Solucionario Ensayo MT-044 2017

SOLUCIONARIO ENSAYO MT- 044

1 V 7 1 A 4 4 0 T M S E C S N E

1.

La alternativa correcta es D.

Unidad temática Habilidad

Potenciación Comprensión

2m A) Verdadera, ya que nm·n2m = nm + 2m = n3m m

B) Verdadera, ya que (n )

m 

n

mm 

n

m

2

C) Verdadera, ya que 2m + 2m = 2·2m = 21·2m = 21 + m m m D) Falsa, ya que nm·n – m = nm – m = n0 = 1 ≠ 0 E) Verdadera, ya que 1n·1m = 1·1 = 1

2.

La alternativa correcta es B.


Números racionales Comprensión

Al sumar (a (a + 1) veces el número (b ( b – c – c) se obtiene (a (a + 1)·(b 1)·(b – c – c) = ab – ab – ac ac + + b – c – c Al sumar (a (a + 1) veces el número (b ( b – c – c) se obtiene (a (a – 1)·(b 1)·(b + c) = ab + ac – ac – b b – c – c Por lo tanto, al sumar todos los números del listado se obtiene ab – ab – ac ac + b – c – c + ab + ac – ac – b b – c – c = 2ab 2ab – – 2c 2c

3.

La alternativa correcta es C.


Números racionales Aplicación

En este caso, basta con expresar las cantidades en forma decimal y comparar el valor de la cifra entera. Al expresar las cantidades fraccionarias en decimales, resulta: 17 9



16

1, 8

6



14

2, 6

3



4, 6

Luego, analizando cada una de las alternativas: A) No es correcta, ya que B) No es correcta, ya que

17 9 16 6

es menor que y

17 9

16 .

6

son menores que 4, 6 .

C) Es correcta, ya que la relación resultante es 4, 6 > 2, 6 > 1, 8 . D) No es correcta, ya que 1, 8 es menor que E) No es correcta, ya que

17 9

es menor que

14 3 16 6

.

y que

14 3

.

1.




2m A) Verdadera, ya que nm·n2m = nm + 2m = n3m m

B) Verdadera, ya que (n )

m 

n

mm 

n

m

2

C) Verdadera, ya que 2m + 2m = 2·2m = 21·2m = 21 + m m m D) Falsa, ya que nm·n – m = nm – m = n0 = 1 ≠ 0 E) Verdadera, ya que 1n·1m = 1·1 = 1

2.



Números racionales Comprensión

Al sumar (a (a + 1) veces el número (b ( b – c – c) se obtiene (a (a + 1)·(b 1)·(b – c – c) = ab – ab – ac ac + + b – c – c Al sumar (a (a + 1) veces el número (b ( b – c – c) se obtiene (a (a – 1)·(b 1)·(b + c) = ab + ac – ac – b b – c – c Por lo tanto, al sumar todos los números del listado se obtiene ab – ab – ac ac + b – c – c + ab + ac – ac – b b – c – c = 2ab 2ab – – 2c 2c

3.




En este caso, basta con expresar las cantidades en forma decimal y comparar el valor de la cifra entera. Al expresar las cantidades fraccionarias en decimales, resulta: 17 9



16

1, 8

6



14

2, 6

3



4, 6

Luego, analizando cada una de las alternativas: A) No es correcta, ya que B) No es correcta, ya que

17 9 16 6

es menor que y

17 9

16 .

6

son menores que 4, 6 .

C) Es correcta, ya que la relación resultante es 4, 6 > 2, 6 > 1, 8 . D) No es correcta, ya que 1, 8 es menor que E) No es correcta, ya que

17 9

es menor que

14 3 16 6

.

y que

14 3

.

4.

La alternativa correcta es A.



Para resolver una potencia de exponente negativo basta con intercambiar el numerador con el denominador (o viceversa) de la base y elevarla al valor absoluto del exponente. En este caso, resulta: 1

 1  1 1   5 5  5  5   5

5.

5

25  1 5



5

5 5



24 25

La alternativa correcta es E.

Unidad temática Habilidad El valor de

1 3


es 0,333…, y aproximado ap roximado por exceso a la décima es 0,4.

Por lo tanto, la fracción que es equivalente a 0,4 es

6.

24

4 10

2 

5

.



Números racionales ASE

A( A(m) corresponde a la aproximación por redondeo a la décima del número m, es decir, si la cifra ubicada en la posición de la centésima de dicho número es mayor o igual que 5, entonces la cifra ubicada en la posición de la décima aumenta en 1, y si es menor que 5 entonces esta cifra se mantiene. Finalmente, se eliminan todos los decimales ubicados a la derecha de la cifra ubicada en la posición de la décima. B( B(m) corresponde a la aproximación por truncamiento a la décima del número n, es decir, se eliminan todos los decimales ubicados a la derecha de la cifra ubicada en la posición de la décima.

 7    A1,16  1,2 , mientras que 6 6   5  5   7   5  1, 6 por lo que B   B1, 6  1,6 . Luego, A   B   1,2  1,6  2,8 . 3  3   6   3  2  2  II) Verdadera, ya que se tiene que que  0, 6 , entonces A   A0, 6  0,7 , mientras que 3  3   7   2   7  B   B0, 7   0,7 . Luego, A   B   0,7  0,7  0 .  9   3   9 

I)

Falsa, ya que se tiene que 

7



1,16 , entonces A

III) Verdadera, ya que se tiene que que

 4   1    A1, 3  1,3 y que B   B0, 3  0,3 , por lo  3   3 

A

 4   1    B   1,3  0,3  0,39 , entonces A(0,39) = 0,4 = 3    3 

A

2 5

.

Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.

7.



Número racionales ASE

(1) Al sacar 30 gramos de manzanas de la ensalada, la mitad de la masa de la ensalada que queda corresponde a plátanos. Con esta información, se puede determinar la masa de plátanos presente en la ensalada, ya que si la masa total de ensalada es 100 gramos, al restarle los 30 gramos de manzanas quedan 70 gramos ensalada, y la mitad de la masa de esta corresponde a 35 gramos de plátanos. (2)

7 20

de la masa de la ensalada corresponde a plátanos. Con esta información, se puede

determinar la masa de plátanos presente en la ensalada, ya que si la masa total de ensalada es 100 gramos, entonces se tiene que

7 20



100  35 gramos de esta

corresponden a plátanos. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.

