i
Kata Pengantar
Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggar penyelenggaraan aan kuliah jarak jauh. Se jalan dengan tujuan penyelenggaraan perkuliahan, materi modul ajar ini dipilih dari pokokpokok aljabar matriks sebagai sebagai bahan penyeragaman penyeragaman pemahaman aljabar martriks bagi mahasiswa. hasiswa. Dalam hal ini, setelah mengikuti mengikuti kuliah sesuai materi materi dalam modul ajar ini, diharapkan mahasiswa mempunyai bekal yang cukup baik untuk mengikuti perkuliahan. Materi yang diberikan dalam modul ajar ini cukup untuk ukuran perkuliahan satu semester. mester. Untuk itu, materi dalam modul ini diberikan dengan cara sederhana sederhana dan contoh singkat; mengingat bahwa semua materi harus diserap sendiri. Untuk itu diharapkan peserta kuliah dengan tekun dan sungguh-sungguh mengikuti modul ini dan aktif mengerjakan soal-soal. Penyusun Penyusun menyampaika menyampaikan n terimakasih terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu hingga tersusunnya tersusunnya modul ini. Tak lupa, kritik dan saran untuk menyempurnaka menyempurnakan n modul ini sangat diharapkan.
Surabaya, Januari 2007 Penyusun
ii
Daftar Isi
Kata Pengantar
ii
Daftar Isi
iii
1
2
3
4
5
Sistem Persamaan Linear
1
1.1
Soal-Soal Latihan Pengantar SPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Soal-Soal Latihan Penyelesaian SPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Soal-Soal Latihan Matriks dan Operasinya . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Soal-Soal Latihan Matriks Invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
Soal-Soal Latihan Matriks Elementer dan Mencari Invers . . . . . . . . . .
5
1.6
Soal-Soal Latihan Matriks Diagonal, Segitiga dan Simetris . . . . . . . . .
6
Determinan
7
2.1
Soal-Soal Latihan Fungsi Determinan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Soal-Soal Latihan Cara Lain Menghitung Determinan . . . . . . . . . . . .
8
2.3
Soal-Soal Latihan Sifat Fungsi Determinan . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4
Soal-Soal Latihan Kofaktor dan Matriks Invers . . . . . . . . . . . . . . .
10
Vektor dan Operasinya
11
3.1
Soal-Soal Latihan Pengantar Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.2
Soal-Soal Latihan Panjang Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.3
Soal-Soal Latihan Dot Product, Proyeksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.4
Soal-Soal Latihan Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Transformasi Linear dan Sifat
14
4.1
Soal-Soal Latihan Transformasi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4.2
Soal-Soal Latihan Sifat Transformasi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Ruang Vektor
17
5.1
Soal-Soal Latihan Ruang Vektor Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
5.2
Soal-Soal Latihan Kombinasi Linear dan Membangun . . . . . . . . . . . .
18
iii
5.3
Soal-Soal Latihan Bebas Linear
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
5.4
Soal-Soal Latihan Basis dan Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
5.5
Soal-Soal Latihan Ruang Baris, Ruang Kolom dan Ruang Kosong . . . . .
19
5.6
Soal-Soal Latihan Rank dan Nulitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
iv
1 Sistem Persamaan Linear 1.1
Soal-Soal Latihan Pengantar SPL
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Persamaan-persamaan manakah yang termasuk persamaan linear? (a) 2x + 3y + 2z = 6 (d)
1 2
x + 3y 2 = 6
(b) 2xy + 3y + 2z = 6 (e)
1
x
+ 3y
−z =6
(c) 2x + 3y = 2z + 6 (f)
1 4
x
−
2 3
y=6
2. Jika p adalah suatu konstanta, persamaan manakah yang termasuk persamaan linear (a) 2x + 3y = sin p
(b) py + 3x + 2z = π
(c) px + p1 y = 6
3. Buatlah matriks A, x dan b yang dapat mewakili sistem persamaan linear dibawah ini
2x + 3y + 4z = 6
−3x + 3y − 6z
= 12
4. Buatlah matriks diperbesar dari sistem persamaan linear dibawah ini
3x + 4y
− 3z
= 12
−x + 2y + 9z −3y + 2x + 6z
= 21
1
= 22
2
1.2. Soal-Soal Latihan Penyelesaian SPL
5. Apakah sistem linear dibawah termasuk sistem linear homogen
3x + 2 y = 3z
−x + 9z
= 2y
−3y + 11z
= 2x
6. Cari sistem persamaan linear dari matriks diperbesar dibawah ini
−
3
−13
1
81
12
2
32
3
33
3
32
1
12
11
7
34
2
1
−3
23 55
3
4
1.2
4
−22
Soal-Soal Latihan Penyelesaian SPL
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Diantara matriks-matriks tersebut yang termasuk matriks yang berbentuk eselon, eselon tereduksi, atau bukan keduanya
(a).
