Adolfo Chapuz Benítez
Como Aprendo Integrales Integral es
Sumas de Riemann
Como Resolver Problemas de Aplicaciones Aplicaci ones De Cálculo Integral.
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Como Aprendo Integrales Integral es
Sumas de Riemann
Llegamos al punto importante de los métodos de integración. En este documento vamos a estudiar algunas de las aplicaciones clásicas en las cuales se usa el concepto de la integral definida. Veremos las siguientes aplicaciones: 1) Definición De La Integral En Términos De Sumas De Riemann. 2) Cálculo De Áreas Bajo “La Curva”. 3) Área entre 2 Gráficas. 4) Volúmenes De Sólidos De Revolución. 5) Longitud De Arco. 6) Aplicaciones en Probabilidad. 7) Integrales Dobles.
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1.- Sumas De Riemann, Sumas Superiores E Inferiores. OBJETIVO: Aproximar el valor de la integral definida usando sumas de Riemann.
Recordemos que la aplicación inmediata de la integral definida es como área bajo la gráfica de una función sobre un intervalo:
b
f ( x)dx Área entre la gráfica de f(x) y el eje X, desde x a hasta x b. a
Suma De Riemann = Aproximación (numérica) del valor EXACTO de la integral b
definida
f ( x)dx a
.
Suma de Riemann= Suma de áreas de rectángulos generados usando una “partición” del intervalo original [a,b].
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Para calcular una suma de Riemann se necesita hacer una partición del intervalo [a,b], generar rectángulos cuya bases son las longitudes de los sub intervalos, calcular las áreas de dichos rectángulos y hacer la suma de todas ellas.
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La idea principal que dio origen al estudio la integral definida de una función f sobre un intervalo [a, b], es el de calcular el área entre la gráfica de esa función y el eje de las X, sobre el intervalo (suponiendo que f ( x) 0 ). b
f ( x)dx Área entre la gráfica de f(x) y el eje X, desde x a hasta x b. a
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Una partición específica me genera una sola aproximación para la integral En general, la gráfica de una función no siempre está por encima del eje X, existirán áreas que estén por encima o por debajo, así que vamos a hablar de “áreas negativas” y de áreas positivas, aunque parezca algo raro.
Por supuesto que hemos dado un forma de calcular esta integral, usando la integral b
indefinida, de hecho, f ( x)dx F (b) F (a) , pero para poder describir a la integral a
definida como un área, debemos definir otros conceptos importantes que nos ayudarán para tal fin.
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Sumas De Riemann. Fórmula y Definiciones. Idea Geométrica: Supongamos que queremos aproximar el área bajo la gráfica de la siguiente función:
Para esta configuración, tenemos que
…
Suma De Riemann= Suma De Áreas de 4 Rectángulos.
Área de un rectángulo=Base x Altura. Base = Longitud del sub intervalo [ x2 , x3 ] : x3 x2 Altura=valor de un punto intermedio del sub intervalo sustituido en la función:
f ( x3* )
. http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
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Área de un rectángulo=base x altura= f ( x3 )( x3 x2 ) f ( x3 ) x
Definición 1. Consideremos una función y f ( x) definida sobre un intervalo [a, b]. Sea una P x0 , x1 , x2 ,..., xn1 , xn partición del intervalo. Una partición es una división de una intervalo en partes más pequeñas, definidas por el conjunto de valores representados por P x0 , x1 , x2 ,..., xn1 , xn . Las particiones se clasifican en:
Particiones Regulares: Si todos los puntos son igualmente espaciados Particiones Irregulares: Si los puntos no necesariamente están igualmente espaciados.
La Suma De Riemann de y f ( x) , respecto a la partición P sobre el intervalo [a, b] , se representa y define por:
S ab ( f , p) ( x1 x0 ) f (c0 ) ( x2 x1 ) f (c1 ) ( x3 x2 ) f (c2 ) ( xn xn 1 ) f (cn 1 ) n 1
( xi 1 xi ) f (ci ) i 0
S a ( f , p) b
n 1
0 x f (c ) i
i
i
Donde ci es cualquier punto sobre el intervalo [ xi , xi1 ] , estos pueden ser algunos de los extremos del intervalo o aquellos puntos donde alcanzamos el mínimo o máximo en el intervalo. Esto se lee: “Suma De Riemann De f(x), sobre el intervalo [a,b], respecto a la partición P”.