8.



Potenciación ASE

Según la paridad, el producto entre dos números resultará par si al menos uno de ellos es par, por otra parte, el producto entre dos números impares resultará en otro número impar. Entonces: (1) r es un número par. Con esta información, se puede determinar que la expresión (r ∙ s)r + s corresponde a un número par, ya que la base, por tener un número par entre sus factores, resultará en otro número par, el que si se multiplica (r + s) veces por sí mismo, también resulta en un número par. (2) s es un número impar. Con esta información, no se puede determinar que la expresión (r ∙ s)r + s corresponde a un número par, ya que si r es un número par,

entonces la base corresponde a un número par y si s es impar, la base corresponde a un número impar. Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.

9.



Números irracionales Comprensión

Mediante la comparación de cantidades subradicales es posible determinar que: A) Es un número irracional positivo, ya que 2 se puede escribir como expresión resulta

4



3,

siendo esta positiva dado que

B) Es un número irracional negativo, ya que 2 es menor que entre estos dos irracionales resulta en otro irracional. C) Es un número entero, ya que

3



2



1



10.

2



3



3y

, luego la

3.

en este caso, la resta

1.

D) Es un número irracional positivo, ya que 3 es mayor que entre estos dos irracionales resulta en otro irracional. E) Es un número imaginario, ya que

4

4





1



i,

2

y en este caso, la resta

siendo esta la unidad imaginaria.




Por propiedad de cambio de base, se tiene que log b a 1

log a 

log b



7 . Elevando a – 1 cada

 log a  log b 1   7 1   . Aplicando nuevamente lado de la expresión, resulta  log log 7 b a   cambio de base, resulta

log b log a



1 7



log a b 

1 7

.

11.



Números irracionales Aplicación

Mediante propiedades de los logaritmos, cambiando a base 10, resulta: log 2 5

log 5 

log 2

 10   = log 10 – log 5 = 1 – log 5, por lo que: 5  

Además, log 2 = log

log 5

log2 5

Reemplazando log 5 por

7 10



log 2

log 5 

1 log 5 

, resulta: 7

log 2 5

12.

log 5 

log 2

log 5 

1 log 5

10 7





1

7





10

10 3

7 

3

.

10



Potenciación Aplicación

Aplicando propiedades de logaritmo, resulta:

 8  log 0,08 = log   = log  100 

13.

 2 3    = log (23) – log 100 = 3·log 2 – 2  100 



Números irracionales Aplicación

Aplicando suma de fracciones,

1 2 3

ambos lados de la expresión por

3  6

2



3  6

2

≈ 0,13 

1 

3 

6

3  2 6

2

≈ 0,13



, resulta:

3



6

2

≈ 0,13. Multiplicando a

3 2 6 1 6

3

≈ 0,13 



6 3

≈ 0,13 

6

6 3

2



≈ 6·0,13

6

 2



3

≈ 0,78


Unidad temática Habilidad I)

2



Por lo tanto, despejando resulta

14.

2

Potenciación ASE

Falsa, ya que si log p q = r entonces, por definición de logaritmo, se tiene que pr = q.

II) Falsa, ya que aplicando propiedades de cambio de base y exponente del argumento de un logaritmo: log p2 q

2

log q 2 

log p

2

2 log q

log q





2 log p 



log p



log p q .

III) Verdadera, ya que aplicando propiedades de cambio de base y raíz del argumento de log q log q log q un logaritmo: log p q 2 2 log p q . Como log p q = r , 1 log p log p log p 2 entonces 2 ∙ log p q = 2r . 













Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera.

15.



Números irracionales ASE

Por definición de logaritmo, se tiene que: Si loga (b ∙ c) = 5, entonces a5 = b ∙ c Si logb (a ∙ c) = 2, entonces b2 = a ∙ c Si logc (a ∙ b) = 1, entonces c = a ∙ b Expresando los valores de b y c en términos de a, resulta: b2 = a ∙ c → b2 = a ∙ a ∙ b → b 2 = a2 ∙ b → b = a2 c = a ∙ b → c = a ∙ a2 → c = a3 Por lo tanto, se tiene que a < a2 < a3, es decir, a < b < c.

16.



Números complejos ASE

Analizando cada una de las opciones, resulta: A) Falsa, ya que – 3i2 = – 3 ∙ (– 1) = 3, lo que es distinto de – 3. B) Falsa, ya que (2 – i)(2 + i) = (2)2 – (i)2 = 4 – ( – 1) = 4 + 1 = 5, lo que es distinto de 3. C) Falsa, ya que i25 = i24 ∙ i = 1 ∙ i = i, lo que es distinto de – i. D) Falsa, ya que (3 + 2i)2 = (3)2 + 2 ∙ 3 ∙ 2i + (2i)2 = 9 + 12i – 4 = 5 + 12i. E) Verdadera, ya que

17.

5

5 i 

i



i

5i 

i

i

2

5i  

1

5i .

 



Números complejos ASE

Como z = – 2 + pi y el módulo de z es 3, entonces puede plantearse z



3

(  2 )2



p2



3



4 p

2



3

Elevando al cuadrado y despejando, resulta 4 + p2 = 9  p2 = 9 – 4 = 5 Por lo tanto, como p es un número real positivo, entonces p =

18.

 p =



5.

5.



Transformación algebraica Aplicación

La expresión ( x2 – 11 x – 42) puede ser factorizada como un binomio con término en común, buscando dos números cuya suma sea – 11 y cuyo producto es – 42, siendo estos 3 y – 14, por lo que el resultado de esta factorización es ( x + 3) ∙ ( x – 14), por lo que los valores posibles de a son 3 y – 14, siendo este último el valor presente entre las alternativas.

19.



Ecuaciones y sistemas de primer grado ASE

Desarrollando la expresión algebraica, resulta (2 p + 3)(2 p – 5) = (2 p + m)(2 p – m) 4 p – 10 p + 6 p – 15 = 4 p2 – 2mp + 2mp – m2 4 p2 – 4 p – 15 = 4 p2 – m2 – 4 p = – m2 + 15 2

p

m 

2 

(Agrupando términos semejantes) (Sumando 15 – 4 p2 en cada lado)

15

4

Por lo tanto, el valor de p, en términos de m, se puede expresar como

20.

m

2



4

15

.



