Amplificador de Simetría ComplementaríaDescripción completa
Descrição: reeggtrbgfbv
series de fourierDescripción completa
fafahdhfjgkDescripción completa
Simetria e Antissimetria EstruturalDescrição completa
Trabajo presentado por mis estudiantes del Programa de Profesionalizacion Docente de la UPEL - IPBDescripción completa
Full description
platonova drzavaFull description
Država je temeljno delo grčkog filozofa Platona, i ona u najboljem svetlu pokazuje promišljanja Platona kao idealističkog utopiste. Platonov idealizam je posebno slikovito pokazan u „Državi“…Full description
Full description
Full description
Ò
Ò
Asocierea făcută de filozofii Greciei Antice aceea dintre Elementele Primordiale corpurile geometrice regulate şi stări ale Substanţei - nu diferă cu mult de ceea ce fizica corpului solid ne oferă astăzi É 1) pământ - cub stare solidă÷ 2) apă - icosaedru - stare lichidă÷ 3) aer - octaedru - starea gazoasă÷ 4) foc - tetraedru - starea de plasmă ÷ 5) eter ( quintesenţia) ± - dodecaedru - starea de cristal lichid Starea cristalină este caracterizată printr -o structură internă constituită după reguli care asigură ordine şi repetiţie în trei dimensiuni şi în spaţii mari Ordinea internă pe distanţe mari conduce la o formă exterioară perfectă a cristalelor÷ în condiţii mai speciale de sinteză ele primesc forme de poliedre Stare cristalină ( ordonată ) asigură mai multă stabilitate ÷ ordinea la distanţe mari în distribuţia particulelor într -o structură cristalină este şi cauza simetriei spaţiale ( macrosimetria) şi a simetriei interne a cristalului (microsimetria ) Structura unui cristal poate fi generată dacă un element de bază este repetat după cele trei direcţii în spaţiu element numit celula elementară ÷ această repetiţie conduce la constituirea unei reţele cristaline Tipurile de reţele cristaline pot fi numite pe baza op eraţiilor de simetrie care pot fi executate asupra celulei de bază ± noţiune asociată cu aceea de poliedru regulat (cristalele sunt reprezentanţii Solidelor) În matematică conceptul de simetrie este studiat cu ajutorul noţiunii de grupÉ fiecare poliedru are asociat un grup de simetrie care în ansamblu cuprinde toate transformările care lasă poliedrul invariant Numărul de simetrii ale poliedrului determină ordinul grupului de simetrie ã include numai rotaţiile iar V
include şi reflexiile Grupurile de simetrie pentru Solidele Platon sunt cunoscute sub numele de grupuri poliedrice Aceste corpuri au un înalt grad de simetrieşi face posibilă ca interpretarea din acest punct de vedere să fie făcută în multe moduri Foarte importante sunt vârfurile É vârful determină modul de acţiune al grupului de simetrie în combinaţie cu feţele şi muchiile Se zice că grupul de simetrie este tranzitiv pentru vârfuri muchii şi feţe Este o altă manieră de a defini reg ularitatea unui poliedru É un poliedru este regulat dacă are uniforme (egale cu ele însele) vârfurile muchiile şi feţele Există doar trei grupuri de simetrie asociate cu Solidele Platonice şi nu cinci deoarece grupul de simetrie al unui poliedru coinci de cu grupul de simetrie al poliedrului dual cu el iar tetraedrul este autodual ÷ acestea sunt uşor de observat când se construiesc poliedrele duale