(e).
1 2 1 0 1 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1
(b).
(f).
1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
(c).
(g).
1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0
(d).
(h).
2. Selesaikan sistem dibawah ini dengan metode eliminasi Gauss
1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0
2x + 2y + 2z = 12 x + 2y + 3z
= 14
3x + y + 2z = 11 3. Selesaikan sistem dibawah ini dengan metode eliminasi Gauss-Jordan
x + 2y + 2z x+y
3x Modul Aljabar Matriks ITS
= 9
− 3z
= 2
− y + 2z
= 9 BPKLN-DepDikNas
3
1.3. Soal-Soal Latihan Matriks dan Operasinya
4. Selesaikan sistem linear homogen dibawah ini dengan metode sebarang
x + 2y + 2z x+y
3x
= 0
− 3z
= 0
− y + 2z
= 0
5. Selesaikan sistem linear dibawah ini dengan metode sebarang
x1 + 2x2 + 2x3 x1 + x2
2x1
− 2x
3
− 3x
= x4 = 2x3
4
+ 2x4 = x2
6. Carilah nilai a, sedemikian hingga sistem linear tersebut mempunyai satu penyelesaian, banyak penyelesaian dan tidak mempunyai penyelesaian
x1 + 2x2
− 3x
= 4
− x + 5x + (a − 14)x
4
= 2
3
= a+2
3x1 4x1 + x2
1.3
3
2
2
Soal-Soal Latihan Matriks dan Operasinya
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Diketahui matriks beserta ukurannya, yaitu A3×4 , B3×4 , C 4×2 , D3×2 , dan E 4×3 , tentukan manakah yang dapat dilakukan, jika tidak dapat dilakukan beri komentar (a) B A
(b) A C + D
(c) A E + B
(d) A B + B
(e) E (B + A)
(f) E (A C )
(g) E T A
(h) (AT + E ) D
2. Diketahui persamaan matriks dibawah ini
a-b
b+c
3d+c 2a-4d
=
16
2
14 12
carilah nilai a, b, c dan d 3. Pandang matriks-matriks dibawah ini
X =
1 2 3 6 4 3
Y =
4
−2
−1 2
Z =
Hitung operasi matriks dibawah (jika memungkinkan) Modul Aljabar Matriks ITS
2
3
0
−2
−1 2
W =
1
2
3
−2
6
2
BPKLN-DepDikNas
−1 0
5
4
1.4. Soal-Soal Latihan Matriks Invers
(a) XY (e) Y X
(b) Y Z
− Z
(f) ZX
− 2Y
(c) ZW
(d) W X
(g) 3Y + ZX
(h) XZ
− 2W
4. Carilah matriks A berukuran 4
× 4, yang anggotanya memenuhi syarat yang dinyatakan 1, |i − j | > 1 (a) a = i + j (b) a = i (c) a = −1, |i − j | ≤ 1 Jika matriks A berukuran p × q , maka ij
5.
j −1
ij
ij
tr(AAT ) = tr (AT A) = s dimana s adalah jumlah kuadrat anggota-angota A.
