1. Introdução ara obter obter essa infor"ação infor"ação os proble proble"as "as de an$lise an$lise estrut estrutural ural deve" deve" ser for"ul for"ulado adoss e resolvidos usando os "%todos ue assegure" a "$i"a efic$cia dos "eios disponíveis. / conc concep epção ção ue ue aui aui se adop adopta ta visa visa a solu solução ção dos dos prob proble" le"as as de an$l an$lise ise estru estrutu tural ral e" co"putador. % vantajoso nesse conteto for"ular "atricial"ente o proble"a da an$lise de estruturas o ue justifica a designação alternativa de /n$lise Matricial de &struturas para a abordage" aui seguida. 5"a outra outra designa designação ção ta"b%" ta"b%" freuen freuente"e te"ente nte utili'a utili'ada da % a de +$lcul +$lculo o /uto" /uto"$tic $tico o de &struturas pois a concepção da for"ulação do proble"a de an$lise estrutural % deter"inada pelo objetivo de potenciar a siste"ati'ação e a auto"ati'ação das tr6 s fases de u" processo de an$lise estrutural por co"putador7 a definição do proble"a isto % a definição dos dados sobre a estrutura e o carrega"ento8 a for"ulação e a resolução do proble"a o ue no conteto da "odel "odelaç ação ão "ate" "ate"$ti $tica ca corre corresp spon onde de a calcu calcular lar e a resol resolve verr o sist siste"a e"a de eua euaç) ç)es es ue ue caracteri'a o co"porta"ento da estrutura8 e a apresentação dos resultados o ue na an$lise de estruturas reticuladas corresponde a representar e uantificar a defor"ada da estrutura e a distribuição dos esforços nos ele"entos estruturais e nas reaç)es nos apoios. O "odelo "odelo "ate"$ "ate"$tico tico do co"por co"porta" ta"ent ento o linear linear de estrut estrutura urass reticul reticulada adass % tipica" tipica"ent entee descrito por euaç)es diferenciais 9s derivadas parciais eistindo diversos "%todos para o resolver atrav%s de u" siste"a de euaç)es alg%bricas euivalentes.
2. Objetivos 2.1. Objetivo geral / an$lise estrutural % a fase de u" processo de engen:aria e" ue são uantificadas as vari$veis ue caracteri'a" o co"porta"ento da parte resistente ou estrutura de u"a construção j$ edificada ou a construir. &ssas vari$veis pode" ser deter"inadas eperi"ental"ente sobre a estrutura eistente ou recorrendo a u" "odelo físico da estrutura a construir ou utili'ando u" "odelo "ate"$tico ue si"ula esse co"porta"ento o ual % geral"ente bastante co"pleo e cuja caracteri'ação envolve freuente"ente "uitas incerte'as.
2.2. Objetivos específicos •
Identificar diferentes tipos de soluç)es estruturais caracteri'ar a distribuição e desloca"entos e esforços devida a aç)es est$ticas e" estruturas reticuladas co" co"porta"ento linear e interpretar os resultados da aplicação dos "%todos de an$lise estrutural.
•
Identificar os passos dos "%todos de an$lise estrutural "%todo das forças e "%todo dos desloca"entos a adotar para diferentes tipos de soluç)es estruturais. /plicação7 5tili'ar os "%todos de an$lise estrutural no c$lculo dos desloca"entos e esforços e" estruturas reticuladas.
•
;iscutir e criticar os resultados do c$lculo de estruturas tendo e" vista a validação do processo de c$lculo.
•
ropor no <"bito dos "%todos das forças e desloca"entos siste"as base eficientes e e" função dos resultados encontrar variantes estruturais co" "el:or co"porta"ento.
•
/nalisar estruturas reais de "odo a aproi"ar os esue"as estruturais de situaç)es pri"as das de projeto.
3. Metodologia / "etodologia aplicada na elaboração de trabal:o de investigação da pesuisa co"preendeu a revisão da literatura associadas a consultas sucessivas a especialistas
4. evisão te!rica 4.1. "i#etria e anti$si#etria na an%lise das estruturas si#&tricas !ão estruturas ue t6" u" plano de si"etria plano ue funciona co"o u" espel:o para a estrutura # u"a parte da estrutura ue se reflecte e a outra % u" refleo desta e cuja
si"%trica uando se verifica" relativa"ente ao eio =plano> de si"etria as seguintes condiç)es7 ? si"etria de topologia =distribuição das barras>8 ? si"etria na distribuição dos aparel:os de apoio8 ? si"etria na distribuição das libertaç)es8 ? si"etria das propriedades "ec8 ? si"etria das propriedades geo"%tricas =I />8
4.2. 'struturas si#&tricas co# carrega#ento si#&trico caracteri(ação do co#porta#ento O co"porta"ento das estruturas si"%tricas co" carrega"ento si"%trico se refere a tr6s aspectos7 defor"ada reacç)es nos apoios e ca"po dos esforços.