ele trei grupuri de poliedre sunt É a) grupul tetraedral T ÷ b) grupul octaedral O ( care este şi grupul d e simetrie al cubului)÷ c) grupul icosaedral ¬ ( care este şi grupul de simetrie al dodecaedrului) Ordinele grupurilor proprii ( rotaţii pure) sunt 12 24 şi 60 ( dublul numărului laturilor)÷pentru grupurile totale numerele se dublează încă É 24 48 şi 120
itat din lucrarea prezentată la adresa de mai jos, la pagina 11 http://library.utm.md/lucrari/Tipografia/Samusi/007_039_apitolul_I_DS.pdf
( pun în evidenţă corpul Elementele simetriei poliedrelor sunt É centrul de simetrie ( de inversiune ) planul de simetrie ( plan de oglindire) şi axele de simetrie ( rotaţie ÷ rotaţie cu inversiune) este un punct imaginar din interiorul poliedrului É o dreaptă care trece prin elîn ambele părţi uneşte puncte echivalente entrul de simetrie este prototipul punctului de oglindire ¸ ( plan de oglindire ) este planul care prin operaţia de reflexie sau de oglindire împarte poliedrul în două părţi egale şi identice situate una faţă de alta ca obiect şi imagine (reflexie) în oglindă Planul de simetrie este determinat dacă intersectăm poliedrul cu un plan imaginar care trece prin centrul său B de rotaţie este axa în jurul căreia prin rotaţie de un anumit unghi poliedrul se autoîmbină sau revine la poziţia sa iniţială Rotaţia în jurul unei axe este determinată de măsura unghiului de rotaţie Un poliedru se autoîmbină ( cade în el însuşi ) numai pentru anumite măsuri ale unghiului de rotaţie ÷ poliedrul revine la poziţia iniţială în urma unei rotaţii totale ( 360 0) Măsura unghiului induce gradul axei Gradul axei se notează prin cifreÉ 3600 É 1 ( axa de gradul 1 ± rotaţie totală) 3600 É2 ( axă de gradul doi - rotaţie de unghi plin) 3600 É3 (axă de gradul trei - rotaţie de unghi 120 0) Pentru axa ce trece prin centrele bazelor un cilindru circular drept se autoîmbină pentru oricare măsură a unghiului de rotaţie Faţă de axa ce trece prin centrele a două feţe opuse un cub se autoîmbină numai pentru anumite măsuri ale 0 unghiului de rotaţie É 90 1800 2700 3600 Poziţia iniţială ( aceea în care este dat cubul ) se consideră a fi reper
S
Ò
Simetria prin rotaţie mai este denumită invarianţă prin rotaţie sau izotropie É un sistem fizic nu este transformat de o rotaţie ÷ această proprietate se aplică în matematică unui obiect geometric şi nu numai Exemple É 1) Ò este un exemplu perfect ± din acest punct de vedere É este cel mai simetric obiect din spaţiul euclidian Putem realiza rotaţii în jurul oricărei axe ce trece prin centrul sferei măsura unghiului de rotaţie Æ poate fi oarecare în final se ajunge la acelaşi rezultat É matematic sfera rămâne neschimbată Sfera are oricât de multe axe de rotaţie
2) este mai puţin simetric É are 13 axe de simetrie prin rotaţie ) când axa de simetrie trece prin centrele a dou ă feţe opuse din cub Sunt trei astfel de situaţii ÉO1 ± O2÷ O3 ± O4 şi O5 ± O6 Dacă efectuăm o rotaţie de un unghi cu
A
O1
x
O6
O3
A
<
x
I
O2
I
O4
O
O5
4
măsura Y
D
atunci cubul cade în el
