MTRÍA ICOGRUCI MJAZ Este cuadeo es no de lo dez nuevo tíuo tíu o qe ha elaborado elaborado el Na�ona Na�ona Councl of Teacers of Mathemac, l qe e man a la sere de ocho ya apaec y imprso va vcs la verón castellana. Como cada uno de os ocho caos mencondo, e preent el número decoco en a colccón a do ecto ara maeos de enseñanza eemental y meda y aumnos de ee últmo cclo C
TEMASDE MATEMATICAS
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Feeri VlaHo Cob Coorar dl In•ttuto d Gof Faltad e Ciei UiYesdd Nco Atóm Méxo
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Smetría ngruenca meanza
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u d n n E caen l nu e d de M C o o d (ti ouncl Tach { m: N) m l c pm:r uadernos reeron tn bua acog (y hn reso vaas vec, en u una extenó o te s .nenen nenene m s pos ua nú a as nuv undd h rito penando m n ls pre d se imaras u e u umos. a uad renta xpsó d un t bás l mátas os tema .d d tán entr qll cn o de n milarzas os prof prmaa para po a on erprn a nñan n át p l ún cl n a un d l q d nf.n no un tratment ehuo él; e leto n n � � pu ta estos temas on m funa en otas pub ub L temas s an sogi ilmte o l poós1 d pp on matrial s lo pres qu ren qe las penÍa e pnzj u popoionan ls nño n sus p ñ c den nclu itrodcc6 senhla lgunos de lo conepts u os pros se n nontrao o d la atáa uos on u u duón pfionl n lS pparó par la nín e a d un m od n pn pno o d ' a os en n pd l n l g l NCTM, q e ar lo proesoes am1n tros r a en e a d s psos en mejoar la nñ7 de las matmátas L p o tíulo son os iu t
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C¡us udeno Cudn 2: Núo Cu Sa d mrió a aa a l ú Cudo Aoo par a oaon c:n Nmr C
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Ios nvos títlo on os snts: Cno dno dno Cuao Cudo urno no drno drno drno
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E d t s d úmer a ta d úm as Lg G i a , fucn Grí fa Mdda Rcpilaó, gza i ua paa v pb j a, a
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S gr q d oaio lo uarno s la n l ordn los a o n agn p aa n o a ara Los nuos ados omnzon rprarlos n lo bo d un gpo d vno sitos L auto pan aqu s s inro gnto a las sgns pon o hbr do pa d lo · nro y por ss bos d pion on lo ato drant l p praión d los urno; urno; a osp osp M. rottr prnpal la El San u Ry y a Bonita Trottr, pofra d l arl Shoo, os dl Disrito Onio d l non Shool a John M Homn rto d l Són Rros ato Comnia l prtno n on d io y a m sp po d dan Sn o S uo snn u spilnt ar on A C knbah por u mp yd n l ognzón y iión dl ml pa rio d lo udnos. Epn tbién su pofndo gadmto a Elin t y s splndo gro mnógrfos por su xlnt trbo n la ppión l nurt El nuo proyto, mpddo p posg l abajo ntro o ió y aprnó l Co Plons Supl l NCTM ao la prsn Wllam ooton L CTM, que prooonó poyo nno aamno l go atos d a nin d a s "Tpi A onnun amo n
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ÓOG
Grg rg ul P i Mit Brydgrd Lu u ri Dvid Wltr Fli
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lnice general INTROUóN SMETRA
Ejes de smetría de sea
ONRUNIA
o có de cguec Seges cgees Ágs cgees guec se
LASIAóN E IRAS ANAS Cosac de s águs scc6 e pígs ascac de s cades ceecas
SEMEANA gus seees Tgus seees Pgs seees
IURAS TRIMENSIONALES RESUMEN RESUESTAS A LOS EERIOS
Smetía/ cguenca y semejaza
8
CADRNO
INOCCóN
En e cuadeo Geta ra presetamos una ntduccón mental a aunas as deas básias d a gemetría menzando con una dsusn d s concpts fundamentas aerca d as ctas emrr tas ays semens plans ns eométos sgums hta nvestga anas as propdaes fundamentaes de varas fua pan trd mensna's famas uas on as que aun nñs de mu ota edad tenen contato tdano E pesent uadeo tne como fnadad eafrma xtnde estas ncones medant ua descpn ntutva d as reacns gemtrcas d smtría onuna smejanza Tanto tet mo os grps d eercos ncuen numeoss e:pos de doeces de pape otr act vads ue e eto msmo ha d efetar u lo dan a vsuaa esta! elacones aamente Como ams a pedr a etr ue patcp n una ran antdad de tars de dbuo "dae ser ncr u tena mano varas has d pape deado; áp teras
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SIMA
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En sta secón vams a porar un nepto emtrco concdo cmo ta Dbuemos a reón rada u apaece n a fra tms p e tazo doémosa uego por a rta nterumpda de mana u e segmnto nfr s dbe so s msm etr enontar ue ds ns poonaes de ada ad d a cta nden ctament La reta nterumpa s ama j d tra Sgas e msmo predmnt paa cada na de as nes crradas dbads en a fra ndcn ¿En á uáes d dgr ectas d traz nteumpd ees de smeta? E e db haer desu-
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FIGURA 6.
