Matematica Solucionario

PRELSSwokowski_ATWAG_FM

10/30/2006

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UNDÉCIMA EDICIÓN

ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA

5612Swokowski Answers.A1-A44

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Respuestas a los ejercicios seleccionados Un Manual de soluciones para el estudiante, que acompaña a este libro de texto, está a tu disposición en la librería de tu escuela. La guía contiene soluciones detalladas para la mitad de los ejercicios, aproximadamente, y también estrategias para resolver otros ejercicios del texto.

43 51 55 61

Capítulo 1

69

EJERCICIOS 1.1 75 1 (a) Negativo (b) Positivo (c) Negativo (d) Positivo 3 (a) (b) (c) 5 (a) (b) (c) 7 (a) x 0 (b) y 0 (c) q (d) 2 d 4

47 49 51 53 59 61

(f ) z 3

(g)

33 8a2

47 5 3

9 3 8 15 2a

14

25

101

n

1

1/n

1

11/n

Estatura

Peso

Estatura

Peso

64

137

72

168

65

141

73

172

66

145

74

176

67

148

75

180

68

152

76

184

69

156

77

188

70

160

78

192

71

164

79

196

EJERCICIOS 1.3 1 12x 3 13x 1 5 6x 2 x 35

3 x 3 2x 2 4 7 15x 2 31xy 14y 2

9 6u 13u 12

11 6x 3 37x 2 30x 25

2

13 3t 5t 15t 9t 10 4

3

2

15 2x 6 2x 5 2x 4 8x 3 10x 2 10x 10

EJERCICIOS 1.2

16 1 81 6 13 x 9y 6 23 8 x

1

n c c c1/n 2c 91 (a) 1.5518 (b) 8.5499 93 (a) 2.0351 (b) 3.9670 95 $232 825.78 97 2.82 m 99 El levantador de 120 kg 89 ;

p 1 7 (h) 9 q w (i) x 7 9 (a) 5 (b) 3 (c) 11 (a) 15 (b) 3 (c) 11 (a) 4 (b) 4 (c) 1.5 22 (b) 12 (c) 12 (d) 8 (a) 4 (a) 10 (b) 9 (c) 9 (d) 19 19 7 x 5 23 x 4 3 25 x 3 3 x 8 2x 29 b a 31 x 2 4 33 35 (b) 14.1428 39 41 (a) 8.4652 (a) 6.557 101 (b) 6.708 101 Construye un triángulo rectángulo con lados de longitud 22 y 1. La hipotenusa tendrá longitud 23. En seguida, construye un triángulo rectángulo con lados de longitudes 23 y 22. La hipotenusa tendrá longitud 25. El rectángulo grande tiene área a(b c). La suma de las áreas de los dos rectángulos pequeños es ab ac. (a) 4.27 105 (b) 9.8 108 (c) 8.1 108 (a) 830,000 (b) 0.000 000 000 002 9 (c) 563 000 000 55 5.87 1012 57 1.678 1024 g 1.7 1024 4.1472 106 cuadros (a) 201.6 lb (b) 32.256 tons (e) t 5

11 13 15 17 21 27 37 43 45

83 87

3 45 1 47 x 3/4 49 a b2/3 x 3y 2 53 (a) 4x 2x (b) 8x 2x x 2 y 21/2 3 3 5 (a) 8 2 (b) 2 57 9 59 2 2 y 8y 2 3 2 1 3 3y 2a 1 24 26xy 63 2 65 67 2 x b 2y2 xy 3 x 4 1 5 71 73 2 6y 2 15x 2y 3 2 20x 4y 2 3 3 2 3x 5 2x 5 2 4 77 2 2 79 3tv 2 81 x 3 y 2 xy y2 y 2 85 ; ar2 a2r ar x 2 y 1 3 xy xy xy x y ; ab a b a b

81 6 y 64

35 24x 3/2

1 7 8

9 17 2 s6 27 4r 8 1 37 9a4

1 9 25 12u11 19 v2 20y 29 3 x 8 39 1/2 x

9

11 8x

4 21 xy 31 9x 10y 14 41 4x 2 y 4

17 4y 2 5x

19 3v 2 2u2 uv 2

23 x 4y

25 x 5x 36

4

2

27 9x 2 12xy 4y 2 31 x 8x 16 4

2

4

21 4x 2 9y 2

2

29 x 4 6x 2y 2 9y 4 33 x y

35 x y

37 x 3 6x 2y 12xy 2 8y 3 39 8x 3 36x 2y 54xy 2 27y 3 41 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 43 4x 2 y2 9z2 4xy 12xz 6yz

R1


R2

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RESPUES TAS A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

45 sr 4t

47 3a2bb 2

51 5x y 3y 5x 2x y 3 2

3

49 3x 2y 2 y 3x 53 8x 3x 7

3 2

57 3x 42x 5

55 Irreducible

59 3x 54x 3

63 5z 32

61 2x 52

65 5x 2y9x 4y

67 6r 5t6r 5t

69 z 8wz 8w

71 x x 2x 2

2

2

73 Irreducible

2

75 35x 4y5x 4y

55 59

79 4x y 216x 2 4xy 2 y 4 83 5 3x25 15x 9x 2 91 a2 b2a b

93 a ba ba ab b a ab b 2

2

2

22x h 1 22x 1

65

71

2x 128x 2 x 24 x 2 41/2

75

27x 2 24x 2 6x 14

81

63 2x 4x 2 93/2

87 3x 3x 3x 1

89 x 1x 2x x 1

2

21 x h 21 x

63 x1 4x3 4x5

81 7x y 349x 2 7xy 3 y 6

2

a b 2a 2b 1

57

61 4x4/3 x1/3 5x2/3

1 x5 x3

67

1 x2 x 1/2

69 3x 2336x 2 37x 6

77 4x 316x 2 12x 9

85 2x ya 3b

1

2

95 x 2 3yx 2 3y

83

97 y 4 x y 4 x 99 y 2 y 2 2y 4 y 1 y 2 y 1 101 x 8 1x 4 1x 2 1x 1x 1 103 El área de I es x yx, el área de II es x yy, y

A x 2 y 2 x yx x yy x yx y.

77

73

3x 1539x 89 2x 51/2

4x1 x 2 x 2 24

x

Y1

Y2

1 2 3 4 5

0.6923 26.12 8.0392 5.8794 5.3268

0.6923 26.12 8.0392 5.8794 5.3268

79

x 2 12 x 2 44/3

105 (a) 1525.7; 1454.7

Pueden ser iguales

(b) A medida que las personas envejecen requieren

menos calorías. Los coeficientes de w y h son positivos porque los individuos corpulentos precisan más calorías.

9 15 21 27 33 39 43 47 51

x3 x4

y5 y 5y 25 x a 13 2 x1 a 45a 2 6s 7 5x 2 2 19 2 3s 1 x3 2x 1 22x 3 23 25 3x 4 x 11u2 18u 5 x5 29 31 u3u 1 x 22 x 2 xy y 2 35 37 x y ab xy 2x 2 7x 15 3 41 x 2 10x 7 x 1a 1 3x 2 3xh h2 45 2x h 3 x 3x h3 t 10 2t 25 12 49 3x 3h 13x 1 t 25 3 3 3 2 a2 2 ab 2 b2 53 9x 4y 3 2x 2 2y ab 22 7 3 75 120 4r 11 r2 3 17 x2 42t 5 t2 p2 2p 4 p3

5 39 13 5 (b) (c) (d) 12 20 56 8 2 (a) (b) (c) 1 1 3 (a) x 0 (b) (c) x 4 a 3 2 1 4 (a) 7 (b) 1 (c) 5 (a) 5 (b) 5 (c) 7 6 1 (a)

EJERCICIOS 1.4 1

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 1

5

7

2

6 (a) No

(b) No

7 (a) 9.37 10

10

14 19 24 28 31

(b) 4.02 106

9 x 3 71 1 11 12 13 18a5b5 x 2x 3 9 8 3y xy 5 b3 p8 15 16 8 17 18 c1/3 2 r 9 a 2q x 3z 16x 2 b6 27u2v 27 20 4 6 21 2 22 23 s r 10 y zy a 16w 20 y x2 x8 25 s 26 27 2 uv 2 xy y 1 3 ab 3 2 29 30 2xyz 2 x z 22 2bc 2 c 1 2t 3 32 2ab 2ac 33 34 c2d 4 2x 2y 2 x t

8 (a) 68 000 000 10

(c) Sí

(b) 0.000 73


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2x 1 3 1 3 2 2 36 a 2b 37 38 2 4 2 3x y y2 2 3y 1 2 2x x 2a 2a 2 39 40 1x 2 35

41 9x y 3 2x 2y

x 6 2x 9 9x

42

43 x 4 x 3 x 2 x 2 44 3z 4 4z 3 3z 2 4z 1

45 x 2 18x 7

47 3y 5 2y 4 8y 3 10y 2 3y 12 48 15x 53x 102x 40 3

49 a b

2

5 50 3p2q 2q2 p 3 54 a6 2a5 a4

4

4

51 6a2 11ab 35b2

52 16r 4 24r 2s 9s2

53 169a4 16b2

55 8a3 12a2b 6ab2 b3

56 c6 3c4d 2 3c2d 4 d 6

60 2r 2s3r 2sr 2s

61 14x 92x 1

62 4a 3b

63 y 4z2w 3x

64 2c2 3c 6

2

2 2

65 8x 2yx 2 2xy 4y 2 66 u3vv uv2 uv u2 67 p4 q4 p2 q2 p q p q

68 x 2x 42

69 w 2 1w 4 w 2 1 70 3x 2 72 x 7 7yx 7 7y 71 Irreducible 73 x 2x 22x 2 2x 4 74 4x 2x 2 3x 5 75 78 81 84 86 88 89

3x 5 2x 1

r 2 rt t 2 3x 2 77 rt xx 2 5x 2 6x 20 27 x3 1 79 80 4x 510x 1 xx 22 x2 1 ab 2x 2 x 3 82 83 x 5 xx 1x 3 ab 1 85 x 2 11/2x 537x 2 15x 4 x3 25x 2 x 4 87 2.75 1013 células 6x 12/34 x 22 Entre 2.94 109 y 3.78 109 latidos 0.54 m2 90 0.13 dinas-cm 76

EJERCICIOS DE ANÁLISIS DEL CAPÍTULO 1 1 2 3 4 5

final es 100x y. 1

8 Vsalida 3 Ventrada

Capítulo 2 EJERCICIOS 2.1

5 3 49 13 4 29 23 4

3 1

5

4 3 31 25 18 15

26 7

1 galón 0.13368 pies3 ; 586.85 pies2 Ya sea a 0 o b 0 Sumar y restar 10x; x 5 210x son los factores. La primera expresión se puede evaluar en x 1. Se acercan a la relación de coeficientes iniciales conforme x se agranda.

7

17

35 17

24 29

9 19

23 18

1 40

11

7 31

3 61

21

27 No hay solución.

2 1 5 31 33 2 9 3 37 0 39 Todos los números reales excepto 2. 43 No hay solución.

29 Todos los números reales excepto 35 No hay solución.

57 81x 4 72x 2y 2 16y 4

58 a2 b2 c2 d 2 2ab ac ad bc bd cd 59 10w6x 7

7 Si x es la edad y y es la estatura, demuestra que el valor

1

46 8x 3 2x 2 43x 35

R3

41 No hay solución. 45

4x 32 16x 2 16x 2 24x 9 16x 2 9 24x x 2 9 x 3x 3 47

x3 x3 x3 3x 2 8 3x 2 8 8 19 49 51

3x x x x x 3 53 (a) Sí (b) No; 5 no es la solución de la primera ecuación. 5 55 Escoge cualquier a y b tales que b a. 3 DL 1 57 x 1 x 2 59 K

61 Q

ET M1 I 2A Fd 2 63 P

65 h

67 m

rt b gM P 2l 2A hb2 69 w

71 b1

2 h p1 S fp 73 q

75 q

77 1 S1 p pf EJERCICIOS 2.2 1 88

3 $820

5 (a) 125

(b) 21

7 180 meses (o 15 años).

9 No es posible. 11 200 niños. 14 7 13 de onza (oz) de una solución de glucosa al 30% y oz 3 3 de agua. 15 194.6 g de plata británica Sterling y 5.4 g de cobre. 17 (a) después de 64 s. (b) 96 m y 128 m, respectivamente. 19 6 mph

21 (a)

23 1237.5 pies 25 (a) 4050 pies2

5 mph 9

(b) 2

(b) 2592 pies2

19 3 27 8.32 pies 2 8

29 55 pies

2 millas 9 (c) 3600 pies2 31 36 min


R4

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33 36 min

35 27

37 (a) 40.96 F

(b) 6909 pies

EJERCICIOS 2.3

3 4 6 2 9 3 , 3 , 5 , 2 3 5 3 2 4 34 5 1 9 11 13 2 2 5 1

7

15 (a) No, 4 no es una solución de x 4.

3 19 5

17 13 25 (a)

81 4

39 45 49 51 55

(b) Sí

(c) 12

57 z w a bi c di

ac bd ad bci ac bd ad bci ac adi bd bci ac di bic di a bi c di z w

(d) 7

3 1 2 31 , 25 2 2 3 3 1 4 1 35 37 2 22 241 222 4 4 3 3 9 5 1 41 43 No hay soluciones reales. 215 2 2 2 47 (2x 3)(6x 1) (x 6)(x 5) y 22y 2 1 (a) x

(b) y 2x 28x 2 1 2 2K h 2 2h2 2A 53 r

v

m 2 57 2150 6.9 cm r r0 21 V Vmáx

27 3 22 33

2 1 , 3 5

1 23 2 211 2

21 3 217

(b) 16

1 5 1 1 45 255 i 247 i 2 2 8 8 3 5 5 47 5, 49 4, 4i 51 2i, 23 i i 2 2 2 3 1 53 0, 27 i 2 2 55 z w a bi c di a c b di a c b di a bi c di z w 43

39 37 F

29

59 (a) Después de 1 s y luego de 3 s. 61 (a) 4320 m

(b) 96.86 C

59 Si z z, entonces a bi a bi y por tanto bi bi,

o bien 2bi 0. En consecuencia b 0 y z a es real. Por el contrario, si z es real, entonces b 0 y de ahí z a 0i a 0i a 0i z. EJERCICIOS 2.5

9

(b) Después de 4 s. 17

63 2 pies

65 12 pies por 12 pies

27

1 1 67 3 214 4.9 millas o 3 214 1.1 milla 2 2 69 (a) d 100 220t 2 4t 1 (b) 3:30 P.M.

37

71 14 pulg por 27 pulg

43

77 2 pies

73 7 mph

79 15.89 s

81 (a) 0; 4 500 000 83 (a) 2

75 300 pares

51 (b) 2.13 10

7

53

(b) 47.65 F

59

EJERCICIOS 2.4 1 2 4i

3 18 3i

9 21 20i 17 i 25

11 24 7i

3 3 19 i 10 5

2 4 i 5 5

5 41 11i

1 21 i 2

27 142 65i

44 95 31 i 113 113 37 x 3, y 4

13 25

21 33 i 2 39 3 2i

7 17 i 15 i

34 40 23 i 53 53 29 2 14i

35 x 4, y 1 41 2 3i

2 2 5 No hay solución. 7 , 2 ,2 3 3 1 5 57 9 13 15 26, , 0 11 0, 25 2 2 5 5 1 19 6 21 6 23 5, 7 25 3 262 2 5 1 29 31 3 33 0, 4 35 3, 4 4 1 8 70 10 229 , 8 39 2, 3 41 10 27 25 16 4 2 5 , 45 , 47 49 0, 4,096 4 9 3 3 2 (a) 8 (b) 8 (c) No hay soluciones reales. (d) 625 (e) No hay soluciones reales. 1 gT 2 55 h

l

2S 2 2r 4 57 h 97% de L 4 2 r 432 9.16 pies s 61 $4.00 63 2 3 10.3 cm 53.4%

1 15, 7

65

3

67 Hay dos rutas posibles, correspondientes a x 0.6743

millas y x 2.2887 millas. 69 (a) 2

(b) 860 min

71 3.7 3.7 1.8

EJERCICIOS 2.6 1 (a) 2 2 (d) 1

7 3

(b) 11 7

(c)

7 1 3


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3 , 2

5 4, ( 2

0

0

7 2, 4 ) 2

9 3, 7 ] 4

0

11 2, 5

39 45 49

23

63

,

4 3

3 9 , 5 5

8 , 3

67 4, 4

55

59 ,

4,

9 1 , 2 2

7 , 4

13 , 4

69 2, 1 3, 6

75 5 T1 T2 10

77 86 F 104

79 R 11

81 4 p 6

2 años 85 (a) 5 pies 8 pulg (b) 65.52 h 66.48 3

83 6

1

1

3 2, 1 4,

7 , 2 4, 11 2, 4

13 4, 4

17 , 0

9 , 16

21 2 2, 25 2, 0 0, 1 29 , 3 0, 3

,

9

15

5 2

3 3 , 5 5

5 2, 3

23 , 2 2, 1 0 27 2, 2 5,

3 7 , 2 3

2 3

4,

1 s 45 0 v 30 2 49 Altura 25 600 km 43

53 3, 2 2, 4

3 32

2 5

8 11 14 16 19

31

3 2

2 1 219 3 3 5 5 1 1 1 229 221 9 10 , 22 2 2 2 2 2 1 1 1 2 27, 214 i 27, 125 12 13 2 5 5 5 1 1 1 2 271 i 15 214 i, 23 i 6 6 2 3 3 1 6 2 25 17 , 2 18 5, 4 2 2 1 1 13 , 20 21 2 22 3, 1 23 5 4 9 4 6 4,

25 2 23

7

26 5 213 i

2 , 3

29

3 , 10

11 9 , 4 4

32

7,

,

3 2

30

3 , 2

43 1, 46 D

7 2

36 2, 4 8, 10

2 , 5

2, 9

38 2, 5

40 3, 1 1, 2

42 , 5 1, 5 45 C

44 0, 1 2, 3

CB3 (A E)3

47 r

3

50 r

hR 212hV 32h2R2 2h

8FVL P

2 PN1

3V 4

48 R

4

13 , 23

34 0, 6

11 35 , 7, 3

41

27 3

33 , 1 5,

37

4 No hay solución.

39 , 2 0 3,

1,

19 , 2 2,

31

5 6

5 Toda x 0

EJERCICIOS 2.7

1 1 , 3 2

1,


28

(c) , 8 2, 73 w 148 2

35

39 1, 0 1,

51 70.5 V 81.4

24 8

(b) 8 x 2

71 (a) 8, 2

7 2

2, 5

41 0, 2 3, 5

61 , 3 3,

65

5 3

1,

2,

31 9, 19

26 16 8 , 35 6, 12 37 , 3 3 53 4 2 4 , , 41 , 43 5 3 3 Todos los números reales excepto 1. 47 3, 3 , 5 5, 51 3.01, 2.99

53 , 2.1 1.9, 57

17 x 4

29 1, 6

47 0 S 4000

15 4 x 1

21

25 12,

] 7

) 5

0

16 , 3 27 6,

19 x 5

37

] 3

0

] 2

13 5 x 8

33

33 , 1

] 4

R5

49 h R

1 24R2 c2 2 51 15 2i


R6

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Page A6


52 28 6i

48 9 i 53 53

55

9 2 i 85 85

53 55 48i

54

56 2 5i

57 56

10 58 R2

ohms 3

Capítulo 3 EJERCICIOS 3.1 y

1

59 11.055%

60 60.3 g

61 6 oz de verduras y 4 oz de carne.

F

D

C

E

62 315.8 g de alcohol etílico y 84.2 g de agua. 63 80 gal de solución al 20% y 40 gal de solución al 50%.

x

A

B

66 64 mph

64 75 mi

65 2 640 67 58.2 mph 11

68 1 hr 40 min

69 165 mi 3 La recta que biseca los cuadrantes I y III.

70 10 5 23 1.34 mi

71 3 25 6 0.71 micras y

72 (a) d 22900t 200t 4 2

5 2 219 603 1.97 , o sea aproximadamente 145 11:58 A.M.

(b) t

C

73 Hay dos arreglos: 40 pies 25 pies y 50 pies 20 pies. 74 (a) 2 22 pies (b) 2 pies 75 12 pies por 48 pies

2 77 Después de 7 años 3

76 10 pies por 4 pies

B

A

x

D E

78

4p8

81

5 A3, 3, B3, 3, C3, 3, D3, 3, E3, 0, F0, 3

80 T 279.57 K

79 Más de $100 000

7 (a) La recta paralela al eje y que corta el eje x en 2, 0.

2 210 T 25 5 7

82 v

626.4 2 6472

(b) La recta paralela al eje x que corta el eje y en (0, 3).

7.786 km s

84 36 a 38 árboles acres

83 20 w 25

85 $320 a $340

86 3

EJERCICIOS DE ANÁLISIS DEL CAPÍTULO 2 1 No 3 (a)

b 2 2a ac bd ad bc 2 i a2 b2 a b2

(b) Sí

(c) a y b no pueden ser ambas 0. 5 a 0, D 0: x ;

a 0, D 0: , x1 x2 , ;

(d) Todos los puntos de los cuadrantes I y III. (e) Todos los puntos abajo del eje x. (f) Todos los puntos sobre el eje y. 9 (a) 229

(b)

11 (a) 213

(b)

b ; 2a

a 0, D 0: x1, x2 1 2497D 497G 64 000 6 8 1 101 000; cx 2 c debe ser no negativo. 6 (a) 11 006 pies (b) h

5,

1 2

7 , 1 2

(b) 5, 3

13 (a) 4

15 dA, C dA, B2 dB, C2; área 28 17 dA, B dB, C dC, D dD, A y 2

dA, C2 dA, B2 dB, C2 19 13, 28

a 0, D 0: ; a 0, D 0: x

(c) Todos los puntos sobre el eje y y a la derecha de éste.

21 dA, C dB, C 2145

23 5x 2y 3 25 2x 2 y 2 5; un círculo de radio 5 con centro en el

origen. 27 0, 3 211 , 0, 3 211 31 a

2 oa 4 5

29 2, 1


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Page A7

R7

RESPUES TAS A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS y

33 Sea M el punto medio de la hipotenusa. Demuestra que

y

1 dA, M dB, M dO, M

2a2 b2. 2 x

35

37 (a) x

19 16; 4

17 0; 0

10, 10 por 10, 10

1988, 1996 por 54 106, 61 106, 106

y

y

(b) El número es creciente. EJERCICIOS 3.2 x

x

Ejercicios 1 al 20: se indica dónde corta(n) el eje x y a continuación dónde corta(n) el eje y. 1 1.5; 3

3 1; 1 y

21 (a) 5, 7

y

23 x

(b) 9, 11

(c) 13

25

y

y

x

x

x 1

7 2 22; 1

5 0; 0

y

y

27

29

y

y

x

x

x

x

11 3; 23

9 0; 0

y

y

31

y

33

x

x

x

13 0; 0

y

15 2; 8

x


R8

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Page A8


35 x 22 y 32 25

37 x

39 x 42 y 62 41

1 4

2

y2 5

(b) 42 C

87 (a) 1126 pies/s

41 x 32 y 62 9 43 x 42 y 42 16 45 x 12 y 22 34

47 C2, 3; r 7

51 C3, 1; r

49 C0, 2; r 11

1 270 2

50, 50, 10 por 900, 1200, 100

53 C2, 1; r 0 (un punto) 55 No es una circunferencia, porque r2 no puede ser igual a –2.

EJERCICIOS 3.3

57 y 236 x 2; y 236 x 2; x 236 y 2; 1 m

x 236 y 2 59 y 1 249 x 22;

3 4

y 1 249 x 22;

3m 0 y

y

x 2 249 y 12; x 2 249 y 12 61 (x 3) (y 2) 4

63

65 (a) Dentro

(c) Fuera

2

2

2

(b) Sobre

y 24 x 2

B A

(b) 3 25

67 (a) 2

2

73 , 3 2,

x

x

69 x 2 y 3 25 2

A

2

71 25

75 1, 0 0, 1

B

77 2

1.2, 0.5, 1.6

79

y

5 m no está definida. B

6, 6 por 4, 4 81

3, 3 por 2, 2 83

A x

0.6, 0.8, 0.6, 0.8

7 Las pendientes de lados opuestos son iguales.

0.999, 0.968, 0.251, 0.032

9 Las pendientes de lados opuestos son iguales y las

pendientes de dos lados adyacentes son recíprocas de signo contrario. 11 12, 0 13

3, 3 por 2, 2 85

y y 2x

y ~ x

m 1

y 3x

m q

m Q

y sx

P x

0, 4 por 0, 4

y

15

x


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Page A9


5 4

17 y 3 (x 2)

59 H

y

19

8 7520 T 3 3

61 (a) T 0.032t 13.5

(b) 16.22 C

63 (a) E 0.55R 3600

(b) P 0.45R 3600

(c) $8000 65 (a) Sí: la criatura en x 3.

x

67 34.95 mph

(b) No

69 a 0.321; b 0.9425

71 19, 13 21 (a) x 5

(b) y 2

25 3x y 12

27 11x 7y 9

29 5x 2y 18 33 y

3 x3 4

31 5x 2y 29 35 y

37 5x 7y 15 41 m

23 4x y 17

1 11 x 3 3

30, 3, 2 por 2, 20, 2

39 y x

2 ,b 5 3

43 m

73 0.8, 0.6, 4.8, 3.4, 2, 5; triángulo rectángulo

4 , b 3 3

isósceles.

y

y

x

x

15, 15 por 10, 10 75 y 3.2x 2.6 45 (a) y 3

(b) y

1 x 2

(c) y

3 x1 2

(d) y 2 x 3

x y 49 x 32 y 22 49

1 3 2 3 51 Aproximadamente 23 semanas. 47

53 (a) 25.2 tons

(b) Hasta de 3.4 tons.

5 (b) 58 x 14 20 57 (a) W

(b) 50 lb t 10 3 55 (a) y

(d)

8, 5 por 27, 15, 5 77 (b) y 55x 108 685

(c) 9 años

W 90

1980, 1988 por 300, 625, 100 (c) $435 000; $1 040 000 EJERCICIOS 3.4 10 1

12 t

1 6, 4, 24 3 12, 22, 36 5 (a) 5a 2 (b) 5a 2 (c) 5a 2 (d) 5a 5h 2 (e) 5a 5h 4 (f) 5

R9


R10

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16:53

Page A10


7 (a) a2 4

(b) a2 4

(c) a2 4

y

39 (a)

(b) D , ,

R , 4

(e) a h 8

(d) a 2ah h 4 2

2

2

2

(c) Creciente en

(f) 2a h 9 (a) a2 a 3

(d) a2 2ah h2 a h 3 (e) a h a h 6 2

13 (a) (d)

1 (b) 4a2

2a a2 1

(b)

x

(f ) 2a h 1

2

4 11 (a) 2 a

, 0, decreciente en 0,

(c) a2 a 3

(b) a2 a 3

(c) 4a

a2 1 2a

(d) 2a (c)

2 2a a1

(b) D 4, ,

y

41 (a)

22a3 2a

R 0,

a 1

(c) Creciente en

2

4,

15 La gráfica corresponde a una función porque pasa la

prueba de la recta vertical.

x

17 D 4, 1 2, 4; R 3, 3 19 (a) 3, 4

(e)

1,

1 2

(b) 2, 2

(c) 0

(d) 1,

1 , 2. 2

2, 4

7 23 3, 3 , 2 25 Todos los números reales excepto –2, 0, y 2 21

y

43 (a)

(b) D , ,

R 2

(c) Constante en

,

3 27 29 2, 31 2, 2 , 4 4, 2 33 (a) D 5, 3 1, 1 2, 4; R 3 1, 4 (b) Creciente en 4, 3 3, 4; decreciente en 5, 4 2, 3; es constante en 1, 1

x

y

45 (a)

(b) D 6, 6,

R 6, 0

y

35

(c) Decreciente en

6, 0, creciente en 0, 6

2

37 (a)

x

x

3

y

(b) D , ,

R , (c) Creciente en , x

47 h 1 49 2x h

51

1 2x 3 2a 3

53 f x

1 3 x 6 2

61 No

63 No

500 67 (a) yx

x 69 Sh 6h 50

55 Sí

57 No

59 Sí

65 Vx 4x15 x10 x (b) Cx 300x

100 000 600 x


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Page A11


71 (a) yt 2.5t 33

EJERCICIOS 3.5

y

(b)

R11

(7, 50.5)

(10, 58)

El aumento anual en estatura

1 f (2) 7, g(2) 6 3 Impar

(6, 48)

5 Par

7 Ninguno

y

13

9 Par

15

11 Impar y

10 t

1

x

x

(c) 58 pulg 73 dt 2 2t 2 2500 75 (a) yh 2h2 2hr 77 dx 290 400 x

(b) 1280.6 mi 17

2

19

y

y

(b) 0.75, 0.75 (c) Decreciente en

79 (a)

2, 0.55 y en 0.55, 2, creciente en 0.55, 0.55 2, 2 por 2, 2 81 (a)

(b) 1.03, 1 (c) Creciente en

y

21

23

[0.7, 0] y en [1.06, 1.4], decreciente en [0, 1.06] 0.7, 1.4, 0.5 por 1.1, 1 (b) 8 (c) No hay soluciones reales. (e) No hay soluciones reales.

83 (a) 8

85 (a) 5985

x

x

y

x

x

(d) 625

(b) A lo sumo 95.

y

25

2857 5 636 795 x 87 (a) f x

3 3

x

1984, 2005, 5 por 10 000, 30 000, 10 000 (b) Aumento promedio en el precio pagado por un auto

nuevo.