Si Suponemos que la gráfica de y f ( x) está por encima del semiplano superior, podremos interpretar está suma como una aproximación al área bajo la gráfica http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
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de y f ( x) sobre el intervalo [a, b] . Esta aproximación se hace mediante la suma de áreas de rectángulos de base ( xi1 xi ) y altura f (ci ) .
En las siguientes gráficas, te muestro una función f(x), el intervalo [0,1] y una partición definida por los puntos 0,1/3,2/3 y 1.
Existen rectángulos que están por debajo y otros que están por encima.
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Ejemplos Del Concepto de Sumas De Riemann Observación: Para poder calcular una suma de Riemann necesitamos 4 elementos.
La función f(x) El intervalo [a,b] La partición P Los puntos ci que nos determinan la altura de los rectángulos.
1.-Consideremos la función
1 2
3 2
5 2
f ( x) x 2 , sobre el intervalo [0,3] y la partición P 0, ,1, ,2, ,3.
Calcular la suma de Riemann para estas condiciones. Solución: ci
En primer lugar debemos escoger los puntos , de manera arbitraria, la única condición es que estén dentro de cada intervalo correspondiente. escogemos C 0.3,0.7,1.4,1.7,2.5,2.8.
Rectángulos Usados Para Calcuar Una Suma De Riemann Para f(x)=x 2. 9 Notamos que, para esta partición y puntos escogidos en particular, los rectángulos no c ubren perfectamente toda el área bajo la gráfica de f(x). Existen "esquinas" que exc eden y otras que no cubren cierta área.
8
7
6 Esquina que está por debajo de la gráfica. 5
4
Esquina que está por encima de la gráfica.
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
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10 Aplicamos la fórmula: 3 2 S 0 ( x , P ) ( x1 x0 ) f (c0 ) ( x2 x1 ) f (c1 ) ( x3 x2 ) f (c2 ) ( xn xn 1 ) f (cn 1 ) 1 1 3 3 5 5 ( 0)(0.3) 2 (1 )(0.7) 2 ( 1)(1.4) 2 (2 )(1.7) 2 ( 2)(2.5) 2 (3 )(2.8) 2 2 2 2 2 2 2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
(0.9) (0.49) (1.96) (2.89) (6.25) (7.84) 0.45 0.245 0.9800 1.4450 3.125 3.92 10.165
S 03 ( x 2 , P ) 10.165u 2
Interpretación: El área bajo la grafica de la cuadrática de 0 a 3, es aproximadamente igual a 10.165 unidades cuadradas ( m2,cm2,km2,etc). ¡OBSERVACIÓN IMPORTANTE! Los resultados obtenidos van a ser diferentes, si cambiamos el intervalo, la partición y los puntos que se eligen para generar las áreas de los rectángulos.
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2.-Consideremos la función 1 2 4 5 , ,1, , ,2. 3 3 3 3
f ( x) ln( x), sobre el intervalo (0,2] y la partición P 0,
Calcular la suma de Riemann para estas condiciones. Solución: La gráfica de la función logaritmo es:
y
x
Si elegimos los límites superiores de cada sub intervalo como puntos para generar las alturas de los rectángulos tendríamos la siguiente gráfica.
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y
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y=ln(x)
x
Si elegimos los límites inferiores de cada sub intervalo como puntos para generar las alturas de los rectángulos tendríamos la siguiente gráfica.
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y
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y=ln(x)
x
Si elegimos los puntos medios de cada sub intervalo como puntos para generar las alturas de los rectángulos tendríamos la siguiente gráfica.
