Al j abarLi nearEl ement er MA1 223 3 SKS Si l abus : BabI Mat r i ks danOper asi nya BabI I Det er mi nanMat r i ks Bab I I I Si st em Per sam aa n Li near Bab VI Vekt ordi Bi dan g dan i dRuan g BabV Ruan g Ve kt or BabVI Ruan g Hasi l Kal i Dal am Bab VI I Tr ansf or masiLi near BabVI I I Ruan g E i ge n 25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
1
Si st em Per samaanLi near ( SPL) Su b Pokok aha B san
– Pendahul uan – Sol usiSPLdenganOBE – Sol usiSPLdenganI nver smat r i ksdanAt ur an Cr ammer – SPLHomogen Beber ap a Apl i kas i Si st em Per samaanLi near Ra ngkai an l i st ri k Ja r i nganKomput er Mo de lEko nomi da n l ai nl ai n. 25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
2
1.Pe nda hul ua n Per samaanl i near adal ah e p r samaan i man d a pe ubah nya si n t i dak mem uat ek sp onen si al ,t r i go nomet r i( sep er t i , c os, dl l . ) , per kal i an, pem bagi an den ga n peu bah l ai n at au di ri nyasen di r i . Cont oh : x) dan2 P y)( Ji kaper usahaanAmembel i1Lapt op( C makai a h ar us membayar$ 50 00 , sedan gkanj i ka membe l i 3 La pt op dan 1 PC makai a har us memba yar $ 10000. Repr es en t asi dar i masal aht er se but dal am ben t uk SPL x+2y = 5000 3x+y = 10000 25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
3
Bent uk umum si st em per samaan l i near a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2
a m1 x1
+
... + a 2 n x n
= b2
+a
m2
x2
+ ... + a mn x n = bm
Dap atdi t ul i s d al am ben t uk : a11 a12 a1n x1
a21 am1
25/10/16 10:33
a22
am 2
a2 n amn
b1 x 2 = b2 bm xn
MA-1223 Aljabar Linear
4
Atau AX=B
di mana –A di namakanmat r i kskoefisi en –X di namakan at m r i kspe ubah –B di namak an m ar t i ks kon st an t a
Cont oh:
Per hat i kanbah wa S PL x+2y = 5000 3x+y = 10000 dapat di t ul i s d al am ben t uk per kal i an mat r i ks
1 3 25/10/16 10:33
2
1
x y
=
10000 5000
MA-1223 Aljabar Linear
5
Sol usi SPL Hi mpunanbi l an ganRealdi man a i j ka di subst i t usi kanpad a p eubahsuat u SPL ak an memenuhi ni l aikeb enar anSPL t er sebut .
Per hat i kanSPL : x+2y = 5000 3x+y = 10000 Maka x= 3000, y =1 { 000 } mer upak ansol usi SPL e tr sebut { x= 1000, y= 3000 } bukan sol usiSPL i t u Suat u SPL, t er kai t den gansol usi , mem punyai t i ga ke mungki nan : – SPL mempunyaisol usi t unggal – SPL mempunyaisol usi t akhi ngg a b an yak – SPL i t dakmempunyaisol usi 25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
6
I l ust r asiSol usiSPL den ga n ga r i s p ada kar t esi us y
y = 2x - 2 y=x
2
( 2, 2) mer upakan t i t i k pot on g dua ga r i s er tseb ut Ti dakadat i t i kpot ongyangl ai n sel ai n t i t i k t erse but
(2, 2) x
1 2
Ar t i nya :
SPL 2x – y = 2 x–y=0
Mem punyai sol usit unggal , yai t u x =2, y =2 25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
7
Perhatikan SPL x –y
=0
2x – 2y = 2
Ji ka di gam bardal am kar t es i us y
y=x
1
y=x–1
x
Ter l i hat bahwa dua ga r i s er tseb ut adal ah sej aj ar Ta k akan per nah di per oeh l t i t i k pot on g k ed ua ga r i s t i u Art i nya SPL di at asTI DAK mempunyaisol usi 25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
8
Perhatikan SPL
x –y
=0
2x – 2y = 0
Ji kakeduar uaspadaper samaankeduadi kal i kan½ Di per ol eh per samaanyan g sama den ganper s. per t ama Ji ka d i gam bardal am kar t es i us
y
2 x – 2yy==00
x Ter l i hat bahwa dua gari s e ts reb ut adal ahber i mpi t Ti t i k pot on g k ed ua ga r i s b anyaksek al i di sep anj ang ga r i s e ts reb ut Art i nya SPL d i at asmem punyaiol s usit ak i h ngg a ba nyak 25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
9
Sol usi Si st em Per samaa n Li nea r den ga n OBE • Tul i s SPL al dam ben t uk mat r i ks yan g di per bes ar • Laku kanOBE sampai menj adi esi l onbar i st er edu ks i Cont oh : Ten t ukan sol usidar i SPL 3x–y=5 x+3y=5 Ja wab : Mar t i ks yan g di per besar dar i S PL
3 −1 1 3
5
5
25/10/16 10:33
~
1 3 3 −1
5
1 3 5 ~ ~ 5 0 − 10 − 10 MA-1223 Aljabar Linear
1 0
3 1
5
~ 1 1 0
2
0
1
1
10
Tu l i s k em bal i mat r i ks yan g d i per bes ar hasi l OBE men j adi per kal i an mat r i ks
1
0
0
1
x = y
2 1
Sol usiSPL t er seb ut adal a x h= 2 dan y=1 Cont oh : usi( Tent ukansol j i kaada)dar iSPLber i kut:
a.
