Segundo Taller 2018-I

Investigación Operativa I

TALLER 1

–

Programación Lineal

2016 II PROGRAMACION LINEAL - MO0DELACION

DOCENTE: LUIS ALVARADO ATENCIO Este taller consta de dos partes así:

PARTE 1: 160 ejercicios resueltos de los cuales algunos tienen errores de planteamiento y/o solución, cada grupo debe decir si sus ejercicios están bien planteados o no y explicar su respuesta. No se pide que analicen la solución, esto será otro taller. De estos ejercicios cada grupo debe resolver 32 de ellos así: Cada grupo resuelve los terminados en su número de grupo, hasta el número 159. Grupo1: (MELISA…….): Ejercicios No 1- 11-21…… 151 Grupo 2: (WENDY….): ejercicios; No 2 -12- 22-……152 Grupo 3. (YEINI …) 3-13-23 -………….153 Grupo 4 (MANGA.…) 4- 14 - 24…………154 Grupo 5 (REDONDO….) 5- 15- 25……………155 Grupo 6 (ARANNYS ….) ………… . .6 – 16- 26………...156 Grupo 7 (ANGIE…) 7- 17 -27 …………157 Grupo8 (PABA….) ……………………8 - 18- 28 ……………158 Grupo 9 (JULISSA ….) 9- 19- 29…………..159

PARTE 2 Todos los grupos deben resolver (plantear ( plantear ), ), los 16 ejercicios TERMINADOS EN CERO # 10-20-30 …..160

Fecha de entrega: El día y hora del primer parcial Nota: la entrega puede ser en cualquier medio, pero recomendable en medios magnéticos o por email 1. (Mezcla de Güisqui) Una compañía destiladora tiene dos grados de güisqui en bruto (sin mezclar), I y II, de los cuales produce dos marcas diferentes. La marca regular contiene un 50% de cada uno de los grados I y II, mientras que la marca súper consta de dos terceras parte del grado I y una tercera parte del grado II. La compañía dispone de 3000 galones de g rado I y 2000 galones del grado II para mezcla. Cada galón de la marca regular produce una utili dad de $5, mientras que cada galón del súper produce una util idad de $6 ¿Cuántos galones de cada marca debería producir la compañía a fin de maximizar sus utilidades? MARCAS

Oswaldo Paul Rivadeneira

GRADO I

GRADO II

UTILIDAD

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Investigación Operativa I REGULAR

50% 75%

SÚPER

50% 25%

Programación Lineal $5 $6

Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de güisqui de la marca regular en galones x2 = la Cantidad de güisqui de la marca súper en galones Max Z = 5x 1 + 6x2 …….(1) Sujetos a: 1500x 1 + 1000x 2 < 3000 …….. (2) 2250x1 + 500x2 < 2000 ……….(3) lo que queda Planteado 2. (Mezcla) Una compañía vende dos mezclas diferentes de nueces. La mezcla más barata contiene un 80% de cacahuates y un 20% de nueces, mientras que las más cara contiene 50% de cada tipo. Cada semana la compañía obtiene 1800 kilos de cacahuates y 1200 kilos de nueces de sus fuentes de suministros. ¿Cuántos kilos de cada mezcla debería producir a fin de maximizar las utilidades si las ganancias son de $ 10 por cada kilo de la mezcla más barata y de $ 15 por cada kilo de la mezcla más cara? MEZCLA

CACAHUATE

NUEZ

BARATA CARA

80% 50%

20% 50%

GANANCIA POR SEMANA $10 POR KILO $ 15 POR KILO

Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de mezcla de la marca BARATA en kilogramos x2 = la Cantidad de mezcla de la marca CARA en kilogramos Max Z = 10x 1 + 15x2 …….(1) Sujetos a: 1440x 1 + 240x 2 < 1800 …….. (2) 900x1 + 600x 2 < 1200 ……….(3) lo que queda Planteado 3. (Dediciones sobre producción) Una compañía produce dos productos, A y B. Cada unida de A requiere 2 horas en cada máquina y 5 horas en una segunda máquina. Cada unidad de B demanda 4 horas en la primera máquina y 3 horas en la segunda máquina. Se dispone de 100 horas a la semana en la primera máquina y de 110 horas en la segunda máquina. Si la compañía obtiene una utilidad de $70 por cada unidad de A y $50 por cada unidad de B ¿Cuánto deberá de producirse de cada unidad con objeto de maximizar la utilidad total? PRODUCTO

HRS MÁQUINA 1 2 4

A B

HRS MÁQUINA 2 5 3

UTILIDAD $ 70 POR KILO $50 POR KILO

Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad de producción de B en unidades Max Z = 70x 1 + 50x2 …….(1) Sujetos a: 2x1 + 4x2 < 100 ……... (2) 5x1 + 3x2 < 110 ……….(3) lo que queda Planteado 4. (Decisiones sobre producción) En el ejercicio anterior, suponga que se recibe una orden por 14 unidades de A a la semana. Si la orden debe cumplirse, determine el nuevo valor de la utilidad máxima. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad de producción de B en unidades Max Z = 70x 1 + 50x2 …….(1) Sujetos a: 2x1 + 4x2 < 100 …….. (2) 5x1 + 3x2 < 110 ……….(3) lo que queda Planteado 5. (Decisiones sobre Producción). Un fabricante produce dos productos, A y B, cada uno de los cuales requiere tiempo en tres máquina, como se indica a continuación: PRODUCTO

HRS MÁQUINA 1


HRS MÁQUINA 2

HRS MÁQUINA 3

UTILIDAD

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Investigación Operativa I 2 A B

5

4 1

3 2

$250Programación POR KILO Lineal $300 POR KILO

Si los número de horas disponibles en las máquinas al mes son 200, 240 y 190 en el caso de la primera, segunda y tercera, respectivamente, determine cuántas unidades de cada producto deben p roducirse a fin de maximizar la utilidad total. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad de producción de B en unidades Max Z = 250x 1 + 300x 2 …….(1) Sujetos a: 2x1 + 5x2 < 200 ……... (2) 4x1 + 1x2 < 240 ……...(3) 3x1 + 2x2 < 190 ........... (4) lo que queda Planteado 6. (Decisiones sobre producción) En el ejercicio anterior, suponga que una repentina baja en la demanda del mercado del producto A obliga a l a compañía a incrementar su precio. Si la utilidad por cada unidad de A se incrementa a $600, determine el nuevo programa de producción que maximiza la utilidad total. Solución: PRODUCTO HRS HRS HRS UTILIDAD MÁQUINA 1 MÁQUINA 2 MÁQUINA 3 A 2 4 3 $600 POR KILO B 5 1 2 $300 POR KILO ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad de producción de B en unidades Max Z = 250x 1 + 300x 2 …….(1) Sujetos a:

2x1 + 5x2 < 200 ……... (2) 4x1 + 1x2 < 240 ……...(3) 3x1 + 2x2 < 190 ........... (4) lo que queda Planteado

7. (Decisiones sobre producción) En el ejercicio 5, suponga que el fabricante es forzado por la competencia a reducir el margen de utilidad del producto B. ¿Cuánto puede bajar la utilidad de B antes de que el fabricante deba cambiar el programa de producción? (El programa de producción siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total). Solución: PRODUCTO A B

HRS MÁQUINA 1 2 5

HRS MÁQUINA 2 4 1

HRS MÁQUINA 3 3 2

UTILIDAD $600 POR KILO $ X POR KILO

¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad de producción de B en unidades pero en éste caso, debemos tomar en cuenta que se debe minimizar, ahora la UTILIDAD del PRODUCTO B, pues bien, se reduce la mitad de la utilidad por lo tanto queda: Max Z = 250x 1 + 150x2 …….(1) (El programa de producción siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total). Sujeto a: 2x1 + 5x2 < 200 ……... (2) 4x1 + 1x2 < 240 ……...(3) 3x1 + 2x2 < 190 ........... (4) lo que queda Planteado 8. (Decisiones sobre inversión) Un gerente de Finanzas tiene $ 1 106 de un fondo de pensiones, parte de cual debe invertirse. El gerente tiene dos inversiones en mente, unos bonos conversadores que producen un 6% anual y unos bonos hipotecarios más efectivo que producen un 10% anual. De acuerdo con las regulaciones del gobierno, no más del 25% de la cantidad invertida puede estar en bonos hipotecarios. Más aún, lo mínimo que puede ponerse en bonos hipotecarios es de %100,000. Determine las cantidades de la dos inversiones que maximizarán la inversión total. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de la inversión en bonos conservadores


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Investigación I Programación Lineal x2 = la CantidadOperativa de la inversión en bonos hipotecarios Max Z = x1 + x2 …….(1) Sujetos a: (0.06)(1,000,000)x 1 + (0.1)(1,000,000)x 2 < (1,000,000)(0.25) ……... (2) x2 > 100,000 ……... (3) 9. (Decisiones sobre plantación de cultivos) Un granjero tiene 100 acre pies en los cuales puede sembrar dos cultivos. Dispone de $ 3000 a fin de cubrir el costo del sembrado. El granjero puede confiar en un total de 1350 horas-hombre destinadas a la recolección de los dos cultivos y en el cuadro se muestra los siguientes datos por acre: CULTIVOS COSTO DE PLANTAR DEMANDA HORASUTILIDAD HOMBRE PRIMERO $20 5 $ 100 SEGUNDO $40 20 $ 300 Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción del del PRIMER CULTIVO en acre pies x2 = la Cantidad de producción del SEGUNDO CULTIVO en acre pies Max Z = 100x 1 + 300x 2 …….(1) (El programa de producción siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total). Sujeto a: x1 + x2 < 100 ....... .. (2) esta ecuación se debe a que sólo tiene 100 acre pies para los cultivos 5x1 + 20x2 < 1350…... (3) 20x1 + 40x2 < 3000 ......(4) lo que queda Planteado 10. (Decisiones sobre plantación de cultivos) En el ejercicio anterior, determine la porción del terreno que deberá plantearse con cada cultivo si la utilidad por concepto del segundo cultivo sube a $ 450 por acre. Solución: CULTIVOS

COSTO DE PLANTAR

PRIMERO SEGUNDO

$20 $40

DEMANDA HORASHOMBRE 5 20

UTILIDAD $ 100 $ 450

¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción del del PRIMER CULTIVO en acre pies x2 = la Cantidad de producción del SEGUNDO CULTIVO en acre pies Max Z = 100x 1 + 450x 2 …….(1) (El programa de producción siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total). Sujeto a: 5x1 + 20x 2 < 1350…... (2) 20x1 + 40x 2 < 3000 ......(3) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 11. (Planeación dietética) La dietista de un hospital debe encontrar la combinación más barata de dos productos, A y B, que contienen: al menos 0.5 miligramos de tiamina al menos 600 calorías PRODUCTO A B

TIAMINA 0.2 mg 0.08 mg

CALORIAS 100 150

Solución: Variables: x1 = la Cantidad mas Barata del producto A x2 = la Cantidad mas Barata del Producto B Max Z = x1 + x2 …….(1) Sujeto a: 0.2x1 + 0.08x2 > 0.5…... (2) (al menos) 100x1 + 150x 2 > 150 ......(3) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 12. (Putificación del mineral) Una compañía posee dos minas, P y Q. En el cuadro siguiente se muestra la producción de los elementos por cada tonelada producida por ambas m inas respectivamente:


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InvestigaciónCOBRE Operativa I MINAS P Q

50 lb 15 lb

ZINC

MOLIBDENO

4 lb 8 lb

1 lb 3 lb

Programación COSTO POR TON. DE OBTENCI Lineal N DE MINERAL $ 50 $ 60

La compañía debe producir cada semana, al menos las siguientes cantidades de los metales que se muestran a continuación: 87,500 libras de cobre 16,000 libras de zinc 5,000 libras de molibdeno ¿Cuánto mineral deberá obtenerse de cada mina con objeto de cumplir los requerimientos de producción a un costo mínimo? Solución: Variables: x1 = la Cantidad de Mineral de la MINA P en libras x2 = la Cantidad de Mineral de la MINA Q en libras Max Z = 50x 1 + 60x2 …….(1) Sujeto a 50x 1 + 15x2 < 87,500 ......... (2) (COBRE) 4x1 + 8x2 < 16,000…... (3) (ZINC) x1 + 3x2 < 5000 ......(4) (MOLIBDENO) lo que queda planteado 13. (Espacio de Almacenamiento) La bodega de un depa, de química industrial, almacena, al menos 300 vasos de un tamaño y 400 de un segundo tamaño. Se ha decidido que el número total de vasos almacenados no debe exceder de 1200. Determine la cantidades posibles de estos dos tipos de vasos que pueden almacenarse y muéstrelo con un gráfica. Solución: Variables: x1 = la Cantidad de vasos de primer tamaño x2 = la Cantidad de vasos de segundo tamaño Max Z = x1 + x2 …….(1) Sujeto a: x1 > 300…... (2) (al menos) x2 > 400 ......(3) x1 + x2 < 1200 .......(4) 14. (Espacio de Almacenamiento) En el ejercicio anterior, supongamos que los vasos del primer tamaño ocupan 9 in 2 del anaquel y los del segundo 6 in 2. El área total de anaqueles disponibles para almacenar es a lo sumo de 62.8 ft 2. Determine las cantidades posibles de los vasos y muéstrelo con una gráfica. Solución: Variables: x1 = la Cantidad de vasos de primer tamaño x2 = la Cantidad de vasos de segundo tamaño Max Z = x1 + x2 …….(1) Sujeto a: x1 > 300…... (2) (al menos) x2 > 400 ......(3) x1 + x2 < 1200 .......(4) 9x1 + 6x2 < 62.8 .......(5) 15. (Planeación Dietética) Una persona está pensando reemplazar en su dieta de la carne por frijoles de soya. Una onza de carne contiene un promedio de casi de 7 gramos de proteína mientras que una onza de frijoles de soya (verde) contiene casi 3 gramos de proteína. Si requiere que si consumo de proteína diaria que obtiene de la carne y de los frijoles de soya combinados debe ser al menos de 50 gramos. ¿Qué combinación de éstos nutrientes formarán un dieta aceptable? Solución: Variables: x1 = la Cantidad de Carne x2 = la Cantidad de Frijoles de Soya Min Z = x1 + x2 …….(1) Sujeto a: 7x1 + 3x2 > 50 .......(5) x1, x2 > 0 16. (Ecología) Un estanque de peces los abastecen cada primavera con dos especias de peces S y T. Hay dos tipos de comida F 1 y F 2 disponibles en el estanque. El peso promedio de los peces y el requerimiento diario promedio de alimento para cada pez de cada especia está dado en el cuadro siguiente:


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Investigación Operativa I especies S T

F1 2 Unidades 3 Unidades

F2 3 Unidades 1 Unidades

Programación Peso PromedioLineal 3 libras 2 libras

If there are six hundred of F 1 and three hundred of F 2 everyday. How do you debit supply the pool for what the total weight of fishes are at least 400 pounds? Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de abastecimiento de Peces (ESPECIE S) en Primavera en Unidades x2 = la Cantidad de abastecimiento de Peces (ESPECIE T) en Primavera en Unidades Max Z = x1 + x2 …….(1) Sujetos a: 2x1 + 3x2 < 600 …….. (2) 3x1 + 1x2 < 300 ……….(3) 3x1 + 2x2 > 400 lo que queda Planteado 17. Un granjero tiene 200 cerdos que consumen 90 l ibras de comida especial todos los días. El alimento se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya con las siguientes composiciones: Libras por Libra de Alimento Alimento Calcio Proteína Fibra Costo ($/lb) Maíz 0.001 0.09 0.02 0.2 Harina de Soya 0.002 0.6 0.06 0.6 Los requisitos de alimento de los cerdos son: 1. Cuando menos 1% de calcio 2. Por lo menos 30% de proteína 3. Máximo 5% de fibra Determine la mezcla de alimentos con el mínimo de costo por día Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad de Maíz Libra por libra de Alimento x2 = la Cantidad de Harina de Soya Libra por libra de Alimento Min Z = 0.2x 1 + 0.6x2 …….(1) Sujetos a: 0.001x 1 + 0.002x2 < (90)(0.01) …….. (2) 0.09x1 + 0.6x2 < (90)(0.3) ……….(3) 0.02x1 + 0.06x2 > (90)(0.05) .......... (4) lo que queda Planteado 18. Un pequeño banco asigna un máximo de $20,000 para préstamos personales y para automóviles durante el mes siguiente. El banco cobra una tasa de interés anual del 14% a préstamos personales y del 12% a préstamos para automóvil. Ambos tipos de préstamos se saldan en peri odos de tres años. El monto de los préstamos para automóvil desde ser cuando menos de dos veces mayor que el de los préstamos personales. La experiencia pasada ha demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen el 1% de todos los préstamos personales ¿Cómo deben asignarse los fondos? Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad Fondos de préstamos personales x2 = la Cantidad fondos de préstamos para automóvil Min Z = 0.2x 1 + 0.6x2 …….(1) Sujetos a: (0.14)(20,000)x 1 + (0.12)(20,000)x 2 < 20000 …….. (2) x2 > (2)(0.14)(20,000) ……….(3) x1 > (0.01)(0.12)(20,000) .......... (4) lo que queda Planteado 19. Una planta armadora de radios produce dos modelos HiFi-1 y HiFi-2 en la misma línea de ensamble. La línea de ensamble consta de tres estaciones. Los tiempos de ensamble en la estaciones de trabajo son: Minutos por Unidad de Minutos por Unidad de Estación de Trabajo HiFi-1 HiFi-2 1 6 4 2 5 5 3 4 6 Cada estación de trabajo tiene una disponibilidad máxima de 480 minutos por día. Sin embargo, las estaciones de trabajo requieren mantenimiento diario, que contribuye al 10%, 14% y 12% de los 480 minutos totales de que se dispone diariamente para las estaciones 1, 2 y 3 respectivamente. La compañía desea


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Investigación Operativadiarias I Programación Lineal determinar las unidades que se ensamblarán de HiFi-1 y HiFi-2 a fin de minimizar l a suma de tiempos no usados (inactivos) en la tres estaciones. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad de Unidades Diarias de HiFi - 1 x2 = la Cantidad de Unidades Diarias de HiFi - 2 Min Z = x1 + x2 …….(1) Sujetos a: 6x1 + 4x2 < (0.1)(480) …….. (2) 5x1 + 5x2 < (0.14)(480) ……….(3) 4x1 + 6x2 > (0.12)(480) .......... (4) lo que queda Planteado 20. Una compañía de productos electrónicos, produce dos modelos de radio, cada uno en una línea de producción de volumen diferente. La capacidad diaria de la primera línea es de 60 unidades y la segunda es de 75 radios. Cada unidad del primer modelos utiliza 10 piezas de ciertos componente electrónicos, en tanto que cada unidad del segundo modelos requiere ocho piezas del mismo componente. La disponibilidad diaria máxima del componente especial es de 800 pie zas. La ganancia por unidad de modelos 1 y 2 es $30 y $ 20, respectivamente. Determine la producción diaria óptima de cada modelo de radio. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción del modelo 1 de Radio x2 = la Cantidad de producción del modelo 2 de Radio Max Z = 30x 1 + 20x2 …….(1) Sujetos a: x1 < 60 …….. (2) 10x1 + 8x2 < 800 ……….(3) x2 < 75 .......... (4) lo que queda Planteado 21. Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquina. El tiempo por máquina asignado a los productos está limitado a 10 horas por día. El tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto son: Minutos Por Unidad Producto Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Ganancia 1 10 6 8 $2 2 5 20 15 $3 Nota: Determine la combinación óptima de los productos. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad de Unidades del Producto 1 x2 = la Cantidad de Unidades del Producto 2 Min Z = 2x 1 + 3x2 …….(1) Sujetos a: 10x1 + 5x2 < 10 …….. (2) 6x1 + 20x 2 < 10 ……….(3) 8x1 + 15x 2 < 10 .......... (4) lo que queda Planteado 22. Una compañía puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisión locales. Su presupuesto limita los gastos de publicidad de $1000 por mes cada minutos de anuncio en la radio cuesta $5 y cada minuto de publicidad en televisión cuesta $100. $100. La compañía desearía utilizar la radio cuando menos dos veces más que la televisión. La experiencia pasada muestra que cada minuto de publicidad por televisión generará en térmi nos generales 25 más venta que cada minutos de publicidad por la radio. Determine la asignación óptima del presupuesto mensual por anuncios por radio y televisión. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de presupuesto mensual para el Radio x2 = la Cantidad de presupuesto mensual para el Televisor Max Z = x1 + x2 …….(1) Sujetos a: 5x1 + 100x 2 < 1000 …….. (2) x2 > (2)(x1) x1 > (25)(x2) ……….(3) 23. Una compañía elabora dos productos: A y B. El volumen de ventas del producto A es cuando menos el 60% de las ventas totales de los dos productos. Ambos productos utilizan la misma materia prima, cuya disponibilidad diaria está limitada a 100 lb. Los productos A y B utilizan esta materia prima en los índices o tasas de 2 lb/unidad y 4 lb/unidad, respectivamente. El precio de venta de los productos es $20 y $40 por unidad. Determine la asignación óptima de la materia prima a los dos productos. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de Unidades del Producto A x2 = la Cantidad de Unidades del Producto B Max Z = 20x 1 + 40x2 …….(1) Sujetos a: 2x1 + 4x2 < 100 …….. (2)


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Investigación Operativa I x1 > (0.6)(60) ……….(3)


24. Una compañía elabora dos tipos de sombreros. Cada sombrero del primer tipo requiere dos veces más tiempo de manos de obra que un producto del segundo tipo. Si todos los sobreros son exclusivamente del segundo tipo. La compañía puede producir un total de 500 unidades al día. El mercado limita las ventas diarias del primero y segundo tipos a 150 y 200 unidades. Supóngase que la ganancia que se obtiene por producto es $8 por el tipo 1 y $5 para el tipo 2. Determine el número de sobreros de cada tipo que debe elaborarse para maximizar la ganancia. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de Unidades del Sombrero TIPO 1 x2 = la Cantidad de Unidades del Sombrero TIPO 2 Max Z = 8x 1 + 5x2 …….(1) Sujetos a: 150x 1 + 200x2 < 500 …….. (2) x1 > (2)(200) ……….(3) 25. Una empresa pequeña, cuenta con dos máquina para elaborar dos productos. Cada producto tiene que pasar por la máquina A y después por la máquina B. El producto 1 requiere 3 ho ras de la máquina A y 2 de la máquina B, mientras que el producto 2 requiere 1 hora de la máquina A y 2 horas de la máquina B. La capacidad de las máquina A y B son 500 y 650 horas semanales respectivamente. El producto a deja 350 pesos y el segundo producto B deja 600 pesos por utilidades. Analice usted la situaci ón de la operación de esta, dado que por escasez de materia prima no puede producir más de 21 unidades del producto. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de Unidades del Producto A x2 = la Cantidad de Unidades del Producto B Max Z = 350x 1 + 600x 2 …….(1) Sujetos a: 3x1 + 1x2 < 500 …….. (2) 2x1 + 2x2 < 650 …….. (3) x1 + x2 < 21 ……...….(4) 26. el grupo “IMPEXA”, desea hacer publicidad para su productos en tres diferentes medios: radio, televisión

y revista. El objetivo principal es alcanzar tantos clientes como sea posible. Han realizado un estudio y el resultado es: Durante el día Número de 450,000 clientes potenciales que puede alcanzar por unidades de publicidad 500,000

Durante la noche 800,000

Radio 675,000

Revistas 200,000

1,000,000

650,000

250,000

“IMPEXA” no quiere gastar más de $1,200,00. Además en publicidad por televisión no desean gastar más

de 750 mil pesos. Se desean comprar tres unidades de televisión durante el día y 2 unidades durante la noche. Plantee el problema como un modelo de programación lineal. Solución: ¿Qué es lo que vamos a MAXIMIZAR? x1 = la Cantidad de clientes Potenciales por día x2 = la Cantidad de clientes Potenciales por noche x3 = la Cantidad de clientes por Radio x4 = la Cantidad de clientes por revistas Max Z = x1 + x2 + x3 + x4…….(1) Sujetos a: x1 + x2 + x3 + x4 < 1,200,000 x1 + x2 < 750,000 x1 > 450,000 x1 < 500,000 x2 > 800,000 x2 < 1,000,000 x3 > 375,000 x3 < 650,000 x4 > 200,000 x4 < 250,000 3x1 < 2x2 27. La señora Morales tiene una dieta a seguir, la cual reúne los siguientes requisitos alimenticios.


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Investigación Operativa Al menos 4 mg. deI vitamina A


Al menos 6 mg. de vitamina B A lo más 3 mg. de vitamina D Así mismo, la dieta está formada por pan, queso, buebo, y carne. La tabla siguiente nos da los requerimientos por vitamina en mg. así como el costo: Contenido en mg por gramo de producto PRODUCTO PAN QUESO BUEBOS CARNE

COSTO 40 31 19 53

VITAMINA A 0.20 0.15 0.15 0.30

VITAMINA B 0.18 0.10 0.40 0.35

VITAMINA D 0.10 0.14 0.15 0.16

Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad a comprar de PAN x2 = la Cantidad a comprar de QUESO x3 = la Cantidad a comprar de HUEVO x4 = la Cantidad a comprar de CARNE Min W = 40x 1 + 31x2 + 19x 3 + 53x4…….(1) Sujetos a:

0.20x1 + 0.15x 2 + 0.15x3 + 0.30x4 > 4 0.18x1 + 0.10x2 + 0.40x3 + 0.35x4 > 6 0.10x1 + 0.14x2 + 0.15x3 + 0.16x4 > 3

28. (Inversiones) A Julio que es asesor de inversiones, se le presentan 4 proyectos con sus respectivos costos en un período de tres años, así como la utilidad total. El requiere maximizar la utilidad total disponiendo de $50,000; $24,000; y $30,000 en cada uno de los años siguientes: PROYECTO UTILIDAD TOTAL COSTO COSTO COSTO AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 X1 100 6 14 5 X2 90 2 8 14 75 9 19 18 80 5 2 9 X 3 1. X4 Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad de Maíz Libra por libra de Alimento x2 = la Cantidad de Harina de Soya Libra por libra de Alimento Min Z = 0.2x 1 + 0.6x2 …….(1) Sujetos a: 0.001x 1 + 0.002x 2 < (90)(0.01) …….. (2) 0.09x1 + 0.6x2 < (90)(0.3) ……….(3) 0.02x1 + 0.06x 2 > (90)(0.05) .......... (4) lo que queda Planteado Disponibilidad: Las cantidades disponibles por año se asignan a las diferentes variables o proyectos bajo estas restricciones para optimizar o maximizar la utilidad total.

29. Supóngase que el Banco de Crédito al Campesino tiene dos planes de inversión a saber: El primero en el programa de tierras de riego, el segundo en el programa de tierras de temporal. El primer programa regresa un 30% de la inversión al fi n del año, mientras que el segundo plan regresa un 65% de la inversión, para el término de dos años. Los intereses recibidos en ambos planes son reinvertidos de nuevo en cualquiera de ambos planes. Formule el programa lineal que le permita al banco maximizar la inversión total en un sexenio, si la inversión es de $ 100 millones. Solución:


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Investigación I ¿Qué es lo que Operativa vamos a MAXIMIZAR? xiR = la Cantidad de inversión de riesgo a una año i xiT = la Cantidad de inversión Temporal en 2 años i donde i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Max Z = x1 + x2 + x3 + x4…….(1) Sujetos a: x1R + x1T < 100,000 x2R + x2T < 1.30x1R x3R + x3T < 1.30x2R + 1.65x1T x4R + x4T < 1.30x3R + 1.65x2T x5R + x5T < 1.30x4R + 1.65x3T x6R < 1.30x5R + 1.65x4T


30. Una compañía de perfumes puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisión. Su presupuesto limita los gastos de publicidad a $1,500 por mes. Cada minuto de anuncio en la radio cuesta $15 y cada minuto de publicidad en televisión cuesta $90. La compañía desearía utilizar la radio cuando menos dos veces más que la televisión. Los datos históricos muestran que cada minuto de publicidad por televisión generará en términos generales 30 veces más ventas que cada minuto de publicidad por radio. Determine la asignación óptima del presupuesto mensual para anuncios por radio y televisión. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de presupuesto mensual para el Radio x2 = la Cantidad de presupuesto mensual para el Televisor Max Z = x1 + x2 …….(1) Sujetos a: 15x1 + 90x2 < 1500 …….. (2) x2 > (2)(x1) x1 > (30)(x2) ……….(3) 31. Una Tienda de animales ha determinado que cada Hámster debería recibirla menos 70 unidades de proteína. 100 unidades de carbohidratos y 20 unidades de grasa. Si la tienda vende los seis tipos de alimentos mostrados en la tabla. ¿Qué mezcla de alimento satisface las necesidades a un costo mínimo para la tienda? Alimento A B C D E F

Proteínas (Unidades / Onza) 20 30 40 40 45 30

Carbohidratos (Unidades / Onza) 50 30 20 25 50 20

Grasa (Unidades / Onza) 4 9 11 10 9 10

Costo (Onza) 2 3 5 6 8 8

Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad a mezclar de A x2 = la Cantidad a mezclar de B x3 = la Cantidad a mezclar de C x4 = la Cantidad a mezclar de D x5 = la Cantidad a mezclar de E x6 = la Cantidad a mezclar de F Min W = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 6x4 + 8x5 + 8x6…….(1) Sujetos a: 20x 1 + 30x2 + 40x3 + 40x4 + 45x5 + 30x6 < 70 ......... PROTEÍNA 50x1 + 30x2 + 20x3 + 25x4 + 50x5 + 20x6 < 100 ------ CARBOHIDRATOS 4x1 + 9x2 + 11x3 + 10x4 + 9x5 + 10x6 < 20 ---------- GRASA

32. Una compañía manufacturera local produce cuatro deferentes productos metálicos que deben maquinarse, pulirse y ensamblarse. La necesidades específicas de tiempo (en horas) para cada producto son las siguientes: Producto I


Maquinado 3

Pulido 1

Ensamble 2

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Investigación Operativa I Producto II Producto III Producto IV

2 2 4

Programación Lineal 1

1 2 3

2 1

La compañía dispone semalmente de 480 horas para maquinado, 400 horas para el pulido y 400 horas para el ensamble. Las ganancias unitarias por producto son $6, $4, $6 y $8 respectivamente. La compañía tiene un contrato con un distribuidor en el que se compromete a entregar semanalmente 50 unidades del producto 1 y 100 unidades de cualquier combinación de los productos II y III, según sea la producción, pero sólo un máximo de 25 unidades del producto IV. ¿cuántas unidades de cada producto debería fabricar semanalmente la compañía a fin de cumplir con t odas las condiciones del contrato y maximizar la ganancia total? Considere que las piezas incompletas como un modelo de P rogramación Lineal. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad a fabricar del producto I x2 = la Cantidad a fabricar del producto II x3 = la Cantidad a fabricar del producto III x4 = la Cantidad a fabricar del producto IV Min W = 6x1 + 4x2 + 6x3 + 8x4…….(1) Sujetos a: 3x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 < 480 1x1 + 1x2 + 2x3 + 3x4 < 400 2x1 + 1x2 + 2x3 + 1x4 < 400 x1 > 50 x2 + x3 > 100 x4 < 25 33. Se procesan cuatro productos sucesivamente en dos máquina. Los tiempos de manufactura en horas por unidad de cada producto se tabulan a continuación para las dos máquinas: Máquina 1 2

Producto 1 2 3

Producto 2 3 2

Producto 3 4 1

Producto 4 2 2

El costo total de producir una unidad de cada producto está basado directamente en el tiempo de máquina. Suponga que el costo por hora para l as máquina 1 y 2 es $10 y $15. Las horas t otales presupuestadas para todos os productos en las máquina 1 y 2 son 500 y 380. si el precio de venta por unidad para los productos 1, 2, 3 y 4 en $65, $70, $55 y $45, formule el problema como modelo de programaci ón lineal para maximizar el beneficio neto total. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad a fabricar del producto 1 x2 = la Cantidad a fabricar del producto 2 x3 = la Cantidad a fabricar del producto 3 x4 = la Cantidad a fabricar del producto 4 Max W = 65x1 + 70x2 + 55x3 + 45x4…….(1) Sujetos a: 2x1 + 3x2 + 4x3 + 2x4 < 500 3x1 + 2x2 + 1x3 + 2x4 < 380 34. La compañía Delta tiene maquinaria especializada en la industria de plástico. La compañía se dispone a iniciar operaciones el próximo mes de enero y cuenta con $300,000 y diez máquinas. La operación de cada máquina requiere de $4,000.00 al inicio de una mes para producir y al fin del mes la cantidad de $9,000.00 sin embargo, para cada dos máquinas se necesita un operador cuyo sueldo mensual es de $3000.00 pagando al principio del mes. La compañía se propone planear su producción, empleo de operador y compra de maquinaria que debe tener, al principio del mes siete, al máximo número de máquina en operación. Al principio de cada mes la compañía tiene disponibles tres alternativas para adquirir maquinaria. En l a primera alternativa puede comprar máquina de $20,000.00 cada una con un periodo de entrega de una mes. Esto es, si al principio de cada mes “t ” se pide y paga la maquinaria, está se entregará al principio del mes t + 1. En la segunda alternativa, se puede comprar en $15,000.00 cada maquinaria, pero el periodo de entrega es en dos meses. La última alternativa s comprar en $10,000.00 cada máquina con un periodo de entrega en tres meses.


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Investigación Operativa I Lineal Formule un modelo de programación lineal que permita determinar la política de Programación compra de maquinaria, producción y pago de operadores en cada mes, de manera tal que al principio del mes siete tenga el m áximo número de máquina en operación. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad a fabricar del producto I x2 = la Cantidad a fabricar del producto II x3 = la Cantidad a fabricar del producto III x4 = la Cantidad a fabricar del producto IV Min W = 6x1 + 4x2 + 6x3 + 8x4…….(1) Sujetos a: 3x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 < 480 1x1 + 1x2 + 2x3 + 3x4 < 400 2x1 + 1x2 + 2x3 + 1x4 < 400 x1 > 50 x2 + x3 > 100 x4 < 25 35. Una compañía de productos químicos que labora l as 24 horas del día tiene las siguientes necesidades de personal técnico y especializado Periodo 1 2 3 4 5 6

Hora del día 6 – 10 10 –14 14 – 18 18 –22 22 – 02 02 - 06

Personal técnico 20 40 80 45 25 10

Personal Especializado 8 12 15 9 3 2

Observe que el periodo 1 sigue al periodo 6. Considere que cada persona en la compañía labora 8 horas consecutivas. Suponga que X t y Zt, denotan el número de personas técnicas y especializadas, respectivamente, que empiezan a trabajar al inicio del periodo t en cada día. En e sta compañía, el acuerdo sindical establece que en todo momento debe haber por lo menos tres veces el número de personal técnico que de personal especializado. Establezca un modelo de programación lineal pata determinar el mínimo número de personal técnico y especializado para satisfacer las necesidades diarias de trabajo en el compañía. Solución: xiR = la Cantidad de personal técnico xiT = la Cantidad de personalidad especializado donde i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Min Z = x1 + x2 Sujetos a: 20x 1 + 8x2 > 60 40x1 + 12x2 > 120 80x1 + 15x2 > 240 45x1 + 9x2 > 3(45) 25x1 + 3x2 > 75 10x1 + 2x2 > 30 36. Ferrocarriles Nacionales de México tiene al inicio del próximo año la siguiente demanda de locomotoras diesel para ocupar su sistema en todo el país: Trimestre Locomotoras Diesel

1 750

2 800

3 780

La gerencia de ferrocarriles puede satisfacer su demanda mediante la combinación de las siguientes alternativas: a) Uso de la existencia de locomotoras diesel en estado de trabajo b) Compra de locomotoras al extranjero las cuales pueden entregarse al principio de cualquier trimestre c) Reparar locomotoras en los talleres nacionales con carácter normal. El tiempo re reparación es de 6 meses. d) Reportar locomotoras en los talleres nacionales con carácter urgente. El tiempo de reparación es de 3 meses.