eacç)es de apoio A si"%tricas *a#po dos desloca#entos A si"%trica + pontos sobre o eio da si"etria7
rotaç)es nulas8
desloca"entos perpendiculares ao eio da si"etria nulos8
desloca"entos paralelos ao eio de si"etria e" geral não nulos. + pontos fora do eio da si"etria7
rotaç)es si"%tricas A rotação igual "as de sentido inverso da do seu si"%trico8
desloca"entos perpendiculares ao eio da si"etria si"%tricas A iguais "as de sentido inverso da do seu si"%trico 8
desloca"entos paralelos ao eio de si"etria iguais e no "es"o sentido da do seu si"%trico.
?
*a#po de esforços A si"%trico ecepto o esforço transverso barras coincidentes co" o eio
da si"etria7
diagra"a do "o"ento flector =M> nulo8
diagra"a do esforço transverso =B > nulo8
diagra"a do esforço nor"al =C> e" geral não nulo. + barras não coincidentes co" o
diagra"a do "o"ento flector =M> si"%trico =e" traçado>8
diagra"a do esforço transverso =B > anti#si"%trico =e" valor>8
diagra"a do esforço nor"al =C> si"%trico =e" valor>. +aso u"a estrutura se encontra nesta situação deia de ser preciso estudar a estrutura na globalidade
,. "i#plificaç)es na an%lise &studa#se si"ular o
apenas
"etade
da
estrutura
co"porta"ento da outra
introdu'indo
si"plificaç)es
para
"etade podendo#se etrapolar os resultados
obtidos para toda a estrutura. /s si"plificaç)es deve" atendidas da seguinte for"a7
cargas aplicadas sobre o eio da si"etria e ue ten:a" a direcção do eio da si"etria deve" ser consideradas co" "etade do seu valor. =Cão se pode ter nen:u"a força co" direção perpendicular ao eio da si"etria ne" "o"ento no eio de si"etria.
/s etrapolaç)es fa'e"#se de acordo co" a caracteri'ação dos esforços e nas barras coincidentes co" o eio de si"etria o esforço nor"al na estrutura real te" o valor dobro do valor eistente na "eia estrutura. =Dodas as barras co" rigide' aial redu'ido.>
-. 'struturas si#&tricas co# carrega#ento anti$si#&trico /nti#si"etria % o inverso de si"etria al%" de reflectir inverte a i"age" ue si"etrica"ente % reflectida.
-.1. *aracteri(ação do co#porta#ento O
co"porta"ento
das
estruturas
si"%tricas
co"
carrega"ento
anti#si"%trico
se refere a tr6s aspectos7 defor"ada reacç)es nos apoios e ca"po dos esforços.
eacç)es de apoio # anti#si"%tricas
*a#po dos desloca#entos # anti#si"%trico pontos sobre o eio de si"etria7 rotaç)es e" geral não nulas8
desloca"entos perpendiculares ao eio da si"etria e" geral não nulos8
desloca"entos paralelos ao eio de si"etria nulos. pontos fora do eio da si"etria7
rotaç)es A iguais e no "es"o sentido da do seu si"%trico8
sentido da do seu si"%trico8
desloca"entos paralelos ao eio de si"etria iguais "as no sentido inverso da do seu si"%trico.
. *a#po de esforços Earras coincidentes co" o eio da si"etria7
diagra"a do "o"ento flector =M> e" geral não nulo8
diagra"a do esforço transverso =B > e" geral não nulo8
diagra"a do esforço nor"al =C> nulo.
+ barras não coincidentes co" o eio da
si"etria7
diagra"a do "o"ento flector =M> anti#si"%trico =e" traçado>8
diagra"a do esforço transverso =B > si"%trico =e" valor>8
diagra"a do esforço nor"al =C> anti#si"%trico =e" valor>.+aso u"a estrutura se encontra nesta situação deia de ser preciso estudar a estrutura na globalidade.