27 2, 4

29 7, 3

31 6, 2

33 La gráfica de f está desplazada 2 unidades a la derecha y

3 unidades hacia arriba. 35 La gráfica de f está reflejada con respecto al eje y y des-

(c) 1999

plazada 2 unidades hacia abajo.


R12

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16:53

Page A12


37 La gráfica de f está comprimida verticalmente por un fac-

(1)

tor de 2 y reflejada con respecto al eje x.

(j) y

y

39 La gráfica de f está alargada horizontalmente por un fac-

tor de 3, comprimida verticalmente por un factor de 2 y reflejada con respecto al eje x. x

41 (a)

x

(b) y

y

(k)

x

x

(l) y

y

x

(c)

x

(d) y

y

x

x

43 (a) y f x 9 1

(b) y f x

(c) y f x 7 1 45 (a) y f x 4

(e)

47

(f) y

(b) y f x 1

49 y

y

y

(c) y f x

x x

x

(g)

51

(h)

y

y

y

x

x

x

x


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16:53

Page A13


53 (a)

(b) y

61

y

y

x

x x

63 (a) D 2, 6, (c)

(d) y

y

x

x

(b) D 4, 12,

R 4, 8

(c) D 1, 9,

R 3, 9

(d) D 4, 4,

R 7, 5

(e) D 6, 2,

R 4, 8

(f) D 2, 6,

R 8, 4

(g) D 6, 6,

R 4, 8

(h) D 2, 6,

R 0, 8

65 Tx

(e) y

R 16, 8

67 Rx

0.15x si 0 x 20 000 0.20x 1000 si x 20 000

1.20x si 0 x 10 000 1.50x 3000 si 10 000 x 15 000 1.80x 7500 si x 15 000

69 3.12, 22

x

71 , 3 3, 1.87 4.13, 73 55 Si x 0, dos puntos diferentes de la gráfica tienen la

misma coordenada x.

57

59

12, 12 por 8, 8

y

y

75

x

x

12, 12 por 8, 8

R13


R14

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16:53

Page A14


77

15 (a)

3 5 , 4 3

y

(c)

11 841

(b) Máx: f 24 48

2411 , 841 48

12, 12 por 8, 8 79 (a) 194.80, 234.80

(b) C1x

x

119.80 si 0 x 200 119.80 0.25x 200 si x 200

C2x 159.8 0.15x para x 0 (c)

x

Y1

Y2

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

119.8 119.8 144.8 169.8 194.8 219.8 244.8 269.8 294.8 319.8 344.8 369.8

174.8 189.8 204.8 219.8 234.8 249.8 264.8 279.8 294.8 309.8 324.8 339.8

17 (a)

4 3

(b) Mín: f

4 3

19 (a) Ninguno (b) Mín: f 2 5 y (c)

0

(c) y (2, 5)

x

d, 0 2 x

2

21 (a) 5

(b) Máx: f 5 7

y

(c)

(d) I si x 0, 900, II si x 900

1 214 6.87, 3.13 2

(5, 7)

EJERCICIOS 3.6 1 y ax 32 1

x

3 y ax 2 3

5 f x x 22 4

7 f x 2x 32 4

9 f x 3x 1 2 2

11 f x

3 x 62 7 4

13 (a) 0, 4 (b) Mín: f 2 4

(c)

23 y

1 x 42 1 8

25 y

4 x 22 4 9

y

27 y

1 (x 2)(x 4) 2

29 y 3x 02 2

31 y

x (2, 4)

33 y 39 10.5 lb

1 x 12 4 4 41 (a) 424 pies

5 x 32 5 9

35 6.125

37 24.72 km

(b) 100 pies

43 20 y 20


10/30/2006

16:53

Page A15


(c) 166

3 x 4

(b) Ax x 250

3 x 4

2 pies por 125 pies 3

47 y

49 (a) y

1 2 x 10 500

4 9 x 27 2

2

3 (b) 282 pies

51 2 pies

(c) 2.33 pulg

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

45 (a) yx 250

R15

4 x 80 si 800 x 500 25 1 2 63 (a) f x x 40 si 500 x 500 6250 4 x 80 si 500 x 800 25 (b)

53 500 pares 55 (a) Rx 500x30 x (b) $15 R (15, 112 500)

800, 800, 100 por 100, 200, 100 4 2 8 x x 225 3

65 (a) f x (b) 20 000 10

x

0.57, 0.64, 0.02, 0.27, 0.81, 0.41

57

0, 180, 50 por 0, 120, 50 (c)

3, 3 por 2, 2 Valores más pequeños de a producen una parábola más ancha; valores más grandes de a dan lugar a una parábola más angosta.

59

0, 600, 50 por 0, 400, 50 El valor de k afecta tanto la altura como la distancia 1 recorrida en un factor de . k EJERCICIOS 3.7

8, 4 por 1, 7 61 (b) f x 0.17x 72 0.8

1 (a) 15

(b) 3

(c) 54

2 3

3 (a) 3x 2 1; 3 x 2; 2x 4 3x 2 2; (b)

7 (a)

x2 2 2x 2 1

(c) Todos los números reales excepto

5 (a) 2 2x 5; 0; x 5; 1

0.5, 12 por 0, 8

(d)

(b) 5,

1 22. 2

(c) 5,

3x 2 6x x 2 14x 2x 2 ; ; ; x 4x 5 x 4x 5 x 4x 5 2x 5 x4


R16

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16:53

Page A16


63 (a) Y1 x, grafica Y3 2Y2

(b) Todos los números reales excepto 5 y 4. (c) Todos los números reales excepto 5, 0 y 4. 9 (a) 2x 2 1 (d) x

(b) 4x 2 4x 1

(c) 4x 3

4

11 (a) 6x 9

(b) 6x 8

13 (a) 75x 4

(c) 3

(b) 15x 20

2

2

15 (a) 8x 2x 5

(d) 10

(c) 304

(b) 4x 6x 9

2

2

(d) 155 (c) 31

12, 12, 2 por 16, 8, 2

(d) 45 17 (a) 8x 3 20x

(b) 128x 3 20x

(c) 24

(d) 3396 (b) 7

19 (a) 7

(b) Y1 0.5x, grafica Y2

(d) 7

(c) 7

21 (a) x 2 3 2x 2; 2, (b) 2x 2 3x 2; , 1 2, 23 (a) 3x 4; 0, (b) 23x 2 12; , 2 2, 25 (a) (b) 27 (a)

12, 12, 2 por 16, 8, 2

2x 5 2; 1,

2x 2 5; 2,

3

(c) Y1 x 3, grafica Y3 Y2 1

2x 2 16; 5, 4 4, 5

(b) 2x 13; , 13 29 (a) x;

(b) x;

31 (a)

1 ; todos los números reales diferentes de cero. x6

(b)

1 ; todos los números reales diferentes de cero. x6

12, 12, 2 por 6, 10, 2

33 (a)

1 ; todos los números reales excepto 4 y 5. 5x

(d) Y1 x 2, grafica Y3 Y2 3

(b)

2x 5 7 ; todos los números reales excepto 2 y . 3x 7 3

35 3 22 37 (a) 5

(b) 6

39 20 2x 1 2

45 At 36 t

(c) 6

(d) 5

41 Impar 2

(e) No es posible.

43 31.26

3 t 47 rt 9 2

49 ht 5 2t 2 8t 51 dt 290 400 500 150t2

12, 12, 2 por 6, 10, 2 (e) Y1 x, grafica Y2

Ejercicios 53 al 60: las respuestas no son únicas. 53 u x 2 3x, y u1/3

55 u x 3, y u4

57 u x 4 2x 2 5, y u5 59 u 2x 4, y

u2 u2

61 5 1013

12, 12, 2 por 8, 8, 2


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Page A17


(f) Y1 x, grafica Y3 Y2

19 (a)

1 2

(e)

(b)

x 2x 3

20 Positivo

12, 12, 2 por 8, 8, 2 (g) Y1 abs x, grafica Y2

x

2

2x 3 2

(g)

x 23 x

x2 x3

4 , ; 0, 3 (b) Todos los números reales excepto 3; 0, .

22 (a)

25 f x

1 a h 2a 2

24

5 1 x 2 2

26 (a) Impar

(h) Y1 x, grafica Y3 abs Y2

22

(f)

(d)

(c) 0

21 Positivo

23 2a h 1

12, 12, 2 por 8, 8, 2

1

R17

(b) Ninguno

(c) Par

Ejercicios 27 al 40: se muestra(n) los puntos donde corta x, seguidos de los puntos donde corta y. 27 5; ninguno.

28 Ninguno; 3.5. y

y

x

x

2, 6 por 0, 8


29 1.6; 4

4

30 4; 3

y

y

1 Los puntos de los cuadrantes II y IV 2 dA, B2 dA, C2 dB, C2; área 10

4 6 7 8 10 11 12 14

13 ,1 (c) 11, 23 2 5 2 a 1 0, 1, 0, 11 x 72 y 42 149 x 32 y 22 169 11 x 2 29 y2 9 19 2 La pendiente de AD y BC es . 3 (a) 18x 6y 7 (b) 2x 6y 3 8 y x8 13 x 52 y 12 81 3 15 5x y 23 x y 3

3 (a) 2265

16 2x 3y 5

(b)

17 C0, 6; r 25 1 18 C3, 2; r

213 2

x

31 0; 0

x

32 0; 0

y

x

y

x


R18

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Page A18


34 1; 1

33 1; 1 y

(b) D ; R (c) Decreciente en

y

43 (a) y

,

x x

x

35 4; 4

(b) D ;

y

44 (a)

R 1000

36 Ninguno; 8. y

(c) Constante en

y

,

500 x

500 x

x

(b) D ;

y

45 (a)

R 0,

(c) Decreciente en

38 3; 3

37 0, 8; 0

y

y

x

, 3, creciente en 3,

x

x

46 (a)

(b) D 210, 210 ;

y

R 210, 0

(c) Decreciente en 39 3 22; 7

40 3, 1; 3

y

210, 0 , creciente en 0, 210

y x

x

x

47 (a)

(b) D 1, ;

y

R , 1

(c) Decreciente

en 1, 41

28,

28

42 La gráfica de y f (x 2) es la gráfica de y f (x)

desplazada 2 unidades a la derecha y reflejada con respecto al eje x.

x


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Page A19


48 (a)

(b) D , 2;

y

53 (a)

y

R19

y

(b)

R 0, (c) Decreciente en , 2 x

x

49 (a)

(b) D ;

y

R , 9 (c) Creciente en , 0, decreciente en 0,

(c)

y

x

(d)

y

x

x x

(b) D ;

y

50 (a)

R 7, (c) Decreciente en , 3, creciente en 3,

(e)

y

(f)

y

x

x

x

51 (a)

(b) D ;

y

R 0,

54 (a)

y

(b)

y

(c) Decreciente

x

52 (a)

en , 0, creciente en 0, 2, constante en 2,

x

x

y

(c)

y

(d)

y

x x

(b) D ; R . . . , 3, 1, 1, 3, . . . (c) Constante en [n, n 1), donde n es cualquier entero.

x


R20

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Page A20


(e)

(f)

3 r3 16 10r 79 (a) V 10t 78 Cr

y

y

(b) V 200h2 para 0 h 6;

V 7200 3200h 6 para 6 h 9 (c) h

80 (a) r

1 x 2

x

x

(g)

t 720 t para 0 t 720; h 6 para 20 320 720 t 1680

81 (a) yh

y

(c)

5 1 x3 4 48 1 (b) Vh ha2 ab b2 3

(b) y

bh ab

200 9.1 pies 7

18 h después de la 1:00 P.M., o sea 2:23 P.M. 13 1 83 El radio del semicírculo es mi; la longitud del rectán8 1 gulo es de mi. 8 82

x

84 (a) 1 s

56 x 22 y 12 25

55 2x 5y 10

1 x 22 4 58 y x 2 1 2 59 Mín: f 3 4 60 Máx: f 5 7 57 y

61 Máx: f 1 37

65 (a) 0, 2

3 x 32 2 2 (b) 213 66 (a) 1

(b) 6x 15x 5

2

3 2x x2

2

2

(b)

1 ; todos los números reales excepto 3 y 0. x3 6x 4 2 (b) ; todos los números reales excepto y 0. x 3 3 u 72 Entre 36.1 pies y 60.1 pies. 71 u x 2 5x, y 2 74 (a) V 6000t 89 000

1 (b) 2 3

9 (b) 1.8 F C 32 5 1 5 x x 50 76 (a) C1x

(b) C2x

16 88 4 x 20 5

1 x3 2

(c) gx

1 x7 2

(d) gx

1 x 2

5 mPQ; la pendiente de la recta tangente

(b) Vx 4x

1

7 h ad 2 9 x

8 f x 40 20x 15

0.132x 12 0.7 0.517x 7.102

(c)

(c) 8800

4 x 20 5

m m m m x1 y1 x2, 1 y2 n n n n

0.4996 20.49962 40.08333.5491 D 20.0833

10 (b) f x

75 (a) F

77 (a) yx

(b) gx

6 Rx3, y3

70 (a)

(b) 2028

1 x3 2

en P.

225 x 2 3; 4, 4

73 (a) 245 pies

2 (a) gx

4 2ax ah b

1 3x 2

69 (a) 228 x; 3, 28 (b)

(b) 30.625 unidades.

EJERCICIOS DE ANÁLISIS DEL CAPÍTULO 3

64 y

(b) 0, 2

67 (a) 18x 9x 1 68 (a)

85 (a) 87.5, 17.5

62 Mín: f 4 108

63 f x 2x 32 4

(b) 4 pies

(c) En la Luna 6 s y 24 pies.

0.5, 12.5, 0.5 por 0, 5

si 1 x 6 si 6 x 12


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Page A21


Capítulo 4

17 f x 0 si x 2,

19 f x 0 si x 2 o

f x 0 si 0 x 2 EJERCICIOS 4.1

0 x 5, f x 0 si 2 x 0 o x 5

y

1 (a)

R21

y

(b) y

y

x

x

3 (a)

10

x

21 f x 0 si 2 x 3

(b) y

y

23 f x 0 si x 2,

o x 4, f x 0 si

f x 0 si x 2

x 2 o 3 x 4

o x 2 y

y x

x

2

x x x

5 f 3 2 0, f 4 10 0 7 f 2 5 0, f 3 5 0

9 f

1 2

11 (a) C

19 0, f 1 1 0 32

(b) D

(c) B

25 f x 0 si x 2 o

(d) A

13 f x 0 si x 2,

15 f x 0 si x 2,

f x 0 si x 2

f x 0 si x 2

y

27 f x 0 si x 2,

x 22, f x 0 si

f x 0 si x 2,

22 x 2

x 0, x 1 y

y

y

3 x

1 x

1

x x

1


R22

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Page A22


29

41 (b) Vx 0 en 0, 10

y

y 15, ; los valores permisibles para x están en 0, 10.

x

43 (a) T 0 para

0 t 12; T 0 para 12 t 24

(b)

V

T

10 200

t

6

y

31 (a)

x

2

(c) T 6 32.4 32,

a b

T 7 29.75 32

x

c

45 (a) Nt 0 para 0 t 5 (b) abc

(c) , a b, c

extingue después de cinco años.

N

(d) a, b c,

33 Si n es par, entonces (x)n xn y de aquí que f (x) f (x),

(b) La población se

100

por tanto f es una función par. 35

4 3

t

1

37 4

39 Px 0 en 5 215, 0 y 5 215, ; 1

1

Px 0 en , 51 215 y 0, 15 215

47 (a)

x

P

x

60 40 20 20 40 60

f x

gx

hx

kx

25 920 000 5 120 000 320 000 320 000 5 120 000 25 920 000

25 902 001 5 112 001 318 001 318 001 5 112 001 25 902 001

25 937 999 5 127 999 321 999 321 999 5 127 999 25 937 999

26 135 880 5 183 920 327 960 312 040 5 056 080 25 704 120

(b) Se hacen semejantes. 49 (a) (1)

9, 9 por 6, 6

(c) 2x 4 (2)

9, 9 por 6, 6


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Page A23


(3)

(4)

9, 9 por 6, 6

9, 9 por 6, 6

(b) (1) A medida que x se aproxima al , f x se acerca al ;

conforme x se aproxima a , f x lo hace a . (2) A medida que x se aproxima al , f x se aproxima a ; a medida que x se acerca a , f x se aproxima al , (3) A medida que x se aproxima al , f x lo hace al ; a medida que x se acerca a , f x se aproxima a . (4) A medida que x se aproxima al , f x se aproxima a ; a medida que x se aproxima a , f x se acerca al . (c) Para la función cúbica f x ax 3 bx 2 cx d con a 0, f x se aproxima al a medida que x se acerca a y f x se aproxima a a medida que x se acerca a . Con a 0, f x se acerca al conforme x lo hace a y f x se aproxima a a medida que x se acerca a . 1.89, 0.49, 1.20

51

1.29, 0.77, 0.085, 2.66, 1.36, 0.42

59

4.5, 4.5 por 2, 4 61 (a) Ha aumentado.

1975, 1995 por 20, 40 (b) 1992 EJERCICIOS 4.2 1 2x 2 x 3; 4x 3 5 0; 7x 2

9 53 ; 2 2

7

13 f 3 0

3

3 1 x; x 4 2 2 9 26

15 f 2 0

11 7 17 x 3 3x 2 10x

19 x 4 2x 3 9x 2 2x 8 21 2x2 x 6; 7 23 x2 3x 1; 8

4.5, 4.5 por 3, 3 53

25 3x4 6x3 12x2 18x 36; 65

1.88, 0.35, 1.53

27 4x3 2x2 4x 2; 0 31 0.0444

29 73

33 8 7 23 35 f 2 0

4.5, 4.5 por 3, 3

37 f

1 2

41 f c 0

39 3, 5

0.56,

55

(b)

43 14

n

1 1 5 245 , 2 7 245 2

49 (a) A 8x 2x 3

1.10,

57

0

45 Si f x x y y n es par, entonces f y 0. n

47 (a) V x 26 x

4.5, 4.5 por 3, 3

(b) 213 1 2.61

51 9.55 53 0.75, 1.96 EJERCICIOS 4.3 1 4x 3 16x 2 4x 24

4.5, 4.5 por 3, 3

R23

5 2x 6x 8x 24 3

2

3 3x 3 3x 2 36x


R24

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Page A24


7 x 4 2x 3 23x 2 24x 144

43 (a) f x ax 33x 1x 22

(b) 108

45 f x x 4x 2x 1.52x 3

y

47 No 51 f t

49 Sí: 1.5x 2x 5.2x 10.1

5 tt 5t 19t 24 3528 Conforme aumenta la multiplicidad, la gráfica se hace más horizontal en (0.5, 0).

53 20 x

1

9 3x 6 27x 5 81x 4 81x 3

3, 3 por 2, 2

y

1.2 (multiplicidad 2); 1.1 (multiplicidad 1).

55

x

1 10

3, 3 por 3, 1 57 2007 cuando t 27.1

7 3 x 3 11 f x x 1 x 9 2

59 (a) (3)

13 f x 1x 12x 3 15

2 (multiplicidad 1); 0 (multiplicidad 2); 3

5 (multiplicidad 3). 2 3 17 (multiplicidad 2); 0 (multiplicidad 3). 2

0.5, 12.5 por 30, 50, 5

19 4 (multiplicity 3); 3 (multiplicidad 2);

(b) 4 x 5 y 10 x 11 61 7.64 cm

3 (multiplicidad 5).

(c) 4.02, 10.53

63 12 cm

21 4i, 3 (cada uno de multiplicidad 1). 23 f x x 32x 2x 1 25 f x x 15x 1

1 x 2 6x 13

Ejercicios 27 al 34: los tipos de posibles soluciones aparecen en el orden positivo, negativo, no real complejo. 27 3, 0, 0 o 1, 0, 2

29 0, 1, 2

33 2, 3, 0; 2, 1, 2; 0, 3, 2; 0, 1, 4 37 Superior, 2; inferior, 2.

39 Superior, 3; inferior, 3. 41 f x

3 x 2x 2 4x 29

5 xx 1x 6x 10 2

7 x 2 8x 25x 2 4x 5 9 xx 2 4x 2 2x 2

Ejercicios del 11 al 14: demuestra que ninguna de las posibles raíces racionales indicada satisface la ecuación.

31 2, 2, 0; 2, 0, 2; 0, 2, 2; 0, 0, 4

35 Superior, 5; inferior, 2.

EJERCICIOS 4.4

1 x 12x 1x 23 4

11 1, 2, 3, 6

13 1, 2 5 17 3, 2, 19 7, 22, 4 2 2 1 21 3, , 0 (multiplicidad 2), 3 2

15 2, 1, 4


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16:54

Page A25


23

3 3 3 27 i , 4 4 4

7

R25

9 y

y

25 f x 3x 22x 1x 12x 2 27 f x 2x 0.9x 1.1x 12.5 29 No. Si i es una raíz, entonces i también es una raíz; por

x

x

tanto, el polinomio tendría factores x 1, x 1, x i, x i por consiguiente sería de grado mayor que 3.

31 Puesto que n es impar y se presentan ceros complejos no

reales en pares conjugados para polinomios con coeficientes reales, debe haber por lo menos un cero real.

11

13 y

y

33 (a) Las dos cajas corresponden a x 5 y

x 5 2 22 .

(b) La caja corresponde a x 5. 35 (c) En pies: 5, 12 y 13

x

1 23 i 2 2

43 10 200 m

x

x w

x w

15

EJERCICIOS 4.5

17 y

y

(b) D todos los núme-

y

1 (a)

y 2

37 (b) 4 pies

41 1.2, 0.8,

39 Ninguno

(2, 1)

y 2

ros reales diferentes de cero; R D (c) Decreciente en , 0 y en 0,

x

x

x

19

21 y

y

3 AV: x 3;

AH: y 2; 22 hueco: 6, 3

5

x

x

y

y 2 3

23

25 y

y

x

2, s 6

x 1 x 2

x 1 x

y 3

5 5

f (x)

2(x 3)(x 2) (x 1)(x 2)

x


R26

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Page A26


y

27

y

29

43 f x

110

2

x2 para x 2 x1 y

60

1

0

x

x 2

x

(2, 0)

33 y x 2

y

31

y

45 f x

y x2

3x x4

49 (a) h

x x

47 f x

16 1 r 0.52

6x 2 6x 12 x 3 7x 6

(b) Vr r 2h

(c) Excluye r 0 y r 3.5.

t 10t 100 (c) Conforme t l , ct l 0.1 lb del sal por galón.

51 (a) Vt 50 5t, At 0.5t

35 y

1 x 2

37 f x

2x 3 para x 2 x1

53 (a) 0 S 4000 (b) 4500 (c) 2000 (d) Un aumento de 125% en S produce sólo un 12.5% de

incremento en R.

y

y

57 x 0.999

55 Ninguno

(2, 7)

(b)

x x

y q x

9, 3 por 9, 3 39 f x

59 (a) La gráfica de g es la recta horizontal y 1 con hue-

1 para x 1 41 f(x) x 1 para x 2 x1

cos en x 0, 1, 2, 3.

y

y

0.7, 1.3, 0.1 por 0.8, 1.2, 0.1

(b) La gráfica de h es la gráfica de p con huecos en

x 0, 1, 2, 3. 61 (a) y

1, q

x

(2, 3)

x

132 48x x4

(b)


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Page A27


(c)

21 (a) V k 2L

23 (a) W kh3

(b)

25 (a) F kPr 4

2, 4 por 0, 1000, 100

(b)

25 27

(c) 154 lb

fuerte.

(e) Sin importar el número de horas crédito adicionales

obtenidas en 4.0, no es posible alcanzar una calificación punto promedio (CPP) acumulativa de 4.0.

27 Se incrementa 250%.

29 d se multiplica por 9.

33 y

31 y 1.2x

35 (a) k 0.034

EJERCICIOS 4.6

2 5

(c) 60.6 mi hr

(b) Más o menos 2.05 veces más

(d) x 4

1 u kv; k

7 22 2

R27

10.1 x2

(b)

s t

3 r k ; k 14

x2 ; k 27 z3 x 9 y k 2; k 36 z

2 49 40 2x 11 y k 3 ; k

z 3

5 y k

7 z kx 2y 3; k

13 (a) P kd (b) 59 (d) P (lb/pies2)

(c) 295 lb pies2

0, 75, 10 por 0, 600, 100 EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 4 6 32 2 f x 0 si x 2

1 f x 0 si x 2,

f x 0 si x 2

P 59d

6 ox 2 32, f x 0 6 6 si 2 32 x 2 32

y

y

295 10

118

10

2

5

x

d (pies) x

l 15 (a) R k 2 d (c)

1 (b) 40 000

R (ohms)

3 f x 0 si 2 x 1

o 1 x 3, f x 0 si x 2 o x 3

25 R

1 400d 2

y

4 f x 0 si 1 x 0

o 0 x 2, f x 0 si x 1 ox 2 y

6.25 0.01

x

0.02 d (pulgadas)

x

50 ohms (d) 9 17 (a) P k 2l 19 (a) T kd 3/2

3 22 4 365 (b) 933/2 (b)

(c)

3 23 sec 2

(c) 223.2 días


R28

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5 f x 0 si 4 x 0

o x 2, f x 0 si x 4 o 0 x 2

6 fx 0 si 4 x 2,

y

22 (a) Ya sea 2 positivos y 3 negativos; 2 positivos, 1 negativo

0 x 2, o x 4, f x 0 si x 4, 2 x 0, o 2 x 4 y

y 2 complejos no reales; 3 negativos y 2 complejos no reales o 1 negativo y 4 complejos no reales. (b) Cota superior, 2; cota inferior, 3. 23 Como sólo hay potencias pares,

7x 6 2x 4 3x 2 10 10 para todo número real x. 5 5

24 3, 2, 2 i

x x

25

1 1 3 , , 2 4 2

26 26, 1

1 6

27 f(x) (x 2)3(x 1)2(x 3) 28 f(x)

7 f 0 9 100 y f 10 561 100. Por el teorema

del valor intermedio para funciones polinómicas, f toma todo valor entre 9 y 561; por tanto, hay por lo menos un número real a en [0, 10] tal que f (a) 100. 8

Sea f x x 5 3x 4 2x 3 x 1. f 0 1 0 y f 1 4 0. Por el teorema del valor intermedio para funciones polinómicas, f toma todo valor entre 4 y 1; en consecuencia, hay por lo menos un número real a en [0, 1] tal que f(a) 0.

9 3x 2 2; 21x 2 5x 9 11 132

1 (x 3)2x 2(x 3)2 16 4 3

29 AV: x 5; AH: y ; intersección x: 1

intersección y:

4 4 ; hueco: 2, 15 7

y

30

31

y

x

10 4x 1; 2x 1

x

12 f 3 0

13 6x 4 12x 3 24x 2 52x 104; 200 14 2x 2 5 2 22 x 2 5 22 ; 11 2 22

2 2 x 6x 34x 1 41 1 16 xx 2 2x 2x 3 4

y

32

15

17 x 7 6x 6 9x 5

33

y

y x

10 1

x

x

34

35 y

y

y x (1, 0)

18 x 23x 3x 1 19 1 (multiplicidad 5); 3 (multiplicidad 1). 20 0, i (todos tienen multiplicidad 2). 21 (a) Ya sea 3 positivos y 1 negativo o 1 positivo, 1 negativo,

y 2 complejos no reales. (b) Cota superior, 3; cota inferior, 1.

x (0, 4)

x


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Page A29


36

2, y

37

y

(b)

y x 4

x 2

C (miles de dólares) 2000

y 2

10 5

x

x

2

200 10

y

38

R29

39

100 x (por ciento)

y

49 375

y x


50 10 125 watts

y x1

x

x

2 Sí 4 No 8 (a) No

5n1

(b) Sí, cuando x

40 f(x)

3(x 5)(x 2) 3x 2 21x 30 o f(x)

2(x 3)(x 2) 2x 2 2x 12

41 27

42

y

7 f x

x 2 1x 1 x 2 1x 2

cd af , siempre que el denominador ae bd

no sea cero. x 9 f 1x

. Las asíntotas verticales son 281 x 2 x 9. Las asíntotas horizontales de f son y 9. 10 El segundo entero. 11 (a) $1476 (b) No es válido para valores de alta confiabilidad.

18 y

288 x2


2 4

12

x

1 15 000 (b) y 0.9754 1 si x 6.1 , y y 1.0006 1 si x 6.2 1 44 (a) V

xl 2 x 2 4

43 (a)

1 (a) 4

(b) No es posible.

3 (a) Sí 5 Sí

(b) No

7 No

(c) No es una función.

