Solucionario Ensayo MT 044 2016

SOLUCIONARIO ENSAYO MT- 044

1 V 6 1 A 4 4 0 T M S E C S N E S

1. La alternativa correcta es E.

Unidad temática Habilidad

 5 2 5    :  =  3 3 6 

Números racionales Aplicación

 5 2 6      =  3 3 5 

 5 12     =  3 15 

 25 12     =  15 15 

13 15

Al desarrollar las alternativas resulta: A)

5

14

21

B)

14



1



5

21 1 6

1 

6

C)

5

8 

5:

2



5

6

15 

16 

9

18

13 

5

3

E)

3

6

6

D)

2



18

3

17

18

15 

13



31 

30



13 17



13 

15

15

15

 5

2

 3

3

Por lo tanto, el resultado de  

:

5 

 es igual al resultado de 6 

2

17

.

15

2. La alternativa correcta es A.


Números racionales Comprensión

Si de los 90 dulces se comió la tercera parte, entonces se comió

1 3



90 , quedando

De ellos, los repartió en tres grupos iguales, quedando cada grupo con

1 2 

3 3

 90

2 3

 90 .

.

Luego, a uno de los grupos le sacó 5 dulces y los puso en otro, es decir el grupo menor queda con

1 2 

3 3



90  5 y el grupo mayor queda con

1 2 

3 3

 90 

5.

Por lo tanto, la expresión que representa la cantidad de dulces que tiene el grupo mayor 1 2 es   90  5 . 3 3



 5 2 5    :  =  3 3 6 


 5 2 6      =  3 3 5 

 5 12     =  3 15 

 25 12     =  15 15 

13 15

Al desarrollar las alternativas resulta: A)

5

14

21

B)

14



1



5

21 1 6

1 

6

C)

5

8 

5:

2



5

6

15 

16 

9

18

13 

5

3

E)

3

6

6

D)

2



18

3

17

18

15 

13



31 

30



13 17



13 

15

15

15

 5

2

 3

3

Por lo tanto, el resultado de  

:

5 

 es igual al resultado de 6 

2

17

.

15




Si de los 90 dulces se comió la tercera parte, entonces se comió

1 3



90 , quedando

De ellos, los repartió en tres grupos iguales, quedando cada grupo con

1 2 

3 3

 90

2 3

 90 .

.

Luego, a uno de los grupos le sacó 5 dulces y los puso en otro, es decir el grupo menor queda con

1 2 

3 3



90  5 y el grupo mayor queda con

1 2 

3 3

 90 

5.

Por lo tanto, la expresión que representa la cantidad de dulces que tiene el grupo mayor 1 2 es   90  5 . 3 3

3. La alternativa correcta es D.



Al revisar las alternativas se observa: A) < p · q . Falsa, porque al simplificar por q, siendo éste es negativo, invierte q· r < el signo de la desigualdad, quedando (r > p), lo cual del enunciado no puede ser. B)

< q . Falsa, ya que tanto p como q son positivos, luego p· r > > 0 , y q < 0 p· r <

C)

< -1 . No siempre verdadera, por ejemplo si r = = 0,5 y q = -1, q· r = -0,5 > -1 q· r <

D)

q· r < r . Verdadera, pues q < 0 y p > 0, luego p· q < 0 < r

E)

= 0,25 y p = 2, p· r = 0,5< 1. p· r > 1. No siempre verdadera, por ejemplo para r =

 p·

Por lo tanto, solo la afirmación q· r < r es siempre verdadera.

4. La alternativa correcta es B.


El valor de

1


es 0,166666… Luego,

6

 1   6 

Es decir, T   0,1 

Entonces,

 1  1   =  6  6

T

1

truncado a la décima es 0,1.

6

1 10

.

1

1 

10

6

=

6  10

=

60

 1  1 Por lo tanto, el valor de T   es  6  6

16 60

4 15

.

=

4 15

q < r.



Potencias Aplicación

La masa inicial del líquido es 1,4·10 – 2 kilogramos, o sea 0,014 kilogramos. Luego, al evaporarse la mitad queda 0,007 kilogramos de líquido. La masa final del líquido más la masa del frasco vacío es: (0,007 + 0,0035) = 0,0105 = 10,5·10 – 3 kilogramos. Por lo tanto, después de evaporarse la mitad del líquido, la balanza marca 10,5·10 – 3 kilogramos.

6. La alternativa correcta es C.


Números racionales ASE

Al traspasar cada alternativa a decimal resulta: 3

2

= 0,375

8

4

= 0,4

5

El número

3

1

≈ 0,444

9

4

= 0,5

2

≈ 0,571

7

vale aproximadamente 0,429. Luego, los más cercanos son

7

5

Al hacer la diferencia positiva, resulta

3

1

1 

63

, entonces

35

4 9

2 

7

Como

2

15



14



5

está más cerca que

1 

35 2

35

y

4

3 

9

9

.

.

9

28  27

1 

7

63

.

63

.

5 3 7

4

4



Por lo tanto, de los números propuestos, el que está más cerca de numérica es

y

en la recta


Unidad temática Habilidad I) II)

Falsa, para a = 1 = b, porque 1  1 1 . Verdadera, pues si a es el doble de b, entonces n

n

a

III)

Potenciación ASE

n



b

n 1



(2b) n



2 b



2

n

n

n



(Al reemplazar a) 



bn

b

n

1



(Descomponiendo potencias)

b

(Al simplificar por

b

n

)

b

Verdadera, ya que si a es un número impar, entonces cualquier potencia de a será impar, en particular la potencia b n 1 . 



Potenciación Aplicación

El enunciado plantea que a  b n , entonces logb a n  logb 

la propiedad de la potencia para el logaritmo resulta: logb Por lo tanto, logb a n 



n

2

b 

b

n

n

2



n





n

2

logb

b

n2

logb b

, aplicando 

n

2



1



n

.



