Integral Riemann

INTEGRAL RIEMANN Ahmad Sandi Nurmansyah  (3125100129)

Jurusan Matematika Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Jakarta Desember 2014 Sekitar tahun 1670, Kalkulus berhasil ditemukan ditemukan dan tokoh-tokoh tokoh-tokoh matematika yang berperan dalam penemuan Kalkulus adalah Newton dan Leibniz. Kedua tokoh ini berhasil berhasil mengemban mengembangk gkan an teorema teorema fundamen fundamental, tal, yaitu mengenai mengenai anti anti derivatif. derivatif. Kemudian Kemudian A. Cauchy Cauchy (1789-1857) (1789-1857) mulai mulai mengemmengembangkan teori tersebut, dan berhasil meneliti tentang integral dari fungsi kontinu. Pada tahun 1584, Benhard Riemann mulai memperhalus definisi yang digunakan oleh Cauchy, dan Riemann pun mengadakan penelitian tentang integral integral fungsi diskont diskontinu inu.. Dari peneli p enelitian tian tersebut Riemann b erhasil erhasil menemukan suatu metode khusus dari integral yang sangat simpel untuk didefinisikan, isikan, sehingga sehingga metode integral integral itu disebut disebut Integral Integral Riemann. Riemann. Pada tahun 1875 Darboux berhasil memodifik memodifikasi Integral Integral Riemann dengan mendefinmendefinisikan integral atas dan integral bawah sehingga terdefinisi suatu integral baru yang ekuivalen ekuivalen dengan Integral Integral Riemann. Meskipun Meskipun ada beberapa jenis teori integral tetapi Riemann-lah yang banyak memberi inspirasi pembentukan integral lain dan sudah banyak pemakaiannya di bidang matematika maupun di bidang lainnya.

1

1 1.1

Pendahuluan Partisi

Misalkan f  : I  → R  terbatas dan P  :=  { x0 , x1 , ......, xn}  partisi dari I   pada selang [a, b] suatu himpunan berhingga  { a  =  x 0 , x1 , ......, xn  =  b }. Sedemikian hingga a  =  x 0 < x1  < ...... < xn−1 < xn  =  b

Figure 1:  Partisi pada [a,b] Norma partisi P  yang dinyatakan dengan P    nilai terbesar diantara bilangan (xi − xi−1 ) , i  = 1, 2,...,n. Kemudian didefinisikan

P   :=  maks {x1 − x0 , x2 − x1 , ......, xn − xn−1 } . Jika P   adalah partisi seperti yang tampak pada gambar di atas, maka definisi jumlah Riemann pada fungsi f  :  I  →  R n

 )=

S (f ; P 

f (t1 )(x1 − xi−1 )

i=1

Definisi 1.1.  Diberikan interval tertutup [ a, b], partisi Q  disebut penghalus (refinement ) partisi P  pada [a, b] jika P  ⊆  Q .

Untuk suatu interval [ a, b] tak berhingga banyak partisi yang dapat dibuat. Koleksi semua partisi pada interval [a, b] dinotasikan dengan P [a, b]. 2

Contoh 1.1.   Diberikan interval I  = [0, 1]. Berikut ini adalah beberapa

partisi pada I. P 1  =





 1 0, , 1 , P 2  = 4

, P 5  =







 1  1 0, , , 1 , P 3  = 3 2





 1  2  3 0, , , , 1 , P 4  = 4 4 4

 

 1  2  3  4  5  6  7 0, , , , , , , , 1  = 8 8 8 8 8 8 8





 1  2  3  4  5 0, , , , , , 1 6 6 6 6 6



 1  1  3  2  5  3  7 0, , , , , , , , 1 8 4 8 4 8 4 8

Dapat dihitung bahwa P 1   = 34 , P 2   = 12 , P 3   = 14 P 5   merupakan penghalus dari P 3  sebab P 3 ⊆ P 5  tetapi P 5   bukan penghalus P 2   maupun P 4  sebab P 2  ⊂ P 5 dan P 4  ⊂ P 5 . Partisi P 3 ,P 4 dan P 5  di sebut partisi seragam Teorema 1.1.  Untuk setiap bilangan real  δ > 0 terdapat partisi  P   pada  [ a, b]

sehingga 

P   < δ  Bukti : Diberikan interval tertutup [ a, b]. Karena a < b   , maka berdasarkan sifat urutan bilangan real diperoleh b − a >   0. Oleh karenanya sembarang δ >  0 dan berdasarkan sifat archimedes, terdapat bilangan asli n  sehingga b−a < δ  n

Jadi pada interval [a, b] dapat dibuat partisi P  =  {a  =  x 0 , x1 , x2 ......, xn  =  b ; ξ 1 , ξ 2 ,....,ξ n } demikian sehingga   P   < δ .