1.4
Soal-Soal Latihan Matriks Invers
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. Diketahui empat matriks, yaitu
A=
2 3 3 5
B=
5
−3
−3 2
C =
4 5
−3 4
D=
4 3 5 4
1. Hitunglah (a) AB
(b) AC
(c) AD
(d) BA
(e) BC
(f) BD
(g) CA
(h) CB
(i) CD
(j) DA
(k) DB
(l) DC
Apa yang dapat saudar simpulkan ? 2. Gunakan hasil kesipulan soal sebelumnya, kemudian hitunglah (a) A3
(b) B 3
(c) C 3
(d) D 3
(e) (A−1 )3
(f) (B −1 )3
(g) (C −1 )3
(h) (D −1 )3
(a) (AB )3
(b) (AB )−1
(c) (CD)−1
(d) (DC )3
3. Gunakan hasil dari soal sebelumnya, kemudian hitung (a) A2
− 2A + I
Modul Aljabar Matriks ITS
BPKLN-DepDikNas
5
1.5. Soal-Soal Latihan Matriks Elementer dan Mencari Invers
(b) B 2
− 2B + I (c) (A − 2A + I )(B − 2B + I ) 2
2
4. Hitunglah (a) AT
(b) B T
(c) C T
(d) D T
(e) (A−1 )T
(f) (B −1 )T
(g) (C −1 )T
(h) (D −1 )T
(a) (AT B T )−1
(b) (B −1 A−1 )T
(c) (C T DT )T
(d) (DC )T
5. Matriks
A=
1 0 1 1 1 0 0 1 1
Tentukan apakah A mempunyai invers atau tidak, jika punya, carilah inversnya (petun juk selesaikan AX = I )
1.5
Soal-Soal Latihan Matriks Elementer dan Mencari Invers
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Manakah diantara matriks dibawah ini yang termasuk matriks elementer
a.
1
0
−3
1
b.
− 3 1
1
c.
0
1 0
√05
0 1
d.
1 0
2. Carilah operasi baris yang menghasilkan matriks elementer berikut
a.
0 1
b.
1 0
− 3 0
0
c.
1
1
0
0 52
d.
1
0
−3
1
3. Diketahui matriks
−
3
A=
2
3 6
8
1
1
−3 2
−
8
B=
1
3 6
3
2
2
−3 1
−
3
C =
2
Carilah matriks elementer E 1 , E 2 , E 3 dan E 4 , sedemikian hingga a. E 1 A = B
b. E 2 B = A
c. E 3 A = C
3
2
1
6
−3
−3
0
d. E 4 C = A
4. Pandang matriks
A=
Modul Aljabar Matriks ITS
1
0
−3
3
BPKLN-DepDikNas
6
1.6. Soal-Soal Latihan Matriks Diagonal, Segitiga dan Simetris
(a) Cari matriks elementer E 1 dan E 2 sedemikian hingga E 2 E 1 A = I (b) Tulis A−1 sebagai perkalian dua matriks elementer (c) Tulis A sebagai perkalian dua matriks elementer 5. Carilah invers dari
B=
1.6
1 2 3 2 5 3 1 0 8
Soal-Soal Latihan Matriks Diagonal, Segitiga dan Simetris
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Apakah matriks-matriks dibawah ini mempunyai invers, jika ya, cari inversnya
(a)
− 2 0
0
(b)
5
2 0 0 0 0 0 0 0 5
−
2 0 0
(c)
0
3 0
0
0 4
2. Hitunglah A2 , A−2 , dan A−l dari
(a) A =
− 2 0
0
3
(b) A =
2 0 0 0 1 0 0 0 3
(c) A =
1 2
0
0
0
1 3
0
0
0
1 4
3. Cari semua nilai a, b dan c, jika matriks A adalah simetris
A=
2 a 3 0
− 2b + 2c
2a + b + c
5
a+c
−2
7
4.
