una resistencia en libras numéricamente igual a 5(dx/dt) donde dx/dt es la velocidad instantánea en pies por segundo. Determine el desplazamiento del peso como una función del tiempo. R/ x 2 t e 8 t
sen 8 t 4
TALLER 3: OSCILACIONES AMORTIGUADAS/OSCILACIONES FORZADAS DOCENTE: CAROL JULIETH AGUILAR PAZ
12. Un peso de 6 libras cuelga del extremo inferior de un resorte que está suspendido del techo. El peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y el resorte está alargado 4 pulgadas. Después, al empezar en t= O se aplica al sistema una fuerza externa dada por F(t) =27 sen4t -3 cos 4t. Si el medio ofrece una resistencia en libras numéricamente igual a tres veces la velocidad instantánea, medida en pies por segundo, determine el desplazamiento como una
2 sen 4 2 t cos 4 2 t sen 4 t cos 4 t 2
8t función del tiempo. R/ x e
13. Un resorte que tiene una constante de 20 lb/pie está suspendido del techo. Un peso de 32 libras está unido al extremo inferior del resorte que se encuentra en reposo en su posición de equilibrio. Al empezar en t = O se aplica al sistema una fuerza externa dada por F(t) = 40 cos 2t; después, el efecto de esta fuerza se mantiene hasta t=, y en ese instante cesa de aplicarse. Cuando t>, no actúa ninguna fuerza externa. El medio ofrece una resistencia en libras numéricamente igual a 4(dx/dt), donde dx/dt es la velocidad instantánea en pies por segundo. Determine el desplazamiento del peso como una función del tiempo para todo t O. R/
3 sen 4t x e 2 t 2 cos 4 t sen 2 t 2 cos 2 t , 2 3 sen 4t x e 2 1 e 2 t 2 cos 4 t , t 2
0 t ;
14. Un peso de 12 libras está unido al extremo inferior de un resorte que está suspendido del techo. El peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y el resorte está alargado 6 pulgadas. Al empezar en t = O se aplica al sistema una fuerza externa dada por F(t) = 2 cos t.. (a) Si la fuerza de amortiguamiento en libras es numéricamente igual a 3(dx/dt), donde dx/dt es la velocidad instantánea en pies por segundo, determine la frecuencia de resonancia del movimiento resultante y determine el desplazamiento como una función del tiempo, cuando la función de fuerza está en resonancia con el sistema. (b) Suponiendo que no existe amortiguamiento, determine el valor de que da lugar a una resonancia no amortiguada, y encuentre en este caso el desplazamiento como una función del tiempo. R/ (a)
x
2 sen 4 2 t cos 4 2 t e 4 t 3 sen 4 3 t cos 4 3 t t sen 8t , (b) 8, x 18 18 3
2 2 ,
15. Un peso de 20 libras está unido al extremo inferior de un resorte que está suspendido del techo. El peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y el resorte está estirado 6 pulgadas. Se aplican al sistema varias fuerzas externas de la forma F(t) = cos t y se encuentra que la frecuencia de resonancia es 0.5 ciclos/s. Suponiendo que la resistencia del medio en libras es numéricamente igual a a(dx/dt), donde dx/dt es la velocidad instantánea en pies por segundo, determine el coeficiente de amortiguamiento a. 16. La ecuación diferencial para el movimiento de una masa unitaria en un cierto resorte bajo la acción de una fuerza externa de la forma F(t)=30 cos t es
d2 x dt
2
a
dx dt
24 x 30 cos t
donde a O es el coeficiente de amortiguamiento. (a) Si a = 4, determine la frecuencia de resonancia y determine también la amplitud de la vibración de estado permanente, cuando la función de fuerza está en resonancia con el sistema. Proceda como en la parte (b) si a = 2. R/ (a)
22 15 23 2 3 5 , ; (b) , 23 2 4
