Solucionario Ensayo MT 054 2016

SOLUCIONARIO ENSAYO MT- 054

1 V 6 1 A 4 5 0 T M S E C S N E S

1. La alternativa correcta es C.

Unidad temática Habilidad

Números racionales ASE

Si k , m y n son números naturales, entonces: A) Verdadera, ya que 12m + 18n = 6(2m + 3n) = 6k (múltiplo de 6) B) Verdadera, ya que 15m · 15n = 225mn = 9(25mn) = 9k (múltiplo de 9) C) NO siempre verdadera, ya que 7m + 7n = 7(m + n) = 7k (no siempre múltiplo de 14) D) Verdadera, ya que (8m)² = 64m² = 4(16m²) = 4k (múltiplo de 4) E) Verdadera, ya que 5m · 16n = 80mn = 10(8mn) = 10k (múltiplo de 10) Por lo tanto, la afirmación C no siempre es verdadera.

2. La alternativa correcta es E.


Potenciación Comprensión

Multiplicando cruzado y aplicando propiedades de raíces, se tiene 1 2

x



1 2



22 2

x

x

2



22 2

x

x 1

 1 1  Por lo tanto, la expresión    es siempre equivalente a 2   2 x

2

x

2

 x 1

2

.



Números racionales Aplicación

Para calcular los metros recorridos, se calcula el perímetro rectangular de la pista: 2 ∙ (80 + 60) = 2 ∙ 140 = 280 metros. Luego, como al atleta le faltaron 20 metros para recorrer las 4 vueltas, la distancia total es: 20 = 1.120 – 20 20 = 1.100 metros. (4 ∙ 280) – 20




Si k , m y n son números naturales, entonces: A) Verdadera, ya que 12m + 18n = 6(2m + 3n) = 6k (múltiplo de 6) B) Verdadera, ya que 15m · 15n = 225mn = 9(25mn) = 9k (múltiplo de 9) C) NO siempre verdadera, ya que 7m + 7n = 7(m + n) = 7k (no siempre múltiplo de 14) D) Verdadera, ya que (8m)² = 64m² = 4(16m²) = 4k (múltiplo de 4) E) Verdadera, ya que 5m · 16n = 80mn = 10(8mn) = 10k (múltiplo de 10) Por lo tanto, la afirmación C no siempre es verdadera.



Potenciación Comprensión

Multiplicando cruzado y aplicando propiedades de raíces, se tiene 1 2

x



1 2



22 2

x

x

2



22 2

x

x 1

 1 1  Por lo tanto, la expresión    es siempre equivalente a 2   2 x

2

x

2

 x 1

2

.



Números racionales Aplicación

Para calcular los metros recorridos, se calcula el perímetro rectangular de la pista: 2 ∙ (80 + 60) = 2 ∙ 140 = 280 metros. Luego, como al atleta le faltaron 20 metros para recorrer las 4 vueltas, la distancia total es: 20 = 1.120 – 20 20 = 1.100 metros. (4 ∙ 280) – 20

4. La alternativa correcta es A.


Potenciación Aplicación

645 + 645 = 2 · 645 = 2 · (2 6)5 = 2 · 230 = 231

(Factorizando por 2) (Transformando el 64 a potencia) (Resolviendo potencia de una potencia) (Multiplicando potencias de igual base)

5. La alternativa correcta es D.



En la secuencia 5, 9, 17, 33, …, podemos reconocer que:

+4 5

+8 9

+ 16 17

33

Como cada vez sumamos el doble del valor anterior, tenemos:

+4 5

+8 9

+ 16 17

+ 32

33

65

Por lo tanto, el valor del quinto término es 65.




I)

Verdadera, ya que la suma de dos números pares consecutivos puede escribirse como 2n + (2 n + 2) = 4 n + 2 = 2 ∙ (2n (2n + 1), lo que indica que esta suma siempre es divisible por 2.

II)

Falsa, ya que la diferencia positiva de 2 números impares consecutivos puede escribirse como 2n + 1 – (2 (2n – 1) 1) = 2n + 1 – 2 2n + 1 = 2, por lo tanto esta expresión no es divisible por 3, ya que el 2 no es múltiplo de él.

III)

Verdadera, ya que si un número es divisible por 4, implica que este siempre sea par, por lo tanto también será divisible por 2.

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son siempre verdaderas.




 a  b    3 

Se quiere determinar la paridad de la siguiente expresión algebraica  1)

a es el quíntuple de b. Con esta información es posible determinar la paridad de la expresión, ya que el numerador queda como 6b y al dividir se obtiene 2b, lo cual independiente del valor del entero b, corresponde siempre a un número par.

(2)

(a + b) es múltiplo de 3. Con esta información, no es posible determinar la paridad de la expresión, ya que de ser un múltiplo de 3 en el numerador al dividir por 3 no siempre será un número par. Por lo tanto, la respuesta correcta es: (1) por sí sola.