1.2

Jumlah Riemann Atas dan Jumlah Riemann Bawah

Definisi 1.2.   Misalkan  A  partisi P  dari [a, b] adalah terbatas. Untuk setiap subinterval [xk−1 , xk ] dari P   maka

mk  = inf  {f (x) :  x  ∈  [ xk−1 , xk ]} dan M k  = sup {f (x) :  x  ∈  [ xk−1 , xk ]}

. Sehingga Jumlah Integral Riemann  atas dari f   dengan partisi P   adalah n

 )=

L(f, P 

mk (xk  − xk−1 )

k =1

3

Sedangkan jumlah Integral Riemann  bawah adalah n

 )=

U (f, P 

M k (xk  − xk−1 )

k=1

Dengan :mk  := inf  f  ( I k ) dan M k  := sup f  ( I k ). Akibatnya n

 k=1

n

mk (xk  − xk−1

 )  ≤

n

f (tk ) (xk  − xk−1

k=1

 )  ≤ k=1

maka L(P ; f )  ≤  S (P ; f )  ≤  U (P ; f )

4

M k (xk  − xk−1 )

2

Pembahasan

2.1

Integral Riemann Atas dan Integral Riemann bawah b

sup L(P, f  P ∈ρ[a,b]

b

  ( ) ) dinyatakan dengan

f  x dx

−

    dinamakan Integral Rie atau f 

−

a

a

mann  bawah fungsi f  pada selang [a, b]. −

−

b

inf  L(P, f 

P ∈ρ[a,b]

b

  ( ) ) dinyatakan dengan

f  x dx

a

    dinamakan Integral Rie atau f 

a

mann  atas fungsi f  pada selang [a, b]. Fungsi f   dikatakan terintegral Riemann   pada selang [a, b], jika −

b

 

b

f (x)dx  =

 

f (x)dx

a

−

a

Dalam hal fungsi f   terintegral Riemann  pada selang [a, b], Integral Riemann   atas (yang sama dengan Integral Riemann  bawah) dinamakan Integral  Riemann   fungsi f  pada [a, b], dan dinyatakan dengan notasi b

 

b

 

f (x)dx atau

a

f 

a

Contoh 2.1.   Perlihatkan bahwa fungsi f (x) = x, 0 ≤ x ≤   1 terintegral

Riemann   pada [0,1]. Ambilah P n  = 0, n1 , n2 , ..., 1  maka mk =





n

 )=

L(f, P 

mk (xk  − xk−1

k=1

n

 )= k=1

n

 )=

U (f, P 

k−1 , M k  = nk , k  = n

1 k−1 1 . = 2 n n

n

M k (xk  − xk−1

k=1

 )= k=1

1 k 1 . = 2 n n

1, 2,...,n.



1−



1+

1 n

1 n





Karena  { P n  :  n  ∈  N } ⊆ {P  :  P  ∈  P [a, b]}, maka 1 1  = sup L(P n , f ) ≤ sup L(P, f )  ≤  inf  U (P, f )  ≤  inf  U (P n, f ) = 2 N ∈N  2 P ∈ρ[a,b] 5

1

1

  ( ) Sehingga

f  x dx  =

−

0

1 2

−

  ( )

f  x dx.

0

Ini berarti fungsi f (x) = x, 0 ≤ x ≤   1 terintegral  Riemann   pada [0,1] dan 1

f  x dx  = 12 .

  ( ) 0

Dari beberapa uraian di atas Integral Riemann   juga dapat didefinisikan sebagai berikut: Definisi 2.1.  Diberikan Interval tertutup [ a, b], fungsi bernilai real  f  : [a, b]  → R  dikatakan terintegral Riemann   jika terdapat bilangan Real  A  sehingga untuk setiap bilangan real ε >   0 terdapat bilangan δ >  0 dengan sifat P  = {a  =  x 0 , x1 , x2 ......, xn  =  b ; ξ 1 , ξ 2 ,....,ξ n} partisi pada [a, b] dengan P   < δberlaku  :

  ( ) n

P 

i=1

 

f (ξ i )(xi − xi−1 ) − A < ε atau |S (P ; f ) − A|  < ε.