25/10/16 10:33
a+c = 4 a – b =– 1 2b+c =7
MA-1223 Aljabar Linear
11
b. a + c = 4 a – b =– 1 –a+b =1 c. a + c = 4 a – b =– 1 –a+b =2 Ja wab : a. 1 0 1 4 1 − 1 0 − 1 0 2 1 7
1 0 0
0
0
1
1
0
2
0 1
3
Ter l i hatbahwasol usiSPLadal ah a = , 1b = , 2 d an c=3 25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
12
b. 1
0
1 −1 −1 1
1 0 0
− 1 1
1 0 0
4
0
1
1
1
0
0
5 0
1
Ji kadi kembal i kankedal am bent ukper kal i anmat r i ks di per ol eh:
1 0 0
1
1
1 b =
5
0
0 c
0
0
1 a
a+c= 1 da I ni member i kan nb+c=5. Dengan m emi l i hc=t , di man atad al ahpar amet er . Mak a sol usiSPL t er se but ad al ah:
a − 1 1 b = − 1 t + 5 c 1 0
25/10/16 10:33
, di man atad al ahpar amet er MA-1223 Aljabar Linear
13
c. 1 0 1 −1 −1 1
1 0 0
− 1 2 4
1 0 0
0
1
1
1
0
0
5 1 1
Ter l i hatbahwaadabar i snolpadamat r i kskoefisi ent et api mat r i ks kon st an t a p ad a bar i s ke3 sa ma d en gan1 ( t aknol )
1 00
0 1 0
1 a
1 b = 0 c
1 5 1
Dar i bar i s ke3 di per ol eh hubunganbah wa 0. a+0. b+ 0. c = 1. Takadani l aia , b danc yangmemenuhikesamaan i ni . Jadi , SPL t er seb ut t i dak m em i l i ki so l usi . 25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
14
Con t oh : Di ket ah ui SPL : x+2y–3z=4 3x–y+5z=2 4x+y+( a – 4 1 z )=a+2 Tent ukana se hi ngga PL S: a.Mempunyaiso l usi t ungg al 2
b.Ti dakmempunyaisol usi c.Sol usiya ng i t dak t er hi ngg a
25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
15
Jaw ab: Mat r i k di per besar dar i SPL adal ah
1 2 3 −1 4 1
-3 5
a 2 - 14
2 ~ a + 2 4
1 2 0 − 7 0 − 7 1
~ 0
0
a2 - 2
− 10 a − 14
2
-3
4
−7
14
0
a 2 - 16
-3 14
4
− 10 a − 4
a.AgarSPL mem punyai sol usit ungg a: l 2 a – 16 ≠ 0 se hi ngg aa≠ ± 4
25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
16
1 2 0 − 7 0 0
-3
− 10 a − 4 4
14
a 2 - 16
b. Per hat i kan bari s ket i ga a –16a)z=a–4 0x+ 0y+ ( SPL t i dakmempunyai sol usi saat a – 16 = 0 dan≠a– 04 Seh i ngg a a=± 4 da n a≠ 4. Jadi ,a = – 4. c. S PL mempunyaisol usi t ak i h ngg a ba nyak a – 16= 0 dan a – 4 = 0 Jadi,a=4 2
2
2
25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
17
Sol usi SPL den ganMat r i ks I nver s a11 a11 a1n x b1 a11 a11 a 2n x b = 2 x a a a b nn n n1 n1 n 1
2
Atau AX=B – 1 Kal i kan set i ap u ras di at as den ga n – 1B A–1 A X = A
A
di per ol eh: X=A–1 B
I ngatbah wa suat u mat r i k A s mempunyaii nver s j i ka dan hanya j i ka
≠ 0. Det( A) 25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
18
Con t oh: Tent ukansol usidar iSPLber i kut: a+c = 4 a – b =– 1 2b+c =7 Ja wab : 1 0 1 Per hat i kanbah wa A