Ecuaciones y sistemas de primer grado Comprensión

“Francisca tiene 30 años y en p años más tendrá el triple de la edad que tenía hace q años” puede interpretarse como la igualdad 30 + p = 3 ∙ (30 – q). “La diferencia entre p y q, en ese orden, es igual a los dos tercios de la edad actual de Francisca” puede interpretarse como la igualdad p – q =

2 3

 30

Entonces, a partir de estas igualdades se genera el sistema de ecuaciones: 30  p  3  (30  q) p  q



2 3



30

Reordenando p  3q  60 p  q  20

Restando las ecuaciones ( p + 3q) – ( p – q) = 60 – 20 p + 3q – p + q = 40 4q = 40 q = 10 Se tiene que p – q = 20, entonces p = 20 + q = 20 + 10 = 30. Por lo tanto, los valores de p y q son, respectivamente, 30 y 10.

21.



Transformación algebraica Aplicación

Desarrollando la expresión, resulta: 4n  3



2

22.

3n  1



3  (4n  3)  2  (3n  1)

3



12n  9  6n  2

6

6



6n  7 6


Unidad temática Habilidad (1) 4 x  4



(2) 8 x  3 y

Ecuaciones y sistemas de primer grado Aplicación

9 y



22

Respecto a la ecuación (1), 4 x – 4 = 9 y, entonces 4 x = 9 y +4. Respecto a la ecuación (2), 8 x + 3 y = 22 ⟹ 2·4 x + 3 y = 22. Reemplazando (1) en (2): ⟹ 2·(9 y + 4) + 3 y = 22 ⟹ 18 y + 8 + 3 y = 22 ⟹ 21 y = 14 ⟹

14

y



21

2

⟹ y



3

Reemplazando el valor de y en (1): 4 x

4 x





9



3



4

64

10 x

2

4

5 

2

Luego, ( x + y) es igual a

5 2



2 3



35  2 2 6



19 6

23.



Ecuaciones de segundo grado y función cuadrática ASE

Para analizar la naturaleza de las soluciones de una ecuación cuadrática, determinaremos su discriminante: b

2

 4ac

b

2

 4 1  9

b

2

 36

(Reemplazando) (Calculando)

Luego: Verdadera, ya que si b es igual a – 6, entonces

I)

2

  (6)  36  36  36 

0.

Es decir, tiene dos soluciones reales e iguales. Verdadera, ya que si b es – 7, un valor real menor que – 6, entonces

II)

2

  (7)  36 

49  36  13 . Como el discriminante es mayor que cero,

entonces tiene dos soluciones reales y distintas. Verdadera, ya que si b es 7, un valor real mayor que 6, entonces

III)

2

  7  36  49  36  13 .

Como el discriminante es mayor que cero, entonces tiene dos soluciones reales y distintas. Por lo tanto, I, II y III son verdaderas.

24.




Supongamos que el número es x , por lo tanto el enunciado quedaría expresado como 2 2 3 x  5 x  2 . Es decir, una ecuación cuadrática de la forma 3 x 5x 2 0. 





Con la fórmula de las soluciones de una ecuación de segundo grado:

x 

b

2

b  4ac

 x

 (5) 

2a

(5) 2 23



x



5

25  24 6



x



5

49 6

 x

57 6

 4  3  ( 2)

(Reemplazando) (Calculando)

Luego,

x

1



57 6

12 

6



2 y

x 2



57

 

6

2

6

 

1

3

.

Por lo tanto, los valores que satisfacen la ecuación son solo I y III.

25.



Inecuaciones y función potencia Comprensión

Considerando que la edad actual de Camila es x años, se tiene que “el triple de la edad que Camila tenía hace cuatro años” puede interpretarse como 3 ∙ ( x – 4), mientras “el doble de la edad que tendrá dentro de siete años” puede interpretarse como 2 ∙ ( x + 7). Por lo tanto, la situación descrita se interpreta como 3 ∙ ( x – 4) < 2 ∙ ( x + 7).

26.



Inecuaciones y función potencia Aplicación

Para resolver un sistema de inecuaciones es necesario determinar el intervalo solución para la incógnita en cada una de las inecuaciones de manera separada y, posteriormente, realizar la intersección de estos, es decir, determinar el intervalo común entre ellos. Luego: 8 x – 2 < – 10 5 – 2 x ≤ 0 8 x < – 10 + 2 – 2 x ≤ – 5 8 x < – 8 2 x  5 x < – 1

x



5 2

Al realizar la intersección de manera gráfica se obtiene

– 1

5 2

Como no hay valores en común entre ambas soluciones, se tiene que el conjunto solución del sistema de inecuaciones es vacío, es decir, {∅}.

27.



Inecuaciones y función potencia ASE

Determinando la solución de x en la inecuación, se tiene que: 3 x + a 6 3 x ≥ 6 – a x ≥

6a 3

Por lo que hay que determinar un único valor de a para dar un conjunto solución para x . Luego: (1) 2a – 5 < 3. Con esta información, no se puede determinar el conjunto solución para x , ya que el intervalo de solución de la inecuación presentada es a < 4, por lo que hay infinitos números enteros que podrían corresponder al valor de a. (2) 12 – 5a < 2. Con esta información, no se puede determinar el conjunto solución para x , ya que el intervalo de solución de la inecuación presentada es a > 2, por lo que hay infinitos números enteros que podrían corresponder al valor de a. Con ambas informaciones, se puede determinar el conjunto solución para x , ya que hay que encontrar un número entero que sea menor que 4 y mayor que 2, siendo la única opción posible el número 3, entonces el conjunto solución para x es 6 3 x ≥ 3 x ≥ 1 

Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.

28.



Teoría de funciones Comprensión

En este caso, la función g debe reemplazarse por la variable independiente de la función f , es decir, se debe obtener f

2 x  3



:

( f g )( x)  f 2 x  3 

  

2 x  3



2 

1  2 x  3  1  2 x  4

29.



Función afín, función lineal y función constante Aplicación

f ( x)  g ( x)  2 x  3  3x  7 

5x  3 



5x

(Reemplazando)

7

(Sumando 3 x) (Restando 3) (Dividiendo por 5)

 10

 x  2

Luego, se cumple f ( x) g ( x) cuando x es igual a – 2. 