Bilangan real A pada definisi diatas disebut nilai Integral Riemann   fungsi f  pada interval [a, b] dan ditulis b

A  = (R)

 

f (x)dx

a

Selanjutnya untuk memudahkan penulisan, koleksi semua fungsi yang terintegral Riemann  pada [a, b] dinotasikan dengan R [a, b]. Jadi jika f  : [a, b]  →  R dikatakan terintegral Riemann   cukup ditulis dengan f  ∈  R [a, b]. Definisi Integral Riemann  di atas juga dapat pula dinyatakan sebagai limit dengan persamaan berikut: lim S (P ; f ) =  A

| p|→0

Contoh 2.2.   Misal f  : [0, 1] → R   adalah sebuah fungsi yang mengambil

nilai 1 pada setiap titik. Maka jumlah  Riemann   pada interval [0,1] akan mempunyai nilai 1. Dan Integral Riemann nya akan bernilai satu.

2.2

Integral Sebagai Limit

Definisi 2.2.   Diberikan fungsi f  real dan terbatas pada selang [ a, b]. Untuk setiap partisi  P  =  {x0 , x1 , ......, xn} pada [a, b] dibentuk jumlah  S (f ; P ) =

6

n



f (t1 )(x1 − xi−1 ) Dimana ti  titik sembarang pada subselang tertutup (xi − xi−1 ) , i  =

i=1

1, 2,...,n. Bilangan real A disebut limit S (P, f ) untuk norma |P | →  0 dan ditulis lim S (P ; f ) =  A  jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 yang diberikan dan

| p|→0

sembarang pengambilan titik t i  ∈  [ xi−1 , xi ], terdapat  δ >  0 sedemikian untuk semua partisi P  pada [a, b] dengan |P |  < δ   berlaku

|S (P, f ) − A|  < ε b

Contoh 2.3.

    dimana  Jika f 

 f (x) =  x  pada interval [a, b] maka hitung nilai

a

integralnya dan apakah terdapat limit dalam integral tersebut. Penyelesaian: f  ∈ C  [a, b] dan f  terintegral  Riemann   pada [a, b]. misal P   adalah partisi pada [a, b]. pilih ξ i  = 12 (xi−1 , xi ), i  = 1, 2,....,n  kemudian n

 ; )

S (P, f  ξ 

n

f (ξ i )∆xi =

i=1

 1 (  + 2 1 ( − xi

 xi−1 )(xi − xi−1 )

i=1

n

=

2

x2i

x2i ) =

i=1

1 2 1 (xn − x20 ) = (b2 − a2 ) 2 2

Hasil di atas menunjukkan bahwa setiap partisi tersebut di dapat S (P, f ; ξ ) = 12 (b2 − a2 ). Ini menunjukkan bahwa lim S (P, f ; ξ ) = 12 (b2 − a2 ). |P |→0

Teorema 2.1.  Misalkan  f  terbatas pada  I . Misalkan terdapat suatu bilangan  A ∈    sedemikian hingga untuk setiap ε > 0   terdapat partisi  P ε   dari  I  sedemikian hingga untuk sembarang partisi  P  ⊇ P ε   dan sembarang jumlah  Riemann  S (P ; f ) berlaku  |S (P ; f ) − A|  < ε Maka  f  terintegralkan pada  I  dan  b

 

f (x)dx  =  A

a

7

Bukti :

 Dengan menggunakan teorema sebelumnya yakni (

b

  ( ) )−

S  P ; f 

 

f  x dx < ε.

a

Sedang sebelumnya telah didefinisikan bahwa Integral  Riemann  dapat pula dinyatakan sebagai limit dengan lim S (P, f ) =  A  maka |P |→0

    − ( )

 

b

A

f  x dx < ε sehingga

a

.

2.3

b

 

f (x)dx  =  A

a

Keterintegralan Fungsi Kontinu dan Fungsi Monoton

Teorema 2.2.   Jika  f   kontinu pada  [a, b], maka  f  terintegralkan pada  [a, b].

