Simetrías de Ondas Periódicas Las simetrías permiten calcular más fácilmente los coeficientes de Fourier de una señal periódica x(t). Tipos de Simetrías: Combinaciones de estas simetrías:
1) Par 2) Impar 3) Media Onda
a) b)
Par + Media Onda = Cuarto de Onda Par Impar + Media Onda = Cuarto de Onda Impar
4) Escondida : Mediante desplazamientos en el eje de las ordenadas y/o de las absisas
permiten transformar la señal periódica dada en otra serie que tenga una de las simetrías anteriores, de este modo calcular más fácilmente los coeficientes de Fourier para luego volver a la señal original y así obtener su serie. Antes de desarrollar las propiedades de las simetrías veamos algunas de las propiedades de las funciones pares e impares. Regla de los signos: f par par = (+) ; f impar impar = (-)
f par par f par par f impar impar f impar impar
. f par par . f impar impar . f par par . f impar impar
= = = =
(+ ) . (+ ) = (+ ) ……. f par par (+ ) . ( - ) = ( - ) ……. f impar impar ( - ) . (+ ) = ( - ) ……. f impar impar ( - ) . ( - ) = (+ ) ……. f par par
Área de funciones pares e impares en intervalos simétricos X(t) par T / 2
∫
-T/2
t
T/2 X(t) impar
T / 2
∫
x ( t )dt = 2. x (t )dt
− T / 2
0
T / 2
∫ x(t )dt = 0
-T/2 T/2
− T / 2
t
Descomposición de una función f(t) en una función par más una función impar Toda función f(t) se puede descomponer en la suma de una función par más una función impar. f(t) = fp(t) + fi(t)
(1)
fpar: fp(t) = fp(-t)
fimpar: fi(t) = - fi(-t)
Si evaluamos la expresión anterior en –t, obtenemos: f(-t) = fp(-t) + fi(-t)
(2)
Pero como fp(-t) = fp(t) y fi(-t) = - fi(t) , de (1) y (2) sumando y restando las ecuaciones miembro a miembro obtenemos: Autor: Ing. Jorge Calcagno - JTP Matemática Avanzada Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata - Argentina
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fp(t) = [ f(t) + f(-t) ] / 2
(3)
fi(t) = [ f(t) - f(-t) ] / 2
(4)
Ej: Obtener las funciones par e impar de la sig. función f(t) f(-t) 3 2
f(t) 3 2
Espejando la función obtenemos f(-t)
-2 -1 -2
1 -2 -1
1 2
-1
-1
2 -2
Ahora podemos usar las expresiones (3) y (4) anteriores y sumando y restando gráficamente obtener fi(t) y fp(t) . f(t)
f(t)
3 2
3 2 -2 -1 -2
-2 -1 1 2
-1
-2
- f(-t)
f(-t) 3 2
1 1
-2 -1
1 2
-1
-1
2
-2 -1
2 1 2
-2
-2 -3 4
2
2fi(t) = f(t) - f(-t)
2fp(t) = f(t) + f(-t)
-4 fi(t) fp(t) 1
2
-2
Autor: Ing. Jorge Calcagno - JTP Matemática Avanzada Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata - Argentina
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Desarrollo de las propiedades de cada simetría:
1) Simetría Par:
x(t) es una función par y el coseno también, por lo tanto el a n queda: an =
2
T / 2
∫ x(t ). cos(nω t )dt o
T − T / 2
=
4 T
T / 2
∫ x(t ). cos(nω t )dt o
0
En el caso de los b n tenemos la multiplicación de una función par ,x(t) por una función impar integrada en intervalo simétrico queda: bn =
2
T / 2
∫ x(t ). sen(nω t )dt o
T − T / 2
= 0
De este modo el coeficiente de la serie compleja de Fourier es real puro a n − jbn
cn =
2
=
an 2
Y la serie de Fourier toma la sig. forma: x ( t ) =
ao 2
∞
+∞
+ ∑ an cos(nω 0t )
o su forma exponencial
x ( t ) =
n =1
∑ n = −∞
an 2
e jnω ot
Notar que:
1) Una función par x(t) se descompone en una suma de funciones par (los cosenos y el a o/2) 2) En la forma exponencial por cada par de exponenciales se genera un coseno, por ejemplo se puede tomar n=3 y n=-3 y formar el coseno correspondiente. 3) an = a-n ya que el coseno es par respecto de “n”. (ver definición de a n ) 2) Simetría Impar:
x(t) es una función impar y el seno también, por lo tanto el b n queda: bn =
