Solucionario Ensayo MT 034 2016

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SOLUCIONARIO ENSAYO MT- 034

1 V 6 1 A 4 3 0 T M S E C S N E S

1. La alternativa correcta es D.

Unidad temática Habilidad

Números racionales Aplicación

Si x es la cantidad de monedas de $500, se tiene la ecuación: 18 ∙ $50 + 12 ∙ $100 + x ∙ $500 = $5.100 900 + 1.200 + 500x = 5.100 500x = 5.100 – 5.100 – 2.100 2.100 500x = 3.000 x=6 Por lo tanto, Matías tiene 6 monedas de $500. Luego, si cambia todas las monedas de $100 por monedas de $50, la cantidad de monedas se duplicará, es decir, tendrá 12 ∙ 2 = 24 monedas de $50. Finalmente, la cantidad de monedas totales que tiene Matías es: 18 + 24 + 6 = 48 monedas. 2. La alternativa correcta es E.


Potenciación Aplicación

Al factorizar la expresión tanto en el numerador como en el denominador, se obtiene: 19 4 (19  1) 19 4 (19  1)

, luego al simplificar por

19

4

y desarrollar el paréntesis queda

18 20



Números racionales Aplicación

El doble de las tres cuartas partes del quíntuple de los dos tercios de 30 es

2

2

3 4

5

∙ 2 3

 30  150

3 4

∙

5

∙

2 3

∙

9 

30 =

10

4. La alternativa correcta es C.


Números racionales ASE

Dado que M contiene todos los divisores de un número mayor que 1, entonces M tiene al menos a 1y al mismo número. Revisando cada alternativa: A) cuadrado perfecto. Verdadera, Verdadera, ya que M contiene a 1, y este es un cuadrado perfecto. B) dos elementos. Verdadera, ya que todo número mayor que 1 tiene al menos dos divisores, el 1 y sí mismo. C) un número par. Falsa, ya que todos los números impares no tienen divisores pares. D) un número primo. Verdadera, ya que todo número se puede descomponer en números primos. E) un número impar. Verdadera, ya que M contiene a 1, y este es un número impar. 5. La alternativa correcta es E.



Sea x un número natural,

4

x



4

1

x 





(factorizando por

x

4 (1  4)  5 4

4

x

)

x

Luego, 4 y 5 son factores de la expresión. Por ello, 2 (divisor de 4), 4 y 5 son divisores de la expresión, dado un valor de x perteneciente al conjunto de los naturales: I)

Verdadera, ya que 2 es divisor de 4.

II)

Verdadera, ya que según lo anterior 4 es divisor de la expresión.

III)

Verdadera, ya que según lo anterior 5 es divisor de la expresión.

Por lo tanto, la expresión

x

4

4

x 1

es siempre divisible por las tres afirmaciones.


Unidad temática Habilidad Sean P: número par I: número impar


Se cumple que: P+P=P P+I=I I+I=P

P∙P=P P∙I=P I∙I=I

Sea la situación inicial: 3a + 2b I)

Sea a = I y b = 0, reemplazando en la situación inicial, se obtiene: 3∙I+2∙b I + P I Luego, se obtiene un resultado impar.

II)

Sea a = P y b un número natural, reemplazando en la situación inicial, se obtiene: 3∙P+2∙b P + P P Luego, se obtiene un resultado par.

III)

Sea a = 0 y b = I, reemplazando en la situación inicial, se obtiene: 3∙0+2∙I P + P P Luego, se obtiene un resultado par.

Por lo tanto, solo en los casos II y III se obtiene un resultado par. 7. La alternativa correcta es E.



(1) a > c. Con esta información no se puede determinar el orden de las fracciones establecidas, pues no sabemos si b es positivo o negativo, luego no es posible saber qué fracción es mayor.

(2) a < b. Con esta información no se puede determinar el orden de las fracciones establecidas, pues no sabemos si b es positivo o negativo y tampoco podemos comparar los valores de a y c para determinar el orden. Con ambas información, no es posible establecer el orden entre las fracciones, pues solo podemos decir que b > a > c, pero no tenemos información respecto a si los valores son positivos o negativos. negativos. Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional. 8.

La alternativa correcta es D.

Unidad temática Habilidad I)

Potenciación Comprensión

Verdadera, ya que: log (abc) = log a + log b + log c (Propiedad del logaritmo de la multiplicación)

II)

Falsa, ya que el logaritmo solo está definido para argumentos positivos. Luego, como – como – a a < 0, entonces log (a) 1 está mal definido.

III)

Verdadera, ya que

2  log a log b



log a 2 log b



log b a 2

Por lo tanto, las igualdades I y III son siempre verdaderas. 9. La alternativa correcta es E.



Tenemos que loga m  p  a p



m , entonces

 1      m  log 1 m   p  a   1 1  1  1  log   a       p a m m  m   p

a

p

p

a

 1   m 

Reemplazando estos valores en la expresión log 1 m  log     p   p  2 p a

a

10. La alternativa correcta es B.

Unidad temática Habilidad 3

2 b 5

3

2 b 3

3

3

2 b 3

8  

3 2b

3



3

2

2 b 3



1 

8 

3





3



3

b 3

3

3


1 b 3

b 3

b 3





1

b 4

3

1  3

(Factorizando en cada raíz)



1

4

(Resolviendo los paréntesis)



1

4 

(Reescribiendo (Reescribiendo la potencia con exponente negativo como fracción)



(Multiplicando las fracciones)



8  4

2b  3

3

b 3

(Propiedad: división de raíces es igual a raíz de la división)

3

8  4

2b  3

3

b 3

(Dividiendo las potencias de igual base y simplificando)

b

3

2


Unidad temática Habilidad  2   

5

 5

10 

  

 5( 2  2 )      5  

Potenciación Aplicación (Factorizando el numerador por

(Simplificando por

5

)

2 2

Otra posibilidad para resolver es la siguiente:  2 5  10      5  

(Escribiendo como suma de fracciones)

5)

2 5

10 

(Simplificando por



5

5

2+

5)

2

12. La alternativa correcta es A.


Números irracionales ASE

Se tiene que: log log 4 130 

x

log 3 80 , luego se establece la relación  log rel ación

log log 4 128  log log 4 130  log log 4 128 

log 2 128 log 4 128 7 2

 x 

3,5 

x 

 x 

x 

log log 3 80  log log 3 81, por lo que se tiene

log log 3 81

(Aplicando cambio de base)

log3 81

(Resolviendo los logaritmos) (Transformando la fracción a decimal)

4

x

4

Por lo tanto, x puede tomar cualquier valor entre 3,5 y 4, en particular el 3,7. 13. La alternativa correcta es C.