9 Sí

11 No

13 No

15 Sí

Ejercicios 17 al 20: demuestra que f gx x g f x. 17

19

y

y

(b) Si x 0, V 0 cuando 0 x l. 45 t 4 (10:00 A.M.) y t 16 4 26 6.2020

(12:12 P.M.) x

46 25 t 4 47 (a) R k (b) k es la rapidez máxima a la que el hígado puede eli-

minar alcohol del torrente sanguíneo. 48 (a) C100 $2 000 000.00 y C90 $163 636.36

21 , 0 0, ; , 1 1, 23 , 3 4

43 , ; , 83 83 ,

x


R30

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Page A30


25 f 1x

x5 3

27 f 1x

29 f1x

5x 2 2x 3

31 f 1x

33 f 1x

3

2x 1 3x

x5 2

39 f 1x x

x 3 2x 9

43 (a) 3

(2, 4) f f 1

(b) 1

R

(4, 2)

(c) 5

1 ,4 2

1 ,4 ; (c) D1

2 R1 1, 2

x

q, 1

12, 12 por 8, 8 59 (a) 805 pies3 min

(b) D 1, 2;

y

1, q

2x 3

35 f 1x 3 x 2, x 0

1

45 (a)

f 1x x 3 1

57

37 f 1x x 13 41 f

16:54

1 x. Dada una circulación de aire de 35 x pies3/min, V1 (x) calcula el número máximo de personas que deben estar en el restaurante a la vez. (c) 67 (b) V1x

EJERCICIOS 5.2

1 5

y x

11 (a)

y x f 1

(3, 2) (2, 3)

y

R 2, 2

(b)

18 5

93 y

x

R1 3, 3

(3, 2) f

7

x

(c) D1 2, 2;

(2, 3)

f

4 99

5

(b) D 3, 3;

y

47 (a)

3 1, 3

x

f 1

(c)

y

(d)

y

49 (a) Como f es biunívoca, existe una inversa;

xb . a (b) No; no es biunívoca. f 1x

x

x

51 (c) La gráfica de f es simétrica alrededor de la recta

y x; por tanto, f x f 1x. 53 Sí

(e)

y

(f)

y

(a) 0.27, 1.22

55

(b) 0.20, 3.31;

0.27, 1.22

1, 2 por 1, 4

x

x


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Page A31


(g)

y

y

(h)

25 f x 2 2

27 f x 2 3 3

29 f x 8 2

31 f x 1801.5x 32

5 x

2 x

1 x

33 (a) 90 x

x

R31

(b) 59

(c) 35

35 (a) 1039; 3118; 5400

37 (a) 50 mg; 25 mg;

25 22 17.7 mg 2

(b) f (t) (bacterias)

(b) f (t) (mg restantes)

(i)

y

y

( j)

1000

x

1

t (horas)

20

x

t (días)

10

1 1600

39 13

y

15

y

41 (a) $1010.00

(b) $1061.52

(c) $1126.83

(d) $10 892.55 43 (a) $7800

(b) $4790

(c) $2942

45 $161 657 351 965.80

x

47 (a) Examina la curva formada por el valor y en el año n. (b) Resuelve s 1 aTy0 para a.

x

49 (a) $925.75

(b) $243 270

51 $6346.40 17

y

19

y

53 (a) 180.1206

(b) 20.9758

(a) 26.13

55 x

(c) 7.3639 (b) 8.50

x

0, 60, 5 por 0, 40, 5 21

y

23

57 1.02, 2.14, 3.62

y

(a) No biunívoca. (b) 0

59

x

x

3, 3 por 2, 2


R32

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16:54

Page A32


61

EJERCICIOS 5.3 y

1 (a)

(b)

4, 1 por 2, 3

y

x

x

(a) Creciente: 3.37, 1.19 0.52, 1;

decreciente: 4, 3.37 1.19, 0.52

(b) 1.79, 1.94

y

63 6.58 años

y

3 (a)

(b)

El número máximo de ventas se aproxima a k.

65

x

x

0, 7.5 por 0, 5 Después de unos 32.8 años aproximadamente.

67

0, 40, 10 por 0, 200 000 50 000

5 $1510.59

7 $13 806.92

11 3, 4

3 4 ,0 17 x 19 27.43 g 4 e ex2 21 280.0 millones 23 13.5% 25 5610 27 7.44 pulg 29 75.77 cm; 15.98 cm año 13 1

15

31 $11.25 por hora

33 (a) 7.19%

(b) 7.25%

y

35

69 (a)

9 13%

y e1000x 1

10, 90, 10 por 200, 1500, 100 (b) La función exponencial f. 71 y 0.03(1.0588)t; 58¢ 73 (a) $746 648.43; $1 192 971

1 x

(c) 1989 (a) 29.96

37 (b) 12.44%

(c) Exponencial; polinomial.

0, 60, 5 por 0, 40, 5

(b) 8.15


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16:54

Page A33


39 (a)

(b)

R33

y 2.71 e

49 y

x

7.5, 7.5 por 5, 5

0, 200, 50 por 0, 8 51 0.567

Creciente en [1, ); decreciente en (, 1]

53 41 (a)

(b) y

5.5, 5 por 2, 5 x

55 (a) A medida que h aumenta, C disminuye. (b) Conforme y aumenta, C disminuye.

4.5, 4.5 por 3, 3

57 (a) f x 1.225e0.0001085x

1.04, 2.11, 8.51

43

1000, 10 000, 1000 por 0, 1.5, 0.5

3, 11 por 10, 80, 10

(b) 0.885, 0.461

f x está más próxima a e x si x 0; gx es más cercana a e x si x 1.

45

EJERCICIOS 5.4

1

3 64 (d) log 3 4 t x

1 (a) log 4 64 3

(b) log 4

(c) log t s r (e) log 5

0, 4.5 por 0, 3

3 (a) 25 32

0.11, 0.79, 1.13

47

ab

7t a

1 (c) t p r 243 (e) 23x4 m (f ) b3/2 512

(b) 35

(d) 35 x 2 5 t 3 log a 9 t

5 2

7 t loga

1 AD log a C B

11 (a) log 100 000 5 (c) log y 1 x

2, 2.5 por 1, 2

(f ) log 0.7 5.3 t

HK C

(b) log 0.001 3 (d) ln p 7

(e) ln 3 x 2t 13 (a) 1050 x (d) e43x w

(b) 1020t x (e) e1/6 z 2

(c) e0.1 x


R34

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16:54

Page A34


15 (a) 0

(b) 1

(d) 2

(e) 8

(d) 4

(e) 2

y

(i)

y

( j)

(g) 2

(f) 3 17 (a) 3

(b) 5

(f) 3 19 4

(c) No es posible. (c) 2

(g) 3e2


27 27

1 29 e

35 (a)

y

31 3

23 1, 2

25 13

x

x

33 3 (b)

y y

(k) x

y

(l)

x x

y

(c)

(d)

x

y y

37

y

39

x 10 x

x x

(e)

(f )

y

x

y

41

43 f (x) log3 x

y

x

x

x

(g)

(h)

y

45 f x Fx

y

47 f x Fx 2

49 f x Fx 1 2 2 x

x

51 (a) 4240

(b) 8.85

(e) 1.05

(f) 0.202

(c) 0.0237

53 f x 1000e x ln 1.05; 4.88% 57 t

L I ln R 20

(d) 9.97

55 t 1600 log 2

59 (a) 2

(b) 4

(c) 5

q q0


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16:54

Page A35


61 (a) 10

(b) 30

(c) 40

65 (a) W 2.4e

1.84h

y

39

y

(b) 18 004 pies (b) (1) 20 años (2) 19.8 años

73 21/8 1.09

71 10.1 mi

41

(b) 37.92 kg

67 (a) 10 007 pies 69 (a) 305.9 kg

63 En el año 2079.

R35

x

x

75 (a) En promedio las personas caminan más rápido en

grandes ciudades. (b) 570 000 (b) 0.0601

77 (a) 8.4877

y

43

81 0, 14.90

79 1.763

y

45

x

x

2, 16 por 4, 8 83 (a) 30%

(b) 3.85 47 f x log 2 x 2

EJERCICIOS 5.5 53 y

1 (a) log 4 x log 4 z

3 5 7 9

(b) log 4 y log 4 x 1 (c) log 4 z 3 3 log a x log a w 2 log a y 4 log a z 1 1 log z log x log y 3 2 5 1 7 ln x ln y ln z 4 4 4 2z (a) log 3 5xy (b) log 3 (c) log 3 y5 x

3 x2 2 x2 11 log a 2x 35

19 5 25 27 2

y13/3 13 log 2 x

1 265 2

29

57 (a) 0

y

(b) R2x Rx a log 2

25 1

0, 6 por 1, 3 63 1.41, 6.59

y

(a) Creciente en [0.2,

65

x

59 0.29 cm

0, 1.02 2.40,

61

31 1 21 e

37

v

7 17 2

33 3 210 35

55

51 7

z

15 ln x 23 7


b xk

49 f x log 2 8x

0.63] y [6.87, 16]; decreciente en [0.63, 6.87] (b) 4.61; 3.31

x

0.2, 16, 2 por 4.77, 5.77 69 115 m

67 6.94


R36

10/30/2006

16:54

Page A36


EJERCICIOS 5.6

1

log 8 1.29 log 5

7 0.7325

log 5 2.54 log 3

3 4 9 2

11

log 8 25 5.11 log 4 5

15 3

19

2 3

21 1, 2

101 2.02 11

31 ln 3

71 1.37, 9.94

17 5

1, 17 por 1, 11 , 0.32 1.52, 6.84

73

log 4 219 1.53 23 log 4 29 10 000

5 1.1133

log 2 81 1.16 log 24

13

67 0.5764

65 La sospecha es incorrecta. 69 Ninguno

100

27 10

25 1 o 100 33 7

35 x log y 2y2 1 37 x

1y 1y

1 log 2

39 x ln y 2y2 1

1 y1 ln 2 y1 43 Intersección en y log2 3 1.5850 41 x

5, 10 por 8, 2 75 (4)

45 Intersección en x log4 3 y

y

0.7925

77 (a) 1998

(b) 1998

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 5 1 Sí y

2

x

x

x

47 (a) 2.2

(b) 5

51 11.58 años 11 años 7 meses. 55 (a)

(c) 8.3

49 Básico si pH 7, ácido si el pH 7.

53 86.4 m (b) 6.58 min

A (mg en la sangre)

3 (a) f 1x

(b)

10 x 15

4 (a) f 1x

y

9x 2

y

(b)

(0, 9)

60 f

f

y x

f 1 x

(9, 0) 10

y x

57 (a) t

log F F0 log 1 m

59 (a) 4.28 pies

f 1

t (minutos)

1

(b) Después de 13 863 genera-

ciones.

(b) 24.8 años

63 La sospecha es correcta.

61

ln 25 6 0.82 ln 200 35

5 (a) 2

(b) 4

(c) 2

6 (a) 5

(b) 7

(c) 4

(d) 2

(d) No se dio suficiente información.

(e) x 2

x


10/30/2006

16:54

Page A37


7

8

y

y

y

15

x

16

y

x

x

x

y

17

9

y

10

18

y

y x

x

x

x

y

19

20

y

x

11

R37

12

y

x

y

x

21

22

y

y

x

x

x

13

y

14

y

23 (a) 4

1 2 1 24 (a) 3 1 (g) 3

(b) 0

(c) 1

(d) 4

(e) 6

(f ) 8

(g)

x

x

(b) 0

(c) 1

(d) 5

(e) 1

(f) 25


R38

16:54

Page A38


26

25 0

6 5

27 9

31 1 23 34

10/30/2006

29

33 5

32 99

log 7 log 3

33 47

log 6 log 2 36 1

39 25

40 2

41 0, 1

(b) 2

1 2 log y log z 45 4 log x 3 3

47 f(x) 6

4 3

64 A 10R5.1/2.3 3000

A1 10R5.1/2.3 3000

R7.5/2.3 A2 10 34 000

66 26 615.9 mi2

x

65

aL 1 ln k ab

67 h

ln 29 p 0.000034

68 v a ln

69 (a) n 107.70.9R

x

1 21 4y 2y

2

1 21 4y 2 . 2y 1 21 4y 2 Si y 0, entonces x log . 2y

50 Si y 0, entonces x log

51 (a) 1.89

(b) 78.3

52 (a) 0.924

(c) 0.472

(b) 0.00375

m1 m2 m1

(b) 1024 ergs

71 110 días

L V RI ln R V 75 21.00 años

73 t

72 86.8 cm; 9.715 cm año 74 (a) 26 749 años

(b) 12 589; 1585; 200

70 (a) E 1011.41.5R

60 3.16%

62 (a) I I01010 (b) Examine I 1, donde I es la intensidad co-

63 t

x 2

49 x log

(b) 6.30 años

L L 4.6 61 t ln 100 R R

y

48

t/3

3 5

rrespondiente a decibeles.

(b) 4

46 log xy 2

58 N 1000

59 (a) Después de 11.39 años.

1 37 , 1, 4 4

43 (a) 3, 2

44 (a) 8

30 1

log 3 8 35 log 32 9

38 No hay solución. 42 ln 2

28 9

(b) 30%

76 3196 años

EJERCICIOS DE ANÁLISIS DEL CAPÍTULO 5 1 (a)

(c) 6.05

53 (a) D 1, , R (b) y 2x 1, D , R 1,

3

f 1(x) 1 x 1 y

y x 1

54 (a) D , R 2, (b) y 3 log 2 x 2, D 2, , R

1

x

55 (a) 2000 (b) 200031/6 2401; 200031/2 3464; 6000 f (x) (x 1)3 1

56 $1125.51 (b) 8 días

57 (a)

2

1

La base a debe ser positiva, de tal manera que la función f(x) ax esté definida para todos los valores de x.


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Page A39


3 (a) La gráfica se aplana.

101 x/101 (b) y

e ex/101 71 2 4 7.16 años 5 (a) Sugerencia: primero toma el logaritmo natural de

ambos lados. 1 . Cualquier recta horizontal e 1 y k, con 0 k , cortará la gráfica en los puntos e ln x1 ln x2 y x2, , donde 1 x1 e y x1, x1 x2 x2 e. 6 (a) La diferencia está en el compuesto. (b) Más cerca de la gráfica de la segunda función. (c) 29 y 8.2; 29.61 y 8.18 (c) Advierte que f e

7 Sugerencia: compruebe las restricciones para las leyes de

logaritmos.

8 (a) U P 1

r 12

12t

12M1 r 1212t 1 r

(b)

11 ln 5 ln 7 ln 35


Ejercicios 1 al 4: las respuestas no son únicas. 1 (a) 480°, 840°, 240 , 600° (b) 495°, 855°, 225 , 585 (c) 330°, 690°, 390 , 750 3 (a) 260°, 980°, 100 , 460

7 19 17 29 , , , 6 6 6 6 7 15 9 17 , , , (c) 4 4 4 4 (b)

5 (a) 84°4226

(b) 57.5°

7 (a) 131°823

(b) 43.58° 5 5 9 (a) (b) (c) 6 3 4 5 5 2 11 (a) (b) (c) 2 5 9 13 (a) 120° (b) 330° (c) 135°

0, 35, 5 por 0, 100 000, 10 000 (c) $84 076.50; 24.425 años 9 0.9999011, 0.00999001, 0.0001, 0.01,

100, 0.01105111 y 36 102.844, 4.6928 1013.Los valores de las funciones exponenciales (con base 1) son mayores que los valores de las funciones polinomiales (con término inicial positivo) para valores muy grandes de x.

10 x, x con x 0.44239443, 4.1770774 y 5 503.6647. Los

valores de y para y x serán finalmente mayores que los valores de y (ln x)n.

11 8.447177%; $1 025 156.25 12 (a) 3.5 sismos 1 bomba , 425 bombas 1 erupción (b) 9.22; no 13 27 de marzo de 2009; alrededor de 9.05%. 14 y 68.21.000353 x 15 (a)

10, 110, 10 por 0, 1010, 109 (b) Logístico 1.1355 1010 ; consulte la gráfica del (c) y 1 3.5670e0.0281x inciso (a). (d) 1.1355 1010 16 eb, con b

(b) 2.50 y 2.97

R39

15 (a) 630° 17 114°3530 23 115.4408°

(b) 1260° 25 63°108

29 2.5 cm 31 (a) 2 6.28 cm 33 (a) 1.75;

20 6.98 m 9 37 En millas: (a) 4189 (d) 698 (e) 70 1 radián 7 10 39 8 35 (a)

43 7.29 105 rad s 45 (a) 80 rad min 47 (a) 400 rad min

21 37.6833° 27 310°3717

(b) 8 25.13 cm2

315 100.27

(d) Sr

(c) 20°

19 286°2844

(b) 14 cm2

80 27.93 m2 9 (b) 3142 (c) 2094

(b)

41 37.1%

100 104.72 pies min 3 (b) 38 cm s (c) 380 rpm

(b)

1140 ; inversamente r

2 21 8.25 pies (b) d 8 3 53 192.08 rev min 51 Largo 49 (a)


R40

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EJERCICIOS 6.2 1 (a) B (b) D

(c) A

(d) C

(e) E

Nota: las respuestas están en el orden sen, cos, tan, cot, sec, csc para cualquier ejercicio que requiera los valores de las seis funciones trigonométricas. 4 3 4 3 5 5 , , , , , 5 5 3 4 3 4 2 21 2 21 5 5 , , , , , 5 5 5 21 2 21 2 a b a b a2 b2 a2 b2 7 , , , , , b a

a2 b2 a2 b2 b a 2 2 2 2 b c c b c b

c b 9 , , , , , c c b

c2 b2

c2 b2 b 11 x 8; y 4 3 13 x 7 2; y 7 15 x 4 3; y 4 3 4 3 4 5 5 5 12 5 12 13 13 17 19 , , , , , , , , , , 5 5 4 3 4 3 13 13 12 5 12 5 6 6

11 5 11 5 21 , , , , , 6 6 5 11 5 11 23 200 23 346.4 pies 25 192 pies 27 1.02 m 29 (a) 0.6691 (b) 0.2250 (c) 1.1924 (d) 1.0154 31 (a) 4.0572 (b) 1.0323 (c) 0.6335 (d) 4.3813 33 (a) 0.5 (b) 0.9880 (c) 0.9985 (d) 1 35 (a) 1 (b) 4 37 (a) 5 (b) 5 39 1 sen cos 41 sen 1 21 sen2 43 cot

45 sec

sen 21 sen2 2sec2 1 47 sen

sec 3

Ejercicios 49 al 70: se proporcionan comprobaciones características. 49 cos sec cos 1 cos 1 51 sen sec sen 1 cos sen cos tan

csc 1 sen cos 53

cot sec 1 cos sen 55 1 cos 21 cos 2 1 cos2 2 sen2 2 57 cos2 sec2 1 cos2 tan2 sen2

sen2

cos2 cos2

sen 2 cos 2 sen 2 cos 2 59

csc 2 sec 2 1 sen 2 1 cos 2

sen 2 cos 2 1 2

2

61 1 sen 1 sen 1 sen2 cos2

1 sec2

1 1 cos2 sen2 cos

cos cos cos sen

sen tan sen cos 65 cot csc tan sen

cot tan cot sen csc tan csc sen 1 cos 1 sen 1

tan sen sen tan sen sen cos sen 63 sec cos

1 cos

1 1 cos sec cos sec cos

67 sec 3 csc 3 1 tan 31 cot 2 3 2

2

2

1 tan2 3 cot 2 3 1 sec2 3 csc2 3 1 69 log csc log

log 1 log sen sen

0 log sen log sen

71

3 4 5 5 3 4 , , , , , 5 5 4 3 4 3

5 2

29

29 , , , 2 5 2 5

29

29 1 1 4

17 , , 4, , 17, 75 4 4

17

17 73

77

5

,

2

,

4 3 4 3 5 5 , , , , , 5 5 3 4 3 4

79

7

53

,

2 7 2

53

53 , , , , 2 7

53 2 7

Nota: I significa indefinida. 81 (a) 1, 0, I, 0, I, 1 (c) 1, 0, I, 0, I, 1 83 (a) IV 85

(b) III

(b) 0, 1, 0, I, 1, I (d) 0, 1, 0, I, 1, I (c) II

(d) III

3 4 3 4 5 5 , , , , , 5 5 4 3 4 3

87

5 12 5 12 13 13 , , , , , 13 13 12 5 12 5

89

1 1 3

8 , , 8, , 3, 3 3

8

8

1 1 4

15 , , 15, , 4, 4 4

15

15 93 tan 95 sec 97 sen 2 91


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EJERCICIOS 6.3

1

15 8 15 17 17 8 , , , , , 17 17 15 8 15 8

7 24 7 24 25 25 , , , , 3 , 25 25 24 7 24 7 5 (a) (c) 7 (a) (c)

3 4 , 5 5

(b)

3 4 , 5 5

(d)

12 5 , 13 13

(b)

12 5 , 13 13

(d)

3 4 , 5 5

3 4 , 5 5

(b) 1

29 (a)

31 (a) 1

(b)

33 (a) 1

35 (a)

45

7 9 15 , , , 4 4 4 4

51 (a) (b)

12 5 , 13 13

53 (a)

(b) 0, 1; 1, 0, I, 0, I, 1 13 (a) (b) 15 (a)

11 7 , x y 6 6 6

4 2 2 4 , , , 3 3 3 3

(c)

4 2 2 , x y 3 3 3

4 2 2 4 x y x 3 3 3 3 y

55

2 2

2

2 , ; , , 1, 1, 2, 2 2 2 2 2

2 17 (a) 1 (b) (c) 1 2 19 (a) 1 (b) 1 (c) 1 (b)

49 0,

4 x 2 3

2 2 2

2 , ; , , 1, 1, 2, 2 2 2 2 2

2 2

2 2 , , , 1, 1, 2, 2 ; 2 2 2 2

5 , 4 4

11 7 5 x y x 6 6 6 6

(b) 2 x

2 2 2 2 , , , 1, 1, 2, 2 ; 2 2 2 2

47

43 0, 2, 4

5 x 2 6

9 (a) 1, 0; 0, 1, 0, I, 1, I 11 (a) 0, 1; 1, 0, I, 0, I, 1

(b) 1

11 7 5 , , , 6 6 6 6

(c) 2 x

Nota: I significa indefinida.

(b)

5 13 17 , , , 6 6 6 6

3 7 , 2 2

41

(b) 1

37 (a)

(b) 2

39

12 5 , 13 13

(b) 1, 0; 0, 1, 0, I, 1, I

2 2

27 (a) 0

R41

y

57

1

1 x

p

p

x

p

x

Ejercicios 21 al 26: se proporcionan comprobaciones características. 21 sen x sec x sen x sec x

sen x1 cos x tan x cot x cot x cos x sen x

cos x 23 csc x csc x 1 sen x 1 tan x sen x 25 cos x 1

tan xsen x cos x 1 sen x

sen x cos x cos x 1 sen2 x cos2 x

cos x cos x cos x

59

61 y

y

1

1 p

63 (a)

2,

x

3 3 , , , 0, , 2 2 2

, 2


R42

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Page A42


(b)

,

3 3 , , 0 , , , , 2 2 2 2 2

65 (a) La función tangente aumenta en todos los intervalos

en los que está definida. Entre 2p y 2p, estos

valo donde está definida. 71 (a) 0.7

(b) 0.4

3 3

(c) 0.5, 2.6

T

H

Hora

T

H

12 A.M.

60

60

12 P.M.

60

60

3 A.M.

52

74

3 P.M.

68

46

6 A.M.

48

80

6 P.M.

72

40

9 A.M.

52

74

9 P.M.

68

46

3 2

13 (a) 17 (a)

3

(b) 0.778 (b) 3.179

(b)

3 3

2

3

(b) 2

21 (a) 0.387

(b) 0.472

25 (a) 30.46°

(b) 30 27

(b) 74 53

29 (a) 24.94°

(b) 24°57

31 (a) 76.38°

(b) 76 23

33 (a) 0.9899

(b) 0.1097

(c) 0.1425

(e) 11.2493

(f ) 1.3677

35 (a) 214.3°, 325.7°

1 2

(b) 3

27 (a) 74.88°

(d) 0.7907

Hora

2

(b)

(c) 2.2, 4.1

73 (a)

9 (a)

(b) 3

23 (a) 2.650

(b) La función tangente nunca es decreciente en un inter(b) 0.9

11 (a)

2 2

(b)

19 (a) 0.958

3 3 y , , 2 . 2 2 2

69 (a) 0.8

3 2

15 (a) 2

3 3 intervalos son 2, , , , 2 2 2 , , 2 2

7 (a)

(b) 41.5°, 318.5°

(c) 70.3°, 250.3°

(d) 133.8°, 313.8°

(e) 153.6°, 206.4°

(f ) 42.3°, 137.7°

37 (a) 0.43, 2.71

(b) 1.69, 4.59

(c) 1.87, 5.01

(d) 0.36, 3.50

(e) 0.96, 5.32

(f) 3.35, 6.07

39 0.28 cm 41 (a) El máximo ocurre cuando el Sol se levanta por el

(b) Máx: 72°F a las 6:00 P.M., 80% a las 6:00 A.M.;

mín: 48°F a las 6:00 A.M., 40% a las 6:00 P.M. 75 0.72, 1.62, 2.61,

77 2.03, 1.82;

2.98

4.91, 4.81

oriente.

2 (b) 35% 4 43 9, 9 3 EJERCICIOS 6.5 1 (a) 4, 2

(b) 1, y

, , 4 por 2.09, 2.09 79 0

81 1

2, 2, 2 por 5.19, 3.19 83 1

EJERCICIOS 6.4 1 (a) 60° 3 (a)

4

(b) 20° (b)

3

5 (a) 3 8.1 (c) 2 5.5 44.9

(c) 22° (c)

6

(d) 60° (d)

4

(b) 2 65.4 (d) 32 100 30.4

1

2

y

2

p x 3p

x


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Page A43


(c)

1 , 2 4

(d) 1, 8

(c) y

y

1 , 2 3

p

p

x

(e) 2, 8

(f ) y

1 , 2 2

(d) 1, 6 y

y

2

1

1

1

p

x

x

(e) 2, 6 y

R43

(f) y

1 2 , 2 3

p

x

p

x

y

2 1

(h) 1,

2

p

x

p

x

(g) 4, 2

1

x

3 (a) 3, 2

3p

(b) 1, y

2 3

(h) 1, y

y

1

1

x

(g) 3, 2

y

3p

1

1 p

y

y

p

1 p

x

5 1, 2,

2 3

x

2

x

7 3, 2, y

6 y

4 1 p

x

p

1 x

1 p

x

2p

x


R44

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16:54

Page A44


2

9 1, 2,

11 4, 2,

4

25 y

y

1 , 1, 0 2

27 5,

2 , 3 6

y

y

6 2

13 1, ,

2

x

2p

15 1,

x

2 , 3 3

p

29 3, 4,

y

y

x

2

3p x

31 5, 6,

2 y

y

3

1

1 p

17 2,

2

1 p

p

x

2 , 3 3

19 1, 4,

2 3

y

1

x

p

2p

x

33 3, 2, 4

35 2, 4,

y

x

1 2 y

y

3 1

1 3p

p

x

21 6, 2, 0

x

x

37 2, ,

23 2, 4, 0 y

3p

1

2

p

x

p

x

39 5, , y

y

y 8

7 5 3 3p

x

p

x

p

x


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16:52

Page A45


41 (a) 4, 2, 43 (a) 2, 4, 3 45 4

(b) y 4 sen x (b) y 2 sen

3 x 2 2

57 (a) f t 10 sen

b

47 a 8, b 4

49

(b)

51 f (t)

R45

t 9 20, con a 10, 12

3 , c , d 20 12 4 f (t)

D(t) 18

12 0.1 t

4

9 6

79

2

365

2 50

21

t

2 t

59 (a) 53 La temperatura es de 20ºF a las 9:00 A.M. (t 0).

Aumenta a un máximo de 35ºF a las 3:00 P.M. (t 6) y después disminuye a 20ºF a las 9:00 P.M. (t 12). Continúa descendiendo hasta un mínimo de 5ºF a las 3:00 A.M. (t 18). Luego sube a 20ºF a las 9:00 A.M. (t 24). 0.5, 24.5, 5 por 1, 8 (b) Pt 2.95 sen

t 6 3

3.15

61 (a)

0, 24, 2 por 0, 40, 5 55 (a) f t 10 sen

b (b)

t 10 0, con a 10, 12 0.5, 24.5, 5 por 0, 20, 2

5 ,c ,d0 12 6

2 t 12.3 6 3 63 Cuando x l 0 o cuando x l 0 , y oscila entre 1 y 1 y no se aproxima a un valor único. (b) Dt 6.42 sen

f (t)

2 2

t

2, 2, 0.5 por 1.33, 1.33, 0.5


R46

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16:52

Page A46


65 Cuando x l 0 o cuando x l 0 , y parece aproximarse

a 2.

9

11

2

y

y

4 p x 3p

x

2, 2, 0.5 por 0.33, 2.33, 0.33 69 , 1.63

67 y 4

0.45, 0.61 1.49, 2.42 13 4

15

2 y

y

20, 20, 2 por 1, 5 , , 4 por 2.09, 2.09

1

1 p

x

p

x

p

x

p

x

EJERCICIOS 6.6 1

3 y

y

17 2

19

y

y 8

1

1 p

x

p

x

1 p

5 2

7 2 y

y

21

2

x

23 3 y

y

8 1

1 p

x

p

x 3p

1 x


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16:52

Page A47


25

2

41

27 2

43 6 y

y

y

y

1

1

1

3p

p

x

29 2

p

45

y

p

1

1 p

x

33 6

y

y

1

p

x

y

p

x

49 2

35

x

47 4

y

1

p

x

x

31

R47

x

51 1 y

y

y

4 1

1

1 p

p

x

9

1

x

39 2 y

y

1 x

2

y

55

p

x

y

57

2

1 p

x

53 y cot x 37 4

1

x

1 p

x

p

x


R48

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Page A48

RESPUES TAS A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS y

59

y

61

2

79 , 1.31

77 0.70, 0.12

0.11, 0.95 2.39,

1 p

x

p

x

2, 2 por 1.33, 1.33

y

63

81 (a) I0

y

65

(b) 0.044I0

83 (a) A0e z

(b)

, , 4 por 2.09, 2.09 (c) 0.603I0

z0 k

(c)

ln 2

EJERCICIOS 6.7

2

1 p

x

p

x

20 40 3, c 3 3 3 3 45, a b 15 2 1 60, a

5 45, c 5 2 7 60, 30, a 15 67

9 53, a 18, c 30

69

11 189 , a 78.7, c 252.6 13 29, 61, c 51 15 69, 21, a 5.4 19 a b cot

2, 2, 2 por 4, 4

2, 2, 2 por 4, 4

71

21 c a csc

23 b c a 25 250 23 4 437 pies 2

17 b c cos

2

27 28 800 pies

29 160 m

31 9659 pies 33 (a) 58 pies (b) 27 pies 35 5120 39 2063 pies 41 1 459 379 pies2 37 16.3° 43 21.8°

45 20.2 m

47 29.7 km

49 3944 mi

51 126 mph 53 (a) 45% (b) Cada satélite tiene un intervalo de señal de más de

2, 2, 2 por 4, 4 73 ex/4

120º.