Unidad temática Habilidad 2

log 2

2

log 2 2 log 2 2 1 log 2 2 log 2 2 2 






1 2



1 2

(Logaritmo de una raíz) (Logaritmo de la base)



1 



(Logaritmo de una división)



(Calculando)

9. La alternativa correcta es B.



log(100m)100 = 100 log(100m) = 100(log 100 + log m) = 100(2 + log m)



Números irracionales ASE

Construyendo la expresión buscada: 18 7 18 7



2



4 

7

7

7



7

(Restando 2)

3 8

2



7 4

8

7 





2

3

2 

3

1 

7



7



2

(Invirtiendo)

3 

2

4 



2



(Multiplicando por 4)

2

6

Por lo tanto, el valor de

4 7

2

se encuentra entre 6 y 7.


Unidad temática Habilidad Según la igualdad I)

Potenciación ASE a

x 

b  x



a



b

Verdadera, ya que si x = 0, entonces la igualdad queda

a



b



a



b

.

II)

Falsa, ya que si x = a + b, entonces la igualdad queda a  (a  b)  b  (a  b)

III)

a





b

b  a  2 b



a



Verdadera, ya que si x = a – b, entonces la igualdad queda a  (a  b)  b  (a  b)

a





b



b  a



a







b .



b .

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.



Potenciación ASE

La distancia entre dos puntos en la recta numérica corresponde a la diferencia entre el número mayor y el número menor. Luego,

Racionalizando, resulta

Por lo tanto, la razón

2 2 2

FG GH

2 

2

2 2 

2 2

es igual a



2



2

2 2

FG GH

=

4 2 

G H







F G

2



2



2 2

442 2 84



2

2 2 

4

2 

2

.

.




Aplicando propiedades de logaritmos: log 16 80



log16 (16 5) 



3 5

53 5 8 5





(Logaritmo de un producto) (Logaritmo de la base / Reemplazando)

log16 16  log 16 5  1

(Descomponiendo)

(Calculando)




Si un cuadrado de lado m tiene una diagonal de medida p, entonces se cumple que p = m

2

. Entonces:

A) Podría representar un número racional, ya que (m + p) = (m + Luego, si m = (

2

)=1

B) Podría representar un número racional, ya que (m² + p) = (m² +

2

m). Luego, si

m=

2

m) = (2 +

2

) = (2 + 2) = 4. m m C) NO podría representar un número racional, ya que p 2m número irracional. 2

, entonces (m² +

2

)=(

m) = m · (1 +

– 1) · (1 +

2

– 1), entonces m · (1 +

2

2

D) Podría representar un número racional, ya que m · p = m · 4

2

, entonces

2

m² =

2

·

 2  = 2

4

2

·

).

2



=

2

2

2

1 

2

, que es siempre un

m=

2

m². Luego, si m

= 2.

E) Podría representar un número racional, ya que (m + p²) = (m + ( 2m) 2 ) = (m + 2m²). Luego, para cualquier valor racional de m, el valor de (m + 2m²) es racional. Por lo tanto, solo la expresión

m

representa siempre a un número irracional.

p



Números complejos Comprensión

Sea z = a + bi, entonces el conjugado de z es (a – bi) y el inverso aditivo de z es ( – a – bi). Entonces, al multiplicar el conjugado de z por el inverso aditivo de z es: (a – bi)·( – a – bi) = – a² – abi + abi + b²·i² = – a² – b² = – (a² + b²) Como el módulo de z es

a

2

 b

2

, entonces el cuadrado del módulo de z es (a² + b²).

Entonces, al multiplicar el conjugado de z por el inverso aditivo de z, resulta – (a² + b²), que es el inverso aditivo del cuadrado del módulo de z.



Números complejos Aplicación

Si p = 4 – 3i, entonces: 2p·(1 – p) = 2·(4 – 3i)·(1 – (4 – 3i)) = 2·(4 – 3i)·(1 – 4 + 3i) = 2·(4 – 3i)·( – 3 + 3i) = 2·(4 – 3i)·3·( – 1 + i) = 6·(4 – 3i)·( – 1 + i) = 6·( – 4 + 4i + 3i – 3·i²) = 6·( – 4 + 4i + 3i + 3) = 6·( – 1 + 7i) = – 6 + 42i



Números complejos ASE

Para que 5 + 3in sea igual a 2, debe cumplirse que 5 + 3in = 2 3in = 2 – 5 3in = - 3 in = -1

(Restando 5) (Dividiendo por 3)

Es decir, buscamos alguna condición que permita establecer que in = -1 (1) in corresponde a un número real negativo. Con esta información es posible saber que la expresión es igual a 2, ya que las potencias de i solo pueden tomar cuatro valores: i, -i, 1 y -1; de los cuales solo el -1 es un número real negativo. Por ello, al decirnos que in corresponde a un número real negativo, podemos establecer que in = -1. (2) n es múltiplo de 2. Con esta información no es posible saber que la expresión es igual a 2, pues si n es múltiplo de 2, puede ser múltiplo de 4, con lo que la potencia in sería igual a 1. Por lo tanto, la respuesta correcta es (1) por sí sola.


Unidad temática Habilidad 2(a + b)(a – b) = 2(a2 – b2) = 2 2 2a – 2b

Transformaciones algebraicas Comprensión (Resolviendo la suma por su diferencia). (Aplicando propiedad distributiva).



