1.3 Suma de Riemann
En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Teorema Fundamental del álculo! Estas sumas sumas toman toman su nombre del matemático alemán "ern#ard $iemann! $iemann! %a suma de $iemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos! El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande!
Introducción Es aquella sumatoria en la cual se #acen varias subdivisiones del área bajo la curva y curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje &, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total! 'ic#a área es conocida como la suma de $iemann
'ada f()* en el intervalo +a,b para encontrar el área bajo la curva- 'ividimos la región ./. en franjas de anc#os a nc#os iguales! El anc#o de cada franja es-
Teniendo Teniendo los intervalos%a ecuación para la suma de $iemann es la siguiente-
donde
#aciendo de esta como un promedio entre la suma superior e e inferior de de 'arbou)!
0ara esta suma es importante saber las siguientes identidades-
/abiendo que0odemos obtener las siguientes igualdades-
(donde C es constante)
Ejemplos Ejemplo # 1 Evaluando la suma de $iemann en cuatro subintervalos tomando los puntos de la derec#a de la siguiente función-
,límites
%a suma de $iemann representa la suma de las áreas sobre el eje esa es el área neta de los rectángulo respecto al eje !
, menos la suma de las áreas debajo del eje
Ejemplo # 2 Evaluando la suma de $iemann en seis subintervalos tomando los puntos de la izquierda de la siguiente función-
,límites
1
Ejemplo # 3 Evaluando la suma de $iemann en seis subintervalos tomando los puntos de la derec#a de la siguiente función-
,límites
Ejemplo # 4 Evaluando la suma de $iemann en cinco subintervalos tomando los puntos medios de la siguiente función-
,límites
Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área ajo las cur!as" os métodos derecha e izquierda $acen la aproximaci%n usando, respecti!amente, los puntos &nales derec$os e i'uierdos de cada suinter!alo" os métodos máximo mínimo $acen la aproximaci%n usando, respecti!amente, los !alores más *randes más peue+os del punto &nal de cada suinter!alo" os !alores de las sumas con!er*en a medida ue los su inter!alos parten desde arria a la i'uierda $asta aajo a la derec$a"
1.3
Suma de Riemann (mas conceptos e inormación! "e#nición $ representación Estas sumas fueron inventadas por "ern#ard $iemann para apro)imar el valor de las integrales definidas (es decir definidas en intervalos del tipo +a, b* y para elaborar un criterio de integrabilidad (es decir para saber que funciones son integrables, y según que método de cálculo*!
%as
sumas de $iemann más sencillas son las siguientes-
! 2na suma de $iemann se interpreta como el área total de
rectángulos adyacientes de anc#ura común la función f (ver figura siguiente*!
y de alturas
situados entre el eje de los abscisas y la curva de
umas de Riemann - n de una misma .unci%n, con n / 0 rectán*ulos n / 1 n / 2" Cuando crece n, el área total de los rectán*ulos se aproxima al área delimitado por el eje de las ascisas la cur!a de ."
%eorema undamental El teorema más elemental es el siguiente-
ara toda .unci%n continua en el inter!alo , 15 las sumas de Riemann con!er*en a la inte*ral de . en el inter!alo6
ruea El intervalo 3 4 +5,6 es un espacio métrico compacto por lo que toda función continua lo es de manera uniforme (según el teorema de 7eine*- la continuidad en 3 se escribe -
es decir ue el n7mero 8 depende de x ( de 9), mientras ue en la continuidad uni.orme se puede encontrar un n7mero 8 ue sir!a para todos los x de :6
Tomemos un 8 9 5 cualquiera, y un : 9 5 que verifica la relación anterior! %uego e)iste unnatural n tal que
(basta con tomar
0ara todo ) en
lo que equivale a-
*!
luego
3ntegrando la relación anterior en
%uego sumando los
, la parte entera de
, lo que también se escribe-
se obtiene la siguiente-
con ; variando de 0 a n - 1 se obtiene-
!
El valor de 8 puede ser arbitrariamente peque
la relación anterior pasa al l=mite y da-
/e demuestra de manera muy parecida la convergencia de la otra suma de $iemann, pues en
tenemos
también
!
