Integral de Riemann[editar Riemann[editar]] Artículo principal: Integral de Riemann
Integral con el planteamiento de Riemann hace una suma basada en una partición etiquetada, etiquetada, con posiciones de muestreo y anchuras irregulares (el máximo en rojo). l !erdadero !alor es ",#$% la estimaci&n obtenida es ",$'. a integral de Riemann se de*ine en t+rminos de sumas de Riemann de *unciones respecto de particiones de particiones etiquetadas de etiquetadas de un inter!alo. ea -a - a,b un inter!alo inter!alo cerrado cerrado de la recta real% entonces una partición una partición etiquetada de etiquetada de -a -a,b es una secuencia *inita y denotamos la partici&n como
/on!ergencia de sumatorios de Riemann a medida en 0ue se parten los inter!alos, cuando se muestrea a 1 la derecha, 1 el mínimo, 1 el máximo, o 1 la i20uierda. sto di!ide al inter!alo -a - a,b en n subinter!alos - xi34, xi, cada uno de los cuales es 5eti0uetado5 con un punto especi*icado t i de% - xi34, xi. ea 6i 7 x 7 xi3 xi34 la anchura del subinter!alo i% el paso el paso de de esta partici&n eti0uetada es el ancho del subinter!alo más grande obtenido por la partici&n, max i748n 9n sumatorio de Riemann de Riemann de una *unci&n 748n 6i. 9n sumatorio f respecto respecto de esta partici&n eti0uetada se de*ine como
Así cada t+rmino del sumatorio es el área del rectángulo con altura igual al !alor de la *unci&n en el punto especi*icado del subinter!alo dado, y de la misma anchura 0ue la anchura del subinter!alo. a integral de Riemann de una *unci&n f sobre el inter!alo -a,b es igual a S si: ara todo ; < = existex > < = tal 0ue, para cual0uier partici&n eti0uetada - a,b con paso más pe0ue?o 0ue >, se tiene
, donde /uando las eti0uetas escogidas dan el máximo (o mínimo) !alor de cada inter!alo, el sumatorio de Riemann pasa a ser un sumatorio de @arboux superior (o in*erior), lo 0ue sugiere la estrecha conexi&n 0ue hay entre la integral de Riemann y la integral de @arboux.
Integral de Darboux[editar] Artículo principal: Integral de Darboux
a Integral de @arboux se de*ine en t+rminos de sumas de los siguientes tipos:
lamadas suma in*erior y superior respecti!amente, donde:
son las alturas de los rectángulos, y xi-xi-1 la longitud de la base de los rectángulos. a integral de @arboux está de*inida como el nico nmero acotado entre las sumas in*erior y superior, es decir,
a interpretaci&n geom+trica de la integral de @arboux sería el cálculo del área de la regi&n en -a,b por el B+todo exhausti!o. a integral de Darboux de una *unci&n f en -a,b existe si y solo si
@el Ceorema de /aracteri2aci&n 0ue dice 0ue si f es integrable en -a,b entonces ∀;<= ∃ P partici&n de -a,b : =D9( f,P )E( f,P )D;, e!idencia la e0ui!alencia entre las de*iniciones de Integral de Riemman e Integral de @arboux pues se sigue 0ue #
.