Potenciación Comprensión

Analizando cada alternativa, con m, n, p y q números naturales distintos de 1, resulta: A) Falsa, ya que

m

B) Falsa, ya que

n

C) Falsa, ya que

m

D) Falsa, ya que

p

n



m

n

q

m

=

n

pqn = n p  q p

n



n =

1

mp

n

m  p

1 

p

p  q

p n

q

q

E) Verdadera, ya que n

p p

qn

p

n



p



p

p n

q



qn

= qn

p p

qn

p

p



q

n

= q

p

qn



n p qn

p

p

q

q

=

q qn

p

n q

Por lo tanto, la afirmación siempre verdadera corresponde a la alternativa E.

2



Potenciación Aplicación

El punto medio del segmento PQ corresponde al promedio entre P y Q. Es decir: log a  log b PQ M= = 2 2 Aplicando propiedades de logaritmos se tiene: log a  log b log(a  b) 1 M= = =  log(a  b) = log 2 2 2 Por lo tanto, el valor de M es log

a  b

a  b .



Números irracionales Aplicación

 

0,46  log1000 24  1000 0, 46  24  103


Unidad temática Habilidad 1,44



0,36

Potenciación Aplicación 1,2 0,6 



0,64



0,8

0,9

0, 46

1,38

 24  10

 24  log 24  1,38



Números irracionales ASE

Para todo a, b, c números reales mayores que 1 se cumple que a < b < c  a² < b² < c². Luego: I)

Se cumple, ya que lo podemos comprobar si planteamos 2 < 2  3 < 3 y elevamos la desigualdad al cuadrado: 4 < 2 · 3 < 9  4 < 6 < 9, lo que es correcto.

II)

NO se cumple, ya que lo podemos comprobar si planteamos 2 <

2



3

< 3 y

elevamos la desigualdad al cuadrado: 4 < 2 + 2 6 + 3 < 9  4 < 5 + 2 6 < 9. La primera parte es correcta, pero si tomamos la segunda parte de la desigualdad queda: 5 + 2 6 < 9 (Restando 5) lo que NO es correcto. III)



2 6

< 4 (Elevando al cuadrado)



24 < 16,

Se cumple, ya que lo podemos comprobar si planteamos 2 < 2  3 < 3 y elevamos la desigualdad al cuadrado: 4 < 2 + 3 < 9  4 < 5 < 9, lo que es correcto.

Por lo tanto, la desigualdad solo se cumple para I y III.



(1)

1 a

Números irracionales ASE

es un número irracional. Con esta información, se puede determinar que a es un

número irracional, ya que el inverso multiplicativo (recíproco) de un número irracional también es un número irracional. (2) (1 – a) es un número irracional. Con esta información, se puede determinar que a es un número irracional, ya que si (1 – a) = b  a = (1 – b), y la resta entre un número racional y un número irracional es siempre un número irracional. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.



Números complejos Aplicación

2 • (7 – 3i) – 5 • (2 – i) = 14 – 6i – 10 + 5i = 4 – i



Números complejos ASE

Desde la figura se observa que w = a + bi, y que z = -a – bi. Entonces: I) Falsa, ya que el conjugado de z es: a – bi ≠ w. II)

Verdadera, puesto que w

III)



a 

2



b

Verdadera, pues

2

a



z  w

simplificando queda

1



z 2



b

 z 

1 1

 a 

2

 2

, es decir,

1 w

 1



 b





2

z

(a  bi) 

. Por lo que



a



w

2



1 (a  bi) z  w

1





b

a 

2

2

, mientras que



b

2

. 1

(a  bi)  

(a  bi)

,

1.

 

Por lo tanto, son siempre verdaderas solo II y III.



Números complejos ASE

(1) La suma entre z y su conjugado es 4. Con esta información no es posible determinar el cuadrante donde se ubica z, pues solo sabríamos que z + z = (a + bi) + (a – bi) = 4 2a = 4 a = 2. (2) a = – b. Con esta información no es posible determinar el cuadrante donde se ubica z, ya que solo se tendría que z = a – ai. Con ambas informaciones juntas, sí es posible determinar el cuadrante donde se ubica z, ya que si la suma entre z y su conjugado es 4, entonces a = 2. Si además

a = – b, luego z = a – ai, por lo que combinando ambas informaciones, z = 2 – 2i, complejo que se ubica en el IV cuadrante del plano complejo. Por lo tanto la respuesta es: Ambas juntas.



Ecuaciones y sistemas de primer grado Aplicación

Al interpretar matemáticamente el enunciado resulta: 2a – b = 3(a + b) 2a – b = 3a + 3b – 3b – b = 3a – 2a – 4b = a

(Eliminando paréntesis) (Ordenando) (Reduciendo)

Por lo tanto, el valor de a en términos de b es – 4b.



Transformación algebraica Aplicación

Al factorizar la expresión resulta: x³ + x² – 2x Factorizando por x  x  (x² + x – 2) Factorizando el trinomio  x  (x – 1)  (x + 2) Si bien ninguno de estos términos está en las alternativas, el producto de dos factores también es un factor de la expresión. Luego, también son factores: x  (x – 1) = x² – x x  (x + 2) = x² + 2x (x – 1)  (x + 2) = x² + x – 2 Por lo tanto, la opción que es un factor de la expresión (x³ + x² – 2x) es (x² – x).



I)

Transformación algebraica ASE 3x

Falsa, ya que AH = DG =

y GH = DA =

4

5x 4

.

