Solucionario Ensayo

SOLUCIONARIO ENSAYO MT- 024

1 V 6 1 A 4 2 0 T M S E C S N E S

1. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Números racionales Comprensión

Dado que m, n, p y q son números primos distintos menores que 10 y, además se sabe que: (m – n) n) = p (m + n) = q Para que se cumplan las condiciones, necesariamente m > n, por lo tanto los valores de m y n que satisfacen las condiciones son m = 5 y n = 2, ya que (5 – 2) 2) = 3, el cual es un número primo y (5 + 2) = 7 que también es un número primo. Por lo tanto p = 3, q = 7. Entonces (p – q) q) = 3 – 7 7 = – 4 4

2. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Potenciación Comprensión

Si a m cocineros se le entregan m frutas, la cantidad total de frutas que habrá es m ∙ m = m 2 frutas. Luego si cada fruta se corta en m trozos, el total de trozos que habrá es m 2 ∙ m = m3 trozos. Entonces, si todos los trozos se reparten en m platos, cada plato tendrá m3 m

 m 2 trozos de fruta.

3. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Números racionales ASE

Si b, k y y m son números enteros positivos y, además k y y m son múltiplos de b, entonces: I)

Verdadera, ya que la suma entre k y b, ambos múltiplos de b, resulta siempre un número múltiplo de b.

II)

Falsa, ya que al dividir un múltiplo de b por el mismo b, no siempre resulta un número múltiplo de b.

III) Falsa, ya que en la expresión

k   m b

, la suma entre k y m en el numerador, al ser

ambos múltiplos de b, resulta un número múltiplo de b. Al estar divididos por b, no siempre resulta un número múltiplo de b. Por lo tanto, solo la afirmación I representa r epresenta siempre a un número múltiplo de b.


Números racionales Comprensión

Dado que m, n, p y q son números primos distintos menores que 10 y, además se sabe que: (m – n) n) = p (m + n) = q Para que se cumplan las condiciones, necesariamente m > n, por lo tanto los valores de m y n que satisfacen las condiciones son m = 5 y n = 2, ya que (5 – 2) 2) = 3, el cual es un número primo y (5 + 2) = 7 que también es un número primo. Por lo tanto p = 3, q = 7. Entonces (p – q) q) = 3 – 7 7 = – 4 4



Si a m cocineros se le entregan m frutas, la cantidad total de frutas que habrá es m ∙ m = m 2 frutas. Luego si cada fruta se corta en m trozos, el total de trozos que habrá es m 2 ∙ m = m3 trozos. Entonces, si todos los trozos se reparten en m platos, cada plato tendrá m3 m

 m 2 trozos de fruta.



Si b, k y y m son números enteros positivos y, además k y y m son múltiplos de b, entonces: I)

Verdadera, ya que la suma entre k y b, ambos múltiplos de b, resulta siempre un número múltiplo de b.

II)

Falsa, ya que al dividir un múltiplo de b por el mismo b, no siempre resulta un número múltiplo de b.

III) Falsa, ya que en la expresión

k   m b

, la suma entre k y m en el numerador, al ser

ambos múltiplos de b, resulta un número múltiplo de b. Al estar divididos por b, no siempre resulta un número múltiplo de b. Por lo tanto, solo la afirmación I representa r epresenta siempre a un número múltiplo de b.

4. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad 11 7

 1,57142...

Números racionales Aplicación (Truncando 1,57142… a la décima)

m = 1,5 m 2  2,25

(Redondeando (Redondeando a la décima)

2,3 Luego, m2 redondeado a la décima es 2,3.

5. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad 2 3  32  6 2  1 23 1 8





1 32

1 9



 1 36

982 72 15 72 5

1 62







Potenciación Aplicación (Aplicando propiedad de potencia con exponente negativo) (Desarrollando potencias) (Desarrollando suma de fracciones) (Desarrollando) (Simplificando)

24

6. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad


Si a, b y c son números positivos, tales que c  b y a  b . Por lo tanto:

a b



a c



b c

, entonces se puede determinar que

A) a < b < c es incorrecta, ya que b es mayor que a y c. B) c < a < b no es siempre verdadera, ya que no se puede determinar la relación entre a y c. C) c < b < a es incorrecta, ya que b es mayor que a y c. D) a < c < b no es siempre verdadera, ya que no es posible determinar la relación entre a y c. Por lo tanto, faltan datos para determinar la relación entre a, b y c.

7. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad


Se define la operatoria (m  n) como el cuociente entre la raíz enésima de m y n, lo que se expresa de la siguiente manera: n

(m  n) 

m n

Por lo tanto el valor de (-8  3) se calcula de la siguiente manera: 3

(-8  3) 

8



3

2 3


Números irracionales ASE

Sea b un número irracional, con b un número impar. Para determinar las expresiones que representan siempre a un número irracional, se tiene: A) b - 1 , no siempre representa a un número irracional, ya que si b = 5, al reemplazar resulta: 5 - 1  4  2 representa siempre a un número irracional, ya que al descomponer la raíz en 2  b , independiente del valor de b, el resultado es un irracional.

B)

2b ,

C) b  1 , no siempre representa a un número irracional, ya que si b = 3, al reemplazar resulta: 3  1  4  2 D)

1 b  1

resulta:

, no siempre representa a un número irracional, ya que si b = 5, al reemplazar 1

5 1



1 4



1 2

E) 3b , no siempre representa a un número irracional, ya que si b = 3, al reemplazar resulta: 3  3  9  3 Por lo tanto, la alternativa correcta es B.


Números irracionales Aplicación

Dado que r  0,4 y 4s  1,2 , este último al descomponerse resulta 2 s  1,2 Luego el valor más cercano a ( s  4r ) se puede determinar de la siguiente manera: 2 s  1,2 s

1,2 2

s  0,6 s  0,36

(Multiplicando la ecuación por

1 2

)

(Dividiendo) (Elevando al cuadrado)

Además, descomponiendo la expresión

4r  4  r  2 r , con

r  0,4

Reemplazando los valores en la expresión ( s  4r ), se tiene: s  4r  s  2 r

(Reemplazando los valores de s y

0,36·2·0,4

(Multiplicando)

0,36·0,8

(Multiplicando)

r )

0,288 Por lo tanto, el valor más cercano a la expresión ( s  4r ) es 0,288.


Números irracionales ASE 2a  n a .

I)

Falsa, ya que 2a > a, entonces

II)

Verdadera, ya que al ser iguales las cantidades subradicales, el valor de la raíz es menor si el valor del índice es mayor.

III)

Verdadera, ya que al elevar

2n

n

2a y

n

a

a 2n, se tiene que:

( 2n 2a ) 2n  2a ( n a ) 2n  a 2

Luego, 2a < a 2, para todo a > 2, por lo tanto

2n

2a  n a

Por lo tanto, solo las expresiones II y III son siempre menores que

n

a

.


Números irracionales Aplicación

Si log 6 ≈ 0,78, entonces:

(Aplicando propiedad potencia con exponente racional)

log 6.000 1

log (6.000) 2

(Aplicando propiedad de exponente)

1

log (6.000)

(Descomponiendo)

log (6  1.000)

(Aplicando propiedad del producto)

2 1 2 1 2 1 2 1 2

(log 6  log 1.000)

(log 6  3)

(Reemplazando el valor de log 6)

(0,78  3)

3,78 2

 1,89

12. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad log8 32  log32 8 log 2 32 log 2 8 5 3

3



16 15

5



Potenciación Aplicación (Aplicando cambio de base)

log 2 8 log 2 32

(Resolviendo)


.