Se tiene que

 14

 14  5 

 3     2 

2



5

 9  70  5     4 

19  2

 9  70     4 



2

, entonces se puede establecer: (Resolviendo los paréntesis)





70 

2 70

3 

2

14  2

2





9 4

(Igualando denominador)

 19

9  76 4

(Restando 19 a ambos lados de la igualdad)

(Desarrollando)



2 70

70







67

(Dividiendo por – por – 2 2 a ambos lados)

4

67

 

(Transformando a decimal)

8

70



8,375

70



8,4

(Redondeando (Redondeando a la décima)




(1)  p  m es un número racional. Con esta información no es posible afirmar si la 

  representa un número racional, pues si amplificamos la expresión  p m  

expresión 

p

se obtiene (“racionalizando”): (“racionalizando”):  p  p  m p 2  pm p m     2 , pero como p y m son números irracionales, no se puede 2   p m p m  p m  

saber si p 2 y

m

2

serán racionales o irracionales.

(2) p es el doble de m. Con esta información sí es posible afirmar que la expresión  p    representa un número racional, ya que se tiene la relación p = 2m, entonces:  p m    p   2m   2m   2      r acional.      , que corresponde a un número racional. p m 2 m m 3 m 3          

Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.



Números complejos Comprensión

Sea z  a  bi un número complejo, con a, b  IR , luego su conjugado es

z



a



bi ,

entonces al sumar ambos números se obtiene: z  z  ( a  bi)  ( a  bi) z  z 

2a

Como a  IR , entonces la expresión obtenida siempre corresponde a un número real. 16. La alternativa correcta es E.


Números complejos Aplicación

Se desarrolla el producto, comenzando por el que está elevado a 2: (1  3i )  (3  2i ) 2



(1  3i )  (3  2i )(3  2i )  (1  3i )  (9  6i  6i  4i 2 )  (1  3i )  (9  12i  4  1)  (1  3i )  (9  12i  4)  (1  3i )  (5  12i )  5  12i  15i  36i 2



5  3i  36  1  5  3i  36  41  3i


Unidad temática Habilidad Se tiene que I)

z 1



Números complejos Aplicación 3



2i y z 2



3  2i

Verdadera, porque al desarrollar la suma se obtiene: z 1

 z 2 

(3  2i )  (3  2i )

z 1

 z 2 

3  3  2i  2i

z 1

 z 2 

6

II)

III)

Falsa, pues el producto queda: z1  z 2



(3  2i)  (3  2i)

z1  z 2



9  6i  6i  4i 2

z1  z 2



9  4  1

z1  z 2



94

z1  z 2



13

Falsa, porque al determinar el módulo de cada complejo se obtiene: 1 

(3) 2 (2) 2

2 

(3) 2 (2) 2

z

z

94





94





13 13

Es decir, son iguales. Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera. 18. La alternativa correcta es C.


Transformación algebraica Comprensión

El área de un cubo = 6∙ arista 2 Si la arista es igual a (x + y), entonces, al reemplazar: Área del cubo = 6 ∙ (x  y )2 19. La alternativa correcta es A.


Transformación algebraica ASE

Como (x  3) es factor de

ax

2

 bx 

c , entonces podemos decir que

ax 2  bx  c  (x  3)( px  q) , para algún p, q  IR

I)

Falsa, ya que si a = -3, se tiene que - 3x 2  bx  c  ( x  3)( px  q) - 3x 2  bx  c  px 2  qx  3 px  3q - 3x 2  bx  c  px 2

 3  p   b  q  3 c  3q 



(q  3 x) x  3q

(Desarrollando el producto) (Factorizando por x) (Igualando los términos semejantes de la igualdad)

De las últimas dos igualdades i gualdades se observa que los valores de b y c no son siempre iguales. II)

Verdadera, pues si (x + 2) es el otro factor entonces quedaría ax 2  bx  c  ( x  3)( x  2) ax

2

 bx  c  x

2

 x6

(Desarrollando el producto) (Igualando los términos semejantes de la igualdad)

a  1   b  1 c  6 

III)

Falsa, porque si a = 2, b = 1 y c = -15, al reemplazar los valores en la expresión queda (Factorizando) 2x  1x  -15  2x  x - 15 2

2x 2

2

 x 

15  ( x  3)(2 x  5)

Obteniéndose así así que el otro factor es (2x + 5) Por lo tanto, solo la afirmación II es siempre verdadera. 20. La alternativa correcta es D.


Ecuaciones y sistemas de primer grado ASE

Si despejamos x de la ecuación, se obtiene: ax  3 bx  5



(Multiplicando por (bx – (bx – 5) 5) a ambos lados de

7

ax  3  7( bx  5) ax  3  7 bx  35 ax



7 bx

35

 



3

x(a  7 b)  38 38 x a 7 b 38 x 7 b  a 

la igualdad) (Multiplicando por el paréntesis) (Restando 7bx y 3 a ambos lados de la igualdad) (Factorizando por x) (Dividiendo por (a – (a – 7b) 7b) a ambos lados) (Amplificando por – por – 1) 1)





I)

Verdadera, ya que si a = 2b, al reemplazar el la expresión obtenida, queda: x

38 

7 b



2 b

38 

5 b

II)

x

2

38 

7b 

III)

b

Falsa, ya que si a =

, reemplazando:

38

b



38

14b  b

2



13b

2



38 

13

b

38 

1

2 

13b

76 

13b

2

Verdadera, porque si a = b, al reemplazar en la expresión y simplificar, queda: x

38 

38

7b  b



19 

6b

3b

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas. 21. La alternativa correcta es A.


Ecuaciones y sistemas de primer grado Aplicación

Si el niño obtuvo C caras y S sellos, entonces: Como lanzón la moneda 24 veces, entonces se puede plantear C + S = 24. Como cada cara suma dos puntos y cada sello suma tres puntos, y obtuvo un total de 55 puntos, entonces entonces se puede puede plantear 2C + 3S 3S = 55. Luego, al resolver el sistema por sustitución resulta: C + S = 24  C = 24 – 24 – S S 2C + 3S = 55  2(24 – 2(24 – S) S) + 3S = 55 (Desarrollando) 48 – 48 – 2S 2S + 3S = 55 S = 55 – 55 – 48 48 S=7 Por lo tanto, obtuvo 7 veces sello en la moneda. 22. La alternativa correcta es C.