Transformaciones algebraicas Comprensión

(a + 2b) · (2b – a) = (2b + a) · (2b – a) = 4b2 – a2

(Conmutando) (Suma por su diferencia)



Ecuaciones y sistemas de primer grado Aplicación

El antecesor de (n + a) es igual a (n + a – 1), mientras que el sucesor de (n + a) es (n + a 1). Por lo tanto, el enunciado se traduce como: 4 · (n + a – 1) = 3 · (n + a + 1) 4n + 4a – 4 = 3n + 3a + 3 4n – 3n = 3a + 3 – 4a + 4 n = – a + 7

(Desarrollando) (Despejando n)



Transformaciones algebraicas Aplicación

 a  b 3   podemos reemplazar los valores de a, b y c para luego reducir En la expresión  2   c b 27   términos semejantes, quedando

 a  b 3    x 6  8 x 3  729  2 x3    x 6  8 x 3  729  8 x 3   x 6  729   3     3 2 2 2    x  4 x 2   4 x 2  27    x 3  27  27 c b          4 2 27 x x x         Al factorizar el numerador como una diferencia de cuadrados, y luego simplificar se obtiene

 x 6  729   3    x  27 



x

3

 27 x 3  27  x 3  27 3 x  27

 a  b 3   es equivalente a Por lo que la expresión  2  c  b  27 

x

3



27



Ecuaciones y sistemas de primer grado ASE

Si x + y = 12, se desea obtener el valor numérico de y. 1)

3x + 3y = 36. Con esta información, no es posible obtener el valor numérico de y, ya que esta información al simplificarla por 3 corresponde a la misma recta del enunciado, por lo cual existirán infinitos valores para y.

(2)

2x – 3y = – 21. Con esta información, es posible obtener el valor numérico de y, ya que con estas dos ecuaciones distintas, se puede dar respuesta a las dos incógnitas.

Por lo tanto la respuesta correcta es (2) por sí sola.



Ecuación de segundo grado y función cuadrática Comprensión

Si m · n = – 5 y m + n = 2, siendo m y n las raíces de una ecuación de segundo grado. Dentro de las propiedades de las raíces se tiene que: La suma de las raíces es

 b a

y la multiplicación de las raíces es

c a

. Según las alternativas

el valor de a = 1, por lo tanto, b = – 2 y c = – 5. Luego, la ecuación cuadrática que tiene como raíces a m y n es x2 – 2x – 5 = 0.



Ecuación de segundo grado y función cuadrática Aplicación

En una ecuación cuadrática cuya forma es ax2 + bx + c = 0, el producto entre las raíces siempre es igual al cociente entre los coeficientes c y a. En la ecuación del enunciado, a = 1, b = – (k + 10) y c = 10k – 2. Por lo tanto: 10k  2 

58



10k  2  58



10k  60



k  6

1

Por lo tanto, k debe ser igual a 6.



Ecuación de segundo grado y función cuadrática ASE

A partir de la figura podemos que el área de la vivienda está representada por la expresión x(x + 8), mientras que el área del estacionamiento se puede escribir como x(x – 4). I)

Verdadera, ya que si el estacionamiento tiene un área de 21 m2, entonces podemos establecer que x(x – 4) = 21, al resolver la ecuación cuadrática queda x(x – 4) = 21

(Multiplicando)

x2 – 4x = 21

(Restando 21)

x2 – 4x – 21 = 0

(Factorizando)

(x – 7)(x + 3) = 0

Las soluciones son x = 7 y x = -3, por lo que elegimos aquella que es positiva, pues estamos hablando de medidas. Por ende, x = 7. Con este valor, calculamos el área de la vivienda, reemplazándolo en la expresión x(x + 8): x(x + 8) = 7•(7 + 8) = 7•15 = 105

II)

Verdadera, porque si la vivienda tiene un área de 240 metros cuadrados, entonces podemos establecer que x(x + 8) = 240, al resolver la ecuación cuadrática queda x(x + 8) = 240

(Multiplicando)

x2 + 8x = 240

(Restando 240)

x2 + 8x – 240 = 0

(Factorizando)

(x – 12)(x + 20) = 0 Las soluciones son x = 12 y x = -20, por lo que elegimos aquella que es positiva, pues estamos hablando de medidas. Por ende, x = 12. Con este valor, calculamos el área del estacionamiento, reemplazándolo en la expresión x(x – 4): x(x – 4) = 12•(12 – 4) = 12•8 = 96

III)

Verdadera, ya que para que el área de la vivienda y del estacionamiento fueran iguales, debería cumplirse que x(x – 4) = x(x + 8), luego al resolver: x(x – 4) = x(x + 8)

(Dividiendo por x, dado que x ≠0)

x – 4 = x + 8

(Restando x)

-4=8 Esta igualdad es falsa, por lo que el supuesto inicial de que las áreas son iguales es incorrecto. Por ende, el área de la vivienda y el área del estacionamiento no pueden ser iguales. Por lo tanto, son verdaderas I, II y III.



Desigualdades, inecuaciones y función potencia Aplicación

Sea M = 4 – 2b, si

 7  b  1

El mayor valor que puede alcanzar b es 1, por lo cual el menor valor que puede alcanzar M es: 4 – 2 · (1) = 2 El menor valor que puede alcanzar b es – 7, por lo cual el mayor valor que puede alcanzar M es: 4 – 2 · ( – 7) = 18 Por lo tanto, los valores que puede tomar M son solo los valores entre 2 y el 18, ambos incluidos.



