SECCIÓN 1.1
EJEMPLO 9
CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN
17
Encuentre una fórmula para la función f gra�cada gra�cada en la �gura 17.
y
1 0
x
1
FIGURA 17
SOLUCIÓN La recta que pasa por (0, 0) y (1, 1) tiene pendiente m 1 e intersección con
el eje y en b 0, por lo que su ecuación es y x . Así, por la parte de la grá�ca de f que une a (0, 0) con (1, 1), tenemos f x Forma punto-pendiente de la ecuación de la recta: y
y 1
si 0
x
1
x
La recta que une a (1, 1) y (2, 0) tiene pendiente m 1, por lo que su forma puntopendiente pen diente es
m( x x x 1)
Véase el apéndice B.
y 0 (1)( x x 2) o bien y
Así tenemos
2
f x
si 1
x
2 x
2
x
También vemos que la grá�ca de f coincide coincide con el eje x para para x 2. Reuniendo esta información, tenemos la siguiente fórmula en tres secciones para f :
f x
x
si 0
x
1
2
x si 1
x
2
0
si x
2
EJEMPLO 10
En el ejemplo C al principio de esta sección hemos considerado el costo C (w) de enviar por correo paquetes con peso w. En efecto, esto de�ne una función por secciones porque, por la tabla de valores en la página 13, tenemos C 1.50
1.00
C w
0.88
si 0
w
1
1.05
si 1
w
2
1.22
si 2
w
3
1.39
si 3
w
4
0.50
0
FIGURA 18
1
2
3
4
5
w
La grá�ca se muestra en la �gura 18. Puede verse por qué funciones similares a ésta se denominan funciones escalón: saltan de un valor al siguiente. Estas funciones se estudiarán en el capítulo 2.
Simetría Si una función f satisface satisface f ( x ) f ( x en su dominio, entonces f es es una fun x ) para todo x en 2 ción par. Por ejemplo, la función f ( x x ) x es par porque f
x
x 2
x 2
f x
El signi�cado geométrico de una función par es que su grá�ca es simétrica respecto al eje
22
CAPÍTULO 1
FUNCIONES Y MODELOS
58. Un rectángulo tiene 16 m2 de área. Exprese el perímetro del rectángulo en función de la longitud de uno de sus lados. 59. Exprese el área de un triángulo equilátero, como función de la longitud de un lado. 60. Exprese el área super�cial de un cubo en función de su volumen. 61. Una caja rectangular abierta con 2 m3 de volumen tiene una base cuadrada. Exprese el área super�cial de la caja en función de la longitud de uno de los lados de la base. 62. Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 30 pies, exprese el área A de la ventana en función del ancho x de la ventana.
67. En un determinado país, el impuesto sobre la renta se calcula como sigue. No hay impuesto sobre la renta para ingresos de hasta $10 000. Los ingresos de más de $10 000 se gravan con una tasa del 10%, hasta un ingreso de $20 000. Los ingresos superiores a $20 000 se gravan en 15 %. a) Esboce la grá�ca de la tasa impositiva R en función de los ingresos. b) ¿Qué impuesto corresponde a un ingreso de $14 000? ¿Y de $26 000? c) Esboce la grá�ca del impuesto total T en función del ingreso I . 68. Las funciones del ejemplo 10 y el ejercicio 67 se denominan funciones escalón porque sus grá�cas p arecen escaleras. Sugiera dos ejemplos de funciones escalón que surgen en la vida cotidiana. 69-70 Se muestran las grá�cas de f y . Determine si cada función es par, impar o ninguna de las dos. Explique su razonamiento. 69.
70.