Entonces, el perímetro del rectángulo AHGD es (AH + GH + DG + DA) =

 3x 5x 3x 5x  16x = 4x.      4 4 4 4 4   II)

Verdadera, ya que el área del polígono ABCGFE se puede calcular como la diferencia entre el área del cuadrado ABCD y el área del cuadrado DEFG. Entonces, el área del polígono ABCGFE es 2

2

 5x   3x        4   4  III)

25x

2



9x

16

2

16



16x 16

2

= x².

 5x 3x    4 4  

Verdadera, ya que EA = FH = GC = (DC – DG) =  =

3x 4

4

4

y AH = EF

, entonces el perímetro del rectángulo AHFE es (AH + FH + EF + EA) =

 3x 2x 3x 2x  10x . Por otro lado, como HB = GC =      4 4 4  4  4 5x

2x

2x 4

y GH = CB =

, entonces el perímetro del rectángulo HBCG es (HB + CB + GC + GH) =

 2x 5x 2x 5x  14x . Luego, la diferencia entre ambos perímetros es      4 4 4  4  4  14x 10x  4x = x. Es decir, el perímetro del rectángulo AHFE es x    4 4 4   unidades menor que el perímetro del rectángulo HBCG. Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.



Ecuaciones y sistemas de primer grado Comprensión

Si el costo de una polera es $ x y el de un pantalón es $ y, entonces: El comprar un pantalón y tres poleras por $25.000 se puede escribir (y + 3x = 25.000) Adquirir un pantalón y una polera con $12.000 se puede escribir (y + x = 12.000)

Luego, la primera ecuación se puede reescribir como (3x = 25.000 – y ) que junto a la segunda ecuación generan el sistema presente en la alternativa E.



Ecuaciones y sistemas de primer grado Aplicación

Al amplificar la primera ecuación por -6, resulta el sistema -3x + -12y = -42 3x + 5y = 9 Al sumar ambas ecuaciones queda la ecuación -7y = -33 (Dividiendo por -7 a ambos lados) y=

33 7

Luego, reemplazando el valor de y en la primera ecuación resulta x

2 x

2 x

2

x 2 x

2

 33   =7  7 

+ 2·  66

+

=7

7

= 7 – = =

x =

(Multiplicando) (Restando

66 7

)

66 7

49  66 7

 17

(Multiplicando por 2)

7

 34 7

  34 33   1   7  7  7

Luego, al sumar (x + y) = 



Transformación algebraica Aplicación

Para obtener (1 ∆ w), se reemplaza m =1 y p = w. Luego, 1

1

1



w



w

1∆w=

1

w





w



1

1



w



1

w


Unidad temática Habilidad Recordemos que la suma de las soluciones de una ecuación cuadrática x2 + bx + c = 0 corresponde a

b a

.

Entonces, la ecuación x(ax – 3) = 7 puede ser escrita como ax2 + -3x – 7 = 0, luego la suma de las raíces será: 

3

 

b 

a

 



3

a

, es decir,

3



a



3

3 

a

3 a

 

a





3

1



Ecuación de segundo grado y función cuadrática Comprensión

Como las soluciones de la ecuación son iguales, su discriminante es igual a cero. Luego, a = m4, b = k y c = n2, entonces: b2 – 4ac = 0 k 2 – 4 ∙ m4 ∙ n2 = 0

(Reemplazando los valores de a, b y c) (Despejando k )

k 2 = 4 ∙ m4 ∙ n2 k 1 = 2m2n y k 2 = – 2m2n

(Aplicando raíz cuadrada)

Elegimos k 1, puesto que m, n y k son números reales positivos.



Desigualdades, inecuaciones y función potencia ASE

I)

Falsa, ya que por ejemplo si a = 5 y b = 0, entonces a – b = 5.

II)

Falsa, ya que por ejemplo si a = 4 y b = 1, entonces

III)

Verdadera, ya que para p, q, r y s números reales, se cumple que si p < q y r < s, entonces p + r < q + s.

a b

= 4.

Por lo tanto, solo la afirmación III es siempre verdadera.




(1) b es el triple de a. Con esta información sí se puede determinar el intervalo al cual pertenece a, ya que quedaría una inecuación para una sola variable; es decir, (Reemplazando b) – 5 ≤ b – a ≤ 9 – 5 ≤ 3a – a ≤ 9 (Dividiendo por 2) – 5 ≤ 2a ≤ 9 – 2,5 ≤ a ≤ 4,5 (2) a es menor que b. Con esta información no es posible determinar el intervalo al cual pertenece a, pues dada la condición – 5 ≤ b – a ≤ 9, al despejar a de la inecuación queda de la siguiente manera – 5 ≤ b – a ≤ 9 – 5 – b ≤ -a ≤ 9 – b 5 + b ≥ a ≥ -9 + b b – 9 ≤ a ≤ b + 5

(Restando b) (Multiplicando por -1, se cambia la desigualdad) (Reordenando la desigualdad)

Luego, con la información a < b, no se podría resolver dicha inecuación, pues solo se agregaría otra inecuación a la del enunciado. Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.



Función afín y función lineal Aplicación

- A las 9 AM, la temperatura es de 18º C, punto (9, 18) = ( x1, y1) - A las 11 AM la temperatura es de 22º C, punto (11, 22) = ( x2, y2) La ecuación de la recta que pasa por ( x1, y1) y ( x2, y2) es: y =

y 2 x 2

y = y =

 y1 ( x – x1) + y1  x1

22  18 11  9 4 2

( x – 9) + 18

( x – 9) + 18

y = 2 x – 18 + 18 y = 2 x

Por último, evaluamos en x = 15  y = 2·15 = 30 Por lo tanto, a las 15 horas la temperatura será de 30º C.


Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada Comprensión


Analicemos el comportamiento de la sustancia radiactiva con el paso del tiempo con al siguiente tabla Tiempo [horas] 0 1 2

3 …

n

Cantidad de sustancia [gramos]

500 1 2



500 2

 1   1     500     500 2  2   2 

1

2

3

 1   1      500     500 2  2   2 

1

…

 1    2  2 

1

n

1

 1   500     500  2  n

Por lo tanto, la cantidad, en gramos, que habrá de sustancia radiactiva al paso de x

 1  horas es     500  2  x



Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada Comprensión

La expresión 3g(x) = 5x, se puede reescribir como log3 (5 x)  g ( x) , por lo tanto la función g corresponde a una función logaritmo. Una función logaritmo tiene como dominio el conjunto de los números reales positivos (IR +) y como recorrido el conjunto de todos los reales (IR). Por lo tanto, el dominio y recorrido de g son, respectivamente, IR + y IR.


Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada Aplicación

Unidad temática Habilidad 2x =

(Eliminando paréntesis)

x  (x  1)

2x = x 2  x 4x² = x² + x 4x² – x² – x = 0 3x² – x = 0 x·(3x – 1) = 0

(Elevando al cuadrado) (Ordenando) (Reduciendo) (Factorizando)

Dicha igualdad se cumple para x = 0 y x =

1

. Reemplazando cada una de ellas en la

3

ecuación resulta: x = 0  2·0 = x=

1



2·

3

1

0  (0  1)

=

3



 1     1 3  3 

1

0= 

0 2 3

=



0=0

1

4



3 3



2

2

=

3

3

Dado que en ambos casos se cumple la igualdad, entonces ambos valores de x son solución de la ecuación. Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación 2x =



1



3

x  (x  1) es 0,  .



Ecuación de segundo grado y función cuadrática Compresión

A partir de la gráfica se puede observar que el coeficiente de posición de la parábola es 1, por lo tanto se pueden descartar las alternativas: C, D y E. Luego, para discriminar entra las alternativas A y B, se puede determinar la primera componente del vértice de

  b   en cada caso: 2 a  

la parábola 

A) f(x) = – 3x2 + 2x + 1  a = -3, b = 2, entonces B) g(x) = – 3x2 – 2x + 1 a = -3, b = -2, entonces

b 

2a

2 

2a



2

b 

3

3

 

6

 

2

 

2



1



 

 

2



3

2



1 



6



3

Luego, de la figura se observa que el vértice de la parábola se encuentra en el primer cuadrante, por lo que la primera componente es positiva, y eso no ocurre en la alternativa B.



Ecuación de segundo grado y función cuadrática ASE

Sea la función f(x) = px2 + 2pqx, con p y q números naturales. I)

Verdadera, ya que (0, 0) y (– 2q, 0) pertenecen a la función. De hecho, f(0) = p·02 + 2pq·0 = 0 f( – 2q) = p· ( – 2q)2 + 2pq·( – 2q) = 4pq2 – 4pq2 = 0 También factorizando la función podemos llegar a la misma conclusión. f(x) = px2 + 2pqx = px·(x + 2q) Los ceros de la función se obtienen para x = 0 y para x = – 2q.

II)

Falsa, ya que el vértice de la función cuadrática es – ( q, – pq ). De hecho, el vértice

2

  b

de una función cuadrática de la forma f(x) = ax2 + bx + c, es igual a 

 2a

  b      2a  

, f 

. En este caso, a = p, b= 2pq. Reemplazando, tenemos que el vértice es   2pq   2pq   2     2p , f  2p   = ( – q, – pq ).    

III)

Falsa, ya que (0, 0) pertenece a la gráfica de la función. De hecho, f(0) = p·02 + 2pq·0 = 0.

Por lo tanto solo la afirmación I es verdadera.



Desigualdades, inecuaciones y función potencia Comprensión

La función f(x) = x3 corresponde a una función cúbica con vértice en el origen. Si la función está multiplicada por un factor negativo, entonces la gráfica sufre una simetría con respecto al eje X , o sea las ramas invierten su sentido de crecimiento. En este caso como la función m(x) = – 3x3 es una función cúbica con vértice en el origen multiplicada por un factor negativo, la gráfica que mejor representa a la función es la correspondiente a la alternativa C.


Unidad temática Habilidad Dada la función f ( x)  y

x



4

Teoría de funciones Aplicación x  4 x

, para encontrar la función inversa, se debe despejar x (Se multiplica por x a ambos lados)



x yx



x

yx  x



4

 4

x( y  1)  4 x



x



4 y  1

(Restando) (Factorizando) (Dividiendo por y – 1) (Amplificando el lado derecho por -1)

4 1  y

Luego, la función para la variable y (reemplazar x por y) es: 4 1 f ( x) 1 x 








(1) La gráfica de h(x) pasa por el punto (1, 1). Con esta información, no se puede determinar que n es un número impar, ya que significa que h(1) = 1, lo que se cumple para todo n en los naturales. (2) h( – 1) = – 1. Con esta información, se puede determinar que n es un número impar, ya que h( – 1) = ( – 1)n = – 1 se cumple solo para los n impares, ya que si n fuera par el resultado sería 1. Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.



Transformaciones isométricas Comprensión

I)

Falsa, ya que P y Q son simétricos con respecto al eje X.

II)

Falsa, ya que P está debajo de Q, luego para obtener P se puede aplicar a Q el vector de traslación (0, – 2a).

III)

Falsa, ya que el sentido positivo de giro es en contra de las manecillas del reloj. Luego, para obtener Q se puede aplicar a P una rotación negativa de 90º con respecto al origen.

Por lo tanto, ninguna de las afirmaciones es verdadera.