Verdadera, ya que si b = – = – 2a, 2a, entonces: r 

II)

Transformación algebraica ASE

a  2a

 

c

a

c

Verdadera, pues si 3a = c, al reemplazar y simplificar, queda r 

a  b 3a



a 3a



b 3a



1 3



b 3a

III)

Falsa, pues si a = b = – = – c, c, entonces r 

a





a

a

2a 

a

 2

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas. 23. La alternativa correcta es B.

Unidad temática Habilidad x2

 12x  36 

Ecuación de segundo grado y función cuadrática Aplicación 0

(Factorizando)

(x + 6) (x + 6) = 0 Los valores de x para que ambos factores sean cero, son – son – 6 6 y – y – 6. 6. Por lo tanto, t anto, las dos raíces son negativas e iguales. 24. La alternativa correcta es D.


Ecuación de segundo grado y función cuadrática ASE

p x  q  0 , tiene raíces reales iguales si su discriminante es igual a La ecuación x 2  3 px cero. Luego, Luego, el discriminante es   (3 p) 2  4 1 q  9 p 2  4q 2

 3 p  (1) q    . Con esta información sí se puede determinar si las raíces de la ecuación  2 

son reales e iguales, pues al reemplazar esta relación en la expresión obtenida anteriormente, queda 2

 3 p    9 p  4  ,  2  2



9 p 2

 4

9

p 2 4

 9 p 2  9 p 2 

(Desarrollando el cuadrado) (Multiplicando) (Restando)

0

Por lo que, como el discriminante d iscriminante es cero y eso quiere decir que las raíces son reales e iguales.

(2) q = 4p + 1 y p = 11 – 11 – q. q. Con esta información sí es posible determinar si las raíces de la ecuación son reales e iguales, i guales, pues nos quedarían el sistema q – 4p 4p = 1 q + p = 11 Al resolver el sistema (restando ambas ecuaciones) se obtiene que 5p = 10, p = 2  q

=9

Luego, al reemplazar estos valores en el discriminante queda

  9(2)

2

 49 

0.

Por lo que, como el discriminante es cero y eso quiere decir que las raíces son reales e iguales. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola, (1) ó (2). 25. La alternativa correcta es E.


Desigualdades, Desigualdades, inecuaciones y función potencia Comprensión

Los números que se encuentran a lo menos a 5 unidades de 9 son los que pertenecen al intervalo ] ,9 5] U [9  5,[ , que equivale a ]  ,4] U [14,[ . Por otro lado, los números que se encuentran a lo más a 12 unidades de 9 pertenecen al intervalo i ntervalo [9  12,9  12] = [3,21] . Al intersectar ambos intervalos i ntervalos se obtiene ( ] ,4] U [14,[ ) ∩ ( [3,21] ) = [ – – 3, 3, 4] U [14, 21] 







Desigualdades, Desigualdades, inecuaciones y función potencia Aplicación

Se resuelven las inecuaciones por separado. La primera inecuación: 7 x 4

5

7 x  20 4

2x 



3 4

8x  3 4

7 x  20  8x  3 23  x

(Sumando las fracciones) (Multiplicando por 4 a ambos lados) (Despejando (Despejando x)

La segunda inecuación: 9  2( x  3)

(Multiplicando por el paréntesis)

9  2x  6

(Restando 6 a ambos lados)

3  2 x

(Dividiendo por 2)

3 2

 x

La solución corresponde a la intersección de ambos intervalos: [23,[

3

∩ [ ,[ = [23,[ 2


Unidad temática Habilidad 10 – 6x 6x 7 – 3x 3x > 10 – 6x – 3x 6x – 3x > 10 – 10 – 77 3x > 3 x>1

Desigualdades, Desigualdades, inecuaciones y función Aplicación (Despejando x) (Resolviendo) (Dividiendo por 3)

Por lo tanto, el conjunto solución de la inecuación es]1, es]1, + ∞[ .



Función afín y función lineal Comprensión

Según la gráfica, la recta intersecta al eje X en 1 y al eje Y en – 3. 3. Por lo tanto, debido a la inclinación de esta, su pendiente es positiva y su coeficiente de posición es – 3. 3. Luego, la única alternativa que cumple con estas condiciones es la C.



Teoría de funciones ASE 2

Verdadera, porque si a =

7

, entonces:

g ( f ( 2))  g (2  2  3) g ( f ( 2))  g (4  3) g ( f ( 2))  g (7) g ( f ( 2)) 

2

7 1 7 g ( f ( 2))  2  1 g ( f ( 2))  3

II)

Verdadera, ya que si f(g(7)) = 19, entonces: f ( g (7))  f (a  7  1)  19

III)



f (7 a  1)  19



f (7 a  1)  2(7a  1)  3  19



14a  2  3  19



14a  5  19



14a



a





14

1

Falsa, pues si a = 0, entonces f ( g (2))  f (0  2  1)  f (0  1)  f (1)  2  1  3  5

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas. 30. La alternativa correcta es A.


Función afín y función lineal ASE

Si por cada 5 cucharadas de polvos de hornear (llamaremos a la variable p) se agregan 3 cucharadas cucharadas de harina (la (l a llamaremos h), entonces se puede establecer la proporción p h

I)

5 

3

Verdadera, porque al agregar A cucharadas de harina, la proporción recién establecida queda

p A



5 3

, despejando p queda p 

5 A 3

.

II)

Falsa, ya que si de la proporción

p h

5 

3

, se despeja la variable polvos de hornear 5

5

(p), queda p  h , por lo que p en función de h es f ( x) 3

de cucharadas de harina. III)



3

x , con x la cantidad

Falsa, pues si se agregan 4 cucharadas cucharadas de harina (h = 4), al reemplazar en la proporción queda queda

5

p 

4

3

. Al despejar la cantidad de cucharadas de polvo de

hornear se obtiene p  4 

5 3

20 

3



6

Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera. 31. La alternativa correcta es D.

Unidad temática Habilidad 25

x

= 1

1 6 x

125  5

5 

1 6 x

5 5 5 5

3

5 5 5

(Expresando 25 y 125 como potencias de 5)

x

2

3

Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada Aplicación

= 1

(Aplicando propiedad: potencia de potencia)

=1

(Aplicando: multiplicación de potencias de igual base)

2 x

 516

x

2 x

= 1

4  6 x

8 x  4

= 1

58 x 4 =

5

0

(Aplicando: división de potencias de igual base) (Expresando (Expresand o 1 =

(Despejando 8x)

8x = 4

(Despejando x)

4

1 

8

2

0

)

(Igualando exponentes)

8x – 8x – 44 = 0

x=

5

32. La alternativa correcta es E.


Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada Comprensión

De la gráfica podemos observar que la imagen de x = 3 es – 1. 1. Luego, la alternativa en que esta igualdad está mejor representada es en la E.  1  k (3)  log 1 (3  1)  log 1 (2)  log 1   2 2 2 2  

1

 1 .



Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada ASE

(1) m < 0. Con esta información, se puede determinar el dominio de la función real g(x), ya que se necesita que mx sea mayor o igual que 0. Entonces, si m es negativo significa que x debe ser menor o igual que 0, es decir, Dom g = ] – ] – ∞, ∞, 0]. (2) d = 2. Con esta información, no se puede determinar el dominio de la función real g(x), ya que no es posible establecer la restricción para la cantidad subradical. Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola. 34. La alternativa correcta es B.


Ecuación de segundo grado y función cuadrática ASE

I)

Falsa, ya que al reemplazar (1 – a) a) en la función f unción resulta p(1 – p(1 – a) a) = 1 – 1 – (1 – (1 – a)² a)² = 1 – 1 – (1 – (1 – 2a 2a + a²) = (1 – (1 – 1 1 + 2a – 2a – a²) a²) = (2a – (2a – a²). a²).

II)

Falsa, ya que al reemplazar 3a en la función resulta 1 – (3a)² = (1 – 9a²). En cambio, 9 · p(a) = 9 · (1 – (1 – a²) a²) = (9 – (9 – 9a²). 9a²).

III)

Verdadera, ya que al reemplazar a – 1 en la función resulta 2  1  a  1 p(a ) = 1  (a )  (1  a )  1  2   2 . a  a 

– 1

Por otro lado,

1 2

2

p(a) p (a)



a2

 

(1 a 2 )

a2



a2





a2

1

.

Por lo tanto, solo la afirmación III es siempre verdadera.



Desigualdades, Desigualdades, inecuaciones y función potencia Comprensión

Para determinar el capital acumulado con una tasa t asa de interés compuesto: C = K ∙ 1  i%n Donde: C: Capital acumulado K: Capital inicial i: tasa de interés (%) n: número de períodos considerados En este caso: K=$m i=i n = 4t Se cumple que n = 4t. Como el período es trimestral, en cada año hay cuatro períodos, y en t años, habrá 4t períodos. Reemplazando los valores en la fórmula de interés compuesto, obtenemos: obtenemos: i    1   C=m∙ 100  

4t

i    Por lo tanto el capital acumulado al cabo de t años es igual a m ∙ 1   100 

4t



Desigualdades, Desigualdades, inecuaciones y función potencia ASE

El gráfico de una función es una parábola si el exponente de la función es par. I)

Falsa, ya que si f(2) = 9, entonces f(2) = 2a + 1 = 9 a  2 = 8  a = 3 Luego, la gráfica de la función no es una parábola.

II)

Verdadera, ya que si f(2) = 5, entonces f(2) = 2a + 1 = 5 a  2 = 4  a = 2 Luego, la gráfica de la función es una parábola.

III)

Verdadera, ya que si f(2) = 17, entonces f(2) = 2a + 1 = 17 a  2 = 16  a = 4 Luego, la gráfica de la función es una parábola.

Por lo tanto, las afirmaciones II y III son verdaderas. 37. La alternativa correcta es A.


Transformaciones Transformaciones isométricas Comprensión

Como los puntos R y S son simétricos con respecto a la recta L, entonces la distancia entre el punto R y la recta L debe ser igual a la distancia entre la recta L y el punto S. Dicha distancia es horizontal y su medida es (p – (p – ( ( – – 1)) 1)) = (p + 1), como indica la figura. y L R

–

S

•

•

p

1

p + 1

2p + 1

x

p+1

Entonces, si se agrega esa distancia a la derecha de la recta L, resulta (p + (p + 1)) = (2p + 1), que corresponde a la abscisa (coordenada x) del punto S. Por lo tanto, la abscisa del punto S siempre se puede expresar como (2p + 1). 38. La alternativa correcta es E.


Transformaciones Transformaciones isométricas Aplicación

Primero se traslada el punto R(1, – 3) 3) al origen para realizar la rotación. Para ello, se traslada según el vector T( – T( – 1, 1, 3). Se aplica este vector a Q( – Q( – 1, 1, 2), obteniéndose el punto Q’(– 2, 5). Luego se aplica la rotación en 90° al nuevo punto, obteniéndose el punto Q’’( Q’’( – – 5, – 5, – 2). 2). Finalmente se aplica una traslación según el vector – T T = (1, – (1, – 3), 3), obteniéndose el punto Q’’’(– 4, – 4, – 5). 5).




Una rotación negativa de 90° es igual a una rotación positiva de 270°. O sea, si a un punto (x, y) se le aplica una rotación negativa de 90° en torno al origen, resulta el punto (y, – (y, – x). x). Entonces, si al un punto (2, 3) se le aplica una rotación negativa de 90° en torno al origen, resulta el punto (3, – (3, – 2). 2). Si luego se le aplica una traslación cuyo vector es T( – T( – 1, 1, 6) resulta (3, – (3, – 2) 2) + ( – – 1, 1, 6) = (3 + ( – ( – 1), 1), ( – – 2) 2) + 6) = (2, 4) Por lo tanto, el nuevo punto es (2, 4). 40. La alternativa correcta es C.


Geometría de proporción ASE

Según las indicaciones del enunciado, el dibujo puede quedar de esta forma, para un mejor análisis D

Q

R

A

C

S

P

B

Luego, es más claro observar que la única pareja de triángulos congruentes son QSC y BSP, ya que se tiene  BQC BQC  QB QBP P

(por ser ángulos entre paralelas)

QC  PB PB

(por ser lados opuestos del rectángulo QCBP)

QCP   BP BPC

(por ser ángulos entre paralelas)

Siendo los triángulos QSC y BSP congruentes por criterio ALA.




a  b  (2,3)  (1, p)  (1,5) 

(2  1,3   p)  (1,5)



(1,3  p)  (1,5)

Igualando las segundas coordenadas, queda  3  p  5   p  2 

p



2



Transformaciones Transformaciones isométricas ASE

I)

Verdadera, ya que al girar en 90° M respecto a P, se realizan los siguientes pasos: Se traslada el punto P(2a, a) al origen según el vector T( – T( – 2a, – 2a, – a). a). Se aplica el vector T a M(a, 2a), obteniéndose M’(– a, M’(– a, a) Se gira M’ respecto al origen en 90°, quedando M’’(– a, M’’(– a, – – a) a) Se traslada traslada el punto M’’ según el vector – T – T = (2a, a), quedando M’’’(a, 0) M’’’(a, 0)