Potenciación ASE 1

1

Como p  2  log 5 (a) y q  log 5 a  log 5 (a) 2  log 5 (a) , entonces: 2

I)

Verdadera, ya que 3p = 3·2· log5 (a) = 6· log 5 (a) = log 5 (a) 6

II)

Verdadera, ya que 4q = 4· log 5 (a) = 2· log 5 (a) = p

III)

Falsa, ya que p – 2q = 2  log5 (a) – 2· log5 (a) = 2  log5 (a) – log 5 (a) = log 5 (a)

1

2

1

2

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.

14. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad Sea m =

Potenciación Aplicación

4n - 12 , para que m sea un número entero positivo, se tiene que cumplir que:

4n – 12 > 0

(Resolviendo la inecuación)

4n > 12 n>3 Por lo tanto, se descartan las alternativas A y B, ya que ambas no son mayores a 3. Analizando el resto de las alternativas, se tiene: C)

13

D)

15

 3,25

4

4

 3,75

E) 4 Por lo tanto, el menor valor que podría tomar n para que m sea un número entero positivo es

13 4

.


Números complejos Comprensión

Sea z un número complejo de la forma z = a + bi, en donde Re(z) = 3·Im(z). Por lo tanto, Re(z) = a, Im(z) = b  a = 3b. Además, el conjugado de z es de la forma z = a – bi. Si Im( z ) = 4  – b = 4  b = – 4 Por lo tanto, si b = – 4  a = 3·( – 4) = – 12 Luego z = – 12 – 4i, entonces

z 2



 12  4i 2

 6  2i


Números complejos Aplicación

Como z = 3 - 4i  z  32  (4) 2  9  16  25  5 Su conjugado es: z  3  4i Luego, reemplazando los valores en la expresión z  (z) 2 , se tiene: 5·(3 + 4i)2 = 5·(9 + 24i +16i2) = 5·( – 7 + 24i) = – 35 + 120i


Números complejos ASE

Si p y q son dos números complejos, entonces: I)

Falsa, ya que si q es el conjugado de p, entonces se cumple que |p| = |q|

II)

Verdadera, ya que si Re(p) = Re(q) = 0, entonces p y q son de la forma: p = ai, q = bi. Luego p · q = ai · bi = abi 2 = – ab

III)

Verdadera, ya que si q es de la forma: q = a + bi  p = a – bi. Luego p + q = 2a

Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son siempre verdaderas.


Transformación algebraica Aplicación

Área total de la figura = Área del cuadrado EFGH + Área del rectángulo ACDH. Entonces: Área del cuadrado EFGH = (x – 10)2 Área del rectángulo ACDH = 4·(x – 9) Por lo tanto: Área total de la figura = (x – 10)2 + 4·(x – 9)

(Desarrollando)

= x2 – 20x + 100 + 4x – 36 = x2 – 16x + 64

(Factorizando)

= (x – 8)2

19. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad ax 2  bx x 3

Ecuaciones y sistemas de primer grado Aplicación = 3b + ax

(Multiplicando por (x + 3))

ax2 + bx = (3b + ax)·(x + 3)

(Distribuyendo)

ax2 + bx = ax2 + 3ax + 3bx + 9b

(Desarrollando)

ax2 + bx – ax2 – 3ax – 3bx = 9b – 2bx – 3ax = 9b

(Multiplicando por – 1)

2bx + 3ax = – 9b

(Factorizando por x)

x·(2b + 3a) = – 9b

(Despejando x)

x=

 9b 2b  3a


Transformación algebraica Comprensión

Planteado algebraicamente el enunciado, se tiene: Si al triple de

3

3 ∙

x

2

x

2

se le suma la sexta parte de 2x, resulta

x

∙

2

+

1

3 x



6

1

+

∙

6

2x

=

∙ 2x =

(Simplificando)

x

(Sumando las fracciones)



2 3 9 x  2 x 6 11 x



(Desarrollando)

6


Transformación algebraica Aplicación

Dada la expresión z = I)

x 2 - y2 xy

=

(x  y)(x - y) xy

= x – y

Falsa, ya que w = 1 y v = 0, reemplazando en la expresión resulta: z=

III)

, con w(x + vy)  0, entonces:

w(x  vy)

Verdadera, ya que si v = w y w = 1  v = 1, reemplazando en la expresión resulta: z=

II)

wx 2  vy 2

x2 x

=x

Falsa, ya que w = 4 y v = 9, reemplazando en la expresión resulta: z=

4x 2  9y 2 4·(x  9y)

=

4x 2  9y 2 4x  36y

, expresión que no es posible reducir.

Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.


Ecuación de segundo grado y función cuadrática ASE

Sea la ecuación cuadrática: a x 2 + bx + c = 0 Se cumple que la suma de las raíces es

 b a

y la multiplicación de las raíces es

c a

.

Entonces, para la ecuación: m x 2 – nx + p = 0, las raíces o soluciones de la ecuación y x , cumplen que:

x1

2

x1

+

x2

 x – ( x +

x2

)=

n

=

x1

m



x2

=

p m

Luego, x1

2

1

n p  n – = m m m

p


Ecuación de segundo grado y función cuadrática Aplicación

Sean x e y los lados del rectángulo, entonces: Perímetro = 2x + 2y = 16  x + y = 8 Además, la diagonal del rectángulo es x 2  y 2 = 6  x2 + y2 = 36 Al despejar x de la ecuación del perímetro resulta: x = 8 – y. Si se reemplaza el valor de x en la ecuación de su diagonal se tiene: (8 – y)2 + y2 = 36

(Desarrollando el cuadrado de binomio)

64 – 16y + y2 + y2 = 36

(Reduciendo términos)

2y2 – 16y + 64 = 36

(Dividiendo por 2)

y2 – 8y + 32 = 18

(Reagrupando términos)

y2 – 8y + 14 = 0 Sea la ecuación cuadrática ax 2+ bx + c = 0, las raíces o soluciones se determinan de acuerdo a la expresión: x

- b  b 2  4·a·c 2a

En este caso a = 1, b = – 8, c = 14. Reemplazando los valores en la expresión anterior se tiene:

y=

- (-8)  (-8) 2  4·1·14 2·1

=

8  64  56 2

=

8 8 2

82 2

=

2

= 4 2

Luego, si y = 4  2  x = 8 – ( 4  2 ) = 4  2  Lado mayor = 4  2 Si y = 4  2  x = 8 – ( 4  2 ) = 4  2  Lado mayor = 4  2 Por lo tanto, en cada caso el lado mayor del rectángulo mide 4  2 cm.