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s u dd de ppe e de epd ue debs e ed sá u i pe ¿u d es duds e fgu 6 pude epd u d s? be u i de d u e es áese uee ís p idi pe que emee ee ue dbu Des z erup, e e ee d eí u e e epe dbe p pp S e pued
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al j d smtía, png un a cz X, ado d dbuo. E d prima fa (a) b, hs az qu ba ha el ecor. Cóquese aa " d ta ora a pr u a bad ta a d a uand a at beada c atn c6t a a dbada ¿No ree cto aguna a? Colóu e bn on na ma d bu esdete r d En a figra da una poe uón S ud r a smería par on puo mei de un gn ad brz de ánu dado Du a d gnt Tamo gnto A u pare n a gua Doemos a e a era u unto A B ndan a fgra unt
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doe ta d dobz DE nta a meo AB, es e A decr, C aa a en , C C qu p a xaa un d oto fi a
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ba a do e C AB ncdan Ennc a ca de p � e aa AD, ermee, eje d tía d LCB a a u
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CNRO D MRfA
Des u és d á afo más sbre ic uims la pl q a en geomría para s gs q o xts n d a t a g tms ó era t mtt nt gemt
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Co d smí V nv semt B y t m t a to a g 10 E t e vr it uit i b B h o so B a qu C b s m nt que ar e e nt E. l t s ds ut. La fgra
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m C m pr a, AB AB s sm o t Ua g gmé a méta t i ó p ra c A b a f h agú a u pt
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d r s pt t B b fa s a AB) t s t smtí e os j d
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GRUP E RCS
rc d taz em ara trar td os ejes s ara razad de ada a d s es aa aj a o i n g e se q n X d e
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Hasta oen, conidrao ls js d siía posbls sola ene va r Gnas uso aao sore ejes d sia razano oos ls a s oia ls sgens ofirio.
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el d d u l i qu areen abao d recta de oo que san sméris rpo a inrupo ads
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CON( RUECI A
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5.
Cd uno e los iiene oeo podr corrs e una hoj e ppel que ha do doda do veces. Soe una copia dl orde dúns dos rcs traz nrumpo pr inir ls os ca e pliegu que poemos usr; suponeno que e ppl ha sido doblo, omrés la pe el diuo ue rí razr en el ppel par reorrl
En cd uno d los cuadráers qu paren jo, ¿ l o de simea enra?
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COGRUENCIA
La noió de cogruea ojeos uaesquiera que son éplic xca uno del oro se dce que son congruetes. Fímnte, os igras geomérca plnas puen Do
23
LA NOCIÓ DE NGRUENA
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smte a pe en cuan a nguenia Se efie , obsao i pe oe j de ae q o Pe ta aó uvmee e q gu oute mim añ y la mma frma. Va l letr i pede enona pa ga gene en la fga 14 L paejas e figuas gue n: a ) y (g) ) y } e i ), (f ) y () {m) y (p) () T eam miliaizao o el nepto e nga ina e ese ade n guen una a ta; amié ta l mi úl l n La ana e enm en a fáia onantemene pro u et "guene e een saifce ers nie t a ñ im t a p t
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24
NU
Segmentos cogrues La figura geométa imple co la qu podeo lsa a oió d ongia e el g rlíeo. Nos atipamo u poo a ta duió l fial d la eó a, dod deio puto mdio e de omo puto u spaa al sto d gmtos u so plic ext dl oo Eta dfó u poo omlada d puto mdo pu omula d modo uho má oo d
coc
El punto medi un segmen e no q separ o n s smes cnrues.
