Solucionario de primera practica calificada Alberto Andre Tellez Lopez 20151376D 02/09/2016 1. Una curva con funciones de torsion y curvatura no nulas en cada punto es de Bertand si y solo si existe una relacion lineal entre dichas funciones.
SOLUCION Sea
(s1) la curva B rva
de
Bert Bertra ran nd
asociada
(s1) = A (s) + λ(s)N (s) te B tenemos tange tangent ntes es es cons consta tant ntee (θ) as asi que que : s dB ds
que que
( 1) • = 1 • T (s) = 1 (1 − λ (s)k(s))T (s) + λ(s)τ (s)B (s) • T (s) 1 [1 − λ(s)k (s)] = cos θ
(s1) T (s) T
(s) ta A tal
a el
que que
angulo gulo entre
sus
ds ds
ds ds
= cos θ = cte
ds ds
Por
otr a par te te (s1) sin θ = T T (s) =
| | |sin θ| =
×
Llama Llamand ndo o
cte cte =
ds ( ) ( ) ds1 λ s τ s
ds ds1
(1
−
(s) + λ(s)τ (s)B (s) λ(s)k (s))T
× T (s)
= cte
A λ(s)
= 1λ−(λs()sτ )(ks()s
−→
λ(s)k (s) + Aτ (s) = 1
2. Una curva curva regular regular ς esta definida definida por : y=f(x);z=g(s y=f(x);z=g(s)) Determine la ecuacion de la curvatura de ς .
SOLUCION H acemos r = (x, f (x), g (x))
r = (1, f (x), g (x))
1
r = (0, f (x), g (x))
vec vectores res
| × | | | r × r = (f (x)g (x) − f (x)g (x), −g (x), f (x)) r × r = (f (x))2.((g(x))2 + 1) − 2f (x)g(x)f (x)g(x) + (g(x))2.((f (x))2 + 1) r = 1 + (f (x))2 + (g(x))2 √ ( ( )) (( ( )) +1)−2 ( ) ( ) ( ) ( )+( ( )) (( ( )) +1) × | | k = | | = (1+( ( )) +( ( )) ) S ea
la
r r
k =
cur vatura
r
3
2
2
2
r r r
f x
2
. g x
2
f x g
3
f x
x f x g x
2
g x
2
g
x
2
. f x
2
3 2
3. Sea γ : I S 2 una curva alabeada regular parametrizada naturalmente esferica con parametro natural σ . Se define la curva γ segun:
−→
γ (σ ) = a
σ σ0
γ (τ )dτ + a cot(θ)
σ σ0
s(τ )dτ + c
donde a y θ son constantes reales y c es una constante vectorial. Entonces, en estas condiciones, la curva γ es de Bertrand.
SOLUCION P robaremos el resultado calculando las funciones de curvatura y torsion de la curva γ y comprobando que existe una relacion de dependencia lineal entre ambas.
2 2 = a (γ + cot (θ)s) −→ γ = a + (a cot θ) = (sin ) a2 θ
˙ + a cot(θ)s˙ = a (1 γ = a γ
2
− cot (θ)k )t = −a cot(θ)k ˙ t + a(1 − cot (θ)k )(−γ + k s) γ × γ = a2 (1 − cot (θ)k )s + ( a cot θ)2 (cot θ − 1)γ γ γ × γ 2 = a4(1 − cot (θ)k )2(1 + (cot θ)2) = (1−cot( ) (sin ) γ 3 = donde ε = ±1 (sin ) g
g
g
g
g
εa3 θ
θ kg )2
a4
g
θ
3
2
2
0 a γ , γ , γ = 0 a(1 − cot (θ)k ) − (1 − cot (θ)k ) −a cot(θ)k a = a 3 (1 − cot (θ)k )2 k + a3 (1 − cot (θ)k )2 cot θ = a 3 (1 − cot (θ)k )2 (k + cot (θ))
a cot θ
g
g
g
g
g
g
a(1
−
0 cot (θ)kg ))kg
g
g
Aplicando ahora las formulas para la curvatura y de cualquier parametro, se tienen ;
la
torsion
en
funcion
a (ε k +cot θ τ ) = 1 y
por
tanto
× = ε (sin ) (1− γ γ
k =
γ
τ =
θ
2
kg cot (θ)) a
3
{ } = ( × ,γ ,γ γ γ γ
De las γ
es
2
senθ)2 (kg +cot( θ)) a
expresiones
una
curva
anteriores
de
se
sigue
que
Bertrand.