Bukti : Fungsi yang kontinu pada [a, b] mestilah kontinu seragam pada [a, b]. Karena itu diberikan ε >   0 sembarang terdapat δ >   0 sedemikian hingga untuk x, y  ∈  [ a, b] dengan  | x − y |  < δ   berlaku

|f (x) − f (y )|  <

ε b−a

Selanjutnya untuk tiap n  ∈  N  dengan n > b−δ a tinjau partisi P  := { x0 , x1 , ......, xn } dengan xk = a +  k. b−δ a , k = 0, 1, ....., n  (disini interval [a, b] terbagi menjadi n, sub interval sama panjang). Setiap sub interval [xk−1 , xk ],  f  mencapai nilai maksimum  M k  dan minimum mk , maka f (uk ) =  M k  dan f (vk ) =  m k Dalam hal ini diperoleh M k  − mk =  f (uk ) − f (vk )  <

ε b−a

Dan akibatnya n

n

( )=

0 ≤  U (P n , f ) − L(P n , f 

M k  − mk )(xk −xk−1

k=1

 ) ≤ k−1

b−a =  ε b−a n ε

Kemudian disimpulkan bahwa lim [U (P n, f ) − L(P n , f )] = 0 Dan karenanya f  terintegralkan pada [a, b].

n→∞

8

1

Contoh 2.4.

  ( )   Buktikan bahwa 

f  x dx  ada, dimana

0

sin x

f (x) =

, x   =0 1, x  = 0 x

Penyelesaian : sin x adalah kontinu untuk x   = 0 dan lim x

x→0

sin x

  = 1 = x

 f (0) Sehingga f  adalah

kontinu pada [0,1] dan f  terintegral Riemann   pada [0,1]. 1

  ( ) Sehingga

f  x dx  ada.

0

Teorema 2.3.  Jika  f  monoton pada  [ a, b], maka  f  terintegralkan pada  [ a, b].

Bukti : Asumsikan f  naik pada [a, b] untuk tiap n  ∈  N  tinjau partisi P  := { x0 , x1 , ......, xn } dengan xk = a +  k. b−δ a , k = 0, 1, ....., n. Karena f  naik pada [xk−1 , xk ] maka f (xk ) =  M k dan f (xk  − 1) =  m k . Dalam hal ini kita peroleh suatu deret teleskopis n

b−a n

(

M k  − mk )(xk −xk−1 ) =

k =1

n

[ (

f  xk ) − f (xk−1 )]

k=1

b−a [f (b) − f (a)] n

=

Sekarang jika ε > 0 diberikan, maka untuk tiap n  ∈  N   dengan n > b−na [f (b) − f (a)] berlaku n

( )=

0  < U (P n, f ) − L(P n, f 

M k  − mk )(xk −xk−1 )  < ε

k=1

Dengan demikian f   mestilah terintegralkan pada [a, b]. Teorema berikut memberikan suatu kriteria untuk keterintegralan f  pada [a, b]. Untuk selan jutnya terintegralkan berarti terintegral  Riemann  dan integral berarti integral Riemann . Teorema 2.4.  f terintegral pada [a,b] jika dan hanya jika untuk setiap ε >  0 terdapat suatu partisi  P ε  dari [a,b] sedemikian hingga 

U (P ε , f ) − L(P ε , f )  < ε

9

Bukti : Misalkan f   terintegralkan pada [a, b]. Ambil ε >  0 sebarang. Dari definisi supremum terdapat suatu partisi P 1  dari [a, b] sehingga L(f ) −

ε

2

< L(P 1 , f )

Dari definisi infimum terdapat pula suatu partisi P 2  dari [a, b] sehingga U (P 2 , f )  < U (f ) −

ε

2

Sekarang misalkan P ε  =  P 1 ∪ P 2 , maka P ε  merupakan perhalusan  P 1 dan  P 2 . Akibatnya L(f ) −

ε

2

< L(P 1 , f )  ≤  L (P ε , f )  ≤  U (P ε , f )  ≤  U (P ε , f )  < U (f ) +

ε

2

Namun L(f ) =  U (f ) sehingga kita peroleh U (P ε , f ) − L(P ε , f )  < ε

Sebaliknya misalkan untuk setiap ε >  0 terdapat suatu partisi P ε  dari [a, b] sedemikian hingga U (P ε , f ) − L(P ε , f )  < ε. Maka, untuk setiap  ε >  0 berlaku 0 ≤  U (f ) − L(f )  ≤  U (P ε , f ) − L(P ε , f ) − L(P ε , f )  < ε Dari sini disimpulkan bahwa U (f ) =  L (f ) atau f  terintegralkan pada [a, b].