II)

Falsa, pues el simétrico de P respecto a M corresponde a una rotación en 180° de P respecto a M. Para ello se realiza el siguiente procedimiento: Se traslada el punto M(a, 2a) al origen según el vector T( – T( – a, – a, – 2a). 2a). Se aplica el vector T a P(2a, a), obteniéndose P’(a, – a) – a) Se gira P’ P’ respecto al origen en 180°, quedando P’’(– a, a, a) Se traslada el punto P’’ P ’’ según el vector – T T = (a, 2a), 2 a), quedando M’’’(0,3a) M’’’(0,3a)

III)

Verdadera, pues el vector de traslación desde M a P corresponde a la diferencia P(2a, a) – a) – M(a, M(a, 2a) = T(a, – T(a, – a) a)

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas. 43. La alternativa correcta es B.


Circunferencia Comprensión

Un ángulo inscrito en una circunferencia mide la mitad del arco que subtiende. O sea, como el  ABC mide 80°, entonces el arco AC mide 160°.

44. La alternativa correcta es E.


Geometría de proporción Comprensión

Se puede utilizar el teorema de Thales, obteniéndose: b

a 

x b

1 

x

x

(Simplificando por a)

ka

k

(Despejando x)

kb



Por otro lado, también se tiene que: x



y

b

kb y

(Reemplazando (Reemplazando el valor obtenido de x)

c

b 

(Despejando y)

c

y



kb

y



kc

c

(Simplificando por b)

b

I)

Falsa, porque x + y = kb + kc = k(b k (b + c)

II)

Falsa, porque

III)

Falsa, porque x  y  kb  kc  k 2 bc

x y

kb 

kc

b 

c

Por lo tanto, ninguna de ellas es siempre verdadera. 45. La alternativa correcta es D.



Se tiene que: CBA CBA  QPR   BCA  RQP 

60

(Triángulo TQC es equilátero)

Por lo tanto, por el criterio AA, se tiene que ABC ~ RPQ . Entonces, se tiene la siguiente proporción:

AC RQ

BC



PQ

AT  TC RQ AT  1 4



AT  1  AT 

17 3



BC PQ

5 3 20 3 cm



Geometría de proporción Aplicación

Según el teorema de la secante con la tangente, en este caso se cumple que HM GM FM . Luego, reemplazando los valores conocidos: 2





8 · GM = 10²

 GM

=

100

= 12,5 cm



GH = (GM – (GM – HM) HM) = (12,5 – (12,5 – 8) 8) = 4,5 cm

8

Por lo tanto, la medida de GH es 4,5 cm. 47. La alternativa correcta es D.


Circunferencia Aplicación

Como PQ es tangente en T a la circunferencia de centro O, entonces PQ  TO . Dado que además PQ // RO , entonces TO  RO , lo que significa que el arco TR mide 90º. Si  ROB = 50º, entonces el arco RB también mide 50º. Como AB es diámetro de la circunferencia, entonces: Arco AT + Arco TR + Arco RB = 180º  Arco AT = (180º – (180º – 90º – 90º – 50º) 50º) = 40º Por lo tanto, la medida del arco AT es 40º.




Considerando las relaciones métricas en un triángulo rectángulo y sabiendo que CAD  60 CAD

a

, tenemos que si AC =

a

, entonces AD = y que DC= 2

Asimismo, en el triángulo BDC se tiene que por las relaciones relaciones métricas BC =

3a 4

CBD  90 CBD

4

Por otro lado, en el triángulo ABD se tiene que por las relaciones relaciones métricas AB =

a

4

2

y como DC=

3

a

2

, entonces,

.

DBA  90  DBA

a

y como AD= , entonces, 2

. 3a

I)

Verdadera, pues BC : AB =

II)

Verdadera, porque DC : AD =

III)

Falsa, ya que AC : DB =

a

3

a

y DB =

3

a

:

4

:

a

4

=3

3

a

2 3

a

4

=

:

a

2

=

3

4 3 3

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son siempre verdaderas. 49.

La alternativa correcta es C.



Podemos ver que PR = (x – (x – y) y) + (x + y) = 2x (1) y = 3. Con esta información no es posible determinar la medida de necesitamos saber el valor de x. (2)

PQ QR



1 2

PR

, pues

. Con esta información no es posible determinar la medida de

porque solo se se puede establecer establecer que 2(x – 2(x – y) y) = (x + y) 2x – 2x – 2y 2y = x + y x = 3y

x  y x  y



1 2

, lo que nos indica que

PR

,

Con ambas informaciones es posible determinar la medida de

PR

, pues si

1

PQ 

QR

2

,

sabemos que x = 3y, y si y = 3, entonces x = 9, por lo que se determina que PR = 18. Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas, (1) y (2).

50.

La alternativa correcta es E.


Geometría analítica Comprensión

Al despejar la ecuación principal de L resulta: px + qy + pq pq = 0

 qy

= – = – px – px – pq pq



y=

px p x pq p q



p



 

q



x p . Luego: 

q

I)

Falsa, ya que para ser paralelas deberían tener la misma pendiente, y no es así ya que tienen el signo contrario.

II)

Verdadera, ya que para ser paralelas el producto de sus pendientes debe ser – 1, 1, y en este caso

 p q

III)

q



= – = – 1. 1.

p

Verdadera, ya que la intersección inters ección con el eje X se puede determinar haciendo y = 0. En este caso: px + q·0 + pq = 0  px + pq = 0  px = – = – pq pq   p q

x=

= – q q

p

Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son siempre verdaderas.

51.

La alternativa correcta es A.


Geometría analítica Aplicación

La ecuación de una recta que pasa por dos puntos (x 1, y1) y (x2, y2) se determina por la relación

y x





y1 x1



y2



y1

x2



x1

. Luego, la ecuación de la recta que pasa por los puntos

( – – 1, 1, 2p) y (3, – (3, – 2p) 2p) se determina como: y  2p x  (1)



 2p  2p 3  (1)

y  2p x 1 y  2p





4p 4

= – = – p p

x 1

y – 2p 2p = – = – px – px – p p y = – = – px – px – p p + 2p y = – = – px px + p Entonces, la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( – ( – 1, 1, 2p) y (3, – (3, – 2p) 2p) es y = – = – px px + p

52.




Sea x la medida del segmento OA. Luego, por razón de homotecia se tiene: OP OA



12  x x

 12 

x



12 8

53.







