Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann BAB VI SIFAT-SIFAT LANJUTAN INTEGRAL RIEMANN Teorema 6.1
Jika f [ , ] dan f [ , ] dengan
<
<
maka f [ , ]. Lebih lanjut
=
+( )
Bukti
− − − − − −
f [ , ] dan f [ , ], misalkan ( )
> 0, maka terdapat < 1 berlaku
bilangan 1
1
=
1
dan ( )
1
1
=1
2
2 . Diberikan sembarang
> 0 sehingga untuk setiap partisi Riemann
1
dan juga terdapat
=
1
pada [ , ] dengan
< . 4
> 0 sehingga untuk setiap partisi Riemann
2
pada [ , ] dengan
2
<
2
berlaku
2
1
2
=1
< . 4
= min { 1 , 2 }, akibatnya jika P sembarang P sembarang partisi pada [ , ] dengan sifat terdapat dua kemungkinan; (i) c merupakan salah satu titik partisi P (ii) c bukan merupakan salah satu titik partisi P
Dipilih
Kemungkinan (i)
− − − − − − − − − − − − − − ≤ − − − − − −
Jika c merupakan salah satu titik partisi P , maka P terbagi atas
dan
2
1
<
pada interval bagian [ , ]. Karena 1
dan
2
<
2 , sehingga
(
1
1
+
= min { 1 ,
2}
dan
+
2)
1
<
maka
pada interval bagian [ , ]
< , maka berlaku pula
2)
=1
=
1
1
+
2
=1
=
1
1
+
2
=1
1
=1
<
4
+
4
1
1
2
=1
1
(
=1
1
1
1
+
2
1
2
=1
<
Kemungkinan (ii)
Jika c bukan merupakan salah satu titik partisi Riemann P , maka dapat dibuat partisi Riemann pada pada [ , ] dengan c sebagai salah satu titik partisinya, sehingga menjadi penghalus
partisi P . Selanjutnya dengan cara seperti pada kemungkinan (i) diperoleh; 1
Thobirin - Herawan : Analisis Real II
Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann
− − − − − − − − − − − − − − ≤ − − − − − −
(
1
1
+
2)
=1
=
1
1
+
2
=1
=
1
1
1
+
2
1
+
1
4
=
1
2
=1
+
+
2)
2
=1
1
4
1
=1
=1
<
(
1
1
2
=1
2
Jadi
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − ≤ − − − − − − − − ∈ ≠ ∈
(
1
1
+
2)
<
=1
2
dan karena
1
=1
1
=1
<
2
maka
(
1
1
+
2)
=1
=
1
=1
+
2
(
1
1
+
2)
=1
1
=1
2
+
=1
<
1
1
+
=1
1
(
1
+
2)
=1
= .
Dengan demikian terbukti f terbukti f ( )[ , ] dan
=
+( )
Teorema 6.2
Jika f : [ , ]
= 0 kecuali di beberapa titik yang banyaknya
R fungsi terbatas dan
berhingga pada interval [ , ]maka f [ , ] dan
( )
= 0.
Bukti
Dibentuk himpunan
=
Selanjutnya untuk setiap bilangan
,
: 0 yang mempunyai anggota sebanyak berhingga. > 0 dipilih bilangan dengan sifat 0<
<
2
( )
Thobirin - Herawan : Analisis Real II
Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann
− − − − − − − − − − ≤ − − − − ≤ − − ∈ ≤ Ambil sembarang partisi Riemann P pada P pada [ , ] dengan
0 =
1
< , maka diperoleh
1
=1
1
+
2
=1
1
(1)
=1
dengan 1
adalah jumlah bagian dari ( )
dengan semua interval bagian yang tidak memuat titik
anggota X anggota X .
2
adalah jumlah bagian dari ( )
Pada
dengan semua interval bagian yang memuat titik anggota X anggota X .
ini dipilih titik tagnya adalah salah satu titik anggota X tersebut. X tersebut. Oleh karenanya pada
2
(1) di atas menjadi
1
0
1
=1
0+
2
+
2
=1
1
=1
1
=1
<
2
1
( )
=1
Terbukti f Terbukti f [ , ] dan
( )
= 0.