Modul Aljabar Matriks ITS
BPKLN-DepDikNas
2 Determinan 2.1
Soal-Soal Latihan Fungsi Determinan
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Carilah jumlah pembalikan dari permutasi 1, 2, 3, 4, 5, 6
{
(a) (1, 2, 3, 6, 4, 5)
(b) (6, 5, 4, 3, 2, 1)
}
(c) (4, 3, 5, 6, 1, 2)
(d) (3, 2, 1, 5, 4, 6)
2. Hitung determinan berikut
(a)
2 3 6 1
(b)
3. Hitung determinan berikut
1 2 2
(a) 3 5 1 2 2 3
−
3 2
5
1
(b) 0 2
3
−3
2
2
3
−2
1
(c)
2
−3
6
4
0 2 1
(c) 1 0 1 2 2 0
(d)
(a)
α
− 2 −5 1
α+4
(b)
7
α
−4
2
−3 4
0 2 1
(d) 1 0 1
4. carilah nilai α sehingga determina dari matriks berikut bernilai nol
3
0
0
0
α
2
0
3 α
−1
0 2 1
8
2.2. Soal-Soal Latihan Cara Lain Menghitung Determinan
5. Gunakan aturan yan gsudah diperoleh unutk mendapat nilai determian dari matriks berikut
2.2
2 1 1 0 3 2 2 0 2 5 1 1 1 2 4 2
Soal-Soal Latihan Cara Lain Menghitung Determinan
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Hitung determinan berikut dengan cepat
(a).
1 2 1 0 1 2 0 0 1
(b).
1 0 1
3
0 2 0
2
0 0 1
−3 −3
0 0 0
(c).
2. Hitung determinan berikut dengan mencongak
(a).
1 2 3 4 1 6 2 4 6
(b).
1 2 4
−4
0
1
0
5
0
(c).
1 4 1 3 1 3 6 6 6
1 0 0 2
1 0 0 2
0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1
3. Dengan melakukan reduksi, hitung determinan berikut
(a).
1 2 3 4 9 6 2 4 7
(b).
1 2 4
−4
0
1
5
5
3
(c).
4. Dengan menggunakan reduksi baris, buktikan
Modul Aljabar Matriks ITS
1
1
1
x
y
z
x2
y2
z2
= (y
2 1 1 0 3 3 1 0 4 2 0 1
(d).
(d).
(d).
1 10 1
−2
3
1
9
−2
3
1 1 0 0 0 9 0 1 0
1 1 0 2 4 9 3 1 0
− z)(z − x)(z − y)
BPKLN-DepDikNas
9
2.3. Soal-Soal Latihan Sifat Fungsi Determinan
5. Tunjukan bahwa determinan dibawah ini benar
(a)
2.3
0 0 z 0 y z x y
z
=
(b)
−xyz
0 0 0 z 0 0 y z 0 x y z t
x
y
z
Soal-Soal Latihan Sifat Fungsi Determinan
= txyz
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Periksalah bawha det(kA ) = k n det(A)
(a) A =
− 1 2
2
3
;k = 2
(b)
2. Periksalah bahwa det(AB ) = det(A)det(B )
1 2 0 4 3 0 0 0 2
1 2
5
2 3
4
7 9 11
−
;k =
1 1 3
B=
dan
1
7 2
0
5 1
−2
3. Periksa matriks-matriks dibawah ini, apakah mempunyai invers atau tidak
X =
1
0
9
−1
8
9
−1 4
−1
−
4
Y =
4. Pandang
dengan mengasumsikan bahwa det(Z ) = (b) det(A−1
8
2 1
Z =
(a) det(3A)
2
−4
3
1
6
a
d
h
b
e
i
c
f
j
Z =
2 6 5
−7 −21 −9
0 0 0
−5, maka hitung
(c) det(2A−1 )
(d) det(2A)−1 )
5. Berapa nilai k agar matriks A mempunyai invers
(a) A =
− 3 −2 −2 k − 2
k
Modul Aljabar Matriks ITS
(b)
1 2 4 3 1 6 k
3 2
BPKLN-DepDikNas
10
2.4. Soal-Soal Latihan Kofaktor dan Matriks Invers
2.4
Soal-Soal Latihan Kofaktor dan Matriks Invers
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Pandang matriks
A=
4 0
−1 0
4
1
4
1
1
6
−3
3
0
14
3
2
Hitung semua Minor, Kofaktor dari matriks A?