30.



Teoría de funciones ASE

Si el dominio de g son los reales positivos, entonces x > 0

 g ( x) = x + 2 > 2.

Al aplicar la función f a la desigualdad anterior, se cumple: f ( g ( x)) > f (2)  f ( g ( x)) > f (2) > 3·2 – 1 = 5 Por lo tanto, como f ( g ( x)) = f o g es siempre mayor que 5, el recorrido de ( f o g ) es ]5, +  [.

31.



F. exponencial, f. logarítmica y f. raíz cuadrada Aplicación

Como f (2)  192 , entonces f (2) 3 2

32.

2 k

 192 

2

2 k

2 k



3 2 2k

2

2



2k  6



k  3





192 . Despejando k : (Dividiendo por 3) (Transformando a potencia) (Igualando exponentes) (Dividiendo por 2)

64







6



F. exponencial, f. logarítmica y f. raíz cuadrada Aplicación

La función f es tal que f ( x) = 23 x + n. Entonces, si f (1) = 16 se tiene que: 3∙1+n 2 = 16 3+n 2 = 24

Como en la expresión anterior se tiene que la base en ambos lados de la igualdad es la misma (en este caso es 2), basta con igualar los exponentes y despejar el valor de n. 3 + n = 4 n = 4 – 3 = 1 Entonces, se tiene que f ( x) = 23 x + 1. Finalmente, el valor de f (3) es f (3) = 23 ∙ 3 + 1 = 210 Como dentro de las opciones cuya base es 2 no se encuentra 2 10, este valor debe expresarse en base 4, por lo que 2 10 = (22)5 = 45. Por lo tanto, f (3) = 45.

33.



F. exponencial, f. logarítmica y f. raíz cuadrada ASE

(1) m + p = 4. Con esta información, se puede afirmar que el punto (1, 2) pertenece a la gráfica de h, ya que al reemplazar con x = 1 en la expresión de h resulta h(1) = Como m + p = 4, entonces h(1) =

4

m  p

.

= 2.

(2) m – p = 2. Con esta información, no se puede afirmar que el punto (1, 2) pertenece a la gráfica de h, ya que al reemplazar con x = 1 en la expresión de h resulta h(1) =

m  p

. Sabiendo que m – p = 2 no es posible conocer el valor de ( m + p), y

en consecuencia no es posible conocer el valor de h(1). Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.

34.



Ecuaciones de segundo grado y función cuadrática Comprensión

En la función real g ( x) = x2 + 2 x – 3, se tiene que los coeficientes de la función son a = 1, b = 2 y c = – 3. Luego: I)

Falsa, ya que el eje de simetría de la gráfica de una función cuadrática se puede determinar mediante la expresión



b

2a

, que en este caso es



2

2 1

 1

, por lo que el

eje de simetría se ubica a la izquierda del eje de las ordenadas. II) Verdadera, ya que el término independiente de una función cuadrática indica el punto de corte de la gráfica de la función con el eje de las ordenadas, que en este caso es (0, – 3). III) Verdadera, ya que los puntos de corte de la gráfica de una función cuadrática pueden determinarse mediante la expresión b2 – 4ac, que en este caso es (2) 2 – 4 ∙ 1 ∙ (– 3) = 16

el cuál es un valor positivo, por lo que la gráfica corta al eje de las abscisas en dos puntos. Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.

35.




Analizando cada una de las alternativas, se tiene que: A) f ( x) = 0 tiene dos soluciones reales y distintas para x . Esta afirmación es verdadera, ya que la gráfica de la función corta al eje de las abscisas en dos puntos, cuyas coordenadas en x corresponden a las preimágenes de 0. B) El valor de a es positivo. Esta afirmación es verdadera, ya que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba. C) La expresión (b2 – 4ac) es positiva. Esta afirmación es verdadera, ya que se tiene que la gráfica corta en dos puntos al eje de las abscisas, es decir, que tiene dos soluciones reales y distintas, lo que ocurre cuando el valor del discriminante de la función tiene un valor positivo. D) La abscisa del vértice es positiva. Esta afirmación es verdadera, ya que se observa que el vértice de la gráfica de la función f que se ubica en el cuarto cuadrante, en el que las abscisas son positivas. E) f tiene un valor máximo. Esta afirmación es falsa, ya que el recorrido de la función f inicia en la ordenada del vértice hasta el infinito positivo, por lo que f tiene un valor mínimo.

36.



Inecuaciones y función potencia Aplicación

Algunas de las características de la gráfica de la función f ( x) = – x3 + 1 son: - Su intersección con el eje de las ordenadas es el par ordenado (0, 1), ya que f (0) = 1, por lo que las alternativas C, D y E no son correctas. - Como f es una función potencia de exponente impar y f ( x) < f ( x + 1), es decir, es decreciente, la alternativa B no es correcta. Por lo tanto, la gráfica que representa mejor a la función f es la presentada en la alternativa A.

37.



Geometría de proporción Comprensión

Dado que ABCD y EFGD son cuadrados congruentes entre sí, entonces AB = BC = CD = DA = EF = FG = GD = DE = x. Como H es el punto medio de los segmentos BC y EF , entonces EH = HC = BH = HF =

x

2

.

Luego, el perímetro del polígono EHCD se puede expresar como EH + HC + CD + DE =

x

2

+

x

2

+ x + x = 3 x, y el perímetro del polígono ABHFGD se

puede expresar como AB + BH * HF + FG + GD + DA = x +

x 2

+

x 2

+ x + x + x = 5 x.

Por lo tanto, la razón entre el perímetro del polígono EHCD y el perímetro del polígono ABHFGD es

38.

3 x 5 x

3 

5

, que es equivalente a 0,6.



Transformaciones isométricas Aplicación

Al aplicar la transformación R 45 veces, el total de grados que rota el punto (3, 5) es 45 ∙ 30° = 1350°, lo que es equivalente a que este punto de tres vueltas completas más una rotación de 270°, en sentido antihorario y con centro en el origen. Si un punto ( x, y) se rota en 270° con centro en el origen entonces sus coordenadas resultantes son ( y, – x), por lo que el punto (3, 5) se transforma en (5, – 3).