75 2.76, 3.09;

1.23, 3.68

55 h d sen c

57 h

59 h dtan tan

d cot cot

61 N70°E; N40°O; S15°O; S25°E 63 (a) 55 mi

(b) S63°E

1 s ; frecuencia, 3 osc/s. 3 El punto está en el origen en t 0. Se mueve hacia arriba con rapidez decreciente y alcanza el punto de coordenada 1 10 cuando t . Después invierte la dirección y se 12 mueve hacia abajo, acelerando hasta llegar al origen

67 Amplitud, 10 cm; periodo,

2, 2, 2 por 4.19, 4.19

, , 4 por 4, 4

65 324 mi


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Page A49


1 . Continúa hacia abajo desacelerando y 6 1 llega al punto de coordenada 10 cuando t . Luego 4 invierte la dirección y se mueve acelerando hacia arriba, 1 regresando al origen cuando t . 3 cuando t

3 4 s; frecuencia, osc s. 3 4 El movimiento se parece al del ejercicio 67; sin embargo, el punto inicia 4 unidades arriba del origen y se mueve 1 hacia abajo llegando al origen cuando t y al punto 3 2 de coordenada 4 cuando t . Después invierte la 3 dirección y se mueve hacia arriba, llegando al origen cuando 4 t 1 y después a su punto de partida cuando t . 3

12 cos tan cot cos

sen2 cos2

sen

1 csc

sen

1 sec2

1 1 cos

sec cos cos

14 tan

sen

cos

15

5 4 11 9 , , , , 6 4 6 3 5

2 810°, 120, 315°, 900°, 36° 3 (a) 0.1

5

cos2 sec2 sec2

t 15


4 (a)

13 cos2 1tan2 1 cos2 1sec2

35 cm 12

200 , 90 3

1 tan2

1 tan2

cot 2 1 csc2

2 2 tan

tan tan2

1 1 sen cos

sec csc cos sen

cos sen

16 1 sec csc

1 sen cos

cos sen

cos sen

(b) 0.2 m2 (b)

6

cos2 sen2

cos

cos

sen

sen

cos

cos

sen

cos tan

1 sec

cos

(b) 324 000 pies

1

cos2

sen

2 t 3

73 (a) y 25 cos

sen

cos

cos cos

sen

sen

69 Amplitud, 4 cm; periodo,

71 d 5 cos

R49

175 2 cm 16

100 105 , 3 4

7 x 6 3; y 3 3

7 7 8 x 2; y 2 2 2

9 tan sec2 1

10 cot csc2 1

Ejercicios 11 al 20: se presentan comprobaciones características. 11 sen csc sen sen csc sen2

sen cos

sen cos

cos

cos sen

1 cot 1 sen

sen

17 1 tan

sen cos sen

1 cos

cos

cos sen cos cos

cot

cos sen sen sen

1 cos 1 1 1 sec

cos

cos

18 tan sen sen sen cos sen 1 cos cos

cos

cos

1 csc

sen

1 sen2 cos2

19

tan cot

tan cot tan cot

tan

tan

tan tan

1 cot 2 1 cot 2 csc2


R50

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Page A50


20

1 cot 1 cot

csc sec csc

sec

sen

cos

sen

1 cos

sen

cos2

sen

33 5, 2

21

2 , 2 3 y

y

1

1

sen2 cos2

sen

34

p

x

x

p

x

p

x

p

x

1 csc

sen

7 7 33 4 33 4 , , , , , 7 7 4 33 4 33 4 3 5 5 4 3 , , , , , 5 5 3 4 3 4

22 (a)

35

1 2 , 3 3

36

1 , 6 2

y

2 3 13 13 (b) , , , , , 3 2 3 2 13 13 (c) 1, 0, I, 0, I, 1

y

3

2

2

23 (a) II

(b) III

(b)

1

(c) IV

p

x

4 3 4 3 5 5 , , , , , 5 5 3 4 3 4

24 (a)

2 13

,

3 13

,

2 3 13 13 , , , 3 2 3 2

25 1, 0; 0, 1; 0, 1;

3 1 , 2 2

26

p

3 4 , ; 5 5

2 2 , ; 1, 0; 2 2

3 4 3 4 3 4 , ; , ; , 5 5 5 5 5 5

27 (a) , , 4 6 8

37 3, 4

38 4, y

y

1

1 p

x

(b) 65°, 43°, 8°

28 (a) 1, 0, I, 0, I, 1

2 2 , , 1, 1, 2, 2 2 2 (c) 0, 1, 0, I, 1, I 1 3 2 3 , , 3, , 2 (d) , 2 2 3 3 (b)

29 (a)

2 2

(e) 1 30 310.5°

(b) (f )

3 3

(c)

1 2

39 2, 2

(d) 2

y

3

1 p

2 3

31 1.2206; 4.3622

40 4, 4 y

32 52.44°; 307.56°

x


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16:52

Page A51


53

(b) y 1.43 sen x

41 (a) 1.43, 2

54 y

y

2 (b) y 3.27 sen x 3

42 (a) 3.27, 3 43 (a) 3,

4 3

(b) y 3 cos

3 x 2

1

1 p

x (b) y 2 cos 2

44 (a) 2, 4 y

45

x

55 y p

x

p

y

48

57 30, a 23, c 46

1 p

x

1 x

1

p

y

x

1 y

x

56

1 p

p

y

46

1

47

R51

x

p

x

58 3520 , a 310, c 380 59 68, 22, c 67 60 13, 77, b 40

y

49

y

50

61 (a)

109 6

(b) 440.2

63 0.093 mi/s 1

1 p

p

x

x

64 52°

65 Aproximadamente 67 900 000 mi. 66

6 radianes 216 5

68 (a) 231.0 pies 51

71 (a) 1

1 p

x

67 250 pies

(b) 434.5

69 (b) 2 mi

70 (a) T h dcos tan sen

y

52

y

62 1048 pies

25 23 14.43 pies-candelas 3

72 (b) 4.69

p

73 (a) 74.05 pulg

x

74 (a) S 4a2 sen

75 (a) h R sec

s R R

(b) V

(b) 22.54 pies (b) 37.47° (b) 24.75 pulg

4 3 a sen2 cos

3

(b) h 1650 pies


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R52


76

y


Ejercicios 1 al 50: se presentan comprobaciones características para los ejercicios 1, 5, 9, …, 49. 1 10 x

1

77 y 98.6 0.3 sen 78 (a)

11 t 12 12

(b) 20.8°C en julio 1.

T (t)

5

5

9

t

cos

cos cot cos

sen

csc2

csc2 1 sen2 cos2

1 tan2 sec2 1 cos2 sen2

3

1 1 sen2 cos2

sen sen

sen

sen

1 csc sen

cos

sen

2

cot2

1 1 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos2

79 (a)

(b) 45 días en el verano.

D(t)

2 2 csc2 sen2

13 csc4 t cot 4 t csc2 t cot 2 t csc2 t cot 2 t

csc2 t cot 2 t 1 csc2 t cot 2 t

4 000

17

10

90

tan2 x sec2 x 1 sec x 1 sec x 1 sec x 1 sec x 1 sec x 1 sec x 1

t

80 (a) El corcho tiene un movimiento armónico simple.

1 cos x 1 1 cos x cos x

21 sen4 r cos4 r sen2 r cos2 r sen2 r cos2 r

sen2 r cos2 r 1

(b) 1 t 2

sen2 r cos2 r EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 6 25 sec t tan t2

3 Ninguno. 5 Los valores de y1, y2 y y3 están muy próximos unos de

otros cerca de x 0.

6 (a) x 0.4161, y 0.9093 (b) x 0.8838, y 0.4678 7 (a) x 1.8415, y 0.5403 (b) x 1.2624, y 0.9650 8 (a)

500 rad s 3

(c) 10 revoluciones.

(b) Dt 5 cos

500 t 18 3

1 sen t cos t cos t

2

1 sen t cos t

2

1 sen t2 1 sen t2 cos2 t 1 sen2 t

1 sen t2 1 sen t 1 sen t 1 sen t 1 sen t

1 sen 1 1 1 csc sen sen 29 cot cos cos cos cos sen cos sen sen

sen 1 1 sec cos 1 sen cos


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sen sen cos cos sen sen 1 cos cos sen cos cos sen cos cos cos cos sen sen cos cos sen cos cos sen cos cos sen sen LS

79 La gráfica de f parece ser la de y g(x) cos x.

tan tan 33 LD 1 tan tan

37

sec xsen x cos x cos2 x sen x sec x cos xsen x cos x sen x sen x cos x sen x cos x

EJERCICIOS 7.2

Ejercicios 1 al 34: n representa cualquier entero.

1 1 1 2 tan cot sen cos sen cos2 cos sen cos sen sen cos

1

5 7 2 n, 2 n 4 4

5

5 2 n, 2 n 3 3

1. 2

n. 2

9 Toda u excepto

1 tan2 2 4 tan2 1 2 tan2 tan4 4 tan2 1 2 tan2 tan4 1 tan2 2 LS

11

11 n, n 12 12

15

45 log 10 tan t log10 10 tan t tan t, porque loga ax x.

n 3

3

7 No tiene solución porque

41 LD sec4 4 tan2 sec2 2 4 tan2

13

3 n 2

7 2 n, 2 n 12 12

17

7 n, n 4 12

19

21

n 4 2

3 2 n 2

25

2 n, n 3 3

27

5 4 2 n, 2 n 3 3

29

5 n, n 6 6

31

11 7 2 n, 2 n 6 6

Ejercicios 51 al 62: se presenta un valor característico de t o de u y la desigualdad resultante.

33

5 n, n 12 12

35 e 2 n

37

3 7 11 15 , , , 8 8 8 8

41

5 3 , , 6 6 2

45

3 2 4 , , , 2 2 3 3

sec tan sec tan 49 ln sec tan ln sec tan

2 sec tan2

ln sec tan

1 ln sec tan

ln 1 ln sec tan ln sec tan

51 , 1 1

53

3 , 1 1 2

57 , 1 1

59

, cos 2 1 4

61 No es una identidad. 65 a cos

3

71

3

1 cos2

a2

,21 4

63 Es una identidad.

67 a tan sen

73 a tan

55

69 a sec

75 a4 sec3 tan

77 La gráfica de f parece ser la de y gx 1.

sen2 x sen4 x sen2 x1 sen2 x 1 sec2 xcos4 x tan2 x cos4 x sen2 x cos2 x sen2 x cos2 xcos4 x sen2 x cos2 x 1 sen2 x cos2 x

R53

51 0,

2

53

23 2 n,

39

43 0, ,

4 2 2 n, 2 n 3 3

2 4 5 , , , 3 3 3 3

3 5 7 , , , 4 4 4 4


11 , 6 2

5 , 4 4

55 Toda en 0, 2 excepto 0, 57

49

3 7 11 , , , 2 2 6 6

61 15°30 , 164°30

59

3 ,y 2 2

3 7 , 4 4

63 135°, 315°, 116°30 , 296°30

65 41°50 , 138°10 , 194°30 , 345°30

67 10


R54

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16:52

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2 3 6 2 (b) 2 4 7 (a) 3 1 (b) 2 3 6 2 2 1 9 (a) (b) 2 4

69 (a)

5 (a)

[1, 25, 5] por [0, 100, 10] (b) Julio: 83°F; Oct.: 56.5°F. 71 t 3.50 y t 8.50 75 (a)

13 sen 5°

11 cos 25° (c) De mayo a septiembre.

73 (a) 3.29

17 (a)

(b) 4

(b) 0 t

N(t)

5 y 3

25 t 10 3

77 85

19 (a)

21 (a)

(b)

24 25

36 85

15 sen 5

(c) I

(b)

24 7

3 21 8 0.23 25

(c) IV

(b)

4 21 6 0.97 25

23 sen sen cos cos sen

sen 1 cos 0 sen

1000 5

10

t

4 2 1 2 1 , 3 , B , 3 , 3 3 2 3 3 2 1 1 2 4 2 C , 3 , D , 3 3 3 2 3 3 2

77 A

79

7 360

25 sen x

81 0, 1.27 5.02, 2

5 5 5 cos x sen sen x cos 2 2 2 cos x

27 cos cos cos sen sen cos

29 cos x

3 3 3 cos x cos sen x sen 2 2 2 sen x

83 0.39, 1.96 2.36, 3.53 5.11, 5.50

31 tan x

85

2

0, 3 por 1.5, 1.5, 0.5 (a) 0.6366

(b) Tiende a y 1.

33 tan

89 3.619

91 1.48, 1.08 95 0.64, 2.42

2

93 1.00 97 (a) 37.6°

35 sen

(b) 52.5°

4

EJERCICIOS 7.3 1 (a) cos 43°23

(b) sen 16°48

(c) cot

(d) csc 72.72°

(c) cot

3 2 1 (b) cos 20 4 0.53 (d) sec 2

3 (a) sen

2

2 sen x cos cos x sen 2 cos x cos sen x sen 2 cos x cot x sen x cos x

2 2

(c) Una infinidad de ceros. 87 5.400

sen x

3

2 2

37 tan u 4

2 2 cot cot

cot

cos sen 4 4 22 22 sen cos

2 2 22 sen cos 2 sen cos

4 1 tan u 1 tan u 1 tan u tan 4 tan u tan

(c) I


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39 cos u v cos u v

cos u cos v sen u sen v cos u cos v sen u sen v 2 cos u cos v

61 (a) f x 2 cos 2 x (c)

6

(b) 2, ,

R55

12

f (x)

41 sen u v sen u v

sen u cos v cos u sen v sen u cos v cos u sen v sen2 u cos2 v cos2 u sen2 v sen2 u1 sen2 v 1 sen2 u sen2 v sen2 u sen2 u sen2 v sen2 v sen2 u sen2 v sen2 u sen2 v 43

2

1 1 cot cot cos cos sen sen 1 cos sen cos sen sen sen sen sen sen

x

p

63 (a) f x 2 2 cos 3x (c)

4

(b) 2 2 ,

2 , 3 12

f (x)

3 p

x

45 sen u cos v cos w cos u sen v cos w

cos u cos v sen w sen u sen v sen w cos u v sen u v cos u cos v sen u sen v 1 sen u sen v sen u cos v cos u sen v 1 sen u sen v cot u cot v 1 cot v cot u

47 cot u v

sen u cos v cos u sen v sen u cos v cos u sen v

53 (a) Cada lado 0.0523. (c) a 60°, b 3° 55 0,

2 , 3 3

57

5 , , 6 2 6

5 3 59 , ; es externo. 12 12 4

(b)

a 60°

3 ; 13, 2 2

n 2.55 n para cualquier ente2 ro no negativo n.

(b) t C

f x h f x cos x h cos x h h cos x cos h sen x sen h cos x h cos x cos h cos x sen x sen h h h cos h 1 sen h cos x sen x h h

5 4 10 41 cos 60 t 0.8961

67 (a) y 13 cos t C con tan C

49 sen u v sen u v

51

65 y 10 41 cos 60 t tan1

69 (a) pt A sen t B sen t

A sen t Bsen t cos cos t sen B sen cos t A B cos sen t a cos t b sen t con a B sen y b A B cos (b) C2 B sen 2 A B cos 2 B2 sen2 A2 2AB cos B2 cos2 A2 B2sen2 cos2 2AB cos A2 B2 2AB cos 71 (a) C 2 A2 B2 2AB cos A2 B2 2AB,

como cos 1 y A 0, B 0. Así, C 2 A B2 y, por tanto, C A B. (b) 0, 2 (c) cos B 2A


R56

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16:52

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73 2.97, 2.69, 1.00, 0.37, 0.17, 0.46, 2.14, 2.77

23 sec 2

27 tan 3u tan 2u u

1 3 1 10 , 10 , 10 10 3 1 1 2 2 , 2 2 , 2 1 2 2 1 2 2 2

9 (a)

(b)

1 2 3 2

(c) 2 1

11 sen 10 sen 2 5 2 sen 5 cos 5

x x x x x cos 2 2 sen cos 2 sen 2 2 2 2 2 2 2 sen x 15 sen t cos t2 sen2 t 2 sen t cos t cos2 t 1 sen 2t 17 sen 3u sen 2u u sen 2u cos u cos 2u sen u 2 sen u cos u cos u 1 2 sen2 u sen u 2 sen u cos2 u sen u 2 sen3 u 2 sen u1 sen2 u sen u 2 sen3 u 2 sen u 2 sen3 u sen u 2 sen3 u 3 sen u 4 sen3 u sen u3 4 sen2 u 13 4 sen

22 cos2 12 1 24 cos4 4 cos2 1 1 8 cos4 8 cos2 1

1 cos 2t 21 sen t sen t 2 2

2

tan 2u tan u 1 tan 2u tan u

29 tan

u 1 cos u 1 cos u csc u cot u 2 sen u sen u sen u

31

3 1 1 cos cos 2

8 2 8

33

3 1 1 cos 4x cos 8x 8 2 8

37

5 , , 3 3

45 (a) 1.20, 5.09 (b) P

39 0,

35 0, , 41 0,

2 4 , 3 3

5 , 3 3

2 4 , 1.5 , Q, 1, R , 1.5 3 3

3 3 , , , 2 2 2 2 3 5 7 (b) 0, , 2, , , , 4 4 4 4

47 (a)

19 cos 4 cos 2 2 2 cos2 2 1

4

1 1 sec2

2 tan u tan u 1 tan2 u 2 tan u 1 tan u 1 tan2 u 2 tan u tan u tan3 u 1 tan2 u 1 tan2 u 2 tan2 u 1 tan2 u 3 tan u tan3 u tan u3 tan2 u 1 3 tan2 u 1 3 tan2 u

4 7 4 3 2 , , 2 9 9 7

24 7 24 1 , , 25 25 7

2

2 sen2 2t 1 2 sen2 2t 1

EJERCICIOS 7.4

7

sec2

1 2 sec2 2 sec2

sec2

1

25 2 sen2 2t cos 4t 2 sen2 2t cos 2 2t

3.14, 3.14, 4 por 5, 5

5

1 1 cos 2 2 cos2 1

49 (b) Sí, el punto B está a 25 millas de A.

2

1 1 2 cos 2t cos2 2t 4

51 (a) V

1 1 1 cos 4t 1 cos 2t 4 2 4 2

1 1 1 1 cos 2t cos 4t 4 2 8 8

3 1 1 cos 2t cos 4t 8 2 8

5 sen

2

(b) 53.13°

53 (b) 12.43 mm

55 La gráfica de f parece ser la de y gx tan x.

sen 2x sen x 2 sen x cos x sen x cos 2x cos x 1 2 cos2 x 1 cos x 1 sen x2 cos x 1 sen x tan x cos x2 cos x 1 cos x

57 3.55, 5.22 59 2.03, 0.72, 0.58, 2.62

61 2.59


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16:52

Page A57


R57

41 (a) 0, 1.05, 1.57, 2.09, 3.14

EJERCICIOS 7.5

1 1 cos 4t cos 10t 1 2 2 5 sen 12 sen 6

9 2 sen 4 cos 2

(b) 0,

1 1 cos 2u cos 10u 3 2 2 7

2 , , , 3 2 3

3 3 sen 3x sen x 2 2

11 2 sen 4x sen x

13 2 cos 5t sen 2t

15 2 cos

3 1 x cos x 2 2

3.14, 3.14, 4 por 2.09, 2.09 43 La gráfica de f parece ser la de y gx tan 2x.

sen 4t sen 6t 2 sen 5t cos t 17 cot t cos 4t cos 6t 2 sen 5t sen t 1 u v cos 2 1 2 cos u v cos 2 1 tan u v 2

sen u sen v 19 cos u cos v

2 sen

sen x sen 2x sen 3x sen 2x sen 3x sen x cos x cos 2x cos 3x cos 2x cos 3x cos x sen 2x 2 sen 2x cos x cos 2x 2 cos 2x cos x sen 2x1 2 cos x cos 2x1 2 cos x sen 2x tan 2x cos 2x

1 u v 2 1 u v 2

EJERCICIOS 7.6

1 1 2 cos u v sen u v 2 2 sen u sen v 21 1 sen u sen v 1 2 sen u v cos u v 2 2 1 1 cot u v tan u v 2 2 1 tan u v 2 1 tan u v 2 23 4 cos x cos 2x sen 3x 2 cos 2x 2 sen 3x cos x

2 cos 2x sen 4x sen 2x 2 cos 2x sen 4x 2 cos 2x sen 2x sen 6x sen 2x sen 4x sen 0 sen 2x sen 4x sen 6x 25

29

1 1 sen a bx sen a bx 2 2

n 2

31

n 4

5 n, n, n 2 12 2 12 2

2 2 n, n 33 7 7 3 37 0, , 2,

39 f x

27

3 5 7 3 , , , , , 35 4 4 4 4 2 2 3 5 7 , , , 4 4 4 4

1 n 1 n sen x kt sen x kt 2 l 2 l

1 (a) 3 (a)

4

3

2 3

(b) (b)

(c)

4

7 (a) 9 (a)

3 10

3

11 (a)

(b)

4

5 6

(c)

3 4

(b)

3 2

(b)

2 2

15 (a)

5 2

(b)

34 5

(b) 0

19 (a)

24 25

21 (a)

1 2 10

x

23

x 2 1 1x 29 2

(b)

6

(c)

4

(c) No está definido.

4

(c)

15 77 (c) 36

161 289

(b) 25

(c)

(c) 14

13 (a)

3 17 (a) 2

(b) No está definido.

1 2

(b)

6

(c)

5 (a) No está definido.

3

(c)

4 17 17

x 2 4 2

31 (a)

2

24 7 (c)

1 2

27 2x 1 x 2 (b) 0

(c)

2

4


R58

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16:52

Page A58


33

35 y

y

59 sen1

1 230 1.1503 6

61 cos1

3 5

q

q

1

x

1

x

2.2143, cos1

2 cos1

3 5

1 1.2310, 3

4.0689, 2 cos1

1 5.0522 3

2 2 0.8411, 2 cos1 5.4421, 3 3 5 1.0472, 5.2360 3 3

63 cos1

37

39 y

65 (a) 1.65 m

y

(b) 0.92 m

p

69 (a) sen1 q 1

1

41

x

x

43 (a) 2 x 4

y

y 4 4 (c) x sen 2y 3 (b)

1

3 3 x 2 2 3 1 cos y (c) x 2 4

45 (a)

47 x sen1 y 3

x

53 cos1 1 2 1.1437,

tan1 57 cos1

cos1

con 1 x 2 y . Así, sen x y 2 2 2 2 sen x. Dado que la función seno es biunívoca sobre

, , tenemos . 2 2

73 Sea arcsen x y arcsen x con

y . Así, 2 2 2 2 sen x y sen x. En consecuencia, sen sen sen . Dado que la función seno es biunívoca , , tenemos que . 2 2

y 0 , y de ahí que 2 2 0 . Así,

tenemos 0

1 15 y 2 3 sen y 4

2 cos1 1 2 5.1395

55 tan1

x

75 Sea arctan x y arctan 1 x. Dado que x 0,

(b) 0 y 4

51 x xR o x xR , donde xR sen1

67 3.07°

(b) 40°

71 Sea sen1 x y tan1

49 x cos1

d k

(c) 0.43 m

1 9 57 0.3478, 4 1 9 57 1.3337 4

1 1 15 0.6847, cos1 15 2.4569, 5 5 1 1 3 0.9553, cos1 3 2.1863 3 3

tan

tan tan x 1 x 1 tan tan 1 x 1 x

x 1 x . Puesto que el denominador 0, tan es 0 indefinido, de ahí que . 2


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Page A59


77 Dominio: 0, 2; imagen:

, 2

5

1 1 sen t 1 sen t 1 sen t 1 sen t 1 sen t 1 sen2 t cos2 t 1 sen t 1 cos t cos t sen t 1 sec t cos t cos t sec t tan t sec t

6

3, 6 por 2, 4

tan tan 1 tan tan

81 1.25 72°

2 tan u 7 tan 2u 1 tan2 u

83 tan1 1 45°

85 tan1


9

2 cos sen tan cos sen

10 LI

sen x cos x cos x sen x 2

2

tan cot tan2 tan cot cot 2 tan2 1 cot 2

sen u sen v sen u sen v sen u sen v csc u csc v 1 1 sen v sen u sen u sen v sen u sen v sen u sen v

LD

tan

sen

cos

sen2 cos2

1 cos

cos

sen x cos x cos x sen x

1 sen u sen v 1 sen u sen v 1 csc u csc v 1 1 sen u sen v

sen

2

1 sen u sen v 1 sen u sen v sen u sen v

sen u sen v

2

1 sec2 x csc2 x cos2 x sen2 x

1 sec v 1 sec v sec v 2 2 1 sec v 2 sec v

tan cot

sec2 1 cot

tan2 cot

tan sen cos sen

sen cos

cos

1

tan3 cot 3 tan2 csc2

sen

cos

cos2 sen2

1 sec

cos

cos

4 tan x cot x2

2 cot u 2 cot u 2 cot u 2 2 cot u 1 csc u 1 1 csc2 u 2

v 1 cos v 8 cos 2 2

1 cot2 x 1 1 cos2 x csc2 x sen2 x 1

3

1 2 cot u cot u 1 cot2 u 1 1 2 cot u cot 2 u 2

2

1 26.6° 2

sen sen cos cos sen cos cos cos cos cos sen sen cos cos

79 0.29

0, 1.57, 8 por 0, 1.05, 0.2

R59

Dado que el LI y el LD equivalen a la misma expresión y los pasos son reversibles, la identidad se verifica. 11

sen2 x tan4 x

3

csc3 x cot6 x

2

sen6 x tan12 x

csc6 x sen x csc x6 12 cot x tan x cot x12 16 12 1 1


R60 12

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16:52

Page A60


cos sen cos sen 1 tan 1 cot cos sen sen cos cos sen

cos2 sen2 cos sen sen cos

cos2 sen2 cos sen

19

cos sen cos sen cos sen

cos sen 13

3 18 tan x 4

cos t cos t cos t sec t tan t sec t tan t 1 sen t cos t cos t cos t cos2 t 1 sen2 t 1 sen t 1 sen t 1 sen t cos t 1 sen t1 sen t 1 sen t 1 sen t

21 sen 8 2 sen 4 cos 4

22 sen 2 cos 2 1 2 sen2 2 8 sen cos 1 2 sen2 1 22 sen cos 2 8 sen cos 1 2 sen2 1 8 sen2 cos2 22 Sea arctan x y arctan

16

. Así, tan x y 4 4 2x 2 tan tan tan 2. Dado que la fun1 x 2 1 tan2 ción tangente es biunívoca , , tenemos 2 o, 2 2 1 de manera equivalente, . 2

1 x 1,

26

3 5 7 , , , 4 4 4 4

2 4 , 3 3

28

3 5 3 7 , , , , , 2 2 4 4 4 4

30

2 4 , , 3 3

1 sen

1 sen

1 cos t 1 cos t 1 cos t 1 cos t

1 cos t2 1 cos2 t

27 0, ,

31

32 Toda x en 0, 2 excepto

1 sen2

1 sen 2

33

5 , 3 3

35

3 7 11 15 19 23 , , , , , 4 4 4 4 4 4

37

5 , 3 3

cos2

1 sen 2

cos

cos ,

1 sen 1 sen

5 5 5 cos x cos sen x sen sen x 2 2 2

39 0,

34 0,

38

29

7 11 , 6 6

7 11 , , 6 6 2

5 5 , , , 6 6 3 3

1 sen 1 sen 1 sen 1 sen

puesto que 1 sen 0 .

24

17 cos x

2x . Debido a que 1 x2

3 7 3 5 , , , , , 2 2 4 4 4 4

1 cos t2 1 cos t 1 cos t , sen2 t

sen t

sen t puesto que 1 cos t 0.