2.4

Sifat-Sifat Dasar Integral Riemann

Bagian ini membahas sifat-sifat dasar Integral Riemann , diantaranya ketunggalan nilai integral, kelinearan semua fungsi terintegral Riemann . Teorema 2.5.   Jika  f  ∈  R [a, b]  maka nilai Integralnya tunggal 

Bukti : Diketahui f  ∈  R [a, b] Adib : A1  =  A 2 Diberikan sembarang bilangan ε >   0. Misalkan A1 dan A2   keduanya nilai integral Riemann   fungsi f . A1  nilai integral fungsi  f  pada [a, b], maka terdapat bilangan  ε 1 >  0 sehingga 10

untuk setiap partisi P  = {a  =  x 0 , x1 , x2 ......, xn  =  b ; ξ 1 , ξ 2 ,....,ξ n }  pada [a, b] dengan sifat   P 1   < δ 1  berlaku

|S (P 1 ; f ) − A1 |  <

ε

2

A2  nilai integral fungsi  f  pada [a, b], maka terdapat bilangan  ε 2 >  0 sehingga untuk setiap partisi P  = {a  =  x 0 , x1 , x2 ......, xn  =  b ; ξ 1 , ξ 2 ,....,ξ n }  pada [a, b] dengan sifat   P 2   < δ 2  berlaku

|S (P 2 ; f ) − A2 |  <

ε

2

Dipilih δ   = min{δ 1 , δ 2 }, akibatnya jika  P  sembarang partisi pada [a, b] dengan sifat   P   < δ   berlaku P   < δ 1 dan   P   < δ 2 . Akibatnya

|S (P ; f ) − A1 |  < Dan

|S (P ; f ) − A2 |  <

ε

2 ε

2

Lebih lanjut

|A1 − A2 | = |A1 − S (P ; f ) +  S (P ; f ) − A2 | ≤ |A1 − S (P ; f )| + |S (P ; f ) − A2 | ≤ |S (P ; f ) − A1 | + |S (P ; f ) − A2 | ε

<

2

 +

ε

2

=  ε

Karena ε  sembarang bilangan positif maka dapat disimpulkan A1  =  A 2 . Teorema berikut ini menyatakan bahwa koleksi semua fungsi yang terintegral Riemann , yaitu R[a, b] adalah ruang linier. Teorema 2.6.   Jika  f, g  ∈  R [a, b] dan  a  sembarang bilangan real, maka  b

b

 

 

b

 

1. (f  + g )  ∈  R [a, b] dan  ( R) (f  + g )(x)dx  =(R) f (x)dx + (R) g (x)dx a

a

b

2. αf  ∈  R [a, b] dan (R

b

  )

αf (x)dx  =  α (R

a

  ( ) )

f  x dx

a

11

a

Bukti : 1. Diketahui (f  + g) ∈ R[a, b]. Diberikan sembarang bilangan ε > 0 b

Karena f  ∈ R[a, b] maka terdapat A1 = (R

  ( ) )

f  x dx dan δ 1 > 0

a

sehingga untuk setiap partisi P 1   pada [a, b] dengan sifat P 1  < δ 1 berlaku ε |S (P 1 ; f ) − A1 |  < 2 b

 

Karena g ∈ R[a, b] maka terdapat A2 = (R) f (x)dx dan δ 2 > 0 a

sehingga untuk setiap partisi P 2   pada [a, b] dengan sifat P 2  < δ 2 berlaku ε |S (P 2 ; f ) − A1 |  < 2 Dipilih δ   = min{δ 1 , δ 2 }  akibatnya jika P  sembarang partisi pada [a, b] dengan sifat P  < δ   berlaku P 1  < δ 1 dan P 2  < δ 2 . Akibatnya