Ecuación de segundo grado y función cuadrática Aplicación

Dada la ecuación x(x + 3) = 3p – 7  x2 + 3x = 3p – 7 Si una de las raíces o soluciones de la ecuación es x = en x, se tiene:

3 2

+ 4i, entonces reemplazando

2

  3    3   4i  + 3·   4i  = 3p – 7   2   2  9 4

– 12i – 16 – 9 4

–

9 2

9 2

+ 12i = 3p – 7

– 16 = 3p – 7

9 – 18 – 64 = 12p – 28

12

 15 4

(Reduciendo términos) (Multiplicando por 4) (Desarrollando) (Despejando p)

– 45 = 12p

 45

(Desarrollando)

=p

(Simplificando)

=p


Desigualdades, inecuaciones y función potencia Comprensión

De acuerdo al enunciado, Ana tiene a años y Pedro b años, entonces la expresión “La suma entre la edad de Ana y Pedro es a lo men os 25 años” se inter preta como a + b  25. La expresión “El doble de la diferencia entre la edad de Pedro y la edad de Ana es a lo más 6 años” se interpreta como 2(b – a)  6.

Luego el sistema de inecuaciones que representa la situación descrita es: a + b  25 2(b – a)  6


Desigualdades, inecuaciones y función potencia Aplicación

Sea el sistema de inecuaciones: 3 – x > 1 2 (x – 1) < 1 Al resolver la primera inecuación, se obtiene: 3 – x > 1

(Despejando x)

– x > – 2

(Multiplicando por – 1)

x< 2 El conjunto solución descrito por la desigualdad, es el intervalo:  ,2 Al resolver la segunda inecuación, se obtiene: 2 (x – 1) < 1

(Distribuyendo)

2x – 2 < 1

(Desarrollando)

2x < 3

(Despejando x)

x<

3 2



3

El conjunto solución descrito por la desigualdad, es el intervalo:   ,  2  Finalmente, el conjunto solución de las inecuaciones es la intersección de los conjuntos solución de las inecuaciones componentes del sistema.

 ,2

3 3   ∩   ,  =   ,  2 2  



3

Por lo tanto, el conjunto solución del sistema es   ,  2 


Desigualdades, inecuaciones y función potencia ASE

Desarrollando la inecuación: – 7  3x + 5 < 3 – 12  3x < – 2 2  4  x < 3

2

I)

Incorrecta, ya que x <

II)

Correcta, ya que  4  x  entonces x puede ser – 4

III)

Correcta, ya que – 2 pertenece al intervalo  4,

3

 

 2 , entonces x puede ser – 2. 3 

Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III pueden ser valores posibles para x.


Función afín y función lineal Comprensión

Cantidad inicial de artículos en bodega: 9.000 Cantidad de artículos en bodega después de 8 meses: 3.000 Como el comportamiento entre la cantidad de artículos en bodega y el tiempo de venta( x) es lineal, entonces: 0 meses  9.000 artículos  se obtiene el punto (0, 9.000) 8 meses  3.000 artículos  se obtiene el punto (8, 3.000) Luego, la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0, 9.000) y (8, 3.000) es:  3.000 - 9.000   (x – 0) (Desarrollando) 8-0  

y – 9.000 = 

y – 9.000 =

 6.000 8

y – 9.000 = – 750· x

·x

(Reduciendo) (Despejando y)

y = 9.000 – 750 · x Luego, la función que representa los artículos en bodega después de x meses es f(x) = y = 9.000 – 750x


Teoría de funciones Aplicación

g(x) = 3x2 + 2 h(x) = – 5x + 3 Entonces: h(g(x)) = h(3x2 + 2) = – 5(3x2 + 2) + 3 = – 15x2 – 10 + 3 = – 15x2 – 7 = – (15x2 + 7)


Teoría de funciones ASE

Dada la función f(x) = (x – 3)2, entonces: I)

Falsa, ya que si x pertenece al intervalo [2,5], con x = 2  f(2) = 1 y con x = 4  f(4) = 1 Por lo tanto para dos valores de x, f(x) toma el mismo valor, entonces f no es inyectiva.

II)

Falsa, ya que el intervalo [-3,   [contiene al intervalo [2,5], con el cual se demostró anteriormente que f no es inyectiva.

III)

Verdadera, ya que para cualquier valor de x en el intervalo [ – 3,1], para cada valor de x existe un único valor de f(x), por lo que f es inyectiva en ese intervalo.

Por lo tanto, solo en la afirmación III cumple que f es inyectiva.


Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada Aplicación

log(2x ) – log 3 = log(1 – x)

(Aplicando propiedad del logaritmo de la división)

log 

 2 x    log1  x  3  

(Igualando argumentos)

2x

 1 x

(Multiplicando por 3 ambos lados de la igualdad)

3

2x = 3 – 3x 5x = 3 x=

3 5

(Agrupando) (Despejando x)


Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada Comprensión

Sea la función real f(x) = 2x  1 – 3, como el dominio está restringido, ya que la cantidad subradical debe ser mayor o igual a 0, se tiene: 1   Dom f:  ,  , entonces, se descartan las alternativas A y E. 2 2  -1  - 1  Luego si x = , entonces f   = – 3, entonces, se descartan las alternativas C y D. 2  2 

2x + 1  0  x 

-1

Por lo tanto, el gráfico de la alternativa B es el único que cumple dichas condiciones.


Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada Aplicación

Sea f(x) = 3 a x , con a positivo distinto de 1. Si f ( – 1) = 6, al evaluar y reemplazar, se obtiene: f ( – 1) = 3 a 1 6 = 3 a 1 2= a =

(Desarrollando)

1 a 1 2 x

 1  Luego, reemplazando el valor de a , se tiene: f(x) = 3   . Evaluando f(2), se obtiene:  2  2

1 3  1  f(2) = 3   = 3   4 4  2 


Ecuación de segundo grado y función cuadrática Comprensión

Sea la función cuadrática f(x) = a x 2 + bx + c. Como a > 0, la parábola abre hacia arriba. Además el discriminante ∆ = b 2 – 4ac < 0, por lo tanto la función cuadrática tiene dos raíces complejas distintas, es decir, la gráfica de la función f no intersecta el eje X. Por lo tanto, el gráfico que mejor representa a la función cuadrática es el correspondiente a la alternativa E.


Desigualdades, inecuaciones y función potencia ASE

Del gráfico de la función, se puede determinar que se trata de una función potencia con exponente impar, descartando las alternativas C y E. Luego, del gráfico se obtiene que los puntos (2, 0) y (3, 1) pertenecen a él. Evaluando estos puntos en las alternativas restantes se tiene: A) Si x = 2  f(2) = 25 +1 = 33. El punto resultante (2,33) no pertenece al gráfico de la función, por lo cual se descarta. B) Si x = 2  g(2) = 23 – 8 = 0  el punto (2,0) pertenece a esa función. Luego, probando el segundo punto: si x = 3  g(3) = 33 – 8 = 19. El punto resultante (3,19) no pertenece al gráfico de la función, por lo cual se descarta. D) si x = 2  h(2) = (2 – 2)5 = 0  el punto (2,0) pertenece a esa función. Luego, probando el segundo punto: si x = 3  h(3) = (3 – 2)5  el punto (3,1) pertenece a la función. Luego la función que mejor representa al gráfico es la alternativa D.


Transformaciones isométricas Comprensión

Si al punto S(a – b, b) se le aplica una traslación según el vector T(b, a – b) resulta el punto S`(a – b + b, b + a – b)  S`(a,a). Luego si al punto S` se le realiza una simetría axial con respecto al eje Y, se obtiene el punto S``( – a, a).