1 1 cos

1 cos

csc cot

2 sen

sen sen

23

1 cos t 1 cos t

1 1 1 sen 4 sen 2 2 2 sen 2 cos 2 4 4 4 1 2 sen cos cos2 sen2 2 sen cos3 cos sen3

20 tan

cos t 1 cot t csc t cot t csc t sen t sen t 14 sen t sen t sen t cos t 1 cos t 1 sen2 t 1 cos2 t 1 cos t 1 1 cos t1 cos t 1 cos t 15

3 tan x 1 4 3 1 tan x 1 tan x tan 4 tan x tan

3 5 7 , , , 4 4 4 4

2 4 5 , , , , 3 3 3 3 36 0, ,

5 , 3 3

5 7 11 , , , 6 6 6 6

3 5 7 9 11 13 15 , , , , , , , , 8 8 8 8 8 8 8 8

25 0,


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01:28

Page R61


40

3 7 9 , , , , 5 5 5 5

42 2 3

45

49

43

84 85

46

36 85

50

24 53 7

57 (a) (b)

2 6 4

13 85

47

36 85

51

1 54 10 10

73

6 2 4

41

44

84 13

74 y

1

2 2

52

d

36 77

161 289

(d) 2 sen 10 2 sen 4

59

6

(b) 2 sen

9 1 t sen t 40 40

60

4

61

4b

76 (b) t 0,

77

(c) 2 cos

x

cos (a b) cos g sen (a b) sen g (cos a cos b sen a sen b) cos g (sen a cos b) cos cos a sen b) sen g cos a cos b cos g sen a sen b cos g sen a cos b sen g cos a sen b sen g

1 1 5 1 cos u cos u 2 12 2 12

58 (a) 2 sen 5u cos 3u

5 11 sen 2 2

78 (a) x 2d tan

79 (a) d r sec 62

63

4

2 2 A 3

(c)

3 5 7 5 , , , , ,

4 4 4 4 3 3

(d) 6 cos 4x cos 2x

3

x

75 cos cos

1 1 cos 3t cos 11t 2 2

(c) 3 sen 8x 3 sen 2x

1

1

5 56 34 34

1 55 3

y

2

48

240 289

R61

80 (a) 78.7°

1 2

(b) d 1,000 pies

1 1 2

(b) 43°

(b) 61.4°

EJERCICIOS DE ANÁLISIS DEL CAPÍTULO 7 64

3 4

65

240 69 289

1 2

66 2

67 No está definido.

2

68

1 Sugerencia: Factoriza sen3 x cos3 x como una diferen-

cia de cubos. 2 a2 x 2

7 70 25

71

72

a cos si 0 2 o 32 2 a cos si 2 32

3 45; aproximadamente 6.164.

y

y

4 El cociente de la diferencia para función seno parece ser

2p

la función coseno. 5 Sugerencia: Escribe la ecuación en la forma

q 1

1

x

x

4 , 4

y saca la tangente de ambos lados. 6 (a) La función diente de sierra inversa, representada

por sierra1, se define como sigue: y sierra1 x si x sierra y para 2 x 2 y 1 y 1. (b) 0.85; 0.4 (c) sierra sierra1 x x si 2 x 2 ;

sierra1 sierra y y si 1 y 1


R62

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01:28

Page R62


(d)

Ejercicios 33 al 40: la respuesta está en unidades cuadradas.

y

33 260 2

35 11.21

(2, 1)

37 13.1

39 517.0

43 123.4 pies2

41 1.62 acres EJERCICIOS 8.3

2 (2, 1)

x

1 3, 1, 1, 7, 13, 8, 3, 32, 13

y arcosierra (x)

3 15, 6, 1, 2, 68, 28, 12, 12, 53 5 4i 3j, 2i 7j, 19i 17j, 11i 33j, 5 7 Los puntos terminales son 9 Los puntos terminales son

3, 2, 1, 5, 2, 7, 6, 4, 3, 15.

Capítulo 8

4, 6, 2, 3, 6, 9, 8, 12, 6, 9.

EJERCICIOS 8.1 1 62°, b 14.1, c 15.6

y

y

3 100°10 , b 55.1, c 68.7 5 78°30 , a 13.6, c 17.8 7 No existe triángulo. 9 77°30 , 49°10 , b 108; 11 13 15 19 25 29

102°30 , 24°10 , b 59 82.54°, 49.72°, b 100.85; 97.46°, 34.80°, b 75.45 53°40 , 61°10 , c 20.6 17 219 yd 25.993°, 32.383°, a 0.146 (a) 1.6 mi (b) 0.6 mi 21 2.7 mi 23 628 m 3.7 mi de A y 5.4 mi de B 27 350 pies (a) 18.7 (b) 814 31 (3949.9, 2994.2)

EJERCICIOS 8.2 1 (a) B (e) A

(b) F (f ) C

(c) D

(d) E

7 9 11 13 17 25 27 29 31

8

a b

2

x

3b

8 3b

1 e 2 17 a b c a1, a2 b1, b2 c1, c2 a1, a2 b1 c1, b2 c2 a1 b1 c1, a2 b2 c2 a1 b1, a2 b2 c1, c2 a1, a2 b1, b2 c1, c2 a b c

11 b

13 f

15

19 a a a1, a2 a1, a2

a, ley de los senos. (b) a, ley de los cosenos. Cualquier ángulo, ley de los cosenos. No se proporcionó suficiente información. g, a b g 180° c, ley de los senos; o g, a b g 180° a 26, 41°, 79° b 180, 25°, 5° c 2.75, 21°10 , 43°40 29°, 47°, 104° 15 196 pies 12°30 , 136°30 , 31°00 24 mi 19 39 mi 21 2.3 mi 23 N55°31 E 63.7 pies desde la primera y tercera bases; 66.8 pies desde la segunda base. 37 039 pies 7 mi 1 cos Sugerencia: Usa la fórmula sen . 2 2 (a) 72°, 108°, 36° (b) 0.62 (c) 0.59, 0.36

3 (a) (c) (d) (e) (f) 5

2a ab

8 ab 2a b a

a1, a2 a1, a2 a1 a1, a2 a2 0, 0 0

21 mna mn a1, a2

mna1, mna2 mna1, mna2 m na1, na2 o n ma1, ma2 mn a1, a2 o nm a1, a2 o nma mna

23 0a 0 a1, a2 0a1, 0a2 0, 0 0.

También, m0 m 0, 0 m0, m0 0, 0 0.

25 a b a1, a2 b1, b2

a1 b1, a2 b2 a1 b1, a2 b2 a1 b1, a2 b2 a1, a2 b1, b2 a b a b

x


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01:29

Page R63


27 2v 2 a, b 2a, 2b 2a2 2b2

4a 4b 2a b 2 a, b 2v 2

29 32 ; 35 18;

7 4

3 2

2

2

33 41 ; tan1

37 102 lb

000

5 4

41 1000 23 1732 pies-lb

39 7.2 lb

43 (a) v 93 10 6i 0.432 10 6j;

w 93 10 6i 0.432 10 6j

(b) 0.53°

43 5.8 lb; 129°

45 40.96; 28.68

47 6.18; 19.02

8 15 49 (a) i j 17 17

(b)

2 5 , 29 29

53 (a) 12, 6

(b)

EJERCICIOS 8.5

8 15 i j 17 17

(b)

3,

2 5 , 29 29

3 2

3 85

(b) G F 7, 2

61 sen1 0.4 23.6°

5 8

7 1

9 0

Nota: El punto P es el correspondiente a la representación geométrica. 13 P3, 5

17 P6, 4

59 (a) F 5.86, 1.13 (b) G F 5.86, 1.13 65 420 mph; 244°

1 5

11 P4, 2

42 24 55 i j 65 65 57 (a) F 7, 2

4 3 , 47 2.6 49 24.33 5 5 51 16 3 27.7 caballos de fuerza. 45

41 89 lb; S66°O

51 (a)

39 0 a 0, 0 a1, a2 0a1 0a2

2

31 5;

15 P3, 6

19 P0, 2 Eje imaginario

15 3 6 i

Eje imaginario 17 6 4i

11 4 2 i

19 2i

63 56°; 232 mph 67 N22°O

Eje real

69 v1 4.1i 7.10j; v2 0.98i 3.67j 71 (a) (24.51, 20.57)

Eje real

13 3 5 i

(b) 24.57, 18.10

73 28.2 lbpersona EJERCICIOS 8.4

3 5 7 9 13 21 25 31

21 2 cis

24 48°22 29 45 14 (a) 14 (b) cos1 160°21 17 13 45 (b) cos1 38°40 (a) 45 81 41 149 1495 (a) (b) cos1 180° 5 149 14925

4, 1 2, 8 0 11 4j 7i 0 6 3 Opuesto 15 Mismo 17 19

5 8 (a) 23 (b) 23 23 51 27 2.2 29 7 1726 3.33 28 33 12

1 (a) 24

(b) cos1

R63

35 a a a1, a2 a1, a2 a21 a22

a21 a22 a 2 37 ma b m a1, a2 b1, b2 ma1, ma2 b1, b2 ma1b1 ma2b2 ma1b1 a2b2 ma b 2

7 4

27 42 cis

23 8 cis

5 4

33 7 cis

5 6

29 20 cis 35 6 cis

3 2

2

31 12 cis 0

37 10 cis

39 5 cis tan1

6

25 4 cis

4 3

1 2

41 10 cis tan1

1 3

3 5 3 2 4

43 34 cis tan1 45 5 cis tan1

47 22 22 i 53 5 3i

55 2 i

59 103 10i, 63 8 4i,

49 3 33 i

8 4 i 5 5

51 5

57 2, i

2 2 3 i 5 5

61 40,

67 17.21 24.57i

5 2


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69 11.01 9.24i

71 365 ohms

2, 3, 6, 13, 8, 10, 1, 4.

EJERCICIOS 8.6 1 972 972i

15 17 19

1 1 2 2 i 2 2

8

12 (a) 12i 19j

15 16i 12j 16 17 18

w2 w3 w4

10

x

2 w3

w5

23 2, 2i

19

w0 x w4

20 21 22

25 2i, 3 i, 3 i

23

27 2i, 3 i 29 3 cis con 0°, 72°, 144°, 216°, 288°

26

31 r cos i sen n r ei n

r nein r nein rncos n i sen n

28 30 32

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 8 1 a 43, cos

1

4 5 43 , cos1 43 43 86

2 60°, 90°, b 4; 120°, 30°, b 2 3 75°, a 506 , c 50 1 3 4 cos1

7 11 1 , cos1 , cos1 8 16 4

(b) 8i 13j

13 14 cos 40°, 14 sen 40°

w1

w0 (1, 0)

35 972 972i 37 3,

36 219 2193 i

3 3

3 i 2 2

38 (a) 224

3 2 cis con 100°, 220°, 340° (b)

39 2 cis con 0°, 72°, 144°, 216°, 288° 40 47.6°

41 53 000 000 mi

42 (a) 449 pies

(b) 434 pies

43 (a) 33 mi, 41 mi 45 1 hora y 16 minutos.

7 24°, 41°, b 10.1

47 (a) 47°

(b) 20

48 (a) 72°

(b) 181.6 pies2

10 10.9

14 109 lb; S78°E

6 19°10 , 137°20 , b 258

9 290

(c) 40 6.32

12 28 , 58 58 Círculo con centro a1, a2 y radio c. Los vectores a, b, y a b forman un triángulo donde el vector a b es opuesto al ángulo . La conclusión es una aplicación directa de la ley de los cosenos, con los lados a , b y a b . 183°; 70 mph 10 10 (a) 10 (b) cos1 (c) 47°44 13 17 13 40 (b) cos1 26°34 (c) 40 (a) 80 40 50 56 3 5 24 4 cis 25 17 cis 102 cis 4 3 3 7 12 cis 27 10 cis 2 6 5 29 103 10i 41 cis tan1 4 3 12 5i 31 12 123 i, 2 33 512i 34 i 42 i, 22

5 38°, a 8.0, c 13

8 42°, 87°, 51°

x

(d) 29 17 1.26

y w1

ab

y w2

8 qb

9

ab 2a

5 8

1 1 3 i 2 2 1 1 643 64i 13

6 2 i 2 2 4 4 4 4 2 18 18 2 i ,

i

2 2 2 2 3 3 3i, 3 i 2 2 1 1 10 21

1, 3 i, 2 cis con 9°, 2 2 81°, 153°, 225°, 297° 1 1 3 i 2 2

7 11

3 32i

y

11 Los puntos terminales son

73 70.43 volts

(b) 30 mi

44 204

46 (c) 158° (c) 37.6 pies


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R65

45 Sí; 1 pie 1 pie 2 pies o bien


213 1

213 1

Capítulo 9

8 pies pies 2 213 1 2 1.30 pies 1.30 pies 1.18 pies 1 1 47 Los puntos están sobre la parábola (a) y x 2 y 2 2 1 (b) y x 2 1. 4 49 (a) 31.25, 50 3 1 4.975, 0.5 (b) 211, 2 2

EJERCICIOS 9.1

51 0.82, 1.82;

4 (b) Sugerencia: la ley de los cosenos. 5 (a) b cos a cos i

b sen a sen j ( b ) i;

6 (a) 1

2 2 2 i (c) i; e 0.2079 2 2 2

7 La afirmación es verdadera.

3 1, 0, 3, 2 1 1 , 5 0, 0, 7 3, 2 9 No hay solución. 8 128 11 4, 3, 5, 0 13 2, 2 3 1 1 3 286, 286 , 15 5 10 5 10

1 27 1 27

, 2 2 2 2 53 0.56, 1.92, 0.63, 1.90, 1.14, 1.65

12 16 , 5 5

6, 6 por 4, 4

19 0, 1, 4, 3

55 1.44, 1.04, 0.12, 1.50, 0,10, 1.50,

21 2, 5, 25, 4 25

3 1 1 3 286, 286 5 10 5 10

17 4, 0,

23

pies

1 3, 5, 1, 3

2

22, 2 23 , 22, 2 23 2 22, 2 , 2 22, 2 27

1.22, 1.19

3, 1, 2

29 1, 1, 2, 1, 3, 2 31 (a) b 4; tangente (b) b 4; interseca en dos puntos (c) b 4; no hay intersección

3, 3 por 2, 2

33 Sí, ocurre una solución entre 0 y 1.

57 a 1.2012, b 0.4004

y

y 2x

59 a 2.8019, b 0.9002

EJERCICIOS 9.2

yx

1 4, 2

x

9

3 8, 0

51 96 , 13 13

11

5

1,

3 2

8 3 , 26 7 7

7

76 28 , 53 53


15 Todos los pares ordenados m, n tales que 3m 4n 2.

1 35 ; tangente 4

37 f(x) 2(3)x 1

39 12 pulg 8 pulg 41 (a) a 120 000 , b 40 000

(b) 77 143

43 0, 0, 0, 100, 50, 0; la cuarta solución 100, 150

no tiene sentido.

17 0, 0

19

22 11 , 7 5

21 313 estudiantes, 137 no estudiantes. 23 x

30 30 4 5.55 cm, y 12 2.45 cm


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25 l 10 pies, w

3600 cachorros

20 pies 27 2400 adultos,

y

y

y 2x 1

2x 5y 10

29 40 g de aleación al 35%, 60 g de aleación al 60%. 31 540 mph, 60 mph 33 v0 10, a 3 35 20 sofás, 30 sillones.

y4 x

yx0

x

x 2

4 37 (a) c, c para una c 0 arbitraria (b) $16 por hora. 5 39 1928; 15.5C 41 LP: 4 h, SLP: 2 h 43 a

1 1 , b e6x 6 6

45 a cos x sec x, b sen x

3x y 6

17

19 y

y x 2y 8

EJERCICIOS 9.3 1

y

y3

y

3

x4 x

x y 2x 1 3x 2y 6

x

x

21

23 y

y xy1

5

7

y

y

x2 y 2 4 x

y x2 1 y x2 2

x

x

25

y x1y

9

y

y

11

x x2 1 y

3x y 3 4 y 2x

1 y 2 x

5 5

x

x

27 0 x 3, y x 4, y x 4 13

15

29 x2 y2 9, y 2x 4 31 y x, y x 4, x 22 y 22 8 33 y

1 1 3 x , y x 4, y x 4 8 2 4

x


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35 Si x y y denotan los

y

números de conjuntos de la marca A y de la marca B, respectivamente, entonces un sistema es x 20, y 10, x 2y, x y 100.

y

1.5, 1.5 por 1, 1


49 (a) Sí (b)

y 3x

x y 15 000 2000

3.5, 4 por 1, 4

x y 100 x 2y

x

cantidad puesta en inversión de alto riesgo y bajo riesgo, respectivamente, entonces un sistema es x 2 000 , y 3x, x y 15 000 .

45

x 20

y 10

37 Si x y y denotan la

43

R67

4.5, 4.5 por 3, 3

33, 80, 5 por 0, 50, 5

x 2000 2000

(c) Región arriba de la recta.

x

EJERCICIOS 9.4 1 Máximo de 27 en (6, 2); mínimo de 9 en (0, 2). 3 Máximo de 21 en 6, 3 5 Mínimo de 21 en 3, 2.

39 x y 9, y x, x 1 y

y x1

y 3x 4y 12 3x 2y 24 (4, 6)

xy

xy9

(0, 4)

(8, 0) x 2x 5y 16 2x 3y 12

x (0, 0)

(3, 2)

(6, 3)

(0, 3)

(5, 0) 3x y 15

x

7 C tiene el valor máximo de 24 para cualquier punto del 41 Si la planta está ubicada en x, y, entonces un sistema es

602 x2 y2 1002, 602 x 1002 y2 1002, y 0. y

segmento de recta de 2, 5 a 6, 3. y x 2y 8

x 2 y 2 100 2 x 2 y 2 60 2 (x 100)2 y 2 100 2 (x 100)2 y 2 60 2

(0, 4)

(2, 5) q x y 6 3x 2y 24 (6, 3) (0, 0)

(8, 0)

x

10 10

x

9 50 estándar y 30 de tamaño extra.


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5 11

11 3.5 lb de S y 1 lb de T.

8

13 Enviar 25 desde W1 a A y 0 desde W1 a B.

Enviar 10 desde W2 a A y 60 desde W2 a B.

7 No es posible, no es posible,

15 Ninguno de alfalfa y 80 acres de maíz.

costo máximo: 0 oz de X, 8 oz de Y, 12 oz de Z. 19 Dos camionetas de reparto y cuatro autobuses. 21 3000 truchas y 2000 lobinas. 23 60 unidades básicas y 20 de lujo.

9 18

EJERCICIOS 9.5

7

3 2, 4, 5

5 No hay solución.

2 31 1 , , 3 21 21

Ejercicios 9 al 16: hay otras formas para las respuestas; c es cualquier número real. 9 2c, c, c 13 15 17 23 25 27 29 31 33

35 39 41

3

9 2

1 1 , 5 4

3 10 , 1 2

3 6

2 9 0 , 3 8 18

3 15 0

4 12 , 6 9

9 1 3

15

11 0, c, c

12 9 4 13 c, c ,c 7 7 7 14 7 1 19 3 c , c ,c 10 2 10 2 1 31 3 19 2, 3 21 No hay solución. , , 11 11 11 17 de 10%, 11 de 30%, 22 de 50%. 4 h para A, 2 h para B, 5 h para C. 380 lb de G1, 60 lb de G2, 160 lb de G3. 3 9 (a) I1 0, I2 2, I3 2 (b) I1 , I2 3, I3 4 4 3 1 1 lb Colombiano, lb Brasileño, lb Keniano 8 8 2 (a) A: x1 x4 75, B: x1 x2 150, C: x2 x3 225, D: x3 x4 150 (b) x1 25, x2 125, x4 50 (c) x3 150 x4 150; x3 225 x2 225 150 x1 75 x1 75 2134 37 x 2 y 2 x 3y 6 0 3 f(x) x 2x 2 4x 6 4 11 17 23 a ,b ,c ,d 9 9 18 18

EJERCICIOS 9.6 1

13

0 3 5 , 3 4 9

2 12 5 , 4 4 6

17

4 12 8 , 6 2 3

11

16 11

14 2 29

3 16 7

3 5 51

8 , 11

1 4 7

3 1 6 , 4 9 7

4 2 26

2 5 8

3 12 15

21

25

2 5

0 3

7 28 35

76 5 41

38 61 0

11 4 1

4 2 10

2 8 10

2 10

38 22

3 6 9

0 10

35

23

135 39 45

4 12 1

109 92 3

91 33 95

102 13 19

400 400 39 (a) A 300 250 100

(b)

2 5 8

20 10 13

5 , no es posible. 2

18 40

0 3 9

38 4 , 34 23

3 3 2 , 2 9 15

4 18

19 15 ,

37

4 2 4

6 0 6

17 Costo mínimo: 16 oz de X, 4 oz de Y, 0 oz de Z;

1 2, 3, 1

3 3 , 3 3 7 , 6 4 , 21 0 15

550 450 500 200 100

500 500 $1.39 600 , B $2.99 300 $4.99 200

$4695.50 $4396.50 $4906.00 $2442.50 $1436.00

(c) Los $1436.00 representan la cantidad que la tienda de-

bería recibir si se vendieran todas las toallas amarillas.


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Page R69

R69


29 (a) a 1.9630, b 26.2963, c 25.7407

EJERCICIOS 9.7

(b)

1 Demuestre que AB I2 y BA I2.

3

1 3 10 1

7

1 8

11

1 3 0

1 2

0

0

0

1 4

0

0

0

1 6

19 (a)

23

5 No existe

2 2 0

17 (a)

21

4 2

0 0 2

4 4 1

13 ab 0;

(b)

(b)

27 (a)

(b)

M21 1;

M12 5; A21 1;

3 M11 14 A11;

M13 M22 M31 M33 5 5

15 A13; 5 A22; 11 A31; 6 A33 7 83 9

17 216

M12 10; M21 7; M23 34; M32 4; 2

33 (a) x x 2

0.37796 0.29171 0.37447 0.20967

31 (a) x 3x 4

15 48 (b) 1, 4

(b) 2, 1 (b) 2, 1, 1 (b) 2, 2, 4

37 (a) x 4x 4x 16 2

39 31i 20j 7k 43 359 284

13 125

11 0

35 (a) x 3 2x 2 x 2 3

A12 10; A21 7; A23 34; A32 4;

2

19 abcd

2

A12 5; M22 7 A22

41 6i 8j 18k

45 10 739.92

47 (a) x 3 x 2 6x 7

(b) 2.51, 1.22, 2.29

x 6.2 y 2.9

0.1391 0.2016 0.0625 0.1136

0.06496 0.55936 0.14074 0.07218

3.1 6.7 4.1 5.1 0.6 1.1

1 M11 0 A11;

16 16 1 , , 3 3 3

0.12932 0.09503 0.00241 0.04150

4.0 7.1 2.2 4.9

EJERCICIOS 9.8

7 6 , 5 5

0.22278 1.17767 0.37159 0.15987

(c) Junio: 61F; octubre: 41F.

1 b

0.25926 0.62963 0.02469 0.32099 0.04938 0.35802

25 (a)

1, 12 por 15, 70, 5

0

0.11111 0.03704 0.07407

3 3 0

1 a

(b)

25 34 7 , , 3 3 3

5 8 2

0

13 1 , 10 10

1 3

9

(c) x 1.4472, y 0.0579

8.7 0.2 7.4

x 1.5 y 2.1 z 3.9

0.1474 0.1572 0.1691 0.1197 0.0696 0.1426 0.0297 0.0024 0.1700

(c) x 0.1081, y 0.5227, z 0.6135

10, 11 por 12, 2

EJERCICIOS 9.9 3 R1 R3 l R3

1 R2 i R3

5 2 es un factor común de R1 y R3. 7 R1 y R3 son idénticas. 9 1 es un factor común de R2. 11 Todo número de C2 es 0. 15 10

17 142

33 4, 2

13 2C1 C3 l C3

19 183

21 44

23 359

35 8, 0

37 D 0, así que no se puede usar la regla de Cramer. 39 2, 3, 1

41 2, 4, 5 cgi dfi bfj 43 x cei afi bfh


R70

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EJERCICIOS 9.10 1

3 5 x2 x3

3

2 3 1 x1 x2 x3

9

2 5 x 1 x 12

7

11

2x y 4

3 2 1 x x5 x1

7 5 40 2 x x 3x 5

21

5 2 3 3x 4 2 17 x x 1 x 13 x 1 x2 1 4x 1 4 5x 3 3 2 19 21 2 x x 2 x 1 x 2 12 25 3

24

4 8 x x4

26

2 3 x 1 2x 1

27 2x 3

29


1

19 18 , 23 23

32 2 No hay solucion.

5 2 23, 22 , 2 23, 22

4 4, 3, 3, 4 6 1, 1, 1, 8 10

log2

3 3, 5, 1, 3

1 1 0, 26, 2 2

25 15 , log3 7 7

14 14 , 17 27

7

17

y

12 0, 0, 0

18 yx

y

2

yx2

yx

x 2 y 2 16

x x5

0 15

37 6

a 2a

3a 4a

27

5 13

9 19

30 0

1 11

1 37

a 2b 1

4 3 9

20 15 8 38 9

43 120

0 0 1

2 4 9

1 0

15 2 6

0 0

31

33 0

0 2 1

0 0

1 2

40 86

44 76

45 0

2 3

4 5

0 7 4

35 2, 5

39 48

6 1 9

4 22 11

11 5

28

0

1 2 1

4 11

3a 4b

0 1 0

0 16 12

23

12 6

25

8 5 14

26 6

22

36 1, 3, 2 41 84 46 50

48 4, 27

49 2 es un factor común de R1, 2 es un factor común de C2,

y 3 es un factor común de C3. 50 Intercambia R1 con R2 y luego R2 con R3 para obtener el

determinante de la derecha. El efecto es multiplicar dos veces por 1. 76 28 2 31 1 51 a11a22 a33 ann 53 54 , , , 53 53 3 21 21

55

x

6 5

47 1 2 23

19 5 13 5c 1, c , c para cualquier número real c. 2 2 1 1 , 14 5, 4 15 1, 16 3, 1, 2, 4 2 3

5 11

4 4

42 0

6 2 17 , , 29 29 29

11 2c, 3c, c para cualquier número real c.

37 6

7 6 , ,1 11 11

9

34

y 2x 5

x 2y 2

y 3x 4

15

1 3x 2 x1 x 1

x

x

25 2325 2425 x 2 x 22 2x 1

23 2x

y

20

y x2

5 4 x6 x2

5

13

y

19

8 3 1 x1 x5 x3

56 2

4 3 x 1 x 12

4 2 3x 1 x2 58 2 2 2 x5 x 4 x 2 x 5 59 40 25 pies 20 25 pies 60 y 2 22 x 3 57

61 Impuesto $18 750; bono $3125. 62 Radio interior 90 pies, radio exterior 100 pies.


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63 En pies3h : A, 30; B, 20; C, 50

2 1 %, SP: 31 % 3 3 5 a 15, b 10, c 24; la raíz cuarta es 4. 4 AD: 35%, DS: 33

64 Del poniente, 95; del oriente, 55. 65 Si x y y denotan la

y (ancho)

longitud y el ancho, respectivamente, entonces un sistema es x 12, y 8, 1 y x. 2

6 y 0.0583x 3 0.116x 2 1.1x 4.2 x 12

8 (a) No es posible.

y8

(b) x 2 y 2 1.8x 4.2y 0.8 0

7 5 2 x x4 12 12 5 2 7 (d) f(x) ax 3 2a x 3a x 4, 12 12 donde a es cualquier número real diferente de cero. (e) No es posible. (c) f(x)

y qx x0

66 x y 18, x 2y,

R71

x (longitud)

y

x 0, y 0


x y 18 x 2y

1 9, 6, 3, 0; 12

3

1 4 7 10 22 , , , ; 2 5 10 17 65

5 9, 9, 9, 9; 9

2 2

x

67 80 podadoras y 30 cortadoras. 68 Alto riesgo, $50 000; bajo riesgo, $100 000; bonos $0.

7 1.9, 2.01, 1.999, 2.0001; 2.000 000 01 9 4, 13

EJERCICIOS DE ANÁLISIS DEL CAPÍTULO 9 1 (a) b 1.99, x 204, y 100;

17

11 15 9 5 , , ; 4 3 8 16

2 2 8 8 128 , , , ; 3 3 11 9 33

11 2, 0, 2, 0; 0 15 1, 2, 3, 4; 8

y

19

y

b 1.999, x 2004, y 1000

(b) x

1 4b 10 ,y b2 b2

(c) Se acerca a 4, 0. 2 (a) D 12 000

0.90 E 0.00 0.05

50 0.5 x

9000 0.10 0.80 0.00

14 000 ;

0.00 0.20 0.95

(b) Los elementos de F 11 500

8400 15 100

representan las poblaciones de las islas A, B y C, respectivamente, después de un año.

(c) La población se estabiliza con 10 000 aves en A,

5 000 en B y 20 000 en C. (d) A pesar de la distribución de la población inicial de

las 35 000 aves, la población tiende hacia la distribución descrita en el inciso (c).

21 2, 1, 2, 11, 38 25 5, 5, 10, 30, 120 29

23 3, 32, 34, 38, 316 27 2, 2, 4, 43, 412

7 15 , , 12, 17 2 2

31 1, 1 33 5

1 22

43 10 000

, 1

35 10

3 Sugerencia: Asigna un tamaño a A y analiza la definición

de una inversa.

x

10

45

1 22

37 25

319 3

47

1 23

,

39

7 2 k 2

17 15

1 1 1 2 22 23 41 61


R72

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a b n

49

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k

EJERCICIOS 10.2

k

k1

a1 b1 a2 b2 an bn a1 a2 an b1 b2 bn a1 a2 an b1 b2 bn

a b n

n

k

k1

k

5 3.3 0.3n; 1.8; 0.3

51 Cuando k aumenta, los términos tienden a 1. 25

53 0.4, 0.7, 1, 1.6, 2.8 55 (a) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

1.6176471, 1.6181818

59 C(n)

(b) El cuarto día.