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I de $5,000,000 por locomotora Programación Lineal LaInvestigación alternativa b Operativa tiene un costo La alternativa c tiene un costo de $100,000 por locomotora La alternativa d tiene un costo de $250,000 por locomotora Se estima que al principio del año se tendrán 650 locomotora en estado de trabajo y el presupuesto de operación para ese año es de $100,000,000 entregado en partidas trimestrales de 40, 30, 20 y 10 millones respectivamente. Se supone que al final de cada trimestre el 5% de las locomotoras debe mantenerse a reparación y el 5% quedan fuera de servicio. Formule un problema de programación lineal que permita determinar la combinación de políticas que debe tomar en cuenta la gerencias de F.F.C.C. para minimizar costos y satisfacer la demanda de locomotoras. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad de Demanda en el trimestre 1 x2 = la Cantidad de Demanda en el trimestre 2 x3 = la Cantidad de Demanda en el trimestre 3 Min W = 5,000,000x 1 + 100,000x 2 + 250,000x 3 …….(1) Sujetos a: x1 + x2 + x3 < 100,000,000 750x1 + 800x 2 + 780x 3 > 650 x1 > (0.05)(750) x2 > (0.05)(800) x3 > (0.05)(780)

37. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos ti pos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? Solución Es un problema de programación lineal. Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B Tipo A Tipo B

inversión x y

rendimiento 0,1x 0,08y 210000 0,1x+0,08y

Condiciones que deben cumplirse (restricciones):

R1 R2 R3 R4 Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones) r 1 r 2 (paralela a OY) r 3(paralela a OX) r 4 x y x y x y x y 0 210000 130000 0 0 60000 0 0 210000 0 130000 65000 La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C, D y E


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A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000) La función objetivo es; F(x, y)= 0,1x+0,08y Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice mas alejado es el D, y por tanto es la soluci ón óptima. Comprobarlo analíticamente (es decir comprobar que el valor máximo de la función objetivo, F, se alcanza en el vértice D)

38. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de b izcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mi entras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bi zcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio? Solución En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos: Tipo T. Vienesa T. Real

Nº X Y

Bizcocho 1.x 1.y 150

Relleno 0,250x 0,500y 50

Beneficio 250x 400y

Función objetivo (hay que obtener su máximo): f(x, y)=250x+ 400y Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema):

Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la región factible: Para

0.25x+0.50y=50, ó x + 2y=200


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xInvestigación Y Operativa I 0 100 200 0


Para x + y =150 x Y 0 150 150 0 La otras dos son paralelas a l os ejes Al eje OY x=125 Al eje Ox y =125 Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones deben estar en el primer cuadrante La región factible la hemos coloreado de amarillo:

Encontremos los vértices: El O(0,0), el A(125, 0) y el D(0, 100) se encuentran di rectamente (son las intersecciones con los ejes coordenados) es redundante (es decir “sobra”) Se observa que la restricción y Resolviendo el sistema: , por reducción obtenemos y=50, x=100

Otro vértice es el punto C(100, 50) Y el último vértice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema: X+y=150 X=125 Cuya solución es: X=125, Y=25 B(125, 25) Los vértices de la región son O(0,0), A(125,0), B(125,25) y C(100,50) y D(0,100), Si dibujamos el vector de dirección de la función objetivo f(x, y)=250x+ 400y Haciendo 250x+ 400y =0, y=-(250/400)x=-125x/200 x 0 200

Y 0 -125


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Se ve gráficamente que la solución es el punto (100, 50), ya que es el vértice mas alejado (el último que nos encontramos al desplazar la rectas 250x+400y=0 ) Lo comprobamos con el método analítico, es decir usando el teorema que dice que si existe solución única debe hallarse en uno de los vértices La unción objetivo era: f(x, y)=250x+400y, sustituyendo en los vértices obtenemos f(125,0)=31.250 f(125,25)=31.250+10.000=41.250 f(100,50)=25.000+20.000=45.000 f(0,100)=40.000 El máximo beneficio es 45.000 y se obtiene en el punto (100, 50) Conclusión: se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales.

39. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte t iene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeño, 60 euros. Calcular cuantos de cada ti po hay que utilizar para que la excursión resulte lo mas económica posible para la escuela. Solución Es un problema de programación li neal, en este caso lo que queremos es hacer mínima la función objetivo. Llamamos x al nº de autocares de 40 plazas e y al nº de autocares de 50 plazas que alquila la escuela. Entonces se tiene x ,y Como sólo hay 9 conductores se verifica que: x +y Como tienen que caber 400 alumnos se debe de verificar: 40x +50y , que simplificada quedaría 4 x +5y Por lo tanto las restricciones que nos van a permitir calcular la región factible (conjunto de puntos solución donde se cumplen todas las condiciones) son


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Operativa LaInvestigación función objetivo es F(x,Iy)= 60x+ 80y Dibujamos las rectas auxiliares, r 1 r 2 r 3 x Y x y 8 0 0 10

Programación Lineal r 4

x 0 0

y 9 9

x 0 10

y 8 0

Así como la de que corresponde a F(x, y)=0 que se dibuja en rojo. Teniendo en cuenta las restricciones ( la de R 4 es la parte de arriba y que la R 3 es la parte de abajo), se encuentra la región factible. En el dibujo es la parte amarilla.

Los vértices son (0, 8), (0, 9) y el (5, 4), este último es el punto de intersección de las rectas r 3 y r 4

por reducción

restando ambas ecuaciones se tiene x =5 y sustituyendo en la 1ª ecuación, y =4 Resolviendo gráficamente se llega a que el punto (5, 4) es la solución del problema. La solución óptima . Comprobarlo sustituyendo en F(x, y) todos los vértices y que este es el que da menor valor (método analítico). 40. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?. Solución Organizamos los datos en una tabla:

Alta calidad Calidad media 1x 3x 2y 2y 80 160 La función objetivo C(x, y)=2000x + 2000y Mina A Mina B

días x y

Baja calidad 5x 2y 200

Coste diario 2000x 2000y

Las restricciones son:


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La región factible la obtenemos dibujando las rectas auxiliares: r 1 x + 2y=80, r 2 3x + 2y= 160 y r 3 5x + 2y=200 en el primer cuadrante y considerando la región no acotada que determina el sistema de restricciones:

Los vértices son los puntos A(0, 100), B(20, 50), C(40, 20), D(80, 0), que se encuentran al resolver el sistema que determinan dos a dos las r ectas auxiliares y (y que estén dentro de la región factible). r 1

r 2

que nos da el punto (40, 20) (comprobarlo)

r 2

r 3

que nos da el punto (20, 50)

r 1 r 3 no hace falta calcularlo pues queda fuera de la región factible. En la gráfica se aprecia que el primer punto que se alcanza al desplazar la recta C(x, y)=0 es el (40, 20). Luego la solución es trabajar 40 días en la mina A y 20 en la B. (método gráfico) Lo comprobamos aplicando el método analítico: C(0, 100)=2000.100=200000 C(20, 50)=2000.20+2000.50=40000 + 100000= 140000 C(40, 20)= 2000. 40+2000.20=80000 + 40000= 120000 coste mínimo C(80, 0)= 2000.80 =160000

41. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electri cistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. ¿Cuántos t rabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este? Sea x = nº electricistas y = nº mecánicos La función objetivo

f (x, y)=250x+ 200y , las restricciones


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Operativa I estas restricciones: LaInvestigación región factible sería para


Se aprecia gráficamente (línea en rojo) que la solución óptima está en el punto (20, 20). Por tanto: 20 electricistas y 20 mecánicos dan el máximo beneficio, y este es 9000 euros, ya que f(x, y) =250.20+200.20=9000

42. Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros. El número de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como máximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten. Calcular cuántas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean máximas. Solución Sea x el nº que se ofertan de tipo T, y el nº que se ofertan de tipo P. nº Ganancia Turista x 30x Primera y 40y Total 5000 30x +40y La función objetivo es: f(x, y)=30x +40y

Las restricciones: La región factible:


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Los vértices, A(0, 5000), B(3750, 1250), C(4500, 500) y D(4500, 0) (comprueba el punto B resolviendo el sistema correspondiente) El método gráfico nos da que el punto solución es el B (3750, 1250)

Comprueba los resultados usando el método analítico (susti tuyendo los puntos vértices en f y vi endo q el máximo valor se obtiene en B)

43. Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuantas auditorías y li quidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liqui dación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60. OBJETIVO : Maximizar el ingreso total. VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditorías (X 1).


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Investigación Operativa I(X 2). Cantidad de liquidaciones


RESTRICCIONES : Tiempo disponible de trabajo directo Tiempo disponible de revisión Número máximo de liquidaciones Maximizar Sujeto a:

La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibl es. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que representa el mejor valor de la función objetivo será la solución óptima.


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44. Un departamento de publicidad tiene que planear para el próximo mes una estrategia de publicidad para el lanzamiento de una línea de T.V. a color tiene a consideración 2 medios de difusión: La televisión y el periódico. Los estudios de mercado han mostrado que: 1. La publicidad por T.V. Llega al 2 % de las familias de ingresos altos y al 3 % de las familias de ingresos medios por comercial. 2. La publicidad en el periódico llega al 3 % de las familias de ingresos altos y al 6 % de las familias de ingresos medios por anuncio. La publicidad en periódico tiene un costo d e 500 dls. por anuncio y la publicidad por T.V. tiene un costo de 2000 dls. por comercial. La meta es obtener al menos una presentación como mínimo al 36 % de las familias de ingresos altos y al 60 % de las familias de ingresos medios minimizando los costos de publicidad. OBJETIVO : Minimizar los costos de publicidad. VARIABLE DE DECISION: Anuncios para las familias de ingreso alto (X 1). Anuncios para las familias de ingreso medio (X 2). RESTRICCIONES : Porcentaje de presentación. Minimizar Sujeto a:


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SOLUCION OPTIMA:

45. Un expendio de carnes acostumbra preparar carne para hamburguesa con una combinación de carne molida de res y carne moli da de cerdo. La carne de res contiene 80 % de carne y 20 % de grasa y le cuesta a la tienda 80 centavos por li bra. La carne de cerdo contiene 68 % de carne y 32 % de grasa y cuesta 60 centavos por libra. ¿Qué canti dad de cada tipo de carne debe emplear la tienda por cada libra de carne para hamburguesa si desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25 %?

Minimizar Sujeto a:


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SOLUCION OPTIMA:

2. 3.

46. Una pequeña empresa fabrica artículos de dos tipos a partir de tres materias primas, llamadas A B C El artículo tipo 1 produce utilidad de $400 por unidad, y para su

Field Code Changed

fabricación se requieren una libra de

Field Code Changed

,

,

.

A ,

una libra de

B

y tres gramos de

C .

El artículo tipo

2 produce utilidad de $300 por unidad, para cuya fabricación se necesitan una libra de libras de B y 2 gramos de C .

A ,

2

Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed

La empresa dispone de 150 libras de

A ,

240 libras de

B

y 420 gramos de

C , para el siguiente

Field Code Changed Field Code Changed

periodo de producción (puede ser una hora, un día u otro lapso).

Field Code Changed

La compañía desea conocer cuantas unidades de cada tipo de artículo debe producir en el periodo con el fin de maximizar la utilidad total por venta de los artículos. Se supone que todos los artículos producidos se venden y que la utilidad unitaria permanece constante, sin importar la cantidad vendida. Construcción del modelo: Siguiendo la metodología propuesta en este capitulo, una vez comprendida la situación que se describe, vamos a organizar los datos en una tabla; con lo cual será más fácil su utilización para construir el modelo.


Página: 24



CONSUMO DE LA MATERIA PRIMA

TIPO DE ARTÍCULO

PRECIO DE VENTA ($/UNIDAD)

A

B

C

P1

1

1

3

400

P2

1

2

2

300

240

420

Cantidad disponible

150


Debemos usar unas variables para cuantificar el nivel o grado al cual llevaremos a cabo cada actividad.

Por ello definimos las variables así: X1 : cantidad de artículos tipo 1 a fabricar en el período. X2 : cantidad de a rtículos tipo 2 a fabricar en el período.

Función del objetivo Utilidad total = 400X1+ 300X2

$/periodo

Limitantes o restricciones en el logro del objetivo La cantidad utilizada de cada materia prima debe ser menor o igual que la cantidad disponible. De A

1 X 1  1 X 2  150

De B De C

(Libras de

/período)

1 X 1  2 X 2  240

(Libras de

/período)

3 X 1  2 X 2  420

(Libras de

/período)

Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

Por lo cual el modelo tendrá la siguiente forma final:

Minimizar

Utilidad total = 400X1+ 300X2

Sujeta a: 1 X 1  1 X 2  150

Field Code Changed

1 X 1  2 X 2  240 3 X 1  2 X 2  420

Con

X1, X2 ≥ 0


Página: 25


Programación Lineal C F T . La

Field Code Changed

máquina de la operación C cuesta $1500/hora de funcionamiento, la de la operación F cuesta

Field Code Changed

$2400/hora y la de la operación

Field Code Changed

47. Una compañía produce artículos de tres tipos, realizando las operaciones T cuesta

,

,

$1200/hora.

Field Code Changed

El costo del material para una unidad del artículo 1 es $50, para una unidad del artículo 2 es de $80 y para una unidad del artículo 3 es de $140. Los precios de venta para los artículos son respectivamente de $400, $42 0 y $500, la unidad. Los tiempos de proceso requeridos por una unidad de cada tipo de material, se dan en la siguiente tabla:

Minutos de operación por unidad

TIPO DE ARTÍCULO A1 A2 A3

C 2,5 2,5 2,0

F 2,0 1,0 0,5

T 4,0 2,5 2,0

La compañía necesita conocer cuantas unidades de cada tipo de artículo debe fabricar en una hora, para obtener la máxima utilidad.

Construcción del modelo: Inicialmente podemos elaborar unas tablas con los datos del problema, así:

Máquina

C

F

T

Costo de Funcionamiento ($/minuto)

25

40

20

Artículo

1

2

3

Costo del material ($/unidad)

50

80

140

400

420

Precio de v enta ($/unidad)

500

Las variables a utilizar se definen como:


Página: 26


Xi : cantidad de artículos del tipo i a fabricar en una hora

i



1,2,3 .


Field Code Changed

Obsérvese que ahora se han definido las variables con una notación más genérica y resumida.

Después de haber comprendido el proceso y definido las variables de decisión, podemos construir el modelo así:  Z  127.5 X 1  187.5 X 2 

Maximizar: Utilidad

Field Code Changed

250 X 3

Sujeto a: 2.5 X 1  2.5 X 2  2.0 X 3  60

Minutos

de

C / hora

2.0 X 1  1.0 X 2  0.5 X 3  60

Minutos

de

F / hora

4.0 X 1  2.5 X 2  2.0 X 3  60

Minutos

de

T / hora

Con  X 1, X 2, X 3 

Field Code Changed

0

48. Un fabricante debe cumplir los siguientes compromisos, en el primer trimestre:

MES

Enero

Febrero

Marzo

uni dades

10, 000

30,000

20, 000

La capacidad mensual de producción de su planta es de 20.000 unidades. El costo unitario de producción varia cada mes, así: Enero $20, Febrero $9 y Marzo $12. La compañía estima en $3 el costo de almacenamiento de cada unidad que posea en la bodega él último día del mes. La capacidad de la bodega de que dispone es de 22.000 unidades. La empresa tiene en el inventario 50 unidades y desea tener 70 al final. El problema a resolver consiste en la determinar del programa de producción mensual que minimiza los costos totales en el trimestre. Se supone que la producción se realiza durante todo el mes y el despacho se efectúa él último día de mes.

Construcción del modelo

Deseamos determinar el programa de producción para obtener el mínimo costo en el trimestre. Para ello definimos las variables así:

Pi :

cantidad de artículos producidos en el mes i

IFi :

i





Field Code Changed

E , F , M

Field Code Changed

unidades en el inventario final del mes i.

Minimizar: Costos:









Field Code Changed





Z  10 XE  9 XF  12 XM


Field Code Changed

Costo de Producción

Página: 27


 3 IFE  IFF  IFM


Costo de almacenamiento.

Field Code Changed

Sujeto a:

1. Capacidades de producción por mes: Enero PE  20.000

Field Code Changed

Febrero

PF  20.000

Field Code Changed

Marzo

PM  20.000

Field Code Changed

2. Despachos comprometidos cada mes: Enero PE  10.000  IFE

Field Code Changed

IFE  PF  30.000  IFF

Febrero

Field Code Changed

IFF  PM  20.000  70

Marzo

Field Code Changed

3. Capacidad de la bodega Enero PE  22.000

Field Code Changed

Febrero

IFE  PF  20.000

Field Code Changed

Marzo

IFF  PM  22.000

Field Code Changed

Los problemas de este tipo también pueden modelarse de otra manera como lo sugiere el siguiente grafico: Acá las variables se definen como: Sean Xij : cantidad de artículos producidos en el mes

i



E F M ,

,

j



i

con destino a las ventas del mes j

Field Code Changed

E F M  . ,

Field Code Changed

,

De esta forma el inventario final de cada mes esta integrado por las cantidades producidas ese mes con destino a los meses siguientes.


La función objetivo y las restricciones serán: Minimizar: Costo



 X 22  X 23  13 X 33  X 34  3 X 12  X 23  X 34  6 X 13

 Z  10 X 11  X 12  X 13  9

Field Code Changed

Nótese como los valores  X 12  X 13 y X 23  X 13 equivalen a los inventarios finales de los

Field Code Changed

meses de Enero y Febrero.

Sujeta a: Capacidades de producción por mes: Enero X 11 X 12  X 13  X 14  20.000

Field Code Changed

Febrero

X 22  X 23  X 24  20.000

Field Code Changed

Marzo

X 33  X 34  20.000

Field Code Changed


Página: 28



Despachos comprometidos cada mes: Enero X 11 50  10.000

Field Code Changed

Febrero

X 12  X 22  30.000

Field Code Changed

Marzo

X 13  X 23  X 33  20.000

Field Code Changed

49. Un granjero sabe que debe suministrar diariamente a cada una de sus vacas, un mínimo de 27, 21 y 30 unidades de los elementos nutricionales A B C respectivamente. Para

Field Code Changed

prepararles la comida puede comprar dos clases de alimentos. Una libra del alimento 1 contiene 3, 1, y 1 unidades del nutriente A B C respectivamente, y cuesta $40. Por otra parte,

Field Code Changed

,

,

,

,

,

,

una libra del alimento 2 contiene respectivamente 1, 1 y 2 unidades de los nutrientes y cuesta $20.

El granjero desea conocer cuántas libras de cada a limento necesita utilizar para nutrir a ca da una de sus vacas, de tal forma que minimice los costos. Suponga que no hay limite en cuanto al peso total de la comida (mezcla) resultante.

Construcción del modelo Para iniciar, podemos elaborar una tabla con los datos del problema:

Composición

Alimento

(unidad/lb del alimento)

A1 A2 Requisitos diarios (unid/vaca)

Sean

XAi :

A 3 1

B 1 1

C 1 2

27

21

30

Precio ($/lb) 40 20

libras del alimento i que dedicaremos a la preparación de la dieta

Field Code Changed

para una vaca i

Field Code Changed



1,2 .

El objetivo es minimizar los costos. El modelo queda: Minimizar: Costo

 Z 

40 AX 1  20 XA2

Field Code Changed

Sujeto a:

Composición de la dieta


Página: 29



A

3 XA1  1XA2  27

(unidades de

Nutriente B Nutriente C

1 XB1  1XB2  21

(unidades de B /vaca) (unidades de C /vaca)

Nutriente

1 XC 1  2 XC 2  30

A /vaca)

Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed

Se deja al estudiante la comprobación de la consistencia de las unidades. Veamos otro ejemplo que ilustra el caso de composición o mezcla de ingredientes.

Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed

50. Una compañía petrolera produce dos tipos de gasolina, la corriente y la extra. La corriente se vende a $3000 galón y la extra a $3600. Las gasolinas se fabrican a partir de dos crudos, cuyos análisis de componentes aparecen a continuación:

Field Code Changed

COMPONENTES

CRUDO 1 2

A 60% 30%

B Costo por galón 40% 150 70% 120

La gasolina corriente debe contener máximo 60% de B , mientras que la extra debe contener mínimo 50% de A . El oleoducto de la compañía puede suministrar un máximo de 2 millones de galones crudo 1, y 3 millones de crudo 2, al día.


La compañía espera vender a lo máximo 5 millo nes de galones de gasolina corriente y 1 millón de gasolina extra, cada día. ¿Cómo debe proceder la empresa para obtener la máxima ganancia diaria?

Construcción del modelo Elaboraremos una tabla con los datos importantes acerca de las gasolinas, así:

GASOLINA

PRECIO DE VENTA ($/GAL N)

Corriente Extra

3000 3600

Las variables se definen así: Sean Xij : el número de galones de crudo j



(C corriente, 

E



MÁXIMA VENTA (galón/día)

5*106 1*106

i

COMPOSICIÓN REQUERIDA

Max 60% de B Min 50% de A

que se dedican a producir la gasolina j i



1,2 ;

Field Code Changed

extra).

Field Code Changed

Debemos suponer que al mezclar por ejemplo X 11 galones de crudo 1 y X 21 galones de crudo 2, resultaran X 11  X 21 galones de gasolina 1, pues no hay pérdidas en la operación. Considerando que el objetivo es maximizar las utilidades por venta de las gasolinas, y que estas deben cumplir unos requisitos de composición, además de tener lim ites en la producción, debido a la demanda y limites en la disponibilidad de crudos, el modelo del problema será:


Field Code Changed

Página: 30


Investigación Operativa I Maximizar:




  3600 X 12  X 22 150 X 11 X 12  120 X 21 X 22

Z  3000 X 11 X 21

Sujeto a: Composición de gasolinas B en la corriente: 0.40 X 11  0.70 X 21  0.60 X 11  X 21 (gal de B en gas. corriente). 



A en

la extra:



 (gal de A en gas. corriente).

0.60 X 12  0.30 X 22  0.50 X 12  X 22

Field Code Changed


Disponibilidad de crudos: 6 X 11 X 12  2 *10

X 21 X 22  3 *10

Field Code Changed

(galón de crudo 1)

6

Field Code Changed

(galón de crudo 2)

Field Code Changed

Ventas máximas (producción máxima) (galón de corriente) X 11 X 21  5 *10 6

Field Code Changed

X 12  X 22  1*10 6

Field Code Changed

(galón de extra)

51.La fábrica de Hilados y Tejidos "Manizales" requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T’; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T’ por día se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c. El T se vende a $4000 el metro y el T’ se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el máximo beneficio, ¿cuántos metros de T y T’ se deben fabricar? Plantear el anterior problema como un modelo de Programación Lineal. Variables de decisión: X1: Cantidad de metros del tejido T a fabricar diariamente. X2: Número de metros del tejido T’ a producir por día. Z : Función de utilidad por la venta de los tejidos T y T’. Modelo (Primal):: MAX Z = 4000 X1 + 5000 X2 Sujeta a: 1. 0.125 X1 +0.2X2


500

Página: 31

Investigación Operativa I 300

2. 0.150 X1 +0.1X2

3. 0.072 X1 + 0.027X2 X1, X2


108

0

52.La empresa "Caldas" tiene un sistema de producción constituido por tres secciones, a través de las cuales elabora dos productos. En la primera sección lo más que se pueden procesar son 300 unidades del artículo uno o 400 del producto dos diariamente; la sección segunda fabrica co mo mínimo 350 unidades del producto uno o 450 unidades del producto dos por día.La sección tercera puede elaborar hasta 400 unidades del artículo uno o 500 unidades del artículo dos diariamente. Si los productos uno y dos generan una utilidad de $1000 y $700 respectivamente. ¿Cuántos productos de cada uno se deben fabricar para maximizar la utilidad?. Plantear el anterior problema como un modelo de Programación Lineal. Definición de variables reales: X1: Cantidad del producto uno a fabricar por día. X2: Cantidad del artículo dos a producir diariamente. Z : Función de utilidad de los productos uno y dos. Modelo (Primal):: MAX Z = 1000 X1 + 700 X2 Con sus restricciones: Primera sección: Cuando X1= 0, X2= 400; cuando X 2= 0, X1= 300 X2 400 – 400/300 X1 1. 4X1 + 3 X2 1200 Segunda sección: Cuando X1= 0, X2= 450; cuando X 2= 0, X1= 350 X2

450 – 450/350 X1

2. 9X1 + 7X2

3150

Tercera sección: Cuando X1= 0, X2= 500; cuando X 2= 0, X1= 400 X2 500 – 500/400 X1 3. 5X1 + 4 X2 2000


Página: 32



53.En una planta, la demanda estimada para el próximo año es la siguiente: Primer trimestre : 15000 unidades de A. Segundo trimestre : 25000 unidades de A. Tercer trimestre : 40000 unidades de A. Cuarto trimestre : 20000 unidades de A. En el almacén se cuenta con 10000 unidades, al iniciarse el período v se desea disponer de un inventario de 5000 unidades al finalizar el año. La producción durante el último trimestre del período anterior fue de 5000 unidades. Si el costo de aumento de la producción C 1= $50 por unidad, el costo de disminución de la producción C 2= $30 por unidad y el costo de almacenaje C3= $20 por unidad. ¿Qué cantidad deberá producirseen cada trimestre para minimizar costos de manejo de producción? Plantear este problema como un modelo de Programación Lineal Definición de variables:

X j : Producción durante el trimestre j. I j : Inventario al finalizar el trimestre j. C1 : Costo de aumento de producción. C2 : Costo de disminución de producción. C3 : Costo de almacenamiento de producción. D j : Demanda estimada en el trimestre j. A j : Unidades adicionales producidas sobre el nivel del trimestre j-1. R j : Unidades en que el nivel de producción disminuyó sobre el trimestre j-1. I0 : 10000 unidades a Diciembre 31 de 2002 Inventario. I4 : 5000 unidades a Diciembre 31 de 2003 Inventario. X0 : 5000 unidades que se producen en el cuarto trimestre de 2002. W : Función de costos de manejo de producción. Modelo (Primal): MIN W = (20*5000) + C 1(A1 + A2 + A3 + A4) + C2(R1 + R2 + R3 + R4) + C3(I 1 + I2 + I3+ I4) Con sus restricciones:


Página: 33



54.Al Director Financiero de la Corporación Financiera Nacional le han dado $50000000 para que invierta en un período de tres años.El Director ha determinado que existen tres oportunidades de inversión disponibles en el momento y que son las siguientes: la inversión A rinde el 18% anual; la inversión B rinde el 12% el primer año y el 21% los años siguientes y la inversión C rinde el 55% al final del tercer año y no se puede volver a invertir. También ha encontrado que al comienzo del segundo año existe otra oportunidad de inversión, la D que produce 25% al final del tercer año y por una sola vez.El Director Financiero desea saber cuánto dinero invertir, dónde y cuándo en tal forma que la cantidad de di nero disponible al inicio del cuarto año sea máximo. Plantear el anterior problema como un modelo de Programación Lineal. Variables de decisión: Ai : Dinero a invertir al comienzo del año i en la inversión A; i = 1,2,3 Bi : Cantidad invertida en pesos al inicio del año i en la inversión B. C1 : Dinero a invertir al comienzo del año 1 en la inversión C. D2 : Cantidad invertida en pesos al inicio del año 2 en la inversión D. Z : Dinero a principio del cuarto año. Modelo (Primal): MAX Z = 50000000 + 0.18(A1 + A2 + A3) + (0.12B1 + 0.21B2 + 0.21B3) + 0.55C1 + 0.25D2 Sujeta a: 1. A1 +B1 + C1

50000000

2. – 0.18A1+A2– 0.12B1+ B2 +C1+D2

50000000

3 .– 0.18A1- 0.18A2– 0.12B1–0.21B2+ A3+ B3+C1+D2 Ai, Bi, C1, D2 0

50000000

i

55. Suponga que una gallina toma dos semanas para poner doce huevos para la venta o para empollar cuatro huevos.¿Cuál es el mejor programa de poner huevos y empollar si al final del cuarto período todas las gallinas y pollos se v enden a $12000 cada uno, los huevos a $200 cada uno?Asuma: A. Un inventario inicial de cien huevos y cien gallinas. B. Cien gallinas y cero huevos. C. Cien gallinas y cero huevos y también un inventario final de cien gallinas y cero huevos.


Página: 34



Plantear el anterior problema como un modelo de Programación Lineal. Variables reales: Xij: Cantidad de gallinas en el período i y en la actividad j. i = 1,2,3,4;j = 1,2;j = 1 (poniendo);j = 2 (incubando) Z: Función de utilidad para poner y/o empollar huevos. Modelo (Primal):

A)MAX Z = 12000{100+200( X12+ X22+ X32+ X42)}+200{100–4X 12+12 X21– 4 X32+ 12 X31 4 X42+ 12 X41} Sujeta a:

B)MAX Z = 12000 { 100 + 200 ( X22+ X32+ X42) } + 200 { 12 X11– 4 X22+ 12 X21– 4 X32+ 12 X31– 4 X42+ 12 X41} Con las siguientes restricciones:


Página: 35



C) MAX Z = 8000 { 100 + 200 ( X22+ X32+ X42) } + 8000 * 100 Sujeta a:

56.

Los príncipes de Serendipity se fueron en un pequeño viaje. Ellos no podían llevar muchas maletas; Más de trescientos libras las ponían a pensar. Planearon hasta el centavo. Cuando regresaron a Ceilán Descubrieron que sus dineros estaban a punto de acabar. Cuando, para su alegría, el príncipe Guillermo encontró una pila de cocos en el suelo.

"Cada uno nos producirá sesenta rupias", dijo el príncipe Ricardo cuando pisó una piel de león.


Página: 36



"Miren", gritó el príncipe Roberto. Cuando observó más pieles de león debajo del árbol. "Estas pieles nos pueden producir hasta trescientas rupias cada una, si las podemos llevar hasta la orilla del mar".

Cada piel pesaba quince libras y cada coco cinco, pero haciendo de tripas corazón pudieron llevar todo a la orilla. La embarcación de regreso a la isla era pequeña, Quince pies cúbicos de equipaje eso era todo. Cada piel de león tomaba un pie cúbico, mientras que ocho cocos ocupaban el mismo espacio. Con todo el equipaje se hicieron a la mar y en el viaje calcularon lo que sería su nueva riqueza. "Eureka", gritó Roberto. Nuestra fortuna es tan grande, que no existe otra forma de retornar así. Con cualquier otra piel o coco que hubiéramos traído ahora seríamos más pobres. Y no sé qué le escribiré a mi amigo Horacio en I nglaterra, seguramente sólo él sabrá apreciar nuestro Serendipity. Plantear el anterior problema como un modelo de Programación Lineal. Variables de decisión:

X1: Número de cocos cargados en el bote. X2: Cantidad de pieles de león cargadas en el bote. Z: Función de utilidad correspondiente a los cocos y/o pieles de león cargados en el bote. Modelo (Primal): MAX Z = 60 X1+ 300 X2 Con sus restricciones: 1. 5 X1+ 15 X2

300

2. 1/8 X1+X2 15

X1, X2

0

57.

Un barco tiene tres bodegas: Proa, popa y centro; los límites de capacidad para esas tres bodegas son:

BODEGAS

PESO ( Ton )

VOLUMEN ( FT3 )

Proa

2000

100.000


Página: 37

Investigación Operativa I Popa Centro

1500

Programación Lineal 300.000

3000

135.000

Se ofrecen las siguientes cargas y l os responsables del barco pueden aceptar todo o parte de cada carga: CARGAS CANTIDAD (Ton) VOLUMEN (Ton/ FT3 ) UTILIDAD( $ / Ton ) A

6000

60

6

B

4000

50

8

C

2000

25

5

Buscando conservar el equilibrio en el barco, el peso de cada bodega debe ser proporcional a su capacidad en toneladas. ¿Cómo se debe repartir la carga buscando maximizar las ganancias totales? Plantear el anterior problema como un modelo de Programación Lineal. Definición de variables

BODEGA

PROA

POPA

CENTRO

CANTIDAD

VOLUMEN

CARGA

(1)

(2)

(3)

(Ton)

(Ton/ FT3)

A

XA2 XB2 XC2

XA3 XB3 XC3

6000

60

4000

50

C

XA1 XB1 XC1

2000

25

Peso Volumen

2000 100.000

1500 300.000

3000 135.000

Ton FT3

B


Página: 38



Z: Utilidad total. Modelo (Primal): MAX Z = 6 ( XA1+ XA2+ XA3) + 8 ( XB1+ XB2+ XB3) + 5 ( XC1+ XC2+ XC3) Con las siguientes restricciones:

Resumiendo: MAX Z = 6 ( XA1+ XA2+ XA3) + 8 ( XB1+ XB2+ XB3) + 5 ( XC1+ XC2+ XC3) Con las siguientes restricciones:


Página: 39



58.

Una empresa se dedica a la producción de pinturas para interiores y exteriores para su distribución; se emplean dos materias primas MP1 y MP2 para la producción de las pinturas. La disponibilidad máxima de MP1 es de 8 toneladas diarias y la de MP2 es de 5 toneladas por día. Los requerimientos diarios de materia prima por tonelada es la siguiente:


Página: 40



Toneladas de materia prima por tonelada de Disponibilidad máxima Pintura para Interiores

Pintura para Exteriores

MP1 3

7

4

1

MP2 Utilidad por Tonelada

100.000

diaria ( toneladas) 20 9

300.000

El estudio de mercado ha establecido que l a demanda diaria de pintura para i nteriores no puede ser mayor que la pintura para exteriores en más de una tonelada. Además, el estudio señala que la demanda máxima de pintura para interiores está limitada a dos toneladas por día. Cuánta pintura para interiores y exteriores debe producir la empresa todos los días para maximizar el ingreso bruto ? Variables reales: X1: Número de toneladas diarias producidas de pintura para interiores. X2: Cantidad de toneladas diarias producidas de pintura para exteriores. Z : Función de utilidad correspondiente a la ganancia por la venta de pintura para interiores y exteriores. Modelo (Primal): MAX Z = 100000 X1+ 300000 X2 Sujeta a:


Página: 41



59.

Un hacendado dispone de los siguientes recursos para emplearlos en la próxima cosecha: $70000000 de capital disponible, 1000 horas tractor y 50 hectáreas de tierra cultivable. Estas tierras son propias para sembrar maíz, caña de azúcar y ajonjolí; se supone que tiene a su disposición hombres suficientes y sin restricción y sus costos de producción son los siguientes: tractor e implementos $ 5000 la hora, mano de obra $ 4000 la hora, cada hectárea no sembrada $ 4500. Además se supondrá un costo como penalización, de un peso por cada peso no invertido. Los siguientes datos son por hectárea:

Cosecha

Maiz Caña de Azucar Ajonjoli

Mano de Obra (Hor)

10 25 30


Tractor (Hor)

20 20 15

Otros costos

$3500 $4000 $10000

Valor de la cosecha (Has)

$300000 $380000 $410000

Página: 42



Plantear el anterior problema como un modelo de Programación Lineal. Variables de decisión: X1: Cantidad de hectáreas de maíz a producir. X2: Número de hectáreas de caña de azúcar a cosechar. X3: Cantidad de hectáreas de ajonjolí a producir. Z : Función de utili dad correspondiente a los cultivos que la hacienda produce. Modelo (Primal): MAX Z = [ 3000000 – ( 5000 * 20 + 4000 * 10 + 3500 )] X1 + [ 3800000 – (( 5000 * 25 ++ 4000 * 25 + 4000 )] X2+ ( 4100000 – ( 5000 * 15 + 4000 * 30 + 10000 )]X3 Con sus restricciones:

60.

Un fabricante de electrodomésticos produce cuatro modelos de lavadoras L1, L2, L3 y L4. Estos aparatos constan fundamentalmente de un tambor metálico recubierto con una carcasa, el cual gira por efecto de un motor eléctrico controlado por un microprocesador electrónico.