Teoría de funciones Aplicación f(a) =

a

1

1 a

⟹

 a  1    1  a 

f(f(a)) = f 

Evaluando: a

 a  1  f   =  1  a 

1

1 a 1

a

1 1

1 a

a  1  (1  a)

=

1 a (1  a)  (a  1) 1 a 2

=

= =

1 a

 2a 1 a 2 1 a

1 a



1 a 

2a

(Desarrollando)



Función afín y función lineal Aplicación

Los dos puntos representados en el gráfico son (0, a) y (a, 0). Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos se determina como: y =

y 2  y1 x 2  x1

(x – x1) + y1 =

0

a (x – 0) + a = – 1x + a = – x + a a0

Por lo tanto, la función que corresponde a la recta de la figura es m(x) = – x + a



Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada Aplicación

Para hallar los valores de x donde 100  x

2

100  x 100  10  x

100  x

2

es real se hace lo siguiente:

0

2

x

2

 10  x  10



Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada ASE

 1   , se tiene que: 4 x  

Del gráfico de f(x) = log  I)

Verdadera, ya que en la medida en que x sea un valor mayor, el valor de la función se hace menor.

II)

Verdadera, ya que la intersección con el eje de las abscisas ocurre cuando y = 0, lo que sucede cuando x =

III)

1 4

.

Verdadera, ya que al remplazar en la función x =

5 2

, resulta y = – 1.

Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.



Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada Comprensión

Del enunciado se puede determinar: la población inicial, la tasa de crecimiento y el periodo en que lo hace. Luego, I)

Verdadera, ya que luego de 3 minutos se realiza una duplicación y de 5.000 bacterias se pasa a 10.000.

II)

Falsa, ya que en 6 minutos habrán dos duplicaciones, o sea, deben haber 20.000 bacterias.

III)

Verdadera, ya que luego de media hora habrán sucedido 10 duplicaciones, las cuales se ven reflejada en el exponente de 2.

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.



Ecuación de segundo grado y función cuadrática Aplicación

Si se tiene una función f (x) = ax² + bx + c, en los reales, el máximo valor que alcanza f(x)

  b  .  2a 

corresponde a f 

Luego, g(x) = (m – x)·x = mx – x²  a = – 1, b = m y c = 0. Entonces, el máximo valor

  m   m   = g   = que alcanza g(x) corresponde a g   2   2  (1) 

m

m 2

2

 m     =  2 

Por lo tanto, el máximo valor que alcanza la función real g(x) es

m

2

4

.

m

2

2

m 

2

4

m 

2

4



Ecuación de segundo grado y función cuadrática ASE

Dada la función cuadrática con coeficientes 1, m y n, se espera determinar la intersección de la parábola con los ejes. 1)

m = 4. Con esta información, no es posible determinar la intersección con los ejes, ya que para la intersección con el eje X e Y se necesitan los valores de m y n.

(2)

n = – 5. Con esta información, no es posible determinar la intersección con los ejes, ya que con esta información solo se conoce la intersección con el eje Y.

Con ambas afirmaciones, es posible determinar los puntos de intersección de la parábola con ejes ya que se conocen los valores de m y n. Por lo tanto la respuesta es ambas juntas, (1) y (2).



Desigualdades, inecuaciones y función potencia Compresión

Tenemos que el monto acumulado se puede expresar de la siguiente manera C f



C 0 1  i% . Además, sabemos que el monto inicial es C0 = $100.000, el interés es n

compuesto anual: i = 0,05; es un período de 72 meses, es decir, 6 años (n = 6). Al reemplazar estos valores en la expresión queda C f



n

C 0 1  i%



1000001  0,05

6



1000001,05

6



Función afín y función lineal Compresión

I)

Verdadera, ya que la función g ( x) = ax3, representa a una función cúbica, la cual es biyectiva en los reales.

II)

Verdadera, pues la función h( x) =ax + b, representa a una función afín, la cual es biyectiva en los reales, es decir tanto sobreyectiva como inyectiva.

III)

Verdadera, pues la j(x) = alog x, es una función logaritmo, la cual es biyectiva en los reales, es decir tanto sobreyectiva como inyectiva.

Por lo tanto, son verdaderas I, II y III.



Desigualdades, inecuaciones y función potencia ASE

Para verificar la desigualdad, primero se deben determinar las intersecciones entre las funciones: p(x) = h(x) – x² = x³ – 1 = x

(Reemplazando) (Dos de las soluciones son x = 0. Si x ≠ 0, se simplifica por x²)

O sea, las funciones se intersectan en x = – 1 y x = 0. Significa que los intervalos de interés son  – , – 1,  – 1, 0 y 0, +. Luego: *  – , – 1  – 1 > x  – x² > x³  p(x) > h(x) *  – 1, 0  – 1 < x < 0  – x² < x³ < 0  p(x) < h(x) * 0, +  0 < x  – x² < 0 < x³  p(x) < h(x) Por lo tanto, el intervalo de todos los valores de x donde se cumple que p(x) > h(x) es  – , – 1.



Transformaciones isométricas Comprensión

Si a un punto (x, y) se le aplica una rotación de 90° en torno al origen, resulta el punto ( – y, x). Por lo tanto, si a un punto ( – m, p) se le aplica una rotación de 90° en torno al origen, queda en la posición ( – p, – m).



