CAPITULO V SIMETRIA LAS 32 CLASES CRISTALINAS
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SIMETRIA La porción mínima del espacio cristalino que contiene en sí misma toda la simetría de la red cristalina es la celda unidad. El medio cristalino, por ser periódico, es un medio simétrico, y todas sus propiedades derivan de este hecho. Entendiendo por simetría aquella transformación que al aplicarse a un objeto hace que éste conserve todas sus dimensiones, y lo deje en una posición indistinguible de su posición original, la operación de simetría más sencilla que existe, por definición, en el medio cristalino, es la simple traslación entre un motivo y otro. 2
SIMETRIA La porción mínima del espacio cristalino que contiene en sí misma toda la simetría de la red cristalina es la celda unidad. El medio cristalino, por ser periódico, es un medio simétrico, y todas sus propiedades derivan de este hecho. Entendiendo por simetría aquella transformación que al aplicarse a un objeto hace que éste conserve todas sus dimensiones, y lo deje en una posición indistinguible de su posición original, la operación de simetría más sencilla que existe, por definición, en el medio cristalino, es la simple traslación entre un motivo y otro. 2
Elementos de simetría Concretándonos a los objetos finitos, existen varias operaciones (elementos de simetría) que describen las repeticiones. En las grecas nos encontramos con operaciones de traslación (el motivo se repite por traslación). La repetición de los pétalos de las flores nos conduce a operaciones de giro (el motivo se repite por giro) alrededor de ejes de simetría (o ejes de rotación). Y, aunque no exactamente, la simetría que nos muestra la partitura o la frase sobre el Abad nos llevaría a considerar las operaciones denominadas planos de simetría (o planos de reflexión, la operación que ocurre cuando uno se mira en un espejo).
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Elementos de simetría Análogamente, por ejemplo, si nos fijamos en la relación entre los objetos tridimensionales de alguna figura de más abajo, descubriremos descubriremos también un nuevo elemento de simetría denominado centro de simetría (o centro de inversión), que sería un punto imaginario colocado entre ambos objetos. En general, y si tenemos en cuenta que las traslaciones puras no se consideran como elementos de simetría, podemos decir que los objetos finitos pueden contener en sí mismos, o pueden repetirse (excluyendo la traslación), mediante los siguientes elementos de simetría: 4
Elementos de simetría La identidad , que es la operación más simple de todas. ¡No hace nada!, pero p ero es muy importante ya que cualquier objeto tiene, al menos, men os, este elemento de simetría. Hay muchos objetos que sólo tienen este elemento elemento de simetría.
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Elementos de simetría La reflexión es la operación de simetría que ocurre cuando colocamos un objeto frente a un espejo. La imagen que se forma lo hace sobre la perpendicular al plano de reflexión (el espejo) y está equidistante de dicho plano, al otro lado del mismo. El objeto resultante puede resultar distinguible o indistinguible respecto del original, aunque normalmente resulta distinguible, porque no puede superponerse con aquel. Si el objeto original y su imagen resultan indistinguibles es porque el plano de reflexión pasa por el interior del objeto. 6
Elementos de simetría La inversión, que ocurre a través de un punto único en el espacio, denominado centro de inversión. Cada parte del objeto se mueve a lo largo de una línea recta, que pasa por el centro de inversión, hasta alcanzar la misma distancia que lo separa de dicho punto. El objeto resultante puede resultar distinguible o indistinguible respecto del original, aunque normalmente resulta distinguible, porque no puede superponerse con aquel. Si el objeto original y su resultante son indistinguibles es porque el centro de inversión está en el interior del objeto. 7
Elementos de simetría Las operaciones de rotación (las llamadas propias e impropias) son giros que ocurren alrededor de una línea denominada eje de rotación. a) Una rotación propia es aquella que ocurre girando 360°/n, en donde n es el llamado orden del eje. El objeto resultante tras el giro is Una siempre indistinguible del original. b) rotación impropia se realiza por giro de 360°/n seguida de una reflexión a través de un plano perpendicular al eje de rotación. El objeto resultante puede resultar distinguible o indistinguible respecto del original, aunque normalmente resulta distinguible, porque no puede superponerse con aquel. Si el objeto original y su resultante son indistinguibles es porque el eje de rotación impropia pasa por el interior del objeto. 8
Elementos de simetría Además del nombre con el que designamos los elementos de simetría, en cristalografía se usan símbolos (gráficos y numéricos) que los representan. Por ejemplo, un eje de rotación de orden 2 (eje binario), se representa por el número 2, y un plano de reflexión se representa mediante la letra m.
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Elementos de simetría
Poliedro mostrando un eje de rotación binario ( 2 ) que pasa por los centros de las aristas de arriba y abajo
Poliedro mostrando un plano de reflexión ( m ) que relaciona la parte de arriba con la de abajo 10
Elementos de simetría
Manos y modelos moleculares relacionados por un eje de rotación binario ( 2 ) perpendicular al plano del dibujo
Manos y modelos moleculares relacionados por un plano de simetría (espejo, m ) perpendicular al plano del dibujo
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Elementos de simetría Los elementos de simetría del tipo centro y plano, relacionan de un modo peculiar los motivos que repiten, el mismo modo que relaciona entre sí nuestras manos, que no son superponibles. Los motivos que no contienen en sí mismos ninguno de estos elementos de simetría (centro o plano) se denominan quirales y su repetición mediante estos elementos de simetría (centro o plano) genera objetos que se denominan enantiómeros respecto de los originales (la imagen especular de una de nuestras manos es enantiómera de la que ponemos delante del espejo).