e l puto medo d
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B Ae � eB eB
te e ou on (lo Podmo ua el ímbolo p ta la oo u d lese: "l gmto s ounte o e g Dsde lo do gmeto tio o eita e ae d la mma a paa e onnt Ua foa de deea do geo o cognte o no cmp Si pa d cmp ooa de a llvadas a uo ge o d pr egm ce eataet e o xte dl egdo egmeto, s lo o mo o ou l ompás a tmi d maea náloa a nrr u gmto ogut a u gmeto ddo ¿Cuá d los co egtos d la a 15 so gute? Bi Si
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ÁNGULOS COGRENTS
25
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Antes d rceder n qu i, dgurm ne u d ímb y e smb n gm_. En fgu 16 m que AB BA s, bvmne gs rue enmnn mm sgmen xpe-
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16
BA N s n embg ecr qu "AB s s m AB pru AB y EF dnmnn ds sgmen mner de rs e AB y EF s és es un de n n der u AB � EF es d u gmn AB es ngruen n gen Dsde ug uqur egmn un r de msm y n es ngue nsg msm m mbén gu msm de dnd en fg d n de sgen fmn :
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AB
AB � BA
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bse CAB dms nun smement
n fgur 17, s qu AD : AB brz de un ángu y s d d d msm
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FIGUR 17 fmn d nu ng cngun Pdm ndr rc
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. de LAB, unqu smne ry D AD ry AD m b
s rhnen u d d
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26
ORIA
Dscuamos sid reció de congruenca para dos ánguo c esquera. Supngmos que xsen dos ánguos, igamos PQR y Z como se ve en igur 18 Para ver s LPR s congruente con Z caquemos PQR y coloquems e calco, P''R sbre Z de manera
que el v rt concid con l véice y QR concda cn Z
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·. . X . . .
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GR
enonces Q'P concde con Y
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S como rece ndi cd en la figr 19 los os ángls son ca exaca un el esc "LPQR Z"
1,
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··· . ·
R
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en más fol de geometría l conguenci de dos En nguo se defne usualmene en rmnos de su did* Es decr dos án uos son conguen s y sóJo enen a msma edid acamente lo msmo ue oda reca es un rl eacta de oda ota rca in se ene que todo rayo es congene con cualqer otr
D
ry En la fura 20( ) sin emargo s dos rayos AB y uizá pc ue no son congrues or la orma en ue se hn diujdo Anoga mente en la igur 0 os dos ángulos congenes LAB y LEF, al vez arezca que no son rpcs eactas En gnera es úl diuj igurs conguenes de tal modo ue ecn como verdaderas i c
E m6 p muy d [N
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(b)
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R 20 U clse mote de ául recetemete meido e el est d de l geometí es el á recto U mdo cll de cstr u
� sore ho de ppel águ ect cosste dbujr l rec pee y luego b l h de mer que B se dole sobre sí mism U ez hecho est desdolmos el pel
�
y
dujmos c de
tro s l rec de piegue. Tedremo eoce cuto águlos
�y
coruees co u rtce comú e E e puo de ersecc de AB
(igur 1) expres ete heh escimo E � EB � BE � E Cd uo de estos ágls e águlo cto l símb e el vce de de elos es so frecue e u du pr eñlr u águl rct .
1 1 1 lD 1 FIGURA
l l e l g 1 e dce ue l ect sml det l oc6 de pedculridd de modo que escrbm
�
y
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AB geer d rects que se erec o epedcules s só s ls curo águlos frmdos e su puo de teecc6 s á-
N
lo reto Do ds eto o se ayo o pedula a otro las t d qe o pae so ppediuares ua a ota Par obteer ua rea es ppdua a u ta dada qu paa o puto o dado or a reta aa lr puede p
2
oo ig: dbúese a a AB u pto o o B oo e a ra (a). Dóles hora papel e foa u uetre sore la lí< e pleue
l e í mma pued v e
ura or
b Cuao e doba el papel la ea l pee que pasa
se rdua a AB.