Geometría de proporción ASE

De la figura, se concluye que  PTR   QTS, por ser ángulos opuestos por el vértice. A) Si los triángulos PTR y QTS tienen igual área, no es suficiente para determinar que ambos triángulos son congruentes, ya que si el triángulo PTR tiene la mitad de la base y el doble de la altura del triángulo QTS, ambos tendrían la misma área, pero serán de distinto tamaño. B) Si PR // SQ no es suficiente para determinar que el triángulo PTR es congruente con el triángulo QTS, ya que solo se podría concluir que  TRP   TSQ y  RPT   SQT, lo cual no implica que el triángulo PTR sea congruente con el triángulo QTS.

C) Si PR = SQ no es posible determinar si los triángulos PTR y QTS sean congruentes, ya que los ángulos sobre dichos segmentos no necesariamente deben ser congruentes. D) Si los triángulos PTR y QTS son isósceles en P y Q respectivamente, no es suficiente para determinar si ambos triángulos son congruentes, ya que los lados de ambos triángulos no necesariamente deben ser congruentes, además no se menciona alguna relación entre ellos. E) Si T es el punto medio de los trazos PQ y RS , entonces se puede determinar que RT = TS y PT = TQ . Además se sabe que  PTR   QTS, por lo tanto utilizando el criterio LAL si es posible determinar que el triángulo PTR es congruente con el triángulo QTS.


Transformaciones isométricas Aplicación

u = (2, 1)  2· u = (4, 2) v = ( – 3, 2) 





Entonces: 2· u – v = (4, 2) – ( – 3, 2) = (4 – ( – 3), 2 – 2) = (7, 0) 




Transformaciones isométricas Aplicación  1  (3) 2  4  ,  = ( – 2, 3) 2 2  

Punto medio PR =  

Luego el vector traslación que lleva al punto Q(3, – 2) hasta el punto ( – 2, 3) es: ( – 2, 3) – (3, – 2) = ( – 2 – 3,3 – ( – 2)) = ( – 5, 5)


Geometría de proporción Comprensión

I)

Verdadera, ya que en un romboide las diagonales se dimidian, es decir, T es el punto medio de SQ .

II)

Verdadera, ya que un romboide tiene sus lados opuestos paralelos. Luego, PQ // SR , lo que produce ángulos congruentes.

III)

Verdadera, ya que en un romboide las diagonales se dimidian. Luego, PT  TR y ST  TQ . Además,  PTS   RTQ por ser opuestos por el vértice. Entonces, por el criterio LAL, los triángulos PTS y RTQ son congruentes.

Por lo tanto, las tres afirmaciones son siempre verdaderas.


Transformaciones isométricas ASE

Si P es un punto ubicado a dos unidades del origen del plano cartesiano, todos los puntos que se encuentren en una circunferencia con centro en el origen y de radio 2 unidades pueden ser el punto P. Si M es un punto ubicado a una unidad de distancia de P, todos los puntos que se encuentren en una circunferencia de centro en el origen y radio 1 unidad o bien todos los puntos que se encuentren en una circunferencia de centro en el origen y de radio 3 unidades, son puntos que están a una unidad de distancia de cualquier punto P, por lo tanto M puede ser un punto de ambas circunferencias descritas anteriormente. Si K es la figura formada por los posibles valores de M, entonces el área de K es la superficie encerrada entre el área de la circunferencia con centro en el origen con radio de 3 unidades y la circunferencia de centro en el origen con radio de 1 unidad. Luego: Área de la figura K= área del circulo de radio 3 – área del circulo de radio 1 Entonces: Área de la figura K = π · 32 - π · 12 = 8 π unidades cuadradas.


Geometría de proporción ASE

Si  SRT   URT  ST  UT y SR  UR , por lo tanto el cuadrilátero STUR es un trapezoide simétrico. Entonces, RST  RUT  90º . Si PUT = α y PTU = β , entonces: En el triángulo TPU, se observa que     90  180      90 , luego QUR   , para completar el ángulo extendido. Asimismo, como R QU  90 , se tiene que URQ   , para sumar 180° en el triángulo UQR. Por lo tanto,  TPU  UQR por criterio AA, entonces: ~

TP es homólogo con UQ TP UQ



PU QR



a c



b QR

 QR 

b  c a

PU es homólogo con QR


Circunferencia Aplicación

Si el triángulo PQR, inscrito en la circunferencia de centro O, es isósceles en P, entonces PR  PQ y QR es la base del triángulo PQR. Por lo tanto  PRQ   PQR Si el  QOR = 70º  Arco QR = 70º   RPQ = 35º, por ser un ángulo inscrito. Entonces, por el teorema de la suma de ángulos interiores en un triángulo,  PRQ =  PQR = 72,5º Luego el arco PQ es el arco formado por el ángulo inscrito  PRQ. Como el arco formado por un ángulo inscrito mide el doble de dicho ángulo, entonces: Arco PQ = 2· PRQ = 2·72,5º = 145º


Geometría de proporción Aplicación

Sea PQ el diámetro de la semicircunferencia, entonces tal que AB 

PQ 2

PQ 2

es su radio. AB es una cuerda

, entonces como SR  PQ , por ser los lados opuestos del rectángulo

PQRS, se cumple que SA  BR 

PQ 4

. Además se tiene que SP = 1 cm y SP es tangente

a la semicircunferencia en P, luego aplicando el teorema de la tangente y la secante se tiene que: SP2 = SA·SB  12 =

1=

3·PQ 2 16

PQ  3·PQ  PQ  PQ PQ  ·  ·  1 =  , entonces: 4  4  4  4 2 

(Multiplicando por 16)

16 = 3·PQ2

(Dividiendo por 3)

16

(Operando raíz cuadrada)

3

= PQ2

16 3 4 3

= PQ

4· 3 3

= PQ (Racionalizando)

= PQ

Luego, como el radio de la semicircunferencia es

PQ 2

, entonces:

4· 3

Radio =

3 2

=

2· 3 3

cm



Como el triángulo PQS es rectángulo en P, entonces SP y PQ son catetos y QS es la hipotenusa. Si SP = 3 y PQ = 4  QS = 5, por tríos pitagóricos. Si PR es la altura que cae sobre la hipotenusa, entonces se cumplen las condiciones sobre el triángulo PQS para aplicar el teorema de Euclides. Luego: PQ2 = QR·QS

(Reemplazando los valores)

42 = QR·5

(Despejando QR)

16 5

= QR


Circunferencia Aplicación

Como PQ // SR y  CPQ = 46º   ACP = 46º  Arco PS = 92º. Además R es punto medio del arco PS, entonces arco PR = arco RS = 46º. Como el  RQP es un ángulo inscrito en la semicircunferencia que determina al arco PR, entonces  RQP = 23º. Luego se conocen dos de los tres ángulos interiores del triángulo TQP, por lo tanto  QTP = 111º.



Como AE // BD , además AE = 9 cm, BC = 10 cm y con k una constante de proporcionalidad.

DB AC



2 5

 DB = 2·k y AC = 5·k,

Luego aplicando el teorema de Thales se tiene: EA AC



DB BC



9 5k



2k 10

 90 = 10k 2. Despejando k se tiene k = 3, luego se tiene:

AC = 5·k = 5·3 = 15 DB = 2·k = 2·3 = 10 Como AB = AC - BC  AB = 15 – 10 = 5 cm.