Geometría de proporción Comprensión

Como el triángulo ABE es isósceles en E y  ABE   EDB   DCB, entonces la única afirmación que no se cumple es la C, ya que si llamamos AE = EB = BD = BC = a y AB = ED = DC = b, entonces: Perímetro ABCDE = (AB + BC + DC + ED + AE) = (b + a + b + b + a) = 2a + 3b Perímetro EBD = (EB + BD + ED) = (a + a + b) = 2a + b Luego, Perímetro ABCDE = 2a + 3b ≠ 3·Perímetro EBD = 3·(2a + b) = 6a + 3b

O sea, en general, el perímetro del polígono ABCDE NO es igual al triple del perímetro del triángulo EBD. Por lo tanto, la afirmación que no siempre es verdadera corresponde a la alternativa C.




A partir de la figura, piden p  q que equivale a la suma

el vector p y el opuesto al vector q.

p

 q

, es decir la suma entre

Gráficamente, esto es

Luego, la suma queda expresada por el vector r como se observa en la siguiente figura

Por lo tanto, la alternativa B es la que mejor representa dicha situación.



Transformaciones isométricas Aplicación

Al esquematizar la situación resulta: y

O

5

•

4 3 2 1

–

1

–

2

–

3

4 1

2

x

3

•

P

Tomando como referencia el centro de la circunferencia, que se traslada del punto O(3, 5) al punto P(4, – 3), es posible determinar el vector de traslación T(a, b): O(3, 5) + T(a, b) = P(4, – 3)  T(a, b) = P(4, – 3) – O(3, 5) = (4 – 3, – 3 – 5) = (1, – 8) Por lo tanto, el vector de traslación T es (1, – 8).



Transformaciones isométricas Aplicación

Si dos puntos son simétricos con respecto a una recta, entonces dicha recta es perpendicular en el punto medio al segmento formado por los dos puntos. Luego, como los puntos A( – 1, – 2) y B(3, – 2) son simétricos con respecto a la recta L y forman un segmento horizontal, entonces la recta L es vertical y pasa por el punto medio del segmento AB, que es (1, – 2). Entonces, la ecuación de la recta de L es x = 1. y L 2

P

1

• –

–

•

3

1 1

2 –

1

–

2

•

A

Q

2

4

x

•

B

Por lo tanto, como indica la figura, si al punto P( – 2, 1) se le aplica una simetría axial con respecto a la misma recta L se obtiene el punto Q(4, 1).




Al extender los lados del hexágono hasta el punto P, es posible verificar que se forma un triángulo equilátero entre los vértices del hexágono y el punto de rotación. Luego, para efectuar la rotación pedida, basta con girar dicho triángulo en 60° con respecto a P, “arrastrando” al hexágono con él como muestra la figura. y

60

P• –

1

1

1

x

Por lo tanto, la opción que representa mejor la figura obtenida es la que se encuentra en la alternativa E.



Circunferencia Comprensión

En la figura, PQ es tangente a la circunferencia en Q y QR es diámetro, por lo que el triángulo PQR es rectángulo en Q. Sea  PRQ   . Entonces, por suma de ángulos interiores en un triángulo podemos afirmar que  90  . Además, el arco SQ es el doble del respectivo ángulo inscrito, es decir, arco SQ mide 2  . Luego, si llamamos x al arco RS y como el arco RQ es semicircunferencia, se tiene que arco RS + arco SQ = 180°, entonces (Reemplazando  ) 2   x  180 







180  2   x  180 2 . x 2 90  

(Desarrollando) (Despejando x)

x  180



Por lo tanto, la medida del arco RS siempre equivale a 2 .



Geometría de proporción Aplicación

Como L3 // L4, entonces se puede plantear el teorema de Thales 2

Al despejar resulta: x·b = ab·(b + 1) x=

b(ab  a) b 2





2

xb = ab² + ab



x=

x b  1 

ab 

b

ab

.



ab

b

ab  a b

Por lo tanto, la expresión que representa siempre el valor de x es

2

2

ab  a b

.

2




Según el teorema de Euclides, en un triángulo rectángulo, si p y q son las proyecciones respectivas de los catetos a y b sobre la hipotenusa c, entonces se cumple que a² = p·c y b² = q·c. Al reemplazar en este caso resulta: 3² = 1 · c



c=9

x² = 8 · 9



x² = 72



q=8



x=

Por lo tanto, el valor de x es

72

72

.



Geometría de proporción ASE

Como los triángulos USP y QRP son rectángulos con un ángulo en común, entonces son semejantes. Al plantear la proporcionalidad de lados homólogos resulta

US

PU 

RQ

PS 

PQ

PR

.

Como S y T son los puntos medios de PQ y RQ , PQ = 4 y RQ = 3, entonces: * PR = 5 (por trío pitagórico) y de PR , o sea ST = 2,5. * PS = 2 y RT = 1,5

ST

es mediana del triángulo, por lo cual mide la mitad

Luego, al reemplazar en la proporcionalidad: US PU 2 3 2 = 1,2 y PU =  US =   3 4 5 5

42 5

= 1,6

Además, UR = (PR – PU) = (5 – 1,6) = 3,4. 

Perímetro STRU = (ST + RT + UR + US) = (2,5 + 1,5 + 3,4 + 1,2) = 8,6

Por lo tanto, el perímetro del cuadrilátero STRU es 8,6.




Si M Q mide una unidad más que M R , PM mide el doble de M Q , entonces se puede plantear: MR = x MQ = x + 1 PM = 2(x + 1) Según el teorema de las cuerdas, en este caso se cumple que SM MQ PM MR . Luego, reemplazando las expresiones anteriores: 6·(x + 1) = 2(x + 1)·x  6 = 2x  x = 3  MQ = (3 + 1) = 4 





Por lo tanto, el valor del segmento MQ es 4.



Geometría de proporción ASE

(1) Ambos triángulos tienen un ángulo de 100º. Con esta información, se puede afirmar que los triángulos son semejantes, ya que este ángulo necesariamente será el contrario a la base en ambos triángulos, y los otros dos ángulos serán congruentes de 40º. Luego, por definición, los triángulos serán semejantes. (2) La razón entre las bases de los triángulos es 2:5. Con esta información, no se puede afirmar que los triángulos son semejantes, ya que no se cumple ninguno de los criterios de congruencia. Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.