39.




Si los puntos ( – 5, 2) y (1, 2) son simétricos, se tiene que la recta L es paralela al eje Y , ya que ambos tienen la misma ordenada. El eje de simetría contendrá al punto medio entre los puntos simétricos, es decir, L contiene al punto ( – 2, 2), por lo que L viene dada por x = – 2. Si al punto (0, 4) se le aplica una simetría respecto al eje L, entonces el punto reflejado mantiene la ordenada del punto original, es decir, el punto reflejado es (a, 4). El valor de

a se determina mediante la ecuación

a



2

0

2 , ya que la abscisa del punto medio entre

 

las abscisas del punto original y el reflejado está contenido en el eje de simetría L. Entonces, el valor de a es – 4. Por lo tanto, el punto resultante de la simetría de (0, 4) respecto a la recta L es ( – 4, 4).

40.




Si el punto (2, – 5) se traslada cuatro unidades hacia arriba y tres unidades hacia la izquierda, entonces las coordenadas del vector de traslación son ( – 3, 4). Luego, P = (2, – 5) + ( – 3, 4) = ( – 1, – 1). Para llevar el punto P hasta la posición (3, 0), se le debe trasladar según el vector de traslación (a, b), de tal manera que ( – 1, – 1) + (a, b) = (3, 0). Entonces, (a, b) = (3, 0) – ( – 1, – 1) = (3, 0) + (1, 1) = (4, 1). Por lo tanto, para llevar el punto P hasta la posición (3, 0), se le debe trasladar una unidad hacia arriba y cuatro unidades hacia la derecha.

41.



Transformaciones isométricas ASE

El vector (a, – a) se puede escribir como múltiplo del vector ( – a, a), de la forma (a, – a) = – 1·( – a, a). Luego: I)

Tienen distinto sentido, ya que uno es múltiplo del otro, pero con signo contrario.

II)

No

tienen distinta dirección, ya que uno es múltiplo del otr o, por lo cual siguen la misma dirección.

III) No tienen distinta magnitud, ya que (a, – a) =  – 1·( – a, a)=  – 1·( – a, a)= 1·( – a, a)= ( – a, a). Por lo tanto, los vectores solo tienen distinto sentido.

42.




(1) Al aplicar a P una rotación de 180° en torno al origen, se obtiene un punto en el tercer cuadrante. Con esta información, no se pueden determinar las coordenadas del

punto P , ya que se puede establecer que se encuentra en el primer cuadrante, pero no hay información suficiente para determinar su posición exacta en el plano cartesiano. (2) Al aplicar a P una rotación de 90° en torno al origen se obtiene el punto ( – 3, 4). Con esta información, se pueden determinar las coordenadas del punto P , ya que si el punto ( x, y) se rota en 90° en torno al origen resulta el punto ( – y, x), entonces el punto P tiene coordenadas (4, 3). Por lo tanto, la respuesta correcta es: (2) por sí sola.

43.




(1) Al moverlo 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba, queda ubicado en (1, 7). Con esta información, se pueden determinar las coordenadas de A, ya que si a A se le aplica el vector de traslación (3, 2) se transforma en el punto (1, 7), por lo que se puede plantear: A( x, y) + (3, 2) → (1, 7) Separando cada coordenada: x + 3 = 1 x = – 2

y + 2 = 7 y = 5

Luego, las coordenadas del punto A son ( – 2, 5). (2) Al moverlo 2 unidades hacia la derecha y 5 unidades hacia abajo, queda ubicado en el origen. Con esta información, se pueden determinar las coordenadas de A, ya que si a A se le aplica el vector de traslación ( – 5 , 2) se transforma en el punto (0, 0), por lo que se puede plantear: A( x, y) + (2, – 5) → (0, 0) Separando cada coordenada: x + 2 = 0 x = – 2

y – 5 = 0 y = 5

Luego, las coordenadas del punto A son ( – 2, 5). Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.

44.




Como el triángulo inicial fue dividido en 9 triángulos congruentes entre sí, entonces cada triángulo tendrá un noveno del área del triángulo inicial, es decir, la razón entre el área del triángulo mayor con el área de uno de los triángulos pequeños será 9 : 1. Como el triángulos inicial con los triángulos resultantes de la división son semejantes, entonces la razón de semejanza será 3 : 1, o sea que las longitudes del triángulo mayor serán el triple de las de cada triángulo pequeño. Por lo tanto, si el perímetro del triángulo inicial es 54 cm, entonces el perímetro de cada triángulo menor será (54 : 3) cm, es decir, 18 cm.

45.




Según el teorema de Thales, en la figura de la pregunta debe cumplirse la proporción AB AC

BD 

CE

. Como AC = AB + BC , entonces:

AB



BD

AC CE AB AC 

BD

CE

AB BD



AB  BC CE

Por lo anterior, la relación que no es correcta es de la igual falta sumar el término

46.

AB 

AB BD

CE



BC 

BC CE

CE

, ya que en la parte izquierda

AB .

CE



Circunferencia Comprensión

Analizando cada una de las opciones, resulta: A) Verdadera, ya que tanto el ∠ ADB como el ∠ ACB subtienden al mismo arco, que en este caso es AB, por lo que estos ángulos miden la mitad de la medida del arco. B) Verdadera, ya que tanto el ∠ CAD como el ∠CBD subtienden al mismo arco, que en este caso es CD, por lo que estos ángulos miden la mitad de la medida del arco.

C) Falsa, ya que esto se puede asegurar si ∠ AEB es un ángulo del centro, o lo que es equivalente, que E sea el centro de la circunferencia. D) Verdadera, ya que la medida hipotética de los ángulos correspondientes en los triángulos ADE y BCE son las mismas. E) Verdadera, ya que se cumple por el teorema de las cuerdas, que en este caso es arco AB  arco CD

 CED .

2

47.



Geometría de proporción Aplicación

Como en el triángulo rectángulo ABC se conoce la altura que cae sobre la hipotenusa, entonces es posible aplicar el teorema de Euclides. AC  AD  AB  8  AD  20 2

2

64 



20 16 



5

(Reemplazando)

AD

(Dividiendo por 20)

AD

(Simplificando)

Como AD + DB = AB, entonces DB = AB – AD: DB

48.