=
1 0
-1 2
0 1
= 1
≠ 0
JadiAmempunyaiI nver s A
25/10/16 10:33
−1
-1 = -1 2
MA-1223 Aljabar Linear
2
1
1
1
-2
- 1 19
X=A B ber seh i ngga ben t uk : – 1
a -1 b = -1 c 2
2 1 -2
1
1 - 1
4 1 - 1 = 2 7 3
Jadi , Sol usiSPL t er seb ut adal ah a
b = c
25/10/16 10:33
1
2 3
MA-1223 Aljabar Linear
20
Sol usi SPL den ga n at ur an r C amer Mi sal kanSPL di t ul i s d al am ben t uk AX = B, yai t u : a11 a11 a1n x1 b 1 a11 a11 a 2n x2 b2 = b a a a nn x n n1 n1 n
Ji kadet er mi nanA t i daksama den gannol mak a s ou lsidap atdi t en t ukansat u per sat u ( peu b i , ah x)keLa ngkah l an gkah at ur an c r amer ad al ah: • Hi t ung de t er mi nan A i ukanA mat r i ksAdi man a ko l om ke -d i ga nt i ol ehB. • Tent Cont oh : a11 b1 a1n i
i
A2
25/10/16 10:33
a = 11 a n1
b2
bn
a2n
a nn
MA-1223 Aljabar Linear
21
t ung A || • Hi i
• Sol usi SPL u nt uk p eubah xiadal ah xi
=
det( Ai ) det( A)
Con t oh : Tent ukansol usib d ar i SPL ber i kut : a+c = 4 a – b =– 1 2b+c =7
Jawab: Per hat i kanbah wa A
25/10/16 10:33
=
1
0
1
-1 0
0
2
MA-1223 Aljabar Linear
1
=1
1 22
Maka b
det ( Ab )
=
det ( A )
=
1
4
1
1
-1 0
0
7
1
1
= 1 -1 7
0 1
+
(-4) 1 0
0 1
+ 11
0
-1 7
= 1 ( - 1 - 0 ) + (-4) ( 1 - 0 ) + 1 ( 7 - 0 ) = -1 +
(-4)
+7 =2
Jad i , Sol usi peubahb yan g memenuhi SPL ad b al = ah 2 25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
23
Tent ukansol usi SPL u nt uk peub a ah ?
( Aa ) det ( A )
det
a=
4
0
1
-1 -1 0 7
=
25/10/16 10:33
2
1
1
-1 0
4
= = =
4 ( - 1 - 0 ) + 1 ( - 2 - (-7) ) -4
2 1
+0+1
-1 -1
=
+0+
7
2
5
1 MA-1223 Aljabar Linear
24
Si st em Per samaa n Li near Homog en Bent uk um um a11x1 + a12 x2 + + a1n xn
=0 a21x1 + a22 x2 + + a2n xn = 0
am1x1 + am 2 x2 + + amn xn
=0
• SPL o h mogen mer upaka n SPL ang y ko nsi st en, se l al u mem punyai sol usi . • Sol usiSPL homogen di kat ak ant unggal j i ka sol usii t u = = = = adal ah { x1 x 2 x n 0} • Ji ka i t dak dem i ki an , SPL homog en mempunyaisol usi t akhi ngga ban yak. ( bi asan ya i d t ul i s d al am ben t uk par amet er ) 25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
25
Cont oh: Te nt ukansol usi SPL h omog en ber i kut 2p+q–2r–2s = 0 p–q + 2rs – =0 –p +2q–4r+s= 0 3p – 3s =0 SPL dap atdi t ul i s d al am ben t uk
2
1
-2
-2
0
1 -1
2
-1
0
1
0
-1
2
-4
3
0
0
25/10/16 10:33
-3 0
MA-1223 Aljabar Linear
26
dengan m el aku kan B OE di pe r ol eh :
1
0
0
-1
0
1 -2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0 0
Maka l so usi SPLhomog en adal ah: p=a, q =2b , s =a dan , r = b, di mana a,b mer upak anpar amet er .