Ejemplos 6* 7istóricamente se #a sabido calcular sumas muy antes de medir áreas mediante integrales! 0or esta razón el primer ejemplo utiliza el teorema en el sentido original de definir una integral gracias a las sumas de $iemann! El primer área que necesitó cálculos elaborados fue la definida por la parábola- la cuadratura de la parábola fue resuelta por >rqu=medes en el siglo 333 ad apro)imando una porción de parábola por triángulos cuyas superficies forman una sucesión geométrica! 2tilizar rectángulos en vez de triángulos permite utilizar las sumas de $iemann! /e establece por inducción la relación muy conocida que da la suma de los primeros cuadrados-
%uego-
?* @7acia qué valor tiende la sumas de los n inversos empezando por
sucesión
A En otras palabras, @cuál es el l=mite de la
cuyos primeros términos son-
y as= sucesivamenteA
El término general es , es acotado por y 6 (se mira el número de términos multiplicado por el menor y el mayor respectivamente*, es decreciente (al pasar de un a unB6 se
a
pero se quita
que es mayor* luego la sucesión converge!
C* 7allar el l=mite del producto
cuando n tiende #acia el infinito!
0ara trasformar un producto de factores estrictamente positivos en una su ma se usa el logaritmo-
! El factor n tiende #acia el infinito, mientras
que
que es estrictamente negativo porque la función
integrada
es estrictamente negativa en +5,6 salvo en el punto aislado 5 donde es nula! %uego y por tanto
!
&eneralizaciones ; otros inter!alos /i en vez de trabajar con una función definida en +5, 6 escogemos un intervalo compacto cualquiera +a, b, que
seguimos cortando en n subintervalos de misma longitud
obtenemos una apro)imación del área bajo la
curva de f por n rectángulos de área total apro)imación que se vuelve más precisa a medida que crece n, luego el teorema es el siguiente-
,
%a prueba es idéntica a la con el intervalo +5, 6 porque en la demostración sólo se utiliza la compacidad del intervalo! Dtro argumento es emplear el cambio de v ariable para pasar de una función f definida en +a, b a otra, g , definida en +5, 6- oncretamente-
>s=
!
por el teorema
en +5, 6,
y-
con el cambio de variable!
Ejemplo-
; otras sudi!isiones 7asta el momento se #a descompuesto el intervalo de estudio, +5, 6 o +a, b en n segmentos de misma longitud, es decir que se #a utilizado una subdivisión regular del intervalo! 2na subdivisión cualquiera d e +a, b es definida por los números )5, )6 !!! )n tales que
/e denota (* la mayor longitud de los
intervalos +);G6, ); (; entre 6 y n*on una subdivisión dada se puede definir naturalmente dos sumas que denotaremos
El teorema que generaliza el teorema fundamental es el siguiente-
ara toda .unci%n continua en un inter!alo a, 5 las sumas de Riemann con!er*en $acia la inte*ral de . cuando <(=) tiende $acia cero6
; otros puntos de cálculo 7asta a#ora se #a calculado la función a uno u otro e)tremo de cada segmento, por sencillez1 sin embargo la demostración del teorema sigue válida sin esta restricción, lo que permite generalizar aún más las sumas de $iemann escogiendo en cada intervalo +);G6, ); el punto de cálculo de la función,
!
! %a suma es entonces
>unciones escalonadas
" El área rojo oscuro mide
, el área total coloreada (rojo ? !erde) mide
El teorema es, sin sorpresa, el mismo%os puntos de cálculo también pueden ser impl=citos, ya que para #allar la suma se precisa conocer las imágenes y no los
mismos!
a .unci%n . siendo continua en cada inter!alo x @A1, x@5, cada !alor ! @ entre el ín&mo
el supremo
es la ima*en de un punto (por lo menos) del inter!alo
es una suma de Riemann, donde los
por lo ue
son implícitos ( de $ec$o, desconocidos)"
En particular son las sumas de Riemann de menor maor !alor respecti!amente asociadas a la sudi!isi%n =" e llaman sumas de "ar'oux corresponden a inte*rales de .unciones escalonadas
ue mejor acotan a .6
, por de&nici%n misma de la inte*ral de Riemann,
es el límite com7n de
, es decir de
cuando <(=) tiende $acia cero"
Rapidez de on)er*encia %as sumas de $iemann constituyen un método efectivo pero apro)imativo de cálculo de integrales! 0ara obtener una precisión impuesta de antemano, @uantos cálculos se necesitanA es decir, concretamente, @Hué valor m=nimo den escogerA (#ay que tener en cuenta que cuando crece n crece la precisión del cálculo pero también el tiempo que consumirá dic#o cálculo*! Iás importante aún- @Hué método elegirA >qu= se entiende por método la manera de escoger los puntos J; de cálculo de la función en cada intervalo +);G6, ); !
