Universidad Del Magdalena Taller Extracurricular Estadística I Gustavo Gamarra Bustamante Docente
Operaciones con Conjuntos 1. En un concurso de televisión, el ganador puede elegir dos de cinco personas diferentes: A, B, C, D y E. Enumere los elementos del espacio muestral correspondientes. (a) ¿Cuántos elementos hay en el espacio muestral correspondientes a una selección que incluye a A? (b) ¿Cuántos elementos hay en el espacio muestral correspondientes a una selección que incluye a A y a B? (c) ¿Cuántos elementos hay en el espacio muestral correspondientes a una selección que incluye a A o a B? 2. Sea Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} el espacio muestral correspondiente correspondiente a un experimento aleatorio aleatorio dado. Sean A, B, C y D eventos de definidos por A = {0, 1, 2, 3},
B = {4, 5, 6, 7},
C = {2, 4, 6},
D = {1, 8, 9}
Liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos: (a) (b) (c) (d) (e) (f)
A∪D B∩C (
∩ A) ∪ C
� Ω ∩ B B ∩ C ∩
3. En la universidad del Magdalena se realizó una encuesta a quinientos (500) estudiantes inscritos en una o más asignaturas de Macroeconomía, Estadística y Calculo Diferencial durante un semestre, reveló los siguientes números de estudiantes en los cursos indicados: Macroeconomía 329, Estadística 186, Calculo Diferencial 295, Macroeconomía y Estadística 83, Macroeconomía y Calculo Diferencial 217, Estadística Estadística y Calculo Diferencial Diferencial 63. Cuántos alumnos estarán inscritos en: a) b) c) d) e)
Los tres cursos Macroeconomía pero no Calculo Diferencial Estadística pero no Macroeconomía Calculo Diferencial pero no Estadística Macroeconomía o Calculo Diferencial, pero no Estadística
Universidad Del Magdalena Taller Extracurricular Estadística I Gustavo Gamarra Bustamante Docente f) Macroeconomía y Calculo Diferencial, pero no Estadística g) Macroeconomía pero no Estadística ni Calculo Diferencial 4. En la semana cultural Unimagdalena asistieron 131 invitados, el conductor elegido aburrido observó que de los 79 invitados que tomaron cerveza, 28 tomaron solamente cerveza. Entre los 60 invitados que tomaron wiski, hubo 21 invitados que también tomaron vodka. De los 50 que tomaron vodka, 12 comieron sólo vodka. Por alguna razón, 9 tomaron las tres cosas. a) b) c) d) e) f)
¿Cuántos tomaron cerveza y wiski? ¿Cuántas tomaron solo cerveza y wiski? ¿Cuántos tomaron sólo wiski? ¿Cuántas no tomaron ninguna de las tres cosas? ¿Cuántas tomaron una sola cosa? ¿Cuántas tomaron solo dos cosas?
5. En una fiesta de niños hay 3 sabores helados; guanaba, naranja y tamarindo. Represente gráficamente con diagrama de Venn y con expresiones matemáticas los siguientes consumos de helados por parte de los niños. a) b) c) d)
No consumen helado de guanaba No les gusta ninguno de los tres sabores Prefieren solo helado de guanaba Prefieren helado de guanaba y naranja, pero no de tamarindo
Técnicas de conteo 6. Con las letras a, b, c, d y e: (a) ¿Cuántas palabras distintas de 3 letras, tengan sentido o no, se pueden formar? (b) ¿Cuántas de ellas empiezan por vocal? 7. Con las letras de la palabra SOLIDARIO, ¿cuántas ordenaciones diferentes se pueden formar?
8. Con un uno (1), dos (2) doses y tres (3) treses:
Universidad Del Magdalena Taller Extracurricular Estadística I Gustavo Gamarra Bustamante Docente (a) (b) (c) (d)
¿Cuántos números de seis cifras se pueden formar? ¿Cuántos de ellos son pares? ¿Cuántos son divisibles por 3? ¿Cuántos empiezan y terminan por 3?
9. Humberto ha visto un accidente de tránsito en el que el culpable huye. A pesar de esto le dice a la policía que la placa del carro en el que viajaba el culpable tenía tres letras (de las cuales las dos primeras eran C y A) y tres dígitos (de los cuales el ´ultimo era 0). Encuentre el número máximo de placas de carro que la policía debe verificar bajo cada una de las siguientes condiciones (nuestro alfabeto tiene 27 letras): (a) Las tres letras son diferentes y los tres dígitos también. (b) Las tres letras son diferentes y los dos dígitos que faltan son diferentes entre sí, (c) La letra que hace falta es diferente a la A y los dígitos que hacen falta son diferentes e impares. 10. Supongamos que se quieren formar números de tres dígitos con los dígitos 0, 2, 4, 5, 7, 8 y 9. (a) ¿Cuántos números resultan si los dígitos pueden estar repetidos? (b) ¿Cuántos números resultan si cada dígito puede usarse sólo una vez? (c) ¿Cuántos números resultan si los números resultantes son impares y si los dígitos pueden estar repetidos? (d) ¿Cuántos números resultan si los números resultantes son pares y si cada dígito puede usarse sólo una vez? (e) ¿Cuantos números son menores que 440 y si los dígitos pueden estar repetidos? (f) ¿Cuántos números resultan si el primer dígito es 5 y si cada dígito puede usarse sólo una vez? 11. ¿De cuántas maneras pueden sentarse tres hombres y tres mujeres en una fila con seis puestos si se deben alternar? 12. Tres parejas de casados han comprado boletas para el cine y se sientan en una fila formada por seis asientos. Supongamos que se sientan al azar. Determine el número de formas diferentes en que se pueden sentar teniendo en cuenta cada una de las siguientes situaciones: (a) No hay restricción alguna. (b) Todos los hombres se sientan juntos a la izquierda de todas las mujeres. (c) Exactamente una pareja (digamos, Luis y Matilde) están sentadas en los dos asientos del extremo derecho. (d) Luis y Matilde están sentadas uno junto a la otra.