2. Dengan menggunakan matriks soal pertama, hitung perluasan kofaktor untuk (a) baris pertama
(b) kolom pertama
(c) baris ketiga
(d) kolom kedua
3. Pandang
1 3 1 1 2 5 2 2 1 3 8 9 1 3 2 2
(a) Hitung A−1 dengan menggunakan teorema yang ada (b) Hitung A−1 dengan menggunakan OBE (c) Manakah yang lebih efisien 4. Dengan aturan Cramer, hitunglah, x1 , x2 dan x3
4x1
+ 5x2
11x1 + x1
Modul Aljabar Matriks ITS
x1
= 2 + 2x3 = 3
+ 5x1 + 2x3 = 1
BPKLN-DepDikNas
3 Vektor dan Operasinya 3.1
Soal-Soal Latihan Pengantar Vektor
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Sketsa vektor-vektor berikt dengan titik pangkal pada titik asal (a) v 1 = (2, 6)
(b) v 2 = (4, 2)
(c) v 3 = (8, 6)
(d) v 4 = (6,
(e) u1 = (1, 2, 6)
(f) u2 = (3, 4, 2)
(g) u3 = ( 2, 8, 6) (h) u4
−
−3) = (6, −3, −2)
2. Carilah vektor tak-nol v dengan titik pangkal pada titik P (1, 2, 3) sedemikian hingga (a) v mempunyai arah yang sama dengan u = (3, 2, 1) (b) v berlawanan arah dengan u = ( 3,
− −2, 3)
3. Carilah semua skalar k1 , k2 dan k3 sedemikian hingga
k1 (1, 2, 0) + k2 (2, 1, 1) + k3 (1, 7, 5) = (0, 5, 4) 4. Jika x = (1, 2, 3), y = ( 1, 4, 3) dan z = (1,
−2, 5), hitunglah (c) z − x + y (d) x − 2x + 3y
−
(a) x + y
(b) z
− 2y
5. Carilah u sehingga memenuhi
2u
− x + y = 2z − 3y + 5u 11
12
3.2. Soal-Soal Latihan Panjang Vektor
3.2
Soal-Soal Latihan Panjang Vektor
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Hitung panjang vektor-vektor dibawah ini (a) v 1 = (2, 6)
(b) v 2 = (4, 2)
(c) v 3 = (8, 6)
(d) u1 = (1, 2, 6)
(e) u2 = (3, 4, 2)
(f) u3 = ( 2, 8, 6)
(g) w1 = ( 1,
(h) w 2 = (6,
(i) w 3
− −2, 8, 6)
−3, 6, −3)
− = (−2, 6, −3, −2)
2. Carilah jarak antara titik P dan Q, jika (a) P (2, 6) dan Q(4, 2)
(b) P (8, 6) dan P ( 2, 3)
(c) P (1, 2, 6) dan Q(3, 4, 2)
(d) P (1, 8, 6) dan P ( 3,
−
− −2, 3) (e) P (−1, −2, 8, 6) dan Q(6, −3, 6, −3) (f) P (−2, 6, −3, −2) dan Q(−2, 6, −3, −2) 3. Jika u = (3, 2, 1), v = ( 3,
− −2, 3) dan w = (3, 2, −3) hitungkah ekspresi dibawah ini (b) u − v (c) u + v
− v (d) u + 2v + 3w (a) u
(e)
1
u
v
(f)
1
u
v
Dot Product, Proyeksi
3.3
Soal-Soal Latihan Dot Product, Proyeksi
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Hitung u v , jika
(a) u = (2, 6) dan v = (4, 2)
(b) u = (8, 6) dan v = ( 3, 2)
(c) u = (1, 2, 6) dan v = (3, 4, 2)
(d) u = ( 2, 8, 6) dan v = ( 3,
(e) u = (1, 2, 8, 6) dan v = (6, 3, 6, 3)
−
− − −3, 2) (f) u = (−2, 6, −3, 2) dan v = (−2, 3, 2, 3)
2. Cari proyeksi ortogonal u terhadap a (a) u = (2, 6) dan a = (4, 2)
(b) u = (8, 6) dan a = ( 3, 2)
(c) u = (1, 2, 6) dan a = (3, 4, 2)
(d) u = ( 2, 8, 6) dan a = ( 3,
(e) u = (1, 2, 8, 6) dan a = (6, 3, 6, 3)
−
− − −3, 2) (f) u = (−2, 6, −3, 2) dan a = (−2, 3, 2, 3)
3. Carilah komponen vektor dari u yang ortogonal terhadap a dari Soal 2
4. Hitunglah Proya u dari Soal 2 Modul Aljabar Matriks ITS
BPKLN-DepDikNas
13