/. "i#plificaç)es na an%lise &studa#se
apenas
"etade
da
estrutura
introdu'indo
si"plificaç)es
parasi"ular
o
co"porta"ento da outra "etade podendo#se etrapolar os resultados obtidos para toda a estrutura. /s si"plificaç)es deve" atendidas da seguinte for"a7
+argas aplicadas sobre o eio da si"etria e ue ten:a" a direcção perpendicular ao eio da si"etria deve" ser consideradas co" "etade do seu valor. =Cão se pode ter nen:u"a força co" direcção do eio da si"etria>
Cas barras coincidentes co" o eio de si"etria deve ser libertado o esforço aial =deve ser colocada u"a libertação aial> e deve ser considerado apenas "etade da sua rigide' a fleão e corte =IF2 e /GF2>8 se"pre ue o eio de si"etria intercepta a estrutura deve ser i"pedido o desloca"ento segundo o eio da si"etria =deve#se introdu'ir apoios si"ples ue i"peça" o desloca"ento paralelo co" o eio de si"etria>8 /s etrapolaç)es fa'e"#se de acordo co" a caracteri'ação dos esforços e nas barras coincidentes co" o eio de si"etria o "o"ento flector e o esforço transverso na estrutura real te" o valor dobro
e nu"a parcela anti#si"%trica desde ue seja v$lida a sobreposição dos efeitos o co"porta"ento de u"a estrutura si"%trica pode ser obtida na so"a dos efeitos devidos 9 parcela si"%trica e anti#si"%trica do carrega"ento.
0.1. parcela si#&trica do carrega"ento pode ser obtida por "eio da so"a de "etade do carrega"ento co" o co"ple"ento si"%trico do "etade do carrega"ento.
parcela anti$si#&trica do carrega"ento pode ser obtida por "eio da so"a
/
de "etade
do
carrega"ento co"
o
co"ple"ento anti#si"%trico do
"etade
do
carrega"ento. &e"plo 1 # &strutura si"%trica co" carrega"ento si"%trico Ilustra o caso de u"a estrutura si"%trica co" carrega"ento si"%trico. &sta estrutura possui * reaç)es de apoio e u"a rtula situada sobre o eio de si"etria portanto o seu grau de :iperestaticidade % igual a 2.
Ca seção de si"etria de u"a estrutura si"%trica co" carrega"ento si"%trico o esforço cortante % nulo =B F 0> "as co"o % rotulada o "o"ento % nulo =M F 0> =igura 2#,>. ortanto cortando#se a estrutura na seção ! te"#se apenas 1 incgnita :iperest$tica =J1>.
X
!iste"a principal e :iperest$tico da estrutura ilustrada na igura 2#, / condição de co"patibilidade % de desloca"ento :ori'ontal nulo no eio de si"etria d 1 F 0 ortanto a euação de co"patibilidade % dada por d 10 K d 11 L X 1 F 0 .
g h 3 . Ceste caso o carrega"ento pode ser ualuer. !e o carrega"ento for si"%trico então J2 F 0 e o procedi"ento euivalente a usar o apoio . D6"#se duas incgnitas :iperest$ticas. Co entanto deve#se trabal:ar co" a estrutura inteira e co" os desloca"entos relativos =igura 2#-1>.
ogo a estrutura euivalente % "ostrada na igura 2#-4. Resolvendo#se apenas esta "etade da estrutura estende"#se os diagra"as para aaestrutura inteira le"brando ue B % si"%trico e C e M são anti#si"%tricos.
P F a
a
!iste"a euivalente
&e"plo 3 # rtico bi#engastado !eja o prtico bi#engastado e co" carrega"ento anti#si"%trico "ostrado na igura 2#-(a. &ste prtico apresenta grau de :iperestaticidade igual a 3. &le pode ser resolvido utili'ando#se o s iste"a euivalente da igura 2#-(b. &ste siste"a apresenta so"ente u" grau de :iperestaticidade = g h 1> =igura 2#-(b e igura 2#-(c> e cuja condição de desloca"ento % 1 0 .
P
a
a a
X
P
1
a rtico bi#engastado
=b> !iste"a euivalente
=c> !iste"a a ser resolvido
igura 2#-(7 rtico bi#engastado e seu siste"a euivalente
q
a)
q 2
q 2
F = 2
F
b)
F 2
Simétrico
F +2
q 2
q 2
Antissimétrico
;eco"posição de u" carrega"ento e" u" parcela si"%trica e outra anti#si"%trica
/ parcela do carrega"ento si"%trico te" grau de :iperestaticidade igual a 2 = g h 2 > e apresenta diagra"as de esforço nor"al =C> e de "o"entos fleores =M> si"%tricos enuanto ue o diagra"a de esforço cortante =B> % anti#si"%trico. / parcela do carrega"ento anti# si"%trico =igura 2#-,b> te" grau de :iperestaticidade igual a 1 = g h 1> e apresenta diagra"as de esforço nor"al =C> e de "o"entos fleores =M> assi"%tricos enuanto ue o diagra"a de esforço cortante =B> % si"%trico.