Transformaciones isométricas ASE

Una figura tiene simetría central si, al girarla en 180° con respecto a un punto, la figura resultante es congruente (con la misma posición y orientación) a la original. Luego:

I) Sí tiene simetría central, ya que al girarla en 180° resulta

II) No tiene simetría central, ya que al girarla en 180° resulta

III) No tiene simetría central, ya que al girarla en 180° resulta

Por lo tanto, solo la figura I tiene simetría central.



Transformaciones isométricas Comprensión

Un punto en el segundo cuadrante tiene abscisa negativa y ordenada positiva, o sea es de la forma ( – , +). Luego: A) B) C) D) E)

( – a, c – b)  a > 0 y b < c  – a < 0 y (c – b) > 0  ( – , +) ( – c, b)  c < 0 y b < 0  – c > 0 y b < 0  (+, – ) (b – c, – a)  b < c y a > 0  (b – c) < 0 y – a < 0  ( – , – ) (b, c – a)  b < 0 y c < a  b < 0 y (c – a) < 0  ( – , – ) ( – b, a)  b < 0 y a > 0  – b > 0 y a > 0  (+, +)

Por lo tanto, el punto que se encuentra en el segundo cuadrante del plano cartesiano es ( – a, c – b).



Geometría de proporción Comprensión

Según los contenidos de congruencia la alternativa que explica mejor la relación de congruencia entre dos triángulos es: “tienen sus tres lados respectivamente congruentes”.



Transformaciones isométricas ASE

Para trasladar al punto ( – 2, – 3) hasta las coordenadas (1, – 4), fue necesario desplazarlo tres unidades a la derecha y una hacia abajo, es decir, se le aplicó un vector traslación T(3, – 1). Luego, al aplicar la misma traslación al punto ( – 4, 1), se obtiene: ( – 4 + 3, 1 + ( – 1)) = ( – 1, 0)



Transformaciones isométricas Aplicación

A continuación se debe deducir información acerca del punto (1, – 7), respondiendo solo aquellas que son verdaderas. I)

Falsa, ya que como si al punto (1, – 7) se le aplica una traslación según el vector T( – 4, 3), se tiene (1, – 7) + ( – 4, 3) = ( – 3, – 4).

II)

Verdadera, ya que según la tabla de rotaciones, cuando se rota un punto en 270º con respecto al origen, se obtiene el punto (y, – x), por lo tanto para el punto (1, – 7) se obtiene ( – 7, – 1).

III)

Verdadera, ya que en una simetría con respecto al eje de las ordenadas, solo hay cambio de signo en la abscisa, obteniéndose el punto ( – 1, – 7).

Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.



Geometría de proporción Aplicación

Aplicando el teorema de la tangente con la secante, obtenemos 2

SP



2

SP



(Para que Q sea el punto medio, entonces RQ

RP QP 

RP

RP



2



QP

RP 

2

)

(Multiplicando)

2

RP

2

SP

SP



RP 

2

SP

(Aplicando raíz cuadrada)

2

(Racionalizando)

2

RP 



2

SP 

2

2 RP 

2

2

RP

2

Entonces, Para que Q sea el punto medio del segmento RP , la medida de a

RP por

2 2

SP debe

ser igual

.



Circunferencia Comprensión

En una circunferencia, un ángulo del centro mide lo mismo que el arco que subtiende. Como el arco DA mide 120°, entonces  DOA = 120°. Dado que  DOA y  AOB son adyacentes, entonces  AOB = (180° – 120°) = 60°. Por lo tanto, la medida del ángulo x es 60°.




Como DE y AB son paralelas, se puede utilizar el teorema de Thales. Luego,

CD DE

CA 

AB

.

Reemplazando los valores correspondientes, se obtiene: 5

14 

4



5 · AB  4 ·14  AB 

4 ·14

AB

56 

5

5




Como el triángulo ABC es rectángulo en C y CD es altura, se puede utilizar el teorema de Pitágoras y el de Euclides. Por teorema de Pitágoras AB mide 10, ya que 6, 8 y 10 forman el trío pitagórico 3k, 4k y 5k, con k = 2. Por teorema de Euclides

CD

6 ·8 

Por lo tanto, el valor de CD es

10 24 5

24 

5

.



Circunferencia Aplicación

El arco completo de una circunferencia mide 360°. Entonces, al sumar los tres arcos de la figura: (2p + 30°) + (p + 10°) + p = 360° 4p + 40° = 360° 4p = 320° p = 80°

(Despejando)

En una circunferencia, un ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende. Como x  p  10   80  10   90  subtiende al arco (p + 10°), entonces x =     = 45°. 2 2 2       Por lo tanto, el ángulo x mide 45°.



Geometría de proporción Comprensión

I)

Verdadera, ya que el teorema de Euclides establece esta afirmación.

II)

Verdadera, ya que corresponde a un criterio de semejanza.

III)

Verdadera, ya que la razón entre sus áreas corresponde al cuadrado de la razón de semejanza entre dos triángulos semejantes.

Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.