Geometría analítica Comprensión

Como ABCD es un rectángulo, entonces el triángulo DAB es congruente al triángulo BCD. Para que el triángulo BCD sea el resultado de aplicar una homotecia al triángulo DAB, entonces: D

C

A

B

La única posibilidad para que ocurra que el triángulo BCD sea el homotético del triángulo DAB es que el centro de la homotecia esté en la intersección de las diagonales del rectángulo ABCD, el cual está en el punto medio de DB . Además, como el triángulo BCD está rotado en 180º con respecto al triángulo DAB, entonces la razón de homotecia debe ser igual a -1 para que los triángulos DAB y BCD sean congruentes. Luego la alternativa que cumple dichas condiciones es C.


.

Geometría analítica Aplicación

Si la recta L está en el plano cartesiano de modo que intersecta al eje X en (3c, 0) y al eje Y en (0, 2c), entonces es posible determinar la ecuación de dicha recta que pasa por dos puntos. Reemplazando los valores de los puntos (3c, 0) y (0, 2c), se tiene:  2c - 0   ·(x – 3c) 0 3c  

y – 0 = 

(Reduciendo)

2c  y =    ·(x – 3c)

(Simplificando)

y=

·(x – 3c)

(Distribuyendo)

·x + 2c

(Multiplicando por 3)

y=

 - 3c  2 3 2 3

Luego, para determinar la ecuación de M se tiene el punto (2c, 0) y la pendiente

2 3

, la

que es igual a la pendiente de L, ya que son rectas paralelas. Entonces: y – 0 =

2 3

·(x – 2c)

3y = – 2x + 4c

(Multiplicando por 3) (Reordenando)

2x + 3y = 4c


Geometría analítica Aplicación

Como el hexágono regular PQRSTU es de lado 1 y está formado interiormente por 6 triángulos equiláteros congruentes de lado 1, se tiene que el vértice S tiene coordenadas  1 3  (1,0) y el vértice T tiene coordenadas  ,  , puesto que desde el vértice T se puede  2 2 

trazar una de las alturas del triángulo equilátero a través de la expresión: lado· 3 2



1· 3 2



3 2

, la cual coincide con el punto medio del lado opuesto de dicho

vértice, como se muestra en la figura:

y

U

3

T

2

1

1

P

S

x

1 2

Q

R

L De acuerdo a la figura, la recta L pasa por el vértice S y T, entonces es posible determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos S y T de la siguiente forma:    1 3  S(1,0), T  ,   y – 0 =    2 2   

 0 2  (x – 1)  1 1  2  3

(Desarrollando)

 3    2  (x – 1) y=   -1     2 

y =  3 ·(x – 1)

(Distribuyendo)

y =  3 ·x + 3


Cuerpos geométricos ASE

Una recta L pasa por los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrado. Sea a el lado de dicho cuadrado, entonces al girar indefinidamente dicho cuadrado entorno a la recta L se genera un cilindro, cuyo radio basal =

a 2

y su altura = a. Sea V el volumen de

dicho cilindro, entonces es posible expresarlo de la siguiente manera: 2

π·a 3  a  Volumen del cilindro = π·(radio) ·altura  V = π ·   ·a = 4  2  2

Si se hace girar el cuadrado entorno a uno de sus lados, se genera nuevamente un cilindro. Sin embargo el radio basal coincide con el lado del cuadrado y su altura será también el lado de dicho cuadrado. Luego su volumen es: Volumen = π·a 2 ·a  π·a 3 Como V =

π·a 3 4

 4·V= π·a3

Entonces el volumen del cilindro generado al rotar indefinidamente dicho cuadrado entorno a uno de sus lados es π·a3 = 4V


Geometría analítica Comprensión

Un punto pertenece al plano P: a·x + b·y + b·z + a = 0 si al reemplazar sus coordenadas en la ecuación del plano se cumple la igualdad. Entonces: A) Si pertenece, ya que al reemplazar el punto ( – 1, 1, – 1) en la ecuación del plano se obtiene: – a + b + ( – b) + a = 0 B) No pertenece, ya que al reemplazar el punto (1, – 1, 1) se obtiene: a + ( – b) + b + a = 2a  0 C) No pertenece, ya que al reemplazar el punto (1, 1, – 1) se obtiene: a + b – b + a = 2a  0 D) No pertenece, ya que al reemplazar el punto ( – 1, 1, 1) se obtiene: – a + b + b + a = 2b  0 E) No es posible determinarlo, ya que al reemplazar el punto (1, – 1, – 1) se obtiene: a + ( – b) + ( – b) + a = 2a – 2b, resultado que no necesariamente es igual a 0.


Cuerpos geométricos Aplicación

Largo = 4 cm Ancho = 2 cm Alto = 3 cm Además, el área de un paralelepípedo es 2·(largo·ancho + ancho·alto + largo·alto). Entonces, reemplazando los valores, se tiene: Área paralelepípedo = 2 · (4 · 2 + 2 · 3 + 4 · 3) = 52 cm 2


Geometría analítica ASE

I)

No es escaleno. Como P es un punto que está en el centro de la cara superior del cubo, entonces AP  CP , ya que los vértices A y C son vértices no consecutivos de la cara inferior del cubo, por lo tanto  ACP es isósceles.

II)

No es escaleno. Como P es un punto que está en el centro de la cara superior del cubo, entonces BP  CP , ya que los vértices B y C son vértices consecutivos de la cara inferior del cubo, por lo tanto  BPC es isósceles.

III)

No es escaleno. Como P es un vértice que está en la cara superior del cubo, entonces AD  CD , ya que AD y CD son las diagonales de dos caras consecutivas del cubo, por lo tanto  ADC es equilátero.

Por lo tanto, los triángulos de las afirmaciones I, II y III no son escalenos.


Datos Comprensión

Sumando las alturas de cada barra del gráfico se obtiene el total de estudiantes. Entonces, 5 + 7 + 13 + 18 + 15 = 58 estudiantes. A) Verdadera, ya que el total de estudiantes que rindieron la prueba fueron 58. B) Verdadera, ya que los estudiantes que tardaron menos de 40 minutos se obtiene sumando las frecuencias de los intervalos [0 , 20[ y [20 , 40[. Por lo tanto, sumando sus respectivas frecuencias resulta: 5 + 7 = 12 estudiantes. C) Falsa, ya que no es posible determinar si efectivamente hubo o no estudiantes que tardaron 100 minutos. Del histograma no es posible afirmarlo, son todos datos agrupados. D) Verdadera, ya que la cantidad de estudiantes que se encuentra en el intervalo [40 , 60[ es 13, luego

13 58

<

1 4

E) Verdadera, ya que la cantidad de estudiantes que tardaron a lo menos 60 minutos son los estudiantes que se encuentran en los intervalos [60, 80[ y [80,100]. Por lo tanto al sumar sus respectivas frecuencias resulta: 18 + 15 = 33 estudiantes.