Unidad temática Habilidad (1)

(2)

Circunferencia ASE

CAD  CBD .

Con esta información no es posible determinar si el arco CD es congruente con el arco AB, ya que no aporta información, puesto que esto se puede deducir por el hecho de que ambos son ángulos inscritos que comprender el mismo arco. AD  BC .

Con esta información no es posible determinar si el arco CD es congruente con el arco AB, pues solo podríamos establecer que los arcos AD y BC son congruentes. Con esto tendríamos que la igualdad de la suma de los arcos AB + BC + CD + DA = 360°, se reduciría a AB + 2BC + CD = 360°, quedando una ecuación con infinitas soluciones.

Si usamos ambas informaciones juntas, no es posible determinar si el arco CD es congruente con el arco AB, ya que se estableció que la información (2) no es suficiente y la información (1) no aporta información nueva. Por lo tanto, la respuesta es Se requiere información adicional.



Geometría analítica Comprensión

Dada la recta L: y = – ax + b, creciente y que pasa por el origen se cumple que: – a > 0, pues la recta es creciente, eso implica que a < 0. b = 0, pues la recta pasa por el origen, por lo que su coeficiente de posición es 0. Es decir, siempre se cumple que a < 0 y b = 0.



Geometría analítica Aplicación

La recta y = px + p intersecta al eje X en el punto T, eso quiere decir que el punto T(x, 0) pertenece a la recta. Al reemplazar en la ecuación se obtiene y = px + p (Reemplazando por y por 0) 0 = px + p (Restando p) -p = px (Dividiendo por p) -1 = x Es decir, la abscisa del punto T es -1.




Como la razón de homotecia es 2,5, el triángulo PQR es rectángulo isósceles en Q y sus catetos miden 4 cm, entonces el triángulo QST es rectángulo isósceles en S y sus catetos miden (4 · 2,5) = 10 cm. Por el teorema de Thales se puede plantear OP queda

x



4

x 

4

4  10



10

10·(x + 4) = 4·(x + 14)



Por lo tanto, la medida de

OQ RQ



OS TS

. Si llamamos x a la medida de

, y al resolver resulta:

10x + 40 = 4x + 56 8

OP es

3



6x = 16



x=

16

8 

6

3

cm.




La distancia entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) se calcula como (x1  x 2 ) 2



(y1

y 2 ) 2 . Entonces, la distancia entre un punto cualquiera (a, b) y el



(a  0) 2

origen (0, 0) es



(b  0) 2 =

a

2

 b

2

. Luego, calculando la distancia entre

el origen y cada uno de los puntos: (7) 2

A) ( – 7, 1)  B) (3, 5) 

3

2

22

C) (2, – 6) 

8

2



2



0

12



(6) 2

2



49  1  50

9  25



(4) 2

D) ( – 4, – 4)  E) (8, 0) 

5









34

4  36

(4) 2



64  0





40

16  16



32

64

Como todas son raíces cuadradas, entonces la menor es la que tiene menor cantidad subradical, o sea

32 .

Por lo tanto, de los puntos propuestos, el que está más cerca del origen es (– 4, – 4).



Geometría analítica ASE

Dado que la recta L tiene como ecuación y = ax + b, quiere decir que su pendiente es a. Por otro lado, como las rectas L y M son perpendiculares, entonces la recta M tiene pendiente 

1

,

a

Además, puesto que intersecta al eje Y en el mismo punto que la recta L, el coeficiente de posición de la recta M también es b. Así la ecuación de la recta M es y =

1 

x + b.

a

Buscamos la intersección de la recta L con el eje X: y = ax + b 0 = ax + b - b = ax b



a

(Reemplazando y = 0) (Restando b) (Dividiendo por a)

=x

Buscamos la intersección de la recta M con el eje X:

y=  0= 

1

a 1

x+b

(Reemplazando y = 0)

x+b

(Restando b)

a

- b = 

1

x

(Multiplicando por -a)

a

ab = x

Dado que el triángulo de la figura es isósceles, entonces es simétrico respecto al eje Y, por lo que la intersección de las rectas L y M están a la misma distancia del eje Y, por ende, podemos concluir que b a 1

a

= ab

(Dividiendo por b)

=a

(Multiplicando por a)

1 = a2 a = 1

(Debido a que la pendiente de la recta L es positiva, entoncesa > 0)

Finalmente, el área del triángulo es Debido a que a =1, queda ab

2



b

2

base altura

2ab b







2



ab

2

2

.



Geometría analítica Comprensión

Un punto en el espacio se puede representar mediante un trío ordenado (x, y, z), donde x es la abscisa, y es la ordenada y z es la cota. Como en este caso se pide que la cota sea el doble de la ordenada, entonces la tercera componente debe ser el doble de la segunda, condición que solo se cumple en la alternativa D. Por lo tanto, de los puntos propuestos, se cumple que la cota es igual al doble de la ordenada en el punto (3, – 2, – 4).



Cuerpos geométricos ASE

Al realizar la rotación, se forma un cilindro de radio 2a y altura 3a, al cual hay que restarle dos cilindros de radio a y altura a. Como el volumen de un cilindro es igual al área de la base por la altura, entonces el volumen generado es ·(2a)²·3a – 2·(·a²·a) = 12a³ – 2a³ = 10a³ L

Por lo tanto, se forma un sólido cuyo volumen se puede expresar como 10a³.