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y
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y=ln(x)
x
Para calcular la suma de Riemann de este ejemplo elegimos los puntos medios dentro de cada intervalo. 1 1 5 7 9 11 escogemos C , , , , , . 6 2 6 6 6 6
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S 02 (ln( x), P ) ( x1 x0 ) f (c0 ) ( x2 x1 ) f (c1 ) ( x3 x2 ) f (c2 ) ( xn xn1 ) f (cn1 )
1 3
1 6
2 1 3 3
1 2
2 3
5 6
4 3
7 6
5 4 3 3
9 6
15 5 3
11 6
( 0) ln( ) ( ) ln( ) (1 ) ln( ) ( 1) ln( ) ( ) ln( ) (2 ) ln( )
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
(-1.7918) (-0.6931) (-0.1823) (0.1542) (0.4055) ( 0.6061) -0.5973 - 0.2310 - 0.0608 0.0514 0.1352 0.2020 -0.50049 S 02 (ln( x), P ) -0.50049
Ejercicios: Calcular las sumas de Riemann para las siguientes funciones, de acuerdo a los intervalos y particiones dados, tú debes elegir los puntos para calcular las alturas de los rectángulos.
a). b). c). d).
1 3 ,1, ,2. 2 2
f ( x) x 2 , sobre el intervalo [0,2] y la partición P 0,
1 2 4 5 , ,1, , ,2. 3 3 3 3
f ( x) x 3 , sobre el intervalo [0,2] y la partición P 0,
1 2 4 5 , ,1, , ,2. 3 3 3 3
f ( x) ln( x), sobre el intervalo [0,2] y la partición P 0,
1 3 ,1, ,2. 2 2
f ( x) e x , sobre el intervalo [0,2] y la partición P 0,
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Observación Importante: Dada una función f(x), un intervalo [a,b] y una partición P, existe un número infinito de Sumas de Riemann, una suma para cada elección de los puntos intermedios de cada subintervalo. Existen 2 casos especiales clásicos: Las Sumas Inferiores y Sumas Superiores. Sumas Inferiores: Se obtienen cuando seleccionamos los valores tiene un mínimo en el intervalo [ xi , xi1 ] .
ci
en los cuales la función y f ( x)
A esos puntos los representaremos por t i .
Entonces la suma inferior queda representada y definida por: L( f , P )
n 1
0 ( x
i 1
xi ) f (t i )
i
n 1
xi f (t i ) i 0
Las sumas inferiores las interpretamos como aproximaciones al área bajo la gráfica de f(x), usando rectángulos por debajo de esta gráfica.
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Sumas Superiores: Se obtienen cuando seleccionamos los valores tiene un máximo en el intervalo [ xi , xi 1 ] .
ci
en los cuales la función y f ( x)
A esos puntos los representaremos por si .
Entonces la suma superior queda representada y definida por:
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U ( f , P )
n 1
0 ( x
i 1
xi ) f ( si )
i
n 1
xi f ( si ) i 0
Las sumas superiores las interpretamos como aproximaciones al área bajo la gráfica de f(x), usando rectángulos por encima de esta gráfica.
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Ejemplos De Sumas Inferiores y Superiores Ejemplo 1: Aproximar el área bajo la gráfica de f ( x) x sobre el intervalo [0,2], 1 3 P 0, ,1, ,2 2 2 respecto a la partición , usando sumas superiores y sumas inferiores. 2
Suma Inferior: y
x
Desarrollo: L20 ( x 2 , P ) ( x1 x0 ) f (c0 ) ( x2 x1 ) f (c1 ) ( x3 x2 ) f (c2 ) ( xn xn1 ) f (cn1 )
1 1 1 3 3 3 ( 0)(0) 2 (1 )( )2 ( 1)(1) 2 (2 )( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 9 (0) ( ) (1) ( ) 2 2 4 2 2 4 1 1 9 8 2 8 7 4 http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
Adolfo Chapuz Benítez L20 ( x 2 , P )
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7 4
20
Suma Superior: y
x
Desarrollo: U 02 ( x 2 , P ) ( x1 x0 ) f (c0 ) ( x2 x1 ) f (c1 ) ( x3 x2 ) f (c2 ) ( xn xn1 ) f (cn1 )
1 2
1 2
1 2
1 1 2 4
1 2
1 9 2 4
3 2
3 2
3 2
( 0)( ) 2 (1 )(1) 2 ( 1)( ) 2 (2 )(2) 2
1 2
( ) (1) ( ) (4)
1 1 9 8 2 8 15 4
2
U 02 ( x 2 , P )
15 4 conclusión.