20

16 

5

100 



16

5

84 

5

cm



Geometría de proporción Aplicación

Si José corta una cuerda de 70 cm en la razón 5 : 2, significa que resultará un trozo de 5 2 70 50 cm y otro de  70  20 cm. 7 7 



Si corta el trozo más largo, es decir, aquel que mide 50 cm, en la razón 3 : 2, significa que resultará un trozo de

3 

5

50



30 cm

y otro de

2 5

 50 

20 cm.

Entonces resultan tres trozos de los cuales dos miden 20 cm y uno mide 30 cm. Por lo tanto, el trozo más largo de los tres resultantes mide 30 cm.

49.



Circunferencia Aplicación

Se tiene que los arcos AB = 3 x + 90°, BC = 4 x + 50° y CA = 5 x – 20° deben sumar 360°. A partir de esta información es posible determinar el valor de x : arco AB + arco BC + arco CA = 360° (3 x + 90°) + (4 x + 50°) + (5 x – 20°) = 360° 12 x + 120° = 360° 12 x = 240° x = 20°

(Agrupando términos semejantes) (Restando 120° en cada lado) (Dividiendo por 12 cada lado)

Como el ángulo BAC subtiende al arco BC , por teorema del ángulo inscrito, mide la mitad de este arco. Luego: ∠ BAC =

arco BC 2



4 x  50 2



4  20  50 2



80  50 2



130 2

 65

Por lo tanto, la medida del ángulo BAC es 65°.

50.



Geometría analítica Comprensión

Dados los puntos ( – 2, 3) y ( – 6, 7), se tiene que la pendiente m entre ellos viene dada por: m 

37

 

2 6

4

 

26





4

4

 1

Con esta información, tomando el punto ( – 2, 3) como referencia, es posible determinar la ecuación de la recta que pasa por estos puntos: y





m x  x1

 y

1

y = – 1 ∙ ( x – ( – 2)) + 3 y = – 1 ∙ ( x + 2) + 3 y = – x – 2 + 3 y = – x + 1 Por lo tanto, una ecuación de la recta que contiene a los puntos ( – 2, 3) y ( – 6, 7) es y = – x + 1.

51.



Geometría analítica Comprensión

La distancia entre dos puntos, ( x1, y1) y ( x2, y2), viene dada por la expresión:

 x

2

 x1



2



 y



2



2

y1

Luego, se tiene que: I)

Verdadera, ya que al reemplazar los valores, la distancia entre los puntos A( – 2b, b) y O(0, 0) es:

 2b  0

2



b  0

2



 2b

2



b

2

4b



2

b

2



5b

2

II) Verdadera, ya que al reemplazar los valores, la distancia entre los puntos A(a, – a) y O(0, 0) es:

a  0



2



 a0

2



a

2



 a



2



a

2



a

2



2a

2

III) Verdadera, ya que al reemplazar los valores, la distancia entre los puntos A(3b, b) y O(0, 0) es:

3b  0

2



b  0

2



3b

2



b

2

9b



2

b

2



10b

2

Por lo tanto, las afirmaciones I, II y III son verdaderas.

52.



Geometría analítica Aplicación

Como se conoce las coordenadas de los puntos A y C , entonces es posible determinar la medida de la diagonal del cuadrado. d

AC



(3  6) 2



(2  1) 2



(3) 2



32



18  3 2

Como la diagonal de un cuadrado mide igual que la medida del lado multiplicado por entonces el lado mide 3 unidades. Por lo tanto el perímetro es igual a 12 unidades.

2

,

53.



Geometría analítica ASE

Se sabe que la recta L pasa por el punto (4, 4) y tiene pendiente igual a 0,25 = tanto, la ecuación correspondiente a la recta L será: 1 1 1 ( y  4)  ( x  4)  y  x   4  4 4 4 4



y 

1 4

1 4

. Por lo

x3

Como la recta L se desplaza 5 unidades hacia arriba en el plano, entonces la pendiente sigue siendo la misma e intersectará al eje Y 5 unidades más arriba de lo que lo hacía. Es decir, en vez se intersectar en el punto (0,3), lo hará en el punto (0, 8). Por lo tanto, la ecuación de la recta obtenida será:

 1  4

 

y   x  3  5  y 

54.

1 4

x8



Cuerpos geométricos Aplicación

Al rotar de manera indefinida al rectángulo de la figura en torno al segmento AD, entonces se describirá un cilindro de altura h = 2· AB y de radio r = AB. Se sabe que el volumen de un cilindro es igual 2

  r

 h    AB 

55.

2

2  AB

3





(2  AB)

2

r



h.

Luego:

(Reemplazando) (Producto de potencias de igual base)





Cuerpos geométricos Aplicación

El volumen de una esfera es igual a

4 

3

3

r

, con r igual al radio de este cuerpo. Como el

diámetro de la esfera es 12 cm, entonces el radio es igual a la mitad de esta medida, es decir, 6 cm. Luego: 4 4 4 3 3 V     r  6     216  288   3 3 3 Por lo tanto, el volumen de la esfera es 288 π cm3.

56.



Geometría analítica Aplicación

La distancia entre dos puntos, ( x1, y1, z 1) y ( x2, y2, z 2), se puede determinar mediante la

 x

expresión

2

 x1



2



 y

2

 y1



2



 z

2



z 1



2

.

La distancia entre los puntos ( – 2, 7, 5) y (4, 5, 9) es:

 2  4

2

57.



7  5

2



2



 6

2



2

2

 

 4

2



36  4  16



56



2 14


Unidad temática Habilidad I)

5  9


Verdadera, ya que por encontrarse en caras opuestas y paralelas de un cubo, QR y PS son

paralelos.

II) Falsa, ya que si se considera que el cubo tiene arista a, entonces el segmento MQ mide

a

2 unidades

por ser diagonal de una cara, el segmento QR mide

5

a

2

unidades lo que puede ser determinado mediante el teorema de Pitágoras, y el segmento MR mide

3a 2

unidades, lo que también puede ser determinado mediante el

teorema de Pitágoras. Luego, las medidas de los lados del triángulo MQR son todas distintas entre sí, por lo que es un triángulo escaleno. III) Verdadera, ya que cada la distancia entre el punto P y el punto M , y la distancia entre el punto R y el punto N son iguales, por lo tanto los segmentos PR y MN son paralelos entre sí. Por lo tanto, las afirmaciones I, II y III son verdaderas.