Berdasarkan Teorema 6.2 di atas dapat diperoleh akibat sebagai berikut. Teorema 6.3
Jika f
[ , ], g: g: [ , ]
R fungsi terbatas dan
=
kecuali di beberapa titik yang
banyaknya berhingga pada interval [ , ] maka g [ , ] dan
=
Bukti sebagai latihan.
.
≤ ≤
Selanjutnya berdasarkan Akibat 6.3 untuk integral Riemann, dapat didefinisikan relasi “=” dengan f = g pada interval [ , ] dimaksudkan
= ( ) kecuali di beberapa titik yang banyaknya berhingga pada interval [ , ]. Mudah ditunjukkan bahwa relasi “=” tersebut merupakan relasi ekuivalensi pada [ , ]. Oleh karena itu [ , ] dapat dipartisi menjadi kelas-kelas ekuivalensi.
Teorema 6.4
[ , ] , g [ , ] dan berhingga pada interval [ , ] maka
Jika f
kecuali di beberapa titik yang banyaknya
3
.
Thobirin - Herawan : Analisis Real II
Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann Bukti
∈ ≤ ∈ … … − − − ∈ … … − − − − − − − − − − − − − − − − − − ≤ ≤ − − ≤
Berdasarkan Akibat 6.3, tanpa mengurangi keumuman bukti, dapat diasumsikan bahwa
[ , ]. Selanjutnya diberikan bilangan > 0 sembarang. Oleh karena [ , ] , maka terdapat bilangan sehingga untuk setiap partisi 1 >0 = { = 0, 1, 2, , = ; 1 , 2 , , } pada [ , ] dengan sifat 1 < 1 berlaku untuk setiap
1
1
( )
1
=1
[ , ] , maka terdapat bilangan 2 > 0 sehingga untuk setiap partisi , = ; 1 , 2 , , } pada [ , ] dengan sifat 2 < 2 berlaku
Demikian juga 2
={ =
0, 1, 2,
2
( )
1
=1
Dipilih dan
< . 2
< . 2
= min { 1 , 2 }, jika P sembarang P sembarang partisi pada [ , ] dengan sifat < 2 sehingga berlaku
( )
1
<
=1
2
atau
2
<
<
maka
<
1
<
+
1
<
+
=1
1
2
dan juga
( )
1
<
=1
2
atau
2
<
=1
2
.
Akibatnya diperoleh
2
<
1
=1
1
<
=1
+
2
sehingga
<
+ .
Karena bilangan positif sembarang maka maka terbukti
.
A. Keterinegralan Fungsi Kontinu dan Fungsi Monoton
Selanjutnya diberikan keterintegralan fungsi bernilai real yang kontinu dan fungsi bernilai real yang monoton pada interval [ , ] sebagai berikut.
Teorema 6.5
Setiap fungsi bernilai real dan kontinu pada interval [ , ] , terintegral Riemann pada [ , ]. Bukti
Diberikan sembarang f sembarang f fungsi bernilai real dan kontinu pada interval [ , ], berdasarkan teorema
kekontinuan seragam, maka f maka f kontinu seragam. Selanjutnya diberikan sembarang bilangan
> 0.
… …
<
Karena f Karena f kontinu seragam, maka terdapat bilangan > 0 sehingga jika = { = 0, 1, 2, , = ; 1 , 2 , , } sembarang partisi pada [ , ] dengan sifat
berlaku
4
Thobirin - Herawan : Analisis Real II
Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann
− − − − − − − − − − − − − <
Sehingga diperoleh
;
;
=
(
)2
(
1)
(
=1
=
1)
=1
(
)(
1)
=1
<
2
=1
(
)=
Berdasarkan criteria Riemann f Riemann f terintegral Darboux pada [ , ] sehingga ia terintegral Riemann pada [ , ].
Teorema 6.6
Setiap fungsi bernilai real, monoton dan terbatas pada interval [ , ] , terintegral Riemann pada
[ , ].
− − − − … … … − − − − … − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
Bukti
Pada buku ini hanya dibuktikan untuk fungsi f fungsi f yang monoton naik pada interval [ , ]. Untuk fungsi monoton turun, bukti sebagai latihan.
> 0, dan karena f monoton naik pada [ , ] maka ( ) sehingga berdasarkan sifat Archimides maka terdapat bilangan asli n sehingga
( ) > 0,
Ambil sembarang
( ) < .
Diberikan
={ =
0, 1, 2,
,
= ; 1 , 2 ,
, } sembarang partisi pada [ , ] yang membagi
sebanyak n sub interval yang sama panjang. Jelas untuk setiap = 1, 2 , [ , ] menjadi sebanyak n 1
=
,
berlaku
.
Karena f Karena f monoton monoton naik pada [ , ] maka ia monoton naik pada [
1,
] untuk setiap = 1, 2 ,
,
sehingga
=
dan
=
1
Oleh karenanya
;
;
=
(
1)
(
=1
=
1)
=1
(
)(
1)
=1
=
{
1
}(
{
1
}
1)
=1
=
=1
=
{
1
}
=1
=
( ) < .
5
Thobirin - Herawan : Analisis Real II
Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann
Jadi f terintegral Darboux pada [ , ], sehingga ia terintegral Riemann pada [ , ].
B. Contoh Perhitungan Nilai Integral
Telah ditegaskan pada bab sebelumnya bahwa integral Riemann ekuivalen dengan integral Darboux. Beberapa contoh berikut menjelaskan penghitungan nilai integral Riemann dengan menggunakan definisi atau teorema-teorema dalam integral Darboux. Contoh 6.7
1. Fungsi konstan konstan terintegral Riemann Riemann pada interval interval tertutup
∀∈ ∀ ∈ … … ∀ − − − − − − − − − − − − − − − − − ∀∈ ∀ ∈ … − ∀∈ ∀ ∈
Bukti
= , [ , ] dengan c suatu konstanta. Ambil sembarang = { = 0 , 1 , 2 , , = ; 1 , 2 , , }, partisi pada [ , ], maka Diberikan
=
dan
= ,
= 1, 2, 2, . . . ,
Oleh karenanya
;
=
(
1)
=1
=
(
1)
(
1)
=1
=
=1
=
.
dan
;
=
(
1)
=1
=
(
1)
(
1)
=1
=
=1
=
= inf {
Jadi
;
: P P [ , ]} =
.
= sup {
dan
;
: P P [ , ]} =
.
maka f terintegral terintegral Darboux yang berarti ia juga terintegral Riemann. Lebih lanjut = ( ), maka f
=
2. Diberikan
=
,
.
Apakah f terintegral Darboux pada [0,1]? [0,1]. Apakah f
Penyelesaian
Ambil sembarang partisi seragam
= {0, 1 , 2 ,
,
1
, 1} pada [0,1]. Karena
=
,
[0,1],
maka
6
Thobirin - Herawan : Analisis Real II
Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann
− −
∀∀ … − − ⋯ − ∀ − − − − − ⋯ − − − →∞ − − →∞ →∞ →∞ ∀∈ ∀ ∈ … − ∀∈ ∀ ∈ =
1
=
;
1
= 1, 2 ,
,
, .
= 1, 2, 2, . . . ,
=
(
1)
=1
1
=
=1
=
1
2
=1
= = =
1
=
;
1
2
1+2+
1
( + 1)
2
1
2 1
1+
2
+
,
= 1, 2, 2, . . . ,
=
(
1)
=1
1 1
=
=1
=
1
(
2
1)
=1
= = =
Diperoleh
lim
;
(
1
2
0+1+2+
1
(
2
1
1
1)
2 1
1
2
+
; ) = lim
1 2
1+
1
1 2
1
1
=0
0,1 dengan nilai integralnya Berdasarkan Akibat Akibat 5.7 maka f maka f terintegral terintegral Darboux pada 0,1 = lim
3. Diberikan
=
2
,
; ) = lim
1 2
1+
1
1 = . 2
[0,1]. Apakah f Apakah f terintegral Darboux pada [0,1]?