89.95n si 1 n 4 87.95n si 5 n 9 85.95n si n 10

423 2

19 105

5

4

n1

n0

67

66

n1 6

n0 5

n1 1528

n0

39 12 o 18

10 14 22 26 , , 6, , 3 3 3 3 45 255 47 154 pies

41

6

8

10 12

43 (a) 60

(b) 12 780

49 $1200

51 16n2

53 Demostrar que el (n 1)-término es 1 mayor que el

n-ésimo término. 8 7 6 1 , , ,..., 55 (a) 36 36 36 36

m 89.95 4

23 530

n1

m 87.95

2

21 30

7n 3 o 4 7n 31 7n 3 o 4 7n 3n 3 3n 33 o 4n 3 7 4n 35 11n 3 12 845 132

m 85.95

1031.40 945.45 859.50 791.55 703.60 615.65 527.70 439.75 359.80 269.85 179.90 89.95

13 8.5

27 934j 838 265

37 24

C

11 8

551 17 17

29

(b) 1, 2, 1.5, 1.6, 1.6, 1.625, 1.6153846, 1.6190476, 57 (a) an 0.8an1

7 3.1n 10.1; 5.4; 20.9

9 ln 3n; ln 35; ln 310 15 9.8

k1

3 4n 2; 18; 38

1 Demuestra que ak1 ak 4.

n

63 2.4493 61 2.236068 65 (a) f 1 1 0, f 2 0.30 0 67 an tiende a e. 69 an tiende a 1. 71 10

1 ; 1 (c) $722.22 36

(b) d

EJERCICIOS 10.3

(b) 1.76

n1

ak1 1 1 . 3 8 ak 4 2

1 Demostrar que

5 3000.1n1; 0.03; 0.00003

24n;

1 1 ; 2 16

7 5n; 3125; 390 625.

9 41.5n1; 20.25; 68.34375 11 1n1x2n2; x8; x14 15 23

0, 20, 5 por 0, 125, 25

341 1024

23

3 3; 36 19 2

1

n1

n1

1 4

1 3

21 88 572

2 7

25 8188 55j

4

29

73 19

243 8

17

13 2n1x1; 24x1; 27x1

27

n

n1

n1

31

2 3

33

50 33

35 Puesto que r 22 1, la suma no existe. 37 1024 47 24

0, 20, 5 por 0, 300, 50

75 (a) Decrece de 250 insectos a 0. (b) Se estabiliza en 333 insectos. (c) Se estabiliza en 636 insectos.

39

23 99

41

2393 990

49 4, 20, 100, 500

53 (a) Nt 10 0001.2t 57 $3 000 000

5141 16 123 45 999 9999 25 % 0.1% 51 256 (b) 61 917 55 300 pies

59 (b) 375 mg

43


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1 210ak 4

61 (a) ak1 (b) an

Pn

(c) bk

9 (1) P1 es verdadero, porque

1 210 4

n1

1 210 4

n1

63 (a) ak 3k1

3 1 4k 4

65 $38 929.00

a1, An P1

n1

5 8

(c)

A1,

16a1 4 210

(b) 4 782 969

k1

R73

3 4

k1

(d)

729 4.45% 16 384

k 1

67 $7396.67

2 6 18 54 162 , , , , 5 25 125 625 3125 3 2882 (b) r ; 0.92224 5 3125

11 1 21 1

1. 6 (2)Suponiendo que Pk es verdadero: kk 12k 1 12 22 32 k2 . 6 Por consiguiente, 12 22 32 k2 k 12 kk 12k 1 k 12 6 11

69 (a)

(c) $16 000

EJERCICIOS 10.4

Ejercicios 1 al 32: se presenta una comprobación característica para los ejercicios 1, 5, 9, …, 29. 1 (1) P1 es verdadero, porque 21 11 1 2.

(2) Suponiendo que Pk es verdadero: 2 4 6 2k kk 1. Por consiguiente, 2 4 6 2k 2k 1 kk 1 2k 1 k 1k 2 k 1k 1 1. Así, Pk1 es verdadero y la demostración termina. 5 (1) P1 es verdadero, porque

1 1 51 1 2. 2 (2) Suponiendo que Pk es verdadero: 51 3

2 7 12 5k 3

1 k5k 1. 2

Por consiguiente, 2 7 12 5k 3 5k 1 3 1 k5k 1 5k 1 3 2 9 5 k2 k 2 2 2 1 5k2 9k 4 2 1 k 15k 4 2 1 k 1 5k 1 1 . 2 Así, Pk1 es verdadero y la demostración termina.

k2k 1 6k 1 6 6

k 12k2 7k 6 6

k 1k 22k 3 . 6 Así, Pk1 es verdadero y la demostración termina.

3 1 3 1 3. 2 (2) Suponiendo que Pk es verdadero:

13 (1) P1 es verdadero, porque 31

3 3 32 33 3k 3k 1. Por consi2 guiente, 3 32 33 3k 3k1 3 k 3 1 3k1 2 3 3 3k 3 3k 2 2 9 3 3k 2 2 3 3 3k 1 2 3 3k1 1. 2 Así, Pk1 es verdadero y la demostración termina.


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1 9 21 1 2 . 8 8 (2) Suponiendo que Pk es verdadero: 1 1 2 3 k 2k 12. Por tanto, 8 1 2 3 k k 1 1 2k 12 k 1 8 1 3 9 k2 k 2 2 8 1 4k2 12k 9 8 1 2k 32 8 1 2k 1 1 2. 8 Así, Pk1 es verdadero y la demostración termina.

17 (1) P1 es verdadero, porque 1

39 (1) Para n 1,

sen 1 sen cos cos sen sen 11 sen .

(2) Suponiendo que Pk es verdadero: sen k 1k sen . Por consiguiente, sen k 1

sen k

sen k cos cos k sen 1k sen 1 cos k 0 1k1 sen . Así, Pk1 es verdadero y la demostración termina. 41 (1) Para n 1,

rcos i sen 1 r1 cos 1 i sen 1 . (2) Suponiendo que Pk es verdadero:

21 (1) Para n 1, 5n 1 4 y 4 es un factor de 4.

rcos i sen k rkcos k i sen k. Por consiguiente, rcos i sen k1 rcos i sen k rcos i sen

rk cos k i sen k rcos i sen

rk1 cos k cos sen k sen isen k cos cos k sen

rk1 cos k 1 i sen k 1 . Así, Pk1 es verdadera y la demostración termina.

(2) Suponiendo que 4 es un factor de 5k 1. El (k 1)ésimo término es 5k1 1 5 5k 1 5 5k 5 4 55k 1 4. Según la hipótesis de inducción, 4 es un factor de 5k 1 y 4 es un factor de 4, así que 4 es factor del (k 1)-ésimo término. Por consiguiente, Pk1 es verdadero y la demostración termina.

25 (1) Para n 1, a b es factor de a1 b1.

(2) Suponiendo que a b es un factor de ak bk. A continuación aplicamos la sugerencia al (k 1)-ésimo término, ak1 bk1 ak a b ak b ak bk b aka b ak bkb. Como a b es un factor de aka b y como debido a la hipótesis de inducción a b es un factor de ak bk, se deduce que a b es un factor del (k 1)-ésimo término. Así, Pk1 es verdadero y la demostración termina.

29 (1) P8 es verdadero, porque 5 log 2 8 8.

(2) Suponiendo que Pk es verdadero: 5 log 2 k k. De aquí que, 5 log 2 k 1 5 log 2 k k 5 log 2 2k 5 log 2 2 log 2 k 5 log 2 k 1 k 1. Así, Pk1 es verdadero y la demostración termina. n3 6n2 20n 4n3 12n2 11n 33 35 3 3 37 (a) a b c 1, 8a 4b 2c 5, 1 1 1 27a 9b 3c 14; a , b , c 3 2 6 (b) El método que se usó en el inciso (a) demuestra que la fórmula sólo es verdadera para n 1, 2, 3.

EJERCICIOS 10.5 1 1440

3 5040

5 336

13 nn 1

11 715

7 1

9 21

15 2n 22n 1

17 64x 48x y 12xy y 3 3

2

2

19 x 6 6x 5y 15x 4y 2 20x 3y 3 15x 2y 4 6xy 5 y 6 21 x 7 7x 6y 21x 5y 2 35x 4y 3 35x 3y 4 21x 2y 5

7xy 6 y 7 23 81t 4 540t 3s 1350t 2s 2 1500ts 3 625s 4 25

5 10 10 5 1 5 x x 4y 2 x 3y 4 x 2y 6 xy 8 y 10 243 81 27 9 3

27 x12 18x9 135x6 540x3 1215 1458x 3

729x 6

29 x

5/2

5x

3/2

10x

1/2

31 3 c 25 3 c 25 10

24 52/5

10x

1/2

5x

3/2

300 3 c

23 54/5

33 1680 3 z 60 314z13 315z15 13 11

37

114 688 2 6 uv 9

39 70x 2y 2

135 16 49 4x 3 6x 2h 4xh2 h3

43 216y 9x 2

45

x

5/2

35

41 448y 3x 10 47 4.8, 6.19

189 8 c 1024


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Page R75


51

39 (a)

n n! ny 1 n 1! 1! n n! n1 n n 1 ! n 1! n! n 1! n 1!

0, 10 por 0, 300, 50

EJERCICIOS 10.6 1 210 19 24

(b) 252; 5

3 60 480

13 (a) 60

R75

5 120

(b) 125

7 6

11 n!

41 (a)

17 P8, 3 336

15 64

21 (a) 2 340 000

9 1

(b) 2 160 000

23 (a) 151 200 (b) 5760 25 1024 27 P8, 8 40 320 29 P6, 3 120 31 (a) 27 600

(b) 35 152

35 P4, 4 24

37 3! 23 48

(b) 92 378; 9, 10

39 216 1 17 41 (a) 900 (b) Si n es par, 9 10n/21; si n es impar, 9 10n1/2. (a) y 1

y

43

0, 19 por 0, 105, 104

33 9 000 000

(b) n!

nn 22 n en

EJERCICIOS 10.8

3 5

1

7 9 10

20

x

17 EJERCICIOS 10.7 1 35 11

3 9

5 n

7 1

10! 151 200 3! 2! 2! 1! 1! 1!

15 C8, 2 28

9

12! 166 320 5! 3! 2! 2!

13 C10, 5 252

17 5! 4! 8! 3! 696 729 600

19 3 C10, 2 C8, 2 C4, 2 C6, 2 3 4

4 082 400

21 C12, 3 C8, 2 6160

23 C8, 3 56

25 (a) C49, 6 13 983 816

(b) C24, 6 134 596

27 Cn, 2 45 y en consecuencia n 10 29 C6, 3 20 31 Determinando C31, 3 4495 33 (a) C1000, 30 2.43 1057 (b) P1000, 30 6.44 1089 35 C4, 3 C48, 2 4512 37 (a) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 (b) Sn 2n1

12 4 8 ; 1 hasta 12 (b) ; 2 hasta 11 (c) ; 3 hasta 10 52 52 52 1 1 2 (a) ; 1 hasta 5 (b) ; 1 hasta 5 (c) ; 1 hasta 2 6 6 6 5 6 9 (a) ; 1 hasta 2 (b) ; 2 hasta 3 (c) ; 3 hasta 2 15 15 15 2 5 7 (a) ; 1 hasta 17 (b) ; 5 hasta 31 (c) ; 7 hasta 29 36 36 36 9 6 3 11 13 5 hasta 2; 2 hasta 5 15 5 hasta 9; 216 8 14 48 13 1.93 hasta 1 19 0.00024 C52, 5 C13, 4 C13, 1 0.00358 C52, 5 C13, 5 4 4 0.00198 25 C52, 5 6

1 (a)

21 23

27 0.6744 0.2064 29 (a) 0.45

(b) 0.10 (c) 0.70 (d) 0.95 C20, 5 C40, 0 31 (a) 0.0028 C60, 5 C30, 0 C30, 5 0.9739 (b) 1 C60, 5 C10, 0 C50, 5 C10, 1 C50, 4 0.8096 (c) C60, 5 C60, 5 C8, 7 C8, 8 0.00391 0.03125 33 (a) (b) 8 2 28 C8, 6 0.109375 (c) 28 C8, 6 C8, 7 C8, 8 0.14453 (d) 28


R76

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35 1

C48, 5 0.34116 C52, 5

24 1

312 20 72 156 36 192 ; ; ; (c) No; sí; 312 312 312 312 312 92 (d) Sí; no; 0; 312 10 26 1 31 1 1 41 (a) (b) 1 36 36 32 32 32 C4, 4 1 1 C4, 2 (a) (b) 4! 24 4! 4 1 (b) (a) 0 9 331 142 334 415 0.791 0.798 (a) (b) 418 890 418 890 C4, 2 1 6 12.5% 51 (a) (b) 16 24 16 2 (aproximadamente una posibilidad en 13 25 827 165 millones) (b) 20; 292;

43 45 47 49 53

(c)

244 0.4929 495

(b) 0.95

61 (b) 0.76

63 $0.99

65 $0.20 EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 10 1 5, 2, 1,

20 7 ; 29 19

2 0.9, 1.01, 0.999, 1.0001; 0.999 999 9

1 5 7 65 3 2, , , ; 2 4 8 64 11 21 32 53 , , , 5 10, 10 11 21 32

10

19 1 21 a x

37 10

6

8 1,

1 2 3 5 , , , 2 3 5 8

n1 25

n0

4n

20

ax 20

22

n

n0

3n 5

13

n1

98

1 16 n1 nn 1n 2

1 1n x 23 1 1 2k 7

105 5n

n1

n

12 10

99

1 23n 14 15 n1 n1 nn 1 4 4 n n 17 18 3n 1 5n 1 n1 n1 5

27 31; 50

26 52

28 12

29 20, 14, 8, 2, 4, 10 32 1562.5 o bien 1562.5 36

39 2041

40 506

34

33 4 22

1 211 ; 81 1296

35 17; 3

31 0.00003

30 64

37 570 41

5 7

12 800 2187

38 32.5

42

6268 999

43 (1) P1 es verdadero, ya que 31 1

1 31 1

2. 2

(2) Supón que Pk es verdadero: 2 5 8 3k 1

k3k 1 . 2

Por consiguiente, 2 5 8 3k 1 3k 1 1 k3k 1 3k 1 1 2 3k2 k 6k 4 2 3k2 7k 4 2 k 13k 4 2 k 1 3k 1 1

. 2 Así, Pk1 es verdadero y la demostración termina.

3n

n1

n1

n

2k

k

k1

21 21 1 1 1

4. 3 (2) Supongamos que Pk es verdadero: 2k2k 1k 1 22 42 62 2k2 . 3 De ahí que, 22 42 62 2k2 2k 1 2 21 2

6 2, 2, 2, 2, 2

11 940

25 5 8 23; 5 35 23

44 (1) P1 es verdadero porque

1 1 1 8 8 , , , ; 4 12 15 15 105 45

4 8 3, 2 3 7 9, 3, 23, 2

9 75

k

1970 0.0495 55 39 800 8 1 57 (a) (b) 36 36 59 (a) 0.9639

n

k1

37 (a) Un resultado representativo es (nueve de tréboles, 3);

39

xk

2k2k 1k 1 2k 1 2 3 4k2 2k 12k 1 k 1 3 3 k 14k2 14k 12 3 2k 12k 3k 2 . 3 Así, Pk1 es verdadero y la demostración termina.


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Page R77


R77

48 (1) P5 es verdadero, porque 52 3 25.

45 (1) P1 es verdadero porque

1 1 1 . 21 1 21 1 21 1 3 (2) Supongamos que Pk es verdadero:

(2) Supongamos que Pk es verdadero: k2 3 2k. Por consiguiente, k 12 3 k2 2k 4 k2 3 k 1 2k k 1 2k 2k 2 2k 2k1 Así, Pk1 es verdadero y la demostración termina.

1 1 1 1 k . 13 35 57 2k 12k 1 2k 1 De ahí que, 1 1 1 1 13 35 57 2k 12k 1 1 k 1 2k 12k 3 2k 1 2k 12k 3 k2k 3 1 2k 12k 3 2k2 3k 1 2k 12k 3 2k 1k 1 2k 12k 3 k1 . 2k 1 1

49 (1) P4 es verdadero, porque 24 4!

(2) Supongamos que Pk es verdadero: 2k k! Por consiguiente, 2k1 2 2k 2 k! k 1 k! k 1! Así, Pk1 es verdadero y la demostración termina. 50 (1) P10 es verdadero, porque 1010 1010.

(2) Supongamos que Pk es verdadero: 10k kk. Por consiguiente, 10 k1 10 10 k 10 k k k 1 k k k 1 k 1k k 1k1. Así, Pk1 es verdadero y la demostración termina.

Así, Pk1 es verdadero y la demostración termina.

51 x 12 18x 10y 135x 8y 2 540x 6y 3 1215x 4y 4

46 (1) P1 es verdadero, porque

11 11 2 11 1 2. 3 (2) Supongamos que Pk es verdadero: 1 2 2 3 3 4 kk 1 kk 1k 2 . 3 Por consiguiente, 1 2 2 3 3 4 kk 1 k 1k 2 kk 1k 2 k 1k 2 3 k 1 k 1k 2 3 k 1k 2k 3 . 3 Así, Pk1 es verdadero y la demostración termina.

47 (1) Para n 1, n3 2n 3 y 3 es factor de 3.

(2) Supongamos que 3 es factor de k3 2k. El (k 1)ésimo término es k 13 2k 1 k3 3k2 5k 3 k 2k 3k 3k 3 3

1458x 2y 5 729y 6 52 16x 32x y 24x y 8xy y12 4

55 57 58 61

62 63 64 66 67 68 69

Según la hipótesis de inducción, 3 es factor de k3 2k y 3 es un factor de 3k2 k 1, de modo que 3 es un factor del (k 1)-ésimo término. Así, Pk1 es verdadero y la demostración termina.

70

71 74

2 6

9

63 12 10 y c 16 56 52 500 000 21 504x 10y 2 1 3 1 1 (a) d 1 a1 (b) En pies: 1 , 2, 2 , 3 2 4 4 2 2 24 pies 59 60 P(10, 10) 3 628 800 1f (a) P52, 13 3.954 1021 (b) P13, 5 P13, 3 P13, 3 P13, 2 7.094 1013 (a) P6, 4 360 (b) 64 1296 (a) C12, 8 495 (b) C9, 5 126 8 17! 85 765 680 65 5 hasta 8; 6! 5! 4! 2! 13 2 2 (a) (b) 4 8 P26, 4 2 262 252 0.1104 0.0650 (a) (b) P52, 4 P52, 4 50 1 10 (a) (b) (c) 1000 1000 1000 4 C4, 1 ; 1 hasta 3 24 16 C6, 4 C6, 5 C6, 6 22 (a) 26 64 22 42 (b) 1 64 64 1 57 8 73 (a) (b) 72 0.44 312 312 36 5.8125

53 x 8 40x 7 760x 6

2

k3 2k 3k2 k 1.

3 3

54


R78

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5 V2, 1; F2, 1;

1 n 1n 2n 3n 4a 10 24 (La respuesta no es única.)

y3

1 an 2n

7 V3, 2; F

x

y

47 16

49 ,2 ; 16

y

2 ; j 94

1 1 1 1 5 n n4 n3 n 5 2 3 30 (b) Aplicar la inducción matemática.

3 (a)

x

4 (a) 2n4 4n3 2n2 (b) Aplicar la inducción matemática.

x

5 Examinar el número de dígitos en el exponente del valor

1 16

en notación científica.

6 El (k 1)-ésimo coeficiente k 0, 1, 2, . . . , n del

n , que es igual que la k cantidad de subconjuntos de k elementos de un conjunto de n elementos. 7 4.61 8 $5.33 9 Cantidades en monedas de 10 centavos: $237.37 $215.63 $195.89 $177.95 $161.65 $146.85 $133.40 $121.18 $110.08 $100.00 Cantidades realistas en billetes de diez dólares: $240.00 $220.00 $200.00 $180.00 $160.00 $140.00 $130.00 $120.00 $110.00 $100.00 desarrollo de a bn, a saber

9 V2, 2; F 2,

y

7 ; 4

11 V 0,

9 4

y y

1 80 089 128

(b)

x

2 303 805 (aproximadamente 1 80 089 128 en 35).

16 663 144 0.21 (d) $63 425 984 80 089 128 12 0.43 13 00 1 14 El total de la suma es p. 5 tan x 10 tan3 x tan5 x 15 (a) tan 5x 1 10 tan2 x 5 tan4 x (b) cos 5x 1 cos5 x 10 cos3 x sen2 x 5 cos x sen4 x; sen 5x 5 cos4 x sen x 10 cos2 x sen3 x 1 sen5 x (c)

13 y 2 20x 1 15 x 22 16 y 3

17 (x 3)2 6 y 19 y 2 8x

23 y 52 4x 3 25 y 2 12x 1

EJERCICIOS 11.1

27 3x 2 4y

y

3 V0, 0; F

x

3 8

1 2

21 x 62 12 y 1

Capítulo 11 1 V0, 0; F0, 2; y 2

3 ,0 ; 8

29 y 52 2x 3 31 x 2 16 y 1 33 y 32 8x 4

y

35 y 2x 3 1 37 x 2y 4 1

x

39 y x 2 2x 5 x

41 x y 2 3y 1 43 4 pulg

11 2 y

10 Se dispone de 11 ingredientes. 11 (a)

1 9 ; F 0, ; 2 2

x


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45

9 V3 4, 4;

9 pies del centro del paraboloide. 16

r2 49 (a) p 4h

11 V4 3, 2;

F 3 27, 4

47 2 2480 43.82 pulg

F 4 25, 2

y

(b) 10 22 pies

y

51 64 968 pies2

55 2.08, 1.04,

53

x

x

2.92, 1.38

13 V5, 2 5;

11, 10, 2 por 7, 7

y

F 5, 2 221

2, 4 por 3, 3

EJERCICIOS 11.2

x

1 V 3, 0; F 25, 0

3 V0, 4; F0, 1 y

y

x

x

5 V0, 4; F 0, 2 23 y

1 ,0 ; 2 1 F 221, 0 10

15

x2 y2 1 4 36

17

x 22 y 12 1 25 4

19

x2 y2 1 64 39

21

4x 2 y2 1 9 25

23

8x 2 y2 1 81 36

25

x2 y2 1 7 16

27

x2 9y 2 1 4

29

4y 2 x2 1 16 25

7 V

31 2, 2, 4, 1

y

y x

R79

0.5

x x

0.5

33

x2 y2 1 25 16

35

y2 x2 1 64 289


R80 37

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Page R80


x2 y2 1 25 9

EJERCICIOS 11.3 1 V 3, 0; F 213, 0 ;

y

y

P 7

2 x 3

y

3 x 2 y

y

3

F

3 V0, 3; F 0, 213 ;

x

F

x

x

39 Mitad superior de

x2 y2 1 49 121 y2 1 9

41 Mitad izquierda de x 2

43 Mitad derecha de

x 12 y 22 1 4 9

45 Mitad inferior de

x 1 y 2 1 9 49 2

47 284 9.2 pies 51 (a) d h

7 V0, 4; F 0, 2 25 ;

5 V 1, 0; F 5, 0;

y 224x

y 2x

y

2

y

49 94 581 000; 91 419 000

h2

1 2 k ; d h 4

h2

1 2 k 4

x

x

(b) 16 cm; 2 cm desde V. 53 5 pies

55

1 ,0 ; 4

11 V2, 2 3;

1 F 213, 0 ; 12

y 2

9 V

300, 300, 100 por 200, 200, 100

57 1.540, 0.618

59 0.88, 0.76, 0.48, 0.91,

y

F 2, 2 2 13 ;

2 x 3

y

y x

0.58, 0.81, 0.92, 0.59

x

6, 6 por 2, 6

3, 3 por 2, 2

3 x 2 2


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13 V3 5, 2;

15 V2, 5 3;

F 2, 5 3 25 ; 1 y 5 x 2 2

F3 13, 2; 12 y 2 x 3 5 y

51 Rama derecha de

x2 y2 1 25 16

53 Rama superior de

y2 x2 1 9 49

y

4 2

x

4

55 Mitades inferiores de las ramas de

x2 y2 1 16 81

57 Mitades izquierdas de las ramas de

y2 x2 1 36 16

R81

x y

59 La gráfica tiene las

mismas asíntotas.

17

x2 y2 1 9 16

x 22 1 3

x

x2 1 15

23

x2 y2 1 9 16

25

y2 x2 1 21 4

x2 y2 1 9 36

29

x2 y2 1 25 100

31

y2 x2 1 25 49

21 y 2

27

19 y 32

63 Si se introduce un sistema coordenado semejante al del

33 Parábola con eje horizontal. 35 Hipérbola

ejemplo 6, entonces las coordenadas del barco son

37 Circunferencia

39 Elipse

43 0, 4,

41 Parábola con eje vertical.

61 x 29 4y 2

80 234, 100 155.5, 100. 3

8 20 , 3 3

65 0.741, 2.206

y

67 Ninguno

x

15, 15 por 10, 10

69 (a) 6.63 107, 0

45

x2 y2 1 144 25

49

y2 x2 1 16 9

47

15, 15 por 10, 10

(b) v 103 600 ms

EJERCICIOS 11.4

y2 x2 1 64 36

1 y 2x 7

y

3 yx2 y

y

F

t 2

11 x

F

x

P 3

x


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5 y 32 x 5

7 y 1x 2

21 y x 1/3 12

y

y

y

(27, 16) x

x

5

(1, 4) x

5

23 (a) La gráfica es una circunferencia con centro (3, 2) y 2

9

radio 2. Su orientación es en el mismo sentido del movimiento de las manecillas del reloj, y empieza y termina en el punto (3, 0). (b) La orientación cambia y es en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. (c) El punto donde empieza y termina la gráfica cambia a (3, 4).

2

y x 1 4 9

11 x 2 y 2 1

y

y

t0

25 C1 x

C2 y

x

y

x

13 y ln x

x

t0

15 y 1x y

y

C3

C4 y

y

x

x

t q 2p n x t w 2p n

17 y x 2 1

19 y x 1 y

y

t 1

t1

x

x

27 (a)

x

y

(b)

x

y

x


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Page R83

R83


(c)

43

y

x

1, 1 por 1, 1

47 x 4b cos t b cos 4t,

y

y 4b sen t b sen 4t

31 Las respuestas no son únicas. (a) (1) x t,

y t 2;

(2) x tan t,

y tan t;

(3) x t 3,

y t 6;

(b) (1) x et,

y e2t;

(2) x sen t,

t t 2 2 t

2

t (sólo da x 0) t (sólo da 1 x 1)

y sen2 t;

(3) x tan1 t, y tan1 t2; t 33 32003; 2704

(a, 0) x b

49

51

6, 6 por 4, 4

30, 30, 5 por 20, 20, 5

53 Una máscara con

55 La letra A.

sólo da

x 2 2

35 15 488; 3872

37 (a) La figura es una elipse con centro (0, 0) y ejes de

longitudes 2a y 2b.

boca, nariz y ojos.

y

y

39 (a)

x x

9, 9 por 6, 6

(b) 0 EJERCICIOS 11.5 41 (a)

1 (a), (c), (e) 3 (a)

3 3 2, 2 2 2

5 (a) 4, 43

120, 120, 10 por 80, 80, 10

(b) 30

7

24 18 , 5 5

9 (a)

(b)

(b)

2,

3 4

1 1 , 3 2 2

3 3 , 3 2 2

(b)

4,

7 6


R84

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11 (a)

14,

5 3

13 r 3 sec 19 r

3 cos sen

23 r 2 4 sec 2 27 x 5

(b)

52,

4

41 x 12 y 42 17 43 y 2

17 r 6 cot csc

15 r 4

21 tan1

1 2

25 r 2 cos 29 x 2 y 32 9

45 47

31 y x

33

y2 x2 1 9 4 49 51

35 x 2 y 2 1

37 y 2x 6

53 55

57 59 39 y x 1 2

x4 1 x2


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01:29

Page R85


61

63

R85

en la ley de los cosenos, c2 a2 b2 2ab cos , se obtiene la fórmula. P2 (r2, u 2 ) P1(r1, u 1)

65

67

81 (a)

69

9, 9 por 6, 6

71

(b) Máx: dirección este-oeste; mín: dirección norte-sur. 83 Simétrica con respecto

al eje polar.

