I. Nyatakan apakah pernyataan yang diberikan benar atau salah dengan memberi alasan (dapat berupa bukti, contoh penyangkal, atau koreksi).
1. Semua vektor berbentuk 2. Jika
(v
1
, v2 )
( a , 0, 0 ) merupakan sub ruang dari
R
3
.
adalah himpunan tidak bebas b ebas linier, maka setiap vektor adalah kelipatan skalar
dari vektor lainnya. 3. Setiap matriks yang memiliki determinan tak nol memiliki sebuah dekomposisi QR. 2 0 4. Jika λ = adalah sebuah nilai eigen dari A, maka A adalah mattriks singular.
. Jika
T 1 : U → V
T 2 T 1 ∘
satu, maka
T 2 : V →W
dan
adalah trans!ormasi linier dan "ika
T 1
bukan satu ke
"uga bukan satu ke satu.
II. Isilah titik-titik dengan jawaban yang tepat M 22
1. #isalkan
adalah ruang vektor dari matriks matriks 2 $ 2. %entukan %entukan 2 matriks yang merentang
M 22 5
2. Jika dari
T A : R → R Ax = 0
3
adalah perkalian dengan A, dan "ika "ika rank
( T ) A
=
2
, maka solusi umum
memiliki &&&&&&..'berapa banyak( parameter.
3. %entukan %entukan 2 buah matriks tak nol 2 $ 2 yang tidak similar, dan "elaskan mengapa keduanya tidak similar.
III. Carilah penyelesaian dari soal berikut
1 2 + − 1 B = 2 1 3 *
+ 2 − 1 )
4 3 1 1
1. #isalkan diberikan matriks matriks berikut
a. -arilah basis untuk ruang kolom dari %. b. -arilah komplemen ortogonal dari ruang basis %. /. %entukan %entukan rank dan nulitas dari %. + + 1 r − 2 2 + A = + s −1 r + 2 + + 3 2. %entukan nilai0nilai
r
s
dan
dari matriks
"ika
Rank ( A ) =2 .
3. 'a( %un"ukkan persamaan pada R
⟨u , v ⟩
=
u 1 v 1 + 2 u2 v 2 + 3 u3 v 3
adalah sebuah hasilkali dalam
3
.
'b(. Jika 'a( merupakan ruang hasilkali dalam dan mempunyai basis
B ={ (−6,−6, 0 ) , ( −2,−6, 4 ) , ( −2,−3, 7 ) }
. -arilah basis ortonormal untuk ruang
hasilkali dalam tersebut. 4. #isalkan diberikan matriks berikut
[
3 /4
3/ 4
3/4
P= −3 / 4 −17 / 12 −17 / 12 2 /3
0
2/ 3
] B
#atriks adalah matriks transisi dari suatu basis B
Jika asis
'
{(
=
6, 6, 0 ) , ( 2,
−
−
−
A =
. iketahui matriks
[
2 1 −1 −
6, 4 ) , ( 2,
−
−
−
1
−
1
2 −1
−
1 2
A
'a(. %entukan nilai eigen dari #atriks
3,7 )
−
}
ke basis
B
'
pada ruang vektor R B
, maka tentukanlah basis
3
.
] 5
.
'b(. %entukan basis untuk ruang eigen dari matriks A . P
'/(. %entukan sebuah matriks
A
yang mendiagonalisasi
se/ara ortogonal.
1
−
'd(. %entukan P A P . S
. erhatikan basis v1
=
(1,0,0 )
T ( v 1)
1
, v2 , v3 )
untuk 3
1, 4 )
−
R
T ( v 2 )
( 3,0,1 ) dan
T ( v 3 )
T ( x 1 , x 2 , x 3 )
'a(. %entukan sebuah rumus untuk
'b(. engan menggunakan rumus 'a( tentukan 2
T : R → R
. #isalkan
v1
, dimana
=
(1,1,1 ) ,
v2
=
(1,1,0 ) dan
adalah operator linear sedemikian sehingga
=
,
3
3
T : R → R
dan misalkan
( 2,
=
(v
=
(
1,5,1 )
= −
. T ( 2,4,
1)
−
3
adalah operator linear yang dide!inisikan oleh rumus
T ( x , y ) =( x − y , y − x , 2 x −2 y ) , 'a(. %entukan
Ker ( T )
T
'b(. %entukan apakah 2
( [ ]) ( )
T
u1
x 1
=
x 2
[]
=
1 1
adalah satu ke satu.
2
T : R → R
*. #isalkan
.
adalah operator linear yang dide!inisikan oleh
x 1− x 2 x1 + x 2
dan
dan
B
u2
(u
=
1
, u2 )
[ ]
=
1 0
adalah sebuah basis sedemikian sehingga
−
. %entukan
[ T ]
B
'
.
5555555555555555555555555555 imh 555555555555555555555555555555555555
.