Datos Aplicación

Para determinar el promedio(o media aritmética) a partir de la marca de clase, se calcula dicha marca de clase como el promedio de los extremos de cada uno de los intervalos, luego la tabla queda de la siguiente forma:

Datos [a, 3a[ [3a, 5a[ [5a, 7a[ [7a, 9a]

Frecuencia b+2 b-3 b+1 b

Marca de clase 2a 4a 6a 8a

Total de datos: 4b Por lo tanto el promedio a partir de la marca de clase queda de la siguiente forma: x=

x=

x=

2a·(b  2)  4a·(b  3)  6a·(b  1)  8a·b 4b 2a[(b  2)  2·(b  3)  3·(b  1)  4·b] 4b

2a[b  2  2·b  6  3·b  3  4·b] 4b

x=

2a[10·b - 1]

x=

20·ab - 2a

x=

20·ab

4b

4b

x = 5a 

a 2b

2a 4b

(Distribuyendo) (Reduciendo términos semejantes)

(Distribuyendo) (Descomponiendo la fracción)

4b



(Factorizando por a)

(Simplificando)


Datos Comprensión

I)

Falsa, ya que no es posible determinar el número de vehículos que consumen más de 16 litros de bencina. Puede existir el caso que en el intervalo [16, 20[, cuya frecuencia es 11, esos 11 repartidores consuman 16 litros de bencina.

II)

Verdadera, ya que el total de repartidores se determina sumando las frecuencias de cada uno de los intervalos. Por lo tanto: 5 + 8 + 11 + 6 = 30 repartidores.

III)

Verdadera, ya que los vehículos que consumen como mínimo 12 litros de bencina son los vehículos que están desde el intervalo [12, 16[ al intervalo [20, 24], luego al sumar los números de repartidores de cada intervalo es: 8 + 11 + 6 = 25 vehículos.

Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.


Datos ASE

Para analizar el gráfico, es conveniente realizar una tabla de distribución de frecuencias.

Puntajes [350, 450[ [450, 550[ [550, 650[ [650, 750[ [750, 850]

Nº de estudiantes 2 6 20 32 20

Frecuencia Acumulada 2 8 28 60 80

A) Verdadera, ya que el total de estudiantes que rindieron en ensayo es de 80. B) Verdadera, ya que el percentil 7 es el dato bajo el cual se encuentra el 7% de los datos. Luego para encontrar el intervalo en donde se encuentra el percentil 7 se realiza la siguiente operación:

80 x



100% 7%

x

80  7 100

 5,6 . Luego el percentil 7 es 5,6 y

ese dato se encontraría en el intervalo [450, 550[, según la columna de frecuencias acumuladas. C) Verdadera, ya que el decil 9 es equivalente al percentil 90, luego haciendo el mismo análisis de la alternativa anterior:

80 x



100% 90%

x

decil 9 es 72, dato que está en el intervalo [750, 850].

80  90 100

 72 . Por lo tanto el

D) Verdadera, ya que el segundo quintil es equivalente al percentil 40, luego realizando el mismo análisis de las alternativas anteriores:

80 x



100% 40%

x

80  40 100

 32 . Por

lo tanto el segundo quintil es 32, dato que se encuentra en el intervalo [650, 750[.

E) Falsa, ya que el segundo cuartil es equivalente al percentil 50, luego realizando el 80

mismo análisis de las alternativas anteriores:

x



100%

x

50%

80  50

el segundo quintil es 40 y se encuentra en el intervalo [650, 750[.

100

 40 . Luego


Datos ASE

Si del conjunto M = {1, 1, 2, 2, 3} se extraen todas las muestras posibles de tamaño 2 (sin reposición y sin orden) entonces existen cinco posibles casos: Caso 1: Si se extrae el primer 1, los posibles valores de extracción del segundo dato son: {1, 2, 2, 3}. Luego las medias respectivas son: x 1,1 =

11 2

 1 , x 1, 2 =

1 2 2



3 2

 1,5 , x 1, 2 =

1 2 2

1 3

 1,5 , x 1,3 =

2

2

Caso 2: Si se extrae el segundo 1, los posibles valores de extracción del segundo dato son: {1, 2, 2, 3}. Luego las medias respectivas son: x 1,1 =

11 2

 1 , x 1, 2 =

1 2 2



3 2

 1,5 , x 1, 2 =

1 2 2

1 3

 1,5 , x 1,3 =

2

2

Caso 3: Si se extrae el primer 2, los posibles valores de extracción del segundo dato son: {1, 1, 2, 3}. Luego las medias respectivas son: x 2,1 =

2 1 2

 1,5 , x 2,1 =

2 1 2

 1,5 , x 2, 2 =

22 2

 2 , x 2 ,3 =

23 2

 2,5

Caso 4: Si se extrae el segundo 2, los posibles valores de extracción del segundo dato son: {1, 1, 2, 3}. Luego las medias respectivas son: x 2,1 =

2 1 2

 1,5 , x 2,1 =

2 1 2

 1,5 , x 2, 2 =

22 2

 2 , x 2 ,3 =

23 2

 2,5

Caso 5: Si se extrae el 3, los posibles valores de extracción del segundo dato son: {1, 1, 2, 2}. Luego las medias respectivas son: x 3,1 =

3 1 2

 2 , x 3,1 =

3 1 2

 2 , x 3, 2 =

Además, la media de M es: x =

3 2 2

 2,5 , x 3, 2 =

11 2  2  3 5



9 5

3 2 2

 2,5

 1,8

Si se quiere conocer la mayor diferencia, en valor absoluto, entre las medias de todas las muestras y la media de M, ésta debe producirse entre la diferencia de la menor de las medias de las muestras y la media de M, o bien entre la diferencia de la mayor de las medias de las muestras y la media de M, entonces: |1 – 1,8| = |-0,8| = 0,8 |1,8 – 2,5| = |0,7| = 0,7

Por lo tanto la mayor diferencia que se produce entre la media de una muestra y la media de M es 0,8.


Datos Aplicación

Al lanzar 300 veces un dado común, de acuerdo a la tabla, se obtuvo 150 veces un 3 y 150 veces un 5. Por lo tanto la media aritmética (o promedio) es: x=

3  150  5  150 300



1.200 300

4

Entonces la desviación estándar se determina de la siguiente manera: 

(3  4) 2  150  (5  4) 2  150 300



(1) 2  150  (1) 2  150 300



150  150 300

 1 1


Datos Aplicación

Si los puntajes de Andrés son 650, 700 y 750, entonces la media aritmética(o promedio) de los puntajes es: x =

650  700  750 3



2100 3

 700

Entonces la desviación estándar de sus puntajes es:  



(650  700) 2  (700  700) 2  (750  700) 2 3 2  2500

  50 

3 2 3

(Descomponiendo)



(50) 2  (0) 2  (50) 2 3



2500  2500 3


Datos Comprensión

Si X es una variable aleatoria que se distribuye de manera normal, con media μ = 18 y desviación estándar σ = 3. Para transformar la variable aleatoria X en una variable aleatoria Z de distribución normal tipificada, se realiza de acuerdo a la siguiente expresión: Z = Z12 =

12  18 3

X  μ



σ

6 3

, Luego si se quiere conocer el valor de Z cuando X = 12, entonces:

 2


Datos Comprensión

Si X e Y se distribuyen de manera normal, ambas con media μ . Si σ x  σ y , entonces: I)

Verdadera, ya que entre más pequeña sea la desviación estándar, menos dispersos son los datos y, por lo tanto, la curva se hace más alta. Por lo tanto la curva de Y es más alta que la curva de X.