73

9, 9 por 6, 6

75

85 Las coordenadas polares

aproximadas son 1.75, 0.45, 4.49, 1.77 y 5.76, 2.35. 12, 12 por 9, 9

77

EJERCICIOS 11.6 1

1 , elipse 3

3 3, hipérbola

w, q 79 Sean P1r1, 1 y P2r2, 2 puntos en un plano r. Sean

a r1, b r2, c dP1, P2 y 2 1. Al sustituir

3, w

(3, 0)

w, p


R86

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Page R86


5 1, parábola

7

43 e

rafe rper rafe rper ,a rafe rper 2

(4, 0)

3 , hipérbola 2

6, w

1 , elipse 2


!, 0

9

01:29

d, p

2 V2, 1; F 2,

1 V0, 0; F16, 0 y

33 32

y

x

11 1, parábola

x

2, q T, q

3 V0, 4; F 0, 27

4 V0, 4; F0, 5

y

y

13 9x 2 8y 2 12y 36 0 x

x

15 8x 2 y 2 36x 36 0 17 4y 2 12x 9 0

19 3x 2 4y 2 8x 16 0

21 4x 2 5y 2 36y 36 0; x 3 23 x 2 8y 16 0; x 4

25 r

27 r

12 3 4 cos

29 r

2 1 sen

31 r

8 5 2 sen

33 r

8 1 sen

3 35 (a) 4

7 (b) r 4 3 sen

39 (a) Elíptica (b)

36, 36, 3 por

24, 24, 3

2 3 cos

41 (a) Hiperbólica (b)

18, 18, 3 por 12, 12, 3

5 V 2, 0; F 2 22, 0 y

6 V

1 ,0 ; 5

1 F 211, 0 30 y

x

0.5

0.5

x


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7 V0, 4; F 0,

9 4

15 V4 3, 0;

8 V3 2, 1;

16 V2, 3 2;

F 4 210, 0

F3 1, 1

y

F 2, 3 26

y

y

R87

y

x

2 x

2

9 V4 1, 5;

F 4

1 210, 5 3 y

10 V5, 2;

x

x

F

17 y 2x 72 18

39 , 2 8

19

y2 x2 1 49 9

y

22 x 5y 2 25 x x

28

y2 x2 1 36 4 9 x2 y2 1 256 112

30 A 11 V3 3, 2;

12 V5, 4 2;

F 3 25, 2

F 5, 4 25

4a2b2 a2 b2

20 y 2 16x

x2 y2 1 75 100 26

7 2

y2 x2 1 25 75 x2 y2 1 25 45

27

(b) Hipérbola

31 x 2 y 22 4

33 x 4y 7

2

34 y x 4 4

y

x

2

24

x2 y2 1 8 4

29 (a)

21 x 2 40y

32 2 22 rads 0.45 revs

y

y

23

18 y 3x 42 147

y

x

x

13 V2, 4; F4, 4

14 V3, 2 2;

F 3, 2 23

y

y

x

x

x


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36 y 2x

35 y 12 x 1

2

41

y

y

43 r 4 cot csc

tq

t 0, p, 2p x

tw

x

5 5 2, 2 2 2

42

49 x 2 y 22 8xy

4,

46

50 y tan 3 x

51 8x 2 9y 2 10x 25 0

2x 4x 1 x1

52 y 2 6 x

53

54

55

56

57

58

y

x

@, r

38 C1

C2 y

y

x

x

C3

C4 y

y

t0 x

39 20 480 23; 9216

40

x

2,

5 9 , 2, 4 4

4

48 x 2 y 2 2x 3y

2

37 y

11 6

44 r 3 cos 4 sen

45 r2 cos 3 sen 8 47 x 3 xy 2 y


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EJERCICIOS DE ANÁLISIS DEL CAPÍTULO 11 1 w 4 p 2 La circunferencia pasa por ambos focos y por los cuatro

vértices del rectángulo auxiliar. 5

x 22 y2 1, x 3, 1 3

o x2

1

y2 3

y

P(x, y) x

61

62

2, w (3, 0)

6 d

1 4 2a2 b2

7 43.12°

4, q

9 y

1 1 x 2 2

10 La gráfica de r f es la gráfica de r f rotada

63

2 , elipse 3

64

un ángulo , en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, mientras que la gráfica de r f se rota en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj.

1 , elipse 2

6, q (6, p)

11 180n 12 y 2 4 x 2, y 4 x 22

T, 0 2, w

5612_SwokowskiAI_A90_A94

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ÍNDICE DE APLICACIONES ADMINISTRACIÓN DE OPERACIONES

ANIMALES/VIDA SILVESTRE

Adición de agua salina a un tanque, 320 Banda transportadora hidráulica, 480 Capacidad de producción, 676 Dimensiones para que una caja pase por una puerta, 222 Filtrado de agua, 257 Llenado de un tanque de almacenamiento, 76 Llenado de una tolva, 128 Movimiento robótico, 439, 487, 595-596, 623 Pesca comercial, 567-568 Planeación de producción, 643, 661, 718 Producción de circuitos integrados (CI) para computadoras, 364 de un barril de petróleo, 93 de un recipiente, 91, 256, 319, 652 de una crayola, 642 Productividad de los empleados, 383-384 Rapidez del volante de una máquina, 400 Rotación de una cabría, 402 Vaciado de un tanque de agua, 80

Alces, 334, 340 Ballenas, 30, 172, 346 Competencia por el alimento, 633 Conejos, 513 Dieta de ganado, 643 Elefantes, 363 Erradicación de plagas, 735 Ganado, 676 Gatos monteses, 642 Insectos, 737 Pájaros, 372, 676, 718 Peces, 18, 30, 126, 251, 320, 337, 346, 386, 633, 661 Perros pastor alemán, 126 Ranas, 221 Venados, 271, 322, 718

AGRICULTURA Construcción de una cerca, 78, 92, 130, 221, 633 Crecimiento de la cosecha, 346 Estructuras para almacenamiento de granos, 75, 79, 300, 743 Mezcla de fertilizantes, 676 Rendimiento de una huerta, 132 Riego de un campo, 642, 717 Superficie de cosecha, 639, 660 ALIMENTACIÓN Dimensiones de un cono (barquillo), 79 Ingredientes para pizzas, 802 Mezclas de café, 676 Mezclas de nueces, 643, 674 Planeación de dietas, 661 Posibilidades para el almuerzo, 787 Preparación de alimentos en un hospital, 128 Producción de queso, 172 Selección de condimentos, 785 Selecciones de helado, 785 Valores de pizza, 403

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ARTE Y ENTRETENIMIENTO Ángulos de visión para pintar, 556 Apuestas para un dado, 791 Asientos en un estadio, 743 Asistencia a un cine, 77 Azulejos Penrose, 580-581 Cartas, 787, 791, 798, 800-801, 812 Cuadros en una película, 18 Dimensiones de un laberinto, 744 Dinero de un premio, 744, 799, 802 Diseño de un cartel, 92 Fórmula para sobrevivir en juegos de azar, 318 Grabación en video, reproductora de, 644 Juego de feria, 797 Juego de tirar dados, 809-810 Juegos de video, 173, 479-480 Lanzamiento de dados, 786, 797-799, 808 Lanzamiento de una moneda, 787 Longitud de una cuerda floja, 191, 234 Lotería, 784, 794, 798, 803 Lotería “powerball”, 814 Manos de bridge, 795 Manos de póquer, 795 Máquinas tragamonedas, 808, 813-814 Montaje de un sistema de proyección, 497 Movimientos de backgammon, 813 Precio de un reproductor de DVD, 747

Resultados de una carrera de caballos, 787 Rifas, 812 Rotación de discos compactos, 410 Rotación de un disco fonográfico, 492 Ruleta, 809-810 Salto de un motociclista acróbata, 313 Venta de entradas, 652, 662 Vibración de una cuerda de violín, 549 Vuelo de un proyectil humano, 226 ASTRONOMÍA Año luz, 18 Brillantez de las estrellas, 63 Diseño del telescopio de Cassegrain, 841 Espejo de un telescopio reflector, 815 Fases de la Luna, 418 Galaxia de la Vía Láctea, 18 Leyes de Kepler, 251, 514, 878-879 Órbita de Mercurio, 829 Órbita de Plutón, 829 Periodo de un planeta, 251 Radiotelescopio de Jodrell Bank, 815 Resolución de un telescopio, 418 Satélite trayectoria de un, 129, 815 vista desde un, 560 Simulación de la gravedad, 594 Sucesión de Bode, 736 Tierra distancia a Venus desde la, 622 órbita de la, 828-829 radio de la, 481 rotación de la, 402 Trayectoria de un cometa, 825, 842, 879 Venus distancia desde el Sol de, 487 elongación de, 480 BIOLOGÍA Curva de crecimiento de Gompertz, 345 Curva de crecimiento de una población, 379-381 Dimensiones de una membrana celular, 129 Mutación genética, 383 Reproducción de bacterias, 330, 334, 349, 386, 736, 752 Sucesión genética, 744


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Índice de aplicaciones

CIENCIAS DEL MEDIO AMBIENTE Agotamiento de las reservas carboníferas, 363 Altura de los árboles, 383, 418 Altura de una nube, 80 Cálculo meteorológico, 447, 479 Capa de ozono, 220, 259, 372, 385, 447 Concentración de radón, 252 Contaminación del agua, 371, 595 del aire, 348, 677 radiactiva, 191 Corrosión de cables, 234 Costo de la limpieza de un derrame de petróleo, 323 Crecimiento de bosque, 653 Crecimiento de pastizales, 653 Densidad atmosférica, 91, 303, 348 Efecto de invernadero, 294, 677 Incendios, 233, 483, 570 Isla de calor urbano, 109, 173 Luz diurna intensidad de la, 460-461, 606 longitud de la, 110, 456-457, 462, 508-509 y latitud, 111 Necesidades de ventilación, 245 Océano olas del, 460-461 penetración de la luz en el, 335, 378-379 salinidad del, 172 zona fótica del, 383 Olas de marea, 512 Precipitación, 320 en Minneapolis, 259 en Seattle, 223 en South Lake Tahoe, 461 Presión atmosférica, 346, 387 Rayos solares, 447, 513, 606 Río caudal de un, 513 profundidad de un, 561-462 Sismos, 356, 362, 386-387, 389, 490, 555, 580 frecuencia de los, 387 Temperatura determinación de la, 271, 294-295, 322, 694 en Augusta, 513 en Chicago, 512 en Fairbanks, 461, 512 en Ottawa, 490 en París, 173, 643 en una nube 80, 130

variación en la, 461 y altitud, 80, 167 y humedad, 439 y latitud, 93 y precipitación, 653 Tornados, 18, 402 Tsunamis, 484 Velocidad del viento, 371, 590 Viento transversal vertical, 174, 384 COMUNICACIONES Alcance de la radiocomunicación, 78, 92, 622-623 Anuncios en el supertazón, 175 Estaciones de radio alcance de la transmisión, 156, 471, 872 cantidad de, 245 nomenclatura de las, 776 Llamadas telefónicas número de, 258 tarifas de, 208, 643 Longitud de una antena de banda civil, 481 Números telefónicos, 776 Periódicos número de, 141 reparto de, 79 Satélite de comunicaciones, 482 Semáforo, 776 Tarifas de correo de primera clase, 344 Tarifas de correo expreso, 718 Televisión por cable suscriptores de, 140 tarifas de la, 223 Torre de transmisión para televisión, 480 CONSTRUCCIÓN Aislamiento, 77 Baño, 129 Banquetas, 84 Cajas, 88, 91-92, 110, 189, 270, 302 Canal, 216, 534 Casa, 78 Cilindro elástico, 322 Cobertizo de almacenamiento, 256 Colocación de una viga de madera, 556 Dimensiones de una mesa, 642 Edificios, 190, 687 Escalera, 481, 741, 801 Galería susurrante, 829 Jaulas, 221 Panel para calefacción solar, 128, 557 Perrera, 129

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Rampa, 479 Rampa para silla de ruedas, 255 Rectángulo de alambre, 92, 222 Resistencia de extracción de clavos, 108 Tienda, 303 Tubos, 633 Unidades de almacenamiento, 661 Ventana, 79, 652 DEPORTES Baloncesto posiciones en, 776 saltos en, 257 series de juegos en, 785 Béisbol compra de bats y pelotas para un equipo de, 648 distancias en, 579 estadísticas en, 172 orden de bateo, 774 selección de un equipo de, 780 series de juegos en, 802 Boliche, 799 Buceo, 271 Canotaje, 92 Capacidad aeróbica, 173 Carreras de patinaje, 621 Carreras de velocidad, 78, 175, 491, 567, 579 Ciclismo, 744 Clasificación de velocistas, 785 Costos de un club de golf, 747 Dimensiones de una pista, 257, 491, 717 Futbol americano, 593, 784 Golf, 555 Lanzamiento de disco, 256 Lanzamiento de martillo, 634 Obstáculos para levantadores de pesas, 30 Remo, 78 Tenis, 784 Tiempos de corredoras, 168 EDUCACIÓN Acomodo de asientos, 776 Calificación punto promedio, 80, 321 Comités, 784, 796 Designaciones de fraternidad, 776 Elegibilidad de los maestros para la jubilación, 130 Oficiales de clase, 772 Participantes en el programa Head Start (comienzo temprano), 272 Presupuestos en una universidad, 719


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ÍNDICE DE APLICACIONES

Programación de cursos, 776 Promedio en calificaciones de examen, 69, 77 Prueba de falso o verdadero, 776, 785, 796, 801 Prueba de opción múltiple, 776 Selección de becarios, 785 Selección de preguntas para un examen, 785 ELECTRICIDAD Circuitos y voltaje, 58 Condensador eléctrico, 362 Corriente en un circuito eléctrico, 362, 386-387, 458, 509-510, 514, 614, 676, 792-793 Figura de Lissajous, 855, 882 Intensidad de un reflector, 489 Interruptores eléctricos, 792-793 Ley de Coulomb, 91, 251 Ley de Ohm, 80, 119 Parábolas confocales, 815 Potencia de un molino de viento, 108 Potencia de un rotor de viento, 258 Producción de calor en un circuito de CA, 535 Resistencia eléctrica, 250, 676 Resistores conectados en paralelo, 65, 119 Voltaje, 58, 524, 614 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Arreglo de colores, 787, 812 Demostración de probabilidad, 797 Experimento con un naipe y un dado, 796, 802 Experimento de letra y número, 796 Experimento de percepción extrasensorial, 797 Función de densidad de probabilidad, 347 Palíndromos numéricos, 777 Polinomio de Chebyshev, 270 Probabilidad de cumpleaños, 799 FÍSICA/CIENCIAS EN GENERAL Aceleración de una partícula, 676 de una pelota, 643 Agua corcho en, 491 enfriamiento de, 385 esferas sólidas de madera en, 295 evaporación, 108, 173

Alcance de un proyectil, 251, 534 Altura de un cohete de juguete, 80, 89, 258, 479 de un precipicio, 94 de un proyectil, 126, 217, 221 Amplificación lineal, 119 Bomba de vacío, 752 Desintegración radiactiva, 252, 331, 335, 346, 358, 362-363, 386, 387 Desviación del polo magnético, 403 Determinación de la edad mediante pruebas de carbono 14, 387 Distancia a un blanco, 78 a un globo de aire caliente, 191, 234, 481-482, 570 de la lente a la imagen, 115 de parada de una partícula, 347 de visibilidad, 30 entre puntos de la Tierra, 402, 418, 580, 622 recorrida por un objeto que cae, 744 recorrida por una pelota que rebota, 750, 752, 802 Elevación de un risco, 490 de una montaña, 482, 488-489, 571 del Sol, 479 Energía de un electrón, 372 Expansión adiabática, 57 Explosión nuclear, 93 Fórmula de contracción de Lorentz, 126 Hechos que liberan energía, 389 Intensidad de iluminación, 250 Intensidad del sonido, 362, 386, 525, 541 Ley de Boyle, 129 de Coulomb, 91, 251 de Hooke, 119, 250 de Newton del enfriamiento, 334, 357 del gas ideal, 251 Medida de caudal, 642, 718 Movimiento armónico, 477, 483-484 de una mesa, 524-525 Oscilación de un péndulo, 403 Periodo de un péndulo, 129, 250, 752 Peso de un astronauta en el espacio, 126 Polinomio de Legendre, 270 Presión de aire, 362

de un líquido, 250 de vapor, 363 Proporcionalidad entre la presión y el volumen de un gas, 247 Proyección vertical, 91, 643 Relación peso-latitud, 514 Sombras, 607 Temperatura del agua hirviendo, 91 escalas de, 65, 118, 174, 256 Tierra área superficial de la, 18 campo magnético de la, 471 densidad de la, 303 Trabajo realizado al empujar, 593, 606 al tirar, 603-606 Trayectoria de las partículas alfa, 841 de un objeto, 24 de una pelota, 634 Rapidez (velocidad) de una partícula, 126 del sonido, 129, 157 Velocidad de un cohete, 387 de un gas, 91 medida con láser de, 487 Volumen y decibeles, 371 Vuelo de un proyectil, 221, 849-851, 882 GEOMETRÍA Ángulos de un triángulo, 579 de una caja, 480, 579 Área de un paralelogramo, 581 de un rectángulo en un arco parabólico, 280 de un triángulo, 157, 191, 576-579, 581 de un vaso cónico, 109 Área superficial de un tanque, 58 de una pirámide, 489-490 Centro de una circunferencia, 156 Diagonal de un cubo, 234 de un paralelogramo, 575, 579 Figura de Moiré, 634 Problema isoperimétrico, 634 Profundidad de un vaso cónico, 488 Tamiz de Sierpinski, 753-754


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Índice de aplicaciones

Volumen de un prisma, 571 de un vaso cónico, 480-481 de una pirámide, 490 INGENIERÍA Antenas de TV por satélite, 812, 815 Avión caza a reacción, 571-572, 623 Cables flexibles, 343, 388 Canal de drenaje, 79 Carreteras, 92, 222-224, 513, 534-535 Cicloide, 852-853, 856 Colector solar, 557, 570 Curvas verticales en cimas, 223 Curvas verticales en depresiones, 224 Disco receptor de sonidos, 815 Polinomio de Legendre, 270 Puente(s) arcos de, 828 especificaciones para, 222 levadizo, 479 Reflector elíptico, 829 Reflector parabólico, 815 Stonehenge, 418, 596 Tobogán de agua, 479 Túnel, 488 Vigas carga de soporte, 249 flexión, 322 resistencia, 280 INTERÉS GENERAL Acomodo de libros, 776 Acomodo de llaves en un llavero circular, 784 Acuarios, 129, 190, 630, 634 Agrimensura, 478, 482, 490, 569-570, 572, 579, 622 Altura de un anuncio, 418 de un asta bandera, 407 de un edificio, 481-482, 488-489, 571, 622 de una cometa, 478, 482 de una torre, 473-474, 481-482 Cercado de una huerta, 92 Composición de una familia, 784, 796 Cúmulo de arena, 109, 233 El Pentágono, 480 Espejo de una linterna, 815 Faro reflector, 815 Fuerzas que actúan sobre un adorno de Navidad, 634

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Funciones en computación, 233, 606-607 Genealogía, 753 Globos, 109, 229, 233-234 Glotocronología (datación de lenguas), 336, 387 Guardarropa para combinar e igualar, 776 La gran pirámide, 487 La torre inclinada de Pisa, 570-571 Longitud de un cable, 478, 575 de un poste de teléfonos, 566-567, 570 Pantallas de calculadora, 192, 557 Pesos de unas cadenas, 687 Pila de troncos, 743 Piscinas agua en, 676 dimensiones de, 129, 653 llenado de, 79, 256 niveles de cloro en, 736-737 Rapidez para podar el césped, 79 Rescate en el tiro de una mina, 623 Sucesión de Fibonacci, 736 Torre Eiffel, 487 Vuelos de reconocimiento, 579-580

Interés compuesto, 331-333, 335, 338-339, 341-342, 362, 383, 752, 754 Interés simple, 71 Inversiones, 71, 128, 642, 652, 684, 718 Ley de Pareto para países capitalistas, 371 Niveles de inventario, 652 Nómina, 77, 233, 717 Pago de una hipoteca, 336 Poder de compra, 337 Porcentaje de derechos de autor, 208 Precio y demanda, 93, 109, 369, 371, 644 Préstamos, 173, 336 Promedio Dow Jones, 389 Promedio Nasdaq, 389 Relación al mínimo del costo, 657, 660-661 Rendimiento efectivo, 347 Renta de departamentos, 130, 223 Salarios, 129, 389 Tarifas de electricidad, 208 Tasas impositivas, 208 Trueque de servicios, 643 Valor de inventarios, 687 Valor del terreno, 347

NEGOCIOS/FINANZAS

Cañones urbanos, 560 Crecimiento de la población, 129, 342, 346, 357, 362, 387 Demanda de agua, 490 Densidad de población, 126, 320, 363 Expansión de una ciudad, 92, 128 Fondos municipales, 77 Gastos gubernamentales, 348 Homicidios con arma de fuego, 23 Población estadounidense, 137 Población mundial, 390 Recaudación del gobierno, 337 Regla del cubo, 109 Reglamento de construcción de edificios, 190 Ubicación de una planta eléctrica, 652

Ahorro diario, 747 Anualidades, 754 Apreciación, 256, 335 Asignaciones de oficina, 784 Aumentar al máximo la ganancia, 656, 660-661, 673, 718 Balance de una hipoteca, 388 Bonos de ventas, 744 Cálculo de un precio, 70 Clave de acceso a cajeros automáticos, 776 Comienzo de horas de trabajo, 797 Comparaciones de inflación, 338 Crecimiento del salario mínimo, 347 Cuenta en un restaurante, 77 Cuentas de ahorro, 30, 77, 337 Depreciación, 336, 752, 754 Descuento por volumen de compra, 93, 222 Efecto multiplicador, 752 El legado de Benjamín Franklin, 393 Facturación por servicio, 77, 258 Función de Gompertz, 337 Función logística y ventas, 337 Gastos de un negocio, 119, 173 Índice de precios al consumidor, 344

POLÍTICA/TEMAS URBANOS

QUÍMICA Aleación cobre-plata, 77 Aleación de plata, 643 Bactericida, 128 Cálculo del pH, 382-383 Curva de respuesta de umbral, 323 Ley del gas ideal, 251 Masa de un átomo de hidrógeno, 18 de un electrón, 18


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ÍNDICE DE APLICACIONES

Número de Avogadro, 18 Sal disuelta en agua, 335 Soluciones ácidas, 72, 676 SALUD/MEDICINA Acción cardiaca, 460 Análisis de la respiración, 455 Área superficial del cuerpo, 30, 57 Bifurcación arterial, 535 Biorritmos, 460 Cálculo del crecimiento humano, 109 Cáncer en la piel, 385 Cociente de inteligencia, 18 Crecimiento en la infancia, 173, 191, 346, 387 fetal, 172 infantil, 221 Curva de respuesta de umbral, 323 Dimensiones de una extremidad humana, 250 Dimensiones de una perla (píldora esférica), 93, 280, 634 Distinción visual, 559 Electroencefalografía, 460 Epidemias, 337 Estatura decreciente, 119 Exposición al arsénico y cáncer, 808 Fuerza de un pie, 559 Glóbulos rojos, 57 Gotas para los ojos, 77 Indicador radiactivo, 346 Ley de Poiseuille, 251 Medicamentos concentración de, 77 dosis de, 173, 220 en el torrente sanguíneo, 333-334, 383, 752 Memoria, 384 Muertes por fumar, 797 Músculo bíceps, 593

Necesidades de calorías, 45 Niveles de colesterol, 364 Niveles terapéuticos mínimos, 119, 124 Operación con litotríptero, 829 Participantes en el programa Medicare, 272 Peso de hombres, 31 de mujeres, 31 de niños, 362 de umbral, 251 Preparación de una solución de glucosa, 77 Protección contra la luz solar, 513 Pulsaciones durante una vida, 57 Radioterapia, 344 Rapidez al caminar, 77, 363 Reacción a un estímulo, 371 Relación entre huesos y estatura, 80 Ritmos circadianos, 490 TRANSPORTE Aumentar al máximo la capacidad de pasajeros, 661 Automóviles compra de, 119, 193 diseño de, 581 distancia de frenado, 56, 126, 193, 252 distancia entre, 157, 579 neumáticos de, 402 rendimiento de combustible de, 78, 126, 128, 221, 256 tarifa de renta de, 208 tiempos de recorrido de, 74, 128 valor de reventa de, 335 velocidad, 128, 251 Avión(es) (aeroplanos) distancia a un, 570 distancia entre, 92

hélice para, 487 trayectoria, 478-479, 483, 579, 593, 841 velocidad, 481 velocidad de aterrizaje, 126 y velocidad del aire, 128, 594, 595, 621 Barcos dirección de, 475-476, 483, 580 distancia entre, 185, 257, 579 ubicación de, 836, 841 velocidad de, 621 Botes (lanchas) consumo de combustible, 128 curso de, 474-475, 567-569, 579, 595 hélice para, 491 seguimiento de, 556 velocidad de, 640, 642 Cambio de anticongelante, 73 Cargos por envío, 718 Distancias de una pista de aterrizaje, 192, 234 Flujo vehicular, 208, 677 Fuerza de un remolcador, 594 Impuesto a la gasolina, 190 Mecánica de una bicicleta, 403 Nave espacial, 191, 257 Números de placa de circulación, 776 Potencia, 607 Reducción al mínimo del costo de combustible, 661 Ruta de un teleférico, 569-570 Ruta ferroviaria, 534 Rutas de un transbordador, 106 Tiempo de llegada a un destino, 192 Tren de alta velocidad, 128 Velocidad de una máquina barrenieves, 78

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Abscisa, 132 Agrupación, solución de ecuaciones usando, 102 Algoritmo de la división, 273 Amplitud de un número complejo, 609 de una función trigonométrica, 449-450, 452-453 de una gráfica, 449 del movimiento armónico, 477 Ángulo(s), 392-400 agudo (acutángulo), 394, 404 central, 394, 398 complementarios, 394, 473 coterminales, 392-393, 440 cuadrantales, 392, 415 de depresión, 473, 474 de elevación, 473-474, 566-567 de referencia, 440, 441, 442 definición de, 392 entre vectores, 599 funciones trigonométricas, 403-417 lado inicial, 392 lado terminal, 392 llano, 392 medidos, 394-397 medidos en grados, 392 medidos en radianes, 394 negativo, 392 obtuso, 394 posición estándar, 392 positivo, 392 recto, 392, 394 subtendido, 394 suplementario, 394 vértice, 392 Aproximaciones, 15 sucesivas, 264 Aproximadamente igual a (L), 3 Apuestas, 791 Arco circular, 398 de una circunferencia, 394 Área de un sector circular, 399 de un triángulo, 134, 531, 576

Argumento de un número complejo, 609, 611 de una función, 176 Arreglos sin repeticiones, 771 Asíntota(s) de una hipérbola, 832 horizontales, 306 oblicuas, 315-317 verticales, 305, 430, 433, 463-464 B

Base, 14, 19 de una función exponencial, 326 logarítmica, 348-349, 373 para notación exponencial, 19 Binomios, 32, 761 multiplicación, 34-35 Bisectriz, 134-135, 166 C

Calculadora(s). Véase también Aproximación de valores funcionales con calculadoras graficadoras, 407, 443, 506-507 cálculo de soluciones de una ecuación trigonométrica, 507 característica POLY, 269, 285 combinaciones, 782 comprobación de ecuaciones, 62 comprobación de factorizaciones, 40 comprobación de identidades trigonométricas, 495 conversión de radianes a grados, 397-398 conversiones polar a rectangular, 859 conversiones rectangular a polar, 861 cuadrada, 690-691 elaboración de una tabla, 49 encontrar raíces, 617, 619 encontrar un determinante, 698 encontrar un producto punto, 597 estimación de puntos de intersección, 151-154

evaluación de expresiones, 5 evaluación de potencias de funciones trigonométricas, 408 exponentes racionales, 27 factoriales, 76 forma científica, 15 forma escalonada reducida de una matriz, 670 fórmulas de suma, 520 funciones trigonométricas inversas, 552 generación de una sucesión, 724-726 graficado de ecuaciones polares, 864-866 graficado de semielipses, 823 graficado de una desigualdad, 649-650 graficado de una ecuación, 144 graficado de una función, 187-188 graficado de una función definida por tramos, 200-202 graficadora, operaciones con almacenamiento de valores, 5 intersecciones en x, 144-145 intersecciones en y, 144 inversa de una función, 242 inversa de una matriz cuadrada, 690-691 listado y graficado de una sucesión, 733 modo paramétrico, 845, 847 multiplicación de matrices, 683 permutaciones, 775 prueba de desigualdades, 10 raíz principal n-ésima, 23 recíprocos, 7 recta del mejor ajuste, 168-170 sucesión definida recursivamente, 727, 734 suma de una sucesión, 728-729 sustracción, 7 términos de una sucesión de sumas parciales, 730-731, 734 trazo de puntos, 137-138 valor absoluto, 12

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valor máximo (mínimo), 214-216 vectores, 587-588 Cancelación de factores comunes, 46 Cantidad escalar, 581 Cardioide, 867-868 Caso ambiguo, 565, 574 Catenaria, 343 Centro de una circunferencia, 149 de una elipse, 8, 16 de una hipérbola, 830 Cero(s) de multiplicidad m, 283 de un polinomio, 281-291, 295 de una función, 180, 264, 267, 344-345 de una gráfica, 143 número, 6, 8 racionales de polinomios, 297-298 Cerrado, definición de, 3 Cielo, 427 Cicloide, 852-853 Cifras significativas, 15 Circunferencia, 806 ecuación estándar de la, 147 radio y centro de la, 149 unitaria, 147 Cociente, 8, 273 de diferencia, 183 de factoriales, 763-764 de funciones, 225 de números complejos, 611 de números reales, 8 en el proceso de división, 273 Coeficiente(s), 19 binomiales, 763 inicial, 33 Cofactor, 695-696 Cofunción, 517 Columna, de una matriz, 663 Combinación, 779, 782 Combinación lineal de i y j, 589-590 de renglones, 675 Complemento, de un conjunto, 790 Completar el cuadrado, 83, 148 Componente(s) de a sobre b, 601-602 de un vector, 583 Compresiones horizontales de gráficas, 198

Común denominador, 47 Conclusión, 11 Cónica degenerada, 806 Conjugado de un número complejo, 96-98 de una expresión, 51 Conjunto(s), 31 complemento, 790 correspondencia entre, 175-176 intersección de, 116 subconjuntos de, 782 unión de, 116 Constante(s), 31, 32 de proporcionalidad, 245 de variación, 245 suma de, 731 Coordenada(s), 9 polares, 857-871 rectangulares, 132-138 relación con las coordenadas polares, 858-860 relación con las coordenadas rectangulares, 858-859 y, 132 Correspondencia biunívoca, 8, 583 entre conjuntos, 175 Cota inferior, 287 Crecimiento de bacterias, 330 Cuadrantes, 132, 392, 416 Curva, 842-843 cerrada, 843 cerrada simple, 843 de crecimiento de Gompertz, 345 de descenso mínimo, 853 de probabilidad normal, 330 ecuaciones paramétricas, 843 logística, 379 orientación, 844 parametrizada, 843-844, 847 plana, 842 puntos extremos, 843 Cúspide, 852 D