2,5

2,5x 1,5x

(Restando x a ambos lados) (Dividendo a ambos lados por 1,5)

x



Geometría analítica ASE

Sea O: origen del plano cartesiano y T el punto de intersección entre el eje X y la simetral trazada por Q formando el triángulo rectángulo PQT. Además, se tiene que QPS  90 (por ser ángulo del rectángulo PQRS) y que POS  90 (intersección de ejes coordenados), entonces: SPO  PQT PSO  TPQ PSO

Luego, por el criterio AA, POS ~ QTP , por lo que:

OP OS 4



TQ PT

3 

PT

3 

PT 

9 4

Luego, por simetría, la distancia horizontal entre el punto P y el punto T, es equivalente a la distancia entre el punto O y el punto R, es decir, R está a ordenadas, ordenadas, por lo que, su abscisa es

54.

9

9 4

unidades del eje de las

.

4

La alternativa correcta es B.


Geometría analítica ASE

Expresando la ecuación de la recta L1 de forma principal, se tiene que y 

 p

2

x

q 2

, con

  p   q    pendiente    y coeficiente de posición  .  2 

 2 

Expresando la ecuación de la recta L2 de forma principal, se tiene que y



2x



10 

3

, con

 10    .  3 

pendiente ( – – 2) 2) y coeficiente de posición 

Para que L1 y L2 sean rectas secantes, es decir, se corten en un solo punto en el plano, debe cumplirse que sus pendientes sean distintas. Luego: (1) q 

20 3

. Con esta información y la del enunciado, no se puede afirmar que L 1 y L2 se

intersectan en un solo punto, ya que no se tiene información acerca de sus pendientes. (2) p  4 . Con esta información y la del enunciado, se puede afirmar que L 1 y L2 se intersectan en un solo punto, ya que las pendientes de ambas rectas deben ser distintas, entonces

p



2

2

 

p  4  p  4

 

Por lo tanto, la respuesta correcta es: (2) por sí sola.

.

55.



Cuerpos geométricos Comprensión

La arista de un poliedro corresponde a la intersección de dos caras, y un prisma recto corresponde a un poliedro que tiene dos caras basales poligonales paralelas y congruentes, cuyas caras laterales son rectángulos o cuadrados. cuadrados. Si la base de un prisma recto tiene N lados, entonces el prisma tiene (N + 2) caras, 3N aristas y 2N vértices. Luego, si el prisma tiene 10 caras en total, significa que su base tiene 8 lados, y que el prisma tiene 24 aristas y 16 vértices. Por lo tanto, el prisma tiene 24 aristas en total.

56.




A), La ecuación vectorial de una recta en el espacio viene dada por ( x, y, z ) = A + t ∙ ( B – A donde A y B representan dos puntos de la recta y t un un valor real. Considerando A(1, 0, 2) y B(0, 2, 1), la ecuación vectorial de la recta viene dada por:

( x (0 – 1, 1, 2 – 2 – 0, 0, 1 – 1 – 2) 2) = (1, 0, 2) + t ( – ( – 1, 1, 2, – 2, – 1) 1) x, y, z ) = (1, 0, 2) + t (0 – También es posible expresar esta recta en su forma f orma paramétrica: x



1



t

y



z  2

2t



t

Como la recta pasa por el plano XY , implica que la coordenada en z del punto de intersección es cero. Luego, es posible encontrar el valor de t a partir de la ecuación paramétrica de z . z  2  t



0  2  t



t  2

Con ello, la recta corta al plano XY cuando cuando t = 2, entonces: x, y, z ) = (1, 0, 2) + 2 ( – ( x ( – 1, 1, 2, – 2, – 1) 1) = (1, 0, 2) + ( – ( – 2, 2, 4, – 4, – 2) 2) = ( – ( – 1, 1, 4, 0)

Por lo tanto, la recta corta al plano XY en en el punto ( – ( – 1, 1, 4, 0).

57.




La medida de un segmento la podemos determinar mediante la fórmula de la distancia entre dos puntos en el espacio: d  ( x2



x1 ) 2



( y 2



y1 ) 2



( z 2



z 1 ) 2

Luego, la distancia entre los puntos R y S es: d RS



(1  2) 2

d RS



(3) 2

d RS



9  16  1

d RS



26

58.





(1  3) 2

(4) 2





(4  5) 2

(1) 2



Cuerpos geométricos ASE

El volumen de un cono se calcula como

1 3

 Área base · altura. La altura del líquido mide

4 cm y el radio se puede obtener tomando en cuenta que ambos conos son figuras semejantes, aplicando la proporción Reemplazando y despejando:

diámetro líquido

altura líquido 

diámetro envase diámetro líquido 4

9

altura envase

 diámetro



.

6

líquido =

49 6

Luego, el radio del líquido mide 3 cm, por lo cual su área mide π·3² = 9π cm². Por lo tanto, el volumen del líquido es

1 3

 9π·4 = 12π cm³.

= 6.

59.



Datos Aplicación

Al completar los datos de la tabla obtenemos los siguientes valores: Cantidad de dólares

Frecuencia

Frecuencia acumulada

[250, 350[ [350, 450[ [450, 550[ [550, 650[ [650, 750]

8 21 29 50 12

8 29 58 108 120

A) Verdadera, ya que la marca de clase se obtiene como el promedio de los extremos del intervalo. Luego, la marca de clase del cuarto intervalo [550, 650[ es igual a 600. B) Verdadera, ya que la frecuencia relativa porcentual del segundo intervalo se obtiene como

f

·100% . total

Reemplazando: Reemplazando:

f

·100% 

total

21

·100%  17,5% . 120

C) Falsa, ya que la mediana será el primer dato cuya frecuencia acumulada sea mayor o igual a la(s) posición(es) de la mediana. Luego, como la muestra tiene 120 datos, entonces

i

120 



2

60

, la posición central corresponde a los datos de posición 60 y 61,

siendo la frecuencia acumulada de la cuarta fila (108) la primera que es mayor o igual que las posiciones de la mediana (60 y 61). Luego, la mediana de la muestra se encuentra en el intervalo [550, 650[. D) Verdadera, ya que la frecuencia absoluta mayor corresponde al intervalo [550, 650[. E) Verdadera.

60.



Datos Comprensión

En este caso, como no se conoce el tamaño de la población ni los elementos restantes que la componen, entonces no es posible determinar el valor de m a partir del promedio de la población ni de los elementos de la muestra. Por lo tanto, no se puede determinar el valor de m.