Geometría de proporción ASE

(1) El triángulo PQR es equilátero. Con esta información, se puede afirmar que el triángulo ABC es semejante con el triángulo PQR, ya que dos triángulos equiláteros siempre son semejantes entre sí. (2) El segmento AR es paralelo con el segmento QP. Con esta información, no se puede afirmar que el triángulo ABC es semejante con el triángulo PQR, ya que no quedan determinados los ángulos del triángulo PQR. Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.



Geometría analítica ASE

Sea R el punto (-2, 0). Podemos notar que se forma un triángulo rectángulo entre los puntos P, Q y R. Acorde a la figura, podemos ver las medidas de los segmentos RP = (a + 2), QR = a, PQ = 2

RP



2

a 

a

2

QR





.Luego, utilizando el teorema de Pitágoras, se puede plantear

6



2

2

a



2

PQ

2

(Reemplazando los valores de los segmentos) 2

(Desarrollando las potencias)

6



4a  4  a

2



(Reduciendo términos semejantes y reordenando)

6

2

(Dividiendo por 2)

2a  4a  2  0 a

2





(Buscando las soluciones a la ecuación cuadrática)

2a  1  0



x

1, 2

(2) 2

2

 4  1  ( 1)



2

2 1

8



2

2

Por lo que las soluciones a la ecuación son

2 2

2 1

2 y

 1 

1

que a > 0, por lo que tomamos la solución positiva, es decir Por lo tanto, el valor de a es

2

2

. Desde la gráfica, vemos

1

2

.

2  1 .



Geometría analítica Aplicación

La pendiente de una recta que pasa por los puntos (x 1, y1) y (x2, y2) se calcula como m



y 2



y1

x 2



x1



m

 

5 3





. Luego, la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(3, 7) y B( – 3, – 5) es

7 3



12

 

6



2

Por lo tanto, la recta que pasa por dichos puntos tiene pendiente 2.




Si el punto (2, – 1) pertenece a la recta, se debe reemplazar en la ecuación y mantenerse la igualdad. Luego, nx – 3y = 7 (Reemplazando x = 2 e y = – 1 ) n · 2 – 3 · ( – 1) = 7 2n + 3 = 7 2n = 4 n=2




I) Falsa, ya que si p = 0, entonces L1 queda 1 = x, que corresponde a una recta vertical, o sea paralela al eje Y. II) Verdadera, ya que si p = 1, entonces L1 queda y + 1 = x + 1, que al despejar resulta y = x. Al despejar L2 resulta y = – x + 1. Luego, como el producto de sus pendientes es igual a – 1, entonces L1  L2. III) Verdadera, ya que si p = – 1, entonces L1 queda – y + 1 = x – 1, que al despejar resulta y = – x + 2. Al despejar L2 resulta y = – x + 1. Luego, como tienen igual pendiente y distinto coeficiente de posición, entonces L1 // L2. Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.




(1) P y Q pertenecen a una recta que es paralela al eje Y. Con esta información, no se puede calcular las coordenadas del punto Q, ya que solo se puede saber que ambos puntos tienen la misma abscisa. (2) P y Q están a dos unidades de distancia. Con esta información, no se puede calcular las coordenadas del punto Q, ya que podría corresponder a cualquier punto de la circunferencia de centro P y radio 2. Con ambas informaciones, no se puede calcular las coordenadas del punto Q, ya que hay dos puntos, (3, 5) y (3, 9), que cumplen con ambas condiciones. Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.




El volumen de un cubo se calcula como el cubo de su arista. Luego, la arista de un cubo es igual a la raíz cúbica de su volumen. Entonces, la arista del cubo

3

216

La diagonal de una cara de un cubo es igual a su arista multiplicada por Por lo tanto, la diagonal de una de sus caras mide

6 2



6 m. 2

.

m.



Cuerpos geométricos Aplicación

Para calcular la diferencia entre los volúmenes de dos cubos, se deben hallar los volúmenes por separado. El volumen del cubo con arista (x + 2) cm, es (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8. El volumen del cubo con arista x cm, es x3. Luego, la diferencia entre los volúmenes es 6x2 + 12x + 8.



Cuerpos geométricos Aplicación

Al girar el cuadrado de la forma descrita, se forman dos conos unidos por sus bases, de radio

2

y generatriz 2. El área lateral de un cono se calcula como · radio · generatriz,

por lo cual el área lateral de cada cono es ·

2

·2=

2 2



2

2

El área total del cuerpo que se forma corresponde a dos áreas laterales, es decir, 2·( 2 =

4 2

2 )



Por lo tanto, se forma un cuerpo geométrico cuya área total es

4 2

.




Dadas las coordenadas de los puntos, es posible obtener las medidas de los segmentos: AD = 1, DC = 1, AB =

2

y CB =

2

. Luego:

A) Verdadera, ya que DC  AD , CB  AB y LLL, se cumple que  DBC   DBA. B) Verdadera, ya que plano.

AB se

DB es

un lado común. Luego, por el criterio

encuentra en el plano XY y

AD es

perpendicular con dicho

C) Verdadera, ya que ambos ángulos miden 90º. D) Verdadera, ya que el triángulo ABC es equilátero, por lo cual todos sus ángulos interiores miden 60º. E) Falsa, ya que tienen distinta inclinación con respecto al plano XZ. Por lo tanto, la afirmación falsa es

DC // AB .



