UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN FACULTAD DE INGIENERIA CIVIL, ARQUITECTURA Y GEOTECNIA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGIENERIA GEOLOGICA - GEOTECNIA
MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO El concepto del movimiento libre armónico no es realista porque el movimiento que describe
la ecuación supone que no hay fuerzas de retardo que actúen sobre la más en movimiento. Amenos que la más este colgada en un vacío perfecto, cuando menos habrá una fuerza de resistencia debida al medio que rodea al objeto. Según se advierte en la Figura 1, la masa podría estar suspendida en un medio viscoso o conectado a un dispositivo amortiguador. amortiguador.
Figura 1. Movimiento Libre Amortiguado
Ecuación diferencial del movimiento amortiguado libre En mecánica, se considera que las fuerzas de amortiguamiento amortiguamiento que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la velocidad instantánea. En particular, supondremos en el resto de la descripción que esta fuerza está expresada por un múltiplo constante de
. Cuando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema, se sigue por la
segunda ley de Newton:
Donde es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es consecuencia del hecho de que la fuerza amortiguadora actúa en dirección opuesta a la del movimiento.
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Al dividir la ecuación (1.1) entre la masa amortiguado es:
, la ecuación diferencial del movimiento libre
, o sea (1.2)
(1.3)
El símbolo 2λ solo se usa por comodidad algebraica, porque así la ecuación auxiliar queda y las raíces correspondientes son:
√ √
(1.4)
Ahora podemos podemos distinguir tres casos casos posibles que dependen del del signo algebraico algebraico de
Puesto que cada solución contiene al factor de amortiguamiento , λ > 0, los desplazamientos de la masa se vuelven insignificantes cuando el tiempo es grande.
CASO I:
Aquí-, se dice que el sistema está sobre amortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento, , es grande comparado con la constante de resorte, . La solución correspondiente correspondiente de (1.2) es
, o bien √ √
(1.5)
Esta ecuación representa un movimiento suave y no oscilatorio. La figura 2 muestra dos gráficas posibles de x (t).
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Figura 2.
CASO II:
Se dice que el sistema está críticamente amortiguado puesto que cualquier pequeña disminución de la fuerza de amortiguamiento originará un movimiento oscilatorio. La solución general de la ecuación (1.2) es:
, es decir (1.6)
En la figura 3 vemos dos típicos gráficos de este movimiento. Obsérvese que se parecen mucho a los de un sistema sobre amortiguado. También se aprecia, según la ecuación (1.6), que la masa puede pasar por la posición de equilibrio, a lo más una vez.
Figura 3.
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CASO III:
Se dice que el sistema está subamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento es pequeño en comparación con la constante del resorte. Ahora las raíces m 1 y m2 son complejas:
Entonces, la solución general de la ecuación (1.2) es:
√ √
(1.7)
Como se aprecia en la figura 4, el movimiento que describe (1.7) es oscilatorio pero, a causa del coeficiente
, las amplitudes de vibración tienden a cero cuando
Figura 4
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PROBLEMAS: EJEMPLO 1: Un contrapeso de 4 lb se une a un resorte cuya constante es de 2 lb/pie. El medio presenta una resistencia el movimiento numéricamente igual a la velocidad instantánea. Si el contrapeso se suelta de un punto a 1 pie de arriba de la posición de equilibrio con una velocidad de 8 pie/s hacia abajo, calcule el tiempo en que pasa por la posición de equilibrio. Encuentre el momento momento en que el contrapeso llega a su desplazamiento desplazamiento extremo respecto a la posición de equilibrio. ¿Cuál es su posición en ese instante? Solución: Tenemos que
. Entonces:
Por lo tanto la ecuación diferencial del movimiento es:
Las condiciones iniciales son:
La ecuación auxiliar de la ecuación diferencial:
Seria: Por lo tanto sus raíces son . Por lo
tanto el sistema es críticamente
amortiguado y
(1.8)
Al aplicar las condicione condiciones s iniciales:
{
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{
(1.9)
Para graficar , se calcula el valor de t donde la función tiene un extremo esto es, el valor del tiempo para que la primera derivada (velocidad) (velocidad) es cero. Al diferenciar la ecuación (1.9) tenemos:
Así que:
Por lo tanto el momento en que el contrapeso llega a su desplazamiento extremo, respecto a la posición de equilibrio. Sera:
() ()