Universidad Del Magdalena Taller Extracurricular Estadística I Gustavo Gamarra Bustamante Docente (e) Luis y Matilde están sentados juntos en la extrema izquierda y otra pareja (digamos, Jorge y Nubia) está sentada juntos en el medio. (f) Jorge y Nubia están sentados juntos en el medio y los otros dos esposos (digamos, Luis, Ricardo) están sentados junto a sus respectivas esposas (Matilde y Ana, respectivamente). (g) Todos los esposos est´an sentados junto a sus respectivas esposas 13. Los 11 jugadores del equipo de baloncesto de la Universidad del Magdalena se alinean para las fotografías. (a) ¿De cuántas formas diferentes podrán alinearse? (b) ¿De cuántas formas diferentes podrán alinearse si el capitán siempre ha de ocupar la primera posición por la izquierda? (c) ¿De cuántas formas diferentes podrán alinearse si el capitán y el portero siempre han de ocupar la primera y la segunda posición, respectivamente? 14. De 22 jugadores de abolengo convocados por el seleccionador nacional de fútbol, 3 son porteros, 7 son defensas, 6 son centrocampistas y 6 son delanteros. ¿Cuántas alineaciones diferentes puede hacer si quiere que haya 4 defensas, 4 centrocampistas y 2 delanteros? 15. Las materias complejas y relleno que oferta un centro para cuarto de ESO son: Complejas: Matemáticas, Física y Química, Latín, Francés, Informática, Biología y Geología, Tecnología, Educación Plástica y Música. Relleno: Botánica aplicada, Energías renovables, Imagen y Expresión y Cultura clásica. Un alumno debe matricularse de cuatro materias complejas y dos rellenos. ¿Cuántas elecciones diferentes puede hacer?
16. Seis turistas deciden hacerse una foto alineados junto al monumento de Simón Bolívar que existe en el DTCH de Santa Marta: (a) ¿De cuántas formas diferentes se podrán hacer la foto? (b) ¿De cuántas formas diferentes se podrán hacer la foto si Abigail y Salomón quieren aparecer juntos? (c) ¿De cuántas formas diferentes se podrán hacer la foto si Abigail y Salomón quieren aparecer juntos estando siempre Abigail a la izquierda de Salomón?
Universidad Del Magdalena Taller Extracurricular Estadística I Gustavo Gamarra Bustamante Docente 17. Un estudiante de estadística tiene que contestar 8 de 10 preguntas de un examen: (a) ¿Cuántas formas diferentes tiene de contestar? (b) ¿Cuántas formas diferentes tiene de contestar si las tres primeras preguntas son obligatorias? (c) ¿Cuántas formas diferentes tiene de contestar si de las cinco primeras preguntas ha de contestar a cuatro? 18. De un total de cinco Economistas y siete Contadores se forma un comité con dos economistas y tres Contadores. ¿De cuántas formas se pueden agrupar en los siguientes casos? (a) Puede pertenecer al comité cualquier economista o Contadores. (b) Un Contadores determinado debe pertenecer al comité. (c) Dos economistas determinados no pueden estar en el comité.