61.



Datos Aplicación

I)

Verdadera, ya que corresponde al intervalo que tiene la mayor frecuencia (20).

II)

Falsa, ya que la muestra tiene (4 + 7 + 14 + 20 + 15) = 60 datos, por lo cual la mediana corresponde al promedio entre el dato en la posición 30 y el dato en la posición 31. Si se calcula la frecuencia acumulada, hasta el intervalo 120,140 hay (4 + 7) = 11 datos, y hasta el intervalo 140,160 hay (4 + 7 + 14) = 25 datos. Luego, los datos del intervalo 140,160 ocupan desde la posición 12 hasta la posición 25, por por lo cual el dato en la posición 30 y el dato dato en la posición 31 NO se encuentran en dicho intervalo.

III)

Verdadera, ya que la suma de las frecuencias es (4 + 7 + 14 + 20 + 15) = 60 datos.

Por lo tanto, solo I y III son verdaderas.

62.



Datos ASE

Organizando la información del gráfico en una tabla, se tiene Edad Mujeres Hombres Total 20 a 35 1.500 2.500 4.000 36 a 51 3.500 2.000 5.500 52 o más 3.000 3.500 6.500 Total 8.000 8.000 16.000

Acumulado total 4.000 9.500 16.000

Luego: I)

Falsa, ya que considerando solo a las mujeres, el primer cuartil corresponde al dato:

II)

8.000

4



2.000 ,

el que se encuentra en el intervalo de 36 a 51 años.

Verdadera, ya que considerando solo a los hombres, el primer cuartil corresponde al dato:

III)

1 

8.000

1 

4



2.000 ,

el que se encuentra en el intervalo de 20 a 35 años.

Falsa, ya que considerando a todas las personas de la empresa, el tercer quintil corresponde al dato: 16.000 

3 5



9.600 , el que se encuentra en el intervalo de 52 o

más años. Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera.

63.



Datos ASE

La cantidad de jugadores se puede determinar sumando las frecuencias absolutas, quedando: ( x  y)  ( x  y)  (2 x)  ( x)  (2 y)  5 x  2 y

Por lo que es necesario, conocer los valores de x e y. (1) La frecuencia del intervalo modal es 10. Con esta información no es posible determinar el valor de x e y, pues solo podemos saber que el intervalo modal es el tercero, pues la frecuencia 2x es la mayor (ya que x > y), con lo que 2x = 10, entonces x = 5. (2) El intervalo con la menor cantidad de jugadores tiene frecuencia 2. Con esta información no es posible determinar el valor de x e y, pues solo podemos saber que el primer intervalo, de menor valor (porque x > y, ambos mayores que 1), tiene frecuencia 2, es decir, x – x – y y = 2 Con ambas informaciones, sí es posible encontrar los valores de x e y, pues de la primera información sabemos que x = 5, y de la segunda información sabemos que x – y = 2, reemplazando el valor de x, queda 5 – y y = 2, obteniendo el valor de y. Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.

64.



Datos Comprensión

El promedio mensual se puede calcular mediante la suma de los productos entre el promedio de consumo de helado mensual (columna “Promedio”) y la cantidad de personas asociada a esa cantidad (columna “número de encuestados”). encuestados”). Lu ego, se divide ese total entre el total de encuestados, que corresponde a la suma de las frecuencias absolutas (columna “Número de encuestados”). encuestados”).

65.



Datos Aplicación

Verdadera, ya que el rango de las notas del primer semestre es (7 – 2,5) 2,5) = 4,5 y las notas del segundo semestre tiene un rango de (5,3 – 4,7) 4,7) = 0,6. Como en el primer semestre hay un rango mayor, entonces podemos decir que esas notas son más dispersas. Verdadera, ya que la desviación estándar se relaciona con la dispersión de los datos, y como las notas en el primer semestre son más dispersas, entonces la desviación estándar estándar es mayor que en las notas del primer semestre. Verdadera, ya que el rango de la notas del primer semestre tienen un rango de 4,5 y en el segundo semestre es de 0,6, siendo este último menor.

II)

III)

Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.

66.



Datos Aplicación

El conjunto queda definido por

A



5,7,11,13

Luego, el promedio entre los elementos es:

x

=

5  7  11  13 4

36 

4



9

Entonces la varianza se determina de la siguiente manera: 

2

67.



(5  9) 2



(7  9) 2



(11  9) 2



(13  9) 2

4



(4) 2



(2) 2



(2) 2

4



(4) 2



16  4  4  16 4



Datos Aplicación

De acuerdo a la tabla, 3 estudiantes obtuvieron un 3, 3 estudiantes un 4 y 3 estudiantes un 5. Luego, la media aritmética es: x

=

3 3  3 4  35 9



36 9



4

Entonces la desviación estándar se determina de la siguiente manera:



40 4



10

 

68.

(3  4) 2  3  (4  4) 2  3  (5  4) 2  3 9



(1) 2  3  (0) 2  3  (1) 2  3 9



303 9





Datos Comprensión

A) No se puede afirmar, pues no se puede saber con exactitud si Juan sacará más tarjetas con la letra A que Camila. B) No se puede afirmar, ya que si bien la probabilidad probabilidad es baja, no sabemos sabemos con certeza si pueda ocurrir ocurrir o no. C) No se puede afirmar, porque dado que Camila tiene, en proporción, menos tarjetas con la letra A que Juan, en teoría, éste debería sacar más tarjetas con la letra A. D) No se puede afirmar, pues las proporciones en que Juan y Camila tienen sus tarjetas son distintas, luego en teoría no sacarán la misma cantidad de veces las tarjetas con la letra A o B. E) Sí se puede afirmar, ya que en teoría Juan extraería una tarjeta con la letra A

3 5

de las

20.000 veces, es decir, 12.000 veces; mientras que Camila sacaría, en teoría, la letra A

2 5

de sus 20.000 extracciones, es decir, 8.000 veces. Si sumamos 12.000 + 8.000 =

20.000.

69.



Datos Aplicación

Se pide una vida útil superior a 1040 horas, luego se calcula la l a probabilidad

P ( X  1040)

Por otro lado, si X es una variable aleatoria que se distribuye de manera normal, con media μ = 1000 y desviación estándar σ = 20. Para transformar la variable aleatoria X en una variable aleatoria Z de distribución normal tipificada, se realiza de acuerdo a la siguiente expresión: Z =

Xμ

1040, entonces: Z 1040

1040



1000



40 

20

, Luego si se quiere conocer el valor de Z cuando X =

σ



2

20

Entonces, P ( X  1040)  1  P ( X  1040)

6 9



2 3

 1  P ( Z 

2)

(de la tabla de probabilidades estándar para distribución normal)

 1  97,7% 

70.