3.4. Soal-Soal Latihan Cross Product
3.4
Soal-Soal Latihan Cross Product
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Hitung u
× v, jika
(a) u = (1, 2, 6) dan v = (3, 4, 2)
(b) u = ( 2, 8, 6) dan v = ( 3,
− − −3, 2) (d) u = (−2, 6, −3) dan v = (−2, 3, 2)
(c) u = (1, 2, 8) dan v = (6, 3, 6)
2. Cari vektor yang ortogonal baik terhadap u dan v (a) u = (1, 2, 6) dan v = (3, 4, 2)
(b) u = ( 2, 8, 6) dan v = ( 3,
−
− −3, 2)
3. Carilah luas yang dibangun oleh u dan a (a) u = (1, 2, 6) dan v = (3, 4, 2)
4. Carilah hasil kali ganda tiga u (v
(b) u = ( 2, 8, 6) dan v = ( 3,
−
× w)
(a) u = ( 1, 2, 4),
v = (3, 4,
(b) u = (3,
v = (2, 4, 3),
−
−1, 6),
Modul Aljabar Matriks ITS
− −3, 2)
−2),
w = ( 1, 2, 5)
− w = (5, −1, 2)
BPKLN-DepDikNas
4 Transformasi Linear dan Sifat 4.1
Soal-Soal Latihan Transformasi Linear
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Carilah matriks standar dari transformasi linear yang didefinisikan dibawah ini a. w1 = 2x + 3y + 2z,
w2 = x + 3y + 2z
b. w1 = 2x + 3y + 2z,
w2 = 2x + 3y + 2z,
c. w1 = 2x + 3y + 2z
− 2t,
w3 = 2x
− 3y + 4z w = 2x − 3y + 4z − 2t
w2 = 2x + 3y + 2z + t,
2. Carilah matriks standar untuk transformasi linear T :
w1
= 3x1 + 5x2
w2
= 2x1
w3
= x1
R3
3
3
→R
yang diberikan oleh
−x
3
− 5x + 3 x − 5x + 2x 2
2
3
3
dan hitung T ( 1,
− −2, 3) dengan secara langusng mensubstitusikan pada persamaan
tersebut dan dengan perkalian matriks.
3. Carilah matriks standar transformasi linear yang diberikan rumus seperti dibawah ini a. T (x1 , x2 ) = (x1 + x2 , x1 b. c.
− 3x , 4x1 + 2x ) T (x , x , x ) = (x + x − x , x1 − 3x + 2x , 4x1 + 2 x − 4x ) T (x , x , x , x ) = (x + x − x , x1 − 3x + 2x − x , 4x1 + 2x − 4x − 2x ) 1
2
3
1
2
3
1
4
2
2
1
2
3
2
2
3
3
2
d. T (x , y , z) = (0, 0, 0, 0, 0)
14
2
3
4
3
2
3
4
15
4.2. Soal-Soal Latihan Sifat Transformasi Linear
4. Dengan menggunakan matriks pencerminan, carilah hasil dari s = ( 1, 2) jika di-
−
lakukan pencerminan terhadap a. sumbu-x b. sumbu-y c. garis-y = x d. sumbu-x kemudian garis-y = x e. garis-y = x kemudian sumbu-x
5. Dengan menggunakan matriks pencerminan, carilah hasil dari s = ( 1, 2, 3) jika di-
−
lakukan pencerminan terhadap a. bidang-xy b. bidang-xz c. bidang-yz d. bidang-xy kemudian bidang-y = x e. bidang-y = x kemudian bidang-xy
6. Carilah matriks standar untuk transformasi linear yang mentransformasi secara ortogonal pada a. sumbu-x b. sumbu-y 7. Carilah matriks standar untuk transformasi linear yang mentransformasi secara ortogonal pada a. bidang-xy b. bidang-xz c. bidang-yz 8. Carilah matriks transformasi untuk rotasi pada
4.2
R2
Soal-Soal Latihan Sifat Transformasi Linear
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Cari matriks standar untuk operator linear yang sesuai dari persamaan-persamaan berikut ini Modul Aljabar Matriks ITS
BPKLN-DepDikNas
16
4.2. Soal-Soal Latihan Sifat Transformasi Linear
a.