58.




Los vértices del cubo presentados en las alternativas podrían corresponder a los del cubo descrito ubicado en el espacio de la pregunta, sin embargo, solo el origen está presente en cualquiera de los cubos hipotéticos que se podrían formar, por lo tanto, uno de los vértices siempre estará ubicado en el punto (0, 0, 0).

59.



Manejo de datos Comprensión

A) Verdadera, ya que el primer intervalo agrupa a 15 personas, mismo número que agrupa el último intervalo. B) Verdadera, ya que el segundo y el tercer intervalo tienen frecuencia 18, la mayor frecuencia de la muestra, por lo que ambos son intervalos modales. C) Falsa, ya que dos parejas de intervalos tienen la misma frecuencia, por lo que el total de datos de la muestras es (15 + 18 + 9 + 18 + 15), es decir, 75 datos. D) Verdadera, ya que el número de personas que obtuvieron menos de 400 puntos es 15 + 18 + 9 = 42, valor mayor a la mitad de 75. E) Verdadera, ya que las frecuencias de los intervalos que agrupan a las personas que obtuvieron como mínimo 300 puntos es igual a las frecuencias de las personas que obtuvieron más de 400. En ambos casos, la frecuencia corresponde a 42.

60.



Manejo de datos Comprensión

I)

Verdadera, ya que el inicio del diagrama de caja siempre indica el menor de los datos de la muestra, que en esta caso corresponde a 8.

II)

Verdadera, ya el “bigote” superior de la caja agrupa a un 25% de los datos. Como estos son mayores que 16, se puede asegurar que al menos un 25% es mayor o igual que 17, por lo que también lo es para 16.

III)

Verdadera, ya que el extremo inferior de la caja indica el primer cuartil, mientras que el extremo superior indica el tercer cuartil. Luego, el rango intercuartil es igual a la diferencia entre el tercer cuartil y el primer cuartil, en este caso 17 – 10 = 7.

Por lo tanto, I, II y III son verdaderas.

61.



Análisis de variable estadística Comprensión

La media de la población {1, 3, 5, 6, 8, 13} es

 

1  3  5  6  8  13 6



36 6



6.

En este caso, es posible extraer 15 muestras de esta población. La mayor diferencia con la media poblacional ocurrirá con la muestra que tenga la menor o la mayor media muestral. Dentro de las muestras que se pueden extraer, la muestra {1, 3} tiene una media de 2, siendo la menor media muestral, mientras que la muestra {8, 13} tiene una media de 10,5 siendo la mayor media muestral. Por lo tanto, la mayor diferencia positiva que se puede obtener a partir de una de las medias muestrales y la media poblacional es 10, 5 – 6 = 4,5.

62.



Manejo de datos Aplicación

Al sumar las frecuencias se obtiene un total de 80 datos. El percentil 60 corresponde al valor bajo el cual se encuentra el 60% de la población. Ya que el 60% de 80 es 48, entonces el dato bajo el cual se encuentra el 60% ocupará la posición 48. Al agregar una columna de frecuencia acumulada en la tabla, notamos que el tercer intervalo agrupa datos hasta la posición 55, es decir que el dato que ocupa el lugar 48 se encuentra en el intervalo P.

63.



Análisis de variable estadística Aplicación

Como se desea tomar muestras de tamaño 2 de una población compuesta por 12 elementos, sin orden y sin reposición, entonces es necesario realizar una combinación de 12 sobre 2.

 12  12! 12! 12  11  10! 12  11        66 2 ( 12 2 )! · 2 ! 10 ! · 2 ! 10 ! · 2 2   

64.




En este caso, se tiene que si se suman todas las muestras de la tabla se tiene que: A  B  C 3



B  C  D 3



A  D  E 3



A  B  E 3



C  D  E 3

 14  16  14  13  18

3 A  3 B  3C  3 D  3E 3



75

3( A  B  C  D  E )

 75 3 A + B + C + D + E = 75

Como se sabe que la suma de las edades de los 5 hermanos es 75, entonces, el promedio de sus edades es

65.

75 5



15 años.



Manejo de datos ASE

Se tiene que: El 40% de las personas está en el intervalo [0, 3[. El 40% de las personas está en el intervalo [3, 6[. El 15% de las personas está en el intervalo [6, 9[. El 5% de las personas está en el intervalo [9, 12]. Entonces: I)

Verdadera, ya que en el intervalo [3, 6[ se encuentra el 40% de las personas, lo que es igual a 1.500 ∙ 0,4 = 600 personas.

II) Verdadera, ya que los intervalos [0, 3[ y [6, 9[ contiene entre ambos al 55% del total de personas. III) Verdadera, ya que tanto en el intervalo [3, 6[ como en el intervalo [3, 6[ se encuentra el 40% de las personas en cada uno de ellos. Por lo tanto, las afirmaciones I, II y III son verdaderas.

66.



Manejo de datos ASE

A partir de la información presentada en la ojiva, es posible construir la siguiente tabla: Intervalo [3, 4[ [4, 5[ [5, 6[ [6, 7]

Frecuencia acumulada 10 25 40 50

Frecuencia relativa acumulada (%) 20 50 80 100

Entonces: I)

Falsa, ya que el intervalo donde se ubica el segundo quintil es aquel que tiene no más del 40% de los datos bajo él y no más del 60% de los datos sobre él. En este caso, el intervalo [4, 5[ tiene el 20% de los datos bajo él y el 50% de los datos sobre él, por lo que el segundo quintil se ubica en este intervalo.

II) Verdadera, ya que el intervalo donde se ubica el primer decil es aquel que tiene no más del 10% de los datos bajo él y no más del 90% de los datos sobre él. En este caso, el intervalo [3, 4[ tiene el 0% de los datos bajo él y el 80% de los datos sobre él, por lo que el primer decil se ubica en este intervalo. III) Verdadera, ya que el intervalo donde se ubica el tercer cuartil es aquel que tiene no más del 75% de los datos bajo él y no más del 25% de los datos sobre él. En este caso, el intervalo [5, 6[ tiene el 50% de los datos bajo él y el 20% de los datos sobre él, por lo que el tercer cuartil se ubica en este intervalo. Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.