Probabilidad 19. La probabilidad de que Humberto viaje a Alemania es 0,6 y la probabilidad de que viaje a España es 0,3 y la probabilidad de que viaje a alguna de las dos ciudades es 0,8. Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos: (a) (b) (c) (d)
Humberto viaja a ambas ciudades. Humberto viaja a Alemania pero no a España. Humberto viaja a España pero no a Alemania. Humberto no viaja a ninguna de las dos ciudades
20. Un jefe de cierta compañía recibe un determinado artículo en paquetes de 100. Un estudio ha indicado las probabilidades, que figuran en la tabla adjunta, correspondientes a los artículos defectuosos de un paquete. Numero de defectuosas Probabilidad
0
1
2
3
Más de 3
0,03
0,29
0,1
0,22
0,36
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de dos artículos defectuosos en un paquete? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de un artículo defectuoso en un paquete? 21. Supongamos que un determinado árbol puede tener tres tipos de enfermedades: Hojitis(H), Tallitis (T) y Frutitis (F). Suponga que P(H) = 0, 12, P(T) = 0, 07, P(F) = 0, 05, P(H ∪ T) = 0, 15,
Universidad Del Magdalena Taller Extracurricular Estadística I Gustavo Gamarra Bustamante Docente P(H ∪ F) = 0, 14,
P(T ∪ F) = 0, 10,
P(H ∩ T ∩ F) = 0, 01.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el árbol no tenga hojitis? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que el árbol tenga hojitis y tallitis al mismo tiempo? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que el árbol tenga hojitis y tallitis al mismo tiempo, pero no frutitis? (d) ¿Cuál es la probabilidad de que el árbol tenga exactamente dos de esas enfermedades? 22. Al poco tiempo de ponerse a funcionar, algunas computadores fabricados por ciertas compañías presentan problemas con el funcionamiento de un determinado programa (digamos, Futbolnet) que viene previamente instalado. Suponga que una pequeña empresa tiene 30 de estos computadores y que ha habido problemas con el funcionamiento del Futbolnet en 7 de ellos. (a) ¿Cuántas formas hay de seleccionar una muestra de 10 computadores de los 30 para una revisión completa? (b) ¿En cuántas formas puede una muestra de 10 computadores contener exactamente 3 con problemas en el funcionamiento del Futbolnet? (c) Si se escoge al azar una muestra de 10 computadores, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de los 10 tengan problemas con el funcionamiento del Futbolnet? (d) Si se escoge al azar una muestra de 10 computadores, ¿cuál es la probabilidad de que, al menos, 6 de los seleccionados tengan problemas con el funcionamiento del Futbolnet? 23. Un estante tiene 4 libros de química, 5 de estadística y 3 de matemáticas. Si los libros de estadística son diferentes entre sí, encuentre la probabilidad de que 2 libros determinados de estadística se encuentre juntos teniendo en cuenta cada una de las siguientes situaciones: (a) Los libros de cada tipo son todos diferentes entre sí. (b) Los libros de química son iguales entre sí, pero los de matemáticas son todos diferentes. (c) Hay 2 libros de química que son iguales, pero todos los de matemáticas son iguales entre sí. (d) A excepción de los de estadística, los libros de cada tipo son todos iguales entre sí.
Probabilidad condicional 24. Un comité consta de seis Médicos y 10 Enfermeras. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de: (a) Seleccionar tres Enfermeras.
Universidad Del Magdalena Taller Extracurricular Estadística I Gustavo Gamarra Bustamante Docente (b) Seleccionar exactamente dos Enfermeras y un Médicos. (c) Seleccionar por lo menos una Enfermeras. (d) Seleccionar exactamente dos Médicos y un Enfermeras. 25. Un estudiante de la Universidad del Magdalena cuenta para un examen con la ayuda de un despertador, el cual logra despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5. (a) Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador? (b) Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador? 26. En una estantería hay 60 libros de Estadística y 20 libros de cálculo. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea uno de estadística? (b) Si se sabe que B eligió un libro de estadística, ¿cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de cálculo? 27. En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él una llave para abrir el trastero. Se pide: (a) ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave? (b) ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra? (c) Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A? 28. En cierta bodega, una caja contiene ocho clavos de 1 pulgada, seis de 1 pulgada y media y cinco de 2 pulgadas. Suponga que se seleccionan tres clavos al azar, sin reemplazo y sin orden. (a) Si se ve que al menos uno de ellos es de 1 pulgada, ¿cuál es la probabilidad de que los tres sean de 1 pulgada? (b) Si al menos uno de los tres seleccionados no es de 2 pulgadas, ¿cuál es la probabilidad de que los tres clavos tengan el mismo tamaño? 29. En cierta empresa, 31% de los empleados son europeos, 42% son asiáticos y 27% son latinoamericanos. De los empleados europeos, 34% son mujeres; de los
Universidad Del Magdalena Taller Extracurricular Estadística I Gustavo Gamarra Bustamante Docente asiáticos, 42% son mujeres; mientras que de los latinoamericanos, 72% son mujeres. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar sea una (mujer) europea? ¿(Hombre) asiático? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar sea una mujer? ¿Hombre? (c) Si un empleado seleccionado al azar es una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que sea europea? ¿Asiática? ¿Latinoamericana? (d) Repita el inciso anterior, teniendo en cuenta que el empleado seleccionado sea un hombre. 30. En cierta ciudad, el 70% de todas las personas examinadas en cierto consultorio odontológico no tienen caries. Si se supone que personas sucesivas tienen o no tienen caries (obviamente, independientemente una de otra), calcule la probabilidad de los siguientes eventos: (a) (b) (c) (d) (e) (f)
Las tres personas siguientes examinadas tienen caries. Al menos una de las tres personas siguientes examinadas no tienen caries. Exactamente una de las tres personas siguientes examinadas tiene caries. A lo más una de las tres personas siguientes examinadas tiene caries. Al menos una de las tres personas siguientes examinadas tiene caries. Las tres personas siguientes examinadas tienen caries sabiendo que al menos una de ellas tiene caries.
