MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO OBJETIVO DEL EXPERIMENTO : 1.Mostrar las características y el resultado experimental del movimiento armonico amortiguado. 2.Estudiar las propiedades propiedades del movimiento oscilatorio amortiguado amortiguado . 3.Utilizar un sistema compuesto por un objeto de masa m sujeto a un resorte e inmerso en un fluido viscoso. 4.En particular , se analiza el efecto producido por la presencia del fluido en la amplitud y frecuencia frecuencia del movimiento resultante . FUNDAMENTO TEORICO : Un pendulo, un cuerpo moviendose sujeto a un resorte, los atomos vibrando en una molecula, los electrones de una antena radiante o receptora, son solo algunos pocos ejemplos de cuerpos que se mueven en forma oscilatoria, es decir, sistemas f ısicos f ısicos en los cuales cuales el movimiento ocurre en forma periodica con respecto a la posicion de equilibrio. El modelo mas sencillo, para describir un movimiento oscilatorio, corresponde a un cuerpo de masa m sobre el cual actua una fuerza fuerza proporcional proporcional al desplazamiento, desplazamiento, esto es F = −kx,
donde k se denomina constante elastica o constante del resorte. El objeto realiza un movimiento armonico simple oscilando indefinidamente y en tales circunstancias la ecuacion diferencial que describe el movimiento es :
+ 0
=
;
Aqui es la frecuencia de oscilacion del movimiento. La solucion mas general de la ecuacion 1 es: x (t ) = Asin(
t +
)
α
Esta expresion tiene dos dos constantes arbitrarias a determinar: la amplitud amplitud A, que permanece constante durante el movimiento, y la fase inicial
α
. Sin embargo, experimentalmente sabemos
que la amplitud de un cuerpo oscilante decrece gradualmente con el tiempo hasta que este se detiene, es decir, el movimiento oscilatorio esta amortiguado. Desde el punto de vista dinamico, el amortiguamiento es la respuesta a la accion de una fuerza de friccion actuando sobre el cuerpo. En particular, cuando un cuerpo se mueve a velocidad relativamente baja a traves de un fluido, la fuerza de friccion puede obtenerse aproximadamente suponiendo que es proporcional a la velocidad, y opuesta a ella:
F = - b *
Aqui b es una constante que da cuenta del grado de viscosidad del fluido. En estas nuevas condiciones, la ecuacion de movimiento del sistema es:
+ 2γ* +
= 0
; siendo 2γ =
Para el caso de amortiguamiento pequeño , cuando γ <
dada por la siguiente expresión : X (t) = A
, la solución de la ecuación anterior esta
sen(w *t + α )
donde A y α son constantes arbitrarias determinadas por las condiciones iniciales y la frecuencia del movimiento es: w=
De acuerdo a la ecuación el caracter oscilatorio del movimiento se mantiene pero la amplitud del movimiento ya no es constante y esta dada por A . El exponente negativos indica que el
efecto de amortiguamiento es disminuir la amplitud de las oscilaciones. Notar tambien que la frecuencia de oscilacion es distinta a la “natural” del resorte sin amortiguamiento pero no cambia en el tiempo. INTRODUCCION DEL MOVIMIENTO AMORTIGUADO : Todos los osciladores reales están sometidos a alguna fricción. Las fuerzas de fricción son disipativas y el trabajo que realizan es transformado en calor que es disipado fuera del sistema. Como consecuencia, el movimiento está amortiguado, salvo que alguna fuerza externa lo mantenga. Si el amortiguamiento es mayor que cierto valor crítico, el sistema no oscila, sino que regresa a la posición de equilibrio. La rapidez con la que se produce este regreso depende de la magnitud del amortiguamiento, pudiéndose dar dos casos distintos: el sobreamortiguamiento y el movimiento críticamente amortiguado. Cuando el amortiguamiento no supera este valor crítico el sistema realiza un movimiento ligeramente amortiguado, semejante al movimiento armónico simple, pero con una amplitud que disminuye exponencialmente con el tiempo. Para ilustrar este tipo de movimiento consideremos una masa m unida al extremo de un muelle elástico de constante k, y a un amortiguador cuya fuerza de fricción es proporcional a la velocidad de la masa m en cada instante.
Posición en función del tiempo de un oscilador armónico amortiguado
curva azul: amortiguamiento crítico. curva roja: amortiguamiento doble que el crítico. curva verde: amortiguamiento igual a 90% del amortiguamiento crítico.
IMÁGENES :
Oscilaciones amortiguadas . La amplitud de la sinusoide esta controlada por la exponencial.
En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma varia con el tiempo (según una curva exponencial.
OSCILADOR AMORTIGUADO
OSCILADOR ARMONICO CON AMORTIGUADOR .LA FUERZA VISCOSA ES PROPORCIONAL A LA VELOCIDAD .
GRAFICA DEL MOVIMIENTO AMORTIGUADO POSICION VS TIEMPO
DISEÑO : MOVIMIENTO AMORTIGUADO EN UN PENDULO MEDIANTE UN SENSOR DE MOVIMIENTO.