Congrueca
FG
simetía
oeto e sea etreamete reaoado e e o ua pro la oa o pde e aboluto d a simetra. Es so taaño o so oguetes dr os gura que te
GRENA
29
independentmnt de qu tén coloa o n, manea u sen mé as rpt a aln t unto P ejmplo J táls de la sn oune mpmn n pca to El gut jml lt un más ómo e u ngen n depnd la mtía S lmo etánulo dbu la f
2
24
o l
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a et o d m C n-
24
temo u ls o ies tu�He no enaja extmen un se l ota n eald el ulo como ue aae n el
2
am a iu ue mues lamnte u AC e u d me mbg l egone ngle taa á , petvmte, n count Pdems ulos /BC D 6A mne u ondn tmnte; somnte
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25
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netm ha i C l mma dn u la d l man i B é C e na el éte A :BC m na en a a 26. te emjamento de vt e C CA ebl una pd byv n pa ág ouete d
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OUN
30
FIGURA 26
ldo cngentes. í, en figu LABC � CDA, L BCA � DAC CAB � ACD. nogment s d rrespnente s nguent omo gue: AB � CD BC � DA CA AG. En gener, d tnguos on ongruentes p gn empejment de sus véte as te oespondents {ángus do) sn nguentes. L egón gn puede ndee omo unn de do eges nge congente (gu 7
GA
GRUP E ERCIIS
Cítnse ejempos de bjet onguentes de ente os que e et puede ent en un upermd en un b de utomve, en n gnj en un n
2 Dbújese un ret horzont n punt A n sbe . Euént pime et ue ontene A es e et end un dblez vet en e ppe e ret s db sbe mm A se enente sbe ese dbz; ntnun se e db o n de mod ue pme et de pegue se dobe sbe s msm A se enuente tmbn sbre este egundo ege Est eund t de pege debe ennes e pe t l Nese qe t d pme doez mm es perendu et dd
m,
ONA Y SMETRlA
prmera y que la sa d eue U s eu a a rcta pg, o abaj p v . Obér,
e amá q rta praea a
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a reta ¿N pare ir i rta n pano n pr pnars a na msm rta ntnes sn paras na ra?
Cás a fga q g:
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mne ) S pnt m s s D tr pnt ar oe a a
eg á a rón enr a s rta AB y D
Qé a e ng s LAD
ómrs tr ng rt oa pr tas as ( rta D aa matrz sgen B
4. a n triángu aqra pr p
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p a rha n un tráng nen n sin m
m na rta n netr pap Marqm n pn a· r B' sb ra
· qms pnt n mpá mnr inn o B mrqm n mn B'e' nsr e m q �B
3
CONGRUEIA
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Vlvam la d ua dl mp d md u n idan . Cn B' cm n dibum un írcul:
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) lum una vz má l pua d nu mpá aa d md u ian b A C. Cn m cn dibum un ul. E d ccu ncaán n d pun Rú lui d pu m Dibn l gmn A'B' A'C' ntnc 6''C':C
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N6mbn pr d lad u n cngrnt Nómbn pr d gl u n ngn.