2,3%



Azar Comprensión

Como se tienen n elementos que se pueden repetir y es importante el orden en el que se extraen, se trata de una variación con repetición. Como la extracción se realiza p veces, entonces, las palabras, con o sin sentido, que se pueden formar viene dado por n p. También es posible llegar a esta solución mediante el principio multiplicativo. Se tienen n valores para cada una de las p posiciones que puede tomar cada letra. Luego, la cantidad de palabras distintas que se pueden formar, con o sin sentido, viene dada por p n  n  n    n , p veces, lo que expresado como potencia es n .

71.



Azar ASE

Al introducir todas las bolitas a una caja quedan 7 bolitas con vocales y 12 bolitas con consonantes, consonantes, dando un total de 19 bolitas. I)

Verdadero, ya que la probabilidad de obtener una vocal es obtener una consonante es

II) III)

12 19

7 19

, mientras que la de

.

Verdadero, ya que la mayor probabilidad corresponde a la letra que esté más veces entre las bolitas de la caja, la cual corresponde a la letra C que está 3 veces. Falso, ya que no todas las vocales están en igual cantidad en las bolitas.

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.

72.



Azar Comprensión

El espacio muestral al lanzar tres monedas es: {(CCC) (CCS) (CSC) (CSS) (SSS) (SSC) (SCS) (SCC)}. Si la variable aleatoria toma el valor v alor 2, significa que se obtuvieron 2 caras en el experimento. Los elementos del espacio muestral que cumplen con esta condición son 3: (CCS) (CSC) (SCC).

73.



Azar Aplicación

El experimento consiste en extraer dos bolitas, sin reposición, por lo que la suma mínima corresponde a extraer las dos bolitas con los menores valores {1 y 2} y sumarlos, dando 3. Para el caso del valor máximo, se obtiene con las bolitas de mayor valor {15 y 14}, al sumarlos se obtiene 29. Luego, los valores mínimo y máximo son respectivamente 3 y 29.

74.



Azar Aplicación

Si una pregunta tiene tres alternativas y se escoge una al azar, la probabilidad de que esté correcta es

1

y la probabilidad de que esté incorrecta es

3

2

.

3

Al plantear el caso de que se contestan dos de esas preguntas al azar, el evento de que solo una de ellas esté correcta corresponde a que la primera que se conteste esté correcta y la segunda incorrecta, o bien que la primera que se conteste esté incorrecta i ncorrecta y la segunda correcta. Es decir: P(1C) y P(2I) o P(1I) y P(2C) = P(C)·P(I) + P(I)·P(C) =

1 2 

3 3

2 1 



2 

3 3

Por lo tanto, la probabilidad de que solo una de ellas esté correcta es

9 4 9

2 

.

4 

9

9

.

75.



Azar ASE

(1) En total hay 50 caramelos en la bolsa. Con esta información no es posible determinar la probabilidad pedida, pues no conocemos la cantidad que hay de cada caramelo o alguna relación o proporción entre ellas. (2) La probabilidad de extraer un caramelo de piña es

9 25

. Con esta información se

puede determinar la probabilidad de extraer un caramelo de menta o de naranja, pues al saber que la probabilidad de sacar uno de piña es no extraer un caramelo de piña es 1 

9 25



16 25

9 25

, entonces la probabilidad de

, la cual corresponde a la probabilidad

pedida, ya que solo hay tres opciones (piña, (piña, menta o naranja). naranja). Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.

76.



Azar Comprensión

Lanzar una moneda corresponde a un experimento binomial, pues solo hay dos posibles resultados. Luego, utilizamos la función de probabilidad de la distribución binomial, definida por:  n  P ( X  k )    p k q n k  k 

En este caso, preguntan por la probabilidad de obtener 90 sellos al lanzar 100 monedas, luego: p



25%

1 



4

q

3 4

n  100 k  90

con ello nos queda: 90

10090

 100  1   3  P ( X  90)    90  4   4      

90

10

 100  1   3        90   4   4 

77.



Azar Aplicación

Sea la función de distribución F(x) definida para una variable aleatoria discreta x con función de probabilidad f. Dados los valores de F(x) podemos obtener los valores de f(x). x 1 2 3 4 5 6

F(x) 0,1 0,35 0,6 0,8 0,95 1

Como F está definida para una variable aleatoria discreta, f(x i) = F(xi) – F(x F(xi – – 1). Luego, f(5) = F(5) – F(5) – F(4) F(4) = 0,95 – 0,95 – 0,8 0,8 = 0,15 Por lo tanto, f(5) = 0,15.

78.



Azar Aplicación

En la caja las fichas negras son {1, 2, 3} y las fichas rojas son {4, 5, 6, 7, 8, 9}. Si se extrajo una ficha con número impar, entonces la ficha extraída corresponde a una de {1, 3, 5, 7, 9}. De estas fichas, 2 son negras y 3 son rojas, luego, la probabilidad de que la ficha extraída sea roja es igual a: P(A) = 79.

3 5



Azar Aplicación

Determinamos el valor esperado como el producto ponderado de los resultados posibles, divido por el total de caras. E ( x) 

10  1  5  2  5  3 20



35 20



7 4

 1,75

80.



Azar ASE

Si reemplazamos los valores respectivos de n, la función de probabilidad queda  k  2  2 k  4   4 4   5  k  2  7  k P ( X  n) 5 5  3k  6  2 3k  8   20 20  0

I)

Falsa, pues sabemos que la suma de las probabilidades debe ser igual a 1, luego nos queda la ecuación k  4



4

7  k

5(k  4) 20

5



3k  8



20

4(7  k ) 20



3k  8 20

5k  20  28  4k  3k  8 20

4k

k





1

1

(Desarrollando paréntesis y sumando) (Reduciendo términos y multiplicando a ambos lados por 20) (Dividiendo por 4)

20



(Igualando denominador)

1

5

II)

Verdadera, ya que el recorrido corresponde a los valores que puede tomar la función. En este caso, los valores que puede tomar (con probabilidad mayor que 0) son 2, 5 y 6.

III)

Verdadera, porque si calculamos, para los respectivos valores de n y con 7

P( X



5)



P(X



6)





5

2

, 5 5 3 5 8 7 



Al comparar,



20 2 5



7 

20

20

, por lo que P(X  5)  P(X  6)

Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.

k



5

Solucionario Ensayo MT 034 2016

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