  )|  = ( ) (  + n

|S (P ; f  +  g ) − (A1 − A2

  = ( ) { ( )( −   = ( )   ( )( − ( )( − ≤ ( ) n

P 

f  ξ i xi

i=1 n

P 

f  ξ i xi

i=1 n

P 

< 2ε  +

f  ξ i xi

i=1 ε

2

=  ε

f   g )(ξ i )(xi − xi−1 ) − (A1 − A2

P 

i=1

xi−1 ) + g (ξ i )(xi − xi−1 )} − (A1 − A2 n

 ( )( − ) − ( )    ) +  ( ) ( )( −

xi−1 ) + ( P 

g ξ i xi

xi−1

A1

i=1

n

xi−1 ) − (A1

P 

g ξ i xi

Terbukti (f  + g ) ∈ R[a, b] dan (R

  ) (

f  + g )(x)dx  =(R

a

b

A2

xi−1

i=1

b

(R

 )  − )  ) − ( )

 )

A2

b

  ( ) )

f  x dx +

a

  ) ( )

g x dx.

a

2. Diketahui f  ∈ R[a, b]. Diberikan sembarang bilangan ε >   0 dan α merupakan konstanta. Karena f  ∈  R [a, b] maka terdapat b

A  = (R

  ( ) )

f  x dx  dan  δ > 0 sehingga untuk setiap partisi  P  pada [a, b]

a

12

dengan sifat   P   < δ   berlaku

|S (P ; f ) − A|  < ε Jika P  sembarang partisi pada [a, b] dengan sifat P   < δ   berlaku

  ( ) ( )(   ( ) ( )(   ( ) ( )( | ( ; )− |   n

|S (P ; αf ) − A| =

αf  ξ i xi − xi−1

P 

i=1 n

=

f  ξ i xi − xi−1

P  α

i=1 n

 ) − ( )    ) − ( )  ) − ( ) 

f  ξ i xi − xi−1

= α P 

i=1

= α S  P  f 

A

b

= α(R)

A

<ε

A

<ε

A

<ε

f (x)dx

a

b

b

 

 

Terbukti αf  ∈  R [a, b] dan (R) αf (x)dx  =  α (R) f (x)dx a

a

Teorema berikut menyatakan hubungan keterintegralan suatu fungsi dengan keterbatasan. Teorema 2.7.   Jika  f  ∈  R [a, b] maka f terbatas pada [a,b].

Bukti : Sifat keterbatasan: Jika m  ≤  f (x)  ≤  M  pada [a, b] maka b

m(b − a)  ≤

 

f (x)dx  ≤  M (b − a)

a

Berdasarkan jumlahan Riemann yaitu n

 k=1

n

mk (xk −xk−1

 )  ≤

n

f (tk )(xk −xk−1

k=1

 )  ≤ k=1

13

M k (xk −xk−1 )

Sehingga L (P, f )  ≤  S (P, f ) ≤  U (P, f ) dan karena  S (P ; f ) =  A  dan  A  sendiri b

  ( ) adalah

f  x dx  sesuai dengan teorema sebelumnya dan berdasar teorema

a

b

  ( ) dasar kalkulus yaitu

f  x dx  =  F (b) − F (a) maka untuk sifat keterbatasan

a

berlaku

b

m(b − a)  ≤

 

f (x)dx  ≤  M (b − a)

a

Dengan persamaan tersebut dikatakan bahwa f  terbatas pada [a, b]. Teorema 2.8.   Jika  f  ∈ R[a, b] dan  f  ∈ R[c, b]   mengan   a < b < c   maka  f  ∈  R [a, b]. Lebih lanjut  b

(R)

 

c

f (x)dx  =( R)

a

 

b

f (x)dx + (R)

a

 

f (x)dx

c

Bukti :

c

b

  ( )  =  dan ( ) ∈ [ ] dan ∈ [ ], misalkan (   ( ) Diberikan sembarang bilangan  0, maka terdapat  = ( ) f   R a, b

 f   R c, b

R

  ( ) )

f  x dx

A1

f  x dx  = A2 .

R

a

c b

ε>

A

f  x dx dan

R

a

δ 1 >  0 sehingga untuk setiap partisi P 1   pada [a, c] dengan sifat P 1  < δ 1

berlaku

  ( ) n

P 1

f (ξ i )(xi − xi−1 ) − (A1

i=1

 ) 

<

ε

4

Dipilih δ   = min{δ 1 , δ 2 }, akibatnya jika  P  sembarang partisi pada [a, b] dengan sifat   P   < δ   maka terdapat dua kemungkinan: 1. c merupakan salah satu titik partisi P 2. c bukan merupakan salah satu titik partisi P Pada kemungkinan 1, jika c  merupakan salah satu titik partisi P , maka P  terbagi atas P 1  pada interval bagian [a, c] dan P 2  pada interval bagian [c, b].