Geometría analítica ASE

Para que el punto (4, – 1, 7) pertenezca a la recta asociada a la ecuación vectorial v(t), debe cumplirse que ( – 2, 3, – 5) + t(1, a, 2) = (4, – 1, 7). Luego, operando componente a componente: – 2 + 1·t = 4 3 + at = – 1 – 5 + 2t = 7

Con la primera y tercera ecuación se puede determinar que t = 6. Entonces, reemplazando en la segunda resulta 3 + 6a = – 1  6a = – 1 – 3 = – 4  a =



4

6

Por lo tanto, el valor de a es

2



2



3

.

3



Cuerpos geométricos Comprensión

Una pirámide está conformada por una base y caras laterales. Si el total de caras es n, quiere decir que hay (n – 1) caras laterales, por lo que la base tiene (n – 1) lados.



Datos Aplicación

Al completar las frecuencias acumuladas de la tabla queda de la siguiente forma Horas N° de estudiantes Frecuencia acumulada [5,7[ 17 17 [7,9[ 8 25 [9,11[ 7 32 [11,13[ 6 38 [13,15] 2 40 Por lo tanto, el total de estudiantes es 40. Luego, la mediana se encuentra entre la posición 20 y 21; es decir, en el intervalo [7,9[ .



Datos Aplicación

Al ser muestras sin orden ni reposición, corresponde a una combinatoria. Además, como las muestras deben contener a la letra d, entonces se deben elegir dos elementos de una población de 4. Por lo que será una combinatoria con n = 4 y k = 2.

 n   4  4! 4  3  2  1 12         6 2 k 2 ! ( 4 2 )! 2 1 2 1 2         Por lo tanto, pueden extraerse 6 muestras de tamaño 3 que contengan a la letra d.



Datos Aplicación

La marca de clase se obtiene como el promedio de los extremos de un intervalo. Por ello Puntajes [0,14]

Marca clase 7

de Frecuencia

[15, 29]

22

3

[30, 44]

37

2

[45, 59[

52

1

4

El promedio en función de la marca de clase se obtiene como:

x



x 1·f 1



f 1

x 2 ·f 2 

f 2

 .. .

 .. .

x n ·f n

f n

siendo xi la marca de clase del intervalo i-ésimo y f i la frecuencia absoluta del mismo intervalo. Reemplazando, obtenemos:

x



7·4  22·3  37·2  52·1 4  3  2 1



28  66  74  52 10

220 

10



22

Por lo tanto el promedio de los puntajes alcanzados por los jugadores, a partir de la marca de clase es igual a 22.



Datos Aplicación

Al agregar la frecuencia acumulada a la tabla se obtiene

I)

Tiempo (minutos) [0,30[

Frecuencia 17

Frecuencia acumulada 17

[30,60[ [60,90[ [90,120[ [120,150]

15 30 27 11

32 62 89 100

Falsa, pues el tercer decil está en la posición 100 

3 10

 30 , y este valor se

encuentra en el intervalo [30,60[ II)

Falsa, ya que no podemos afirmar nada respecto al 50% de los trabajadores, pues la no se informa respecto al valor exacto de la mediana.

III)

Falsa, pues el tercer quintil está en la posición 100 está en la posición 100 

4 5



3 



4

75 y

el cuarto quintil

80 , ambos en el intervalo [90,120[

Por lo tanto, ninguna de las afirmaciones es verdadera.



Datos ASE

Si llevamos la información del gráfico a una tabla resulta Altura (cm) Marca de clase Frecuencia [0,2[ 1 4 [2,4[ 3 8 [4,6[ 5 7 [6,8] 7 5 I)

Verdadera, ya que la media de la altura de las plantas, a partir de la marca de clase, es

x 

1 4  3  8  5  7  7  5 24



98 24



4,083 , lo cual es superior a 4.

II)

Falsa, porque 12 plantas alcanzaron una altura mayor o igual a 4.

III)

Falsa, ya que la mayor frecuencia es del intervalo [2,4[, pero no sabemos a qué altura exacta corresponde.

Por lo tanto, es verdadera solo la afirmación I.



Datos ASE

Notas [1 , 2,5[

Marca de clase 1,75

Alumnos 5

[2,5 , 4,0[ [4,0 , 5,5[ [5,5 , 7,0]

3,25 4,75 6,25

8 x 4

(1) El promedio del curso es 4,05. Con esta información, se puede determinar el valor

de x, ya que el promedio indicado corresponde a: 4,05 

1,75·5  3,25·8  4,75·x  6,25·4 17  x

Despejando x podemos determinar la cantidad de alumnos que obtuvieron nota entre un 4,0 y un 5,5. Luego podremos obtener el total de estudiantes que rindieron el examen.

(2) La moda se encuentra en el intervalo 4,0 – 5,5. Con esta información no se puede determinar la cantidad de alumnos que rindieron el examen, ya que solo sabemos que la cantidad de estudiantes que obtuvieron una nota entre 4,0 y 5,5 fueron más de 8. Luego, no podemos determinar exactamente cuántos alumnos rindieron el examen. Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.



Datos Aplicación

El promedio de los puntajes es

Por

lo

tanto,

20  10

2

 

x 

4

4  10  1  20  4  30 9

la

20  20

2

180 

desviación 1 

20  30

2

4

9

9



20 .

estándar 

400  0  400 9

corresponde 800 

a

20 2 

9

3



Datos ASE

El rango corresponde a la diferencia entre el valor mayor y el menor de la muestra. El número menor es 3·4=12 y el mayor es 3·15 = 45. Por ende, el rango es igual a 45 – 12 = 33.



Datos ASE

Sea el conjunto de datos n – 1 , n – 1, n +1, n +1 . El promedio es

x



n 1 n 1  n 1 n 1 4 n

  x  x   2 

4n 4



n

2

i

La varianza es



i 1

 n

n  n  12  n  n  12  n  n 12  n  n  1 2 n



4 4

1

La desviación estándar es







2



1

2

Luego, se cumple que σ = σ = 1. 2

Por lo tanto la afirmación siempre verdadera es que σ = σ.