Los modelos L1 y L3 son lavadoras con menor capacidad de carga (4 kgr), necesitando 5 mt2 de material metálico, mientras que los modelos L2 y L4 que cargan 10 kgr, requieren 8,5 mt2 de material metálico. La cantidad de material metálico disponible es de 10000 mt2. Los modelos L1 y L2 llevan un motor denominado M1 y un microprocesador P1; los modelos L3 y L4 tienen un motor M2 y un microprocesador P2. El motor M1 es menos potente que el M2 y el microprocesador P1 tiene menos programas que el microprocesador P2; el material necesario para fabricar los motores puede obtenerse prácticamente sin limitación. Los motores se ensamblan en una nave de montaje con una capacidad de trabajo de 3000 horas, siendo requeridas una hora para montar un motor M1 y 1,5 horas para ensamblar un motor M2. En cuanto a los microprocesadores se pueden fabricar en la propia empresa en una sección de la planta de montaje o se pueden encargar a un fabricante de material electrónico. En el primer caso, compiten con la fabricación de los motores M1 y M2 necesitando 0,3 horas la fabricación de P1 a un costo de $ 100000 y 0,75 horas la fabricación de P2 con un costo de $ 180000. En el segundo caso, el vendedor puede suministrar cualquier cantidad de P1 y P2 a un precio de $ 180000 y $ 360000 respectivamente. Finalmente, las lavadoras se montan en otra nave de acabado con capacidad de 5000 horas, siendo preciso un tiempo de 1,5 horas para el modelo L1, 2,3 horas para el modelo L2, 3 horas para el modelo L3 y 4,2 horas para el modelo L4. Para


Página: 43



satisfacer a todos los segmentos, el fabricante decide que la producción mínima de cada modelo sea de 300 unidades. Como dato adicional se conoce, según informe del departamento de mercadeo,que la demanda de modelos de mayor capacidad es siempre superior a la demanda de los modelos de menor capacidad, por lo que la producción combinada de los modelos L2 y L4 debe ser superior a la producción combinada de los modelos L1 y L3. La utilidad proporcionada es de $160000 para el modelo L1, $170000 para el modelo L2, $180000 para el modelo L3 y $200000 para el modelo L4. Plantear un modelo de Programación Lineal para la planificación de la producción de las lavadoras teniendo como objetivo la maximización de los beneficios. Definición de variables:

X1 : Número de lavadoras L1 a fabricar. X2 : Cantidad de lavadoras L1 a producir. X3 : Número de lavadoras L3 a fabricar. X4 : Cantidad de lavadoras L4 a producir. X5 : Número de microprocesadores P1 a fabricar en la empresa. X6 : Cantidad de microprocesadores P1 a comprar. X7 : Número de microprocesadores P2 a producir en la empresa. X8 : Cantidad de microprocesadores P2 a comprar. X9 : Número de motores M1 a fabricar. X10 : Cantidad de motores M2 a producir. Z : Función de utilidad correspondiente a la ganancia por la venta de lavadoras modelos L1, L2, L3 y L4. Modelo (Primal): MAX Z = 160000 X1 + 170000 X2 + 180000 X3 + 200000 X4 – 100000 X5 – 180000 X6 – 180000 X7 – 360000 X8

MAX Z = 160000 X1 + 170000 X2 + 180000 X3 + 200000 X4 – 100000 X5 – 180000 X6 – 180000 X7 – 360000 X8 Sujeta a:


Página: 44



61.

Un país está atravesando una aguda crisis económica a raíz del enorme incremento de la deuda externa. Uno de los efectos más visibles de la crisis es el carácter especulativo que está adquiriendo el mercado de capitales; la influencia de diversos agentes: Gobierno, Fondo Monetario Internacional, Banca Nacional y Banca Extranjera, etc, hace que los indicadores económicos (inflación, devaluación, entre otros) experimente constantes modificaciones haciendo muy poco fiables las previsiones a medio y a largo plazo. En este contexto, los inversionistas se han decantado por una política de inversión a corto y muy corto plazo como mecanismo de defensa ante la inestabilidad del mercado.

Uno de estos inversionistas está estudiando como invertir $ 100000000 producto de una herencia; un asesor financiero le proporciona el siguiente cuadro en el que se recogen las posibles inversiones, su rendimiento, plazo, así como dos índices de calidad de la inversión, uno proporcionado por un organismo estatal y el otro proveniente de una fuente extranjera. Para la obtención de estos í ndices de calidad se tienen en cuenta conceptos tales como liquidez, riesgo, etc, de di fícil cuantificación; el índice estatal recorre una escala de la A a la Z, siendo A la mejor calidad, mientras que el índice extranjero califica a las inversiones en una escala de 0 a 100, siendo 100 la mejor calidad. Indice de Calidad Tipo Inversion 1 2 3 4 5 6

Bonos Empresa Privada

Organismo Estatal

Fuente Extranjera

C

95

B

85

A

92

B

90

A

97

D

93

Bonos Estatales Deuda Publica Nacional Deuda Publica Regional Pagares Estatales

Dias

Neto

10

3,166

15

3,99

21

6,30

21

5,94

30

6,38

7

1,75

Moneda Extranjera


Página: 45



El inversionista pretende elegir su cartera de m odo que alcance los máximos beneficios. No obstante, el asesor financiero le aconseja que diversifique su inversión de acuerdo con los criterios siguientes: La cantidad colocada en inversiones estatales no debe ser superior al 70% del total invertido.  

   

La cantidad invertida en bonos debe ser superior a lo invertido en deuda pública. La razón entre las inversiones en efectos de titularidad pública (inversiones 2, 3, 4 y 5) y las inversiones en efectos de titularidad privada (inversiones 1 y 6) deben ser a l o sumo de tres a uno. No debe colocarse más de un 60% en inversiones catalogadas por el organismo estatal con un índice inferir o igual a B. La calidad media de la inversión según el índice de fuente extranjera debe ser como mínimo 92. Debido a las disposiciones legales, la cantidad máxima que puede invertirse en pagarés estatales es de $4000000. La duración media de la inversión debe estar comprendida entre 14 y 21 días.

Plantear el anterior problema como un modelo de Programación Lineal. Variables reales: X1 : Cantidad colocada en la inversión 1 (en millones de pesos). X2 : Cantidad colocada en la inversión 2 (en millones de pesos). X3 : Cantidad colocada en la inversión 3 (en millones de pesos). X4 : Cantidad colocada en la inversión 4 (en millones de pesos). X5 : Cantidad colocada en la inversión 5 (en millones de pesos). X6 : Cantidad colocada en la inversión 6 (en millones de pesos). Z : Función de utili dad correspondiente a la ganancia obtenida de acuerdo a l as inversiones realizadas 1, 2, 3, 4, 5 y/o 6. inversiones realizadas 1, 2, 3, 4, 5 y/o 6. Modelo (Primal): MAX Z = 3,16 X1 + 3,99 X2 + 6,30 X3 + 5,94 X4 + 6,38 X5 + 1,75 X6 Con sus restricciones:

Resumiendo:


Página: 46


MAX Z = 3,16 X1 + 3,99 X2 + 6,30 X3 + 5,94 X4 + 6,38 X5 + 1,75 X6


Con sus restricciones:


Página: 47


62.


Una empresa de confecciones puede producir 1000 pantalones o 3000 blusas (o una combinación de ambos) diariamente. El departamento de acabado puede trabajar sobre 1500 pantalones o sobre 2000 blusas (o una combinación de ambos) cada día; el departamento de mercadeo requiere que se produzcan diariamente al menos 400 pantalones. Si el beneficio de un pantalón es de $ 4000 y el de una blusa es de $ 3000. ¿ Cuántas unidades se deben de producir de cada uno para maximizar las utilidades ?.

Plantear el anterior problema como un modelo de Programación Lineal. Variables de decisión:

X1 : Cantidad de pantalones a producir diariamente. X2 : Número de blusas a fabricar por día. Z : Función de utilidad correspondiente a la ganancia por la venta de pantalones y blusas. Modelo (Primal): MAX Z = 4000 X1 + 3000 X2 Sujeta a:

Resumiendo: MAX Z = 4000 X1 + 3000 X2 Sujeta a:

63.

La Granja Manizales tiene como actividad principal la cría y engorde de cerdos destinados al consumo humano como también a la fabricación de embutidos. La tarea principal encargada por medio del veterinario es supervisar la preparación de un alimento (salvado) especial, reconstituyente para alimentar una camada que se encuentra convaleciente de una leve enfermedad. Se precisan 1000 kgr del alimento cuya composición debe cumplir las siguientes especificaciones:


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   



La cantidad de peso de hidratos de car bono (H) debe estar comprendida entre un 40% y un 70%. La cantidad en peso de proteínas (P) debe estar entre un 15% y un 50%. La cantidad de peso en grasas (G) debe estar comprendida entre un 10% y un 30%. La cantidad en peso de minerales (M) debe ser superior al 3%.

Para la preparación del alimento se puede recurrir a tres tipos de cuido proporcionados por la compañía FINCA, dos tipos de harina de pescado suministrados por la empresa PURINA o bien comprar directamente en el almacén paquetes de mi neralescon la composición adecuada. La siguiente tabla muestra la composición porcentuales en peso de ca da uno de estos productos, así como su costo por kilogramo:

Alimentos

H

P

G

M

Costo / Kgr

Cuido A

76

21

3

0

22

Cuido B

64

24

12

0

31

Cuido C

45

37

18

0

45

Harina 1

71

2

26

1

17

Harina 2

69

1,5

29

0,5

15

Minerales

0

0

0

100

125

El gerente desea evitar una excesiva dependencia de un único proveedor, Al tiempo que desea mantener buenas relaciones comerciales con ambos proveedores; por ello, piensa que el pedido debería repartirse de manera equitativa entre las empresas FINCA y PURINA. En este sentido lo más que podría tolerarse es una diferencia en más o en menos entre los dos pedidos de hasta un 20% de la cantidad total pedida a a mbos proveedores. Por otra parte la compañía FINCA ha a visado que las existencias de su cuido más barato el A, son un tan to escasas, por lo que solo podrá suministrar a tiempo a lo sumo 300 kgr. El problema que debe resolver la gerencia es determinar que cantidades compra de cada producto para fabricar el ali mento necesario para el ganado porcino al menor costo posible. Definición de variables: a) La cantidad de peso de hi dratos de carbono (H) debe estar comprendida entre un 40% y un 70%. b) La cantidad en peso de proteínas (P) debe estar entre un 15% y un 50%. c) La cantidad de peso en grasas (G) debe estar comprendida entre un 10% y un 30%. d) La cantidad en peso de minerales (M) debe ser superior al 3%. Modelo (Primal): MIN W = 22 XA + 31 XB + 45 XC + 17 X1 + 15 X2 + 125 XM Con sus restricciones:


Página: 49



Resumiendo: MIN W = 22 XA + 31 XB + 45 XC + 17 X1 + 15 X2 + 125 XM Sujeta a:

64.

Una empresa produce bobinas de papel de 500 metros de longitud y un metro de ancho ; se ha estimado que la demanda para el mes próximo es de : 500 bobinas de 20 cm de ancho, 400 bobinas de 30 cm de ancho, 250 bobinas de 40 cm de ancho y 300 bobinas de 70 cm de ancho (todas las bobinas son de 500 metros de longitud).

El fabricante debe cortar las bobinas de un metro de ancho con el tamaño de las peticiones para satisfacer la demanda, pero también desea que el desperdicio en el corte sea tal que el número de bobinas que fabrique de un metro sea mínimo con el objetivo que el costo de producción también lo sea, si se considera desperdicio los sobrantes iguales o superiores a 10 cm. Variables reales: Xi : Número de bobinas a cortar de 500 metros según el patrón i, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 W : Función de costo del desperdicio en el corte de las bobinas.


Página: 50

Investigación Operativa I Patrones

Programación Lineal Sobrantes (cm)

20

30

40

70

1

5

0

0

0

0

2

3

0

1

0

0

3

3

1

0

0

10

4

1

0

0

1

10

5

0

1

0

1

0

6

1

1

1

0

10

7

0

2

1

0

0

8

0

3

0

0

10

9

1

0

2

0

0

10

2

2

0

0

0

MIN W = 10 X3 + 10 X4 + 1 0X6 + 10 X8 Sujeta a:

65.

En la Empresa Colombiana de Petróleos ECOPETROL se procesan tres tipos de gasolina:

Tipo


Clase

Octanaje (Ocatnos)

Página: 51

Investigación Operativa I 1

Programación Lineal 95

Popular

2

Corriente

92

3

Extra

98

Para ello se mezclan cua tro productos base, cuyo costo y disponibilidad son:

Costo

Unidad

Costo / Unidad ($/Barril)

A

3000

90000

B

2000

180000

C

4000

120000

D

1000

150000

Para la clasificación de la mezcla en uno de los tres tipos de gasolina se atiende a la proporción de los productos que la componen de acuerdo a la siguiente tabla:

Producto

Producto A Producto B

Producto C

Producto D Utilidad/Unidad($/Barril)

1

30%

40%

50%

---

150000

2

50%

10%

---

---

12000

3

70%

---

---

---

90000


Página: 52



---: Indica que no i nteresa la proporción de ese producto. Variables de decisión: Y1 : Cantidad de barriles de gasolina tipo 1 (Popular). Y2 : Número de barriles de gasolina tipo 2 (Corriente). Y3 : Cantidad de barriles de gasolina tipo 3 (Extra). YA : Número de barriles del producto A. YB : Cantidad de barriles del producto B. YC : Número de barriles del producto C. YD : Cantidad de barriles del producto D. Xij : Número de barriles del producto i {A, B, C, D} invertidos en j {1, 2, 3} Z : Función de maximización de la utilidad. Modelo (Primal): MAX Z = 150000 X1 + 120000 X2 + 90000 X3 – 90000 YA – 180000 YB – 120000 YC – 150000YD Con sus restricciones:

66.

El gobierno actual requiere el máximo apoyo para que se apruebe en el Congreso el plan de desarrollo propuesto para el próximo año. A través de sus consejeros ha sabido que hay 35 congresistas de un grupo de coalición y 27 de otro partido que aún no han definido su vot o. El presidente decide entonces concertar por teléfono a estos congresistas indecisos para convencerlos de que lo apoyen, sabiendo que tiene una probabilidad 0,9 de éxito con los miembros de la coalición y 0,6 de o tro partido. ¿Cuántos congresistas de cada partido deberá telefonear para maximizar su probabilidad de éxito si no puede realizar un número total de llamadas superior a 30 en el actual régimen de austeridad?

Definición de variables:


Página: 53

Investigación Operativa I XC : Cantidad de congresistas de la coalición. Xo : Número de congresistas de otro partido.


Z : Función de maximización del éxito. Modelo (Primal): MAX Z = 0,9 XC + 0,6 Xo

67.

Una empresa requiere adquirir cuatro productos (1, 2, 3 y 4) y se conoce que hay tres compañías (A, B y C) que los procesan y los venden. La diferencia entre las compañías hace que los artículos se distingan por su calidad, es decir, probabilidad que sean menos defectuosos y sus precios:

Calidad

1

2

3

4

Producto

1

2

3

4

A

0,4

0,6

0,8

0,7

A

6

4

2

3

B

0,6

0,7

0,4

0,9

B

8

7

5

9

C

0,7

0,6

0,5

0,8

C

3

5

7

6

Si se pretende tener una media no inferior a 8, 14, 23 y 15 unidades sin defecto de los productos 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Si se desea minimizar el costo que se debe comprar. Variables reales: Xij : Cantidad de artículos i, i {1, 2, 3, 4} que se comprarán en la empresa j, j {A, B, C} W : Función de minimización de costos. Modelo (Primal): MIN W = 6 X1A + 4 X2A + 2 X3A + 3 X4A + 8 X1B + 7 X2B + 5 X3B + 9 X4B + 3 X1C + 5 X2C + 7 X3C + 6 X4C Sujeta a:


Página: 54


68.


Un granjero tiene 1000 hectáreas de terreno para cultivar próximamente y desea planificar tales cultivos; sabe que necesitará disponer de 300 toneladas de trigo y 270 toneladas de maíz para alimentar a su ganado, lo que puede obtener mediante su propia cosecha o por medio de compra en el mercado. Lo que produzca y que no se dedique a su ganado, lo puede vender; los precios de venta son $500000 y $450000 por cada tonelada de trigo y de maíz, respectivamente. Los precios de compra son un 35% superior debido a las ganancias de intermediarios y a los costos de transporte.

Otro cultivo posible es de la caña de azúcar, que se vende a $300000 cada tonelada producida. Sin embargo, normas del Mercado Común Latinoamericano imponen una cuota máxima para la producción de azúcar, lo que conlleva que cada tonelada de caña de azúcar producida sobre tal cuota tendrá un precio de venta de $100000; para el próximo cultivo se espera que tal cuota sea de 4000 toneladas. Basado en experiencias anteriores, el granjero conoce que la producción media es de 8, 5 y 4 toneladas por hectárea de trigo, maíz y caña de azúcar. El costo de cultivar una hectárea de trigo, maíz y caña de azúcar es de $3000000, $3800000 y $4300000. Se debe plantear un modelo de Programación Lineal que le ayude al granjero a maximizar sus beneficios. Variables de decisión: U1 : Cantidad de hectáreas en las que cultivará trigo. U2 : Número de hectáreas en las que sembrará maíz. U3 : Cantidad de hectáreas en las que plantará caña de azúcar. V1 : Número de toneladas que comprará de trigo. V2 : Cantidad de toneladas que comprará de maíz. W1 : Número de toneladas que venderá de trigo. W2 : Cantidad de toneladas que venderá de maíz. W3 : Número de toneladas que venderá de caña de azúcar a $300000. W4 : Cantidad de toneladas que venderá de caña de azúcar a $100000. Z : Función de maximización de utilidades. Modelo (Primal): MAX Z= 6 X1A + 4 X2A + 2 X3A + 3 X4A + 8 X1B + 7 X2B + 5 X3B + 9 X4B + 3 X1C + 5 X2C + 7 X3C + 6 X4C Con sus restricciones:


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Página: 56




Página: 57



69.

La gerencia de una planta termoeléctrica de generación de energía, que emplea carbón como combustible, está estudiando la configuración operativa de la planta a fin de cumplir con las nuevas leyes de contaminación ambiental; para esta planta, las tasas máximas de emisión son: máxima emisión de óxido de azufre 4000 partes por millón (ppm), máxima emisión de partículas (humo) 10 kilogramos / hora (kgr / hor).

El carbón se traslada a la planta por ferrocarril y se descarga en depósitos cercanos a la misma; de aquí se lleva con una cinta transportadora a la unidad pulverizadora, donde se pulveriza y alimenta directamente la cámara de combustión, a l a velocidad conveniente; el calor producido en la cámara de combustión, se utiliza para crear vapor, el cual impulsa las turbinas. Se emplean dos tipos de carbón: tipo A, que es un carbón duro y de quema limpia con un bajo contenido en azufre (bastante caro) y ti po B, que es un carbón barato, relativamente suave, que produce humo y tiene un alto contenido en azufre (ver tabla adjunta). El valor térmico en términos de vapor producido es mayor para el carbón A que para el carbón B, si endo de 26000 y 18000 l ibras por tonelada respectivamente.

CARBON

A B


OXIDO DE AZUFRE EN GASES COMBUSTIBLES

PARTICULAS (EMISION / TON)

1600 ppm

0,5 Kg / Ton

4800 ppm

1 Kg / Ton

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Como el carbón A es duro, la unidad pulverizadora puede manejar a lo sumo 18 toneladas de carbón A por hora; sin embargo puede pulverizar hasta 22 toneladas de carbón B por hora. El sistema de carga de la cinta transportadora tiene una capacidad de 20 toneladas por hora y es independiente del tipo de carbón. Uno de los interrogantes que se plantea la gerencia es que dados los lími tes de emisión de los agentes contaminantes y los tipos disponibles de carbón. ¿Cuá l es la máxima producción posible de electricidad de la planta que l e permitirá a la gerencia determinar el margen de seguridad disponible para cubrir las demandas de energía? Definición de variables: X1 : Cantidad de carbón tipo A en toneladas utilizadas por hora en la quema . X2 : Número de toneladas de carbón tipo B en toneladas empleadas en una hora para quema. Z : Función de maximización de producción. Modelo (Primal): MAX Z= 26000 X1 + 18000 X2

Resumiendo: MAX Z= 26000 X1 + 18000 X2 Con sus restricciones:


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70.

Una destilería dispone de malta propia en cantidad de 300 barriles / día. Además, puede comprar malta de dos distribuidores A y B con costos de $12000 y $15000 por barril, en cantidades máximas de 600 y 400 barriles / día, respectivamente. La malta puede mezclarse directamente o destilarse para producir malta enriquecida de dos tipos 1 y 2. El destilador puede procesar a lo sumo 800 barriles / día. Un barril destilado de la propia casa produce 0,3 barriles de malta tipo 1y 0,6 barriles de malta tipo 2; un barril de malta A produce 0,4 barriles de malta tipo 1 y 0,4 barriles de malta tipo 2; un barril de malta B produce 0,7 barriles de malta tipo 1 y 0,1 barriles de malta tipo 2.

La mezcla de malta no procesada se vende a $16000 el barril, limitándose el mercado a 150 barriles / día; el sobrante de malta debe destruirse con costo de $1200 el barril; con las maltas destiladas pueden hacerse dos productos un de superior calidad (S) que se vende a $20000 el barril y debe contener al menos el 60% de producto 1 y otro de baja calidad (B) que se vende a $15000 barril y puede contener a lo sumo el 50 % de producto 2. La destilería desea satisfacer la demanda del producto de alta calidad, que es de 25 0 barriles por día y asegurarse un beneficio de $300000 diarios; además, puesto que se espera un cambio en le mercado del producto de baja calidad, la destilería desea minimizar su producción. Formular un modelo de Programación Lineal que responda al problema de planificación planteado teniendo en cuenta las limitaciones en la producción y las exigencias de demanda y beneficio económico, suponiendo, además, que la venta de la mezcla está garantizada. Variables reales: Xi : Barriles por día de malta disponible del distribuidor i, i = {A, B, C} donde C: Malta disponible en la propia destilaría. Xij : Cantidad de malta disponible del distribuidor i, dedicada a la actividad j, j = {M, D, d}, donde M: Mezcla, D: Destilería y d: Destrucción. X1 : Producción de barriles de malta de tipo 1 por día. X2 : Número de barriles de malta de tipo 2 a producir diariamente. XS : Cantidad de barriles de malta de alta calidad. XB : Número de barriles de malta de baja calidad. Xkl : Cantidad de barriles de malta de tipo k, k = {1, 2} dedicada a la producción de calidad l, l= {S, B}. W : Función de volumen de producción de baja calidad. Modelo (Primal): MAX Z = X1B + X2B Sujeta a:


Página: 60



SOLUCIONES

4.

EJERCICIOS PROGRAMACIÓN LINEAL 71.

a) Dibuja el recinto formado por los puntos que cumplen las siguientes condiciones:  y  3   y  x  1  y  3 x  0 

b) Indica si los puntos (0, 0), (2, 1) y (1, 2) forman parte de las soluciones del sistema anterior. S oluci ón:

y  3 

a) Representa mos las rectas y  x  1  y  x  1 y  3 x  0  y  3 x 

Tomamos un punto cualquiera; por ejemplo el (1, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas. El recinto buscado es:


Página: 61



b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que (0, 0) y (2, 1) no son soluciones del sistema, pero (1, 2) sí lo es.

72.Maximiza la función z = x

y , sujeta a las siguientes restricciones:

 x  3 y  26  4 x  3 y  44 2 x  3 y  28  x  0   y  0 S oluci ón:

 x  3y  26  y  26  x  3  44  4 x  Representa mos las rectas 4 x  3y  44  y  3  28  2 x 2 x 3y 28    y   3

y hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que x  0 e y  0.  Representamos  y

la dirección de las rectas z = x  y , dibujando la que pasa por el origen de coordenadas: x

=0

4 x  3 y  44 El punto M , intersección de  es decir, M 8, 4, es el que proporcion a 2 x  3 y  28

el máximo, que vale: z = 8  4 = 12

73.Oswaldo Paul Rivadeneira

Página: 62



En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B . En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de A y cinco de B , y el tipo II con una composición de cinco unidades de A y una de B . El precio del tipo I es de 10 euros y el del tipo II es de 30 euros. Se pregunta: ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? S oluci ón:

Llamamos x a las unidades que se compran de tipo I e y a las que se compran de tipo II. Resumamos los datos en una tabla:

Las restricciones son:  x  5 y  15  5 x  y  15   x  0 y  0

La función que nos da el coste es z = 10 x  30y = 10( x  3y ). Debemos hacer mínima esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones, y la recta 10( x  3y ) = 0



x  3y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 10( x  3y ).

 x  5y  15 El mínimo se alcanza en el punto de intersecci ón de  ; es decir, en (2,5; 2,5). 5 x  y  15

Por tanto, hay que comprar 2,5 de tipo I y 2,5 de tipo II. El precio en este caso será de z = 10(2,5  32,5) = 100 euros.

74.Disponemos de 210000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. La s del tipo A que rinden el 10% y las de tipo B que rinde el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130000 euros en las de tipo A y, como mínimo, 6000 euros en las de tipo B . además, queremos que la inversión en las del tipo A sea menor o igual que el doble de la inversión en B .

¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener máximo interés anual? S oluci ón:


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Llamamos x al dinero que invertimos en acciones de tipo A e y al que invertimos en las de tipo B. Resumimos los datos en una tabla:

Las restricciones son:  x  y  210 000   x  130 000 y  6 000   x  2y  x  0  y  0

La función que nos da el rendimiento total es: z  0,1 x  0,08y 

1 100

10 x  8y  

2 100

5 x  4y  

1 50

5 x  4y .

Debemos maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones (la unidad es 10 000) y la recta 1 z 

50

1 50

5 x  4y   0



5 x  4 y  0, que nos da la dirección de las rectas

5 x  4y .

El máximo se alcanza en el punto (13, 8). Por tanto, debemos invertir 130 000 euros en acciones del tipo A y 80 000 euros en las de tipo B. En este caso, el beneficio anual será de 1 z 

50

5  130 000  4  80 000  19 400 euros .

75.a) Representa el recinto que cumple estas restricciones:  x  3 y  9  2 x  y  8   x  0  y  0


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b) Da tres puntos que sean solución del sistema anterior. S oluci ón:

 x  3 y  9   a) Representa mos las rectas 2 x  y  8  x  0  y  0

9  x



y





y

 8  2 x

3

Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas. El recinto buscado es:

b) Por ejemplo: (1, 1), (2, 2) y (2, 0).

76.Halla el mínimo de la función z = 3 x

2 y con las siguientes restricciones:

3 x  4 y  12   3 x 2 y  2   x  0  y  0 S oluci ón:

3 x  4 y  12    Representa mos las rectas  3 x  2y  2  

y

y





12  3 x

4 2  3 x 2

y hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que x  0 e y  0.

Los vértices de dicha región son los puntos:

0, 1; 0, 3; 4, 0

 2  y  , 0  3 

 Representamos

la dirección de las rectas z = 3 x  2y , dibujando lo que pase por el origen de coordenadas: 3 x  2y = 0

 Observamos que

la recta 3 x  2y = 0 y la recta 3 x  2y = 2 son paralelas. Por tanto,


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 2  el mínimo se alcanza en todos los puntos del segmento que une 0, 1 y  , 0 .  3 


Este mínimo vale: z = 3  0  2  1 = 2

77.Cierto fabricante produce dos artículos, A y B , para lo que requiere la utilización de dos secciones de producción: sección de montaje y sección de pintura. El artículo A requiere una hora de trabajo en la sección de montaje y dos en la de pintura; y el artículo B , tres horas en la sección de montaje y una hora en la de pintura. La sección de montaje solo puede estar en funcionamiento nueve horas diarias, mientras que la de pintura solo ocho horas cada día. El beneficio que se obtiene produciendo el artículo B es de 40 euros y el de A es de 20 euros. Calcula la producción diaria de los artículos A y B que maximiza el beneficio. S oluci ón:

Llamamos x a la producción diaria de artículos A e y a la de artículos B. Resumimos los datos en una tabla:

Las restricciones son:  x  3 y  9  x y 2   8   x  0 y  0

La función que nos da el beneficio es z = 20 x  40y = 20( x  2y ). Debemos obtener el máximo de esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones y la recta 20( x  2y ) = 0



x  2y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 20 x  40y .


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El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas


x  3 y  9

; 2 x  y  8

es decir, en (3, 2). Por tanto, deben producirse 3 unidades de A y 2 de B. En este caso, el beneficio será de z = 20  3  40  2 =140 euros.

78.Un quiosco vende bolígrafos a 20 céntimos de euro y cuadernos a 30 céntimos de euro. Llevamos 120 céntimos de euro y pretendemos comprar los mismos cuadernos que bolígrafos, por lo menos. ¿Cuál será el número máximo de piezas que podemos comprar? S oluci ón:

Llamamos x al número de bolígrafos e y al número de cuadernos. Tenemos que:

Las restricciones son: 20 x  30 y  120  2 x  3 y  12  x  y   x  0 y  0   x , y enteros

Dibujamos el recinto correspondiente. Las posibles soluciones son los puntos que aparecen señalados:

Debemos hacer máximo el número de piezas, es decir, debemos maximizar z = x  y . Vemos que hay tres puntos que hacen máxima esta suma: (0, 4), (1, 3) y (2, 2). El número máximo de piezas que podemos comprar es 4.


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79.-

a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del siguiente sistema de inecuaciones: 6 x  y  1   x  y  1  y  2 

b) Di si los puntos (0, 1), (0, 0) y (0, 3) son soluciones del sistema anterior. S oluci ón:

6 x  y  1  

a) Representa mos las rectas  x  y  1  y  2 

y y

 6 x  1  1  x

Tomamos un punto cualquiera; por ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas. El recinto buscado es:

b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que (0, 1) sí es solución del sistema, (0, 0) también lo es, pero (0, 3) no.

80.Maximiza la función z = 150 x

100 y , sujeta a las siguientes restricciones:

2 x  3 y  600  2 x  y  480   x  0  y  0 S oluci ón:

2 x  3y  600    Representa mos las rectas  2 x  y  480  

y  y 

600  2 x 3

480  2 x

y hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que x  0 e y  0.

Los vértices de dicha región son los puntos: (0, 0); (0, 200); (240, 0) y (210, 60)  Representamos

la dirección de las rectas z = 150 x  100y , dibujando la que pasa por el origen de


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coordenadas: 150 x  100y = 0




El máximo se encuentra en el vértice (210, 60), en el que z = 150  210  100  60 = = 37 500.

81.Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro y 1,5 g de plata, vendiéndolas a 40 euros cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea 1,5 g de oro y 1 g de plata, y las vende a 50 euros. El orfebre tiene solo en el taller 750 g de cada uno de los m etales. Calcula cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máximo. S oluci ón:

Llamamos x al número de joyas del tipo A e y al número de joyas del tipo B. Resumimos los datos en una tabla:

Las restricciones son:  x  1,5 y  750  x  y  750 1,5  x  0  y  0

La función que nos da los ingresos es z = 40 x  50y = 10(4 x  5y ). Debemos hacer máxima esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones y la recta 10(4 x  5y ) = 0 4 x  5y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 10(4 x  5y ).




Página: 69

Investigación Operativa I El máximo se alcanza en el punto de intersección de la rectas:

x  1,5 y

 750 ; 1,5 x  y  750


es decir, en (300, 300). Por tanto, ha de fabricar 300 joyas del tipo A y 300 del tipo B para obtener el máximo beneficio. Los ingresos en este caso serían z = 40  300  50  300 = 27 000 euros.

82.En una pequeña empresa se fabrican diariamente solo dos tipos de aparatos, A y B . Como máximo pueden fabricarse 3 aparatos de cada tipo y, obligatoriamente, al menos un artículo del tipo B . Indica todas las posibilidades de fabricación si se qui eren obtener unas ventas superiores a 60 euros, teniendo en cuenta que los precios de los artículos A y B son de 30 y 10 euros, respectivamente. S oluci ón:

Llamamos x al número de aparatos de tipo A e y al número de aparatos de tipo B que podemos fabricar. Las restricciones son:  x  y  3  x  0  y  1 30 x  10y  60  3 x  y  6   x e y enteros (naturales )

Representamos el conjunto de restricciones:

Observamos que la única solución posible es fabricar 2 aparatos de tipo A y 1 de tipo B. La venta es entonces de 2  30  1  10 = 70 euros.

83.a) Construye el recinto de soluciones del siguiente sistema: 3 x  3 y  120  3 x  6 y  180   x  0  y  0

b) Los puntos (20, 10), (20, 0) y (20, 20), ¿forman parte de las soluciones del sistema anterior? S oluci ón:


Página: 70


3 x  3y  120    3 x  6y  180   a) Representa mos las rectas   x  0   y  0

x  y  y 

40 

y 

180  3 x  6


40  x

y  30 

x

2

Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas. El recinto buscado es:

b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que los tres puntos son soluciones del sistema.

84.a) Dibuja el recinto definido por:  2 x  y  3   2 x  y  2  x  2 y  4 

b) Halla los vértices del recinto anterior. c) Halla el máximo de la función z = 4 y x , sujeta a las restricciones propuestas en a). ¿En qué punto del recinto alcanza dicho máximo? S oluci ón:

 2 x  y  3  y  2 x  3    Representa mos las rectas 2 x  y  2  y  2 x  2  4  x  x  2y  4  y   2

y hallamos la región que cumple las condiciones del problema.  Los

vértices del recinto son los puntos:   2 11  ,   5 5 

A 



y

 8 6  ,   5 5 

B

Representamos la dirección de las rectas z = 4y  x , dibujando la que pasa por el origen de coordenadas: 4y  x = 0


Página: 71


El máximo se alcanza en el punto

z

 4

11 5


  2 11  ,  y vale :  5 5 

A

  2  44 2 46     9,2  5 5 5  5 

85.Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello, lanzan dos ofertas, A y B : La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 euros; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 euros. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B . ¿Cuántos lotes han de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? S oluci ón:

Llamamos x al número de lotes de A e y al número de lotes de B. Resumimos los datos en una tabla:

Las restricciones son:  x  3 y  200  x y    100   x  20 y  10

Maximizar las ganancias equivale a maximizar l os ingresos. La función que nos da los ingresos es z = 30 x  50y = 10(3 x  5y ). Debemos obtener el máximo de esta función sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones y la recta 30 x  50y = 10(3 x  5y) = 0  3 x  5y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 30 x  50y.


Página: 72


El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas


x  3 y 

200 ;

x  y  100 

es decir, en (50, 50). Por tanto, se deben hacer 50 lotes de la oferta A y 50 de la B. Los ingresos en este caso serían de z = 30  50  50  50 = 4 000 euros.

86.Se desea obtener tres elementos químicos a partir de las sustancias A y B . Un kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero; un kilo de B tiene 4 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero. Se desea obtener al menos 16 gramos del primer elemento y las cantidades del segundo y del tercero han de ser como mucho 5 y 20 gramos, respectivamente; y la cantidad de A es como mucho el doble que la de B. Calcula los kilos de A y los de B que han de tomarse para que el coste sea mínimo si un kilo de A vale 2 euros y uno de B 10 euros. ¿Puede eliminarse alguna restricción? S oluci ón:

Llamamos x a los kilos de A e y a los de B. Resumimos los datos en una tabla:

Las restricciones son: 8 x  4 y  16  2 x  y  4  x  y  5  2 x  2y  20  x  y  10 (Esta se puede eliminar, pues, si  necesariam ente, x  y  10)   x  2y  x  0  y  0

x  y 

5,

La función que nos da el coste es z = 2 x  10y = 2( x  5y ). Debemos minimizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones y la recta 2( x  5y ) = 0



x  5y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 2 x  10y .