TABLA DE DATOS GENERALES : TABLA Nº1 Nº 01 02 03 04 05
n 5 6 7 8 9
4 4.70 5.58 6.41 7.26
3.82 4.82 5.58 6.81 7.20
3.87 4.74 5.73 6.54 7.31
TABLA Nº2 Nº 01 02 03 04 05 06
n 25 48 60 72 112 142
12.52 48.57 59.27 65.51 88.27 124.57
16 16 16 16 16 16
15.0 14.4 13.9 13.3 13.0 12.6
CALCULOS: Calculando los periodos:
T =/3*n
T1 = (4+3.82+3.87)/15
T2=(4.70+4.82+4.74)/18
T1= 0.78 s
T2= 0.79 s
T3=0.80 s
T4 =(6.41+6.81+6.54)/24
T5=(7.26+7.20+7.31)/27
T4= 0.82 s a)Calcular la frecuencia natural
T3=(5.58+5.58+5.73)/21
T5= 0.81 s
del M.A.S
periodo (T) = Promedio de los 5 primeros datos de la tabla Nº1 T = (0.78 +0.79+0.80+0.82+0.81)/5 T =2π/
b)Calcular la frecuencia natural
T= 0.8 s
rad/seg
del M.A.S
Según la grafica Nº2 observamos que la pendiente es nuestro coeficiente de amortiguamiento
,y que el antilogaritmo del intercepto ,equivale a la amplitud de nuestro movimiento. Efectuando el respectivo ajuste ( y=A* de la expresion :
) , se pudo obtener el siguiente dato pendiente
y =15.589* La pendiente de la grafica es el valor de : -0.002 Con lo cual resulta que γ = -0.002 hertz c)Calcular la frecuencia del Mov Amortiguado (w > γ) INFRAAMORTIGUADO ) Sea la ecuación : w =
√ 0.002
w=
w = 7.849 rad/seg
2
; luego de pasar γ a rad/seg obtenemos como resultado:
Y LA EXPRESION : y = 15.59
sen( 7.85t + π/2 )
d)Calculando de la expresión de arriba y=A los valores A y B A =15.59 y B=0.002
GRAFICAS : GRAFICA Nº1: bosquejo de la función, mediante el software Logger Pro.
GRAFICA Nº2 :
AJUSTE EXPONENCIAL DE LA GRAFICA Nº1
GRAFICA X(cm) vs t(s) 18 16 14 ) 12 m c ( n10 o i c i 8 s o P 6
y = 15.589e-0.002x R² = 0.9296
Expon. ()
4 2 0 0
20
40
60
80
100
120
140
TIEMPO(t)
CONCLUSIONES : 1.Cuando aumenta la masa, aumenta el período del movimiento oscilatorio armónico.
2. Cuando aumenta la constante k, disminuye el período del citado movimiento. 3. Mediante este trabajo se ha intentado explicar el gran aprovechamiento educativo que se puede hacer usando la Dinámica de Sistemas para el análisis de los Movimientos Oscilatorios Forzado, Amortiguado y Armónico. 4. Empleando el mismo modelo, y modificando los valores de las variables según el caso a estudiar, se obtienen gráficas que facilitan enormemente el análisis, la comprensión y la discusión del sistema analizado. 5. La
ecuación obtenida, representa efectivamente el movimiento amortiguado, ya que a medida que transcurre el tiempo, el sistema cada vez oscila, se acerca mas a la posición de equilibrio.
RECOMENDACIONES: 1.Desempeñar muy bien el laboratorio como se logrado hasta ahora para asi desarrollar mejor tu aprendizaje exigiéndote al máximo. 2.Prestar atención a cada detalle que se da en el experimento , siendo observador y critico en el análisis empirico. 3.Resolver las preguntas que se hacen en el laboratorio y consultar cualquier inquietud o duda al profesor que esta para orientarte y asesorarte para mejorar tus conocimientos y aplicarlos.
BIBLIOGRAFIA : 1. Sears,Zemansky,Young,Feedman,Fisica Universitaria ,Vol I, Mexico,1998; Daish,Fender ,Fisica Experimental ,Uteha,Mexico ,1994 ; 2.R.Resnick and D. Halliday(1996) ; 3.Dinamica clásica de las partículas y sistemas Marion ,Jerry B.(1996) ; Simmons, George F.(1999) Ecuaciones Diferenciales ; 4.Fisica para la ciencia y tecnología (volumen 2) Tipler ,Paul A.(2000) ; 5.R.Langemann,Ciencia Fisica Experimental ,Editorial Norma ,1968. 6.Alonso ,Finn,Fisica : Mecanica ,Vol .I,Addisson Wesley Ibeoamericana ,EE.UU,1995 ; 7.Frish Timoreva ,Fisica Geneal ,Tomo I,MIR, Moscu,1987 ; 8.Mc Kelvey,Grotch,Fisica Para Ciencias e Ingenieria , HARLA, 1997 ; 9.Fisica II , Lic.Fis Ausberto R.Rojas Saldaña ,2007 ; 10.Fisica II, Lic. Humberto Leyva Naveros ,Segunda Edicion (2003) Y Tercera Edicion (2006).