67.



Manejo de datos ASE

(1) El mayor valor de los datos de la muestra. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de p, ya que solo podría determinarse que este valor pertenece al intervalo [ p + 3, p + 4], pero no se puede saber si corresponde al valor ( p + 4). (2) El valor del promedio obtenido a partir de la marca de clase. Con esta información, es posible determinar el valor numérico de p, ya es posible plantear la ecuación del promedio, calculado a partir de la marca de clase y despejar posteriormente el valor de p.

6  ( p  0,5)  4  ( p  1,5)  5  ( p  2,5)  3  ( p  3,5) 18



a

Como a es un valor conocido, entonces es posible despejar el valor de p a partir de la expresión anterior. Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.

68.



Manejo de datos Aplicación

El promedio del conjunto {2, 3, 4} es

23 4

x 

3

9 

3



3.

La desviación estándar de un conjunto de datos numéricos corresponde a la raíz cuadrada del promedio del cuadrado de las diferencias entre cada dato y el promedio de la población. En este caso:

 

69.

(2  3) 2



(3  3) 2



(4  3) 2

3



(1) 2



(0) 2 3



(1) 2



1 0 1 3



2 3




Como la variable estadística continua temperatura de funcionamiento óptimo se distribuye de manera normal en los motores, es posible aproximarla a una distribución normal tipificada. Tipificando el valor pedido, se tiene: Z

20 



4

16

4 

4



1

Según la tabla de densidad de probabilidad adjunta en el facsímil, se tiene que para z = 1, P ( Z ≤1) = 0,841. Como se buscan los valores de Z ≥ 1, entonces P ( Z ≥1) = 1 – P ( Z ≤1) = 1 – 0,841 = 0,159 Por tanto, el 15,9% de los motores de la fábrica funcionan óptimamente con una temperatura mayor que 20°C.

70.



Cálculo de probabilidades Comprensión

Al haber p bolitas rojas de un total de q bolitas, entonces el número de bolitas azules será (q – p). Luego, la probabilidad de obtener una bolita azul será número de bolitas azules q p P (azul) número total de bolitas q 



71.





Cálculo de probabilidades ASE

(1) La probabilidad de extraer una bolita de color rojo o negro es del 30%. Con esta información, se puede determinar la probabilidad de extraer al azar una bolita azul, ya que se tiene que el 70% de las bolitas restantes dentro de la urna son de color azul, por ende, la probabilidad de extraer una bolita azul desde ella es

7 10

.

(2) En total hay 30 bolitas en la urna. Con esta información, no se puede determinar la probabilidad de extraer al azar una bolita azul, ya que si bien se conoce la cantidad de bolitas dentro de la urna, no se tiene información suficiente para determinar cuántas de cada color hay dentro de ella. Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.

72.



Cálculo de probabilidades Aplicación

En total hay 8 bolitas en la urna. En la primera extracción hay 8 bolitas en la urna y 3 bolitas verdes. Luego, la probabilidad de extraer al azar una bolita verde es

3 8

.

Como la bolita de la primera extracción se devuelve, entonces la urna tiene 8 bolitas para la segunda extracción, de las cuales 5 son blancas. Luego, la probabilidad de extraer una bolita blanca es

5 8

.

Como la bolita de la segunda extracción no se devuelve, entonces la urna tiene 7 bolitas, de las que 3 son verdes y 4 blancas. Luego, la probabilidad de extraer una bolita blanca es 4 7

.

Por lo tanto, por producto de probabilidades, se ti ene que la probabilidad buscada es igual al producto de las probabilidades cada una de las 3 extracciones, es decir:

73.

3 5 4 



8 8 7

.



Análisis de variable aleatoria Aplicación

En este caso, se tiene que el recorrido de la variable aleatoria X es {0, 1, 2, 3}, luego, se tiene que la función de distribución de: F (2) = P ( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2) = 0,1 + 0,2 + 0,5 = 0,8 F (0) = P ( X = 0) = 0,1 Entonces, se tiene que: F (2) – F (0) = 0,8 – 0,1 = 0,7

74.




El valor esperado de una variable aleatoria corresponde a la ponderación de cada uno de sus valores por su respectiva probabilidad, que en este caso está dada por una función. Por lo tanto, el valor esperado de X es

 11  2   11  4   11  7    4   7  = 20 20 20      

2

75.

2

9 20



4

7 20



7

4 20

=

18 20

28 

20

28 

20

=

74 20

= 3,7




Dado que se trata de un experimento dicotómico, se puede aplicar la distribución binomial para calcular la probabilidad pedida. En este caso, la probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso son de

1 2

, y la cantidad de veces que se realiza el experimento es 10.

Por lo tanto, la probabilidad de que la bola negra haya salido exactamente tres veces es 3

7

 10   1   1  10! 1 10  9  8  7! 1 120 15 P ( X = 3) =          .  10     3 ! ! ! . . 2 2 3 7 3 2 1 7 1 024 1 024 128     2      

76.



Análisis de variable aleatoria ASE

Lanzar una moneda una determinada cantidad de veces corresponde a un experimento aleatorio dicotómico, ya que solamente hay dos resultados posibles (cara y sello) y el resultado obtenido en uno de los lanzamientos no influye en los posibles resultados de los lanzamientos restantes. Por lo tanto, determinar la probabilidad de obtener q veces cara en el lanzamiento de una moneda p veces, donde la probabilidad de éxito y fracaso son 1 2

cada una, se puede determinar mediante la expresión:

 p   1        q   2 

77.

q

 1     2 

p  q



Cálculo de probabilidades ASE

Se tiene que 20 cachorros son hembras y 30 cachorros son machos, de los cuales 20 son negros. Sean los eventos del experimento de escoger un cachorro al azar, A: resulta un cachorro negro y B: resulta un cachorro macho, entonces la probabilidad de escoger un cachorro macho y negro es: P ( A ∩ B) =

20 50

Mientras que la probabilidad de escoger un cachorro macho: P ( B) =

30 50

Entonces, la probabilidad de que el cachorro escogido sea negro dado que resultó ser macho es: 20 P ( A  B) 50  20  2 P ( A / B)   30 30 3 P ( B) 50

Solucionario Ensayo MT-044 2017

Recommend Documents