Bétodo de los rectán*ulos El llamado m+todo de los rectán*ulos es el caso más sencillo, la de la sudi!isi%n re*ular del
inter!alo a, 5 en n se*mentos, con los puntos de cálculo de la .unci%n a un extremo de cada se*mento6 ea
el !alor máximo de la deri!ada en !alor asoluto"
Entonces el error entre la suma de $iemann / y la integral verifica-
ruea6 omemos n / 1 en tal caso, la suma es S = (b-a)f(a) " enemos (por inte*raci%n) lue*o6
;l pasar del caso n = 1 al caso n cualuiera se rempla'a el inter!alo a, 5 por otro de lon*itud
n !eces menor, es decir se rempla'a en la .%rmula b - a por error porue $a n peue+os inter!alos con la lon*itud anterior6
, lue*o se multiplica por n el
es el error máximo" Este error se alcanza con una función tan sencilla como la lineal f(x) = mx (aqu= I6 4 KmK* lo que implica que este
método dista muc#o de ser eficaz- un error en
se considera enorme-
tiende muy lentamente #acia cero!
os puntos donde se calculan la .unci%n son los centros de los inter!alos Bétodo de los puntos medios El método de los puntos medios es el segundo caso más común, es una variante del anterior, con una única diferencia- /e toman como puntos de cálculo los centros de los segmentos de la subdivisión regular! %a suma es
!
ea
el !alor máximo de la se*unda deri!ada en !alor asoluto" Entonces el error !eri&ca6
"
ruea6 omemos como anteriormente n = 1, por tanto la suma de Riemann es
" da, inte*rando entre c x (si $ace .alta, se rempla'an los !alores asolutos por una desi*ualdad dole)
lue*o
" Dser!amos ue "
ue*o
6 desi*ualdad trian*ular en inte*rales, lue*o (1) da6
"
Con n cualuiera,
El error es acotado por un término en cero muc#o más de prisa!
se !uel!e
ue se multiplica por n porue $a n inter!alos"
lo que es muc#o mejor que el
del método anterior porque converge #acia
,reas equi)alentes El área del trapecio a'ul es el mismo ue el del rectán*ulo !erde de los rectán*ulos adacientes rojos Bétodo de los trapecios El método de los trapecios consiste en apro)imar la integral por el área total de los trapecios que tocan la curva en los dos vértices que no están sobre el eje #orizontal (ver figura azul*! %a suma es %a suma es
!
res interpretaciones del área otenida por el método de los trapecios > primera vista (ver figura azul* no corresponde a una suma de $iemann1 sin embargo como todo trapecio tiene la misma área que un rectángulo de misma base, esta suma corresponde a la figura verde, donde los puntos de cálculo de la función son abscisas de puntos de intersección de la curva con los lados #orizontales de los rectángulos verdes (por ejemplo el punto >*1 estos puntos siempre e)isten, en cada intervalo +);G6, ); , por el teorema de los valores
intermedios-
, que es la altura del rectángulo, es un valor alcanzado por f porque pertenece al
intervalo ! 0ara estimar la rapidez de convergencia, es conveniente mirar al área equivalente roja! El área total (color rosado* está compuesta por-
dos rectán*ulos de media anc$ura, el error es acotado como en el caso de un inter!alo de
lon*itud
es decir por
en el método de los rectán*ulos (punto de cálculo en un extremo del inter!alo),
n - 1 rectán*ulos de anc$ura
con puntos de cálculo centrales (como el punto B de la
&*ura) lue*o el error es acotado por
%uego el error total es inferior o igual a
1 por tanto es acotado por un
término en ! /in embargo, otro cálculo da un resultado más sencillo que prescinde de I6-
, es decir que el error má)imo es e)actamente el doble del error má)imo cometido en el método de los puntos medios! > pesar de lo último, este método tiene la ventaja sobre el de los puntos
medios de no obligar a calcular otros valores de la función salvo los calculado previamente a la estimación de la integral!
que a menudo ya se #an