Página: 73



El mínimo se alcanza en el punto de intersecci ón de las rectas

2 x  y  4  ; x  2y 

es decir, en (1,6; 0,8). Por tanto, han de comprarse 1,6 kilos de A y 0,8 de B. El coste en este caso será de z = 2  1,6  10  0,8 = 11,2 euros.

87.Una fábrica produce neveras utilitarias y de lujo. La fábrica esta dividida en dos secciones: montaje y acabado. Los requerimientos de trabajo vienen dados por la siguiente tabla:

El máximo número de horas de trabajo disponibles diariamente es de 120 en montaje y 180 en acabado, debido a las limitaciones de operarios. Si el beneficio es de 300 euros por cada nevera utilitaria y de 400 euros por cada nevera de lujo, ¿cuántas deben fabricarse diariamente de cada una para obtener el máximo beneficio? S oluci ón: Llamamos x al n o de neveras utilitaria s e y al n o de neveras de lujo.

Resumimos los datos en una tabla:

Las restricciones son: 3 x  3y  120   3 x  6y  180    x  0 y  0

x  y



x  2y

40

 60

La función que nos da el beneficio es z = 300 x  400y = 100(3 x  4y ). Debemos obtener el máximo de esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones y la recta 100(3 x  4y ) = 0 3 x  4y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 300 x  400y :




Página: 74


El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas:


x  y x  2y

 40 ;  60 

es decir, en (20, 20). Por tanto, deben fabricarse 20 neveras de cada uno de los dos tipos. El beneficio será z = 300  20  400  20 = 14 000 euros.

88.La casa X fabrica helados A y B , hasta un máximo diario de 1000 kilos. La fabricación de un kilo de A cuesta 1,8 euros y uno de B , 1,5 euros. Calcula cuántos kilos de A y B deben fabricarse, sabiendo que la casa dispone de 2 700 euros /día y que un kilo de A deja un margen igual al 90% del que deja un kilo de B . S oluci ón:

Llamamos x a los kilos de A e y a los de B. Sea m el margen de B; entonces el de A es 0,9 m. Resumimos los datos en una tabla:

Las restricciones son:  x  y  1000  x  y  1,5 2 700 1,8   x  0 y  0

El margen total es z = 0,9mx  mx = m(0,9 x  y ). Esta es la función que debemos maximizar, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones y la recta m(0,9 x  y ) = 0 0,9 x  y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = m(0,9 x  y ).




Página: 75



Observamos que 1,8 x  1,5y  2 700 no impone ninguna restricción nueva. El máximo se alcanza en el punto M (0, 1 000). Por tanto, deben fabricarse 1 000 kilos de helado de tipo B y nada de tipo A.

89.

A una persona le tocan 10 millones de pesos en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y, p or lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ?Cómo deberá invertir 10 millones para que le beneficio anual sea máximo? Sea: x= cantidad invertida en acciones A y= cantidad invertida en acciones B La función objetivo es:

Y las restricciones son:

La zona de soluciones factibles es:

Siendo los vértices del recinto: A intersección de u,t:

B intersección de r,u:


Página: 76



C intersección de r,s:

D intersección de s,t:

La función objetivo toma en ellos los valores:

Siendo la solución óptima invertir 6 millones en acciones tipo A y 4 en acciones tipo B _____________________________________________________________________

90.

Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 ptas. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 ptas. por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ?Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? Llamemos: x= n: de impresos diarios tipo A repartidos. y= n: de impresos diarios tipo B repartidos. La función objetivo es: f(x, y)=5x+7y Las restricciones:

La zona de soluciones factibles es:


Página: 77



Vértices: A(0, 100) B intersección de s,t:

C intersección de r,t:

D (120, 0) Siendo los valores de la función objetivo:

Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B para una ganancia máxima diaria de 950 ptas.. _______________________

91. En un taller, lo más que se puede hacer diariamente son 200 artículos A, ó 100 artículos B, ó cualquier combinación posible dentro de estos límites. La sección de pintura tiene una capacidad diaria de 120 artículos A, ó 160 artículos B, ó cualquier combinación posible dentro de estas limitaciones. La planta de tratamiento térmico no puede procesar más de 90 artículos B por día; el artículo A no requiere de este proceso. El artículo A se procesa 3 minutos en l a máquina M1 y 2 minutos en la máquina M2, mientras que el artículo B puede fabricarse enteramente en la máquina M1 en 5 minutos ó, también, en ambas máquinas, procesándolo 2 minutos en la máquina M1 y 1 minuto en la M2. Las máquinas tienen disponibles las 8 horas del día para realizar el proceso. Cada artículo A se fabrica con 1 libra de material X y 2 libras de material Y, y cada artículo B se construye con 2 libras de X y 3 libras de Y. En existencia hay 140 libras de X y 80 libras de Y. El costo de una libra de X es $200 y por cada libra de Y es $300. Como el material Y disponible es poco, y hay un presupuesto de $60.000 para la compra de ambos materiales, del material X no puede comprarse más del 20% del material Y que se requiera adicionalmente. El Oswaldo Paul Rivadeneira

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Investigación Operativa I Programación Lineal artículo B también puede hacerse sin el tratamiento térmico, aunque con ello se sacrifica la durabilidad. Cada artículo A deja una utilidad de $4.000; cada artículo B sin tratamiento de $3.000 y con tratamiento, $5.000. Planifique la producción de tal manera que se maximice la utilidad diaria de la compañía.

92. Una determinada empresa tiene M plantas productoras ubicadas en diferentes regiones, siendo SI la capacidad de producción por periodo de la planta i . Esta empresa produce un único artículo en todas sus plantas y este artículo es demandado en N ciudades diferentes durante T periodos, siendo Djt la demanda de la ciudad j para el periodo t, demandas que deben ser satisfechas. El costo unitario de producción en la planta i en el periodo t es Cit. No se puede guardar inventario en las plantas. La empresa cuenta con P bodegas ubicadas en diferentes puntos geográficos del país. De ésta manera la producción de las plantas es llevada hasta las bodegas y desde allí se abastece a las ciudades. Si una unidad de producto que llega a una bodega en un periodo es despachada en el mismo periodo hacia su destino, la empresa no incurre en costos de almacenamiento. Sin embargo, existe la posibilidad de guardar producto en inventario en las bodegas desde un periodo a otro, lo cual tiene un costo variable de gk por cada unidad de producto almacenada durante un periodo en la bodega k, y se debe considerar que la capacidad de inventario en cada bodega es de Wk unidades. Finalmente, el costo de transporte desde la planta i a la bodega k en el periodo t es PBikt y el costo de transporte desde la bodega k a la ciudad j en el periodo t es BCkjt, ambos por unidad de producto transportada. Plantee un modelo de programación lineal que resuelva el problema de producción y transporte de la empresa de manera de minimizar los costos totales.

93. La oficina técnica coordinadora de cultivos (OTCC), tiene a

su cargo la administración de 3 parcelas. El rendimiento agrícola de cada parcela está l imitado tanto por la cantidad de ti erra cultivable, como por la cantidad de agua asignada para regadío de la parcela, por la comisión de aguas. Los datos proporcionados por este organismo son los siguientes: Las especies disponibles para el cultivo son la remolacha, trigo y maravilla, pero el ministerio de agricultura ha establecido un número máximo de hectáreas que pueden dedicarse a cada uno de estos cultivos en las 3 parcelas en conjunto, como lo muestra la siguiente tabla: Los dueños de las parcelas, en un acto de solidaridad social, han convenido que en cada parcela se sembrará la misma fracción de su ti erra cultivable. Sin embargo, puede cultivarse cualquier combinación en cualquiera de las parcelas. La tarea que encara la OTCC es plantear cuantas hectáreas se deben dedicar al cultivo de las distintas especies en cada parcela, de modo de maximizar la ganancia neta total para todas las parcelas a cargo de la OTCC.

94. Un agente vendedor trabaja con los productos A y B. El no espera vender más de 15 unidades por mes del producto A y para evitar una multa, debe vender por lo menos 30 unidades por mes del producto B. el agente recibe una comisión del 20% de las ventas y debe pagar sus gastos que se estiman en $ 10 por hora usada en visitar clientes. Cada mes debe trabajar un mínimo de 150 horas y un máximo de 180 horas. El producto A se vende a $ 200 la unidad y requiere en promedio 2 horas por visita; la probabilidad de hacer una venta es de 0.45. El producto B se vende a $ 120 la unidad, requiere de 1.5 horas promedio por visita y la probabilidad de hacer Oswaldo Paul Rivadeneira

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Investigación Operativa I Programación Lineal una venta es de 0.6. ¿Cuántas visitas mensuales debe hacer el agente a los clientes si desea maximizar sus ingresos?

95. Una empresa europea piensa instalar plantas de

producción en Cali para lanzar sus productos al mercado nacional, por lo que necesita decidir su plan de producción para el próximo año. La empresa puede fabricar N tipos de productos y la elaboración de cada uno de ellos implica l a compra de una máquina especializada, a un costo de fi [$]. Además, el costo variable de producir una unidad del producto i es de ci [$]. Así, si se decide elaborar el producto i se deberá necesariamente incurrir en un costo de fi [$] más los costos variables por elaboración del producto, y si se decide no fabricarlo no se incurrirá en ningún tipo de gasto. Si la demanda pronosticada para el producto i es de Di unidades (i = 1…N) pudiendo venderse dicho producto a un precio de pi [$], formule un modelo que resuelva el problema de encontrar el conjunto de productos que la empresa debe fabricar, sabiendo que se desea producir exactamente L productos diferentes, para los cuales se deberá satisfacer la demanda.


Página: 80



96. RMC es una empresa pequeña que produce diversos productos químicos. En un proceso de producción en particular se utilizan tres materia primas para elaborar dos productos: un aditivo para combustible y una base disolvente. El aditivo para combustible se vende a empresas petroleras y se utiliza en la producción de gasolina y otros combustibles relacionados. La base disolvente se vende a varias empresas químicas y se utiliza tanto para productos de limpieza para el hogar como industriales. Para formar el aditivo para combustible y la base de disolvente de mezclan tres materia primas, según apara ce en la siguiente tabla. NECESIDADES DE MATERIA PRIMA POR TONALADA Materia Prima Producto 1 2 3

Aditivo para combustible Base disolvente

2/5 1/2

0 1/5

3/5 3/10

Utiliza ½ toneladas de materia prima 1 en cada tonelada de base de disolvente.

La producción de RMC está limitada por la disponibilidad de las tres materia primas. Para el período de producción actual, RMC tiene disponibles las cantidades siguientes de cada una de las materia primas Materia Prima

Materia prima 1 Materia Prima 2 Materia prima 3

Cantidades disponibles para la producción

20 toneladas 5 toneladas 21 toneladas

Debido a deterioro y la naturaleza del proceso de producción, cualquier materia prima que no se utilice para producción actual resulta inútil y debe descartarse. El departamento de control de calidad ha analizado las cifras de producción, asignando todos los costos correspondientes, y para ambos productos llegó a precios que resultarán en una contribución a la utilidad de 40 dólares por tonelada de aditivo para combustible producida y de 30 dólares por cada tonelada de base disolvente producido. La administración de RMC, después de una análisis de la demanda potencial, ha concluido que los precios establecidos asegurarán la venta de todo el aditivo para combustible y de toda la base disolvente que se produzca. El problema de RMC es determinar cuántas tonelada de cada producto deberá producir para maximizar la contribución total de la utilidad. Si Ud. Estuviera a cargo de la programación de la producción para RMC. ¿qupe decisión tomaría? Esto es, ¿Cuántas tonaladas de aditivo para combustible y cuántas toneladas


Página: 81



de base disolvente produciría usted para el período actual de producción? Escriba sus decisiones abajo y encuentre sus resultados.1 Solución: Diseño del modelo matemático: 

Definición de variables X1 = número de toneladas de aditivo para combustible X2 = número de toneladas de base disolvente



Función objetivo: Maximizar la contribución a la utilidad, Z = 40 X1 + 30 X2



Restricciones Toneladas de materia prima 1 2/5X1 + 1/2X2 ≤ 20 Toneladas de materia prima 2 1/5X2 ≤ 5 Toneladas de materia prima 3 3/5X1 + 3/10X2 ≤ 21



No negatividad Xi ≥0; i=1,2

Entrada de datos para Solver

Salida de resultados

1

Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 220. Oswaldo Paul Rivadeneira

Página: 82



Informe del problema: Orden de producción: 25 toneladas de aditivo 20 toneladas de base disolvente con: 20 toneladas de materia prima 1, 4 toneladas de materia prima 2, y 21 toneladas de materia prima 3 97. Innis Investments administra fondos de empresas y clientes pudientes. La estrategia de inversión se adecua a las necesidades de cada cliente. Para un cliente nuevo, a Innis se le ha autorizado invertir hasta 1’200.00 dólares en fondos de inversión: un fondo de acciones y un fondo del mercado de dinero. Cada unidad del fondo de acciones cuesta 50 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 10%; cada unidad del fondo de mercado de dinero cuesta 100 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 4%. El cliente desea minimizar el riesgo, pero quiere tener un ingreso anual sobre la inversión de por lo menos 60.000 dólares. De acuerdo con el sistema de medición del riesgo del Innis, cada unidad adquirida en el fondo de acciones tiene un índice de riesgo del 8, y cada unidad adquirida en el fondo de mercado de dinero tiene un índice de riesgo de 3. El índice de riesgo más elevado con el fondo de acciones indica, simplemente que se trata de un a inversión más riesgosa. El cliente de Innis también ha especificado que se inviertan por lo menos 3.000 dólares en el fondo de mercado de dinero. ¿Cuántas de cada uno de los fondos deberá adquirir Innis para el cliente, si el objetivo es minimizar el índice de riesgo total para esa cartera?2 Solución: Diseño del modelo matemático: 

Definición de variables X1 = número de unidades adquiridas en el fondo de acciones X2 = número de unidades adquiridas en el fondo del mercado de dinero



Función objetivo: Minimizar el riesgo, Z = 8 X1 + 3 X2



Restricciones Fondos disponibles 50X1 + 100X2 ≤ 1’ 200.000 Ingreso anual 5 X1 + 4X2 ≥ 60.000 Unidades en fondo 100X2 ≥ 3.000

2


Página: 83

Investigación Operativa I 



Entrada de datos para Solver

Datos de salida del Solver

Informe de asesoría: Innis Investments aconseja al cliente que adquiera 400 unidades a 50 dólares cada una en Acciones y 10.000 unidades a 100 dólares cada en el mercado de dinero para obtener una ganancia de 62.000 dólares al año. 98. PAR es un pequeño fabricante de equipos y accesorios para golf cuyo distribuidor lo convenció de que existe un mercado tanto para la bolsa de golf de precio medio, conocida como modelo estándar, como para una bolsa de golf de precio elevado, conocida como modelo deluxe. El distribuidor tiene tanta confianza en el mercado que si PAR puede fabricar las bolsas a un precio competitivo, el distribuidor está de acuerdo en adquirir todas las bolsas que PAR pueda fabricar en los siguientes tres meses. Un análisis cuidadoso de los requerimientos de fabricación dieron como resultado la tabla siguiente, que muestra las necesidades de tiempo de producción para las cuatro operaciones de manufactura requeridas y la estimación por parte del departamento de contabilidad de la contribución a la utilidad por bolsa. Tiempo de producción Corte y Costura Oswaldo Paul Rivadeneira

Terminado

Inspección

Utilidad por Página: 84


Producto Estándar Deluxe

teñido 7/10 1


1/2 5/6

1 2/3

y empaque 1/10 ¼

Bolsa $10 $9

El director da manufactura estima que durante los siguientes tres meses estarán disponibles 630 horas de tiempo de corte y teñido, 600 horas de tiempo de costura, 708 horas de tiempo de terminado y 135 horas de tiempo de inspección y empaque para la producción de las bolsas de golf. a) b) c) d)

Si la empresa desea maximizar la contribución total a la utilidad, ¿Cuántas bolsas de cada modelo deberá fabricar? ¿Qué contribución a la utilidad puede obtener PAR de estas cantidades de producción? ¿Cuántas horas de producción se programarán para cada operación? ¿Cuál es el tiempo de holgura de cada operación?3

Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de unidades de bolsas de golf estandar X2 = Cantidad de unidades de bolsas de golf de lujo 

Función Objetivo Z max = 10X1 + 9X2



Restricciones 0.7X1 + 1.0X2 ≤ 630 Horas de Corte y teñido 0.5X1 + 0.8334X2 ≤ 600 Horas de Costura 1.0X1 + 0.6667X2 ≤ 708 Horas de Terminado 0.1X1 + 0.25X2 ≤ 35 Horas de Inspección y Empaque



No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución gráfica:

3

Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 264. Problema 15. Oswaldo Paul Rivadeneira

Página: 85



Entrada de datos Solver:

Solución Solver:


Página: 86



a) Debe fabricar 539,98 bolsas de golf estándar y 252,01 bolsas de golf de Lujo. b) Contribución total = $ 7.667,942 c) Se programarán 620 horas de Corte y Teñido, 480.02 horas de Costura, 708 horas de Terminado y 117 horas de Inspección y Empaque. d) Los tiempos de holgura son de 119.98 para Costura y 18 horas para Inspección y Empaque. Las operaciones de Corte y Teñido, y Terminado no tienen holgura. 99. Un autobús Caracas-Maracaibo ofrece plazas para fumadores al precio de 10.000 Bolívares y a no fumadores al precio de 6.000 Bolívares. Al no fumador se le deja llevar 50 kgs. de peso y al fumador 20 kgs. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3.000 kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizara el beneficio? Sean las variables de decisión: x= n: de plazas de fumadores. y= n: de plazas de no fumadores. La Función objetivo:

f (x, y)=10.000x+6.000y máxima Restricciones:

Zona de soluciones factibles: Vértices:


Página: 87



B intersección de r y s:

C(90, 0) Valores de la función objetivo:

Ha de vender 90 plazas para fumadores y ninguna para no fumadores y así obtener un beneficio máximo de 900.000 bolívares .

100. Kelson Sporting Equipment fabrica dos modelos de guantes de béisbol: uno normal y una manopla de catcher. La empresa tiene disponibles 900 horas de tiempo de producción en su departamento y corte y costura, 300 horas disponibles en el departamento de terminado y 100 horas disponibles en el departamento de empaque y embarque. Los requerimientos de tiempo de producción y la contribución a la utilidad de cada uno de losa productos es:

Modelo Normal Catcher

Tiempo de producción(horas) Corte y Terminado Empaque y costura embarque 1 1/2 1/8 3/2 1/3 1/4

Utilidad por Guante $5 $8

Suponga que la empresa está interesada en maximizar la contribución total de la utilidad. a)

¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema?


Página: 88

Investigación I b) Operativa Encuentre

Programación la solución óptima. ¿Cuántos guantes de cada modelo Lineal deberá fabricar Kelson?


Página: 89


c) d) e)


¿Cuál es la contribución total a la utilidad que puede ganar Nelson con las cantidades de producción arriba citadas? ¿Cuántas horas de producción serían programadas en cada departamento? ¿Cuál es el tiempo libre de cada departamento?5

Solución: a) Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de guantes de Béisbol normal X2 = Cantidad de guantes de Béisbol tipo Manopla 




Restricciones X1 + 1.5X2 ≤ 900 horas de Corte y Costura 0.5X1 + 0.3334X2 ≤ 300 horas de Terminado 0.125X1 + 0.25X2 ≤ 100 horas de Empaque y Embarque



No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución GLP

5

Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 266. Problema 22.


Página: 90



455 420

Payoff: 5.0 X1 +

8.0 X2 = 3699.9

385 350 315 280 245 210 175 140 105 70 35

0

: 0.1 X1 + 0.3 X2 = 100.0 : 0.5 X1 + 0.3 X2 = 300.0 : 1.0 X1 + 1.5 X2 = 900.0 0 60 120 180

240

300

360

420

480

540

600

660

720

780

840

Optimal Decisions(X1,X2): (500.0, 150.0)

: 1.0X1 + 1.5X2 <= 900.0 : 0.5X1 + 0.3X2 <= 300.0 : 0.1X1 + 0.3X2 <= 100.0

Datos de entrada de Solver:

Salida del Solver:


Página: 91

900

960



101. George Johnson heredó recientemente una gran suma de dinero; desea utilizar parte de este dinero para establecer un fideicomiso para sus dos hijos. El fideicomiso tiene dos opciones de inversión: (1) un fondo de bonos y (2) un fondo de acciones. Los rendimientos proyectados durante la vida de las inversiones son 6% para el fondo de bonos y 10% para el de acciones. Independientemente de la porción de la herencia que finalmente decida comprometer al fideicomiso, desea invertir por lo menos 30% de dicha cantidad en el fondo de bonos. Además, desea seleccionar una combinación que le permita obtener un rendimiento total de por lo menos 7.5%. a) b)

Formule un modelo de programación lineal que pueda utilizarse para determinar el porcentaje que debe asignarse a cada una de las posibles alternativas de inversión. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica y por solver6

Solución: 

Definición de variables X1 = cantidad de dinero invertido en fondo de bonos X2 = cantidad de dinero invertido en fondo de acciones



Función Objetivo Zmax = 1X1 + 1X2



Restricciones X1 ≥ 30% (100) inversión en fondo de bonos 6% X1 + 10% X2 ≥ 7.5% (100) rendimiento total X1 + X2 ≤ 100 relación entre inversiones



No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Datos entrada Solver

6



Página: 92



Resultados del Solver:

Solución gráfica:

102. El propietario de Sea Warf Restaurant desearía determinar cual es la mejor forma de asignar un prosupuesto mensual de publicidad de 1.000 dólares entre Oswaldo Paul Rivadeneira

Página: 93



periódicos y la radio. La administración ha decidido que por lo menos 25% del presupuesto debe utilizarse en cada uno de estos dos tipos de medios y que el monto del dinero gastado en publicidad en periódicos locales debe tener por lo menos el doble de los que se gaste en radio. Un asesor de mercadotecnia ha desarrollado un índice que mide la exposición del auditorio por dólar de publicidad en una escala de 0 al 100, donde valores más elevados del índice indican mayores exposiciones al auditorio. Si el valor del índice para publicidad en los periódicos locales es de 50, y para el anuncio de radio es de 80, ¿Cómo debería asignar la administración el presupuesto de publicidad, a fin de maximizar el valor de exposición total en el auditorio? a)

b)

Formule un modelo de programación lineal que se pueda utilizar para determinar la manera en que la administración debe asignar el presupuesto de publicidad a fin de maximizar el valor de la exposición total del auditorio. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica y por solver7

Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de dólares asignados a periódicos X2 = Cantidad de dólares asignados a radio 

Función Objetivo Zmax= 50X1 + 80X2



Restricciones X1 ≥ 0.25(X1 + X2) mínimo para periódicos X2 ≥ 0.25(X1 + X2) mínimo para radio X1 ≥ 2X2 relación periódicos y radio X1 + X2 ≤ 1000 presupuesto No negatividad Xi ≥0; i=1,2



Solución GLP

7



Página: 94



X2 Payoff: 50.00 X1 + 80.00 X2 = 46000.00

400 380 360 340 320 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

: 1.00 X1 + 2.00 X2 = 1000.00 : 0.75 X1 - 0.25 X2 = 0.00

: -0.25 X1 + 0.75 X2 = 0.00

: 1.00 X1 - 2.00 X2 = 0.00

0

33

66

99

132

165

198

231

264

297

330

363

396

429

462

495

528

561

594

627 660


: : : :

0.75X1 - 0.25X2 >= 0.00 -0.25X1 + 0.75X2 >= 0.00 1.00X1 - 2.00X2 >= 0.00 1.00X1 + 2.00X2 <= 1000.00

103. Invesment Advisors es una empresa de corretaje que administra carteras de valores para clientes. Un cliente nuevo ha solicitado que la empresa maneje una cartera de inversiones de $80.000. Como estrategia inicial de inversión, el cliente desea restringir la cartera a una combinación de las acciones siguientes: Acción U.S. OIL Hub Properties

Precio Acción $25 $50

anual Índice de riego por Rendimiento estimado por acción $3 0.50 $5 0.25

El índice de riesgo por acción es una clasificación del riesgo relativo de dos alternativas de inversión. Para los datos dados, se piensa que U.S. OIL es la inversión sujeta a más riesgo. Al restringir el riesgo total de la cartera, la firma de inversiones evita colocar cantidades excesivas de la cartera en inversiones potencialmente de rendimiento alto y riesgo elevado. Para la cartera actual se ha establecido un límite superior a 700 para el índice de riesgo total de todas las inversiones, también la empresa ha establecido un límite superior de 1.000 acciones para los valores U.S. OIL más riesgosos. ¿Cuántas acciones de cada uno de estos valores deben ser adquiridos a fin de maximizar en rendimiento anual total? 8 Solución: 8



Página: 95



Formulación del modelo: Definición de variables  X1 = Cantidad de acciones en U.S.Oil X2 = Cantidad de acciones en Hub Properties 




Restricciones 0.50X1 + 0.25X2 ≤ 700 por riesgo X1 ≤ 1000 inversión en U.S. OIL 25X1 + 50X2 = 80.000 inversión en acciones



No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solucion GLP

X2 Payoff: 3.00 X1 + 5.00 X2 = 8400.00 1580 1501 1422 1343 1264 1185 1106 1027 948 869 790 711 632 553 395 316 237 158 79 0

: 25.00 X1 + 50.00 X2 = 80000.00 : 1.00 X1 + 0.00 X2 = 1000.00 : 0.50 X1 + 0.25 X2 = 700.00 0 49 98 147 196 245 294 343 392 441 490 539 588 637 686 735 784 833 882 931 980

X1


: 0.50X1 + 0.25X2 <= 700.00 : 1.00X1 + 0.00X2 <= 1000.00 : 25.00X1 + 50.00X2 <= 80000.00

Datos de entrada SOLVER


Página: 96



PLANIFICACION TRABAJO INVESTMENT ADVISORS Acciones Cantidad Contrib. Utilidad

U.S.Oil

HUB 1 3

Restricciones Riesgo En U.S.Oil Inversión

0,5 1 25

1 5

max 8

Utilizado 0,75 1 50 75

0,25

≤ ≤ ≤

No Límite Utiliz 700 699,25 1000 999 80000 79925

Datos de salida SOLVER PLANIFICACION TRABAJO INVESTMENT ADVISORS Acciones Cantidad Contrib. Utilidad

U.S.Oil HUB 800 1200 3 5

Restricciones Riesgo En U.S.Oil Inversión

0,5 1 25

max 8400

Utilizado 0,25 700 800 50 80000

≤ ≤ ≤

No Límite Utiliz 700 -7,4E-10 1000 200 80000 -7,3E-08

104. Tom’ s produce varios productos alimenticios mexicanos y los vende a Western Foods, cadena de tiendas de abarrotes localizada en Texas y Nue vo México. Tom’ s fabrica dos salsas: Western Foods Salsa y México City Salsa. Esencialmente, ambos productos son mezclas de tomates enteros, 30% de salsa de tomate y 20% de pasta de tomate. La México City Salsa, que tiene una consistencia más espesa y troceada, está elaborada con 70% de tomates enteros, 10% de salsa de tomate y 20% de pasta de tomate. Cada tarro de salsa producida pesa 10 onzas. Para el período de producción actual, Tom’ s puede adquirir hasta 280 libras de tomates enteros, 130 libras de salsa de tomate y 100 libras de pasta de tomate, el precio por libra de estos ingredientes es $0.96, $0.64 y $0.56 respectivamente. El costo de las especias y de los demás ingredientes es de aproximadamente $0.10 por recipiente. Tom’s compra tarros de vidrio vacíos a $0.02 cada uno, y los costos de etiquetado y llenado se estiman en $0.03 por cada tarro de salsa producido. El contrato de Tom’ s con Western Foods resulta en ingresos por ventas de $1.64 por cada tarro de Western Foods Salsa y de $1.93 por cada tarro de México City Salsa. a. Desarrolle un modelo de programación lineal que le permita a Tom’ s determinar la mezcla de salsa que maximice la contribución total a la utilidad. b. Haga una gráfica de la región factible. c. Resuelva las ecuaciones lineales simultáneas apropiadas a fin de determinar las coordenadas de cada punto extremo. Oswaldo Paul Rivadeneira

Página: 97



d. Encuentre la solución óptima9 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de tarros de salsa Western Foods X2 = Cantidad de tarros de salsa México City 

Función Objetivo

Z max = (1.64 – (0.10+0.02+0.03+50%(10)(0.96)/16+30%(10)(0.64)/16+20%(10)(0.56)/16))X1 + (1.93 – (0.10+0.02+0.03+70%(10)(0.96)/16+10%(10)(0.64)/16+20%(10)(0.56)/16))X2 Z max = (1.64 – (0.15 + 0.3 + 0.12 + 0.07))X1 + (1.93 – (0.15 + 0.42 + 0.04 + 0.07))X2

Z max = 1X1 + 1.25X2 

Restricciones 5X1 + 7X2 ≤ 4480 libras de tomates enteros 3X1 + 1X2 ≤ 2080 libras de salsa de tomate 2X1 + 2X2 ≤ 1600 libras de pasta de tomate



No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución con GLP

9



Página: 98



850 800 750

700 Payoff: 1.00 X1 + 1.25 X2 = 860.00 650 600

: 2.00 X1 + 2.00 X2 = 1600.00

550

: 3.00 X1 + 1.00 X2 = 2080.00

500 450

: 5.00 X1 + 7.00 X2 = 4480.00

400 350 300 250 200 150 100 50 0

1

50

99

148

197

246

295

344

393

442

491

540

589

638

687

736

785

834

883

932


: 5.00X1 + 7.00X2 <= 4480.00 : 3.00X1 + 1.00X2 <= 2080.00 : 2.00X1 + 2.00X2 <= 1600.00

Datos entrada SOLVER Planificación para Tom’ s Western México Foods City

SALSA Cantidad de tarros Utilidad

1 1

1 1.25

Restricciones

tomates enteros salsa de tomate pasta de tomate

Max 2.25

Utilizado 7 12 1 4 2 4

5 3 2

≤ ≤ ≤

Límite 4480 2080 1600

No utiliz 4468 2076 1596

Salida de datos SOLVER Planificación para Tom’ s SALSA Cantidad de tarros Utilidad


Western México Foods City 560 1

240 1.25

Max 860

Página: 99

981

X1



Restricciones

tomates enteros salsa de tomate pasta de tomate

5 3 2

Utilizado 7 4480 1 1920 2 1600

≤ ≤ ≤

Límite No utilize 4480 -6.2E-09 2080 160 1600 -3.7E-09

105. El editor de producción de Rayburn Publishing Company tiene 1.800 páginas de manuscrito que debe ser revisadas. Debido al poco tiempo involucrado, sólo hay dos revisores disponibles Erhan Mergen y Sue Smith. Erhan tiene diez días disponibles y Sue doce días. Erhan puede procesar 100 páginas de manuscrito por día, y Sue 150 páginas diarias. Rayburn Publishing Company ha desarrollado un índice para medir la calidad general de un revisor en una escala de 1 (peor) a 10 (mejor). La calidad de Erhan es 9 y la de Sue es 6, además, Erhan cobra 3 dólares por página de manuscrito revisado, Sue cobra 2 dólares por página. Se ha asignado un presupuesto de $4.800 para la revisión, ¿cuántas páginas deben ser asignadas a cada revisor para completar el proyecto con la calidad más elevada posible?10 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = cantidad de páginas revisadas por Erhan X2 = cantidad de páginas revisadas por Sue 




Restricciones 3X1 + 2X2 ≤ 4.800 presupuesto X1 + X2 = 1.800 número de páginas X1/100 ≤ 10 días disponibles de Erhan X2/150 ≤ 12 días disponibles de Sue




10



Página:


Payoff: 9.0 X1 + X2 2000 1900 1800 1700 1600 1500 1400 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0


6.0 X2 = 13800.0 : 3.0 X1 + 2.0 X2 = 4800.0 : 0.0 X1 + 1.0 X2 = 1800.0

: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 1000.0

: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 1800.0

0

60

120 180 2240 40 300 360 360 420 480 480 540 600 660 720 780 840 900 960 1020108011401200

X1

Optimal Decisions(X1,X2): (1000.0, (1000.0, 800.0) : 3.0X1 + 2.0X2 <= 4800.0 : 1.0X1 + 1.0X2 <= 1800.0 : 1.0X1 + 0.0X2 <= 1000.0 : 0.0X1 + 1.0X2 <= 1800.0

Datos de entrada SOLVER Páginas revisadas Cantidad Calidad

Ehran Sue 1 1 Max 15 9 6

Restricciones Presupuesto 3 Horas Ehran 1 Horas Sue Núm. Páginas 1

Utilizado 5 1 1 1 1 2 2

≤

Limite 4800 1000 1800 1800

No utiliz 4795 999 1799 1798

≤

Limite 4800

No utiliz 200

≤ ≤ ≤

Salida SOLVER PLANIFICACIÓN TRABAJO RAYBURN Páginas revisadas Cantidad Calidad

Ehran Sue 1000 800 9 6

Restricciones Presupuesto


3

2

Max 13800 Utilizado 4600

Página:

Investigación Operativa I Horas Ehran Horas Sue Núm. Páginas

Programación Lineal 1 1

1 1

1000 800 1800

≤ ≤ ≤

1000 -1,1E-10 1800 1000 1800 -4,2E-09

106. Car Phones vende dos modelos de teléfono para automóvil: aut omóvil: X y Y Los registros muestran que se utilizan 3 horas ho ras de tiempo de ventas por cada modelo de teléfono X vendido, y 5 horas de tiempo de ventas por cada teléfono de modelo Y. Están disponibles un total de 600 horas de venta para el siguiente período de cuatro semanas. Además, las políticas de planeación de la administración administración exigen metas mínimas de ventas de 25 unidades, tanto para el X como para el Y. a. Muestre la región factible b. Si la empresa obtiene una contribución a la utilidad de 40 dólares por cada modelo X vendido y una un a contribución a la utilidad de 50 dólares por po r cada modelo Y vendido. ¿Cuál es la meta óptima de ventas para la empresa durante el período de 4 semanas? c. Desarrolle una restricción y muestre la región factible si la administración agrega la restricción que Car Phones debe vender por lo menos tantos teléfonos Y como teléfonos X. d. ¿Cuál es la nueva solución óptima si al problema se le agrega la restricción del inciso (c)?11 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Número de unidades de teléfonos modelo X X2 = Número de unidades de teléfonos modelo Y 




Restricciones 3X1 + 5X2 ≤ 600 horas de venta disponibles X1 ≥ 25 meta mínima de venta X2 ≥ 25 meta mínima de venta




11



Página:



Payoff: 40.0 X1 + 50.0 X2 = 7583.3

: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 25.0

: 3.0 X1 + 5.0 X2 = 600.0

: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 25.0

X2 2

2

X1

Optimal Decisions(X1,X2): (158.3, (158.3, 25.0)

: 3.0X1 + 5.0X2 <= 600.0 : 1.0X1 + 0.0X2 >= 25.0 : 0.0X1 + 1.0X2 >= 25.0

Datos de entrada SOLVER PLANIFICACION DE CAR PHONES Modelo Modelo X Y 1 1 40 50

Teléfono Cantidad Utilidad

Restricciones Horas disp. Venta min X Venta min Y

Max 90

Utilizado 5 8 1 1 1

3 1

≤ ≥ ≥

No Límite Utiliz 600 592 25 -24 25 -24

Datos de Salida SOLVER PLANIFICACION PLANIFICACION DE CAR PHONES

Teléfono Cantidad Utilidad

Modelo X

Modelo Y

158,3333 40

25 Max 50 7583,333

3 1

Utilizado 5 600 158,3333 1 25

Restricciones Horas disp. Venta min X Venta min Y


≤ ≥ ≥

Límite No Utiliz 600 -1,4E-09 25 133,3333 25 2,64E-12

Página:



107. Greentree Kennels proporciona alojamiento por una noche para mascotas. Una característica particular en Greentree es la calidad del cuidado que reciben las mascotas, incluyendo una excelente alimentación. La comida para perros de la perrera se elabora mezclado dos alimentos de marca para perros a fin de obtener lo que la perrera identifica como una “dieta para perros bien balanceada”. Los datos para las dos comidas con las siguientes: Comida Bark Bits Canine Chow

Costo/onza 0.06 0.05

Proteínas % 30 20

Grasa % 15 30

Si Greentree desea asegurarse de que los perros reciban por lo menos 5 onzas de proteínas y como mínimo 3 onzas de grasas cada día, ¿Cuál es la mezcla de costo mínimo de los alimentos para perros?12 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de onzas de comida Bark Bits X2 = Cantidad de onzas de comida Canine Chow 

Función Objetivo Zmin = 0.06X1 + 0.05X2



Restricciones 0.3X1 + 0.2 X2 ≥ 5 contenido de proteínas 0.15 X1 + 0.3 X2 ≥ 3 contenido de grasas




12



Página:



36

30

24 Payoff: 0.06 X1 + 0.05 X2 = 1.02 18

: 0.30 X1 + 0.20 X2 = 5.00 12

: 0.15 X1 + 0.30 X2 = 3.00 6

0

0

10

20

30

40

50

60

70


: 0.30X1 + 0.20X2 >= 5.00 : 0.15X1 + 0.30X2 >= 3.00

Entrada de datos SOLVER PLANIFICACIÓN TRABAJO Greentree Kennels

Comida Cantidad Calidad

Bark Bits

Canine Chow 1 Min 0,11 0,05

1 0,06

Utilizado 0,2 0,5 0,3 0,45

Restricciones Proteinas 0,3 Grasas 0,15

No Limite utiliz 5 4,5 ≥ 3 2,55 ≥

Salida de datos SOLVER PLANIFICACIÓN TRABAJO Greentree Kennels

Comida

Bark Bits

Cantidad Calidad


15 0,06

Canine Chow 2,5 Min 1,025 0,05

Página:

80



Restricciones Proteinas Grasas

Utilizado

0,3

0,2

5

≥

0,15

0,3

3

≥

No Limite utiliz -3,3E12 5 -2,2E12 3

108. La New England Cheese Company produce dos quesos crema mezclando quesos chedar tanto suave como extrafuerte. Los quesos crema se empacan en recipientes de 12 onzas, que después se venden a distribuidores en todo el noroeste. La mezcla Regular contiene 80% de chedar suave y 20% de extrafuerte y la mezcla Zesty contiene 60% de chedar suave y 40% de extrafuerte. Este año, una cooperativa lechera local ha ofrecido entregar hasta 8.100 libras de queso chedar a $1.20 por libra y hasta 3.000 libras de queso chedar extrafuerte a $1.40 por libra. El costo de mezclar y empacar estos quesos crema, excluyendo el costo del queso mismo, es de $0.20 por recipiente. Si cada recipiente de Regular se vente a $1.95 y cada recipiente Zesty se vende a $2.20. ¿Cuántos recipientes deberá producir New England Cheese de Regular y Zesty?13 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad (en miles) de recipientes de queso Regular X2 = Cantidad (en miles) de recipientes de queso Zesty 





Función Objetivo Zmax = (1.95 – 0.20 - 0.80*0.75*1.20 – 0.60*0.75*1.40)X1 + (2.20 – 2.0 – 0.20*0.75*1.20 – 0.40*0.75*1.40)X2 Zmax = 0.40X1 + 1.40X2 Restricciones 0.80*0.75X1 + 0.60*0.75 X2 ≤ 8,1 queso chedar suave 0.20*0.75X1 + 0.40*0.75 X2 ≤ 3,0 queso chedar extrafuerte No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución GLP

13



Página:



: 0.8 2 X1 + 0.6 4 X

X2 10

Payoff: 0.4 X1 +

9

1.4 X2 = 14.0

8 7 6 5 4 3 2 1 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Optimal Decisions(X1,X2): ( 0.0, 10.0)

: 0.8X1 + 0.6X2 <= 10.8 : 0.2X1 + 0.4X2 <= 4.0

Datos de entrada SOLVER PLANIFICACION TRABAJO en New England Cheese Company Recipientes queso

Regular

Cantidad en miles Utilidad

Restricciones Queso Ch. suave Tiempo prod. min

Zesty max

1 0,4

1 1,4

0,8 0,2

Utilizado 0,6 1,4 0,4 0,6

1,8

≤ ≤

No Límite Utiliz 10,8 9,4 4 3,4

Datos de salida SOLVER Recipientes queso Cantidad en miles Utilidad

Restricciones Queso Ch. suave Tiempo prod. min


Regular 0 0,4

0,8 0,2

Zesty 10 max 14 1,4

Utilizado 0,6 6 0,4 4

≤ ≤

No Límite Utiliz 10,8 4,8 4 -5,5E-12

Página:

13

14

X1



109. Los administradores de Healthtech Foods están considerando desarrollar un nuevo bocadillo bajo en grasas. Se trata de una mescla de dos tipos de cereales, cada una de ellos con distintas características en fibras, grasas y proteínas. La tabla siguiente muestra estas características por onza de cada tipo de cereal.