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Elementos de simetría
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Elementos de simetría En los cristales, los ejes de simetría (ejes de rotación) sólo pueden ser binarios (2), ternarios (3), cuaternarios (4) ó senarios (6), dependiendo del número de repeticiones que se produzcan del motivo (orden de la rotación). Así, un eje de orden 3 (ternario) produce 3 repeticiones del motivo, una cada 360/3=120 grados de giro.
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El eje de rotación origina una rotación al objeto de 360º/n alrededor del eje (de derecha a izquierda). eje monario eje binario
n=1 (360º/1=360º) (Perpendicular al plano) n=2 (360º/2=180º) (paralelo al plano)
eje ternario
n=3 (360º/3=120º)
eje cuaternario
n=4 (360º/4=90º)
eje senario
n=6 (360º/6=60º)
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( La restricción cristalográfica limita los giros permisibles a estos cinco para que su orden sea compatible con la existencia de redes.)
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Elementos de simetría Las rotaciones impropias (rotaciones seguidas de reflexión a través de un plano perpendicular al eje de giro) se designan con el número de orden de la rotación, con una barra encima del número. Los ejes helicoidales (ejes de simetría que implican giro y traslación a lo largo del eje) se representan con el número de orden de la rotación, con un subíndice añadido que cuantifica el deslizamiento a lo largo del eje. Así, un eje helicoidal del tipo 62 representa que en cada una de las 6 rotaciones, la traslación asociada es de 2/6 de la periodicidad en la dirección del eje de la celdilla elemental. Los planos de simetría (espejos) se representan por la letra m. Los planos de deslizamiento (planos de simetría que implican reflexión seguida de traslación paralela al plano) se representan por las letras a, b, c, n ó d, dependiendo de que la traslación asociada a la reflexión sea paralela a las traslaciones reticulares ( a, b, c) o a una diagonal de un plano reticular (n) ó a una diagonal de la celdilla elemental (d). 17
Las rotaciones impropias
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Las combinaciones de ambos elementos de simetría originan los ejes de rotación impropios: •
•
eje de rotorreflexión, rotación de 360º/n seguida por reflexión en un plano perpendicular al eje. eje de rotoinversión, rotación de 360º/n seguida por inversión a través de un punto en el eje.
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Los ejes helicoidales
Eje helicoidal binario. Un eje helicoidad consiste en un giro seguido de una translación
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Planos de deslizamiento
Plano de deslizamiento. Un plano de deslizamiento consiste en una reflexión seguida de una translación 22
Por su parte el centro de simetría, i, o centro de inversión, es un elemento de simetría puntual que invierte el objeto a través de una línea recta.
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Combinación de elementos de Simetría La combinación de elementos de simetría no se produce al azar, está regida por una serie de normas y limitaciones que son: - Los elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares características. - La combinación de algunos elementos de simetría genera directamente la presencia de otros. 24
LAS 32 CLASES DE SIMETRIA Es fácil prever que en el medio cristalino los elementos de simetría se combinan entre sí hasta engendrar los modelos cristalinos regulares, que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operación de simetría deja un punto particular del diagrama inmóvil) existentes.
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Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetría:
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6
6
1
1
2
3
1
2
3
1
4 2
1
5
2
5
1
6
Crystal System Triclinic
No Center
Center
1
1
Monoclinic
2, 2 (= m)
2/m
Orthorhombic
222, 2mm
2/m 2/m 2/m
Tetragonal
4, 4, 422, 4mm, 42m
4/m, 4/m 2/m 2/m
Hexagonal
3, 32, 3m
3, 3 2/m
6, 6, 622, 6mm, 62m
6/m, 6/m 2/m 2/m
23, 432, 43m
2/m 3, 4/m 3 2/m
Isometric
Crystal System Triclinic
No Center
Center
1
1
Monoclinic
2, 2 (= m)
2/m
Orthorhombic
222, 2mm
2/m 2/m 2/m
Tetragonal
4, 4, 422, 4mm, 42m
4/m, 4/m 2/m 2/m
Hexagonal
3, 32, 3m
3, 3 2/m
6, 6, 622, 6mm, 62m
6/m, 6/m 2/m 2/m
23, 432, 43m
2/m 3, 4/m 3 2/m
Isometric
MACLAS •
•
Una macla es un crecimiento conjunto simétrico de dos (o más) cristales de la misma sustancia. Cristales controlados cristalográficamente se denominan cristales gemelos.
Maclas •
•
•
•
Los segmentos de macla están relacionados el uno con el otro por una operación de macla: Reflexión por un plano (plano de macla) Rotación alrededor de una dirección cristalina común (eje de macla). Inversión respecto de un punto (centro de macla).
Maclas •
•
•
Las maclas formadas por reflexión se denominan maclas de contacto. Estas maclas pueden ser simples o múltiples. Las maclas formadas según un eje de rotación o bien por un centro generan maclas de penetración.
Macla espinela octaedro (111)