însuşi÷ de exemplu É punctul A ocupă locul 4
DI
I
4
punctului xpunctul D I ocupă locul punctului AIetc. După a patra rotaţie de acest fel cubul cade în poziţia iniţială O astfel de axă este de ordinul 4 şi se notează cu 4 Faţă de o astfel de axă punctele cubului au simetrice şi prin simetria de translaţie
) când axa de simetrie uneşte mijlocul a două muchii opuse A
D
M1 x
O
2
măsura Y 180 0 atunci cubul cade în poziţia
I
A
I
x
2 2
Sunt şase astfel de situaţii É I I ÷ B ¦ ¦ C I I ÷ BC ¦ ¦ op I I op I I D ¦ ¦ A x ÷ AD ¦ ¦ x ÷ I I I I ÷ ¦ ¦ CC ÷ BB ¦ ¦ Dacă efectuăm două rotaţii de un unghi cu
M2
I
D
I
iniţială O astfel de axă este de ordinul 2 şi se notează cu 2 Faţă de o astfel de axă punctele cubului au simetrice şi prin simetria de translaţie
p) când axa de simetrie uneşte două vârfuri opuse în cub A
D
x
Æ
A x
I
D
I
I
I
op ¦ I ÷ Sunt patru astfel de situaţii É A ¦
I I ÷ C ¦ ÷ B ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ BI ÷ Dacă efectuăm două rotaţii de un unghi cu Măsura Y atunci cubul cade în poziţia iniţială O astfel de axă este de ordinul 2 şi se notează cu 2 Faţă de o astfel de axă punctele cubului nu au simetrice prin simetria de translaţ ie
¡) În cub diagonalele feţelor sunt opuse două câte două ÷ există şase astfel de posibilităţi În figura alăturată sunt puse în evidenţă
două din cele şase plane Se numesc plane de reflexie sau plane diagonale Efectuăm o rotaţie de unghi plin combinată cu o simetrie de centru O Diagonalele feţelor unui cub sunt două câte două paralele÷ cele douăsprezece muchii determină şase plane care la rândul lor determină şase secţiuni diagonale în cub Un astfel de plan se notează cu
½d
În desenul alăturat sunt puse în evidenţă cele trei plane mediane ale unui cub÷ sunt tot plane de reflexie Efectuăm o rotaţie de unghi plin combinată cu o simetrie de centru O Un astfel de plan se notează cu
½h
Schiţă recapitulativă pentru simetria cubului É - 3 axe de rotaţie de ordinul 4 ÷o astfel de axă uneşte centrele a două feţe opuse şi generează 3 rotaţii de unghi nenul în total 9 rotaţii - 6 axe de rotaţie de ordin 2÷ o astfel de axă uneşte mijlocul a două muchii opuse şi generează 1 rotaţie de unghi plin în total 6 rotaţii - 4 axe de rotaţie de ordinul 3 ÷ o astfel de axă uneşte două vârfuri opuse şi generează 2 rotaţii de unghi nenul în total 8 rotaţii - 9 plane de simetrie É 3 plane care trec prin mijlocul muchiilor 6 plane care trec prin câte două muchii opuse ÷ un plan generează o rotaţie de unghi plat compusă cu o rotaţie de centru O în total 9 rotaţii
S
ã
) Operaţiile de simetrie corespunzătoare elementelor de simetrie ale unui tetraedru regulat sunt elemente pentru grupurile tetraedrale ë
À
O
O1
À A
Tetraedrul regulat nu are un centru de simetriecând se face referire strict la simetria prin translaţie É ëO OO1 ele patru axe de tipul lui ëO 1 sunt axe de simetrie prin rotaţie de ordinul trei É 3 x Un plan de simetrie în tetraedru conţine o muchie şi o înălţime a tetraedrului corespunzătoare unei feţe