II)

Falsa, ya que el área bajo la curva en ambas distribuciones debe contener al 100% de sus respectivos datos, es decir que en ambas curvas el área bajo ellas es 1.

III)

Falsa, ya que el valor máximo de cada curva es determinado por la media μ . Como ambas distribuciones poseen la misma media, entonces sus máximos se ubican bajo la misma posición.

Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.


Azar Aplicación

Como a cada una de las cuatro personas que participan en la carrera se les regala una polera, de la cual hay siete colores distintos para elegir y ninguno se repite, entonces para conocer de cuantas maneras distintas esas cuatro personas pueden hacer su elección se puede utilizar el principio multiplicativo:

Colores:

7 para elegir · 6 para elegir · 5 para elegir · 4 para elegir = 840

Personas:

1º

2º

3º

4º

Por lo tanto, las cuatro personas tienen 840 maneras distintas para elegir una polera de un color determinado.


Azar Aplicación

Caja A: {3 bolitas rojas, 2 azules} Caja B: {4 bolitas amarillas, 2 bolitas rojas} Si se extrae de cada caja una bolita de manera alternada, sin reposición y comenzando con la caja A, se tiene: Pcaja A(Azul) · Pcaja B(Roja) · Pcaja A(Roja|Azul) · Pcaja B(Amarilla|Roja) = =

48 600



2 2 3 4

  

5 6 4 5

2 25


Azar Aplicación

Al responder cinco preguntas de verdadero y falso al azar, se está dando el mismo caso de lanzar una moneda cinco veces. Luego, calcular la probabilidad de que tres estén correctas y dos estén incorrectas es lo mismo que calcular la probabilidad de que en tres monedas salga cara y en dos salga sello (o viceversa, que es la misma). Este análisis es posible realizarlo con el triángulo de Pascal: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 s o o o l l l l l l e e e s s s

s o l l e s

s s o o l l l l e e s s

0 1 2 / / / s s s a a a r r r a a a c c c

3 / s a r a c

4 5 / / s s a a r r a a c c

5 4 3

2 1 0

Según este, al lanzar cinco monedas hay 32 posibles resultados distintos, de los cuales, en 10 de ellos salen tres caras y dos sellos. Luego, la probabilidad de este resultado es

10

.

32

Por lo tanto, la probabilidad de que tres de las preguntas estén correctas y dos estén incorrectas es

10

.

32


Azar Aplicación

Como a la reunión asistieron 500 jóvenes, de los cuales dos quintos son mujeres, entonces la cantidad de mujeres que asistieron son: cantidad de hombres son: 500 – 200 = 300.

2 5

 500  200 mujeres, por lo tanto la

De las mujeres, la mitad prefiere el rol de magos, por lo tanto las mujeres que prefieren el rol de magos es: 100 mujeres. Un octavo de las mujeres prefiere el rol de luchador, por lo tanto la cantidad de las mujeres que prefieren dicho rol es:

1 8

 200 = 25 mujeres. Si el

resto de las mujeres prefiere el rol de lanzador, entonces la cantidad de ellas que prefiere dicho rol es: 200 – 100 – 25 = 75 mujeres. De los hombres(300),

1 3

prefiere ser lanzadores, entonces:

prefieren el rol de lanzador. 2 5

2 5

1 3

 300 = 100 hombres que

de los hombres prefiere el rol de luchador, esto es

 300 = 120 hombres prefieren dicho rol. Si el resto de los hombres prefiere ser mago,

entonces 300 – 100 – 120 = 80 hombres prefieren ser magos. Si se escoge una persona al azar, entonces para determinar la probabilidad de escoger a una mujer que prefiera el rol de lanzador o a un hombre que prefiera el rol de mago conviene hacer una tabla

Sexo Hombres Mujeres

Magos 80 100

Luchadores 120 25

Lanzadores 100 75

Entonces, P(Mujer lanzadora u Hombre mago) = P(Mujer lanzador) + P(Hombre mago) P(Mujer lanzadora u Hombre mago) =

75 500

+

80 500

=

155 500

=

31 100


Azar Aplicación

Si la caja contiene tarjetas con las letras de la palabra NEUMÁTICO, entonces hay 5 tarjetas con una vocal y 4 tarjetas con una consonante. Si se extrae 4 tarjetas, sin reposición y se define la variable aleatoria X como el número de vocales extraídas, entonces X puede tomar valores: 0 vocales  se extrae 4 consonantes. 1 vocal  se extrae 1 vocal y 3 consonantes. 2 vocales  se extrae 2 vocales y 2 consonantes. 3 vocales  se extrae 3 vocales y 1 consonante. 4 vocales  se extrae 4 vocales. Por lo tanto los valores que puede tomar la variable aleatoria X es: {0, 1, 2, 3, 4}


Azar ASE

I)

Falsa, ya que no se puede asegurar que la mayor parte de las extracciones sea una ficha de color amarillo.

II)

Verdadera, ya que la ley de los grandes números predice que teóricamente la cantidad de veces que se extrae una ficha de color verde o una ficha de color azul tiende a ser la frecuencia relativa de extraer una ficha verde o la ficha azul. Como la probabilidad de extraer una ficha verde es de extraer una ficha azul es

1 4

1 4

= 0,25 = 25% y la probabilidad

= 0,25 = 25%, teóricamente el número de veces que

se extrae una ficha verde o una ficha azul es el mismo. III)

Verdadera, ya que si el experimento se realiza 280 millones de veces, según la Ley de los Grandes Números teóricamente en extraer una ficha azul, entonces

1 4

1 4

de los lanzamientos se puede

· 280 millones = 70 millones de veces.

Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.


Azar Aplicación

Si Diego lanza una moneda dos veces, ganará $500 si obtiene dos caras y perderá $200 en cualquier otro caso. Por lo tanto los posibles resultados del juego son: {Cara, cara} Gana $500 {Cara, Sello} Pierde $200 {Sello, cara} Pierde $200 {Sello, sello} Pierde $200 Si se define la variable aleatoria X de la siguiente manera: Gana $500, si salen dos caras X= Pierde $200, en otro caso Por lo tanto las probabilidades de ganar o perder dinero son: P(ganar $500) = P(perder $200) =

1 4 3 4

Entonces el valor esperado (esperanza matemática) del resultado del juego de Diego es: E(X) = 500 ·

1 4

- 200·

3 4

= 125 – 150 = -25. Por lo tanto el valor esperado es que Diego

pierda $25.

71. La alternativa correcta es C Unidad temática Habilidad

.