Datos Comprensión

Al ordenar una muestra estadística de menor a mayor, y dividirla en quintiles, se forman cinco grupos donde cada uno contiene al 20% de los datos. Entonces, el segundo quintil es el valor bajo el cual se encuentra el 40% de los datos. Luego: I) Falsa, ya que el percentil 60 es el valor bajo el cual se encuentra el 60% de los datos. II) Falsa, ya que el primer cuartil es el valor bajo el cual se encuentra el 25% de los datos. III) Falsa, ya que la mediana es el valor bajo el cual se encuentra el 50% de los datos. Por lo tanto, ninguna de las afirmaciones es verdadera.



Datos Aplicación

I) Verdadera, ya que las marcas de clases de los intervalos son 18 años, 21 años y 24 años. Luego, el promedio obtenido a partir de la marca de clase es x 

18  16  21  8  24  6 16  8  6



288  168  144 30

600 

30



20

II) Verdadera, ya que el intervalo modal es aquel que tiene mayor frecuencia, y esta corresponde al intervalo [17 – 19[. III) Falsa, ya que en total la muestra tiene 30 datos, por lo cual la mediana corresponde al promedio entre los datos en las posiciones 15 y 16. Como ambos datos están en el intervalo [17, 19], entonces en dicho intervalo se encuentra la mediana. Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.



Datos ASE

En una tabla de distribución de frecuencias, la frecuencia acumulada de un dato xi corresponde a la suma de frecuencias desde el dato x1 hasta el dato xi. Luego: * La frecuencia acumulada del dato A es igual a la frecuencia del dato A. Entonces, la frecuencia del dato A es 14. * La frecuencia acumulada del dato C es igual a la suma de las frecuencias del dato A, del dato B y del dato C. Entonces, (14 + n + 2 + n) = 36, que al despejar resulta 2n = 20. Es decir, n = 10. * La frecuencia acumulada del dato B es igual a la suma de las frecuencias del dato A y del dato B, es decir, (14 + n + 2) = (14 + 10 + 2) = 26. Por lo tanto, la frecuencia acumulada del dato B es 26.



Datos Aplicación

I)

Verdadera, ya que el intervalo con mayor frecuencia es e primero, que corresponde a 0 – 2.

II)

Verdadera, ya que calculando el promedio, a partir de la marca de case, se obtiene: x 

III)

1· 6  4 · 4  7 · 2 12



6  16  14 12

36 

12



3.

Falsa, ya que no es posible saber cuántas familias tienen 0 niños, puesto que la información está agrupada.

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.



Datos Aplicación

Para obtener las medidas de posición pedidas, siempre es conveniente agregar la columna de frecuencias acumuladas: Frecuencia

Dato

Frecuencia

1

20

20

2

15

35

3

35

70

4

30

100

acumulada

Como en este caso son 100 datos, entonces la posición porcentual de los datos ordenados coincide con su posición real. Luego: I)

Falsa, ya que percentil 30 significa el dato en la posición 30. Como el dato 2 ocupa la posición 21 a la 35, entonces el percentil 30 es 2.

II)

Falsa, ya que cuartil 3 significa el dato en la posición 75. Como el dato 4 ocupa la posición 71 a la 100, entonces el cuartil 3 es 4.

III)

Falsa, ya que decil 8 significa el dato en la posición 80. Como el dato 4 ocupa la posición 71 a la 100, entonces el decil 8 es 4.

Por lo tanto, ninguna de las afirmaciones es verdadera.



Datos Comprensión

I) No se puede calcular, ya que se necesita la frecuencia de cada dato, lo que se desconoce. II) No se puede calcular, ya que se necesita la frecuencia de cada dato, lo que se desconoce. III) Se puede calcular, ya que corresponde a la diferencia entre los valores extremos, que son 1 y 2. Luego, el rango del conjunto es 1. Por lo tanto, solo III se puede calcular solo con los datos entregados.



Datos Aplicación

La varianza de un dato en un conjunto es igual al promedio de los cuadrados de las diferencias entre cada dato y la media del conjunto. O sea, si el conjunto tiene tres (x1  x) 2  (x 2  x ) 2  (x 3  x) 2 2 elementos la varianza es σ  . 3 El conjunto es {6, 6, 9}, luego el promedio entre los datos del conjunto es x



669 3

21 

3



7.

Por lo tanto, la varianza es (6  7) 2  (6  7) 2  (9  7) 2 2 σ



3



(1) 2



(1) 2



22

3



11 4 3



6 3



2



Datos ASE

El promedio del conjunto M es x



p  1  p  1



2

del conjunto M se tiene: (x  (p  1)) 2  (x  (p  1)) 2 2 σ



2



(p  p  1) 2

2p



p . Luego, calculando la varianza

2 

2

(p  p  1) 2



12



2

12



2



1

2

La desviación estándar de M es    2  1  1 . Es decir, la varianza y la desviación estándar son iguales a 1, y no dependen del valor de p. Por lo tanto, la afirmación verdadera es “la desviación estándar de M es igual a la varianza de M”.



Datos ASE

(1) Las medias de todas las muestras de tamaño 4 que se pueden extraer de la población. Con esta información es posible determinar la media de una población de n elementos, ya que la media de todas las medias muestrales posibles es igual a la media poblacional. (2) Las medias de todas las muestras de tamaño 3 que se pueden extraer de la población. Con esta información es posible determinar la media de una población de n elementos, ya que la media de todas las medias muestrales posibles es igual a la media poblacional. Por lo tanto, la respuesta correcta es cada una por sí sola, (1) o (2).