Axele 3 sunt aceleaşi şi pentru tetraedru şi pentru cub ( diagonale în cub şi înălţimi în tetraedrul înscris în acel cub) É în urma unei rotaţii cu un unghi de 120 0 aceste corpuri cad în ele însele iar după trei astfel de rotaţii cad în poziţia iniţială Elementele de simetrie ale unui tetraedru regulat cât şi operaţiile de simetrie corespunzătoare sunt mai uşor de observat dacă înscriem tetraedrul într-un cub O diagonală a cubului este axă trece printr-un vârf al
tetraedrului şi prin centrul bazei tetraedrului ce se opune acelui vârf ÷ în raport cu aceste axe ( 3) la o singură rotaţie de unghi cu măsura 1200 se obţin opt poziţii distincte ale tetraedrului regulat
) ele patru axe de tipul lui M 1 M2 unesc centrele feţelor opuse în cub şi sunt de ordinul 4÷ în acelaşi timp unesc mijlocul muchiilor opuse în tetraedru şi aici - sunt de ordinul 2
Ò
Ò
Ò
Axele
Òsunt perpendiculare pe
feţele cubului trec prin centrul cubului şi trec de asemenea prin mijlocul muchiilor opuse ale tetraedrului÷ în raport cu aceste axe la o singură rotaţie de unghi cu măsura 1800 se obţin trei poziţii 2 şi şase poziţii S4
ë
Un plan de simetrie în tetraedru se numeşte plan median şi conţine o muchie a tetraedrului şi mijlocul muchiei opuse ÷se
½d
notează cu
x
O1
În cub un plan
½
şi sunt şase plane de acest
tip (corespunzătoare celor şase muchii ale tetraedrului)
A
½d
este determinat de diagonalele opuse a două feţe
Operaţiile care pot fi efectuate asupra tetraedrului regulat É
¬83 326S4 6 ½
Td÷
acest grup Td are subgrupul de rotaţii
pure Tde ordinul 12care conţine elementele É ¬43 4 23 32
S
Td
ã
ubul şi octaedrul deţin aceleaşi elemente de simetrie ÷ dacă înscriem un octaedru într-un cub putem observa mai uşor această situaţie É centrul unei feţe a cubului este şi vârf al octaedrului entrul de simetrie este centrul cubului iar axele 24 S4 ( în număr de trei) sunt axele principale ale cubului - perpendiculare pe feţele opuse în cub şi trec prin vârfurile opuse ale octaedrului înscris în cub Această figură pune în evidenţă şi dualitatea cub - octaedru I A A
Æ
B
d
I
Æ
B
I
d A
A
I I
(2 Ò4) Axele principale ale cubului - unesc centrele feţelor opuse
I2
Axele I2 sunt mediatoarele muchiilor opuse ale octaedrului
Axele care trec prin câte două vârfuri opuse ale cubului - 4 axe 3 - sunt şi axe Ò6 În această poziţie a octaedrului înscris în cub prin calcule simple
se poate justifica dualitatea celor două poliedre Putem enunţa următoarea É
É Diagonala cubului trece prin centrele a două feţe opuse ale octaedrului regulat înscris în cubul respectiv DemonstraţieÉ Fie cubul
{ æ
{ BC
I
BIC I
I
cu centrul în O÷ octogonul
à este înscris în cub entrele celor două corpuri coincid É
æ
...
æ
undeÉ O1Q x O 2 O 3 M
æ Ã NotămÉ M
CI Mø şi x = P l t. c
I
A
. D
Æ
x
Æ
B
ø
B
Æ
Æ
Æ
d A
DI
AI
(3 Ò6)
Æ
Axe 3 Ò6 ± perpendiculare pe feţele octaedrului în centrul fiecăreia
10 În
{
I
xI
AA I P P2 P2 A I I I I É ^ KO şi KQ = QO = deoarece É C C KO 2 4 2 A I I P 2
dM O 2O 3 KO 2 O 2M P2 ^ 2 ^ O2O3 KO 3 O 3d 2 dM P 2 A P OO 1 2 m{O 90 0 20 În æ É ^ P2 OQ 4 2 O 1Q O 1O 2 OQ 2
P P ^ u
)
P
O1
ø K
Q
O
I
I
A
u
P Ã
^
PÃ
P ct l i
P AK 2 P2 OQ P 4 P P3 AO P 2 ^ 30 DinÉ ^ PÃ P6 O1Q 2 4 P P P2 KO 2 P OO 1 2 ^
K
AK AO KO 2 ^ OQ O1Q OQ
2
^ æAKO ~ æQOO1 ^ {KAO {OQO1 ÷ ^ {AOK {QO1O
d