IN2
M/ O
Ma
F 2
q
q
M1
N1
a
a
q
M1
N1
b
o
M2
b
N2
q
q
M2
"2
!b)
!a)
!c)
Huadro co" dupla si"etria
$N
%& $N P#2
P#2 P
%m
+ !c)
P
'm !b)
P#2
=a> &strutura co" dupla si"etria &e"plo nu"%rico Resolver o prtico bi#engastado sub"etido a u" carrega"ento assi"%trico
20
rtico bi#engastado sub"etido a carrega"ento assi"%trico
1&
%&
1&
1&
1&
a +arrega"ento si"%trico
=b> +arrega"ento assi"%trico
;eco"posição do carrega"ento
Resolução da parte si"%trica
1(
1(
1&
J1
a !iste"a euivalente da parcela si"%trica
X2
=b> !iste"a principal
e :iperest$ticos igura 2#27 !iste"a euivalente a ser resolvido
30 1&
&
1&
%& 2 %
M&
*0 1( a !iste"a principal e carrega"ento
=b> Mo"entos devidos ao carrega"ento
igura 2#37 !ituação 0
1
M1
1
% a iperest$tico J1
igura 2#47 !tuação I
=b> Mo"entos devidos ao :iperest$tico J 1
1
1 M2
1 =a> iperest$tico J2
=b> Mo"entos devidos ao :iperest$tico
J2 igura 2#(7 !ituação II
Resolução da parte anti#si"%trica 10
10
J1
a !iste"a euivalente da parcela anti#si"%trica =b>
!iste"a
principal
e
:iperest$ticos igura 2#*7 !iste"a euivalente a ser resolvido
10
nulo
M&
30
1&
a !iste"a principal e carrega"ento
=b> Mo"entos devidos ao carrega"ento
igura 2#,7 !ituação 0
1
2
M1 2
2 1
a iperest$tico J1
=b>
Mo"entos
devidos
:iperest$tico J1 igura 2#-7 !ituação I
ao
ara a deter"inação dos desloca"entos generali'ados ij são necess$rios os diagra"as de "o"entos fletores e torçores causados pelo carrega"ento eterno =0>
e pelos
:iperest$ticos =I II e III> =igura 2#102 igura 2#103 igura 2#104 e igura 2#10(> 1(,2 $N.m * &
1 &
1 &
2 &$ N# m
-
* &
-
&
n nl o l o
n l *o
-
n nl o l o
&
M& T&
;iagra"as de esforços devidos ao siste"a =0>
Observa#se ue a aplicação de u" bin$rio conjugado
si"%trico 1
1
1 no eio de
si"etria resulta e" esforços de fleão =M> si"%tricos e esforços de torção =D> anti# si"%tricos =igura 2#103
(,2 $N.m ,% $N. m 12%,% $N.m
'%,*1$ N
2& $N# m
Reaç)es finais da grel:a
1),&*$ N
#(**1
1(,2
-12%,%*
%%,&&
-,%(
-,% %*,''
-3( ;iagra"a de "o"ento fletor da grel:a =PC.">
9 0 , 6 1
/0 !$N) 9 0 , 6 1
-43,91
-43
;iagra"a de esforço cortante da grel:a
1. *onclusão +oncluindo u"a outra designação ta"b%" freuente"ente utili'ada % a de c$lculo auto"$tico de &struturas pois a concepção da for"ulação do proble"a de an$lise estrutural % deter"inada pelo objetivo de potenciar a siste"ati'ação e a auto"ati'ação das tr6s fases de u" processo de an$lise estrutural por co"putador7 a definição do proble"a isto % a definição dos dados sobre a estrutura e o carrega"ento8 a for"ulação e a resolução do proble"a o ue no conteto da "odelação "ate"$tica corresponde a calcular e a resolver o siste"a de euaç)es ue caracteri'a o co"porta"ento da estrutura8 e a apresentação dos resultados o ue na an$lise de estruturas reticuladas corresponde a representar e uantificar a defor"ada da estrutura e a distribuição dos esforços nos ele"entos estruturais e nas reaç)es nos apoios.
11. eferencias bibliografias E&&R .. e QOC!DOC QR &. R. =1->. Resist6ncia dos "ateriais. 2a ed. !ão aulo7 McraS#ill. +/M/C/RI l$vio /ntTnio.=1-(>. Deoria das estruturas. v.1 2 3 e 4. &d. uanabara ;ois. OOB &gor . =1,->. Introdução 9 "ec. +urso de an$lise estrutural. v.1. *a ed. orto /legre7 &d.lobo. !5!!&VIC; Qos% +arlos. =14a>. +urso de an$lise estrutural. v.2. 11a ed.!ão aulo7 &d.lobo. !5!!&VIC; Qos% +arlos. =14b>. +urso de an$lise estrutural. v.3. a ed.!ão aulo7 &d.lobo.