Datos Aplicación

Tenemos que el intervalo de confianza se puede obtener mediante la fórmula  

z



x

z



2



  

x



n

1200 

 

2 n

1,96  360 144

   1200 

1,96  360 144

1200  58,8    1200  58,8 1141,2    1258,8



Datos Aplicación

El tamaño de las abejas distribuye de manera normal con σ  0,8 , y como el 87,5% mide menos de 3 cm, quiere decir que para una variable aleatoria Z de distribución normal tipificada, Z = 1,15. Por otro lado, podemos realizar la transformación según X μ Z= (Reemplazando) σ

1,15

3



0,92 

μ

(Despejando el valor de µ)

0,8

1,15 0,8









3





3









2,08

Por lo tanto, la media del tamaño de las abejas es 2,08 cm.



Azar ASE

Se tienen los conjuntos, según enunciado A = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24} B = {3,6,9,12,15,18,21,24,27,30} I)

Verdadera, ya que la probabilidad de obtener un múltiplo de 6 en la caja A es 4

1 

12

II)

3

, mientras que en la caja B, la probabilidad es

1 

10

2

.

Falsa, pues los divisores de 12 son {1,2,3,4,6,12}, por lo que la probabilidad de obtener un divisor de 12 en la caja A es es

III)

5

3 10

4

1 

12

3

, mientras que en la caja B

.

Verdadera, ya que extraer un múltiplo de 3 en la caja A tiene una probabilidad de

4 12

1 

3

, mientras que obtener un múltiplo de 2 en la caja B

tiene una probabilidad de

5

1 

10

2

.

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.



Azar ASE

Las combinaciones en que las consonantes quedan juntas son aquellas en que la letra O está al comienzo o al final de la palabra. Entonces, se trata de una permutación para cada caso. Si la O es la primera letra, entonces las permutaciones posibles son en total 3! = 6. Mientras que si la O es la última letra, también el total de permutaciones son 3! = 6. Por ende, hay un total de 6 + 6 =12 combinaciones en que las tres consonantes quedan juntas.



Azar Comprensión

La probabilidad de un suceso A se puede calcular mediante la expresión casos favorables P( A) casos posibles Además, los eventos extraer primero una tarjeta roja y luego una azul, son independientes, por lo que la probabilidad de que ocurran ambas cosas se calcula como el producto de cada uno de los eventos. a . P(tarjeta _ roja _ primera) n Considerar que sin reposición, la segunda tarjeta a sacar tiene n – 1 posibilidades b P(tarjeta _ azul _ segunda) n -1 Entonces, la probabilidad de extraer primero una tarjeta roja y luego una azul es 





a n

b 

n -1



Azar Comprensión

I)

Falsa, pues no se puede saber con exactitud qué resultados se obtendrán.

II)

Verdadera, ya que la probabilidad de obtener un número primo al lanzar un dado común es

1 2

, por lo que al lanzarlo 240 millones de veces,

teóricamente, la mitad se obtiene como resultado un número primo. III)

Falsa, pues la probabilidad de obtener un múltiplo de 3 al lanzar un dado común es

1 3

por lo que al lanzarlo 240 millones de veces, teóricamente,

las veces se obtiene un múltiplo de 3, es decir que no es equivalente a 80.000 millones Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera.

1 3

 24.000.000 

1 3

de

80.000.000 ,



Azar ASE

Si completamos la tabla entregada con los totales relativos queda Televisión 42 Hombres 23 Mujeres 65 Total

I)

Música 38 77 115

Total 80 100 180

Verdadera, ya que los hombres que prefieren ver televisión son 42 de 180 personas, por lo que la probabilidad pedida es 1

42 

180



42



180

138 

180

23 

180

30 80

4

II)

Falsa, porque la probabilidad de que sea un hombre es

III)

Falsa, pues la probabilidad de que prefiera escuchar música es

180



9 115 180

Por lo tanto, solo es verdadera la afirmación I.



Azar ASE

Los posibles resultados de este experimento son {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, conformados por la suma de los números, de a dos en dos, entre el 1 y el 5. Por ende, el espacio muestral tiene 9 elementos



Azar Aplicación

f(1) corresponde a la probabilidad de extraer solo una letra A en el experimento. Esto puede ocurrir cuando la primera tarjeta es una A y la segunda no, o cuando la primera tarjeta no es una A y la segunda sí. Esta probabilidad se calcula mediante al expresión 3 4 4 3 4 f (1)      7 6 7 6 7



Azar Aplicación

F(2) = P(X = 1) + P(X = 2) 

3 1  5 50 8



50



3 2  5 50

11 

50

19 

50



Azar Aplicación

El evento de elegir una pregunta al azar responde a una distribución binomial, con un total de n = 5 preguntas, en donde la probabilidad de éxito (correcta) es de fracaso (incorrecta) es k

 5   1   2  es         k   3   3  I)

5  k



2 3

5! k !(5  k )!

La probabilidad es



, por ende la

La probabilidad es

La probabilidad es

2 5k 35

25

5!

1

5 4 3 2 1 24









1! (5 1)! 35 

2! (5



2)!



3! (5 3)! 

















5



5 4 3 2 1 23 



3















5 4 3 2 1 22 



















35

2



35



60 2 2



3 2 1 (2 1) 35

24

20 2 3



2 1 (3 2 1) 35 



35



1 (4 3 2 1) 35

2

35

25

5!





25

5! 

III)

3

. Por lo tanto, la probabilidad de tener k respuestas correctas



II)

1



6



35



Por lo tanto, las más probables de obtener son una y dos respuestas correctas.

5

5

24 

35

23 

35

Solucionario Ensayo MT 044 2016

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