Penyelesaian Ambil sembarang partisi seragam maka
(
= {0, 1 , 2 ,
7
,
1
, 1} pada [0,1]. Karena
=
,
[0,1],
Thobirin - Herawan : Analisis Real II
Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann
− −
∀ … ∀ − − ⋯ − ∀ − − − − − − ⋯ − − − →∞ − − →∞ →∞ →∞ 1
=
1
= 1, 2 ,
, .
2
=
,
;
= 1, 2, 2, . . . ,
=
(
1)
=1
2
1
=
=1
1
=
2
3
=1
1
=
3
1
= =
1
=
;
1+4+9+
2
+
+ 1 (2 + 1)
3
1
6
1+
3
3
+
2
,
1
2
2
= 1, 2, 2, . . . ,
=
(
1)
=1
2
1
=
1
=1
1
=
1)2
(
3
=1
1
=
3
1
= =
Diperoleh
lim
;
(
1 (2
3
1 3
1
; ) = lim
0+1+4+9+
3
1)2
+(
1)
6
1
1+
3
+
2
3
2
+
1
2
2
1
2
1
2
3
3
1
2
+
1
2
2
=0
0,1 dengan nilai integralnya Berdasarkan Akibat Akibat 5.7 maka f maka f terintegral terintegral Darboux pada 0,1 = lim
(
; ) = lim
4. Diberikan fungsi fungsi Dirichlet Dirichlet pada interval [0,1]. 0 = 1 Apakah f Apakah f terintegral Darboux pada [0,1]?
8
1 3
1+
3
2
,
rasional
,
irrasional
+
1
2
2
1 = . 3
Thobirin - Herawan : Analisis Real II
Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann
C. Fungsi Komposisi
Pada bab sebelumnya telah dibuktikan sifat kelinearan integral Riemann. Pada bagian akan dibuktikan bahwa kombinasi lain dari fungsi terintegral Riemann juga terintegral Riemann. Teorema 6.8
… … − ≤ ∈ ∈ − ∈ − − − … … − … ∈∈ − − ∗∗ ∈∈ − − ∶ − ∶ − ≥ ∗ − ∗ −∈ − − ∈ ∈ − − ∈ − ∈ − − − ∗ − ∗ ≤ − ∈ ∗ − ∗ − − ≤ − ∈ − − Diberikan interval [ , ] dan [ , ] , f : [ , ]
,
dengan sifat
R fungsi yang terintegral Riemann pada [ , ]
R fungsi kontinu pada [ , ] , maka komposisi
[ , ]. Jika g : [ , ]
fungsi g o f : [ , ] R terintegral Riemann pada [ , ].
Bukti
Diberikan sebarang
> 0, cukup dibuktikan terdapat
={ =
0, 1, 2,
,
= ; 1 , 2 ,
, },
partisi pada [ , ] sehingga
;
;
< .
Jika diketahui g : [ , ] R fungsi kontinu pada [ , ], maka g maka g terbatas pada [ , ]. Berarti terdapat
> 0 sehingga ( ) [ , ]. Oleh karena itu ada bilangan real K untuk setiap sehingga = sup { : , }. g kontinu pada [ , ], maka ia kontinu seragam pada [ , ]. Oleh karenanya terdapat > 0 dengan bilangan real
<
+2
sehingga untuk setiap ,
[ , ] dengan
<
berlaku
( ) <
.
+2 = { = 0,
Karena f Karena f terintegral terintegral pada [ , ], maka terdapat
1, 2,
,
= ; 1 , 2 ,
, }, partisi
pada [ , ] sehingga
;
Untuk = 1, 2 ,
;
<
2
.
,
= sup
:
[
1,
] ,
= inf
:
[
1,
]
Didefinisikan
= sup
:
[
1,
] ,
= inf
:
[
1,
]
dan
=
<
dan
=
.
