Solucionario Parcial 2012-II MB158 (Matematica Avanzada).pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

P.A. 2012-II

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

MB-158

EXAMEN PARCIAL DE VARIABLE COMPLEJA Y ANÁLISIS DE FOURIER Solucionario

ሺሺଵା௜௜ଵሻା௜ൌ2൅12 ሻ ൌ18൅3 ሺ଴ሻ ൌ ሺଵି௜ଵି௜ሻ

1) Sea

una función analítica tal que

൛ ሺᇱ௫ሻൟൌ െ614

Hallar

•

௫ൌ ௬

௬ൌെ ௫

ሺሺᇱ௭ሻሻ ൌൌ ௫൅൅ ௫ ᇱሺ௭௭ሻ ൌ ௫௫ ൅ ௫௫ ௫௫௫ ൌൌെ614 ଶ ൅14െ ሺ௬ሻ 3ൌ ଷ െଶ െ14൅ ^ ൌ െ3 ሺ ௬ ሻ ௬ 7 ଶ ൅ ሺ௬ሻ ൅ ሺ௬ሻ ^ ൌ ൌ 14 െ 3 ଶ െ න ሺ௬ሻ ൅ ሺ௫ሻ ௫ ௬ 14ሺᇱ௫ሻ െൌ 66 ൅൅ ሺᇱ௫ሺᇱ௬ሻሻൌ൅ ሺᇱሺᇱ௬௬ሻሻ െ൅ 14ሺᇱ௬ሻ ሺᇱ௫ሻ ൌ ሾᇣ6 ൅ ሺᇱ௬ሻሿ ൅ ᇣሺᇱ௬ሻ െ 14 ሺᇱ௫ሻ ൌ ௫൅మ ሺᇱ௬ሻ ൌ െ 6 ሺᇱ௬ሻ ൌ14൅ ሺ௫ሻ ൌ ଶ ൅ ൅ ሺ௬ሻ ൌ െ 3 ଶ ൅ ሺ௬ሻ ൌ 7 ଶ ൅ ൅ ଶ ଶ ଶ ൌ 14 െ 3 െ නሺ ଶ െ 3 ൅ ሻ ൅ 2ଶ ൅ ൅ ൌ 14ൌ ଷെെ37ଶ ଶ െ൅ ሺ2 ൅െ 3ଷ െଶ ൅ሻ൅7 ൅ ൅ଶ ൅2 ൅൅ ൅ ൌ ଷെ7 ଶ൅ െ3 ଶ൅ ൅7 ଶ൅ ൅ ሺ௭ሻ ൌ ൅ ଶ ଶ ଶ ଷ ଷെ7 ଶ൅ ቇ ൅ ሺ ሺ௭ሻ ൌ ቆ14 െ 3 െ 2 ൅ െ ൅ ൅ 2 ൅ ൅ ቇ൅ െ3 ଶ൅ ൅7 ଶ൅ ൅ ሻ

Solución:

െ0െ0 െ000 ൅ 0െ 0 ൅ ሺ଴,଴ሻ ൌ ሺെ0െ0

൅ 0 ൅ 0 ൅ ሻ ൅ ሺെ00൅0െ0൅0൅0൅0൅ െ00൅0െ0൅0൅0൅0൅ ሻ ൌ1൅ሺ0ሻ

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൅ ൌ1 ൌ0 ଶ ଶ ଶ ଷ ൌ൐ ሺ௭ሻ ൌቆ14െ3െ3ଶ ൅ െ൅72 ଶ൅൅ െሻ ൅ 2 ൅ ൅1ቇ൅ ሺ ଷ െ7 ଶ ൅ ሺ ሻൌ2൅ሺ12ሻ െ 00൅0െ0൅0൅7൅ ሺ଴,ଵሻ ൌቀ0െ0െ ଶ ൅1െ ൅0൅0൅1ቁ൅ െ ଶ െ൅ൌെ22ൌ2 7൅ ൌ5ൌ12 ሺଵ,ଵሻ ൌቀ14െ3െ ଶ ൅ 1െ ൅ ଶ ൅ ൅1ቁ൅ ሺെ17൅ െ3൅ ൅7൅ ሻൌ18൅ሺ3ሻ 1െ3 ൅ ൌ18ൌ0 ൅ൌ0 ൅ െ2ൌ3 ଷ െ7 ଶ െ3 ଶ ൅7 ଶ ൅5 ሻ ൌ൐ሺଵሺ,ି௭ሻଵሻൌሺൌሺ1െ4 14൅3െ1൅5െ1 െ3 ଶ ൅ ଷ ൅5൅1ሻ൅ ሺ ሻ൅ሺ1െ7െ3൅7െ5ሻ ሺଵ,ିଵሻ ൌሺെ6ሻ൅ሺെ 7ሻ •