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Ejemplo 2: Aproximar el área bajo la gráfica de f ( x) cos( x) sobre el intervalo [- π, π], respecto
P , ,0, , 2 2 a la partición , usando sumas superiores y sumas inferiores. Desarrollo:
y
x
Suma Inferior:
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y
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x
L
(cos( x), P ) ( x1 x0 ) f (t 0 ) ( x2 x1 ) f (t 1 ) ( x3 x2 ) f (t 2 ) ( xn xn1 ) f (t n1 ) (
2
2
(1)
2
2
2
2
2
2
( )) cos( ) (0 ( )) cos( ) ( 0) cos( ) ( ) cos( )
2
(0)
2
(0)
2
(1)
2
Suma Superior:
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y
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x
U
(cos( x), P ) ( x1 x0 ) f ( s0 ) ( x2 x1 ) f ( s1 ) ( x3 x2 ) f ( s2 ) ( xn xn1 ) f ( sn1 ) (
2
2
2
(0)
2
2
2
2
2
( )) cos( ) (0 ( )) cos(0) ( 0) cos(0) ( ) cos( )
2
(1)
2
(1)
2
(0)
2
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24 x f ( x ) e Ejemplo 3: Aproximar el área bajo la gráfica de sobre el intervalo [-2, 2],
3 1 1 3 P 2, ,1, ,0, ,1, ,2 2 2 2 2 respecto a la partición , usando sumas superiores y sumas inferiores.
Desarrollo: y
x
Suma Inferior.
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y
y = exp(x)
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x
L22 (exp( x), P ) ( x1 x0 ) f (c0 ) ( x2 x1 ) f (c1 ) ( x3 x2 ) f (c2 ) ( xn xn1 ) f (cn1 )
3 3 32 1 3 32 2 1 ( (2))e (1 ( ))e ( (1))e (2 )e 2 2 2 2 1 2
1 2
1 2
1 2
(0.1353) (0.2231) (0.3679) (4.4817) 0.0677 0.1116 0.1839 2.2408 5.59078.
Suma Superior:
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y
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x
U 22 (exp( x), P ) ( x1 x0 ) f (c0 ) ( x2 x1 ) f (c1 ) ( x3 x2 ) f (c2 ) ( xn xn1 ) f (cn1 ) 3 1 3 3 1 1 3 2 ( (2))e (1 ( ))e ( (1))e 2 (2 )e2 2 2 2 2
1 1 1 1 (0.2231) (0.3679) (0.6065) (7.3891) 2 2 2 2 0.1116 0.1839 0.3033 0.5000 0.8244 1.3591 2.2408 3.6945 9.2176
La Integral Definida Como el Límite de las Sumas de Riemann Las sumas de Riemann se usan para aproximar el área exacta que está entre la gráfica de la función y el eje X. En general, se tiene que, para cualquier partición P: b
L( f , P ) f ( x)dx U ( f , P ) a
Siendo rigurosos la integral se define mediante el siguiente límite: http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
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b
f ( x)dx lim0 S ( f , P ) p
a
b a
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n 1
lim f (ci ) xi
xi 0
i 0
para toda partición P. ,
P
Donde se llama norma de la partición y se define como la máxima longitud de los sub intervalos para una partición específica. Cada partición P nos genera un valor para la suma de Riemann y por lo tanto un valor aproximado para la integral (valor exacto). La partición se puede hacer más fina, esto es tener más puntos, y a medida que sucede esto el valor de la suma de Riemann se aproxima cada vez más a la integral definida.
Así que, en el límite (cuando el tamaño de la partición tiende a cero) el valor de la suma de Riemann es igual al valor exacto de la integral definida.
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En particular: Si consideramos una partición regular de n sub intervalos: longitud de cada intervalo h
ba n
.
b
f ( x)dx lim S ( f , P ) n
a
b a
n 1
lim f (ci ) xi n
i0
n 1
lim f (ci )h n
i0
n 1
(b a )
i0
n
lim f (ci ) n
(b a) lim
n
1 n
n 1
f (c ) i
i 0
El estudio de la integral definida en términos de sumas de Riemann requiere de tener cierta madurez en conceptos puramente teóricos. No es el objetivo de este curso, por lo cual no voy a profundizar en este aspecto. Conclusión: b
f ( x)dx lim f ( x ) x a
n
i
i
A los interesados pueden consultar la bibliografía que proporciono al final de este documento.
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