ny n ángul cngun n l bDEF
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L51FCÓ DE O RO
ASAN D FGRAS PLAAS
Csfón de os ráos
Un vez que hemos deinido l onguenc pr los semenos y los ángulos poemos usr es nocin en lsfiin de os rinulos, como sigue:
Si os tres ldos un rinlo son ongruentes, el tinuo llm qá e l lbr l qu sgii "los iules b dos ldos de un riánlo son conguentes e riánulo se lm ó de l pl geg ue sigiic "pierns igues. i nún ldo un riáuo es conruente con ningún ot ldo el tránguo lm cao de l lb grieg pr esin ds o ispejo d i tes álos de un triánglo son onguentes, el áno es un ingulo á Si un igulo tiene dos lo congentes y un ánlo reto en , el tiángulo se ll iág ól
I>ude mostrrse ue si un riánulo es iósceles enones los dos ánlos opuestos los ldos conuenes son ongruentes. Recprocmente si n tiágulo tiee dos ánulos congentes entonces los dos ldos opuestos eso ángulos son congrentes, el triángulo es isóseles D esto ddue áclmene qu i un triángulo es eulátero, db ser equiánuo, y ene uede mién mostrse q pr trnulo scno entonces no tene nguos congenes, reprocmente
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GRA 8
Al dujr un fur gométic es iul inicr l tes con gruentes con signos náoos sto min tituye un procdimiento útil undo se omprn s ptes corresponintes de do frs congtes
4
ClASIFACióN DE GURAS PLAA
Por ejmplo en l igura 28 los ldos congruentes del trángul isseles B está ndicdos por un sola rayt n ad no de llos Análoamente os ánlos ongrentes ue se oponn a estos lds tmbén tenn una ryit sobre cda símbolo de o n l figur 2 b GH tenen mca náog un ryit, pra ndia qu estos son lados onguente correspondentes en los dos riángulo ongrnts DEF GHI. Ls ms dos obre F y HJ indcn que Hl. as rcs trples sobre os aros indin qu F � LGH E onpto d e de simetría proporcion un mtodo ntesnte pr l clsficcn de fronters trngulres d regnes eds or ejmplo si un regin trngulr tiene ts es d setrí, su rontr es un trán ulo equlátero n reldd stber la exstenia de dos ejes de smetí s sicente pr segurr ue, en redd hy s n l fgur 29a,
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ando 6AB dob por la líne ntumpid tl ue es un ej de simetra AB oinide atmene on B; cuando 6AB s dobla sor el otro e de simetría tambi salado por un reta de tro nt� rmpido, AB oinide on AG s pr tanto eidtemte intutvo que puede hcerse onidir y B pueden hcrse ondir uesto qu atamnte on ad uno de ellos En l ira 29 (b hay solament u eje de simetría lo que nos d que solamente D � F DF es is les En la igur 9( no hy nngún ej de smetría de donde 6PQR es ealeno
G JRCS 3 l . onstrúyas usando omps, un trángulo ulátro qu ad uno de sus dos sea ongent con AB
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ClASIFIÓN DE LO TRGL 2 a ¿Pu tn un tiágulo quilt u ngl t? Pu nr tig ól un ángl ) P tán m gu
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L t j mtía la gón aa a ctada p til qult YZ nutan n un pt. R un a d a
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gin agua h b na oa d ató u prcúr a laad n iti la punta d n l brazo d n mp t alal lq n a Qué qu va Cqu l tingu qlto XYZ d cco auaamnt l punt mi W d Y.
Háll lan
a Paaa lu to E W igual ta e la pigu?
E W + la matiz ¿Bi W a
Y?
LXY
5. P m ds a t ut m l ángul al XY qu a coninación motmo.
ntt aa táng l pnta l jii la ( la
(
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. . . .
j ág gón Í· mtía ága iu na gión aa q tga uat j ima
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Clasifaón de poígoos N on solmente l tiánul, n que tambén muchs otr plgono los que pueden clasiae de acued a cetas popedad de su ad y d u ángu n l cuadrn 4: Gm fr denomina mo a lo polígono de acued a número de u lads tinguos de tre cuadrlátro de cuatro pentágonos d cno; heágon de i; hptágo nos le sit y otgonos de ch L claficamo tmbén en cnxs y ncaos Ota opedad m a menud cnideada n a descripcón de un polígn es la de eglarida
U p ra l g á
Un ánglo equláteo e un eempl de pígono egular, a que tene es ados congruntes y t áns cngrunts n la secin pecedente diims que i un triángl ten todos u lad ngruentes ennce ell s sigu qu todo u ágos on tambén ongente Ete n e l caso paa s polgn en geneal Pr
FGR mp la ua 0 mueta un pgno conve llamad b n l que l cuato ads on cngruente, p cuatro ánguls no necesitan elo Reíprocamente tenms l amar pgno conocido con el nm be de rcg (igua 3 1 ) en l que l cuatr ánguls on cnrunts,
GRA pero los cuatr lad n necetan selo. D auí que nngno d tos plígn a de nesaamnte rgua
CIFAÓN DE
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E la ra han uao aluo jmlos e polgn elar, u omb omún ebo ada uo Como l in l ir 3 nbr mún el arláro ula l arao
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En la in g farmo ls udriár eneal, de cuerd ira oe s lo e u o mne mo m para tángl ee
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ibújene o lo eje imra aa una e ron r m oo g i 3 ¿Pe lr er lna ga qu relao úme e j mra n e núo e la e u polgn rula?