Decimal, 2-3 repetitivo infinito, 749 Decremento exponencial, 327

Definición de ángulo de referencia, 440 apuestas de un evento, 791 asíntota horizontal, 306 asíntota vertical, 305 combinación, 779 componente de a sobre b, 601 conjugado de un número complejo, 96 curva plana, 842 determinante de una matriz, 694, 696, 698 ecuaciones paramétricas, 843 elipse, 816 evento, 786 excentricidad, 824 exponentes racionales, 27 factorial, 762 función (es), 176, 186 biunívoca o inyectiva, 235 compuesta, 226 coseno inversa, 545 cuadrática, 209 exponencial natural, 340 inversa, 237 lineal, 183 periódica, 426 seno inversa, 542 tangente inversa, 547 trigonométricas de cualquier ángulo, 413 trigonométricas de números reales, 421 trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, 404 trigonométricas en términos de una circunferencia unitaria, 422 gráfica de una función, 179 hipérbola, 830 i y j, 588 igualdad y suma de matrices, 678 inversa de una matriz, 688 la distancia entre puntos sobre una recta coordenada, 13 logaritmo, 349 logaritmo común, 354 logaritmo natural, 355 magnitud de un vector, 583


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matriz, 664 medida en radianes, 394 menores y cofactores, 695 movimiento armónico simple, 476 múltiplo escalar de un vector, 585 negativo de un vector, 586 parábola, 806 pendiente de una recta, 157 permutación, 773 polinomio, 33 probabilidad de un evento, 787 producto de dos matrices, 681 producto de un número real y una matriz, 679 producto punto, 596 recursiva, 726-727, 734 raíz n-ésima de un número, 23 sucesión aritmética, 738 sucesión geométrica, 745 sucesión infinita, 722 suma de vectores, 584 sustracción de vectores, 587 trabajo, 604 valor absoluto, 12 valor absoluto de un número complejo, 608 valor esperado, 794 vector cero, 586 vectores paralelos y ortogonales, 598 Delta, 157 Denominador, 8 mínimo común, 47 racionalización del, 26, 51, 98 Descartes, René, 132 Descomposición en fracción parcial, 709-714 Desigualdad(es), 9, 110 continua, 11, 114 cuadrática, 120, 121 equivalentes, 111 gráficas, 111, 644-466 lineal, 645 racional, 114 propiedades, 112, 125 sistemas, 644-650 solución, 110-117, 268 Desintegración radiactiva, 331 Desplazamiento(s), 582 de fase, 451-454, 464

de gráficas, 194-196 horizontales de gráficas, 195-196 Determinantes, 694-700 propiedades de, 701-707 Diagrama(s) de árbol, 770 de signos, 120-124 Diferencia común, 738 de dos cuadrados, 39 de dos cubos, 39, 100 de funciones, 225 de matrices, 679 de números complejos, 96 de números reales, 7 Dígitos, 15 Dina, 602 Dirección(es), 475-476, 567 negativa, 9 positiva, 9 Directriz de una cónica, 873 de una parábola, 808 Discriminante, 85 Distancia, entre puntos de una recta coordenada, 13 División de números reales, 7 de polinomios, 273 larga de polinomios, 273 sintética, 275-278, 288 Divisores, 2 Dominio de una expresión algebraica, 32 de una función, 176 compuesta, 238 racional, 303-304 trigonométrica, 433 implícito, 177 E

e, número, 340 Ecuación(es), 60-66, 102-105 algebraica, 6 condicional, 61 cuadráticas, 80-89, 504 de rectas, 161-164 de una bisectriz, 166 de una circunferencia, 147 de una elipse, 818

de una hipérbola, 833 de una parábola, 211-213, 809 de una semielipse, 820 en problemas aplicados, 69-76 en x, 60 en x y y, 141 en y, 843 equivalente, 60 estándar de una circunferencia, 148 de una elipse, 818 de una hipérbola, 833 de una parábola, 808 exponencial, 328, 372-376 gráficas, 141-154 homogéneas, sistema de, 672 identidad, 61 lineal, 61-63, 163, 635-641 con dos variables, 635-641 con más de dos variables, 662-675 logarítmica, 351, 366-368, 376-381 paramétricas, 843 de una cicloide, 852-853 de una recta, 848-849 polares, 861-871 de cónicas, 873-878 raíz, 143 reducida, 291 sin soluciones, 63 sistemas de, 626-632 solución, 60 teoría de, 281 tipo cuadrática, 105-106 trigonométrica, 500-511 Eje(s) conjugado de una hipérbola, 831 coordenados, 132 de una elipse, 818 de una hipérbola, 831 de una parábola, 142, 807 imaginario, 607 mayor de una elipse, 818 menor de una elipse, 818 polar, 857 real, 607 transverso de la hipérbola, 831 y, 132

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Elemento de un conjunto, 31 de una matriz, 664 Elipse, 806, 816-826, 873 centro, 816 ecuación estándar, 818 ecuaciones polares, 875 eje mayor, 818 eje menor, 818 excentricidad, 824 focos, 816 propiedad reflexiva, 825 vértices, 818 Elipsoide, 826 Elongación de gráficas, 197-198 Elongaciones horizontales de gráficas, 198 Ensayo y error, método de, 41 Enteros, 2 no negativos, 2 positivos, 2 Equipo graficador, 136. Véase también Calculadora graficadora Erg, 603 Escala Richter, 356 Escalar, 581 Espacio muestra, 786 Espiral de Arquímedes, 869 Eventos, 786 independientes, 792 mutuamente excluyentes, 789 Excentricidad, 824, 873 Expansión binomial, 765-767 de un determinante, 698 Experimento, 786 Exponente(s), 14, 19-22 cero, 20 ecuaciones que contienen, 102 irracional, 28, 326 leyes de los, 20-21 negativo, 20, 27 racional, 27 Expresión(es) algebraica, 31-43 fraccionaria, 45-53 productos y cocientes, 47 racionales, 45 ecuaciones que contienen, 64 simplificadas, 46

sumas y diferencias, 48 trigonométrica, 494 Extremo, 263 F

Factor(es), 2, 37 comunes, 704 cancelación, 46 de amortiguación, 468 no triviales, 37 Factorización(es), 37 en la solución de ecuaciones trigonométricas, 503-505 en primos, 48 fórmulas para, 38 método de, 81 por agrupación, 42 por ensayo y error, 40-41 Figura de Lissajous, 851-852 Foco(s), 830 de un paraboloide, 811 de una cónica, 873 de una elipse, 816 de una hipérbola, 830 de una parábola, 808 Forma científica, 14-15 de punto-pendiente, 162-163 escalonada, de una matriz, 666-669, 701 reducida, 669-670 exponencial, 349, 609 factorial de una permutación, 774 general de la ecuación de una recta, 164 logarítmica, 349 polar de un número complejo, 609 reducida, 669-670 simétrica de una recta, 172 trigonométrica de números complejos, 607, 609 Fórmula(s) cuadrática, 84, 86-88 de ángulo doble, 526 mitad, 529-530 múltiple, 526-532 de aproximación, 435 de cambio de base, 373 de cofunción, 517

de crecimiento (o decremento), 342 de distancia, 132-134 de Euler, 609 de factorización, 38 de Herón, 577-578 de interés compuesto, 332, 338-339 continuamente, 339, 341 simple, 71 de la distancia, 132-134 de reducción, 520-251 de suma, 515-516, 518-519 a producto, 537-538 de sustracción, 515-516, 518 del producto, 36 a suma, 536-537 del punto medio, 135 especial de cambio de base, 374 para negativos, 428-429 Fracción(es), 8 complejas, 50 parciales, 709-714 suma, 47-48 Frecuencia en el movimiento armónico simple, 477 Fuerza, 602 constante, 602-604 resultante, 583 Función(es). Véanse también Funciones trigonométricas algebraica, 226 amplitud, 449 arcocoseno, 545 arcoseno, 543 arcotangente, 547 biunívoca o inyectiva, 235, 327, 351 ceros, 180, 264, 266 circular, 422 cociente de, 225 compuesta, 226-232 constante, 181 continua, 262 cosecante, 404, 429 coseno, 404, 429 fórmula de suma para la, 516 fórmula de sustracción para la, 515-517 hiperbólica, 343 inverso, 545-546


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valores de una circunferencia unitaria, 847 cotangente, 404, 429-430, 519 creciente, 181, 237 cuadrática, 209-219 de crecimiento, 327 de elevar al cuadrado, 180 al cubo, 180 de Gompertz, 337, 345 de una variable compleja, 281 decreciente, 181, 237 definición, 176 alternativa, 186 definida en un conjunto, 177-178 por tramos, 199-202 diferencia de, 225 dominio, 238 implicado, 177 entero mayor, 202 existencia, 178 exponencial, 326-333 natural, 338-345 extremo de, 263 gráfica, 179-180, 187-188, 193-204 identidad, 181 igualdad, 177 imagen, 238 impar, 193 indefinidas, 178 inversa, 235-242 lineal, 183-185 logarítmica, 348-359 natural, 354 logística, 337 mayor entero, 202 objetivo, 654 operaciones con, 224-232 par, 193 periódica, 426 polinomial, 226, 266-269 producto de, 225 racional, 303-318 raíz cuadrada, 180 cúbica, 180 recíproca, 307 secante, 404, 429, 430 hiperbólica, 376

seno, 404, 429, 500 inverso, 542-545 fórmulas de suma y sustracción, 518-519 valores sobre la circunferencia unitaria, 847 sucesión infinita como, 722 suma de, 225 tangente, 404, 429-430, 501 inversa, 547-548 trascendentes, 226 trigonométrica inversa, 443, 541-553, 888-889 trigonométricas, 404 valor(es) absoluto, 194 de, 177, 178 de prueba, 264 máximo, 211, 214, 216-217 mínimo, 211, 214 Función(es) trigonométrica(s), 403 amplitud, 559 de ángulos, 403-417 de números reales, 421-435 dominios, 433 en términos de un triángulo rectángulo, 404 una circunferencia unitaria, 422, 890 fórmulas de ángulo doble, 526 ángulo mitad, 529-530 ángulo múltiple, 526-532 cofunción, 517 de producto a suma, 536-537 de suma a producto, 537-539 de sustracción, 515-516, 518 gráficas, 425, 431, 433, 448-458, 463-469, 510-511, 888-890 identidades de ángulo mitad, 527-528 inversa, 443, 541-553 par e impar, 429 signos, 416 valor(es) absoluto, 467 especiales, 406, 424 y ángulos de referencia, 440-443 y calculadoras, 443-446

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G

Gauss, Carl Friedrich, 281 Grado como medida angular, 392 de un polinomio, 33 relación con el radián, 395-397 Gráfica(s). Véase también Calculadora graficadora 510-511, 888-890 amplitud, 449 compresiones horizontales, 198 verticales, 197 comunes y sus ecuaciones, 884-885 de desigualdades, 111 de ecuaciones, 141-154 lineales, 164 logarítmicas, 368-369 de funciones, 179-180, 187-188, 193-204 de la figura de Lissajous, 851-852 de un conjunto de números reales, 111 exponenciales, 328-330, 343 logarítmicas, 352-354 polinomiales, 265-266 racionales, 309-310, 312-315, 317 trigonométricas, 425, 431, 433, 448-458, 463-469, 510-511, 888-889 de un conjunto de pares ordenados, 141 de un sistema de desigualdades, 644-646, 649-650 de una curva parametrizada, 844, 847 de una curva plana, 842 de una ecuación polar, 861, 863-866, 868-869 de una sucesión, 723-724 definición, 141 desplazamientos horizontales, 195-196 verticales, 194-195 elongaciones horizontales, 198 verticales, 197 hueco, 311, 326, 435 intersecciones con el eje x, 530, 538 puntos de intersección, 151-154


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retorno, 263, 267 reflexión, 198-199 resumen de transformaciones, 886-887 simetrías, 146-147 Guías para el método de sustitución de dos ecuaciones en dos variables, 627 para encontrar descomposiciones en fracciones parciales, 710 funciones inversas, 239 la forma escalonada de una matriz, 667 un elemento en un producto de matrices, 680 para la división sintética, 276 para resolver problemas de aplicación, 69 problemas de variación, 247 un problema de programación lineal, 655 una expresión que contiene expresiones racionales, 64 para trazar la gráfica de una desigualdad en x y y, 645 función racional, 309 H

Hipérbola, 307, 806, 830-838, 873 asíntotas, 832 centro, 830 ecuación estándar, 833 ecuaciones polares, 876 eje transverso, 831 ejes conjugados, 831 focos, 830 propiedad reflexiva, 838 ramas, 832 rectángulo auxiliar, 832 vértices, 831 Hipotenusa, 404 Hipótesis, 11 de inducción, 755 Hueco, en una gráfica, 311, 326, 435 I

i el vector, 588-589 i, número complejo, 94 Identidad(es) aditiva, 4

cotangente, 409 de ángulo mitad, 527-528 de diferencia, 515 ecuación como, 61 fundamentales, 408-411, 417 multiplicativa, 4 pitagóricas, 408-409 recíprocas, 405, 409 suma, 515 tangente, 409, 518 trigonométrica, comprobación, 412-413, 494, 496-497 trigonométricas, 494-498 Igual a (=), 31 Igualdad, 60 de conjuntos, 31 de funciones, 177 de matrices, 678 de números complejos, 94-95 reales, 2 de polinomios, 33 de sucesiones, 723 de vectores, 582 propiedades, 5 Imagen, 176 de un radical, 24 de una función, 176, 238, 433 especular, 147 índice de sumatoria, 728 Inducción matemática, 754-759 Infinito (), 111, 305 Interés compuesto, 331-332 compuesto continuamente, 339, 341 simple, 71 Intersección(es) de conjuntos (¨), 116 de una gráfica, 143 en x, 143-145, 433, 530, 538 en y, 143-144, 433 Intervalo(s), 111 abierto, 111 cerrado, 111 indefinido, 111 infinito, 111 semiabierto, 111 Inverso(a) aditivo, 4, 678

de un número real, 4 de una matriz, 687-692 multiplicativo, 98 de un número complejo, 98 Inversamente proporcional, definición de, 246 Invertibilidad de matrices, 699 J

j, el vector, 588-589 Joule, 603 K

Kepler, Johannes, 824 L

Lado adyacente, 404 opuesto, 404 terminal de un ángulo, 392 Ley(es) de cosenos, 572-575 de crecimiento (o decremento), 342 exponencial, 327 de exponentes, 20-21 de logaritmos, 364-366 de radicales, 24 de senos, 562-566 de signos, 11 de tricotomía, 10 del enfriamiento de Newton, 357 del paralelogramo, 583 del triángulo, 582 Limaçón(es) (caracoles), 867-868 Límites para ceros, 287-289 Litotríptero, 826 Logaritmos(s) base, 348 cambio de base, 373 comunes, 354 fórmulas especiales para cambio de base, 374 leyes, 364-366 naturales, 355 propiedades, 364-369 Longitud de arco, 543 de un arco circular, 398 de un segmento de recta, 13


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M

Magnitud, de un vector, 581, 583-584, 588 Mapas, 176 Más o menos (±), 20 Matriz(ces) álgebra, 677-685 aumentada, 663 cero, 678 columna, 683 columnas de, 663 combinación lineal de renglones, 675 cuadrada, 430, 664 de coeficientes, 663 aumentada, 663 de orden n, 664 de renglón equivalente, 665 de un sistema de ecuaciones, 663 definición, 664 determinante, 694, 698 elemento de, 664 elementos de la diagonal principal, 664 equivalente, 665 forma escalonada, 666-669 forma escalonada reducida, 669-670 identidad, 687-688 igualdad, 678 inversa, 687-692 inverso aditivo, 678-679 invertible, 688 notación de doble subíndice, 664 producto, 681 producto de un número real con, 679 renglón, 683 renglones de, 663 suma, 678 sustracción, 679 tamaño, 664 transformaciones elementales de renglón, 665 Máximo factor común (mfc), 38, 53 Mayor o igual que (≥), 11 Mayor que (>) 9 Media aritmética, 741 geométrica, 748 Menor, 695-696

Menor o igual que (), 11 Menor que (>), 9 Menos infinito ( ), 305 Método de completar el cuadrado, 83 de eliminación, 637, 640, 662 de ensayo y error, 40 de factorización, 81 de sustitución, 627-629 inverso, 692 Mínimo común denominador (mcd), 47 Minutos, 394, 398 Modelo matemático, 168 Modo conectado, 317 de punto, 317 de radianes, 421 Módulo, de un número complejo, 609, 611 Monomio, 32 Movimiento amortiguado, 477 armónico, 476-477 armónico simple, 476 de un punto, 846 Multiplicación de matrices, 680-685 propiedades, 4 Multiplicidad de un cero, 284 Múltiplo constante, de una ecuación, 636 Múltiplo escalar de un vector, 583, 585-586, 588 N

n factorial, 762 n-ésima potencia, 19 n-ésima suma parcial, 730, 746 Negativo(s) de un número real, 4, 6-7 de un vector, 586 fórmulas, 428 Newton, 603 No polinomios, 34 Notación de doble subíndice, 664 de sumatoria, 728, 742 equivalente, 32 exponencial, 14, 19, 27 factorial, 762-764

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Numerador, 8 decimal repetitivo infinito como, 749 racionalización, 51-52 Número(s) amplitud, 609 argumento, 609-611 cociente, 98, 611 complejo, 94-100 no real, 94 conjugados, 96-98 diferencia, 96 enteros, 2 forma trigonométrica, 607, 609 igualdad de, 95 imaginario, 94 puro, 94 inverso multiplicativo, 98 irracional, 3 módulo, 609, 611 multiplicación, 94-95 por un número real, 96 naturales, 2 parte imaginaria, 95 real, 95 primo, 2 producto, 611 propiedades, 4 raíces cuadradas, 99 raíz n-ésima, 616-618 racional, 2 reales, 2-15 negativos, 9 positivos, 9 suma, 95 unidad real, 100 valor absoluto, 608, 610 y la unidad imaginaria i, 94 0

Onda cosenoidal, 427 amortiguada, 468 Onda senoidal, 427, 454 amortiguada, 468 Orden de una matriz, 664 Ordenada, 132 Ordenamiento, 11 Orientación, de una curva parametrizada, 844


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Origen, 8, 132, 818, 833, 857 Oscilación, 476-477 P

Par de ceros conjugados de un polinomio, 295 ordenado, 132, 141 Parábola(s), 142-143, 806-813, 873 directriz, 808 ecuación estándar, 211-213, 809 polar, 876 eje, 807 foco, 808 propiedad reflexiva, 8 11 vértice, 213-214, 807 Paraboloide, 811 Paralelogramo, diagonales, 575 Parametrización, 843 Parámetro, 843 Parte imaginaria de un número complejo, 95 Parte real de un número complejo, 95 Pendiente(s) de rectas paralelas, 164 de rectas perpendiculares, 165 de una recta, 157-160 negativa, 158 positiva, 158 Periodo, 426, 433, 450, 452-453, 464 de interés, 338 del movimiento armónico, 477 Permutaciones, 770-775 distinguibles, 778 no distinguibles, 778 Plano complejo, 607 coordenado, 132 de Argand, 607 r, 857 xy, 132 Polinomio(s), 32-33 cero, 33 cero real, 264 ceros de un, 281-291 ceros racionales, 297-298 coeficiente inicial, 33 como producto de factores lineales y cuadráticos, 298

constante, 33 cúbico, 262 divisible, 273 división, 36, 273 en más de una variable, 35 en x, 32, 33 factorización, 37-38, 41, 281-282 grado, 33 iguales, 33 irreducible, 37 límites para los ceros, 287-289 multiplicación, 35 par de ceros conjugados, 295 primo, 37 suma y resta, 34 término constante, 286 término de, 33 Polo, 857 Posición estándar de un ángulo, 392 Primer término de una sucesión, 722 Principal, 71 Principio de inducción matemática, 755 extendido de inducción matemática, 758-759 fundamental de conteo, 771 Probabilidad, 786-794 Problema de programación lineal, 655 Problemas de aplicación en ecuaciones, 69-76 trigonometría en, 471-477 Producto(s) de funciones, 225 de matrices, 679, 681 de números complejos, 94, 611 de números reales, 3 escalar, 596 interno, 596 punto, 596-605 que implican el cero, 6 Programación lineal, 653-659 Promedio, 741 Propiedad(es) asociativas, 4 conmutativas, 4 de cocientes, 8 de conjugados, 98 de desigualdades, 112, 125 de i, 94 de la igualdad, 5

de logaritmos, 364-369 de negativos, 6 de números reales, 4 de raíces n-ésimas, 24 de valores absolutos, 116 distributiva, 4 reflectora de una elipse, 825 de una hipérbola, 838 de una parábola, 811 Proporcionalidad conjunta, 248 constante de, 245 directa, 246 inversa, 246 Proyección, de a sobre b, 601 Proyectil, trayectoria, 849-851 Prueba de recta horizontal, 236 Pruebas de simetría, 146 Punto(s) de intersección, de gráficas, 152-153 de prueba, 644 en una circunferencia unitaria correspondiente a un número real, 422 extremos de un intervalo, 111 de una curva, 843 inicial de un ángulo, 392 inicial de un vector, 581 medio, 136 terminal de un vector, 581 R

r-ada ordenada, 772 Racionalización de denominadores, 26-27 de numeradores, 51-52 Radián, 394-397, 500 Radical(es), 24-29 combinación, 28-29 ecuaciones que contienen, 103-105 eliminación de factores de, 25-26 leyes, 24 Radicando, 24 Radio de una circunferencia, 149 Radioterapia, 344 Raíz(ces) cuadrada, 3, 23, 98-99


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de números negativos, 99 principal, 23, 98 cúbica, 23 de la unidad, 100, 618 de multiplicidad, 2, 82 m, 283 de una ecuación, 60, 143 doble, 82 existencia, 24 extraña, 64 funcional, 143 n-ésima, 23, 614, 616-618 de la unidad, 618 de números complejos, 614-619 principal n-ésima, 23 Ramas de la tangente, 430 de una hipérbola, 832 Rapidez angular, 400 lineal, 400 Rayos, 392 Razón común, 745 Recíproco(s), 4, 7, 11 de coordenadas y, 431 notación, 6 Recta(s), 157-170 coordenada, 9 de mejor ajuste, 168-170 ecuación, 164 paramétrica, 848-849 polar, 862 forma de pendiente-intersección, 163 de punto-pendiente, 162 general, 164 simétrica, 172 horizontal, 161 paralela, 164 pendiente, 157-160 perpendicular, 165 real, 9 tangente, a una parábola, 811 vertical, 161 Rectángulo auxiliar, 832 Rectas paralelas, 164 perpendiculares, 165 Reflexión de una gráfica, 147, 198-199, 241

Regla de Cramer, 705-707 Regla de, los signos de Descartes, 286-287 Relación con el grado, 396 Renglón, de una matriz, 663 Renglón equivalente (o equivalente por renglones), 665 Representación geométrica, 607 Residuo, en el proceso de división, 273 Restricciones de una función objetivo, 654 Resultado de un experimento, 786 Rosa de cuatro pétalos, 869 S

Satisfacer una ecuación, 60 Secciones cónicas, 806 Sector circular, 399 Segmento de recta dirigido, 581 Segundo, 394, 398 Semicircunferencia, 149 Semielipse, ecuaciones para, 820, 823 Semielipsoide, 826 Semiparábola, gráfica de, 8, 12 Semiplano, 645 Serie(s),748-749 geométrica, infinita, 748 infinita, 7495 infinita alternante, 750 Signo(s) de desigualdad, 9 de funciones trigonométricas, 416 de un número real, 10-11 leyes, 11 radical, 24 resultante, 120 variación de, 286 Simetría, 146-147, 241, 433, 870 Simplificación de un radical, 25 de una expresión exponencial, 21 racional, 46 Sistema(s) consistente de ecuaciones, 638 coordenado, 9, 132 de coordenadas cartesianas, 132-138 rectangulares, 132-138

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de desigualdades, 644-650 de ecuaciones, 626-632 con más de dos variables, 662-675 consistentes, 638 dependientes y consistentes, 638 en dos variables, 635-641 equivalentes, 629, 636 homogéneos, 672 inconsistentes, 638 matriz de, 663 solución, 626, 629 de números complejos, 94 dependiente y consistente, 638 equivalentes, 629, 636 homogéneo de ecuaciones, 672 inconsistente de ecuaciones, 638 polar coordenado, 857 para una variable, 65 Solución(es) de un sistema de desigualdades, 644, 646 de un sistema de ecuaciones, 626, 629 de un triángulo, 471 de una desigualdad, 110-111 de una ecuación, 60 en x, 60 en x y y, 141 polar, 861 extrañas, 64 factibles, 654 límites, 288 trivial, 672 Subconjunto de un conjunto, 31, 782 Subíndice de la columna, 664 Subíndice de renglón, 664 Sucesión(es), 722 aritmética, 738-742 de sumas parciales, 730 definida recursivamente, 726 generación, 724-726 geométrica, 745-751 gráfica, 723-724, 733 igualdad, 723 infinita, 722 término n-ésimo, 723 Suma parcial, 730, 746 Suma(s) de coordenadas y, 467


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de dos cubos, 39 de funciones, 225 de funciones trigonométricas, 468, 521 de matrices, 678 de números complejos, 94 de números reales, 3 de una serie, 749 de una sucesión aritmética, 740 de una sucesión geométrica, 746-747 de vectores, 582, 584-586, 588 parciales, 730, 746 geométrica infinita, 748, 750 propiedades de la, 4 teorema sobre, 732 Sustitución, 662 trigonométrica, 497-498 Sustracción de números complejos, 96 de matrices, 679 de números reales, 7 T

Tabla de signos, 120, 121 Teorema cambio de base, 373 de cónicas, 873 de De Moivre, 614-616 de factorización completa, para polinomios, 281-282 de la aritmética, 2 de Pitágoras, 106, 133, 405-406, 549 del álgebra, 281 del binomio, 761-768 del factor, 275 cero, 6, 81, 504-505 del residuo, 1-74, 274-275 del valor intermedio, para funciones polinomiales, 263-264 fundamental del álgebra, 281 para localizar el vértice de una parábola, 213 sobre amplitudes y periodos, 450 periodos y desplazamientos de fase, 452 sobre ángulos de referencia, 442 sobre asíntotas horizontales, 308

sobre cómo expresar un polinomio como un producto de factores lineales y cuadráticos, 296 sobre ecuaciones polares de cónicas, 875 sobre el coseno del ángulo entre vectores, 599 sobre el número de combinaciones, 779 de permutaciones diferentes, 773 exacto de ceros de un polinomio, 285 máximo de ceros de un polinomio, 282 sobre el valor máximo o mínimo de una función cuadrática, 214 sobre eventos independientes, 792 mutuamente excluyentes, 789 sobre exponentes negativos, 22 sobre funciones inversas, 238 trigonométricas pares e impares, 429 sobre invertibilidad de matrices, 699 sobre la expansión de determinantes, 698 sobre la naturaleza biunívoca de las funciones crecientes o decrecientes, 237 exponenciales, 327 logarítmicas, 351 sobre la probabilidad de ocurrencia de uno de dos eventos, 790 sobre la suma de una constante, 731 serie geométrica infinita, 748 sucesión, 732 sucesión aritmética, 739 sucesión geométrica, 746 sobre las pendientes de rectas paralelas, 164 perpendiculares, 165 sobre límites para los ceros reales de polinomios, 295 sobre los ceros racionales de un polinomio, 297 sobre pares de ceros conjugados de un polinomio, 295

sobre permutaciones distinguibles, 778-779 sobre producto punto, 599 sobre productos y cocientes de números complejos, 611 sobre propiedades de matrices, 679-680 sobre raíces n-ésimas, 616 sobre renglones idénticos, 703 sobre sistemas equivalentes, 636 sobre transformaciones de renglones de matrices, 665 y columnas de un determinante, 702 sobre un renglón de ceros, 699 sobre una gráfica de la función tangente, 464 sobre valores funcionales repetidos para seno y coseno, 426 sobre vectores ortogonales, 600 Teoría de ecuaciones, 281 Término de un polinomio, 33 de una serie, 749 de una sucesión, 722 aritmética, 739 geométrica, 745 Tiempo de duplicación, 357 Transformación(es) de columna, 703 de determinantes, 702-703 de gráficas, 204 de sistemas de ecuaciones, 636 de renglones de matrices, 665 de una matriz, 665, 703 elementales de renglón, 665 Traslaciones, 196 Trayectoria de un proyectil, 849-851 Trazo de puntos 132, 137-138 Trazo de una gráfica, 111, 144, 309 Tríada ordenada, 629 Triángulo, 471 área, 134, 576 de Pascal, 767, 783 isósceles, 406, 531 oblicuo (oblicuángulo), 562-563, 572 rectángulo, 403, 471-473 vértices, 471


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U

Unidad astronómica (UA), 825 Unidad imaginaria, 94 V

Valor absoluto, 11-13, 25 de prueba, 120, 264 de un número real, 608 de una función trigonométrica, 467 ecuaciones que contienen, 102 esperado, 794 gráfica de una desigualdad que contiene, 204 ecuación que contiene, 203

propiedades del, 116 sistemas de desigualdades que contienen, 647 Valor máximo de una función cuadrática, 211, 214, 216-217 Valor mínimo de una función cuadrática, 211, 214 Valores polares, 867 Variable(s) de entrada, 185 de salida, 185 de sumatoria, 728 dependiente, 185 independiente, 185 linealmente relacionadas, 167

Variación conjunta, 248 directa, 246 inversa, 246 Vector(es) cero, 586 equivalentes, 582 ortogonales, 598, 600 posición, 583 paralelos, 598, 600 resultante, 591 Vida media, 331

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Matematica Solucionario

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