Azar ASE

Se definen los eventos: A: Botellas producida por la máquina A B: Botellas producidas por la máquina B BD: Botellas defectuosa. Se debe calcular la probabilidad de que la botella haya sido fabricada por la máquina A siendo que venía defectuosa. Es decir, el evento A está condicionado por el evento BD. P(A/BD) 

P(A  BD) P(BD)

Si sabemos que la máquina A produce en total 5000 botellas y la máquina B un total de 3000, entonces la fábrica produce en total 8000 botellas. Además se sabe que la probabilidad de que una botella en buen estado se fabrique en la máquina A es de un

95%, por lo tanto la probabilidad de que venga defectuosa es del 5%, mientras que la probabilidad de que salga en buen estado de la máquina B es de 94%, por lo tanto que venga defectuosa de la máquina B es de 6%. Entonces: P(A/BD) 

P(A/BD) 

P(A  BD) P(BD)

P(A  BD) P(A  BD)  P(B  BD)

P(A)· P(BD) P(A)·P(BD)  P(B)·P(BD) 5000

P(A/BD) 

=

8000 100 5000 5 3000



8000 100



25

25

800

= 800 =

5



6

·

8000 100

=

25 800



18

43

25 · 800 800 · 43

=

25 43

800

800

Por lo tanto la probabilidad de escoger una botella fabricada por la máquina A, sabiendo que ésta es defectuosa es de

25 43

.


Azar ASE

X = cantidad de 3 obtenidos al lanzar un dado. Por lo tanto la variable aleatoria X solo puede tomar dos valores: X = 0 (ningún 3), X = 1(se obtiene un 3) Por lo tanto P(X = 0) =

5 6

y P(X = 1) =

1 6

Por lo tanto la altura de la barra m = 0 debe ser hasta ser hasta

1 6

5 6

y la altura de la barra m = 1 debe

.

Como la línea L pasa por

5 6

y la recta J pasa por

1 6

de m = 1 deben llegar hasta L y J, respectivamente.

, entonces la barra de m = 0 y la barra


Azar ASE

X es una variable aleatoria con distribución normal tipificada. Como P(-a  X  a) = b  P(X  -a) = P(X  a), por la simetría de la gráfica de la distribución normal tipificada. Entonces: P(X  -a) + P(-a  X  a) + P(X  a) = 1 2·P(X  a) + b = 1 P(X  a) =

1  b 2

(Reduciendo términos y reemplazando)

(Despejando)

 P(X  -a) =

1  b 2

Además se sabe que P(X  c) = d. Como 0 < c < a, entonces: P(c  X  a) = P(X  c) - P(X  a) P(c  X  a) = d P(c  X  a) =

1  b 2

2d  1  b 2

(Reemplazando los valores) (Desarrollando)



b  2d  1 2



(1) a  b = 2. Con esta información y la del enunciado no es posible determinar el valor numérico de a, ya que si a = 1, b = 2; a = 2, b = 1; a = -1, b = -2; a = -2, b = – 1. (2) a < b < c. Con esta información y la del enunciado no es posible determinar el valor numérico de a, ya que se desconoce el valor numérico de b y c. Con ambas informaciones, no es posible determinar el valor numérico de a, ya que los valores de a que cumplen con ambas informaciones son: a = – 2, si b = – 1, y a = 1, si b = 2. Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.


Ecuaciones y sistemas de primer grado ASE

Se define M como el dinero que recibe Matías, F como el dinero que recibe Felipe y B como el dinero que recibe Bárbara, entonces del enunciado se establece que: M + F + B =6.00000 M=F+B (1) Felipe recibe la mitad de lo que recibe Bárbara. Con esta información es posible determinar cuánto recibe cada uno. De la información se establece que: F=

B 2

 2F = B

Por lo tanto se forma el siguiente sistema de ecuaciones: M + F + B = 6.00000 M=F+B 2F = B El cual se puede resolver, reemplazando la segunda ecuación en la primera. (2) Matías recibe el triple de lo que recibe Felipe. Con esta información es posible determinar cuánto dinero recibe cada uno. De la información se desprende que M = 3F. Por lo tanto se forma el siguiente sistema de ecuaciones: M + F + B = 6.00000 M=F+B M = 3F Luego, se pueden encontrar los valores de M, F y B. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola, (1) ó (2)


Ecuación de segundo grado y función cuadrática ASE

f(x) = x2 – ax – a + 1  el gráfico intersecta al eje de las abscisas en los puntos (x 1 , 0) y (x2 , 0). (1) a es un entero positivo. Con esta información no es posible determinar los puntos de intersección del gráfico con el eje de las abscisas, ya que se desconoce el valor de a. (2) a2 = 16. Con esta información no es posible determinar los puntos de intersección del gráfico con el eje de las abscisas, ya que si a 2 = 16  a = 4 ó a = – 4, por lo que habrían dos posibles funciones, estas son: si a = 4  f(x) = x2 – 4x – 4 +1  f(x) = x2 – 4x – 3

si a = -4  f(x) = x2 + 4x +4 +1  f(x) = x2 + 4x +5 Cada una de ellas con sus respectivos puntos de intersección con el eje de las abscisas. Con ambas informaciones, es posible determinar las intersecciones del gráfico con el eje de las abscisas. Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas, (1) y (2)


Transformaciones isométricas ASE

Si la recta L pasa por el origen y M un punto sobre la parte positiva del eje y, entonces M tiene la forma: M(0, y), con y > 0. (1) La ordenada de M es 3. Con esta información no es posible encontrar el punto simétrico de M respecto a la recta L, ya que el punto M es de la forma M(3, 0). Sin embargo, como solo se sabe que la recta L pasa por el origen, hay infinitas rectas que pasan por el origen, tanto crecientes como decrecientes. (2) L es creciente. Con esta información no es posible encontrar el punto simétrico de M respecto a la recta L, ya que se desconoce las coordenadas del punto M y por el origen pasan infinitas rectas crecientes. Con ambas informaciones, no es posible encontrar el punto simétrico de M, ya que de la primera condición se tiene que M(3, 0) y de la segunda se tiene que L es creciente, sin embargo hay infinitas rectas crecientes que pasan por el origen, por lo que no hay un solo punto simétrico de M. Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.


Geometría analítica ASE

(1) L intersecta al eje X en el punto (p, 0). Con esta información es posible determinar el valor numérico de k , ya que se puede reemplazar el punto en la ecuación de la recta. (2) L intersecta al eje Y en el punto (0, p). Con esta información no es posible determinar el valor numérico de k, ya que al reemplazar el punto en la ecuación de la recta L se tiene: k · 0 + p = p  p = p Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.


Datos ASE

(1) El rango de la muestra es 12. Con esta información y la del enunciado no es posible determinar la varianza del conjunto de números, ya que si a < b < c, entonces el rango será: c – a = 12. Pero no hay mayor información respecto al valor de b. Si se observa en la recta numérica:

a

b

c

12 (2) b es igual a la media aritmética (o promedio) de la muestra. Con esta información no es posible determinar la varianza del conjunto, ya que se desconocen los valores de a, b y c. Sin embargo, dado que a < b < c, eso quiere decir que son números distintos ente sí, por lo que b corresponde a un número que se ubica en la mitad entre a y c. En la recta numérica se observa:

a

b x

c x

Con ambas juntas, es posible determinar la varianza del conjunto de números, ya que de la primera condición se tiene que c – a = 12 y de la segunda condición b está en medio de a y c. Luego, como se observa en la recta numérica:

a

b 6

c 6

La varianza se puede obtener mediante la fórmula:   2

( x  a) 2  ( x  b) 2  ( x  c) 2 3

la recta numérica se obtiene que ( x  a)  6 , ( x  b)  0 y ( x  c)  6 , y con ello se puede llegar a un valor para la varianza. Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas, (1) y (2).

, de

Solucionario Ensayo

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