14

Karena δ   = min{δ 1 , δ 2 } dan P  < δ , maka berlaku pula P 1  < δ 1 dan P 2   < δ 2  sehingga

   ( ) ( )( )( − ) − (  + )   )+( ) ( )( − ) − (  + ) −   ) −  + ( ) ( )( − )−  −     ) −  + ( ) ( )( − )−  − n

P 

f  ξ i xi

xi−1

A1

f  ξ i xi

xi−1

 A2

i=1

  = ( )   = ( )   ≤ ( ) n

P 1

n

f (ξ i )(xi

i=1 n

P 1

< 4ε  +

ε

A1

 A2

n

f (ξ i )(xi

xi−1

A1

P 2

f  ξ i xi

xi−1

A2

i=1 n

f (ξ i )(xi

i=1

4

P 2

i=1

i=1 n

P 1

xi−1

<ε

xi−1

A1

P 2

f  ξ i xi

xi−1

A2

i=1

Pada kemungkinan 2, jika c   bukan merupakan salah satu titik partisi Riemann  P , maka dapat dibuat partisi   Riemann  P ε   pada [a,b] dengan c sebagai salah satu titik partisinya, sehingga  P ε  menjadi penghalus partisi  P . Selanjutnya dengan cara seperti pada kemungkinan 1, diperoleh;

  ( ) ( )( )( n

f  ξ i xi − xi−1 ) − (A1  +  A2

P ε

i=1

  = ( )   = ( )   ≤ ( )

 ( )( − )+( ( )( − ) − (  + )   ( )( − ) −  + ( )    ( )( − ) −   ( )( − ) −  + ( ) ( )( − )−     ( ) ( )( )( − ) − (  + )    ) ( )( − ) −  + ( ) ( )( − )−   n

P ε

1

1

1

Jadi

xi−1

P ε

2

f  ξ i xi

xi−1

n

 )

A1

f  ξ i xi

xi−1

f  ξ i xi

<

A1

 A2

n

P ε

A1

f  ξ i xi

2

xi−1

A2

i=1 n

P ε

2

i=1 ε ε

4

xi−1

i=1

i=1 n

P ε

< 4ε  +

f  ξ i xi

i=1 n

P ε

 ) 

f  ξ i xi

xi−1

A2

i=1

2

n

P ε

f  ξ i xi

xi−1

A1

 A2

i=1

 (

n

P ε

1

n

f  ξ i xi

xi−1

A1

P ε

f  ξ i xi

2

i=1

i=1

15

xi−1

A2 <

ε

2

Maka

  ( ) ( )( )( n

f  ξ i xi − xi−1 ) − (A1  +  A2

P 

i=1

  = ( ) ( )( )(   ≤ ( ) ( )( )( n

f  ξ i xi − xi−1 ) − (P ε

P 

i=1 n

< 2ε  −

i=1 ε

f (ξ i )(xi − xi−1

i=1

=  ε Dengan demikian terbukti Jika f  ∈  R [a, b] dan 2

b

(R)

  a

c

f (x)dx  =( R)

 

n

f (ξ i )(xi − xi−1 ) + ( P ε

i=1 n

f  ξ i xi − xi−1 ) − (P ε

P 

n

 )  )

 ) 

  )+(

 ( )( )  ( )( )

f  ξ i xi − xi−1 ) − (A1  +  A2

i=1 n

f (x)dx + (R)

a

16

c

f  ξ i xi − xi−1 ) − (A1  +  A2

P ε

b

 

f (x)dx

 )  )

i=1

References [1] Yan Ishak, Venn. Wattimanela,H.J dan Talakua,M.W S. 2012. Beberapa  Teorema Kekonvergenan Pada Integral Rieman . Jurnal Barekeng, Vol. 6 No. 1 Hal. 13 18. [2] Nuha Alhidayah, Dzawin. (2010).  Ekuivalensi Integral Riemann Dan  Integral Darbox . Malang : UIN Maulana Malik Ibrahim Malang

17