•

ଶିଷ௓ ൌ ௓ మ ଶ௓ ିଷାଵ ଶ ሺ െ ଴ሻ

2) Desarrolle en serie de Taylor coeficiente de

2െ3ሺെ 1ሻ ൌ 2 െ1 ൅ ሺ௓ሻ ൌ ሺ2 െ1ሻ

alrededor de

଴ ൌ1൅

y determine el

െ1 െ1 1 1 ൌ ൅ ൌ ൅ െ1 2 െ1 െ1 1െ2 1െ ሺ௓ሻ ൌ ሺെ െ12 ሻ െ2ሺ1 െሺᇣ1 ൅ ሻሻ ൅ ሺെ ሻ െሺെ1 ሺ1൅ሻ ሻ ᇣ ௓బ ௓బ ൌሺ௓ሻ ሺെ1െ2i1 ሻ ൦1െ ሺെെ12i2 1 ሻ ሺ െ ଴ሻ൪൅ ሺെ1iሻ ൦1െ ሺെ1iሻ1ሺ െ ଴ሻ൪ ஶ ஶ ୬ ୬ 1 2 1 1 ሺ௓ሻ ൌ ሺെ1െ2iሻ ୬ୀ଴෍൤ሺെ െ12i ሻ ሺ െ ଴ሻ൨ ൅ ሺെiሻ ୬ୀ଴෍൤ሺെiሻ ሺ െ ଴ሻ൨ ฯሺെെ12i2 ሻ ሺ െ ଴ሻฯ ൏1 ฯሺ ሺെെiሻ଴ሻฯ൏1 ԡ െ ଴ԡ൏ ԡെെ12i2 ԡ ԡ െ ଴ԡ൏ԡെiԡ

Solución:

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ԡ െ ଴ԡ൏ √ 25 ԡ െ ଴ԡ൏1 ԡ െ ଴ԡ ൏1 ஶ ஶ ୬ 1 2 1 ൌሺ௓ሻ ሺെ1െ2iሻ ୬ୀ଴෍ ሺെെ12i ሻ୬ ሺ െ ଴ሻ୬ ൅ ሺെiሻ ୬ୀ଴෍ ሺെi1ሻ୬ ሺ െ ଴ሻ୬ ஶ ஶ ୬ 2 1 ୬ ൌ෍ ሺ െ ሻ ൅෍ ሺ௓ሻ ୬ୀ଴ ሺെെ12i ሻ୬ାଵ ଴ ୬ୀ଴ ሺെiሻ୬ାଵ ሺ െ ଴ሻ୬ ஶ ୬ 2 1 ൌ෍൬ ൅ ሺ௓ሻ ୬ୀ଴ ᇣሺെ െ12i ሻ୬ାଵ ሺെiሻ୬ାଵ൰ ሺ െ ଴ሻ୬ ୟ౤ ୬ 2 a୬ ൌ ሺെെ12i ሻ୬ାଵ ൅ ሺെi1ሻ୬ାଵ ଶ 2 aଶ ൌ ሺെെ12i ሻଶାଵ ൅ ሺെi1ሻଶାଵ aଶ ൌ ሺെെ12i4 ሻଷ ൅ ሺെ1iሻଷ Escogemos el de menor radio para que las dos condiciones se cumplan

3)

ଶ ൅ ଶ  ҧ   ҧ ሺ ሻ ஼ ଶ ൅2   ҧ ൅ ሺ   ҧሻଶ ൌ ሺ2 െ2 ሻ ൅ሺ2൅2ሻ   ҧ

Hallar el valor numérico de

ൌ2൅2

Solución: C:

ൌ1

, a lo largo de la curva “C” dada por 

, desde el punto

hasta el punto

ଶ ൅2ଶ   ҧ ൅ ሺ   ҧሻଶ ൌ ሺ2 െ2 ሻ ൅ሺ2൅2ሻ   ҧ ሺ ൅   ҧሻሺ ൌሺ2ሻ൅ ሾ൅ሺ1 െെ ሻሺሻଶ൅ൌሺ2ሻሾሻ൅ሺ21െ2൅ ሻሺሿ െ ሻሿ ଶ െ ൅ൌ 0 ଶ

൬ െ 12൰ ൌ 14 െ ՜ ՜ ሺ2 െ1ሻ ൌെ ଶ ൅ ଶ  ҧ   ҧ ሺ ሻ ஼ ൌ  ҧ ൌ ൅െ ሺ  ଶҧሻൌሺଶ ൌሺଶ െଶ െଶ;2ଶെ; 2ሻ ሻ ൌሾൌሾ െ;; ሿሿ

Analizando la integral:

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ሺ ଶ , ଶ ሻ ൌනሺଵ,଴ሻ ሾ ଶ െ ଶ;െ2 ሿሾ ; ሿ ൅ ሾ ଶ െ ଶ;2 ሿሾ ;െ ሿ ՜൜ ௫ୀଶ ଶ ଶ ଶ ଶ ሾ ሿ ሾ ൌන െሺ െ ሻ ; െ 2ሺ െ ሻ ;ሺ1െ2ሻ ௫ୀଵ ଶ ൅ ሾ ൌනെሺ௫ୀଶଶ െሾ ଷሻሺଶ2;2െ ሺሻ; 2ଶ െଶሺ1െሻ ሻሿሾ ;ሺሿሾ2 െ1ሻ;ሺ1െ2ሻሿ ሿ ௫ୀଵ ଷ ൅ ሾ ሺ2െ ሻ; 2 ଶሺെ 1ሻ ሿሾ ;ሺ2 െ1ሻ ሿ

ൌൌሺ1െ2ሻଶ െ ሿ

ଶ ଷሺ2 െ ሻሺ1 െ2 ሻ൅2 ଶሺ1െሻ ሿ ሽ ሿ ሾ ൌනଵ ሼ൅ሾ ሼଷሾሺ2ଷെሺ2 െሻെ2ሻെ2ଶሺ1െሻሺ1െ2ሻ ; ଶ ଷ ଶ ሿ ሾ ሿ ሽ ሺ ሻ ሺ ሺ െ 1ሻሺ2െ1ሻ ; 2 െ 2 െ1ሻ൅2 ሺ െ 1ሻ ଶሺ1 െ ሻሺ1 െ2 ሻ൅ ଷሺ2 െ ሻെ2 ଶሺെ 1ሻሺ2െ1ሻ ሿ ; ൅ሾ ଷሺ2 െ ሻሺ1 െ2 ሻ ൌනଵଶሾ ଷሺ2 െ ሻെ2 ൅2 ଶሺ1െሻ൅ ଷሺ2 െ ሻሺ2 െ1ሻ൅2 ଶሺെ 1ሻሿ

Resolviendo la parte imaginaria se anula

ଶ ൌනሾଵ 2 ଷሺଶ2 െ ሻെ4 ଶሺ1െ ሻሺ1 െ2 ሻሿ ൌනሾଵ െ10 ସ ൅16 ଷ4െ4 ଶሿଶ ହ ൅4 ସ െ 3 ଷ൨නଵ ൌ൤ െ 2 ൤െ2ሺ2ሻହ ൅4ሺ2ሻସ െ 43 ሺ2ሻଷെ൨൤െ2ሺ1ሻ ହ ൅4ሺ1ሻସ െ 43 ሺ1ሻଷെ൨ൌ 64൅64െ 313 െ2െ 43

ൌ െ3െ16൅4 334 ൌെ 3

ௗ௭ ஼ ௘యା௘೥ :ԡ ԡൌ5

4) Desarrollar:

a)