Datos Comprensión

i

a n a i d e

En una distribución asimétrica a la izquierda, como muestra la figura, el orden creciente en las medidas de tendencia central es: media aritmética < mediana < moda. La moda corresponde al valor donde es máxima la frecuencia, la mediana corresponde al valor que divide la figura en dos áreas iguales y la media aritmética es mayormente sensible a los datos menores de la “cola” de la gráfica, lo que explica el orden creciente indicado.



Datos ASE

La información del enunciado plantea que La desviación estándar es 50   50 El intervalo de confianza es [508,08; 515,92] Un coeficiente asociado al nivel de confianza igual a 1,96  

z





1,96

2

A partir del intervalo de confianza, podemos deducir que el error es: 515,92



508,08 

2

3,92

Por ende, de la fórmula para calcular el error del intervalo de confianza, podemos establecer que  

z



n



(Reemplazando los valores conocidos)

3,92

2

50 

1,96



(Despejando la raíz de n queda)

3,92

n

50 3,92

50 2 25







1,96

n



n

n

(Simplificando) (Dividiendo) (Elevando al cuadrado)}

625 = n Por lo tanto, se utilizaron 625 para determinar el intervalo de confianza.



Azar Comprensión

La probabilidad del suceso contrario se obtiene al restar a 1 la probabilidad del suceso. P(no ocurra el suceso) = 1 – a.



Azar Comprensión

Se puede calcular la probabilidad usando la regla de Laplace, y considerando que no son discos de heavy metal los de jazz (15) y los de rock (12): 15 + 12 = 27. casos _ favorables 27 3 P(NO escoger un disco de música heavy metal ) = . 45 5 casos _ posibles 





Azar Comprensión

La probabilidad de extraer al azar una bolita roja de una caja es

2 5

. Esto indica que por

cada 5 bolitas que hay en la caja, 2 son rojas. En la alternativa D), si la caja tiene 30 bolitas blancas y 20 rojas, el total de bolitas serán 20 2 50. Por lo tanto, la probabilidad de obtener una roja será . 50 5 



Azar Comprensión

Al lanzar un dado común, los números primos que se pueden obtener son 2, 3 y 5. O sea, la probabilidad de que al lanzar un dado común salga un número primo es I)

6



1 2

. Luego:

Tiene la misma probabilidad, ya que al lanzar un dado común, los números pares que se pueden obtener son 2, 4 y 6. O sea, la probabilidad de que salga un número par es

II)

3

3 6

1 

2

.

Tiene la misma probabilidad, ya que al lanzar un dado común, los números impares que se pueden obtener son 1, 3 y 5. O sea, la probabilidad de que salga un número impar es

3 6

1 

2

.

III)

NO tiene la misma probabilidad, ya que los dos posibles resultados que se pueden obtener al lanzar una moneda son cara y sello. Entonces, la probabilidad de obtener uno u otro es 1.

Por lo tanto, solo los eventos I y II tienen la probabilidad pedida.



Azar Aplicación

Se debe encontrar la probabilidad de que ocurran ambos eventos a la vez, entonces: 4 P (anotar ) 5 1 P(no anotar ) 5 4 1 4 P(anotar ) · P(no anotar ) · 5 5 25 









Azar Aplicación

Como el experimento de extracción es sin reposición, el segundo evento dependerá del primer evento. Si definimos el evento A como “se extrae primero un 9”, y el evento B como “se extraer segundo un 5”, entonces la probabilidad que ocurra A y B es: P(A y B) = P(A) · P(B/A) =

4 48

4 

47



Azar ASE

Al lanzar tres veces un dado común, la cantidad de posibles resultados es 6 3 = 216, de los cuales son 15 aquellos donde la suma de las caras es 15: {(5, 5, 5), (6, 6, 3), (6, 3, 6), (3, 6, 6), (6, 5, 4), (6, 4, 5), (5, 6, 4), (5, 4, 6), (4, 6, 5), (4, 5, 6)} Luego, la probabilidad de que sus caras sumen 15 es

10 216

5 

108



Azar ASE

(1) N = 20. Con esta información, no es posible determinar los valores que puede tomar la variable X, ya que no se conoce los valores escritos en las tarjetas. (2) Dos tarjetas tienen escrito el número 1 y el resto, es decir, al menos dos tarjetas, el número 2. Con esta información, es posible determinar los valores que puede tomar la variable X, ya que pueden salir dos 1, dos 2, o un 1 y un 2. Luego, los posibles valores de X son 1, 2 o 4. Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.



Azar Aplicación

Si la mitad de las mujeres está casada y 8 de los hombres no está casado, entonces 12 mujeres están casadas y 8 hombres están casados. En total, hay 20 personas casadas, entre las cuales hay 8 hombres. Entonces, según la regla de Laplace, la probabilidad de escoger al azar un hombre entre las casos favorables 8 2 personas casadas es P = . casos posibles 20 5 



Por lo tanto, si entre las personas casadas se escoge una al azar, la probabilidad de que sea hombre es

2 5

.

Solucionario Ensayo MT 054 2016

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