Cereal A B

Fibra dietética (gramos) 2 1.5

Grasas (gramos) 2 3

Proteínas (gramos) 4 3

Note que cada onza de cereal A proporciona dos gramos de fibra dietética y que cada onza de cereal B da 1.5 gramos de fibra dietética, por lo que si Healthtech fuera a desarrollar el nuevo producto utilizando una mezcla formada de 50% de cereal A y 50% de cereal B, una onza de éste contendría 1.75 gramos de fibra dietética. Los requisitos nutricionales de Healthtech exigen que cada onza del nuevo alimento tenga por lo menos 1.7 gramos de fibra dietética, no más de 2.8 gramos de grasa y no más de 3.6 gramos de proteínas. El costo del cereal A es de $0.02 por onza y el del B es de $0.025 por onza. Healthtech desea determinar cuánto de cada cereal es necesario para producir una onza del nuevo producto al menor costo posible. a. Formule el modelo de programación lineal para esta situación b. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica c. ¿Cuáles son las variables de holgura y de excedente d. Si Healthtech pone en el mercado el nuevo cereal en un paquete de 8 onzas. ¿Cuál sería el costo del paquete?14 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de onzas de cereal A X2 = Cantidad de onzas de cereal B 

Función Objetivo Zmin = 0.02X1 + 0.025X2



Restricciones 2X1 + 1.5X2 ≥ 1.7 por fibra dietética 2X1 + 3X2 ≤ 2.8 por grasas 4X1 + 3X2 ≤ 3.6 por proteínas X1 + X2 = 1 onzas

14



Página:






X2 1

Payoff: 0.020 X1 + 0.025 X2 = 0.017

: 4.000 X1 + 3.000 X2 = 3.600 : 2.000 X1 + 3.000 X2 = 2.800 0

: 2.000 X1 + 1.500 X2 = 1.700 0

1


: 2.000X1 + 1.500X2 >= 1.700 : 2.000X1 + 3.000X2 <= 2.800 : 4.000X1 + 3.000X2 <= 3.600

Datos entrada SOLVER Planificacion de Healthtech Foods Cereal Cantidad en onzas Costo

A

B 1 0,02

Restricciones fibra dietética por grasas por proteinas

1 0,025

min 0,045

Utilizado 1,5 3,5 3 5 3 7

2 2 4

≥ ≤ ≤

No Límite Utiliz 1,7 1,8 2,8 -2,2 3,6 -3,4

Datos salida SOLVER Planificacion de Healthtech Foods Cereal Cantidad en onzas

A


B 0,85

0

min

Página:

X1

Investigación Operativa I Costo

Programación Lineal 0,02

0,025

Utilizado

Restricciones fibra dietética por grasas por proteinas

0,017

2 2 4

1,5 3 3

1,7 1,7 3,4

No Utiliz 9,12E1,7 13 2,8 1,1 3,6 0,2

Límite ≥ ≤ ≤

110. MD Chemical produce dos productos que se venden como materia prima para empresas fabricantes de jabones para baño, detergentes para lavandería y otros productos de jabón. Apoyándose en un análisis de los niveles actuales de inventarios y de la demanda potencial para el mes siguiente, la administración de MD ha especificado que la producción total de los productos 1 y 2 combinados debe ser de por lo menos 350 galones. Además debe cumplir con un pedido de un cliente de importancia de 125 galones del producto 1. El tiempo de procesado del producto 1 requiere dos horas por galón, y del producto 2 requiere de una hora; para el mes siguiente, hay disponibilidades de 600 horas de proceso. Los costos de producción son 2 dólares por galón del producto 1 y 3 dólares del producto 2. a. Determine las cantidades de producción que satisfagan los requisitos especificados al costo mínimo. b. ¿Cuál es el costo total del producto? c. Identifique la cantidad de cualquier producción excedente.15 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de galones del producto 1 X2 = Cantidad de galones de producto 2 

Función Objetivo Zmin = 2X1 + 3X2



Restricciones X1 + X2 ≥ 350 galones producidos X1 ≥ 125 pedido de un cliente 2X1 + 1X2 ≤600 horas de proceso




15



Página:



X2 440 418 396 374 352 330 308 286

264 Payoff: 2.0 X1 + 3.0 X2 = 800.0 242 220 198 176 154 132 110

88

: 2.0 X1 + 1.0 X2 = 600.0

66

44

: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 125.0

22

0

: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 350.0 0 20 40 60 80 100

120

140

160 180

200

220

240

260

280

300 320 340

360

380


: 1.0X1 + 1.0X2 >= 350.0 : 1.0X1 + 0.0X2 >= 125.0 : 2.0X1 + 1.0X2 <= 600.0

Datos entrada SOLVER Planificacion de 55. M&D Chemical Producto Cantidad galones Costo

1 1 2

Restricciones Galones producidos Pedido cliente Horas proceso

2 1 3

min 5

Utilizado 1 1 2

1

2 1 3

1

Límite ≥ ≥ ≤

350 125 600

No Utiliz -348 124 597

Datos salida SOLVER Planificacion de M&D Chemical Producto Cantidad galones Costo


1 250 2

2 100 3

min 800

Página:

400

X1

Investigación Operativa I Restricciones Galones producidos Pedido cliente Horas proceso

Programación Lineal Límite

Utilizado 1 1 2

1 1

350 250 600

≥ ≥ ≤

350 125 600

No Utiliz 8,11E-10 -125 -2,9E-10

111. Photo Chemicals produce dos tipos de fluido para revelado fotográfico. Ambos productos le cuestan a la empresa un dólar por galón producirlos. Con base e una análisis de niveles actuales de inventario y en las órdenes en mano para el mes siguiente, la administración de Photo Chemicals ha decidido que durante las siguientes dos semanas se produzcan por los menos 30 galones del producto 1 y por lo menos 20 galones del producto 2. También ha dicho la administración que en el transcurso de las siguientes dos semanas debe utilizarse el inventario existente de una materia prima muy perecedera necesaria en la producción de ambos fluidos. El inventario actual de esta materia prima muy perecedera es de 80 libras. Aunque de ser necesario se puede ordenar más de esta materia prima, cualquier parte del inventario actual no utilizada se echará a perder dentro de las siguientes dos semanas; de ahí el requerimiento de la administración de que por lo menos se utilicen las 80 libras en las siguientes dos semanas. Además, el producto 1 requiere de una libra de esta materia prima perecedera por galón, y el producto 2 requiere 2 libras de la materia prima por galón. Dado que el objetivo de la administración es mantener los costos de producción al mínimo nivel posible, están buscando un plan de producción de costo mínimo que utilice la totalidad de las 80 libras de la materia prima perecedera y que obtenga por lo menos 30 galones del producto 1 y por lo menos 20 galones del producto 2. ¿Cuál es la solución de costo mínimo?16 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de galones de fluido tipo 1 X2 = Cantidad de galones de fluido tipo 2 

Función Objetivo Zmin = X1 + X2



Restricciones X1 ≥ 30 producción mínima de producto 1 X2 ≥ 20 producción mínima de producto 2 X1 + 2X2 ≥ 80 libras de materia prima




16



Página:



Solucion GLP Payoff: 1.0 X1 +

1.0 X2 = 60.0

: 1.0 X1 + 2.0 X2 = 80.0

25 24 23 22 21

19

: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 20.0

18 17 16 15 14 13

11

: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 30.0

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40


: 1.0X1 + 0.0X2 >= 30.0 : 0.0X1 + 1.0X2 >= 20.0 : 1.0X1 + 2.0X2 <= 80.0

112. Bryant’ s Pizza es un productor de pizzas congeladas. La empresa tiene una utilidad de un dólar por cada pizza normal que produzca y de 1.5 dólares por cada pizza de lujo. Cada pizza incluye una combinación de pasta de harina y de mezcla de relleno. Actualmente la empresa tiene 150 libras de mezcla de pasta y de 50 libras de mezcla de relleno. Cada pizza normal utiliza una libra de mezcla de pasta de harina y 4 onzas de mezcla de pasta de relleno. Cada pizza de lujo utiliza una libra de mezcla de pasta de harina y 8 onzas de mezcal de relleno. Con base en la demanda del pasado, Bryant puede vender por lo menos 50 pizzas normales y por lo menos 25 pizzas de lujo. ¿Cuántas pizzas normales y de lujo deberá fabricar la empresa para maximizar la utilidad? a. ¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema? b. Escriba este programa lineal en su forma estándar. c. Encuentre la solución óptima. d. ¿Cuáles son los valores e interpretaciones de todas las variables de holgura y de excedente? e. ¿Qué restricciones están asociadas con recursos limitantes?17 Solución: Formulación del modelo: 17

Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Nego cios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 270. Problema 39.


Página:

X1





Definición de variables X1 = Cantidad de Pizzas Normales X2 = Cantidad de Pizzas De Lujo



Función Objetivo Zmax = 1X1 + 1.5X2



Restricciones X1 + X2 ≤ 150 pasta de harina 0.25X1 + 0.5X2 ≤ 50 pasta de relleno X1 ≥ 50 venta de pizzas Normales X2 ≥ 25 venta de pizzas De Lujo



No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución GLP 160 152 144

: 1.00 X1 + 0.00 X2 = 50.00

128 120 112 104 96 88

: 1.00 X1 + 1.00 X2 = 150.00

80 72

Payoff: 1.00 X1 + 1.50 X2 = 175.00

56 48 40

: 0.00 X1 + 1.00 X2 = 25.00

32

: 0.25 X1 + 0.50 X2 = 50.00

16 8 0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140


: : : :

1.00X1 + 1.00X2 <= 150.00 0.25X1 + 0.50X2 <= 50.00 1.00X1 + 0.00X2 >= 50.00 0.00X1 + 1.00X2 >= 25.00

Datos de entrada SOLVER

PLANIFICACION TRABAJO BRYANT'S PIZZA Pizzas Cantidad


Normal Lujo 1 1 max

Página:

150

160

170



Utilidad

1

Restricciones Pasta harina 1 Relleno 0,25 Pizzas Normales 1 Pizzas Lujo

1,5

2,5

Utilizado 1 2 0,5 0,75 1 1 1

≤ ≤ ≥ ≥

No Límite Utiliz 150 148 50 49,25 50 -49 25 -24

Datos de salida SOLVER PLANIFICACION TRABAJO BRYANT'S PIZZA Pizzas Cantidad Utilidad

Normal Lujo 100 50 1 1,5

Restricciones Pasta harina 1 Relleno 0,25 Pizzas Normales 1 Pizzas Lujo

max 175

Utilizado 1 0,5 1

150 50 100 50

≤ ≤ ≥ ≥

No Límite Utiliz 150 -3,4E-10 50 -6E-11 50 50 25 25

113. English Motors, Ltd. (EML), ha desarrollado un nuevo vehículo deportivo de utilería, con tracción en la cuatro llantas. Como parte de la campaña de mercadotecnia, EML ha desarrollado una presentación de ventas en video cinta que se enviará tanto a propietarios de vehículos de tracción en las cuatro ruedas EML actuales, como a propietarios de vehículos utilitarios deportivos de cuatro ruedas ofrecidos por los competidores EML se refiere a estos dos mercados objetivo como mercado de clientes actual y mercado de clientes nuevo. Los individuos que reciban el nuevo video promocional también recibirán un cupón para un recorrido de prueba del nuevo modelo EML, durante un fin de semana. Un factor clave en el éxito de esta nueva promoción es la tasa de respuesta, es decir el porcentaje de individuos que reciban la nueva promoción y hagan el recorrido de prueba del nuevo modelo, EML estima que la tasa de respuesta para el mercado de clientes actual es de 25% y para el mercado de cliente nuevo es de 20%. La tasa de ventas es el porcentaje de individuos que reciba la nueva promoción, haga el recorrido de prueba y efectúe la compra. Los estudios de investigación de mercado indican que la tasa de ventas el de 12% para el mercado de clientes actual y de 20% para el mercado de cli entes nuevo. El costo de cada promoción, excluyendo los costos de recorrido de prueba, es de 5 dólares por cada promoción enviada al mercado de clientes actual y de 4 dólares por cada promoción enviada al mercado de clientes nuevo. La administración también ha decidido que se deberá enviar la nueva promoción a un mínimo d 30.000 clientes actuales y a un mínimo de 10.000 clientes nuevos. Además, el número de clientes actuales que haga el recorrido de prueba del Oswaldo Paul Rivadeneira

Página:



nuevo vehículo debe ser de por lo menos el doble del número de clientes nuevos que hagan recorrido de prueba del nuevo vehículo. Si el presupuesto de mercadotecnia, incluyendo los costos del recorrido de prueba, es de 1’200.000 dólares, ¿Cuántas promociones deberán ser enviadas a cada grupo de clientes para maximizar las ventas totales?18 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de promociones enviadas a clientes actuales X2 = Cantidad de promociones enviadas a clientes nuevos 

Función Objetivo Zmax = 0.12*5X1 + 0.20*4X2



Restricciones X1 ≥ 30.000 clientes actuales X2 ≥ 10.000 clientes nuevos 0.25X1 ≥ 2*0.20X2 relación entre clientes que responden a la promoción 5X1 + 4X2 ≤1’200.000 presupuesto



No negatividad Xi ≥ 0; i=1,2 Solución GLP

18



Página:



X2 273 260 247 234

221 Payoff: 0.60 X1 + 0.80 X2 = 176.00 208

: 5.00 X1 + 4.00 X2 = 1200.00

182 169 156

: 1.00 X1 + 0.00 X2 = 30.00

143 130 117 104 91 78 65 52 39 26 13 0

: 0.25 X1 - 0.40 X2 = 0.00 : 0.00 X1 + 1.00 X2 = 10.00

0

13

26

39

52

65

78

91

104

117

130

143

156

169

182

195

208


: : : :

1.00X1 + 0.00X2 >= 30.00 0.00X1 + 1.00X2 >= 10.00 0.25X1 - 0.40X2 >= 0.00 5.00X1 + 4.00X2 <= 1200.00

Datos de entrada SOLVER PLANIFICACION TRABAJO ENGLISH MOTOR LTD.

Promociones Cantidad en miles Ventas

Restricciones Clientes actuales Clientes nuevos Relacion clientes Presupuesto

Clientes Clientes Actuales Nuevos 1 0,6

1 0,25 5

1 max 1,4 0,8

Utilizado 1 1 1 -0,4 -0,15 4 9

≥ ≥ ≥ ≤

No Límite Utiliz 30 29 10 9 0 -0,15 1200 -1191

Datos salida SOLVER PLANIFICACION TRABAJO ENGLISH MOTOR LTD.

Promociones Cantidad en miles Ventas


Clientes Clientes Actuales Nuevos 160 0,6

100 0,8

max 176

Página:

221

234

247

260

Investigación Operativa I Restricciones Clientes actuales Clientes nuevos Relacion clientes Presupuesto


1 0,25 5

Utilizado 160 1 100 -0,4 -1,1E-11 4 1200

≥ ≥ ≥ ≤

Límite No Utiliz 30 -130 10 -90 0 -1,1E-11 1200 2,78E-09

114. Creative Sports Designs (CSD) fabrica raquetas de tamaño estándar y extragrande. Las raquetas de la empresa son extremadamente ligeras, debido a uso de una aleación de magnesio y grafito inventada por el fundador de la empresa. Cada raqueta de tamaño estándar utiliza 0,125 kilos de aleación y cada raqueta extragrande utiliza 0,4 kilos; para el siguiente período de producción de dos semanas sólo hay disponibles 80 kilos de aleación. Cada raqueta de tamaño estándar ocupa 10 minutos de tiempo de fabricación y cada raqueta de tamaño extragrande ocupa 12 minutos. Las contribuciones a la utilidad son de 10 dólares por cada raqueta estándar y de 15 dólares por cada raqueta extragrande y están disponibles 40 horas de tiempo de producción por semana. La administración ha especificado que por lo menos 20% de la producción total debe ser de raqueta de tamaño estándar. ¿Cuántas raquetas de cada tipo deberá fabricar CSD en las dos semanas siguientes, a fin de maximizar la contribución a la utilidad? Suponga que, debido a la naturaleza única de sus productos, CSD puede vender tantas raquetas como pueda producir.19 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de unidades de raquetas estandar X2 = cantidad de unidades de raquetas extra grande 




Restricciones 0.125X1 + 0.4 X2 ≤ 80 kilos de aleación 10X1 + 12X2 ≤ 40*60 minutos de tiempo de producción X1 ≥ 0.20(X1 + X2)




19



Página:


X2 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0


: 0.125 X1 + 0.400 X2 = 80.000 Payoff: 10.000 X1 + 15.000 X2 = 2896.551

: 10.000 X1 + 12.000 X2 = 2400.000

: 0.800 X1 - 0.200 X2 = 0.000

0

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42

X1


: 0.125X1 + 0.400X2 <= 80.000 : 10.000X1 + 12.000X2 <= 2400.000 : 0.800X1 - 0.200X2 >= 0.000

Datos entrada SOLVER PLANIFICACION TRABAJO 59. Creative Sports Designs Raquetas Cantidad Contrib. Utilidad

Estandar Extra G 1 1 10 15

Restricciones Kilos aleación Tiempo prod. min 20% prod estand

0,125 10 0,8

max 25

Utilizado 0,4 0,525 12 22 -0,2 0,6

No Límite Utiliz 80 79,475 2400 2378 0 0,6

≤ ≤ ≥

Datos salida SOLVER PLANIFICACION TRABAJO 59. Creative Sports Designs Raquetas Cantidad Contrib. Utilidad Restricciones Kilos aleación Tiempo prod. min


Estandar Extra G 41,37931 165,5172 max 10 15 2896,552

0,125 10

Utilizado 0,4 71,37931 12 2400

≤ ≤

Límite No Utiliz 80 8,62069 2400 3,03E-10

Página:

Investigación Operativa I 20% prod estand

Programación Lineal 0,8

-0,2

9,03E-11

≥

0

9,03E-11

115. La administración de High Tech Service (HTS) desea desarrollar un modelo que le ayude a asignar el tiempo de sus técnicos entre llamada de servicio por contrato a clientes tanto normales como nuevos. En el período de planeación de dos semanas hay disponible un máximo de 80 horas de tiempo de técnico. A fin de satisfacer los requisitos de flujo de caja, deben generarse por lo menos 800 dólares de ingresos (por técnico) durante el período de dos semanas. El tiempo de técnico para los clientes normales genera 25 dólares por hora, pero para clientes nuevos sólo genera un promedio de 8 dólares la hora, porque en muchos casos el contacto con el cliente no llega a generar servicios facturables. Para asegurarse de que se mantienen contactos nuevos, el tiempo de técnico utilizado en contactos con clientes nuevos debe ser por lo menos 60% del tiempo utilizado en contactos con clientes normales. Para los requerimientos de ingresos y políticas enunciadas, HTS desearía determinar cómo asignar el tiempo de los técnicos entre clientes normales y nuevos, a fin de maximizar el número total de clientes en contacto durante el período de dos semanas. Los técnicos requieren un promedio de 50 minutos por cada contacto de cliente normal y de una hora por cada contacto con cliente nuevo. a. Desarrolle un modelo de programación lineal que le permita a HTS asignar el tiempo de los técnicos entre clientes normales y nuevos. b. Haga una gráfica de la región factible c. Resuelva las ecuaciones lineales simultáneas apropiadas para determinar los valores de X1 y X2 en cada punto extremo de la región factible. d. Encuentre la solución óptima20 REFERENCIA: Página 274 Problema 63. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Anderson Sweeney Willams. Editorial Thomson. Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Numero de horas de técnico asignado a clientes normales X2 = Numero de horas de técnico asignado a clientes nuevos 



Función Objetivo Zmax = 60X1/50+ 60X2/60

número de clientes

Restricciones X1 + X2 ≤ 80

horas disponibles de técnico X2 ≥ 0.6X1 relación de tiempo de técnico 25X1 + 8X2 ≥ 800 ingresos en dólares 

No negatividad Xi ≥ 0; i=1,2

20


Página:



Solución GLP 104

91

Payoff: 1.20 X1 + 1.00 X2 = 90.00

78

65

52 39

: 25.00 X1 + 8.00 X2 = 800.00

: -0.60 X1 + 1.00 X2 = 0.00

26

13

: 1.00 X1 + 1.00 X2 = 80.00

0

0

11

22

33

44

55

66


: 1.00X1 + 1.00X2 <= 80.00 : -0.60X1 + 1.00X2 >= 0.00 : 25.00X1 + 8.00X2 >= 800.00

Entrada de datos SOLVER PLANIFICACION TRABAJO High Tech Service Clientes Clientes normales nuevos 1 1 1.2 1

Horas de trabajo Cantidad horas Número clientes Restricciones Horas disponibles Relación tiempo Ingresos

max 2.2 Utilizado

1 -0.6 25

1 1 8

2 0.4 33

Límite ≤ ≥ ≥

80 0 800

No Utiliz 78 -0.4 -767

Datos de salida SOLVER PLANIFICACION TRABAJO High Tech Service

Horas de trabajo Cantidad horas Número clientes

Clientes Clientes normales nuevos 50 30 1.2 1


max 90

Página:

77

Investigación Operativa I Restricciones Horas disponibles Relación tiempo Ingresos

Programación Lineal Límite

Utilizado 1 -0.6 25

1 1 8

80 -2.2E-11 1490

≤ ≥ ≥

80 0 800

No Utiliz -1.8E-10 2.18E-11 690

116. Jackson Hole Manufacturing es un pequeño fabricante de productos de plástico que se utilizan en las industrias automotrices y de computación. Tiene un importante contrato con una empresa de computadoras que implica la producción de cajas de plástico para las impresoras portátiles de dicha empresa. Las cajas de impresora se producen en dos máquinas de moldeo por inyección. La máquina M100 tiene una capacidad de producción de 20 cajas de impresora por hora y la máquina M200 tiene una capacidad de 40 cajas por hora. Ambas máquina utilizan la misma materia prima química para producir las cajas de impresora.; la M100 utiliza 40 libras de materia prima por hora, y la M200 utiliza 50 por hora. La empresa de computadoras le ha pedido a Jackson Hole que produzca tantas cajas durante la semana que sigue como sea posible, y la ha dicho que le pagará 18 dólares por cada caja que pueda entregar. Sin embargo, la siguiente semana es un período normal de vacaciones programadas para la mayor parte de los empleados de producción de Jackson Hole. Durante este tiempo, se efectúa el mantenimiento anual de todo el equipo de la planta. Debido al tiempo parado para mantenimiento, la M100 no estará disponible durante más de 15 horas y la M200 durante más de 10 horas. Sin embargo, en razón del elevado costo de preparación involucrado en ambas máquinas, la administración requiere que, si el programa de producción en cualquiera de estas máquinas, la máquina deberá operar por lo menos durante 5 horas. El proveedor de la materia química utilizada en el proceso de producción le ha informado a Jackson Hole que tendrá disponible un máximo de 1.000 libras de la materia prima para la producción de la siguiente semana. El costo de la materia prima es de 6 dólares por libra. Además del costo de la materia prima, Jackson Hole estima que el costo horario de operación de la M100 y la M200 son de 50 y 75 dólares, respectivamente. a. Formule un modelo de programación lineal que se pueda utilizar para maximizar la contribución de la utilidad. b. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica.21 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Numero de horas de trabajo de maquina M100 X2 = Numero de horas de trabajo de maquina M200 

Función Objetivo Zmax = (20X1*18 – 40X1*6 – 50X1) + (40X2*18 – 50X2*6 – 75X2)

21


Página:



Zmax = (360 – 240 – 50)X1 + (720 – 300 – 75)X2 Zmax = 70X1 + 345X2 



Restricciones X1 ≤ 15 horas máximas de trabajo M100 X2 ≤ 10 horas máximas de trabajo de M200 horas mínimas de trabajo de M100 X1 ≥ 5 horas mínimas de trabajo de M200 X2 ≥ 5 40X1 + 50X2 ≤ 1000 libras de materia prima disponibles No negatividad

Xi ≥ 0; i=1,2

Solución GLP 12

Payoff: 70.0 X1 + 345.0 X2 = 4325.0

6

: 40.0 X1 + 50.0 X2 = 1000.0 : 0.0 X1 + 2.0 X2 = 5.0 : 1.0 X1 + 0.0 X2 = 5.0 : 0.0 X1 + 1.0 X2 = 10.0 0

: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 15.0 0 1 2 3 4 5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21


: : : : :

1.0X1 + 0.0X1 +

0.0X2 <= 15.0 1.0X2 <= 10.0

1.0X1 +

0.0X2 >= 5.0 0.0X1 + 2.0X2 >= 5.0 40.0X1 + 50.0X2 <= 1000.0

Datos entrada SOLVER PLANIFICACION TRABAJO High Tech Service

Horas de trabajo Cantidad horas Contrib. utilidad Restricciones Horas max M100 Horas max M200


Maquina Maquina M100 M200 1 1 70 345

1 0

0 1

max 415 Utilizado 1 1

≤ ≤

Límite No Utiliz 15 14 10 9

Página:

22

23

24

25

26

2



Horas min M100 Horas min M200 Libras disponibles

1 0 40

0 1 50

1 1 90

≥ ≥ ≤

5 5 1000

-4 -4 910

Datos de salida SOLVER

Horas de trabajo Cantidad horas Contrib. utilidad Restricciones Horas max M100 Horas max M200 Horas min M100 Horas min M200 Libras disponibles

Maquina Maquina M100 M200 12.5 10 max 4325 70 345

1 0 1 0 40

Utilizado 0 12.5 1 10 0 12.5 1 10 50 1000

≤ ≤ ≥ ≥ ≤

Límite No Utiliz 15 2.5 10 -9.9E-13 5 7.5 5 5 1000 -1.5E-09

117. Electronic Comunications fabrica radios portátiles que pueden utilizarse en comunicaciones de dos vías. El nuevo producto de la empresa que tiene un rango de hasta 25 millas, es adecuado para una diversidad de usos comerciales y personales. Los canales de distribución para el nuevo radio son: 1. 2. 3. 4.

distribuidores de equipo marino, distribuidores de equipo de oficina, cadenas nacionales de tiendas al menudeo, pedidos por correo.

Debido a diferentes costos de distribución y promocionales, la reditualidad del producto variará según el canal de distribución. Además, el costo de publicidad y el esfuerzo de ventas personales requerido también variarán de acuerdo con los canales de distribución. La tabla siguiente resume l a distribución de la utilidad, el costo de publicidad y los datos de esfuerzo de ventas personales correspondientes al problema de Electronic Comunications. La empresa a formulado un presupuesto de publicidad de 5.000 dólares, y está disponible un máximo de 1800 horas de la fuerza de ventas para asignar al esfuerzo de ventas. Finalmente, un contrato vigente con la cadena nacional de tiendas al menudeo requiere que por lo menos de distribuyan 150 unidades a través de este canal de distribución. Datos de Utilidades, costos y esfuerzo del personal de ventas para Electronic Esfuerzo del Canal de Utilidades por Costo de publicidad personal de ventas distribución unidad vendida por unidad vendida por unidad vendida Distrib. Marinos $90 $10 2 horas Oswaldo Paul Rivadeneira

Página:



Distrib. de oficinas Tiendas nacionales Pedidos por correo

$84 $70 $60

$8 $9 $15

3 horas 3 horas Ninguna

Electronic Comunications ahora se enfrenta al problema de establecer un estrategia de distribución para los radios, que maximice la reditualidad general de la producción de nuevos radios. Debe tomarse decisiones en relación con cuantas unidades deben asignarse a cada uno de los cuatro canales de distribución, así como asignar el presupuesto de publicidad y el esfuerzo de la fuerza de ventas a cada uno de los canales de distribución. 22 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Numero de radios asignados a distribuidores de equipo marino X2 = Numero de radios asignados a distribuidores de equipos de oficina X3 = Numero de radios asignados a cadenas nacionales de tiendas X4 = Numero de radios asignados a pedidos por correo 

Función Objetivo Zmax = 90X1 + 84X2 + 70X3 + 60X4



Restricciones 10X1 + 8X2 + 9X3 + 15 X4 ≤ 5.000 por presupuesto 2X1 + 3X2 + 3X3 ≤ 1.800 horas de esfuerzo en ventas X3 ≥ 150 unidades mínimas para cadenas nacionales



No negatividad

Xi ≥ 0; i=1,4

Datos de entrada SOLVER ELECTRONIC COMUNICATION Distribuidores Cadenas pedidos Equipo Equipos de nacionales por Marino Oficina de tiendas correo Radios asignados a Número de Radios 1 1 1 1 Utlidades 90 84 70 60 RESTRICCIONES Presupuesto Esfuerzo laboral Contrato cadena nacion

USO DE RECUROS 10 2

Max 304 Utilizado

8 3

9 3 1

15

42 8 1

LIMITE ≤ ≤ ≥

22


Página:

5000 1800 150

No utiliz 4958.00 1792.00 -149.00



Datos de salida SOLVER ELECTRONIC COMUNICATION Distribuidores Cadenas pedidos Equipo Equipos nacionales por Marino de Oficina de tiendas correo Radios asignados a Número de Radios 10.71429 442.85714 150 0 Max Utlidades 90 84 70 60 48664.29

RESTRICCIONES Presupuesto Esfuerzo laboral Contrato cadena nacion

USO DE RECUROS 10 2

8 3

9 3

15

Utilizado 5000 1800

≤

150

≥

1

≤

LIMITE No utiliz 5000 0.00 1800 0.00 150

118. National Insurance Associates mantiene una cartera de inversiones en acciones, bonos y otras alternativas de inversión. Actualmente hay fondos disponibles por 200.000 dólares y deben ser tomados en consideración para nuevas oportunidades de inversión. Las cuatro opciones de valores que National está considerando así como los datos financieros relevantes correspondientes son los que siguen: Acción Datos financieros

A

Precio por acción ($) 100 Tasa anual de rendimiento 0.12 Medida de riego por dólar 0.10

50 0.08 0.07

B

C

80 0.06 0.05

40 0.10 0.08

D

La medida de riesgo indica la incertidumbre relativa asociada con la acción, en función de su capacidad de alcanzar su rendimiento anual proyectado; valores más elevados indican mayor riesgo. Las medidas de riesgo son proporcionadas por el principal asesor financiero de la empresa. La administración general de National ha estipulado las siguientes vías de acción para las inversiones: 1. La tasa de rendimiento anual de la cartera debe ser por lo menos 9% 2. Ninguno de los valores puede representar más del 50% de la inversión total en dólares. a. Utilice la programación lineal para desarrollar una cartera de inversiones que minimice el riesgo. b. Si la empresa ignora el riesgo y utiliza una estrategia de máximo rendimiento sobre la inversión, ¿Cuál sería la cartera de inversiones?