Dapat dipahami bahwa
(i)
Jika
= sup
:
= sup
, ambil sembarang ,
[
1,
]
inf
: ,
[
1,
] maka
:
[
1,
]
]
< , sehingga
<
1,
[
+2
Akibatnya
+2
sehingga
1
9
+2
1
Thobirin - Herawan : Analisis Real II
Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann
≤ − − ∈ ∗ ∈ ∗− ∗ − ∗ ≤ ∈ − − − ≤ ∈ − − ≤ ∈ − − − ≤ − − ∗ ∗ − − − − ∈ ∗ − ∗ − − ∈ ∗ − ∗ − − − − − (
+2
(ii) Jika
, ambil sembarang ,
[
1,
] maka 1
)
2 .
2
2 2
<2
1
1
1
1 1
;
.
<2
2
;
=2
+2
Dari (i) dan (ii) diperoleh:
;
;
=
1
=1
=
1
<
+
1
+2
+2
= .
+2
Terbukti.
≤ ≤ − ≤ ∈ ≤ ∈ ∈ ∈
Akibat 6.9
Diberikan interval [ , ] , jika f : f : [ , ]
fungsi nilai mutlak
R fungsi yang terintegral Riemann pada [ , ] , maka
terintegral Riemann pada [ , ] dan
(
dengan K adalah bilangan real sehingga ( )
)
untuk setiap
[ , ].
Bukti
Diketahui f : f : [ , ]
R fungsi yang terintegral pada [ , ] , maka f terbatas f terbatas pada [ , ], sehingga
untuk setiap untuk > 0 sehingga ( ) [ , ]. Didefinisikan = [ , ], maka = . Karena f terintegral Riemann pada [ , ] dan g kontinu pada R maka berdasarkan Teorema 6.8 terintegral Riemann pada [ , ].
ada bilangan
Akibat 6.10
Diberikan interval [ , ] , jika f : f : [ , ]
fungsi
,
R fungsi yang terintegral Riemann pada [ , ] , maka
, terintegral Riemann pada [ , ].
Bukti
∈
Diketahui f : f : [ , ] R fungsi yang terintegral pada [ , ] , Didefinisikan
untuk setiap = [ , ], maka = . Karena f terintegral Riemann pada [ , ] dan g kontinu pada R maka berdasarkan Teorema 6.8 terintegral Riemann pada [ , ].
10
Thobirin - Herawan Herawan : Analisis Real II
Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann Akibat 6.11
≥
Diberikan interval [ , ] , jika f : f : [ , ]
> 0 sehingga ( )
terdapat bilangan
Riemann pada [ , ]. Bukti
Didefinisikan
R fungsi yang terintegral Riemann pada [ , ] , dan untuk setiap
∈
1
[ , ] , maka fungsi
terintegral
≤ ∈ ≤ ≤ ∈ − −
Diketahui f : f : [ , ] ada bilangan
R fungsi yang terintegral pada [ , ] , maka f terbatas f terbatas pada [ , ], sehingga
> 0 sehingga =
1
( )
untuk setiap
[ , ]. Oleh karena itu
untuk setiap
[ , ] maka
( )
.
1
= . Karena f terintegral Riemann pada
[ , ] dan g dan g kontinu pada [ , ] maka berdasarkan Teorema 6.8 fungsi
1
terintegral pada [ , ].
Teorema 6.12
Diberikan interval [ , ] , jika f : f : [ , ]
R dan g : [ , ]
R fungsi-fungsi yang terintegral
Riemann pada [ , ] , maka fungsi f.g terintegral terintegral Riemann pada [ , ]. Bukti
Diketahui f : [ , ]
R dan g : [ , ]
R fungsi-fungsi yang terintegral pada [ , ] , maka
+ ,
berdasarkan sifat linearitas dan Akibat 6.10 dengan mengambil n = 2, diperoleh
2
masing-masing terintegral pada [ , ], sehingga
.
=
1 2
+
2
2
2
+
2
,
2
,
terintegral
Riemann pada [ , ].
11
Thobirin - Herawan Herawan : Analisis Real II