darÉ m{KAO m{AOK 90 0 ^ m{QO 1O m{O1QO 90 0 ^ ^ m{OQO 1 m{KOA 90 0 ^ ^ m{OøQ 90 0 ^ AC I O 1Q
P
P
P2 P 4 2 ^ Oø P 3 ^ Oø 6 P6 4
0
4 În æO1OQ É PÃ ø ø
ø
P Ã
P { ø
50 În æOøQ É
)
^ ø
P ) P PÃ ^ ø Ã Ã
ø ø
PÃ 1 ^ øQ P 6 4 60 DinÉ ^ ø O1Q 12 P 6 3 PÃ ø
M
Trei plane
½
(mediane) perpendiculare
pe muc iile cubului÷ un astfel de plan este perpendicular pe o axă 4 şi conţine pe celelalte două÷ pentru octaedru un astfel de plan conţine două axe şi trece prin vârfuri Două din cele şase plane diagonale ale cubului É o pereche de feţe opuse are două astfel de plane É
½ d În octaedru
sunt plane mediane É trec prin mijlocul a câte două laturi opuse Operaţiile de simetrie sunt în număr de 48É ¬ 836462 32 ( = 24 ) é 6S48S63 ½ h 6 ½
S
Oh
ã Elementele de simetrie pentru icosaedru ( şi dodecaedru) sunt É ± un set de şase axe S 10 care trec prin vârfuri opuse ÷ ± un set de 10 axe S 6 care trec prin centrul perechilor de feţe opuse ÷ ± un set de şase axe 5 care sunt coliniare cu axele S 10÷ ± un set de 10 axe 3 coliniare cu axele S 6÷ ± un set de 15 axe 2 care mediază perechile de muchii opuse÷ ± un set de 15 axe de reflexie fiecare plan conţine 2 axe 2 şi 2 axe 5
Aceste elemente de simetrie generează 120 de operaţii É 3 ¬ 25 2 25 203 52 i 2S0 2S0 20S6 15 ½
¸
P É Pentru corectarea greşelilor de scriere am primit ajutorul elevei (é ( elevă a şcolii ëărbilău în anii ce au trecut elevă a diceului Slănic ± Prahova clasa a XII - a pentru anul şcolar 2009 ± 2010)
1) Platon ± OPERE vol ëI ± 1989 2) Platon - OPERE vol ëII ± 1993 3) V ¸ 4) Rodica âmpan - A doua carte cu probleme celebre ± 1972 5) Filosofia greacă până la Platon II ± 1984 ± 6) A.N. Kolmogorov şi alţii ± Geometrie pentru clasele ëI ± ëIII 1979 7) ëiorel Gh. ëodă ± ëraja geometriei demodate Editura Albatros xcureşti - 1983 8) M. Mihaileanu, .Ionescu - xujor . Ionescu - Tiu ± Geometria în spaţiu Editura didactică şi pedagogică xucureşti - 1975 9) Augustin oţa Marta Rado s.a. ± Geometrie şi trigonometrie Editura Didactică şi Pedagogică xucureşti - 1982 10) Gh. D. Simionescu şi ezar oşniţă ± Geometrie Editura Didactică şi Pedagogică xucureşti - 1966 11) Stefan Sabău şi Dumitru Săvulescu ± um demonstrăm că «? Editura Paralela 45 1996 12) Diana xell Josef Rogers Eryl Rothwell øughes - Arie masă volum Editura Didactică si Pedagogică xucureşti 1981 13) www.didactic.ro/files/3/solideleluiplaton_1_ 14) http://www.didactic.ro/lectii-matematica-3-solidele-platon-2--p126221-t3 15) http://www.mathcurve.com/polyedres/dodecaedre/dodecaedre.shtml 16) http://fr.wikipedia.org/wiki/Poly% 3%A8dre_r%3%A9gulier 17) http://rozetaalbastra.blogspot.com/ 18) http://strasihastrii.blogspot.com/ 19. http://polyhedra.mathmos.net/entry/platonicsolids.html 20. http://gwydir.demon.co.uk/jo/solid/tetra.htm 21. http://gwydir.demon.co.uk/jo/solid/euler.htm 22. http://pagespro -orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/platon.htm 23) http://blogue.sciencepresse.qc.ca/physique/item/211 24. http://mathworld.wolfram.com/Icosahedron.html 25. http://fr.wikipedia.org/wiki/Icosa%3%A8dre#ëoir_aussi#ëoir_aussi 26. http://www.jimloy.com/math/math.htm 27. http://kjmaclean.com/Geometry/Icosahedron.html