Página:

0.00



c. ¿Cuál es la diferencia en dólares entre las carteras de inversiones de los incisos (a) y (b)? ¿Por qué preferiría la empresa la solución desarrollada en el inciso (a)23 REFERENCIA: Página 316 Problema 16. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Anderson Sweeney Willams. Editorial Thomson. Solución a): Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de acciones asignados a opción A X2 = Cantidad de acciones asignados a opción B X3 = Cantidad de acciones asignados a opción C X4 = Cantidad de acciones asignados a opción D 

Función Objetivo Zmin = 10X1 + 3.5X2 + 4.0X3 + 3.2X4



Restricciones 100X1 + 50X2 + 80X3 + 40 X4 ≤ 200.000 dólares disponibles 12X1 + 4.0X2 + 4.8X3 + 4.0 X4 ≥ 0.09*200.000 rendimiento 100X1 ≤ 0.5*200.000 inversión máxima de X1 50X2 ≤ 0.5*200.000 inversión máxima de X2 80X3 ≤ 0.5*200.000 inversión máxima de X3 40X4 ≤ 0.5*200.000 inversión máxima de X4



No negatividad Xi ≥ 0; i=1,4 Datos entrada SOLVER National Insurance Associates Acciones

Accionea asignadas a Cantidad Riesgo RESTRICCIONES Dólares disponibles Rendimiento annual Invesión máx en A Invesión máx en B Invesión máx en C Invesión máx en D

A

B 1 10

1 3.5

USO DE RECUROS 100 50 12 4 100 50

C

D 1 4

80 4.8

80

1 Min 3.2 20.7 Utilizado 40 270 4 24.8 100 50 80 40 40

≤ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤

LIMITE No utiliz 200000 199730.00 18000 -17975.20 100000 99900.00 100000 99950.00 100000 99920.00 100000 99960.00

23


Página:



Resultados del SOLVER National Insurance Associates Acciones Accionea asignadas a Cantidad Riesgo

RESTRICCIONES Dólares disponibles Rendimiento annual Invesión máx en A Invesión máx en B Invesión máx en C Invesión máx en D

A 333.3333 10 USO DE RECUROS 100 12 100

B

C 0 833.333333 3.5 4

50 4

80 4.8

50 80

D 2500 Min 3.2 14666.67

Utilizado 40 200000 4 18000 33333.33 0 66666.67 40 100000

≤ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤

LIMITE No utiliz 200000 0.00 18000 0.00 100000 66666.67 100000 100000.00 100000 33333.33 100000 0.00

119. La administración de Carson Stapler Manufacturing Company pronostica para el trimestre que viene una demanda de 5000 unidades para su modelo Sure-Hold. Esta engrapadora se ensambla a partir de tres componentes principales: la base, el cartucho de grapa y la manija. Hasta ahora Carson ha fabricado los tres componentes. Sin embargo, el pronóstico de 5000 unidades es un nuevo volumen máximo de venta y la empresa quizá no tenga suficiente capacidad de producción para la fabricación de todos los componentes. La administración está pensando contratar una empresa maquiladora local para producir por lo menos una parte de los componentes. Los requisitos de tiempos de producción por unidad son como sigue:

Departamento A B C

Tiempo de producción (horas) Base Cartucho Manija 0.03 0.02 0.05 0.04 0.02 0.04 0.02 0.03 0.01

Tiempo disponible (horas) 400 400 400

Note que cada componente fabricado por Carson ocupa tiempo de producción en cada uno de los tres departamentos. Después de tomar en consideración los gastos generales, las materias primas y los costos de mano de obra de la empresa, el departamento de contabilidad ha llegado al costo unitario, en dólares, de manufactura de cada componente. Estos datos junto con las cotizaciones de la empresa maquiladora de los precios de compra, en dólares, son como sigue: Componente Base Cartucho Manija Oswaldo Paul Rivadeneira

Costo de manufactura 0.75 0.40 1.10

Costo de adquisición 0.95 0.55 1.40 Página:



a. Determine cuál sería la decisión de fabricar o comprar para Carson, que haga que pueda cumplirse la demanda de 5000 unidades a un costo total mínimo. De cada componente, ¿Cuántas unidades deberán ser fabricadas y cuantas deberán ser adquiridas? b. ¿Qué departamentos están limitando el volumen de fabricación? Si pudiera considerarse tiempo extraordinario a un costo adicional de $3 la hora, ¿Qué departamento o departamentos deberían ser motivo de tiempo extra? Explique. c. Suponga que en el departamento A se pueden programar hasta 80 horas de tiempo extra. ¿Qué recomendaría usted?24 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X11 = Numero de bases para grapadoras producidas X12 = Numero de cartuchos para grapadoras producidos X13 = Numero de manijas producidas para grapadoras producidas X21 = Numero de bases para grapadoras adquiridas X22 = Numero de cartuchos para grapadoras adquiridos X23 = Numero de manijas para grapadoras adquiridas 

Función Objetivo Zmin = 0.75X11 + 0.40X12 + 1.10X13 + 0.95X21 + 0.55X22 + 1.40X23



Restricciones 0.03X11 + 0.02X12 + 0.05X13 ≤ 400 horas disponibles Dep. A 0.04X11 + 0.02X12 + 0.04X13 ≤ 400 horas disponibles Dep. B 0.02X11 + 0.03X12 + 0.01X13 ≤ 400 horas disponibles Dep. C X11 + X21 = 5.000 cantidad de bases X12 + X22 = 5.000 cantidad de cartuchos X13 + X23 = 5.000 cantidad de manijas



No negatividad Xij ≥0; i=1,2; j=1,3 Datos de entrada SOLVER

Unidades de Cantidad Costos

Carson Stapler Manufacturing Company Producidas Grapas Cartuchos Manijas Grapas 1 1 1 1 0.75 0.4 1.1 0.95

Adquiridas Cartuchos 1 0.55

Manijas 1 1.4

Min 5.15

24


Página:

Investigación Operativa I RESTRICCIONES Horas Departamento A Horas Departamento B Horas Departamento C Cantidad de bases Cantidad de cartuchos Cantidad de manijas

USO DE RECUROS 0.03 0.02 0.04 0.02 0.02 0.03 1 1


1

Utilizado 0.1 0.1 0.06 2 2 2

Manijas 1250 1.4

Min 11875

1

Utilizado 400 400 262.5 5000 5000 5000

0.05 0.04 0.01 1 1 1

≤ ≤ ≤

= = =

LIMITE 400 400 400 5000 5000 5000

No utiliz 399.90 399.90 399.94 4998.00 4998.00 4998.00

LIMITE 400 400 400 5000 5000 5000

No utiliz 0.00 0. 00 137.50 0.00 0.00 0.00

Datos de salida de SOLVER Unidades de Cantidad Costos RESTRICCIONES Horas Departamento A Horas Departamento B Horas Departamento C Cantidad de bases Cantidad de cartucho s Cantidad de manijas

Carson Stapler Manufacturing Company Producidas Grapas Cartuchos Manijas Grapas 3750 5000 3750 1250 0.75 0.4 1.1 0.95 USO DE RECUROS 0.02 0.03 0.02 0.04 0.03 0.02 1 1

Adquiridas Cartuchos 0 0.55

0.05 0.04 0.01 1 1 1

≤ ≤ ≤

= = =

120. Golf Shafts (GSI) produce palos de grafito para varios fabricantes de palos de golf. Dos instalaciones de fabricación de GSI, una localizada en San Diego y otra en Tampa, tienen capacidad para producir palos en diversos grados de rigidez, desde modelos normales, principalmente utilizados por golfistas promedio, hasta modelos extrarígidos, utilizados principalmente por golfistas con bajo handicap y profesionales. GSI acaba de recibir un contrato para la producción de 200.000 palos normales y 75.000 rígidos. Dado que ambas plantas actualmente están produciendo palos de golf para cumplir con órdenes anteriores, ningún de las plantas tiene capacidad suficiente, por si misma, para llenar el nuevo pedido. La planta de San diego puede producir hasta un total de 120.000 palos, y la de Tampa, hasta un total de 180.000 palos de golf. Debido a diferencias en equipamiento en cada una de las plantas y de distintos costos de mano de obra, los costos de producción unitarios son distintos, como se muestra a continuación: Palo normal Palo rígido

Costo de San Diego $ 5.25 $ 5.45

Costo de Tampa $ 4.95 $ 5.70

a. Formule un modelo de programación lineal para determinar la manera en que GSI deberá programar la producción de este nuevo pedido para minimizar el costo total de producción. b. Utilice cualquier código de programación lineal para resolver el modelo desarrollado en el inciso (a) c. Suponga que algunas de las órdenes anteriores de la planta de Tampa podrían ser reprogramadas para liberar la capacidad adicional para esta nueva orden. ¿Merecería esto la pena? Explique. d. Suponga que el costo de producir un palo de golf rígido en Tampa fue incorrectamente calculado, y que el costo correcto es de 5.30 dólares por palo. Oswaldo Paul Rivadeneira

Página:



¿Qué efecto, si es que hubiera alguno, tendría lo anterior sobre la solución óptima desarrollada en el inciso (b)? ¿Qué efecto tendría lo anterior sobre el costo total de producción?25 Solución a): Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Numero de unid. de palos de golf normales fabricados en San Diego X2 = Numero de unid. de palos de golf extrarígidos fabricados en San Diego X3 = Numero de palos de golf normales fabricados en Tampa X4 = Numero de palos de golf extrarígidos fabricados en Tampa 

Función Objetivo Zmin = 5.25X1 + 5.45X2 + 4.95X3 + 5.70X4

Restricciones X1 + X3 = 200.000 X2 + X4 = 75.000 X1 + X2 ≤ 120.000 X3 + X4 ≤ 180.000  No negatividad Xi ≥ 0; i=1,4 Datos de entrada SOLVER 

palos de golf normales palos de golf extrarígidos palos fabricados en San Diego palos fabricados en Tampa

Golf Shafts (GSI) San Diego Palos de Golf

Normales

Cantidad Costos

Tampa

Extrarígid

Normales

Extrarígid

1

1

1

1

5.25

5.25

4.95

5.7

RESTRICCIONES 1

Fabric. San Diego

1

1 1

Fabric. Tampa

21.15 Utilizado

USO DE RECUROS

Palos normales Palos extrarígidos

Min

1

1 1

1

2

≥

2

LIMITE

No utiliz

200000

199998.00

≥

75000

74998.00

2

≤

120000

119998.00

2

≤

180000

179998.00


25


Página:



Golf Shafts (GSI) San Diego Palos de Golf Cantidad Costos

Tampa

Normales

Extrarígid

Normales

20000

75000

180000

0

5.25

5.25

4.95

5.7

RESTRICCIONES

Extrarígid

1

Fabric. San Diego

1

1 1

1

Fabric. Tampa

1E+06 Utilizado

USO DE RECUROS

Palos normales Palos extrarígidos

Min

1

1

1

LIMITE

No utiliz

2E+05

≥

200000

0.00

75000

≥

75000

0.00

95000

≤

120000

25000.00

2E+05

≤

180000

0.00

121. La Pfeiffer Company administra aproximadamente 15 millones de dólares para sus clientes. Para cada Cliente, Pfeiffer escoge una mezcla de tres tipos de inversiones: un fondo de valores de crecimiento, un fondo de ingresos y un fondo de mercado de dinero. Cada cliente tiene objetivos de inversión distintos y diferentes tolerancias de riesgo. Para dar gusto a estas diferencias, Pfeiffer establece límites en cada cartera para los porcentajes que pueden ser invertidos en estos tres fondos y a cada cliente le asigna un índice de riesgo. Así como este sistema funciona para Dennos Hartmann, uno de los clientes de Pfeiffer Con base en una evaluación de la tolerancia al riesgo de Hartmann, Pfeiffer le ha asignado a la cartera de Hartmann un índice de 0.05. Además, para mantener cierta diversidad, la fracción de la cartera de Hartmann invertida en fondos de crecimiento y de ingresos debe ser por lo menos de 10% cada una y por lo menos 20% deberá estar invertido en fondos de mercado de dinero. Las evaluaciones de riego para los fondos de crecimiento, de ingresos y de mercado de dinero son respectivamente 0.10, 0.05 y 0.01. El índice de riesgo de cada una se calcula como el promedio ponderado de la valuaciones de riesgo de los tres fondos, donde los coeficientes de ponderación son iguales a la fracción de la cartera invertida en cada uno de los tres fondos. Hartmann le ha dado 300.000 dólares a Pfeiffer para su administración. Pfeiffer está pronosticando actualmente un rendimiento del 20% en el fondo de crecimiento, 10% en el fondo de ingresos y 6% en el fondo de mercad de dinero. a. Desarrolle un modelo de programación lineal para seleccionar la mejor mezcla de inversiones para el cartera Hartmann. b. Resuelva el modelo desarrollado en el inciso (a) c. ¿Cuánto pueden variar los rendimientos de los tres fondos, antes que Pfeiffer tenga que modificar la composición de la cartera de Hartmann? d. Si Hartmann fuera mas tolerante al riesgo. ¿qué aumento de rendimiento podría esperar? Por ejemplo, ¿Qué pasaría si su índice de riesgo de cartera aumentaría al 0.06?


Página:



e. Si Pfeiffer revisa hacia abajo su estimación de rendimiento para el fondo de crecimiento hasta 0.10, ¿Cómo recomendaría usted que se modificara la cartera de Hartmann? f. ¿Qué información debe mantener Pfeiffer sobre cada cliente para utilizar este sistema para la administración de las carteras de los clientes? g. En base semanaria Pfeiffer revisa las estimaciones de rendimiento de cada uno de los tres fondos. Suponga que Pfeiffer tiene 50 clientes. Describe la forma en que Pfeiffer podría ser modificaciones semanales en cada cartera de cliente, y asignar los fondos totales administrados entre los tres fondos de inversión.26 Solución a): Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de dólares asignados a valores de crecimiento X2 = Cantidad de dólares asignados a ingresos X3 = Cantidad de dólares asignados a mercado de dinero 

Función Objetivo Zmax = 0.20X1 + 0.10X2 + 0.06X3



Restricciones X1 ≥ 0.10*300.000 para valores de crecimiento X2 ≥ 0.10*300.000 para ingresos X3 ≥ 0.20*300.000 para mercado de dinero X1 + X2 +X3 ≤ 3 00.000 cartera 0.10X1 + 0.05X2 + 0.01X3 ≤ 0.05*300.000 riesgo de cartera

No negatividad Xi ≥ 0; i=1,3 Datos de entrada SOLVER 

La Pfeiffer Company Asignados a Cantidad de dólares

Crecimiento

Ingresos

Mercado

1

1

1

Rendimiento

0.2

0.1

0.06

RESTRICCIONES

USO DE RECUROS

Crecimiento

0.36 Utilizado

No utiliz

≥

30000

-29999.00

≥

30000

-29999.00

1

1

≥

60000

-59999.00

1 1

Mercado de dinero

LIMITE

1

1

Ingresos

Max

Riesgo

0.1

0.05

0.01

0.16

≤

15000

14999.84

Cartera

1

1

1

3

≤

300000

299997.00

26

Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 317. Problema 19 Oswaldo Paul Rivadeneira

Página:



La Pfeiffer Company Asignados a Cantidad de dólares

Crecimiento

Ingresos

Mercado

120000

30000

150000

Rendimiento

0.2

0.1

0.06

RESTRICCIONES

USO DE RECUROS

Crecimiento

1

Mercado de dinero Riesgo Cartera

36000 Utilizado

1

Ingresos

Max

LIMITE

No utiliz

1E+05

≥

30000

90000.00

30000

≥

30000

0.00

1

2E+05

≥

60000

90000.00

0.1

0.05

0.01

15000

≤

15000

0.00

1

1

1

3E+05

≤

300000

0.00

122. La Jolla Beverage Products está pensando en producir un refresco de vino, que sería mezcla de un vino blanco, de un vino rosado y de jugo de fruta. A fin de llenar las especificaciones de sabor, el refresco de vino debe estar hecho con por lo menos 50% de vino blanco, un mínimo de un 20% y no más de un 30% de rosado, y 20% de jugo de fruta. La Jolla adquiere el vino de los viñedos o lugares cercanos y el jugo de frutas de una planta procesadora en San Francisco. Para el período actual de producción, pueden adquirirse 10.000 galones de vino blanco y 8.000 galones de vino rosado, no hay límite en la cantidad de jugo de fruta que se puede pedir. El costo de los vinos es de un dólar por galón para el vino blanco y de 1.50 dólares por galón para el vino rosado; el jugo de fruta se puede adquirir a 0.50 por galón. La Jolla Beverage Products puede vender todo el refresco que pueda producir a 2.50 dólares por galón. a. ¿En esta situación, es el costo de vino y el costo de frutas un costo hundido, o uno relevante? Explique. b. Formule un programa lineal para determinar el número de galones que La Jolla Beverage Products deberá adquirir de cada ingrediente y la contribución a la utilidad total que obtendrán de esta mezcla. c. Si La Jolla Beverage Products pudiera obtener cantidades adicionales de vino blanco, ¿debería hacerlo? De hacerlo, ¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar por cada galón adicional, y cuantos galones adicionales desearía adquirir? d. Si La Jolla Beverage Products pudiera obtener cantidades adicionales de vino rosado, ¿debería hacerlo? De hacerlo, ¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar por cada galón adicional, y cuanto galones adicionales desearía adquirir? e. Interprete el precio dual para la restricción que corresponde al requisito de que el refresco de vino debe contener por lo menos 50% de vino blanco.¿Cual sería su consejo a la administración respecto a este precio dual? f. Interprete el precio dual de la restricción que correspóndela requisito de que al refresco de vino debe contener exactamente el 20% de jugo de frutas.¿Cual es su consejo a la administración respecto a este precio dual?27 27



Página:



Solución b): Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de galones de vino blanco X2 = Cantidad de galones de vino rosado X3 = Cantidad de galones de jugo de frutas 



Función Objetivo Zmax = 2.5*(X1+X2+X3) – 1X1 – 1.5X2 -0.5X3 Restricciones

X1 ≤ 10.000 cantidad máxima de vino blanco X2 ≤ 8.000 cantidad máxima de vino rosado X1 ≥ 0.5(X1 +X2 + X3) dosificación máxima de vino blanco X2 ≥ 0.2(X1 +X2 +X3) dosificación mínima de vino rosado X2 ≤ 0.3(X1 +X2 +X3) dosificación máxima de vino rosado X3 ≤ 0.2(X1 +X2 +X3) dosificación de jugo de frutas 

No negatividad Xi ≥ 0; i=1,3

Datos de entrada SOLVER Galones de

La Pfeiffer Company V. Vino Rosado Blanco

Cantidad Utilidad RESTRICCIONES

Frutas

1

1

1

1.5

1

2

USO DE RECUROS

Vino blanco

Max

4.5 Utilizado

1

Vino Rosado

1

LIMITE

No utiliz

1

≤

10000

9999.00

1

≤

8000

7999.00

Min. vino blanco

0.5

-1

-1

-1.5

≥

0

-1.50

Min. vino rosado

-0.2

0.8

-0.2

0.4

≥

0

-0.40

Max. vino rosado

-0.3

0.7

-0.3

0.1

≤

0

-0.10

Max. frutas

-0.2

-0.2

0.8

0.4

≤

0

-0.40


Galones de

La Pfeiffer Company V. Vino Rosado Blanco

Cantidad Utilidad


Frutas

10000

3000

2000

1.5

1

2

Max

22000

Página:

Investigación Operativa I RESTRICCIONES

Programación Lineal USO DE RECUROS

Vino blanco

Utilizado

1

Vino Rosado

1

LIMITE

No utiliz

10000

≤

10000

0.00

3000

≤

8000

5000.00

Min. vino blanco

0.5

-1

-1

1E-08

≥

0

0.00

Min. vino rosado

-0.2

0.8

-0.2

6E-09

≥

0

0.00

Max. vino rosado

-0.3

0.7

-0.3

-1500

≤

0

1500.00

Max. frutas

-0.2

-0.2

0.8

-1000

≤

0

1000.00

123. El gerente de programación del Canal 10 desea determinar la mejor forma de asignar el tiempo para la difusión de las noticias vespertinas de las 11:00 a las 11:30. Específicamente le gustaría determinar el número de minutos de tiempo de difusión dedicado a noticias locales, noticias nacionales, el clima y los deportes. A lo largo de los 30 minutos de difusión, se reservan 10 minutos para nubilidad. La política de difusión indica que por lo menos 15% del tiempo disponible deberá dedicarse a cobertura de noticias locales el tiempo dedicado a noticias locales y nacionales deberá ser por lo menos 50% del tiempo total de difusión; el tiempo dedicado al segmento del clima deberá ser inferior o igual al tiempo que se dedique al segmento de deportes; el tiempo dedicado al segmento de deportes no deberá ser superior al tiempo total dedicado a noticias locales y nacionales; y por lo menos, 20% del tiempo deberá dedicarse al segmento del clima. Los costos de producción por minuto son de 300 dólares para noticias locales, 200 dólares para noticias nacionales, 100 dólares para el clima y 100 dólares para deportes. Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = número de minutos para noticias locales X2 = número de minutos para noticias nacionales X3 = número de minutos sobre clima X4 = número de minutos sobre deportes 

Función Objetivo Z min = 300X1 + 200X2 + 100X3 + 100X4



Restricciones X1 ≥ 15%(X1 + X2 + X3 + X4) tiempo noticias locales X1 + X2 ≥ 50%(X1 + X2 + X3 + X4) tiempo noticias locales y nacionales X3 ≤ X4 tiempo de noticias del clima X4 ≤ (X1 + X2) tiempo para deportes X3 ≥ 20%(X1 + X2 + X3 +X4) tiempo para clima X1 +X2 + X3 + X4 = 20 tiempo disponible en minutos No negatividad Xi ≥ 0; i=1,4



Datos de entrada SOLVER PROGRAMACIÓN CANAL 10


Página:



MINUTOS en Noticias

Locales

Nacionales

Clima

Deportes

1

1

1

1

300

200

100

100

Cantidad Costos RESTRICCIONES

Min 700 Utilizado

LIMITE

0,85

-0,15

-0,15

-0,15

0,4

≥

0

-0,40

0,5

0,5

-0,5

-0,5

0

≥

0

0,00

1

-1

0

≤

0

0,00

1

1

-1

1

≥

0

-1,00

-0,2

-0,2

0,8

-0,2

0,2

≥

1

1

1

1

4

≤

USO DE RECUROS

Noticias Locales Not. Locales y Nac Noticias Clima Noticias Deportes Noticias Clima Tiempo disponible

No utiliz

0

-0,20

20

16,00

Datos de salida SOLVER PROGRAMACIÓN CANAL 10 MINUTOS en Noticias

Locales

Nacionales

Clima

Deportes

3

7

5

5

300

200

100

100

Cantidad Costos RESTRICCIONES Noticias Locales

Min 3300 Utilizado

USO DE RECUROS

LIMITE

No utiliz

0,85

-0,15

-0,15

-0,15

-2E-12

≥

0

0,00

0,5

0,5

-0,5

-0,5

9E-12

≥

0

0,00

1

-1

0

≤

0

0,00

1

1

-1

5

≥

0

-5,00

-0,2

-0,2

0,8

-0,2

1

≥

0

-1,00

1

1

1

1

20

20

0,00

Not. Locales y Nac Noticias Clima Noticias Deportes Noticias Clima Tiempo disponible

≤

124. Gulf Coast Electronics está listo para asignar contratos para la impresión de su informe anual. Durante los últimos años, un informe anual a cuatro colores ha sido impreso por Johnson Printing y Likeside Litho. Una nueva empresa, Benson Printing, ha inquirido sobre la posibilidad de efectuar una parte de la impresión. El nivel de calidad y servicio de Likeside Litho ha sido extremadamente elevado; de hecho sólo el 0,05% de sus informes tuvieron que ser descartados por problemas de calidad. Johnson Printing también ha tenido un nivel histórico elevado de calidad, produciendo un promedio de sólo 1% de informes no aceptables. Dado que la Gulf Coast Electronics no ha tenido experiencia con Benson Printing, ha estimado su tasa de defectos en 10%. A Gulf Coast Electronics le gustaría determinar cuantos informes deberán ser impresos por cada una de estas empresas, para obtener 75.000 informes de calidad aceptables. Para asegurarse de que Benson Printing recibirá una parte del contrato de la administración ha especificado que el número de informes asignados a Benson Printing deberá ser, por lo menos 10% del volumen que se asigne a Johnson Printing. Además el volumen total asignado a Benson Printing, Johnson Printing y Likeside Lithono deberá exceder 30.000, 50.000 y 50.000 ejemplares respectivamente. Debido a la larga relación desarrollada con Likeside Litho, la administración también ha indicado que a Likeside Litho se le deberá


Página:



asignar por lo menos 30.000 informes. El costo por ejemplar es de 2.45 dólares para Benson Printing, 2.50 dólares para Johnson Printing, y 2.75 dólares para Likeside Litho. a. Formule y resuelva un programa lineal para determinar cuántos ejemplares deberán asignarse a cada empresa impresora, para maximizar el costo total de obtener 75.000 informes de calidad aceptable. b. Suponga que el nivel de calidad de Benson Printing resulta mucho mejor a lo estimado. ¿Qué efecto, si es que existe alguno, tendría? c. Suponga que la administración está dispuesta a reconsiderar su requisito de que a Likeside Litho se le den por lo menos 30.000 informes.¿Que efecto, si es que hay alguno, tendría esto? Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = cantidad de ejemplares asignados a Litho X2 = cantidad de ejemplares asignados a Johnson X3 = cantidad de ejemplares asignados a Benson 

Función Objetivo Zmax = 2.75X1 + 2.5X2 +2.45X3



Restricciones 99.5%X1 + 99%X2 + 90 %X3 ≤ 75.000 ejemplares de buena calidad X3 ≥ 10%X2 asignación mínima Benson X3 ≤ 30.000 asignación max a Benson X2 ≤ 50.000 asignación max a Johnson X1 ≤ 50.000 asignación max a Litho X1 ≥ 30.000 asignación min a Litho



No negatividad Xi ≥0; i=1,3 Datos entrada SOLVER

PROGRAMACIÓN Gulf Coast Electronics Ejemplares Cantidad Costos RESTRICCIONES


Litho

Johnson

Benson

1

1

1

2,75

2,5

2,45

USO DE RECUROS

Max 7,7 Utilizado

LIMITE

No utiliz

Página:



Ejemplares de calidad

0,995

Johnson y Benson

0,99

0,9

2,885

≤

-0,1

1

0,9

≥

1

1

Ejemplares Benson Ejemplares Johnson

1

1 1

Ejemplares Litho Ejemplares Litho

75000

74997,12

0

-0,90

≤

30000

29999,00

1

≤

50000

49999,00

1

≤

50000

49999,00

1

≥

30000

-29999

Datos salida SOLVER PROGRAMACIÓN Gulf Coast E lectronics Ejemplares

Litho

Cantidad

50000

Costos RESTRICCIONES Ejemplares de calidad

2,75

Johnson 2,5

0,995

Ejemplares Johnson

Max 206236 Utilizado

LIMITE

No utiliz

0,99

0,9

75000

≤

75000

0,00

-0,1

1

28055,6

≥

0

28055,56

1

28055,6

Ejemplares Benson

Ejemplares Litho

2,45

USO DE RECUROS

Johnson y Benson

Ejemplares Litho

Benson

0 28055,6

1

1 1

≤

30000

-1944,44

0

≤

50000

50000,00

50000

≤

50000

0,00

50000

≥

30000

20000

125. Como una ilustración de la asignación de recursos que usa la programación lineal, considere el problema siguiente acerca de la planificación de producción en una tienda. La producción debe fijarse para dos tipos de máquinas, la maquina 1 y la máquina 2. Ciento veinte horas de tiempo enlatables pueden fi jarse para máquina1, y 80 horas para máquina 2. La producción durante el periodo de planificación se limita a dos productos. A y B, cada unidad del producto A requiere 2 horas de tiempo del proceso en cada máquina. Cada unidad de producto que B requiere de 3 horas en la máquina 1 y de 1.5 horas en la máquina 2. El margen de la contribución es $4.00 por cada unidad de producto A y $5.00 por cada unidad de producto B. Ambos tipos de productos pueden comercializarse prontamente; por consiguiente, la producción debe fijarse con el objetivo de aumentar al máximo la ganancia.28 La formulación: Dado, X1 = número de unidades del producto A para producción X2 = número de unidades del producto B para producción Maximizar la contribución en la ganancia, Z = 4X1 + 5X2

28

Sets, Matrices, and Linear Programming. Robert L. Childress


Página:



Sujeto a: 2X1 + 3X2 ≤ 120 (recurso máquina 1) 2X1 + 1.5X2 ≤ 80 (recurso máquina 2) X1 ≥ 0 (no negatividad) X2 ≥ 0 (no negatividad) Datos de entrada para Solver


Solución: opción b) Solución Z max X1 X2

a) 213.33 20 25

b) 213.33 20 26.667

c) 313.33 25 26.667

d) 213.33 15 25

e) 213.33 20 16.667

126. Para ilustrar un problema de la programación lineal en que el costo se minimiza, considere el problema que enfrenta el fabricante de metales. La empresa produce una aleación que es hecho de acero y metal de trozos. El costo por la tonelada de acero es $50 y el costo por la tonelada de trozo es de $20. Los requisitos tecnológicos para la aleación son (1) un mínimo de una tonelada de acero se Oswaldo Paul Rivadeneira

Página:



requiere para cada dos toneladas de trozo; (2) una hora de tiempo de procesamiento se requiere por cada tonelada de acero, y se requieren cuatro horas de tiempo de procesamiento por cada tonelada de trozo; (3) el acero y el trozo se combinan linealmente para hacer la aleación. La pérdida en proceso del acero es 10 por ciento y la pérdida en proceso del trozo es 20 por ciento. Aunque la producción puede exceder la demanda, un mínimo de 40 toneladas de la aleación debe fabricarse. Para mantener el funcionamiento de la planta eficazmente, un mínimo de 80 horas de tiempo de procesamiento debe usarse. El suministro tanto de los trozos como del acero es adecuado para la producción de la aleación. El objetivo del fabricante es producir la aleación a un costo mínimo.29 La formulación matemática al problema de programación lineal puede plantearse de la siguiente manera Dado, X1 = número de toneladas de acero para producción de aleación X2 = número de toneladas de trozo para producción de aleación Minimizar el costo Z = 50X 1 + 20X2 Análisis: (1) un mínimo de una tonelada de acero se requiere por cada dos toneladas de trozo 1 2



X 1 X 2

;

X 2  2 X 1

; X2 – 2X1 ≥ 0 ; 2X1 – X2 ≥ 0

(2) se necesitan una hora de procesamiento por cada tonelada de acero y cuatro horas de tiempo de procesamiento por cada tonelada de trozo y un mínimo de 80 horas 1X1 + 4X2 ≥ 80 (3) La pérdida en proceso es del 10% de acero y el 20% de trozo, demanda mínima d 40 toneladas de aleación rendimiento del acero (1-10%)X1 rendimiento del trozo (1-20%)X2 (1-10%)X1 + (1-20%)X 2 ≥ 40 0.90X1 + 0.80X2 ≥ 40 Sujeto a: 2X1 – X2 ≥ 0 (1) 1X1 + 4X2 ≥ 80 (2) 0.90X1 + 0.80X2 ≥ 40 (3) X1 ≥ 0 (no negatividad) 29

Sets, Matrices, and Linear Programming. Robert L. Childress


Página:



X2 ≥ 0

(no negatividad)

Datos de entrada para Solver


Solución: opción a) Solución Z max X1 X2

a) 1.440 16 32

b) 1.440 32 16

c) 144 16 26.667

d) 1.440 15 25

e) 1.044 32 16.667

127. La Kenmore Corporation, un fabricante progresista de mecanismos civiles y militares, fabrica actualmente una línea de armas para civiles, con una producción actual diaria de 30 unidades del modelo Z-1200 y de 120 unidades del modelo Z1500. El vicepresidente de manufactura quiere saber si podría aumentarse las ganancias cambiando la mezcla de productos entre los dos modelos. Se compiló la Oswaldo Paul Rivadeneira

Página:



siguiente información sobre las horas requeridas para la fabricación de cada modelo y las capacidades de los departamentos de la fábrica.30 Horas-Hombre requeridas Capacidad Departamentos Modelo Z- Modelo Z- Departamental (horas diarias) 1200 1500 Dep. 1 2 0 300 Dep. 2 0 3 540 Dep. 5 2 2 440 Dep. 4 1 1/5 1 1/2 300 Contribución por unidad $ 50 $ 40 Formulación del problema:  X1 = Cantidad de unidades del modelo Z-1200 X2 = Cantidad de unidades del modelo Z-1500  Función Objetivo: Maximizar Z = 50 X 1 + 40 X 2  Restricciones: 2 X1 + 0 X2 ≤ 300 por Dep. 1 0 X1 + 3 X2 ≤ 540 por Dep. 2 2 X1 + 2 X2 ≤ 440 por Dep. 5 1.2 X1 + 1.5 X2 ≤ 300 por Dep. 4  No negatividad: X i ≥ 0; i = 1, 2 Solución gráfica por computador (usando el GLP)

30

Robert J. Thierauf y Richard A. Grosse. T oma de decisiones por medio de Investigación de Operaciones. Limusa. Pag 273 Oswaldo Paul Rivadeneira

Página:



Solución con SOLVER:

Datos de entrada


Página:



Datos de salida:

Producción Actual: Z = 50(30) + 40(120) = $ 6.300 Producción Nueva: Z = 50(150) + 40(70) = $ 10.300 Aumenta las ganancias en: 10.300 – 6.300 = $ 4.000 Respuestas múltiples: respuesta correcta d) a) b) c) d) e)

aumenta las ganancias en $ 3.000 aumenta las ganancias en $ 6.300 aumenta las ganancias en $ 10.300 aumenta las ganancias en $ 4.000 no aumenta las ganancias


Página:



128. Reddy Mikks produce pinturas tanto para interiores como para exteriores a partir de dos materias primas, M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los datos básicos del problema:

Toneladas de materia prima por tonelada de Pintura para Pintura para exteriores interiores Materia prima, M1 6 4 Materia prima, M2 1 2 Utilidad por tonelada $5 $4 (1000 dólares)

Disponibilidad máxima diaria en toneladas 24 6

Una encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de pintura para interiores a 2 toneladas. Además la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la de pintura para exteriores por más de 1 tonelada. Reddy Mikks quiere determinar la mezcla de producto óptima (la mejor) de pinturas para interiores y para exteriores que maximice la utilidad diaria total.31 Formulación del problema: 

Definición de variables: X1 = Número de toneladas de Pintura para Exteriores X2 = Número de toneladas de Pintura para Interiores



Función objetivo: Maximizar Z = 5.000 X1 + 4.000 X2



Restricciones 6 X1 + 4 X2 ≤ 24 1 X1 + 2 X2 ≤ 6 0 X1 + 1 X2 ≤ 2 -1X1 + 1 X2 ≤ 1



31

por disp. Materia prima M1 por disp. Materia prima M2 máximo diario de pint. Int. demanda diaria

No negatividad: X i ≥ 0; i = 1, 2

Handy A. Taha. Investigación de Operaciones. Una Introducción. Prentice Hall. Pag. 11


Página:



Solución gráfica por computador (usando el GLP)

Solución con SOLVER: Datos de entrada

Datos de salida: Oswaldo Paul Rivadeneira

Página:



Solución: Producir diariamente 3 toneladas de pintura para exteriores y 1.5 toneladas de pintura para interiores, para producir una ganancia máxima de $ 21.000,00 Solución múltiple: respuesta correcta c) Rubro Pint. Ext (ton) Pint. Int (ton) Ganan. max.($)

a 1.5 3.0 21.000

b 3.0 1.5 20.000

Respuestas c 3.0 1.5 21.000

d 1.5 1.5 20.000

e 3.5 2.0 21.000

129. Ozark Farms utiliza diariamente 800 libras de alimento especial. El alimento especial es una mezcla de maíz y semilla de soya, con las siguientes composiciones:

Maíz Semilla de Soya

Libra por libra de alimento para ganado Costo (/libra) Proteínas Fibra 0.09 0.02 0.30 0.60 0.06 0.90

Los requerimientos dietéticos diarios del alimento especial estipulan que por lo menos un 30% de proteínas y cuando mucho un 5% de fibra. Ozark Farms desea determinar el costo mínimo diario de la mezcla de alimento. 32 Formulación del problema: Definición de variables:  X1 = Cantidad de libras de Maíz X2 = Cantidad de libras de Semilla de Soya 32



Página:





Función Objetivo: Minimizar Z = 0.30 X1 + 0.90 X2



Restricciones: 0.09 X1 + 0.60 X2 ≥ 0.30*(X1 + X2) 0.02 X1 + 0.06 X2 ≤ 0.05*(X1 + X2) X1 + X2 ≥ 800 No negatividad: X i ≥ 0; i = 1, 2



por proteínas por fibra producción

Solución gráfica por computador (usando el GLP)

Solución con SOLVER: Oswaldo Paul Rivadeneira

Página:



Datos de entrada

Datos de Salida:

Solución: 470.59 libras de maíz, 329.41 libras de semilla de soya costo mínimo del alimento: 437.65 por día. Solución múltiple: respuesta correcta b) a) b) c) d) e)

$ 457.65 por día $ 437.65 por día $ 417.65 por día $ 517.65 por día $ 537.65 por día

130. Jack es un estudiante emprendedor de primer año de la UTE. Comprende que “sólo el trabajo y nada de diversión hacen de Jack un muchacho aburrido” . Como resultado de esto, Jack quiere distribuir su tiempo disponible, de alrededor de 10 horas al día, entre el trabajo y la diversión. Calcula que el juego es dos veces más divertido que el trabajo. También quiere estudiar por lo menos tanto como juega. Sin embargo, Jack comprende que si quiere terminar todas sus tareas universitarias, no puede jugar más de cuatro horas al día. Oswaldo Paul Rivadeneira

Página:



¿Cómo debe distribuir Jack su tiempo para maximizar su satisfacción tanto en el trabajo como en el juego?33 Formulación del problema:  Definición de variables X1 = número de horas de juego X2 = número de horas de trabajo  Función objetivo: Maximizar Z = 2X1 + X2  Restricciones: X1 + X2 = 10 disponibilidad de tiempo X 2 ≥ X1 X1 – X2 ≤ 0 trabajar por lo menos tanto como juega X1 ≤ 4 límite de juego  No negatividad Xi ≥ 0; i= 1, 2 Solución GLP

X2

ff1:.0:2X .01.Decisions(X1,X2): X + 0:1X+1.001 - X.1 01.0 X = +2 X1= 200= ..00 14X.0 2.0 = 4.0 Payo :Optimal 6.0) (04.0, : 1.0X1 + 1.0X2 <= 10.0

: 1.0X1 - 1.0X2 <= 0.0 : 1.0X1 + 0.0X2 <= 4.0

Datos de Entrada Solver

33



Página:



Datos de Salida Solver

Juega cuatro horas y trabaja 6 horas. Solución múltiple: respuesta correcta d) Rubro Juega Trabaja Satisfacción max

a 1.5 3.0 14.0

b 3.0 6.0 20.0

Respuestas c 3.0 6.0 14.0

d 4.0 6.0 14.0

e 6.0 2.0 21.000

131. John debe trabajar por lo menos 20 horas a la semana para completar su ingreso mientras asiste a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas al detalle: en la tienda 1 John puede trabajar entre 5 y 12 horas a la semana, y en la tienda 2 le permiten trabajar entre 6 y 10 horas. Ambas tiendas pagan el mismo salario por hora. De manera que John quiere basar su decisión acerca de cuántas horas debe trabajar en cada tienda en un criterio diferente: el factor del estrés en el trabajo. Basándose en entrevistas con los empleados actuales, John calcula que, en una escala de 1 a 10, los factores des estrés son de 8 y 6 en las tiendas 1 y 2, respectivamente. Debido a que el estrés aumenta por hora, él supone que el estrés total al final de la semana es proporcional al


Página:



número de horas que trabaja en la tienda. ¿Cuántas horas debe trabajar en cada tienda?34 Formulación del problema:  Definición de variables X1 = número de horas de trabajo en la tienda 1 X2 = número de horas de trabajo en la tienda 2 

Función objetivo: Minimizar Z = 8X 1 + 6X2



Restricciones: X1 ≥ 5 X1 ≤ 12 X2 ≥ 6 X2 ≤ 10 X1 + X2 ≥ 20



No negatividad Xi ≥ 0; i = 1, 2

Solución GLP

Payoff: 8.0 x1 +

: 1.0 x1 + 0.0 X2 =

6.0 X2 = 140.0

: 1.0 x1 + 1.0 X2 = 20.0

5.0

X2 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

: 0.0 x1 + 1.0 X2 = 10.0

: 0.0 x1 + 1.0 X2 = 6.0 .