25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
27
Cont oh : Di ket ah ui SPL
-b 0 0
0 1- b 1
1 1 - b 0
x y z
0 = 0 0
baga a.Te nt ukan r SPL mem i l i ki sol usit ak hi ngg a ban yak b.Tul i skansol usiSPLt er sebut
Ja wab : Sol usi suat u SPL h omoge n ad al aht akt ungg al j i kadet ( A) = 0. 25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
28
−b
0
0
0
1− b
1
0
1
1− b
⇔ ( − b)
=0
1− b
1
1
1− b
=0
⇔ ( b) –b) ( ( 1b – ) ( 1 – )– 1 = 0 ( –b) ( b2 –2b + 1 1 – ) b2–2b) ( –b)(
= 0
=0
b = 0 at bu a =2 b = bu Sol usiSPL t akhi nggaan b yaksaa t 0 at a =2 25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
29
• Sa atb=0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
x y z
0 = 0 0
Deng an O BE maka
0 0 0 0 0 0 0 1 1 ~ 0 1= 1 0 1 1 0 0 0 Mi sal kan p, q ad al ah par amet er Ri i l , maka
x y z
25/10/16 10:33
p = −q q
=
1 0 0
0 p + -1 1
MA-1223 Aljabar Linear
q
30
• Sa atb=2
− 2 0 0 x 0 − 0 1 1 y = 0 0 1 − 1 z 0 De an O BE maka ~ng − 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 00 −11 −11 ~ 00 −11 −11 ~ 00 11 −− 11 ~ 00 10 −01 Mi sal kanq ad al ahpar amet er Ri i l , mak a
x 0 0 y = q = 1 q z q 1 25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
31
Cont oh 9:
Perh at i kan i l ust r asise gi t i gaberi kut : γ
b
a β
α c
Tunj ukanbahwa: 2 a2 =b2 +c –2bccosα
25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
32
Ja wab :
Dar i gam bart er seb ut di ket ah ui bah wa : ccosβ + bcosγ =a ccosα + acosγ =b bcosα +acosβ =c
atau
0 c b
25/10/16 10:33
c 0
a
cos α a cos β 0 cos γ
b
a = b c
MA-1223 Aljabar Linear
33
Per hat i kanbah wa :
0 det c b
c
c a a = 0 + c ( )− 1 1+ 2 () + b − 1 1+3 b 0 0 = −c ( ab) +( b) ac = 2abc
b
0
a
c
0
b a
Denganat ur anCr ammer di per ol eh bah wa :
cos α
=
25/10/16 10:33
a
c
b
b
0
a
c
a
0
2abc
=
2abc 1
b a
)( c − 1 1+ 2 )(
MA-1223 Aljabar Linear
c
0
+ 0 + a − 1 3+ 2
a b b
a
34
cos α
= =
ac 2
− a 3 + a 2b 2 2abc
c2
− a2 + b2 2bc
Jadi ,t er buktbahwa : 2 a2 =b2 +c –bccosα
25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
35
Lat i hanBab 3 1. Ten t ukan sol usiSPL ber i kut : 2a − 8b = 12 3a − 6b = 9 − a + 2b = −4
2. Ten t ukansol usiSPL : 2p–2q–r+3s=4 p–q+2s=1 –2p+2q–4s=–2
3. Te nt ukansol usi SPL homoge n ber i kut : p − 5q − 4r − 7t
=0 2 p + 10q − 7r + s − 7t = 0 r + s + 7t = 0 − 2 p − 10q + 8r + s + 18t = 0
25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
36
4. Diketahui SPL AX = B
A=
1
0
1 -1 0
2
0 , 1 1
X
x1 = x2 x 3
d!
1 B = − 1 1
Tent ukansol usiSPLdiat asdenganmenggunakan: – oper asibar i sel ement er( OBE ) – I nver smat r i k – At ur anCr amer
5. Di ket ahui
3 − 1
1
1 X − X 2 2
Tent ukan 25/10/16 10:33
X
x = 1 x3
2 − 2 = 0 5 4 4
x2
x4
yangmemenuhi .
MA-1223 Aljabar Linear
37
6.SPLhomog en ( de nganpe ubah p,q, danr ) p + 2q + r
=0
q + 2r
=0 k p + ( k + 1) q + r = 0 Tent ukanni l aik se hi ngga PL S punya sol usit unggal 2
7. Mi sal kan B = 1 3 5 3
Tent ukanvekt ort aknol u = x sehi ngga
y
25/10/16 10:33
MA-1223 Aljabar Linear
Bu
=
6u
38