4. Determine la ecuacion vectorial de la involuta de la curva regular ς denominada Catenaria.
SOLUCION
Sea
la ecuacion
vectorial
de
la Catenaria
3
r = (x, a cosh ( xa ), 0).
r = 1 + (sinh (
r =
(1, sinh ( xa ), 0)
;
La
ecuacion
la involuta
s = = T La
de
r dx = cosh |
2
x 2 )) a
= cosh ( xa )
(s) R( s1) = r ( s) + ( C s)T
−
x dx = a sinh( xa ) a
= ( 1 , sinh ( ) , 0) cosh ( ) cosh( ) |
r r
involuta
x
x
a x
a
a
sera
R( x1) = (x, a cosh ( xa ), 0)
+
[C a sinh( xa )]( cosh1(
−
x a
sinh ( x ) a x , 0) ) a
) , cosh (
5. Determine la ecuacion del plano normal a la curva de interseccion de las superficies S 1 : x2 + y 2 + z 2 = 3; S 2 : 9x2 + 4y 2 13z 2 = 0; en el punto (1;1;1).
−
SOLUCION Hacemos r = (x, f (x), g (x))
y
Derivamos
implicitamente
S 1 :
Derivamos
implicitamente
S 2 :
Ahora
r = (1, f (x), g (x)).
x + yy + zz = 0 9x + 4yy − 13zz = 0
reemplazamos r = (1, 1, 1) y
r = (1, − 22 , 17
5 17 )
y
= T
resolvemos
las
ecuaciones
√ √ √ = ( 17 798 , −11 798 , 5 798 ) 798 399 798 |
r r
| = 0 P lano normal (P − r ) • T √ √ √ 17 798 − 11 798 5 798 ((x , y , z) − (1, 1, 1)) • ( 798 , 399 , 798 ) = 0 6. Sea la curva regular ς : (x − 2)2 + y 2 − 2 = 0 y la recta L variable que pasa por el origen de coordenadas O. en al recta L se ubica P tal que ς : (x − 2)2 + y 2 − 2 = 0, siendo M y N la interseccion de L con la curva regular ς . Determine la ecuacion vectorial del lugar geometrico que describe el punto P.
4
y
obtenemos
SOLUCION
Sea
r = (l cos(t), l sin(t)) debemos
Por
teorema
de
expresar
l
en
funcion
de
t.
senos :
√ 2sin(θ) = 2sin (t) 1 − 2(sin (t))2 = cos (θ) 2
2
En
el
tr iangulo
N M O :
√ √ 2cos(θ) −→ l = 2 2 1 − 2(sin (t))2 entonces 2 = √ √ 2 r = (2 2 1 − 2(sin (t)) cos(t), 2 2 1 − 2(sin (t))2 sin(t)) l
2
2
2
2
$ 7. Determine la aceleracion normal y tangencial en el punto (1,1,1) de la curva x 2 + y + z = 3 ; x + 2y + z 3 = 4.
SOLUCION Hacemos r = (x, f (x), g (x))
r = (1, f (x), g (x))
Derivamos
implicitamente
S 1 :
Derivamos
implicitamente
S 2 :
r = (0, f (x), g (x))
2x + y + z = 0 =⇒ 2 + y + z = 0
5
1 + 2 y + 3z 2 z = 0 = 2 y + 6zz
⇒
2 + 3z 2z = 0
reemplazamos r = (1, 1, 1) y
Ahora
r = (1, 5, 3)
−
T
2
| | √ √
anor = P roy N r =
y
√ = ( 35 , − 35 , 3 35 ) | | 35 7 35 √ √ √ = (r ×r )×r = ( 39 5614 , −27 5614 , − 29 5614 ) N 5614 5614 2807 |(r ×r )×r | atang = ( −78 , 390 , − 234 ) y anor = ( 78 , − 54 , −116 ) 2
r r
2
2
2
7
ecuaciones
−
)T (r •T
atang = P royT r = = T
las
r = (0, 48, 50)
y
resolvemos
7
2
7
)N (r •N N
||
2
2
7
7
7
8. Demuestre la formula para la binormal a una curva regular de clase C 2 en el dominio de su representacion parametrica.
SOLUCION = T
Sea
r r
|
y l = |
derivamos r = l T
r dt −→ l = r
+ l T pero; r = l T
= −→ = N | | T T N N + lT ahora multiplicamos r = l T 2 r × r = l T × (l T N + l T ) = l T T × N 2 T omamos modulo r × r = l T T × N T × N = 1 y T × N = B T T
= r ×r = B 2 l
r r r r
×
| | | × | T
.
6
y
obtenemos