2
T / 2
∫ x(t ). sen(nω t )dt
T − T / 2
o
=
4 T
T / 2
∫ x(t ). sen(nω t )dt o
0
En el caso de los a n tenemos la multiplicación de una función impar ,x(t), por una función par integrada en intervalo simétrico queda: an =
2
T / 2
∫ x(t ). cos(nω t )dt
T − T / 2
o
= 0
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De este modo el coeficiente de la serie compleja de Fourier es imaginario puro an − jbn
cn =
2
= − j
bn 2
Y la serie de Fourier toma la sig. forma: ∞
x ( t ) =
+∞
∑ b sen( nω t ) n
o su forma exponencial
0
x ( t ) =
n =1
b ∑ j 2 e jnω ot n
n = −∞
Notar que: 1) Una función impar x(t) se descompone en una suma de funciones impares (los senos) 2) En la forma exponencial por cada par de exponenciales se genera un seno. 3) bn = -b-n ya que el seno es impar respecto de “n”. (ver definición de b n ) 3) Simetría de Media Onda:
En este caso x(t) cumple con lo siguiente: x(t) = - x(t + T/2) Para darnos cuenta si una función periódica tiene simetría de media onda hacemos lo sig.:
-T/2
-T/2
-T/2
T/2
T/2
T/2
3) Desplace el tramo seleccionado medio período a la izquierda o a la derecha. Si coincide con lo que está dibujado entonces tiene simetría de media onda.
2) Multiplique el tramo seleccionado or -1
1) Seleccione medio período de la señal, puede ser en cualquier lugar de x(t), pero tome uno que sea de fácil identificación.
Las señales x(t) que tienen simetría de media onda tienen a n y bn distintos de cero para n impares y valen 0 para los n pares. Vamos a demostrar esto para los a n ya que para los b n es
similar.
Partimos de la definición del a n: an =
2
T / 2
∫ x(t ). cos(nω t )dt
T − T / 2
o
=
2
0
∫ x(t ). cos(nω t )dt
T −T / 2
o
+
2 T
T / 2
∫ x(t ). cos(nω t )dt o
0
Reemplazando en la primera integral x(t) por - x(t + T/2) obtenemos: Autor: Ing. Jorge Calcagno - JTP Matemática Avanzada Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata - Argentina
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an =
T / 2
2
∫ x(t ). cos(nω t )dt o
T − T / 2
=
−
2
0
∫ x(t + T / 2). cos(nω t )dt
+
o
T − T / 2
2
T / 2
T
∫ x(t ). cos(nω t )dt o
0
Haciendo la sustitución u = t + T/2 tenemos:
an = −
2
T / 2
T
∫ x(u). cos[nω (u − T / 2)]du o
+
2 T
0
T / 2
∫ x(t ). cos(nω t )dt o
0
0
cos[ n ω o ( u − T / 2 )] = cos( n ω o u ). cos n π + sen ( n ω o u ). sen ( n π )
Reemplazando el
teniendo en cuenta que ω o =
2π T
, obtenemos la expresión definitiva para el an. 4
an =
T
T / 2
2 T
[1 − cos(nπ )]
∫ x(t ). cos(nω t )dt o
=
0
4 T
T / 2
2 T
[1 − cos(nπ )]
∫
T / 2
∫ x(t ). cos(nω t )dt o
x(t ). sen( nω ot )dt =
0
si
n es impar
si
n es par
si
n es impar
0
0
Análogamente: bn =
y además
T / 2
∫ x(t ). sen(nω t )dt o
0
0
si
n es par
3a) Simetría de cuarto de Onda Par : Se denomina así a una señal x(t) que tenga simetría de media
onda y además sea par. Las expresiones para a n y bn son:
an =
8
T / 4
T
∫ x(t ). cos(nω t )dt o
si
n es impar ;
a n = 0 si
n es par
;
bn = 0
0
3b) Simetría de cuarto de Onda Impar : Se denomina así a una señal x(t) que tenga simetría de
media onda y además sea impar. Las expresiones para a n y bn son:
bn =
8
T / 4
T
∫ x(t ). sen(nω t )dt o
si n es impar ; bn = 0 si n es par
;
an = 0
0
Autor: Ing. Jorge Calcagno - JTP Matemática Avanzada Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata - Argentina
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Ejemplos: x2(t)
x1(t)
3
2 -1 1
t
-2 -1
1
-2
t
2
-3
x1(t) con simetría de cuarto de onda impar T/2 = 1
x2(t) con simetría de cuarto de onda par T/2 = 2
Porqué se llama simetría de cuarto de onda par o impar?
