INTEGRALE CU PARAMETRU
§ 3.1 Integrale Riemann cu parametru. Definiţia 1.1.
Fie f : [ a, b ] × [c, d ] → ℝ o funcţie cu proprietatea c ă
aplicaţia x → f ( x, y ) , x ∈ [ a, b]
este integrabil ă Riemann pe [ a, b] , pentru orice y ∈ [ c, d ] . Atunci funcţia F : [ c, d ] → , b
F ( y) =
∫ f ( x, y ) dx a
se numeşte integrală cu parametru. Teorema 1.1. (Continuitatea integralei cu parametru). Dacă f : [ a, b ] × [c, d ] → ℝ este continuă , atunci F : [ c, d ] → , b
F ( y) =
∫ f ( x, y ) dx a
este continuă. Teorema
1.2.
(Teorema
de
derivare sub integrală). Fie ∂ f ( x, y ) f : [ a , b ] × [ c, d ] → ℝ continuă pentru care exist ă şi este continuă. ∂ y Atunci func ţ ia ia F : ( c, d ) → ℝ , b
F ( y) =
∫ f ( x, y ) dx a
este derivabil ă şi b
F ′( y ) =
∫
∂ f ( x, y ) ∂ y
a
dx .
Teorema 1.3. (Formula de derivare a integralei cu parametru). ∂ f ( x, y ) Fie f : [ a , b ] × [ c, d ] → ℝ continuă , continuă şi g , h : [c , d ] → [ a, b] ∂ y două func ţ ii ii de clasă C1 . Atu Atunc ncii fun funcc ţ ia ia F : ( c, d ) →
24
,
h( y )
∫
F ( y) =
f ( x, y )dx
g ( y)
este derivabilă şi are loc următoarea formulă h( y )
F′( y ) =
∂ f ( x, y )
∫
∂ y
g ( y)
dx + f ( h ( y ) , y ) h′ ( y ) − f ( g ( y ) , y ) g ′ ( y ) .
Teorema 1.4. (Fubini). Fie f
: [ a, b ] × [c, d ] → continuă.
Atunci are loc: db d f ( x, y ) dy dx = f ( x, y ) dx dy . a c ca b
∫∫ Exemplul 1.1.
∫∫
Fie f ( x ) =
1 b a x − x ) , x ≠ 0, a , b > 0, f ( 0 ) = 0 . ( ln x 1
∫0
Folosind Teorema lui Fubini, să se calculeze f ( x )dx . b
Solu ţ ie.
Pentru aceasta observăm că f ( x ) = ∫ x y dy, x ∈ [ 0,1] ş î a
considerăm integrala cu parametru 1
∫0
F ( y ) = x y dx .
Astfel avem că f ( x, y ) = x y care este continuă pe [0,1]× [ a, b] . De unde 1b
1 F ( y ) dy = x dy dx = f ( x )dx . a 0 a 0 b
∫
∫∫
∫
y
Dar 1
∫0
y
F ( y ) = x dx =
1 y + 1
de unde
25
x
y +1
1 0
=
1 y +1
,
1
∫0
b
f ( x ) dx =
1
∫ y + 1
dy = ln
a
b +1 a +1
.
§ 2 Integrale improprii cu parametru .
Fie f : [ a, b ] × [c, d ] → ℝ o funcţie cu proprietatea c ă pentru orice y ∈ [ c, d ] , integrala improprie b
∫ f ( x, y )dx a b
∫
este convergentă. Atunci funcţia F : [ c, d ] → , F ( y ) = f ( x, y )dx se a
numeşte integrală improprie cu parametru. b
Definiţia 2.1.
Integrala
∫ f ( x, y )dx este
uniform convergent ă
(sau
a
converge uniform în raport cu y ∈ [ c, d ]
) dacă pentru orice
ε> 0,
există
b ( ε ) < b astfel încât b
∫ f ( x, y )dx < ε , oricare ar fi t ∈ (b ( ε ) , b ) , y ∈[c, d ] . t
În cele ce urmează vom da câteva criterii de convergen ţă uniformă a integralelor improprii cu parametru. Fie Teorema 2.1. (Criteriul lui Cauchy). f : [ a, b ) × [c, d ] → . Atunci integrala improprie cu parametru
func ţ ia
b
∫ f ( x, y )dx a
este unform convergent ă dacă şi numai dacă pentru orice ε > 0 , exist ă b ( ε ) < b astfel încât q
∫ f ( x, y )dx < ε oricare ar fi p, q ∈ (b ( ε ) , b ), p
26
y ∈ [ c, d ] .