w1
= 2x1 + 3x2
w2
= 3x1
− 4x
2
b.
w1
= 2x1 + 3x2
− 2x
w2
= 3x1
+ x3
w3
= x1 + 2x2 + 2x3
− 4x
2
3
2. Tunjukan bahwa daerah hasil dari operator linear dengan pesamaan dibawah ini
w1
= x1
− 2x
w2
= 4x1 + x2 + 2x3
w3
= 5x1
2
−x
2
+ x3
+ 3x3
tidqk berada di R3 dan cari sebuah vektor yang tidak berada di daerah hasil. 3. Anggal l adalah garis pada bidang-xy yang melalui titik asal dan membentuk sudut θ dengan sumbu-x positif dengan 0
2
2
≤ θ < π, dan T : R → R
adalah operator linear
yang memetakan setipa vektor ke proyeksi ortogonalnya ke garis l. a. Cari matriks standar untuk T b. cari proyeksi ortogonal vektor x = (1, 5) pada garis yang melalui titik asal yang membentuk sudut θ =
π 6
dengan sumbu-x positif.
4. Carilah operator linear balikan T −1 dari soal nomor 1
Modul Aljabar Matriks ITS
BPKLN-DepDikNas
5 Ruang Vektor 5.1
Soal-Soal Latihan Ruang Vektor Real
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Himpunan semua pasangan dua bilangan (x, y) dengan operasi
(x, y) + ( x , y ) = (x + x , y + y ),
k (x, y) = (3kx, 3ky )
2. Himpunan semua pasangan tiga bilangan (x , y , z) dengan operasi
(x , y , z) + ( x , y , z ) = (x + x , y + y , z + z ),
k (x , y , z) = (kx,y,z)
3. Himpunan semua pasangan bilangan real yang berbentuk (x, 0) dengan operasi-operasi standar pada R2 4. Himpunan semua matriks 2
× 2 berbentuk
a 1
1 b
dengan penjumlahan dan perkalian skalar matriks 5. Himpunan semua matriks 2
× 2 berbentuk
a
a+b
a+b
b
dengan penjumlahan dan perkalian skalar matriks 6. Gunakan Teorema ?? untuk menentukan manakah yang termasuk sub-ruang dari R3 17
18
5.2. Soal-Soal Latihan Kombinasi Linear dan Membangun
(a) semua vektor berbentuk (x, 0, 0) (b) semua vektor berbentuk (x, 1, 1) (c) semua vektor berbentuk (x , y , z) dengan x = y + z (d) semua vektor berbentuk (x , y , z) dengan y = x + z + 1
5.2
Soal-Soal Latihan Kombinasi Linear dan Membangun
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Nyatakan vektor-vektor dibawah ini merupakan kombinasi linear dari p¯ = (1,
q¯ = (2, 1, 4) dan r¯ = (3, 2, 5) (a) (6, 11, 6)
(b) (0, 0, 0)
−1, 3),
(c) (5, 6, 7)
2. Nyatakan matriks-matriks dibawah ini merupakan kombinasi linear dari matriks
p¯ =
(a)
0 0 0 0
1 2
(b)
−1 3
6 0 3 8
q¯ =
0 1
q¯ =
2 4
(c)
5 1
−1 7
4
0
−2 −2
3. Apakah vektor-vektor dibawah ini membangun R3 (a) p¯ = (1,
−1, 3), q¯ = (2, 1, 4) dan r¯ = (3, 2, 5)
(b) p¯ = (1, 1, 1), q¯ = (0, 1, 1) dan r¯ = (0, 0, 1) (c) p¯ = (1, 2, 6), q¯ = (3, 4, 1), r¯ = (3, 2, 5) dan s¯ = (1, 2, 5)
5.3
Soal-Soal Latihan Bebas Linear