0

1

2

3

4

5

6

7

8

.

9

10

.

11

12

x1

Optimal Decisions(x1,X2): (10.0, 10.0) : 1.0x1 + 0.0X2 >= 5.0 : 1.0x1 + 0.0X2 <= 12.0 : 0.0x1 + 1.0X2 >=

6.0

: 0.0x1 + 1.0X2 <= 10.0 : 1.0x1 + 1.0X2 >= 20.0

34



Página:



Datos de entrada Solver

Datos de salida Solver

Solución: John debe trabajar 10 horas a la semana en la tienda 1 y 10 horas en la tienda 2 Solución múltiple: respuesta correcta d) Rubro Tienda 1 Tienda 2 Estrés min


a 11 11 14.0

b 10 10 20.0

Respuestas c 10 6.0 14.0

d 10 10 140

e 10 10 21.000

Página:



132. La Dumont Company, fabricante de equipo de pruebas, tiene tres departamentos principales para la manufactura de sus modelos S-1000 y S2000. Las capacidades mensuales son las siguientes: Requerimientos unitarios de tiempo (horas) Departamentos Modelo Modelo SS-1000 2000 De Estructura principal 4 2 De Alambrado eléctrico 2.5 1 De Ensamble 4.5 1.5

Horas disponibles en el presente mes 1600 1200 1600

La contribución del modelo S-1000 es de $ 40 000 por unidad, y la del modelo S2000 es de $ 10 000 por unidad. Suponiendo que la compañía puede vender cualquier cantidad de cada uno de sus productos, debido a las condiciones favorables de mercado. Determínese la salida óptima para cada modelo, la contribución más alta posible para el presente mes y el tiempo sobrante en los tres departamentos.35 Formulación del problema:  Definición de variables X1 = número de unidades del modelo S-1000 X2 = número de unidades del modelo S-2000  



Función objetivo: Maximizar Z = 40.000X1 + 10.000X2 Restricciones 4X1 + 2X2 ≤ 1600 Dep. de Estructuras 2.5X1 + 1X2 ≤ 1200 Dep. alambrado eléctrico 4.5X1 + 1.5 X2 ≤ 1600 Dep. ensamblaje No negatividad Xi ≥ 0; i = 1, 2

Solución GLP

35

Robert J. Thierauf y Richard A. Grosse. Toma de decisiones por medio de Investigación de Operaciones. Limusa. Pag 273 Oswaldo Paul Rivadeneira

Página:



: 2.5 X1 + 1.0 X2 = 1200.0 Payoff: 40.0 X1 + 10.0 X2 = 14222.2

X2

: 4.5 X1 + 1.5 X2 = 1600.0

240 228 216 204 192 180 168 156 144 132 120 108 96 84 72 60 48 36 24 12 0

: 4.0 X1 + 2.0 X2 = 1600.0

221

229

237

245

253

261

269

277

285

293

301

309

317

325

333

341

349

357

Optimal Decisions(X1,X2): (355.6, 0.0) : 4.0X1 + 2.0X2 <= 1600.0

: 2.5X1 + 1.0X2 <= 1200.0 : 4.5X1 + 1.5X2 <= 1600.0

Datos entrada para Solver

Datos salida del Solver


Página:

365

373

381

389



Fabricar 355,5 unidades del Modelo S-1000 solamente para producir un beneficio de $14 222,20 Si la restricción es fabricar componentes completos, fabricar 355 unidades del modelo S-1000 y 1 unidad del modelo S-2000 para producir un beneficio de $ 14 210,00 Solución múltiple: respuesta correcta b) Rubro Modelo S-1000 Modelo S-2000 Contribución max

a 255.5 0.0 14.210

b 355.5 0.0 14.222,2

Respuestas c 355.5 10.0 14.222,2

d 350 6.0 14.220

e 350 10.0 14.222,2

133. La Cincinnati Chemical Company debe producir 10 000 libras de una mezcla especial para un cliente. La mezcla se compone de los ingredientes: X1, X2 y X3. X1 cuesta $8/libra, X2 $ 10/libra y X3 $ 11/libra. No pueden usarse mas de 3 000 libras de X1 y por lo menos deberían usarse 1 500 libras de X2. Además se requieren por lo menos 2 000 libras de X3. a) b) c)

Calcúlese el número de libras de cada ingrediente que habrá que emplear. A fin de reducir la mínimo el costo total de las 10 000 libras. Calcúlese el costo total más bajo posible. ¿Hay libras sobrantes en el problema? 36

(Ref: Toma de decisiones por medio de Investigación de Operaciones. Thierauf. Limusa. Pag 274) Formulación del problema  Definición de variables X1 = número de libras del ingrediente X1 36

Robert J. Thierauf y Richard A. Grosse. Toma de decisiones por medio de Investi gación de Operaciones. Limusa. Pag 274 Oswaldo Paul Rivadeneira

Página:


 




X2 = número de libras del ingrediente X2 X3 = número de libras del ingrediente X3 Función objetivo: Minimizar Z = 8X1 + 10X2 + 11X3 Restricciones: X1 + X2 + X3 = 10.000 cantidad de producción X1 ≤ 3.000 cantidad de X1 X2 ≥1.500 cantidad de X2 X3 ≥ 2.000 cantidad de X3 No negatividad Xi ≥ 0; i = 1, 3



Solución: a) b) c)

X1= 3000 libras X2= 5000 libras X3= 2000 libras Costo más bajo = $ 96 000,00 Debo utilizar 3500 libras más de X2


Página:



Solución múltiple: respuesta correcta d) Rubro Ingrediente X1 Ingrediente X2 Ingrediente X3 Costo min ¿Hay sobrantes?

a 3.000 5.000 2.000 96.000 No

b 2.500 6.000 1.500 69.000 Si

Respuestas c 3.000 6.000 1.000 69.000 No

d 4.000 4.000 2.000 96.000 Si

e 3.000 5.000 2.000 69.000 No

134. La Gray Manufacturing Company ha seguido constantemente una política de fabricación de aquellos productos que contribuyan con la mayor cantidad a los costos fijos y a las ganancias. Sin embargo, siempre se ha procurado producir los requerimientos mínimos semanales de venta, que son los siguientes para los productos K, L, M y N: Producto K Producto L Producto M Producto N

25 unidades 30 unidades 30 unidades 25 unidades

Los requerimientos de producción y el tiempo disponible para la semana siguiente son:

Departamento Departamento1 Departamento 2 Departamento 3 Departamento 4 Contribución por unidad

Tiempo la Tiempo requerido por producto (horas) disponible semana prox. K L M N (horas) 0.25 0.30 0.25 0.25

0.20 0.40 0.30 0.25

0.15 0.50 0.25 0.25

0.25 0.30 0.30 0.25

$ 10.50

$ 9.00

$ 8.00

$ 10.0

400 1000 500 500

Actualmente, la mezcla semanal de producción (considerando los requerimientos mínimos de venta), es de:


Página:



Producto K Producto L Producto M Producto N

1 533 unidades 30 unidades 30 unidades 25 unidades

¿Son la mezcla actual de productos y la contribución, para la empresa, óptimas? En caso contrario ¿Cuál es la contribución actual? ¿Cuáles deben ser las óptimas?37 Formulación del problema: Definición de variables  X1 = Número de unidades del producto K X2 = Número de unidades del producto L X3 = Número de unidades del producto M X4 = Número de unidades del producto N Función objetivo:  Maximizar Z = 10.5X1 + 9.0X2 + 8.0X3 + 10.0X 4  Restricciones 0.25X1 + 0.20X2 + 0.15X 3 + 0.25X4 ≤ 400 Disp. Dep. 1 0.30X1 + 0.40X2 + 0.50X 3 + 0.30X4 ≤ 1000 Disp. Dep. 2 0.25X1 + 0.30X2 + 0.25X 3 + 0.30X4 ≤ 500 Disp. Dep. 3 0.25X1 + 0.25X2 + 0.25X 3 +0.25X4 ≤ 500 Disp. Dep. 4 X1 ≥ 25 Venta mínima de K X2 ≥ 30 Venta mínima de L X3 ≥ 30 Venta mínima de M X4 ≥ 25 Venta mínima de N  No negatividad Xi ≥ 0; i = 1,4 Datos de entrada para el Solver

37


Página:




Solución múltiple: respuesta correcta b) Rubro ¿Mezcla óptima? Contribución act Contribución opt. Producto K Producto L Producto M Producto N


a Si 18.433,2 16.856,5 976.5 30 957.5 25

b No 16.856,5 18.433,25 976.5 30 957.5 25

Respuestas c Si 16.556.0 14.055.0 906.5 25 975.6 30

d No 16.856.5 18.500.0 950 30 956.0 25

e Si 16.500.0 14.500.0 976 30 950.0 35

Página:



135. La LaCross Manufacturing Company esta considerando la fabricación de una línea de productos, compuesta de cuatro productos. Cada producto puede fabricarse con dos métodos diferentes y completamente distintos, uno de los cuales consta de dos procesos y el otro de tres. Se fabricarán basándose en el segundo turno. El precio de venta de estos productos y sus costos variables, así como las cantidades que probablemente puedan venderse, de acuerdo con el grupo de investigaciones de mercadotecnia, son los siguientes: 38

Precio de venta al mayoreo (40% de descuento) Costos variables – Método A Costos variables – Método B Cantidad que puede venderse

Producto 1 2

3

4

$ 100 $ 80 $ 110 1000

$ 125 $ 120 $ 100 4000

$ 140 $ 135 $ 110 6000

$ 150 $ 135 $ 150 3000

La sección de manufactura de la empresa ha determinado que los tiempos de manufactura para cada proceso son los siguientes:

Método A Departamento 20 Departamento 21 Departamento 22 Método B Departamento 31 Departamento 32

Producto 1 2

3

4

3.0 9.0 1.0

3.6 10.0 1.0

2.0 8.0 0.5

3.5 9.0 0.5

4.0 5.0

4.0 8.0

2.0 4.0

4.0 3.0

Las horas disponibles al mes: Departamento 20 15 000 Departamento 21 50 000 Departamento 22 8 000 38


Página:



Departamento 31 10 000 Departamento 32 10 000 Formulación del problema: Definición de variables  X11 = Número de unidades del producto 1 elaborados con el método A X21 = Número de unidades del producto 2 elaborados con el método A X31 = Número de unidades del producto 3 elaborados con el método A X41 = Número de unidades del producto 4 elaborados con el método A X12 = Número de unidades del producto 1 elaborados con el método B X22 = Número de unidades del producto 2 elaborados con el método B X32 = Número de unidades del producto 3 elaborados con el método B X42 = Número de unidades del producto 4 elaborados con el método B 





Función Objetivo: Maximizar Z = (100-80)X11 + (150-135)X21 + (125-120)X31 + (140-135)X41 + (100-110)X12 + (150-150)X22 + (125-100)X32 + (140-110)X24 Restricciones X11 + X12 ≤ 1000 Venta producto 1 X21 + X22 ≤ 3000 Venta producto 2 X31 + X32 ≤ 4000 Venta producto 3 X41 + X42 ≤ 6000 Venta producto 4 3.0X11 + 3.6 X21 + 2.0X31 + 3.5X41 ≤ 15.000 Horas Dep. 20 9.0X11 + 10.0X21 + 8.0X31 + 9.0X41 ≤ 50.000 Horas Dep. 21 1.0X11 + 1.0X21 + 0.5X31 + 0.5X41 ≤ 8.000 Horas Dep. 22 4.0X12 + 4.0X22 + 2.0X32 + 4.0X42 ≤ 10.000 Horas Dep. 31 5.0X12 + 8.0X22 + 4.0X32 + 3.0X42 ≤ 10.000 Horas Dep. 32 No negatividad Xij ≤0; i= 1,4; j = 1,2 Datos de entrada para el solver


Página:




Solución: P1= 1 000 unidades (Método A) P2= 3 000 unidades (Método A) P3= 600 unidades (Método A) P3= 1 000 unidades (Método B) P4= 2 000 unidades (Método B) Contribución, $ 153 000,00

136. Una fábrica elabora dos productos, A, B. Cada uno de ellos debe ser procesado en dos máquinas diferentes. Una máquina tiene una capacidad disponible de 24 Oswaldo Paul Rivadeneira

Página:



horas y la otra de 16 horas. Cada unidad del producto A requiere de dos horas en ambas máquinas. Cada unidad del producto B necesita de tres horas en la primera máquina y de una hora en la segunda. La utilidad incremental es de $6 por unidad del producto A y de $7 por unidad del producto B, y la fábrica puede vender tantas unidades de cada producto como pueda fabricar. El objetivo de la fábrica es maximizar las utilidades. El problema está en determinar cuántas unidades del producto A y del producto B podrían producirse dentro de los límites disponibles por la capacidad de las máquinas. 39 Resumen: Máquinas 1 2 Utilidad en $

Productos A B 2 horas 3 horas 2 horas 1 hora 6 7

Capacidad de las máquinas 24 horas 16 horas

Formulación del problema  Definición de variables X1 = número de unidades del producto A X2 = número de unidades del producto B 

Función objetivo: Maximizar Z = 6X1 + 7X2



Restricciones 2X1 + 3X2 ≤24 2X1 + 1X2 ≤ 16



capacidad de máquina 1 capacidad de máquina 2

No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 2

Solución con GLP

39

Bonini, Hansman, Bierman. Análisis Cuantitativo para los Negocios. Novena Edición. Irwin McGraw Hill. Pag. 43 Oswaldo Paul Rivadeneira

Página:



9 8 7

:

2 X1 +

1 X2 =

16

6

:

5

2 X1 +

3 X2 =

24

4 3

Payoff:

6 X1 +

9

10

7 X2 =

64

2 1 0

0

1

2

Optimal Decisions(X1,X2): (

: :

2X1 +

3X2 <=

24

2X1 +

1X2 <=

16

3 6,

4

5

6

7

8

11

12

13

4)


Datos salida del Solver


Página:

14

15

16



Solución: X1 = 6 X2 = 4 Z = 64 137. Al mezclar diferentes hidrocarburos, se obtiene gasolina de diferentes grados, que es el resultado directo de las operaciones de refinería. En una operación real de refinación, se realizan varias mezclas de hidrocarburos, que dan muchas clases de gasolina como producto final (por ejemplo, gasolina de distintos grados para avión y para carro), con características importantes para los distintos grados de la composición de la gasolina (por ejemplo, octanaje, presión del vapor, contenido de azufre y contenido de oxidante). En este ejemplo simplificado, se supone que una refinería dispone sólo de dos tipos de gasolina, cuyas características se presentan en la siguiente tabla: Características de las mezclas de gasolina

Mezclas Presión de Cantidad disponibles vapor Disponible Octanaje Gasolina tipo 1 104 5 30 000 barriles Gasolina tipo 2 94 9 70 000 barriles Estos tipos de gasolina pueden ser combinados para producir dos productos finales, gasolina para avión y gasolina para carro. Las cualidades que requieren estos productos finales aparecen en la siguiente tabla: Características de la gasolina como producto final

Productos finales Gasolina avión Gasolina carro

Octanaje mínimo 102 96

Presión Máxima Ventas de vapor máximas 6 20 000 barriles 8 cualquiera

Precio De venta (por barril) $45.10 $32.40

Cuando la gasolina se combina, la mezcla resultante tiene un octanaje y una presión de vapor proporcional al volumen de cada tipo de gasolina que se mezcló. Por ejemplo, si se mezclan 1 000 barriles de gasolina tipo 1 con 1 000 barriles gasolina tipo 2, la gasolina resultante tendrá un octanaje de 99: 1.000 x104  1.000 x94 2.000

 99

Y una presión de vapor de 7: 1.000 x5  1.000 x9 2.000


 7

Página:



La empresa desea maximizar los ingresos por la venta de gasolina como producto final.40 Formulación del problema:  Definición de variables X1 = número de barriles de gasolina Tipo 1, utilizada para gasolina de avión X2 = número de barriles de gasolina Tipo 1, utilizada para gasolina de carro X3 = número de barriles de gasolina Tipo 2, utilizada para gasolina de avión X4 = número de barriles de gasolina Tipo 2, utilizada para gasolina de carro  

Función objetivo: Maximizar Z = 45.10 (X1 + X3) + 32.40 (X 2 + X4) Z = 45.10 X1 + 32.40X2 + 45.10X3 + 32.40X4 Restricciones 104 X 1 94 X 3 X 1  X 3

 102

2X1 – 8X3 ≥ 0 104 X 2 94 X 4

oct. para avión 

X 2  X 4

96

8X2 – 2X4 ≥ 0 5 X 1 9 X 3 X 1  X 3



6

-1X1 + 3X3 ≤0 5 X 2 9 X 4 X 2  X 4

pres. para avión

 8

-3X2 + X4 ≤ 0 X1 + X2 ≤ 30.000 X3 + X4 ≤ 70.000 X1 + x3 ≤ 20.000 

oct. para carro

pres. para carro disponibilidad de gas Tipo 1 disponibilidad gas Tipo 2 venta gasolina para avión



40

Bonini, Hansman, Bierman. Análisis Cuantitativo para los Negocios. Novena Edición. Irwin McGrawHill. Pag. 46 Oswaldo Paul Rivadeneira

Página:




Solución: Z = 3´355.454.5 X1 = 7.272,72 X2 = 22.727,27 X3 = 1.818,18 X4 = 68.181,82 138. Una fábrica produce cuatro artículos: A, B, C y D. Cada cantidad del producto A requiere de dos horas de maquinado, una hora de montaje y $10 de inventario en proceso. Cada unidad del producto B requiere de una hora de maquinado, tres horas de montaje y $5 de inventario en proceso. Cada unidad del producto C requiere de dos y media horas de maquinado, dos y media horas de montaje y $2 de inventario en proceso. Finalmente, cada unidad del producto D requiere de cinco horas de maquinado, ninguna de montaje y $12 de inventario en proceso.


Página:



La fábrica dispone de 120 000 horas de tiempo de maquinado y 160 000 horas de tiempo de montaje. Además, no puede tener más de un millón de dólares de inventario en proceso. Cada unidad del producto A genera una utilidad de $40, cada unidad del producto B genera una utilidad de $24, cada unidad de producto C genera una utilidad de $36 y cada unidad del producto D genera una utilidad de $23. No pueden venderse más de 20 000 unidades del producto A, 16 000 unidades del producto C, y pueden venderse la cantidad que se quiera de los productos B y D. Sin embargo, deben producir y vender por lo menos 10 000 unidades del producto D para cumplir con los requerimientos de un contrato. Sobre estas condiciones, formular un problema de programación lineal. El objetivo de la fábrica es maximizar la utilidad resultante de la venta de los cuatro productos.41 Resumen: Proceso Maquinado Montaje Inventario Utilidad

A 2 hr 1 hr $10 $40

Producto B C 1 hr 2,5 hr 3 hr 2,5 hr $5 $2 $24 $36

D 5 hr 0 hr $12 $23

Disponible (horas) 120.000 160.000 1’000.000

Formulación del problema: 

Definición de variables: X1 = Número de unidades del producto A X2 = Número de unidades del producto B X3 = Número de unidades del producto C X4 = Número de unidades del producto D



Función objetivo: Maximizar Z = 40X1 + 24X2 + 36X3 + 23X4



Restricciones: 2X1 + X2 + 2.5X3 + 5 X4 ≤ 120.000 disponibilidad de maquinado X1 + 3X2 + 2.5X3 + 0 X4 ≤ 160.000 disponibilidad de montaje 10X1 + 5X2 + 2X3 + 12 X4 ≤ 1’ 000.000 disponibilidad de inventario limite de venta producto A X1 ≤ 20.000 X3 ≤ 16.000 límite de venta del producto C X4 ≥ 10.000 contrato del producto D



No negatividad: Xi ≥0 ; i = 1, 4

41

Bonini, Hansman, Bierman. Análisis Cuantitativo para los Negocios. Novena Edición. Irwin McGraw Hill. Pag. 57 Oswaldo Paul Rivadeneira

Página:





Solución: Z = 1’ 830.000 X1 = 10.000 X2 = 50.000 X3 = 0 X4 = 10.000 139. La U-Save Loan Company está planeando sus operaciones para el próximo año. La empresa hace cinco tipos de préstamos, que se indican a continuación, con un retorno anual (en porcentaje) para ella. Tipo de préstamo

Retorno anual

Préstamos quirografarios Préstamos para muebles Préstamos para automóviles Hipotecas de bienes raíces en segundo grado

15 12 9 10


Página:



Hipotecas de bienes raíces en primer grado

7

Los requerimientos legales y la política de la empresa establecen los siguientes límites en las cantidades de los distintos tipos de préstamos. Los préstamos quirografarios no pueden exceder del 10% del total de Tipo de préstamos. La cantidad de préstamos quirografarios y para muebles no puede exceder de 20% del total de tipo de préstamos. Las hipotecas en primer grado deben ser por lo menos de 40% del total de hipotecas y, por lo menos, 20% de la cantidad total de tipo de préstamos. Las hipotecas en segundo grado no pueden exceder de 25% de la cantidad total de tipo de préstamos. La empresa debe maximizar los ingresos de los intereses de los préstamos, sujetándose a las restricciones indicadas. La empresa puede prestar un máximo de $1,5 millones.42



Formulación del Problema: Definición de variables X1 = Monto en dólares para Préstamos Quirografarios X2 = Monto en dólares para Préstamos para Muebles X3 = Monto en dólares para préstamos para Automóviles X4 = Monto en dólares para Hipotecas de bienes raíces en segundo grado X5 = Monto en dólares para Hipotecas de bienes raíces en primer grado



Función objetivo: Maximizar Z = 0.15X1 + 0.12X 2 + 0.09X3 + 0.10X4 + 0.07X5



Restricciones X1 ≤ 0.10 (X 1 +X2 +X3 + X4 + X5) límite en monto de pres. quirograf. 0.90X1 – 0.10X2 – 0.10X3 – 0.10X4 – 0.10X5 ≤ 0 X1 + X2 ≤ 0.20 (X1 + X2 + X3 + X4 + X5) límite en monto para prest. 0.80X1 + 0.80X2 – 0.20X3 – 0.20X4 – 0.20X5 ≤ 0 quiro. + muebles X5 ≥ 0.40 (X 4 + X5) - 0.40X4 + 0.60X5 ≥ 0

límite de monto en hipotecas

X5 ≥ 0.20 (X1 + X2 + X3 + X4 + X5) límite monto del total de prest. - 0.20X1 – 0.20X2 – 0.20X3 – 0.20X4 + 0.80X5 ≥ 0 X4 ≤ 0.25(X 1 + X2 + X3 + X4 + X5) límite en hipotecas de 2do grado - 0.25X1 – 0.25X2 – 0.25X3 + 0.75X4 – 0.25X5 ≤ 0 X1 + X2 + X3+ X4 + X5 ≤ 1’ 500.000 monto disponible 42


Página:





No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 5 Datos de entrada para el Solver


140. Una fábrica venden dos tipos de productos diferentes, A y B. La información sobre el precio de venta y el costo incremental es la siguiente: Precio de venta Costo incremental Utilidad incremental

Producto A $60 $30 $30

Producto B $40 $10 $30

Los dos productos se fabrican dentro de un proceso común y se venden en dos mercados diferentes. El proceso de producción tiene una capacidad de 30 000 horas de mano de obra, se requiere de tres horas para elaborar una unidad de A y una hora para producir una unidad de B. El mercado ya fue estudiado, por lo que los funcionarios de la empresa consideran que la cantidad máxima de las unidades de A que puede venderse es de 8 000; la cantidad máxima de B es de 12 000 Oswaldo Paul Rivadeneira

Página:



unidades. De acuerdo con estas limitaciones, los productos pueden venderse en cualquier combinación. Formular esta situación como un problema de programación lineal.43 

 



Formulación del problema Definición de variables X1 = Número de unidades del producto A X2 = Número de unidades del producto B Función objetivo: Maximizar Z = 30X1 + 30X2 Restricciones 3X1 + 1X2 ≤ 30.000 por mano de obra X1 ≤ 8.000 venta de A X2 ≤ 12.000 venta de B No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 2 Solución GLP Payoff: 30.0 X1 + 30.0 X2 = 540000.0 X2 11995 11400 10805 10210 9615 9020 8425 7830 7235 6640 6045 5450 4855 4260 3665 3070 2475 1880 1285 690 95

30

: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 12000.0

: 3.0 X1 + 1.0 X2 = 30000.0

: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 8000.0

428

826

1224 1622 2020 2418 2816 3214 3612 4010 4408 4806 5204 5602 6000 6398 6796 7194 7592 7990


: 3.0X1 + 1.0X2 <= 30000.0 : 1.0X1 + 0.0X2 <= 8000.0 : 0.0X1 + 1.0X2 <= 12000.0

Datos entrada Solver

43

Bonini, Hansman, Bierman. Análisis Cuantitativo para los Negocios. Novena Edición. Irwin McGrawHill. Pag. 58


Página:

X1



Datos salida Solver

141. Recientemente, la empresa EMBUTIDOS experimentó drásticos cambios en los precios de la materia prima; por los que el gerente ordenó a un analista reexaminar las proporciones de las mezclas de los ingredientes para la producción de salchichas. La producción de salchichas implica cumplir con dos requisitos esenciales para el producto. El porcentaje de proteínas, por peso, debe ser al menos 15%, y el porcentaje de grasa, por peso, no puede exceder de 30% (el peso restante es relleno). La empresa tiene cuatro materia primas disponibles para la mezcla, con las siguientes características: Ingrediente A B C D


Porcentaje de Proteínas 40 20 10 5

Porcentaje de Grasa 10 15 35 40

Costo por Libra $1.80 $0.75 $0.40 $0.15

Página:



Formular el problema de programación lineal que le ayude a la empresa a determinar el problema de mezcla más apropiado 44 

Formulación del problema: Definición de variables X1 = Cantidad en libras del ingrediente A X2 = Cantidad en libras del ingrediente B X3 = Cantidad en libras del ingrediente C X4 = Cantidad en libras del ingrediente D



Función objetivo Minimizar Z = 1.80X 1 + 0.75X2 + 0.40X3 + 0.15X4



Restricciones 0.40X1 + 0.20X2 + 0.10X3 + 0.05X4 ≥ 0.15 proteínas 0.10X1 + 0.15X2 + 0.35X3 + 0.40X4 ≤ 0.30 grasas X1 + X2 + X3 + X4 = 1 total libra de mezcla



No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 4 Datos de entrada para Solver


44


Página:



142. Un fabricante de muebles produce dos tipos de escritorios: estándar y ejecutivo. Estos escritorios se venden a un mayorista de mobiliario de oficina; y para todo fin práctico existe un mercado ilimitado para cualquier mezcla de ellos; al menos dentro de la capacidad de producción del fabricante. Cada escritorio debe pasar por cuatro operaciones básicas: corte de madera, ensamble de las piezas, preacabado y acabado final. Cada unidad producida del escritorio del escritorio estándar requiere de 48 min de tiempo de corte, 2 horas de ensamble, 40 min de pre-acabado y 5 horas y 20 min de tiempo de acabado final. Cada unidad de escritorio ejecutivo requiere de 72 min de corte, 3 horas de ensamble, 2 horas de pre-acabado y 4 horas de tiempo de acabado final. La capacidad diaria para cada operación equivale a 16 horas de corte, 30 horas de ensamble, 16 horas de pre-acabado y 64 horas de acabado final. El beneficio por unidad producida es de $40 para el escritorio estándar y de $50 para el escritorio ejecutivo. ¿Qué mezcla de productos es óptima? 45 

Formulación del problema Definición de variables X1 = Número de unidades de escritorios estándar X2 = Número de unidades de escritorios ejecutivos



Función objetivo: Maximizar Z = 40X 1 + 50X2



Restricciones 0.8X1 + 1.2X2 ≤ 16 2.0X1 + 3.0X2 ≤ 30 0.6667X1 + 2.0X2 ≤ 16 5.3334X1 + 4.0X2 ≤ 64



horas de corte horas de ensamblaje horas de pre-acabado horas acabado final

No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 2 Solución GLP

45

Hans G. Daellenbach. Introducción a Técnicas de Investigación de Operaciones. CECSA. Pag.59


Página:



12 11

10

Payoff: 40.000 X1 + 50.000 X2 = 559.998

9 8

: 5.333 X1 + 4.000 X2 = 64.000

7 6 5

: 0.667 X1 + 2.000 X2 = 16.000 : 0.800 X1 + 1.200 X2 = 16.000

4

: 2.000 X1 + 3.000 X2 = 30.000 3

2 1 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Optimal Decisions(X1,X2): (9.000, 4.000) : 0.800X1 + 1.200X2 <= 16.000

: 2.000X1 + 3.000X2 <= 30.000 : 0.667X1 + 2.000X2 <= 16.000 : 5.333X1 + 4.000X2 <= 64.000


Datos salida Solver


Página:

16

17

18

19



143. Un fabricante de alimento para pollos desea determinar la mezcla de menor costo para una fórmula de altas proteínas que contiene 90 gr. de nutriente A, 48 gr. de nutriente B, 20 gr. de nutriente C y 1.5 gr. de vitamina X por cada kg. de alimento. Puede mezclar la fórmula empleando dos ingredientes y otro de relleno. El ingrediente 1 contiene 100 gr. de nutriente A, 80 gr. de nutriente B, 40 gr. de nutriente C y 10 gr. de vitamina X; y cuesta $0.40 por Kg. El ingrediente 2 contiene 200 gr. de A, 150 gr. de B, 20 gr. de C, nada de vitamina X y cuesta $0.60 por kg.46 Formulación del problema:  Definición de variables X1 = Cantidad de Kg. de ingrediente Tipo 1 X2 = Cantidad de Kg. de ingrediente Tipo 2  



Función objetivo: Minimizar Z = 0.40X1 + 0.60X2 Restricciones 100X1 + 200X2 = 90 Nutriente A 80X1 + 150X2 = 48 Nutriente B 40X1 + 20X2 = 20 Nutriente C 10X1 + 0X2 = 1.5 Vitamina X No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 2 Son ecuaciones redundantes, para su solución se asume que cumplirán al menos los pedidos de los ingredientes, sus resultados serán analizados por un dietista para no incurrir en daños a los pollos, entonces:



46

Restricciones 100X1 + 200X2 ≥ 90 80X1 + 150X2 ≥ 48 40X1 + 20X2 ≥ 20 10X1 + 0X2 ≥ 1.5

Nutriente A Nutriente B Nutriente C Vitamina X

Hans G. Daellenbach. Introducción a Técnicas de Investigación de Operaciones. CECSA. Pag. 90


Página:




Datos salida Solver

En la solución gráfica puede notarse las ecuaciones redundantes:


Página:



144. Una compañía produce tres tipos de productos químicos refinados: A, B y C. Es necesario producir diariamente al menos 4 ton de A, 2 ton de B y 1 ton de C. Los productos de entrada son los compuestos X y Y. Cada tonelada de X proporciona 0.25 ton de A, 0.25 ton de B y 0,0834 ton de C. Cada tonelada de Y rinde 0.5 ton de A, 0.10 ton de B y 0.0834 ton de C. La tonelada de compuesto X cuesta $250 y el compuesto Y $400. El costo de procesamiento es de $250 por ton de X y $200 por ton de Y. Las cantidades producidas que excedan los requerimientos diarios no tienen valor, ya que el producto sufre cambios químicos si no se utiliza de inmediato. El problema consiste en determinar la mezcla con costo mínimo de entrada. 47 Formulación del problema  Definición de variables X1 = Toneladas de compuesto X X2 = Toneladas de compuesto Y  