Teorema 2.2. (Criteriul comparaţiei). Fie g : [ a, b ) →
o func ţ ie
b
astfel încât integrala
∫ g ( x )dx este convergent ă şi a
f ( x, y ) ≤ g ( x ) , oricare ar fi x ∈ [ a, b ) , y ∈ [ c, d ] . b
∫
Atunci integrala f ( x, y )dx este uniform convergent ă. a
Exemplul 2.1.
atunci pentru orice y ∈
Fie
f ∈ C ℝ2 \ {( 0,0 )
(
),
dacă f ( x, y ) =
sin x 2
x + y
2
,
şi orice x ≥ c > 0 , avem că
x 2 + y2 ≥ x2 > c 2 > 0 ,
de unde deducem că sin x
1
≤ 2 2 2 x + y x ∞
Cum integrala improprie
.
1
∫ x 2 dx este convergentă pentru orice c > 0 , c
din teorema anterioar ă rezultă uniform convergenţa integralei improprii cu parametru ∞ sin x dx y ∈ ℝ. 2 2 ,
∫ x c
+y
Convergenţa uniformă are loc în orice interval [ a, b ] ⊆ ℝ. Teorema 2.3. (continuitatea integralei improprii cu parametru). Fie f : [ a, b ) × [ c, d ] → o func ţ ie continuă astfel încât integrala b
∫ f ( x, y )dx a
este uniform convergent ă. Atunci F : [ c, d ] → , b
F ( y) =
∫ f ( x, y )dx a
este continuă.
27
Să se studieze continuitatea func ţiei F : [ 2, ∞ ) → ,
Exemplul 2.2. ∞
F ( y) =
cos x
∫1 x
y
dx , oricare ar fi y ≥ 2 .
Dacă x ≥ 1 şi y ∈ [ 2, c ] , 1 < c < ∞ , avem că cos x 1 1 ≤ y ≤ 2, y x
∞
deci integrala f ( x, y ) =
cos x x y
cos x
∫1 x
y
dx este
x
x
uniform convergentă pe [ 2, c ] . Cum funcţia
este uniform continuă pe [1, ∞ ) × [ 2, c ] , rezultă că F este
continuă pe [ 2, c ] . Cum c a fost ales arbitrar, rezult ă că F este continuă pentru orice y ≥ 2 . Teorema 2.4. (de derivare sub integrala imroprie).
: [ a, b ) × [c, d ] →
Fie func ţ ia f
continuă astfel încât exist ă
∂ f ∂ y
b
continuă. Dacă pentru orice y ∈ [ c, d ] , integrala
∫ f ( x, y )dx
este
a b
convergent ă şi integrala
∫ a
∂ f dx este uniform convergent ă pe [ c, d ] , atunci ∂ y
func ţ ia F : ( c, d ) → ℝ , b
F ( y) =
∫ f ( x, y )dx a
este derivabilă şi b
F ′( y ) =
∂ f
∫ ∂ y ( x, y )dx . a
Teorema 2.5. (Fubini). Fie f
: [ a, b ) × [c, d ] → o func ţ ie continuă
b
astfel încât integrala
∫ f ( x, y )dx este uniform convergent ă. Atunci a
28
db d f ( x, y )dy dx = f ( x, y )dx dy . a c ca b
∫∫
∫∫
§ 3 Integrale Euleriene. Propoziţia 3.1. Pentru orice p, q > 0 , integrala 1
∫0
B ( p, q ) = x p −1 (1 − x )
q −1
dx,
numit ă func ţ ia beta a lui Euler este convergent ă. 12
Demonstra ţ ie.
∫0
Integrala
x p −1 (1 − x )
q −1
dx
este convergentă pentru
că lim x1− p f ( x ) = 1,
x →∞
unde f ( x ) = x p −1 (1 − x )
q −1
. De asemenea, integrala 1
∫1 2
p −1
x
q −1 (1 − x ) dx
este convergentă pentru că 1− q
lim (1 − x )
x →1
f ( x) =1.