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Apakah himpunan vektor dibawah ini yang bebas linear atau tak bebas linear
{(8, 1, 3), (2, 3, 5)} (b) {(8, 1, 3), (2, 3, 5), (2, 3, 4)} (c) {(8, 1, 3), (2, 3, 5), (2, 3, 4), (1, 2, 7)} (a)
Modul Aljabar Matriks ITS
BPKLN-DepDikNas
19
5.4. Soal-Soal Latihan Basis dan Dimensi
2. Untuk nilai real α berapakah vektor berikut ini membentuk suatu himpunan vektor yang bebas linear
v¯1 = (α,
−1, −1),
v¯2 = ( 1, α,
−
3. Tunjukan bahwa vektor-vektor u1 = (4,
−1),
−7, 1, 3), u
v¯3 = ( 1,
− −1, α),
2
= (6, 0, 5, 1) dan u3 = (0, 3, 1, 1)
−
merupakan himpunan vektor yang tak bebas linear di R4
4. Nyatakan setiap vektor pada soal 3 sebagai kombinasi linear dari dua vektor yang lainnya.
5.4
Soal-Soal Latihan Basis dan Dimensi
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Apakah himpunan vektor dibawah ini merupakan basis untuk R2 (a) (1, 2), (3, 0)
(b) (4, 1), (7, 8)
(c) ( 3,
− −9), (4, 12)
2. Apakah himpunan vektor dibawah ini merupakan basis untuk R3 (a) (1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3) 3.
(b) (3, 1,
−4), (2, 5, 6), (1, 4, 8) (c) (1, 6, 4), (−1, 2, 5), (2, 4, 1) Carilah koordinat vektor v¯ relatif terhadap basis S = {v¯ , v¯ , v¯ } (a) v¯ = (−2, 1, −3), v¯ = (1, 0, 0), v¯ = (2, 2, 0), v¯ = (3, 3, 3) (b) v¯ = (5, −12, 3), v¯ = (3, 1, −4), v¯ = (2, 5, 6), v¯ = (1, 4, 8 1
1
2
1
2
3
3
2
3
4. Carilah basis dan dimensi dari ruang penyelesaian dari sistem linear berikut (a) 3x1 + x2 + x3 + x4 = 0, (b) x1
5.5
− 4x
2
+ 3x3
−x
4
= 0,
5x1
−x +x −x =0 2x − 8x + 6x − 2x = 0 2
1
3
4
2
3
4
Soal-Soal Latihan Ruang Baris, Ruang Kolom dan Ruang Kosong
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Carilah basis ruang kosong dari matriks dibawah ini
(a)
1 4 3
Modul Aljabar Matriks ITS
−1 3 −3 −3 3
2
− −
1
(b)
3 2 1
−4 −5 −5 −9 −2 1 4 −1 3
0
5
7
8
−1 −2 −1
BPKLN-DepDikNas
20
5.6. Soal-Soal Latihan Rank dan Nulitas
2. Carilah basis ruang baris dari matriks-matriks pada Soal 1 3. Carilah basis ruang kosong dari matriks-matriks pada Soal 1
5.6
Soal-Soal Latihan Rank dan Nulitas
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Tunjukan bahwa rank (A) = rank(AT ) dari matriks dibawah ini
(a) A =
1
2
2
3
−2 −1
3
5
2
−2
0
5
2
4
1
(b) A =
2 1 4 3 6 5 8 7
−2 1 −4 −1 −6 1 −8 −1
2 3 2 2
2. Carilah jumlah parameter yang dibutuhkan pada soal 1 3. Carilah null (A) dari soal 1
Modul Aljabar Matriks ITS
BPKLN-DepDikNas
Daftar Pustaka
[1] Howard Anton, 2000, Dasar-Dasar Aljabar Linear, Interaksara, Batam. [2] Steven J. Leon, 2001, Aljabar Linear dan Aplikasinya, Erlangga, Jakarta.
21