Tomemos por ejemplo la señal x1(t) dibujada anteriormente, como es de cuarto de onda impar, significa que tiene simetría de media onda y es impar, por lo tanto sólo tendrá b n distintos de 0 con n impares bn =
2
T / 2
∫ x (t ). sen(nω t )dt
T −T / 2
1
o
,
para la señal x1(t) el período es T=2 , ωo = π
Como vemos de la definición del b n este coeficiente es 2 / T multiplicado por una integral, pero esa integral representa un área, dibujemos entonces esa área que es el producto de x 1(t) con el sen(nπ t), y para hacer las cosas más fáciles graficaremos el seno para n=1 como si estuviesemos calculando el coef. b1, para los demás coeficientes el análisis es similar. x1(t)
Entonces el coeficiente b 1 sería el área graficada en el último gráfico integrada entre -1 y 1. Pero si observamos detenidamente el gráfico vemos que esa área está compuesta de 4 áreas exactamente iguales
2 -1 1
t
-2
x1(t) sen(nπ t) 2
A1
sen(nπ t) 1 -1
-1 1
T/4
x1(t) sen(nπ t) 2 1
1
t
t
-1
-1
1/2
t
b 1=
2 2
T/2
1
∫ x (t ). sen(π t )dt = 1
−1
4 . A = 1
8 2
1/ 2
∫ x (t ). sen(π t )dt 1
0
Es decir que toda la información que se necesita para calcular el coeficiente b1 está contenida en sólo ¼ del período. Por eso se llama simetría de cuarto de onda !
Autor: Ing. Jorge Calcagno - JTP Matemática Avanzada Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata - Argentina
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4) Simetría escondida: Mediante desplazamientos en el eje de las ordenadas y/o de las absisas
se define una nueva señal y(t) a la cuál es más fácil calcularle los coeficientes de Fourier. Una vez hecho esto se vuelve a la señal original x(t). x(t) y(t)
xo
y (t ) = x (t + t o) − xo
t
to
t
0
Primero hacemos el desplazamiento en el eje de las ordenadas, quedando y(t) = x(t) – x o , luego la desplazamos en el eje de las absisas, obteniendo finalmente y (t ) = x (t + t o ) − o
Luego calculamos la serie de y(t), obteniendo: y ( t ) =
a0 2
∞
+ ∑ an cos( nω 0t ) + bn sen( nω 0t ) n =1
Por último volvemos a la serie original despejando x(t), para ello, resto t o en el eje ‘t’ en toda la ecuación: y (t − to) = x (t + to − to) − xo ,
quedando
x (t ) = y (t − to) + xo
Luego reemplazamos la serie calculada y ya tenemos la serie para x(t) que era lo que buscábamos. x (t ) =
a0 2
∞
+ xo + ∑ an cos[nω 0 (t − to)] + bn sen[nω 0 (t − to)] n =1
Veamos un ejemplo para que esto quede más claro: Obtener la serie de Fourier de la sig. señal x(t) Queremos que este pto, el (1,5) de x(t) valla a parar al (0,0) del gráfico de y(t), de modo de transformar esta señal x(t) en una y(t) con simetría impar.