¿E oble para un polígono tnr un númr d j e imtrí speior a su númro de lados?
3 E er que do l pn rue n ve Mue qu a firó o "o pln vx e a meant J buj e u líon nxo uy la águ n an, oo nre
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4 ¿Es s qu n heágn tn xactm d eje d imrí? b xatam a es d imrí? ) tm i eje d imrí?
lsccn l dráo m atrimn meiam, ráe e poí q l uó d ua e. Et r m dmia r n fgu 33 at CD (aun u m OCD)1 da u n: C, C LCD LD L C D e m d
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URA 33
adár; tamé véi d r á Los m C C m d ár D ad mt qu e n mú &e q son pu; eqr q isn ri mn Angant uaua n u n n m e e n ánu pu LD LCD LC C Caq d á e ien lado mún m á ay m L C C CD d m d rz irrmid C D am dár U de e r d d á d
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lASIFCAió D L CAILÁTOS
uadá udn caas ún aa y nunca d su ad ángu ust a Cadát a: un uadá n u n ay d ad u an cnn aa b Cma: un cuadáe en u n nn d a d ad adan ) Tapzid un cuaá n n aa acn2 un a d ad us d Tapzd c tap un ad cu ad n aa Is n cnuns Paalam un uadá n u a pa d ads pu s sn aa Rmb un aaa n cua ad nn Rcá un aa�a n ua ángu nnt Cadad: u nu cn a ad cnun
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Cada un d cuadá dujad n a gua aa n ueña aa u uan uá n ad ángu nn Auna pdad adcna aa d a u an pad n a casa6n c ncnd
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n un ct o ng ust on congrn En un trezode 6les, dos pae de ánglo dyant sn onguent n n paelormo os re de ldos uJts on onunte; y tién bo pare de ngul puto on onruenes En n retuo todos los nulos on ánl tos
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Volvamos hora a gon uadanulre dibuda en la fura 34(a) a Cálqu aa ua de sa regione cad trene ods los j d eía aa d a d L d sutan den ac a d ga 3 n d s se nca l ú d s d simetría bajo l duo d l ren erd ¿Not el letor un elón etr s pa ongentes los ee d simeta? Pdes resu lo ltado pr los dstntos ts de udlátrs serand us rgos ntesnte l et rea u uando e
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FIGURA
dl un ura lo largo uo d su eje de mtr, ls ds te s apln peetmente Lugo pr ue un gión a un de sitría su rontera deb tn l eno una de ls unt ropiedaes
ngus nu cngnl . D r d ldo dyc d gu 35
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s aes d nguls adats y los las inus sn n ns o n d , g) y ( la a
P la ppid 1, el j d sita paa po vétis; a l p smetí pa p l puntos d lds oue 2 n uqe j d etr o s os u pa pates onunt n epanos outo d od uand la u s dl po a a ets nts onuns <idún Ronos no a la i Co (a y no nn ads n ls net s igue qu n n ellas nnn e d a L ó im ptalcogm e ng{ d ta a que no as ni á ns u an uns
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En el cuderno 14 Ga al sutmos dfnimos el oncepto de "curva ceada smpe' U tipo de cura rada simple que mre una atnn esial s a iunfenca. Como en ! cuaderno dfmos la unrncia como gu
a cca a va ada pl pa p úc amém P or a q o d p d a cva c P � P
Al pnto P se l llama entro de a crcunfencia N6t que un cíuo s imétrco con rspeco a su entro El lector reodará u<� una ura cerada mple spara al ano en te onjuntos ajenos la curva misma su ntor su xteo l lector ue ver que e ento de una runfnca no e un punto e ulo ueo ue s nunra n u intor. ento de la icunfe n ento retíneo con un extremo n ncia el otro tmo sobre la iuneenia s lma rad de la iuneencia En la fgura 36 P P son todo ao la unfna la iniiones de irunfnia ado u todos los rados de una irnferena son naamnte ongents; dec P P PD et
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P PD
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G
El d d una crcuneenca e un semeto retíeo q tene sus untos trems en a cicnferenca ontie al entr de a crun rna En la fgura 36 BD es u metro e la ciufnia na cda d una ircunferenca e un semento rectiíneo cuaquiera uos etremos s encunten sobr la cunerena En la figura 37,
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X p Z c c •
ZW e una la o an1a uea e ccunfna con centro n epeal e da a aber un dmetro D uno cualqera d una runferenc aran a la cunY la ra 37 an rca en do a( Por emlo los puno a rn n a n nee puno W t aro noan reaent, o lo mo
XW Una nfrenca Jnto on u ntro lla
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a crcular o a cubeta e un e cr.