63. Debe construirse una caja sin tapa, a partir de una hoja rectangular de cartón que tiene dimensiones de 12 por 20 pulgadas, recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y plegando los lados como se ilustra en la �gura. Exprese el volumen V de la caja en función de x . 20
x
x
x
x
x
x
12
x
71. a) Si el punto (5, 3) está en la grá�ca de una función par, ¿cuál otro punto también debe estar en la grá�ca? b) Si el punto (5, 3) está en la grá�ca de una función impar, ¿cuál otro punto también debe estar en la grá�ca? 72. Una función f tiene dominio 5, 5 y se muestra una porción de su grá�ca. a) Complete la grá�ca de f si se sabe que f es par. b) Complete la grá�ca de f si se conoce que f es impar.
x
64. Un plan de telefonía celular tiene una carga básica de 35 dólares al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y cargos de 10 centavos de dólar por cada minuto adicional de uso. Escriba el costo mensual C , como una función del número x de minutos utilizados, y gra�que C como una función para 0 x 600. 65. En cierto estado del país, la velocidad máxima permitida en autopistas es 65 mih y la velocidad mínima es de 40 mih. La multa para los conductores que violan estos límites es $15 por cada milla por hora por encima de la velocidad máxima o por debajo de la velocidad mínima. Exprese el monto de la multa F como una función de la velocidad de conducción x y gra�que F ( x ) para 0 x 100. 66. Una compañía de electricidad cobra a sus clientes una tasa base de 10 dólares al mes, más 6 centavos de dólar por kilovatio-hora (kWh) por los primeros 1200 kWh y 7 centavos de dólar por kWh para todo uso sobre 1200kWh. Exprese el costo mensual E en función de la cantidad x de electricidad utilizada. Después, gra�que la función E para 0 x 2 000.
73-78 Determine si f es par, impar o ninguna de las dos. Si tiene una calculadora gra�cadora, utilícela para veri�car visualmente su respuesta. x
73. f x
x 2
77. f ( x )
1
x
75. f x
x
1
x 2
74. f x
x 4
76. f x
1 2
4
3 x x
78. f ( x )
1
x x
1
3
5
3 x x
Ejercicios de Simetria
A64 c)
APÉNDICE I
RESPUESTAS A EJERCICIOS DE NÚMERO IMPAR
T (en dólares)
1
2500
307
1
b) 6 , cambio en F chirridos por 15. a) T 6 N 6 minuto. c) 76°F 17. a) P 0.434 d 15 b) 196 pies 19. a) Coseno b) Lineal 15 21. a) El modelo lineal b) es apropiado.
1000 0
10000 20000 30000 I (en dólares)
Respuestas
69. f es impar, t es par 71. a) 5, 3 b) 5, 3 73. Impar 75. Ninguno 77. Par 0) 79. Par; impar; ninguno (a menos que f 0 o t
c)
0
EJERCICIOS 1.2
&
PÁGINA 33
b) y c) y
b) Raíz c) Racional 1. a) Logaritmo d) Polinomial, grado 2 e) Exponencial f) Trigonométrico b) f c) t 3. a) h 5. a) y 2 x b, donde b es la intersección con y.
61000
0.000105 x
14.521 0.00009979 x 13.951
15
b) c)
y b=3 b=0
b=_1
0
d) Alrededor de 11.5 por 100 de población f) No
y=2x+b
23. a)
6.0
x
61000
e) alrededor del 6% El modelo lineal es apropiado.
altura (m)
5.5 5.0 y
b) y mx 1 2m, donde m es la pendiente. c) y 2 x 3
m=1
4.5
m=_1 4.0
m=0
(2, 1)
3.5
x
190 0
1 920
1940
1960
1980
200 0
año
1896
y-1=m(x-2)
b) y
0.0265 x
c) 6.27 m; de altura
46.8759
d) No
25. Cuatro veces más brillante
7. Sus gráficas tienen pendiente 1.
y
27. a) N
3.1046 A0.308
b) 18
c=_1 c=_2
EJERCICIOS 1.3 0
x
c=2 c=1 c=0
&
PÁGINA 42
1. a) y f x 3 b) y f x d) y f x 3 e) y f x 1 g) y 3 f x h) y f x 3
9. f x 3 x x 1 x 2 11. a) 8.34, cambia en mg por cada año b) 8.34 mg
b) 1
c) 4
d) 5 b)
y
13. a)
(100, 212) 9 F= 5 C+32
0
c)
e) 2 y
0
x
1
d)
y
1
32
0
2
x
1 x
s x 2 5 x 4 1
y
1
C
3
1
1
7. y
9
b) 5 , cambio en F por cada 1C de cambio; 32, temperatura Fahrenheit correspondiente a 0°C
F
(_40, _40)
3 c) y f x f) y f x
3. a) 3 5. a)
0
1 x