x(t) 6 5 4 -3
1
5
9
t
De la expresión para y(t) deducida anteriormente tenemos: y (t ) = x (t + to) − xo = x ( t + 1) − 5
Es decir a los valores de x(t) en el eje de las ordenadas le restamos 5 para lograr el y=0 y desplazamos en el eje de las absisas a la izquierda en 1. Autor: Ing. Jorge Calcagno - JTP Matemática Avanzada Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata - Argentina
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y(t) 1 -1
-4
t
8
4
Luego si miramos y(t) vemos que tiene simetría de media onda y también es impar, por lo tanto tendrá bn con armónicos impares como hemos visto antes, luego: ∞
y ( t ) =
∑ b sen(nω t ) n
T = 8
o
ω 0 =
,
2π
n =1
bn =
bn =
8
8
=
π 4
T / 4
T
∫ x(t ). sen(nω t )dt 0
π
8/ 4
8
si n es impar ; bn = 0 si n es par
o
∫ 8
1 . sen (n
0
π 4
− cos(n t ) 4
t )dt =
nπ
2
=
0
4
π [1 − cos(n )] si nπ 2
n es impar
4 bn =
4
n impar
nπ
Reemplazando lo hallado en la ecuación de y(t) obtenemos: ∞
y ( t ) =
4
∑ nπ sen(nω t )
,n
0
impar
n =1
Y usando la ecuación que da x(t) tenemos: ∞
x ( t ) = 5 + y ( t − 1) =
5+
∑ n =1
4 nπ
seno [ n
π 4
( t − 1)]
,n
impar
Por último podríamos reemplazar sen [n
π 4
( t − 1)] = cos(n
π 4
) . sen ( n
π 4
t ) − sen( n
π 4
) . cos ( n
π 4
t )
Simplemente para verificar que la señal original x(t) al no ser ni par ni impar tiene en su serie términos con senos y cosenos ∞
x( t ) = 5 +
−4
π
π
4
π
π
∑ [ nπ sen(n 4 )] . cos (n 4 t ) + [ nπ cos(n 4 )] . sen (n 4 t )
,n
impar
n =1
an de x(t)
bn de x(t)
ao/2 de x(t) Autor: Ing. Jorge Calcagno - JTP Matemática Avanzada Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata - Argentina
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Apéndice: Otra forma de expresar una serie trigonométrica de Fourier
Partimos de la expresión ya conocida de la serie de Fourier x (t ) =
a0 2
∞
+ ∑ an cos( nω 0t ) + bn sen(nω 0t ) n =1
Multiplicamos y dividimos dentro de la sumatoria por
x (t ) =
a0 2
∞
+∑
an2 + bn2
an
[
an2 + bn2
n =1
an2 + bn2 obteniendo:
bn
cos( nω 0t ) +
an2 + bn2
sen( nω 0t )
]
Si nos fijamos los cocientes que acompañan al coseno y seno se pueden representar en un triángulo rectángulo. an a +b
a +b 2 n
2 n
φ
θ
2 n
bn
2 n
bn an2 + bn2
an
bn
= cosθ
a +b 2 n
2 n
an
= cos φ
an2 + bn2
= senθ
= senφ
Reemplazando en x(t) para las dos versiones, en función de θ o de Φ nos queda: x (t ) =
a0 2
∞
+∑
an2 + bn2
[cosθ . cos(nω t ) + senθ . sen(nω t )] ............(1)
an2 + bn2
[senφ . cos(nω t ) + cos φ . sen(nω t )] ............(2)
0
0
n =1
o x (t ) =
a0 2
∞
+∑
0
0
n =1
Y finalmente si reemplazamos cos( nω 0 t − θ ) =
cos θ . cos(nω 0t ) + senθ . sen( nω 0 t )
sen( nω 0 t + φ ) = sen φ . cos( nω 0t ) + cos φ . sen(nω 0t )
en la ecuación (1) en la ecuación (2)
Obtenemos: x( t ) =
a0 2
∞
+∑
an2 + bn2
θ = arctg
cos(nω 0t − θ )
donde
sen( nω 0 t + φ )
donde φ = arctg
n =1
bn an
o la expresión equivalente: x(t ) =
a0 2
∞
+∑
an2 + bn2
n =1
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an bn Página 9 de 9