na mne ata on prentaone
D ibú u crcufrena na cuera ualuea B en ela m pea o o oblee duao encnre la mea a GRUPO
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¿ la recta d lu al centro d unna ¿Q a de a de l cicufra otn l l�
l o lae eal d uera un je d metría e la ferea?
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Cuán eje e smeta tene n írulo? o qu el letor oea pect a lo e e mta una runfna? e ! a ler una crnerncia no upera dónde e ntraa tuao u centro 6mo poría econa e cntr emlano e rcuro de o oblec
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SMJANZA Fgu semjaes En a n obr ongrna tumo oundono rncalmnte e objetos w eían el mmo amao la mm frma En eta ón amo a conerar ojetos qu nen la mma ora pero no naramete e mmo tamao A tal ura es llama gua Lo uato írulo en la ae uor de la gr 38 on, vdntent <· to a a irerci stá om t mene de n moo análogo tnan o no el msmo tamao o mmo e tambén crto para tod lo uarao
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miso mateial o s on del mmo sexo. En geoetía el érno "semejante' e ua en un entdo má peco porque epe quee dec que tinen la ma forma". Sabeo que la fguras conguente on gae en taaño y foa; Juego toda las ua que son congente on amén emeante os do tnulo conuente que uetan en a fua on pue ee antes Po uongamos ahoa que rao a uno de ello dgo AC a tavs de un tal e auento aa lado del 6AC en la fua (a) etá aumentad la sma prció paa poduc el QR de la ua ( e donde el proceo e ampfcacn auenó unfoeente el tamao de 6ABC peo pesevando la f ognal e acuedo con ello decmo que lo do trángulo de la fua on eeante Suponamo ahoa que no n o fua otca aleque ale como a egone ada en la gua 1 a y sta do e gone paecen anloga en foa po no son conguente ya que la egón a ovamente e uo pequea que la eón ¿ee e lecto que mplfcando la egn a puede otenee una egn que ea con·
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grunte a la que aprc dibujada en b) ? S la ontesión "sí (omo lo n ee a, noe la do fur a b on manes.
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Pobems on oro ejempl ¿aen mne l u eab ? nuvo la ona6n d mple de la 2) Ea ez debíamo manano u mlábmo la ua rada
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D r e an arg m B a razn a niu D D a a g B a 3 a m im:
Triángulos semejat Cmparm aha par ingu 6B DEF d a i ra 45. pu na iniamn u rin pare qu
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URA 45
n ma pr n mra uiana ha un m pri mprar i tinn xaamnt a misa 'ra Supnam qu a éri u rrpn n pa ri F ! DF a u rrnn L n n gua mia Amb pan ánu rt Enn m C qu a m C, ms t ,
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BCBC BC? 3 3 B = 2 BC = C 2 3 BC = C ' gtudes 3 GRA
Si or medios o trsp ánus nos ectrs D t s qe � F � E CB D s onrnte. ¿N p guos crrsdiees d qe onid de d d de L s roximdmn � d Jtd de d rrespodie de i mdi comprms s s s enc pdeos ibi res popon pr dcrir est h :
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demos mbi ss pporcioes FD
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Desriimos s igudd s rzs de s oespdie d nt d trángul n pal, en ró de en ese em Pdeos frmr hor modo prs pr cmprbón d smej de gos Do inulos n semjant algun mpó d u vétc l ánu pnnt n rut
la ltud d l l pndnt n prpl
5EMEJZ
Plg mja El métd anteor puede xdee hata nur tdo lo plno calquira u s u núm d lad. dir ds pogono son n aa an rjamen vr en n n entrn dor d o ín n rndnt sn cnuent ls lad orrepondn tinen lonuds propor�ioals Pra l polgons e tre lad (pr ls rnulo) n emag, su qu de et d ndiions e ufn aa tabler la mejanza dcir dos trgus sn semate si erto qu lo ns orepdins n congen ue l ad rrpndns tnen lnus rns E recodará u un go regu i do u lads n cnnts toos s guos sn tambn ongunes llo s ddue ue cualesuera dos polgn gulare qu tnn el m úmr d lads on meante poue n imrta cul sa a oa n ue ae m s os ánul sondinte m srán congun ls ds rsndente prional en lnu Todo o cuadaos