47

Función objetivo: Minimizar Z = 500X 1 + 600X2 Restricciones 0.25X1 + 0.5X2 ≥ 4 toneladas de A 0.25X1 + 0.10X2 ≥ 2 toneladas de B



Página:



0.0834X1 + 0.0834X2 ≥ 1 

toneladas de C

No negatividad Xi ≥0; i = 1, 2 Solución GLP

9 Payoff: 500.0000 X1 + 600.0000 X2 = 6396.1630

8

7

: 0.2500 X1 + 0.1000 X2 = 2.0000 6

5

4

: 0.2500 X1 + 0.5000 X2 = 4.0000 3

: 0.0834 X1 + 0.0834 X2 = 1.0000 2

1

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22


: 0.2500X1 + 0.5000X2 >= 4.0000 : 0.2500X1 + 0.1000X2 >= 2.0000 : 0.0834X1 + 0.0834X2 >= 1.0000


Datos de salida Solver


Página:

23

24

X1



145. La Palysafe Insurane Company of Knockville, ME, dispone de fondos ociosos por un total de $20 millones, disponible para inversiones a corto y largo plazo. Las especificaciones gubernamentales requieren que no más del 80% de todas las inversiones sean a largo plazo; no más del 40% de inviertan a corto plazo; y que la razón entre las inversiones a largo y corto plazo no sean mayor de 3 a 1. Actualmente, las inversiones a largo plazo rinden el 15% anual; mientras que la tasa anual para las inversiones a corto plazo es del 10%. Plantéese este problema como programa lineal con el objetivo de maximizar el beneficio ponderado. 48



Formulación del Problema Definición de variables X1 = Cantidad en millones de dólares para inversión a corto plazo X2 = Cantidad en millones de dólares para inversión a largo plazo



Función objetivo: Maximizar Z = 0.10X1 + 0.15X2



Restricciones X1 + X2 ≤ 20 X2 ≤ 0.80(X1 + X2) 0.80X1 – 0.20X2 ≥ 0 X2 ≤ 0.40(X1 + X2) 0.40X1 - 0.60X2 ≥ 0 X2 /X1 ≤ 3/1 3X1 – X2 ≥ 0



fondos para inversión inversiones a largo plazo inversiones a corto plazo relación entre inversiones

No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 2 Solución GLP

48

Hans G. Daellenbach. Introducción a Técnicas de Inve stigación de Operaciones. CECSA. Pag. 90


Página:


Payoff: 0.1 X1 +


0.1 X2 = 2.4

X2 12 11

10

: 0.4 X1 - 0.6 X2 = 0.0

: 0.8 X1 - 0.2 X2 = 0.0

9 8

: 3.0 X1 - 1.0 X2 = 0.0

7 6 5

: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 20.0

4 3 2 1 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

X1

Optimal Decisions(X1,X2): (12.0, 8.0) : 1.0X1 + 1.0X2 <= 20.0 : 0.8X1 -

0.2X2 >=

0.0

: 0.4X1 -

0.6X2 >=

0.0

: 3.0X1 -

1.0X2 >=

0.0


Datos de salida de Solver


Página:



146. Un fabricante de botes de fibra de vidrio produce cuatro modelos diferentes que deben pasar por tres operaciones diferentes: moldeado, ensamblado y acabado. La tabla dada contiene toda la información necesaria. Moldeado Modelo (h/unid) 1 2.8 2 2.1 3 4 4 3 Capac./ semana 48 h

Ensamble (h/unid) 5 3 6 4

Acabado (h/unid) 10 7.5 12 3

Compuesto de moldeado Beneficio (gal/unid) ($/unid) 200 160 200 124 280 212 220 170

96 h

160 h

4800 gal

Los pronósticos de venta indican que, en promedio, no deben producirse por semana más de 8 unidades del modelo 4. Excepto por esta restricción, la demanda será suficiente para absorber cualquier cantidad producida. El objetivo es maximizar los beneficios.49 Formulación del Problema Definición de variables X1 = Número de unidades del modelo 1 X2 = Número de unidades del modelo 2 X3 = Número de unidades del modelo 3 X4 = Número de unidades del modelo 4 

49



Función objetivo: Maximizar Z = 160X1 + 124X2 +212X3 + 170 X4



Restricciones 2.8X1 + 2.1X2 + 4X3 + 3X4 ≤ 48 5X1 + 3X2 + 6X3 + 4X4 ≤ 96 10X1 + 7.5X2 + 12X3 + 3 X4 ≤ 160 200X1 + 200X2 + 280X3 + 220X4 ≤ 4800

horas de moldeado horas de ensamble horas de acabado galones para moldeado



Página:



X4 ≤ 8 




147. En una compañía se fabrican tres productos A, B y C. Los tres productos comparten en sus procesos de producción cuatro máquinas X, Y, S y T. El producto A utiliza tres operaciones en las máquinas X, S y T. El producto B utiliza sólo dos operaciones en las máquinas X y S o en las máquinas Y y T. El producto C puede fabricarse utilizando las maquinas X y S o en las máquinas Y, S y T. El tiempo necesario en minutos por unidad producida, para cada posibilidad de producción en cada máquina, y el costo variable de producción por minuto para cada máquina se condensan en la siguiente tabla. Tiempo (en min/unidad de máquina) Producto Proceso X Y A 1 10 B 1 8 2 6 C 1 8 Oswaldo Paul Rivadeneira

S 6 10

T 3 9

16

Código A B1 B2 C1 Página:



2 Costo var /min ($)

0.40

10

3

8

0.50

0.24

0.30

C2

Cada máquina tiene una capacidad diaria de producción de 480 minutos. La demandas mínimas de los tres productos son 36 para A, 45 para B y 10 para C. El objetivo consiste en determinar el esquema de producción que minimice el costo total variable de producción.50



Formulación del problema: Definición de variables X1 = número de unidades del producto A, con el proceso 1 X2 = número de unidades del producto B, con el proceso 1 X3 = número de unidades del producto B, con el proceso 2 X4 = número de unidades del producto C, con el proceso 1 X5 = número de unidades del producto C, con el proceso 2



Función objetivo: Minimizar Z = 0.40(10X 1 + 8X2 + 8X4) + 0.50(6X 3 + 10X5) + 0.24(6X 1 +10X2 + 16X4 + 3X5) + 0.30(3X 1 + 9X3 + 8X5) Minimizar Z = 6.34X1 + 5.6X2 + 5.7X3 + 7.04X 4 + 8.12X5



Restricciones 10X1 + 8X2 + 8X4 ≤ 480 capacidad maquina X 6X3 + 10X5 ≤ 480 capacidad maquina Y 6X1 +10X2 + 16X4 + 3X5 ≤ 480 capacidad maquina S 3X1 + 9X3 + 8X5 ≤ 480 capacidad maquina T X1 ≥ 36 demanda del producto A X2 + X3 ≥ 45 demanda del producto B X4 + X5 ≥ 10 demanda del producto C





50



Página:




148. Usted está organizando una fiesta y dispone de de las siguientes cantidades de licor: 48 onz líquidas de whisky, 72 onz líquidas de vodka, 64 onz líquidas de vermouth blanco, 72 onz de vermouth rojo, 24 onz líquidas de brandy y 18 onz líquidas de licor de café. Usted piensa preparar las siguientes bebidas: Chauncies, Rusos Negros, Italianos Dulces, Cócteles Molotov (Martinis Rusos) y Whisky en las rocas. Un Chauncy consiste en 2/3 de whisky y 1/3 de vermouth rojo. Un Ruso Negro consiste de ¾ de vodka y ¼ de licor de café. Un Italiano Dulce consiste de ¼ de brandy, ½ de vermouth rojo y ¼ vermouth blanco. Los Cócteles Molotov son una mezcla de 2/3 de vodka y 1/3 de vermouth blanco. Por último el Whisky en las rocas consiste sólo de whisky. Cada trago contiene 4 onz líquidas. Su objetivo es mezclar los ingredientes, en forma tal, que pueda prepararse el mayor número de posible de tragos. Sin embargo, Usted considera que es necesario preparar cuando menos el doble de Cócteles Molotov que de Rusos Negros, para proporcionar una selección equilibrada. Plantéese como un problema de programación lineal.51 Resumen:

51



Página:


Licores Whisky Vodka Verm.B. Verm.R. Brandy Lic. Café 

Mezclas (tragos de 4 onzas) Rusos Italianos Cócteles negros dulces molotov chauncies 2/3*4 ¾*4 2/3*4 ¼*4 1/3*4 1/3*4 2/4*4 ¼*4 ¼*4


Whisky en rocas 1*4

Cantidad Disponible (onz) 48 72 64 72 24 18

Formulación del problema: Definición de variables: X1 = Número de tragos de Chauncies X2 = Número de tragos de Rusos Negros X3 = Número de tragos de Italianos Dulces X4 = Número de tragos de Cócteles Molotov X5 = Número de tragos de Whisky en las Rocas



Función objetivo: Maximizar Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5



Restricciones: 2/3*4 X 1 + 4X5 ≤ 48 por contenido de whisky 2X1 + 3X5 ≤ 36 ¾*4X2 + 2/3*4X 4 ≤ 72 9X2 + 8X4 ≤ 216 por contenido de Vodka ≤ ¼*4X3 + 1/3*4X4 64 3X3 + 4X4≤ 192 por contenido de Vermouth Blanco 1/3*4X 1 + 2/4*4X 3 ≤ 72 4X1 + 6X3 ≤ 216 por contenido de vermouth Rojo ¼*4X3 ≤ 24 X3 ≤ 24 por contenido de Brandy ¼*4X2 ≤ 18 X2 ≤ 18 por contenido de Licor de Café 2X2 ≥ X4 2X2 – X4 ≤ 0 relación de Cócteles Molotov/Rusos Negros




Solución: Datos de entrada para Solver


Página:




149. ProTrac,Inc. Produce dos líneas de máquina pesada. Una de sus líneas de productos, llamada equipo de excavación, se utiliza de manera primordial en aplicaciones de construcción. La otra línea, denominada equipo de la silvicultura, está destinada a la industria maderera. Tanto la máquina más grande de la línea de excavación (la E-9), como la mayor de toda la línea del equipo de silvicultura (la F-9) son fabricadas en los mismos departamentos y con el mismo equipo. Empleando las proyecciones económicas correspondientes al siguiente mes, el gerente de Mercadotecnia de ProTrac ha considerado que durante ese período será posible vender todas las E-9 y F-9 que la compañía sea capaz de producir. La gerencia tiene que recomendar ahora una meta de producción para el mes próximo. Es decir, ¿cuántas E-9 y F-9 deberán fabricar si la dirección de ProTrac desea maximizar la contribución del mes entrante a la ganancia ( es decir, el margen de contribución, definido como los ingresos menos los costos variables) La toma de decisiones requiere la consideración de los siguientes factores importantes: a. El margen de contribución unitaria de ProTrac es de $ 5.000 por cada E-9 vendida y de $ 4.000 por cada F-9 b. Cada producto pasa por las operaciones de maquinado, tanto en el departamento A como en el departamento B. Oswaldo Paul Rivadeneira

Página:



c. Para la producción correspondiente al mes próximo, estos dos departamentos tiene tiempos disponibles de 150 y 160 horas, respectivamente. La fabricación de cada E-9 requiere 10 horas de maquinado en el departamento A y 20 horas en el departamento B, mientras que cada F-9 requiere 15 horas horas en el departamento a y 10 en el B. d. Para que la administración cumpla con el acuerdo concertado con el sindicato, las horas totales de trabajo invertidas el la prueba de productos terminados del siguiente mes no deben ser más allá del 10% inferior a una meta convenida de 150 horas. Estas pruebas se llevan a cabo en un tercer departamento y no tienen nada que ver con las actividades de los departamentos A y B. Cada E-9 es sometida a pruebas durante 30 horas y cada F-9 durante 10. e. Con el fin de mantener su posición actual en el mercado, la alta gerencia ha decretado como política operativa: que deberá construirse cuando menos una F-9 por cada tres E-9 que sean fabricadas. f. Uno de los principales distribuidores ha ordenado un total de cuando menos cinco E-9 y F-9 (en cualquier combinación) para el próximo mes, por lo cual tendrá que producirse por lo menos esa cantidad.52 Resumen de datos:

Dep. A Dep. B Hora de prueba

Maq. E-9 10 20 30

HORAS Maq. F-9 15 10 10

Total disponible 150 160 135 (150-10%)

Producir cuando menos 1 F-9 por cada 3 E-9: 1( E  9)  3( F Formulación del modelo 1. Definición de variables (variables de decisión)

 9)

E-9 = número de unidades de maquinas tipo E-9 F-9 = número de unidades de máquinas tipo F-9 2. Función objetivo Maximizar Z = 5000 E-9 + 4000 F-9 3. Restricciones (ecuaciones de restricción) 10(E-9) + 15(F-9) ≤ 150 20(E-9) + 10(F-9) ≤ 160 30(E-9) + 10(F-9) ≥ 135 1(E-9) - 3(F-9) ≤ 0 1(E-9) + 1(F-9) ≥ 5 1(E-9) ≥ 0 1(F-9) ≥ 0 52

Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prentice Hall. Pag 69


Página:



Solución gráfica:

Solución matemática (analítica) Datos iniciales antes de aplicas SOLVER:

Definiciones de datos para SOLVER y resolver:


Página:



Resultados del modelo:


Página:



150. La empresa Crawler Tread, desea mezclar minerales de hierro de cuatro minas distintas para fabricar rodamientos destinados a un nuevo producto de Protrac: un tractor tipo oruga de tamaño mediano, el E-6, diseñado especialmente para competir en el mercado europeo. Por medio del análisis se ha demostrado que , para producir una mezcla dotada de las cualidades de tracción adecuadas, deben cumplirse requerimientos mínimos en relación con tres elementos básicos que, para simplificar, señalaremos aquí como A, B, C. En términos específicos, cada tonelada de mineral deberá contener cuando menos cinco libras del elemento básico A, 100 libras del elemento básico B y 30 libras del elemento básico C. El mineral extraído de cada una de las cuatro minas posee los tres elementos básicos, pero en cantidades distintas. Estas composiciones expresadas en libras por tonelada, se enumeran en la siguiente tabla: Composiciones obtenidas de cada mina Elemento MINA (libras por tonelada de cada elemento) básico 1 2 3 4 A 10 3 8 2 B 90 150 75 175 C 45 25 20 37 Costo/tonelada de mineral $ 800 $ 400 $ 600 $ 500 El objetivo del administrador es descubrir una mezcla factible de costo mínimo.53 Formulación del problema: 1. Definición de variables T1 = fracción de toneladas de la mina 1 T2 = fracción de toneladas de la mina 2 T3 = fracción de toneladas de la mina 3 T4 = fracción de toneladas de la mina 4 2. Función objetivo Minimizar Z = 800 T1 + 400 T2 + 600 T3 + 500 T4 3. Restricciones 10 T1 + 3 T2 + 8 T3 + 2 T4 ≥ 5 (elemento A) 90 T1 + 150 T2 + 75 T3 + 175 T4 ≥ 100 (elemento B) 45 T1 + 25 T2 + 20 T3 + 37 T4 ≥ 30 (elemento A) T1 + T2 + T3 + T4 = 1 (balance) T1, T2, T3, T4 ≥ 0 (no negatividad)

53



Página:



Solución: para hoja de cálculo Datos originales:

Resultados :


Página:



151. Una compañía (ASTRO Y COSMOS) fabricante de TV produce dos modelos de aparatos televisores, el astro y el Cosmo. Hay dos líneas de producción, una para cada modelo, e intervienen dos departamentos en la producción de cada modelo. La capacidad de la línea de producción del Astro es de 70 aparatos de TV por día. La capacidad de la línea Cosmo es de 50 televisores diarios. En el departamento A se fabrican los cinescopios. En este departamento se requiere una hora de trabajo para cada modelo Astro y dos horas de trabajo para cada modelo Cosmo. En la actualidad puede asignarse un máximo de 120 horas de trabajo diarias para la producción de ambos tipos de aparato en el departamento A. En el departamento B se construye el chasis. Aquí se requiere una hora de trabajo para cada televisor Astro y también una hora para cada modelo Cosmo. Actualmente se puede asignar 90 horas de trabajo al departamento B para la producción de ambos modelos. La contribución a las ganancias es de 20 y 10 dólares, respectivamente, por cada televisor Astro y Cosmo. Si la compañía sabe que puede vender todos los aparatos Astro y Cosmo que sea capaz de fabricar. ¿cuál deberá ser el plan de producción por cada día (es decir, la producción diaria) para cada modelo?54 Formulación del problema:  Definición de variables X1 = número de unidades de TV Astro X2 = número de unidades de TV Cosmo  



Función objetivo: Maximizar Z = 20X1 + 10X2 Restricciones X1 + 2X2 ≤ 120 capacidad Dep. A X1 + X2 ≤ 90 capacidad Dep. B X1 ≤ 70 capacidad de línea Astro X2 ≤ 50 capacidad de línea Cosmo No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 2 Solución GLP

54



Página:



Payoff: 20.0 X1 + 10.0 X2 = 1600.0

X2 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16

12 8 6

4

: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 50.0 : 1.0 X1 + 0.0 X2 = 70.0 : 1.0 X1 + 1.0 X2 = 90.0

2

0

: 1.0 X1 + 2.0 X2 = 120.0 0 5 10 15 20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

Optimal Decisions(X1,X2): (70.0, 20.0) : 1.0X1 + 2.0X2 <= 120.0 : 1.0X1 + 1.0X2 <= 90.0 : 1.0X1 + 0.0X2 <= 70.0 : 0.0X1 + 1.0X2 <= 50.0

Datos de entrada para solver



Página:

X1



152. De los muchos productos que fabrica la Arco Manufacturing Company, sólo los productos C, D, E y F pasan por los siguientes departamentos: cepillado, fresado, taladrado y ensamble. Los requerimientos por unidad de producto en horas y contribución son los siguientes: Departamento Producto Cepillado Fresado Taladrado Ensamble Contr./Unidad C 0.5 2.0 0.5 3.0 $8 D 1.0 1.0 0.5 1.0 $9 E 1.0 1.0 1.0 2.0 $7 F 0.5 1.0 1.0 3.0 $6 Las capacidades disponibles en este mes para los productos C, D, E y F, así como los requerimientos mínimos de venta, son: Departamento Capacidad(horas) Producto Req. Mínimos Venta Cepillado 1800 C 100 unidades Fresado 2800 D 600 unidades Taladrado 3000 E 500 unidades Ensamble 6000 F 400 unidades Determínese la cantidad de los productos C, D, E y F, que tendrá que fabricar este mes para maximizar la contribución.55 

55

Formulación del problema Definición de variables X1 = Número de unidades del producto C X2 = Número de unidades del producto D X3 = Número de unidades del producto E X4 = Número de unidades del producto F

Thierauf. Toma de Decisiones por medio de Investigación de Ope raciones. Limusa. Pag. 274


Página:





Función objetivo: Maximizar Z = 8X 1 + 9X2 + 7X3 +6X4



Restricciones 0.5X1 + 1.0X2 + 1.0X3 + 0.5X4 ≤ 1.800 2.0X1 + 1.0X2 + 1.0X3 + 1.0X4 ≤ 2.800 0.5X1 + 0.5X2 + 1.0X3 + 1.0X4 ≤ 3.000 3.0X1 + 1.0X2 + 2.0X3 + 3.0X4 ≤ 6.000 X1 ≥ 100 X2 ≥ 600 X3 ≥ 500 X4 ≥ 400



capacidad Cepillado capacidad Fresado capacidad Taladrado capacidad Ensamble venta de C venta de D venta de E venta de F

No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 4 Datos de entrada para el Solver



Página:



153. Planificación financiera. Willie Hanes es el presidente de una microempresa de inversiones que se dedica a administrar las carteras de acciones d e varios clientes. Un nuevo cliente ha solicitado que la compañía se haga cargo de administrar para él una cartera de $ 100.000. A ese cliente le agradaría restringir una cartera a una mezcla de tres tipos de acciones únicamente, como podemos apreciar en la siguiente tabla. Formule UD. un PL para mostrar cuántas acciones de cada tipo tendría que comprar Willie con el fin de maximizar el rendimiento anual.56

PRECIO POR ACCION($) ACCIONES Gofer Crude 60 Can Oil 25 Sloth Petroleum 20

RENDIMIENTO ANUAL ESTIMADO POR ACCION ($) 7 3 3

INVERSION MAXIMA POSIBLE ($) 60.000 25.000 30.000

Formulación del problema:  Definición de variables X1 = Número de acciones de Gofer Crude X2 = Número de acciones de Can Oil X3 = Número de acciones de Sloth Petroleum  



Función objetivo: Maximizar Z = 7X1 + 3X2 + 3X3 Restricciones 60X1 ≤ 60.000 inversión máxima de Gofer Crude 25X2 ≤ 25.000 inversión máxima de Can Oil 20X3 ≤ 30.000 inversión máxima de Sloth Petroleum 60X1 + 25X2 + 25X3 ≤ 100.000 inversión total No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 3 Datos de entrada para Solver

56



Página:




154. Planificación de Cartera. Una compañía de inversiones tiene actualmente $ 10 millones disponibles para inversión. La meta que se ha trazado consiste en maximizar la retribución esperada durante el siguiente año. Sus cuatro posibilidades de inversión se presentan resumidas en la siguiente tabla. Además, la compañía ha especificado que cuando menos 30% de los fondos tendrán que colocarse en acciones ordinarias y bonos de la tesorería y que no más del 40% del dinero deberá invertirse en fondos del mercado y títulos municipales. Se invertirá la totalidad de los $ 10 millones actualmente a la mano. Formule un modelo de PL que indique a la empresa cuánto dinero debe invertir en cada instrumento.57 POSIBILIDAD DE INVERSION Bonos de Tesorería Acciones Ordinarias Mercado de Dinero Títulos Municipales 57

RETRIBUCION ESPERADA (%) 8 6 12 9

INVERSION MAXIMA (MILLONES DE $) 5 7 2 4



Página:



Formulación del problema 

Definición de variables X1 = cantidad en dólares en Bonos de Tesorería X2 = cantidad en dólares en Acciones Ordinarias X3 = cantidad en dólares en Mercado de Dinero X4 = cantidad en dólares en Títulos Municipales



Función objetivo: Maximizar Z = 0.08X 1 + 0.06X2 + 0.12X3 + 0.09X4



Restricciones X1 + X2 ≥ 0.30(X1 + X2 + X3 + X4) 0.70X1 + 0.70X2 – 0.30X3 – 0.30X4 ≥ 0 30% de inversión X3 + X4 ≤ 0.40(X1 + X2 + X3 + X4) -0.40X1 – 0.40X2 + 0.60X3 +0.60X4 ≤ 0 40% de inversión X1 ≤ 5’ 000.000 inversión en Bonos de Tesorería X2 ≤ 7’ 000.000 inversión en Acciones Ordinarias X3 ≤ 2’ 000.000 inversión en Mercado de Dinero X4 ≤ 4’ 000.000 inversión en Títulos Municipales X1 + X2 + X3 + X4 ≤ 10’000.000 inversión total




Datos de entrada para el Solver



Página:



155. Wood Walter es propietario de un pequeño taller de fabricación de muebles. En este taller fabrica tres tipos diferentes de mesas: A, B y C. Con cada mesa, se requiere determinado tiempo para cortar las partes que la constituyen, ensamblarlas y pintar la pieza terminada. Word podrá vender todas las mesas que consiga fabricar. Además, el modelo C puede venderse sin pintar. Word emplea a varias personas, las cuales trabajan en turnos parciales, por lo cual el tiempo disponible para realizar cada una de estas actividades es variable de uno a otro mes. A partir de los datos siguientes, formule UD. un modelo de programación lineal que ayude a Word a determinar la mezcla de productos que le permitirá maximizar sus ganancias en el próximo mes. 58 Modelo A B C C sin pintar Capacidad

Corte (hrs) 3 1 4 4 150

Montaje (hrs) 4 2 5 5 200

Pintura (hrs) 5 5 4 0 300

Ganancia por mesa ($) 25 20 50 30

Solución al problema  Definición de variables X1 = Cantidad de mesas Modelo A X2 = Cantidad de mesas Modelo B X3 = Cantidad de mesas Modelo C X4 = Cantidad de mesa Modelo C sin pintar  

58

Función objetivo: Maximizar Z = 25X 1 + 20X2 + 50X3 + 30X4 Restricciones 3X1 + X2 + 4X3 + 4X4 ≤ 150 horas en Corte 4X1 + 2X2 + 5X3 + 5X4 ≤ 200 horas en Montaje 5X1 + 5X2 + 4X3 + 0X4 ≤ 300 horas en Pintura



Página:



No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 4 Datos de entrada para Solver 


156. Douglas E. Starr, administrador de la perrera Heavenly Hound Kennels, Inc, ofrece alojamiento en plan de pensión para mascotas. La comida de los perros alojados en la perrera se prepara mezclando tres productos granulados, con lo cual se obtiene una dieta bien balanceada para los canes. La información sobre los tres productos se muestra en la siguiente tabla. Si Douglas quiere asegurarse de que cada uno de sus perros ingiera diariamente cuando menos 8 onzas de proteínas, 1 onza de carbohidratos y no más de 0.5 onzas de grasas.¿qué cantidad de cada producto en grano deberá incluirse en el alimento de los perros a fin de minimizar los costos de Douglas? (Nota: 16 onzas = 1 libra) 59 PRODUCTO EN GRANO A B C

COSTO POR LIBRA($) 0.45 0.38 0.27

PROTEINAS (%) 62 55 36

CARBOHIDRATOS (%) 5 10 20

GRASAS (%) 3 2 1

Solución del problema 59



Página:





Definición de variables X1 = Cantidad en libras de producto A X2 = Cantidad en libras del producto B X3 = Cantidad en libras del producto C



Función objetivo: Minimizar Z = 0.45X 1 + 0.38X2 + 0.27X3 Restricciones 0.62X1 + 0.55X2 + 0.36X3 ≥ 0.5 por proteínas 0.05X1 + 0.10X2 + 0.20X3 ≥ 0.0625 por carbohidratos 0.03X1 + 0.02X2 + 0.01X3 ≤ 0.03125 por grasas No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 3







157. McNaughton, Inc. Produce dos salsas para carne: Spicy Diablo y Red Baron (la más suave). Esta salsa de hacen mezclando dos ingrediente, A y B. Se permite cierto nivel de flexibilidad en las fórmulas de estos productos. Los porcentajes permisibles, así como la información de ingresos y costos, aparecen en la siguiente tabla. Es posible comprar hasta 40 litros de A y 30 de B. McNaughton puede vender toda la salsa que elabore. Formule un modelo de programación


Página:



lineal cuyo objetivo sea maximizar las ganancias netas obtenidas por la venta de estas salsas.60 INGREDIENTE SALSA A B Spicy Diablo Cuando menos 25% Cuando menos 50% Red Baron Cuando mucho 75% * Costo por litro 1.60 2.59 * no existe un porcentaje máximo o mínimo explícito

PRECIO DE VENTA POR LITRO 3.35 2.85

Solución del problema  Definición de variables X1 = Cantidad de litros de ingrediente A para Salsa Spicy Diablo X2 = Cantidad de litros de ingrediente A para Salsa Red Baron X3 = Cantidad de litros de ingrediente B para Salsa Spicy Diablo X4 = Cantidad de litros de ingrediente B para Salsa Red Baron 

Función objetivo: Maximizar Z = 3.35(X 1 + X3) + 2.85(X2 + X4) – 1.6(X1 + X2) – 2.59(X3 + X4) Z = 1.75X1 + 0.76X2 + 1.25X3 + 0.26X4



Restricciones X1 ≥ 0.25(X1 + X3) 0.75X1 – 0.25X3 ≥ 0 X2 ≤ 0.75(X2 + X4) 0.25X2 – 0.75X4 ≤ 0 X3 ≥ 0.50(X1 + X3) -0.50X1 + 0.50X3 ≥ 0 X1 + X2 ≤ 40 X3 + X4 ≤ 30



contenido de A en la salsa Spicy contenido de A en la salsa Red contenido de B en la salsa Spicy máxima compra de litros de A máxima compra de litros de B


Datos para entrada del Solver

60



Página:



Salida del Solver

158. La Corey Ander’s Spice Company dispone de una cantidad limitada de tres ingredientes que se utiliza para producción de condimentos. Corey emplea los tres ingredientes (HB01, HB02 y HB03) para la elaboración de cúrcuma y pimentón. El departamento de mercadotecnia informa que la compañía puede vender todo el pimentón que sea capaz de producir, pero solamente se puede vender un máximo de 1700 botellas de cúrcuma. Los ingredientes no utilizados podrán venderse en el mercado. Los precios están expresados en $/onza. Los precios actuales son: HB01, $0.60; HB02, $0.70; HB03, $0.55. Además, Corey ha firmado un contrato para suministrar 600 botellas de pimentón a Wal-Mart. En la siguiente tabla se ofrece información adicional. Formule el problema de Corey como un modelo de programación lineal para maximización de ingresos. 61

Cúrcuma Pimentón Disponibilidad 61

INGREDIENTES (ONZ/BOTELLA) HB01 HB02 HB03 4 2 1 3 2 3

PRECIO VENTA DEMANDA (BOTELLAS) /BOTELLA 1700 3.25 ilimitada 2.75

Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia a dministrativa. Prentice Hall. Pag 115


Página:



(onzas)

8000

9000

7000

Solución del problema  Definición de variables X1 = Cantidad de botellas de Cúrcuma X2 = Cantidad de botellas de Pimentón 





Función objetivo Maximizar Z = 3.25X1 + 2.75X2 + 0.60(8000 – 4X1 – 3X2) + 0.70(9000 – 2X1 – 2X2) + 0.55(7000 – X1 – 3X2) Z = 14.950 – 5.45X1 – 6.95X2 Restricciones 4X1 + 3X2 ≤ 8000 por onzas de HB01 2X1 + 2X2 ≤ 9000 por onzas de HB02 1X1 + 3X2 ≤ 7000 por onzas de HB03 X1 ≤ 1.700 botellas de Cúrcuma X2 ≥ 600 contrato para Pimentón No negatividad Xi ≥ 0; i = 1, 2

Solución GLP

: 2.0 X1 + 2.0 X2 = 9000.0 X2 1701 1621 1541 1461 1381

: 4.0 X1 + 3.0 X2 = 8000.0

: 1.0 X1 +

1301 1221 1141 1061 981 901 741 661 581 421 341 261 181 101

0.0 X2 = 1700.0

: 1.0 X1 + 3.0 X2 = 7000.0

: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 600.0 Payoff: 1.1 X1 +

2.1 X2 = 1260.0

0 90180 270 360 450 540 630 720 810 900 990 108 10 11 72 01 60 35 14 01 45 01 30 61 27 01800

X1

Optimal Decisions(X1,X2): ( 0.0, 600.0) : 4.0X1 + 3.0X2 <= 8000.0 : 2.0X1 + 2.0X2 <= 9000.0 : 1.0X1 + 3.0X2 <= 7000.0 : 1.0X1 + 0.0X2 <= 1700.0 : 0.0X1 + 1.0X2 >= 600.0



Página:



Salida del Solver

159. Guy Chung, superintendente de los edificios y del terreno circundante de la Universidad Gótica, ha planeado aplicar fertilizante al césped del área cuadrangular a principios de la primavera. Ese prado necesita por lo menos las cantidades de nitrógeno, fósforo y potasio que figuran en la siguiente tabla: MINERAL Nitrógeno Fósforo Potasio

PESO MINIMO(LIBRAS) 10 7 5

Hay tres tipos de fertilizante comercial disponibles; los análisis y precios por 1000 libras se enlistan en la siguiente tabla. Guy puede comprar cualquier cantidad de cualquiera de los fertilizantes que quiera y combinarlos antes de aplicarlos al césped. Formule un modelo de PL que determine la cantidad de


Página:



cada fertilizante que debe comprar para satisfacer los requerimientos con un costo mínimo.62 Fertilizante I II III

Contenido de nitrógeno (lib) 25 10 5

Contenido de fósforo (lib) 10 5 10

Contenido de potasio (lib) 5 10 5

Precio ($) 10 8 7

Solución del problema  Definición de variables X1 = Miles de libras de Fertilizante I X2 = Miles de libras de Fertilizante II X3 = Miles de libras de Fertilizante III  



Función objetivo: Minimizar Z = 10X 1 + 8X2 + 7X3 Restricciones 25X1 + 10X2 + 5X3 ≥ 10 contenido de nitrógeno 10X1 + 5X2 + 10X3 ≥ 7 contenido de fósforo 5X1 + 10X2 + 5X3 ≥ 5 contenido de potasio No negatividad Xi ≥ 0; i = 1, 3



62

Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia admi nistrativa. Prentice Hall. Pag 116


Página:



160. La Ebel Mining Company es propietaria de dos minas que producen cierto tipo de mineral. Dichas minas está localizadas en distintas partes del país y, en consecuencia, presentan diferencias en sus capacidades de producción y en la calidad de su mineral. Después de ser molido el mineral se clasifica en tres clases dependiendo de la calidad: alta. Media y baja. Ebel ha sido contratada para suministrar semanalmente a la planta de fundición de su compañía matriz 12 toneladas de mineral de alta calidad, 8 toneladas de calidad mediana y 24 toneladas de calidad baja. A Ebel le cuesta $ 20.000 diarios operar la primera mina y $ 16.000 la segunda. Sin embargo en un día de operación la primera mina produce 6 tonelada de mineral de alta calidad, 2 toneladas de mediana y 4 toneladas de baja, mientras que la segunda produce 2 toneladas diarias de material de alta calidad, 2 de mediana y 12 de baja. ¿Cuántos días a la semana tendrá que funcionar cada mina para cumplir los compromisos de Ebel de la manera más económica posible? (En este caso resulta aceptable programar la operación de las minas en fracciones de día) 63 Solución del problema 

Definición de variables X1 = Número de días a la semana (fracción de semana) de trabajo de la Mina 1 X2 = Número de días a la semana (fracción de semana) de trabajo de la Mina 2



Función objetivo: Minimizar Z = 20X 1 + 16X2 miles de dólares



Restricciones 6X1 + 2X2 ≥ 12 2X1 + 2X2 ≥ 8 4X1 + 12X2 ≥ 24 X1 + X2 = 5



63

mineral de alta calidad mineral de calidad mediana mineral de baja calidad máximo tiempo 1 semana (5 días)

No negatividad Xi ≥ 0; i = 1, 2

Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia admi nistrativa. Prentice Hall. Pag 116


Página:



Solución GLP 6

: 6.0 X1 + 2.0 X2 = 12.0

Payoff: 20.0 X1 + 16.0 X2 = 68.0 4

: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 5.0

2

: 4.0 X1 + 12.0 X2 = 24.0

: 2.0 X1 + 2.0 X2 = 8.0 0

0

2

4

6

8

10

Optimal Decisions(X1,X2): ( 1.0, 3.0) : 6.0X1 + 2.0X2 >= 12.0

: 2.0X1 + 2.0X2 >= 8.0 : 4.0X1 + 12.0X2 >= 24.0 : 1.0X1 + 1.0X2 <= 5.0

Datos de entrada para Solver PRODUCCION DE MINERALES EN EBEL MINING COMPANY

Producción en Días de la semana Costo diario de operación

RESTRICCIONES Producción mineral alta c. Producción mineral mediana c. Producción mineral baja c. Tiempo máximo una semana

Mina 1

Mina 2 1 1 20000 16000

USO DE RECURSOS 6 2 4 1

2 2 12 1

MIN 36000

UTILIZADO 8 4 16 2

≥ ≥ ≥ ≤

NO LIMITE UTILIZADO 12 -4 8 -4 24 -8 5 3

Datos de salida del Solver Producción en Días de la semana Costo diario de operación


Mina 1

Mina 2

1 3 20000 16000

MIN 68000

Página:

Segundo Taller 2018-I

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