Integral de Lebesgue[editar] Artículo principal: Integral de Lebesgue
Integraci&n de RiemannE@arboux (a2ul) e integraci&n de ebesgue (rojo). a integral de Riemann no está de*inida para un ancho abanico de *unciones y situaciones de importancia práctica (y de inter+s te&rico). or ejemplo, la integral de Riemann puede integrar *ácilmente la densidad para obtener la masa de una !iga de acero, pero no se puede adaptar a una bola de acero 0ue se apoya encima. sto moti!a la creaci&n de otras de*iniciones, bajo las cuales se puede integrar un surtido más amplio de *unciones. a integral de ebesgue, en particular, logra una gran *lexibilidad a base de centrar la atenci&n en los pesos de la suma ponderada. Así, la de*inici&n de la integral de ebesgue empie2a con una medida, F. n el caso más sencillo, la medida de ebesgue F( ) de un inter!alo 7 -a, b es su ancho, b 3 a, así la integral de ebesgue coincide con la integral de Riemann cuando existen ambas. n casos más complicados, los conjuntos a medir pueden estar altamente *ragmentados, sin continuidad y sin ningn parecido a inter!alos. ara explotar esta *lexibilidad, la integral de ebesgue in!ierte el en*o0ue de la suma ponderada. /omo expresa Golland:H 5ara calcular la integral de Riemann de f , se particiona el dominio -a, b en subinter!alos5, mientras 0ue en la integral de ebesgue, 5de hecho lo 0ue se está particionando es el recorrido de f 5. 9n en*o0ue habitual de*ine primero la integral de la *unci&n característica de un conjunto medible por:
. sto se extiende por linealidad a las *unciones escalonadas simples, 0ue solo tienen un nmero *inito n, de !alores di*erentes no negati!os:
(donde la imagen de i al aplicarle la *unci&n escalonada s es el !alor constante ai). Así, si ! es un conjunto medible, se de*ine
ntonces, para cual0uier *unci&n medible no negati!a f se de*ine
s decir, se establece 0ue la integral de f es el supremo de todas las integrales de *unciones escalonadas 0ue son más pe0ue?as o iguales 0ue f . 9na *unci&n medible cual0uiera f , se separa entre sus !alores positi!os y negati!os a base de de*inir
Ginalmente, f es ebesgue integrable si
y entonces se de*ine la integral por
/uando el espacio m+trico en el 0ue están de*inidas las *unciones es tambi+n un espacio topol&gico localmente compacto (como es el caso de los nmeros reales R ), las medidas compatibles con la topología en un sentido adecuado (medidas de Radon, de las cuales es un ejemplo la medida de ebesgue) una integral respecto de ellas se puede de*inir de otra manera, se empie2a a partir de las integrales de las *unciones continuas con soporte
compacto. @e *orma más precisa, las *unciones compactamente soportadas *orman un espacio !ectorial 0ue comporta una topología natural, y se puede de*inir una medida (Radon) como cualquier *uncional lineal continuo de este espacio% entonces el !alor de una medida en una *unci&n compactamente soportada, es tambi+n, por de*inici&n, la integral de la *unci&n. ntonces se contina expandiendo la medida (la integral) a *unciones más generales por continuidad, y se de*ine la medida de un conjunto como la integral de su *unci&n característica. ste es el en*o0ue 0ue toma ourbaJi4= y cierto nmero de otros autores. ara más detalles, !+ase medidas de Radon.
Otras integrales[editar] A pesar de 0ue las integrales de Riemann y ebesgue son las de*iniciones más importantes de integral, hay unas cuántas más, por ejemplo: • •
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a integral de RiemannEtieltjes, una extensi&n de la integral de Riemann. a integral de ebesgueEtieltjes, desarrollada por Kohann Radon, 0ue generali2a las integrales de RiemannEtieltjes y de ebesgue. a integral de @aniell, 0ue incluye la integral de ebesgue y la integral de ebesgueEtieltjes sin tener 0ue depender de ninguna medida. a integral de LenstocJEMur2Neil, de*inida de *orma !ariada por Arnaud @enjoy, OsJar erron, y Karosla! Mur2Neil, y desarrollada por Ralph LenstocJ .
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a integral de Laar , 0ue es la integral de ebesgue con la medida de Laar .
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a integral de Bchane.
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a integral de ochner .
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a integral de ItP, integral 0ue extiende a la integral de RiemannEtieltjes, permite integrar respecto a procesos estocásticos 0ue pueden no ser de !ariaci&n acotada como el mo!imiento broNniano.