;

5i

ԡ ԡ ൌ5 ଷ ൅ ௓ ൌ0௓ ሺ ሺ ሻሻൌൌ3 ሺെሺെଷሻሻ ൌ3ሾ1 ሺ2 ൅1ሻሿ ൌ3 3 ሺ2 ൅1ሻ ൌ3൅9. 4 2 ൌ 3 3 ൜ ଵଶ ൌ3൅3 ൌെ33 ൌെ39.42

Analizando si es analítica dentro y en la curva Punto de singularidad

K=0

Z1

5

5

-5i Z2

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Es analítica dentro y en la curva => se cumple Cauchy – Goursat

b)

න஼ ଷ ൅ ௭ ൌ0 ௗ௭ ஼ ௜ା௘೥ :ԡ ԡൌ1 ԡ ԡൌ1 గ ൅ ௓ ൌ0 ൌ൐௓ ൌെ ௜௜ଶగଶ ൅ ௓ ൌ0 ሺሺ ௓ሻሻൌൌ ቀെሺെ௜గଶቁሻ 2 ଶ ଶ ଶ ൌ 2 ሾ ሺ ሻ ሺ2 ൅1ሻሿ ൌ 2 2 ሺ2 ൅1ሻ ൌ 2 2 ሺ2 ൅1ሻ ଶ ଶ ൌ ൅ ൌ4. 9 3൅1. 5 7 ଵ 2 2 ൌ 2 2 ଶ ൌ 2 െ 2ଶ െൌ4.93൅1.57 න஼ ൅ ௭ ൌ0 ∑ஶ୬ୀଵ ଶ౤ሺଷሺାସ୞ሻଷିସ௓ሻ౤౤ Z2

;

i

Analizando si es analítica dentro y en la curva

1

1

-i

K=0

Es analítica dentro y en la curva => se cumple Cauchy – Goursat

5) Dada la serie

Hallar:

a) La región de convergencia y el radio de convergencia. b) La suma de la serie. Solución:

Usamos

ஶ෍൤2ሺ3െ4Zሻ ൨୬ ൌ෍൤ ஶ 2ሺ3െ4Zሻ ൨୬ െ1 ୬ୀଵ ሺ3൅4Zሻ ୬ୀ଴ ሺ3൅4Zሻ ∑ஶ୬ୀ଴ Z୬ ൌ1൅Z൅Zଶ ൌ ଵି୞ଵ ;teniendo como condicionԡZԡ ൏1

1 െ1 ; ฯ2ሺ3െ4Zሻ ൌ൐ 1െ 2ሺ3െ4Zሻ ฯ൏1 ሺ3൅4Zሻ ሺ3൅4Zሻ

Z1

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a)

b)

ԡ൏ԡ3൅4 ԡ 2ԡ3െ4 2ԡ48ฯ െെ3ԡ൏ԡ4 ൅3ԡ 34ฯ൏4ฯ൅ 34ฯ ଶ ଶ 3 3 2ඨ ൬ െ34൰ ൅ 9ଶ ൏ ඨ ൬ ൅ 4൰ 3൅ ଶ 9 4൤ଶ ଶ െ122 ൅ 16 ൅9 ଶ൨൏ ଶଶ ൅ 2ଶ ൅3 16 ൅9 ଶ ଶ 4 ଶ െ 152 ൅4൬169 ൰൅4 ଶ െ െ 2 െ 16 െ ൏0 3ଶ െ5 2 ൅3൬9 16ଶ൰൅3 ൏0 െ 25 ଶ ൅ 16 ൅ 25൏09 ൬ െ 4൰ ଶ൅ ଶ ൏ 16 െ 16 ൬ െ 54൰ ൅ ଶ ൏1 ՜ ൌ1 1 3൅4 3൅4െ12൅3 െ1 ൌ െ1ൌ 1െ23 1െ23 1െ 2ሺ3െ4Zሻ ሺ3൅4Zሻ ஶ 2୬ሺ3െ4ሻ ୬ 6െ8 ෍୬ୀଵ ሺ3 ൅4Zሻ୬ ൌ 1െ23