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¿ Cómo odían haerse oresponr los étics e AD con los FGH d mana qu los ánlos orresponintes fuese congns
RAS !IMNSONALS as nocons smetría, ongruec y meanza qu emos sarro ado para firas planas s ausan igualmene bien a fguras idimns ales El lector pue notar q el eico 1 d gupo e ejrcos 2 tata e fgurs rmensonals ongruens y jrcicio 1 gupo e jcicis 7, e fguas rdmensonas s<�mjantes En l spacio d trs msiones las fguras puee tener no soo pun tos y ejes de simetra sno que tamn panos de simetría s po ejemplo mentras que el diujo la fgra e ua muacha e fones muy regles tie un e e vertcal de simta, a muchaha misma tendra un "ima· p vertal es alante haa atrás) de smetría El cor y ge en e espjo en un espeo orinaio son simtricos con respeo pao speo Una esfera en nnts ees d smtría infntos planos smetra a saer todas rta y todos los planos que psn por l cento de a sfra; pro el de la sfera es l io centro d simetría e a sfa Podmos asfcar l fguras trimensioales un moo gua en gan parte al que empleos para lasifa las fguras planas Al hacer al ca sifcacó nos ves aos a mhas osieaions y esubrmint ntresantes o mplo minras que hay un número nfinito poígonos rguares (a qu ero lados puede ser cualquir númro mayor o ga que trs vase la figura 3) ha solamete cio ped reu· lars: el ttraro egular, el hxedro guar o c l caedo regular el doeaedro rgla y e iosadro reular (figura 8 . El númo e vétis e arstas F aas d sos poedros reulares esán tabua-
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o e la taa Es teesate otar e la tala qu para el tetraedro egular los meros se preseta e el mismo orde haia adelae qe aia atrá 4, 6 que se preseta e el mismo ode aia adelae aa hexaedro e dodeaedo reulaes que el que te haia atrás para
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osaedro reguares respetivamete A asa de estas rlael otaedro ioes, el eaedro el otaedo rgulars se die qe o fiuras u omo tamé lo so el dodeaedro el ioaedro reulas el tetradro regular u propio dual
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Pued tién nots ue os núeos {:sdos en tb iustn e teorema de Eule que ir ue p calqie oiedo se s tine V-E+F
RSMN En este udeno heos peddo ecto que consiee ho obetos otos iinndoos obsevndoos y onstuyndoos speos que est tvidd h do eoo su intuin eot de ne que pued tnsiti s ente s noones eos sus nos Aunque s s tdensiones son s des de psent en e pizón que a ius pns, o eo es que os en e espio y desde e dí en q neos esos ostudos to ojetos óidos. o eo hos de nsotos desoos n intiin s pi de uas diesiones que de s ius pns o eepo inuso os niños n edd peeso peden sii oo sus oues en pis ords po os que tienn e iso tño y is o A ense eoetí nios uy pequeños es n uen ide oenz ho ptiendo de stuons que intuitiven s sen onodas Les open
Et ls dversa refer n úe que rn l ma que uí e h nrodu do, sán as igt:
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BRUMFIEL CHAES K�A\S GEN Eltmenay Mahmaics d íon cle Pued obtefo Tah, Reaig Mass: n n d íon Wl Psng o, Jn, adin M. SA DA!E ome an rafontion n Enime Mahema or Gad. Vcmoéptmo r Natn Cu o ea ers Mat ma Wasnton Th unl ue tn e e l Natínal Conl of echr of Mhem 201 Sxtenh St , NW. Washntn . MAT AMES 1u emy; An Inma ppoa Bel· mon lif: Brook/ol n. Pued otenerse en Bok/Co Bmon f WEAVE JA WrF, AE Mn Mahma Ee· menar Tah (sunda dicón) cranto ntro tb o 274 pn. u tne n l Iton Teb o ranon Pa
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