În concluzie integrala B ( p, q ) este convergentă. Teorema 3.1. Pentru orice p, q > 0 au loc următoarele rela ţ ii: a) B ( p, q ) = B ( q, p ) ; b) B ( p + 1, q ) + B ( p, q + 1) = B ( p, q ) ; c) qB ( p + 1, q ) = pB ( p, q + 1) . Demonstra ţ ie. a) Vom face următoarea schimbare de variabil ă x = 1 − t şi obţinem
29
1
∫
p −1
B ( p, q ) = x
(1 − x )
0
q −1
dx = −
p −1 q −1 1 − t t dt = ( ) ∫
0
1 1
∫0
= t
q −1
p (1 − t )
−1
dt = B ( q, p ) .
b) Avem că 1
q −1 q p p −1 B ( p + 1, q ) + B ( p, q + 1) = x (1 − x ) + x (1 − x ) dx =
∫
0
1
∫0
p −1
= x
q −1 (1 − x ) dx = B ( q, p ) = B ( p, q ).
c) Vom integra prin părţi şi obţinem 1
∫
p
qB ( p + 1, q ) = q x
(1 − x )
q −1
1
∫ (
dx = x
0 p
= − x
(1 − x )
q
p
q
− (1 − x )
′
) dx =
0 1 q 1 p −1 1 + p x − x dx = pB ( p, q + 1) . ( ) 0 0
∫
Propoziţia 3.2. Pentru orice p > 0 integrala improprie ∞
∫0
p −1 − x
Γ ( p ) = x
e dx,
numit ă integrala gama a lui Euler este convergent ă. p −1 − x
Demonstra ţ ie. Fie f ( x ) = x
. Deoarece lim x1− p f ( x ) = 1, e
x → 0
1
rezultă că integrala
∫0
x p −1e − x dx
este convergentă. Dacă
lim xα f ( x ) = 0 , deci
x →∞
∞
∫1
p −1 − x
x
e dx
este convergentă. Teorema 3.2. Au loc următoarele rela ţ ii:
30
α>1
, avem
a) Γ (1) = 1 ; b) Γ ( p + 1) = pΓ ( p ) pentru orice p > 0 ; c) Γ ( n + 1) = n! pentru orice n ∈ ℕ. Demonstra ţ ie. a) Are loc ∞
∫0
− x
Γ (1) = e dx = −
lim e− x + 1 = 1 .
x →∞
b) Dacă integrăm prin părţi, obţinem ∞
Γ ( p + 1) =
∫
∞
′ x p e− x dx = x p −e− x dx =
∫ (
0
)
0 ∞
∞
p − x
= − x e
c) Vom înmulţi relaţiile astfel se obţine concluzia
0
∫0
+p x
p −1 − x
e dx = pΓ ( p ) .
Γ ( p + 1) = pΓ ( p ) pentru p
de la 1 până la n ,
Γ ( n + 1) = 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n = n!.
Propoziţia 3.3. Au loc rela ţ iile ∞
a)
∫0
y p −1 ⋅ e− ty dy =
∞
b)
t p −1
∫0 ( t + 1)
p + q
Γ ( p ) p
t
, pentru orice t > 0 ;
dt = B ( p, q ) , pentru orice p, q > 0 .
Demonstra ţ ie. şi vom obţine
a) Vom face următoarea schimbare de variabil ă ty = x ∞
∞
∫
p −1
y
0
=
1 t
p
∫
∞
∫0
p −1
x ⋅ e dy = t 0 − ty
p −1
x
−x
⋅ e dx =
x
Γ ( p ) p
t
b) Din nou om face o schimbare de variabil ă
31
1
⋅ e− ⋅ dx t
. 1
t + 1
= x şi vom obţine
∞
p −1
∞
p −1
1 t dt = ⋅ p + q q −1 t + 1 1 1 t + t + ( ) ( ) 0 0
∫
t
∫
0
∫1
= − x
q −1
⋅
1 dt = 2 ( t + 1)
p −1
(1 − x )
dx = B ( p, q ).
Teorema 3.3. Pentru orice p, q > 0 are loc egalitatea B ( p, q ) =
Γ ( p ) ⋅ Γ ( q ) Γ ( p + q )
∞
∫0
În relaţia y p −1 ⋅ e −ty dy =
Demonstra ţ ie.
.
Γ ( p ) p
t
, cu t > 0 , înlocuim t
cu t + 1 şi p cu p + q , obţinem Γ ( p + q ) p + q
∞
( t + 1) Relaţia obţinută o vom înmulţi cu t , astfel ∞
Γ ( p + q )
t p −1
∫0 ( t + 1)
p + q
∫0
p + q −1
= y
t p −1 ,
⋅e
−( t +1) y
dy.
după care o vom integra în raport cu
∞
∞
∫0
∫0
− t +1 y dt = t p −1dt y p + q −1 ⋅ e ( ) dy ,
sau ∞
∞
∫0
p −1
∫0
dt y p
Γ ( p + q ) B ( p, q ) = t
+ q −1
⋅e
− ( t +1) y
dy .
În membrul drept schimbăm ordinea de integrare, avem ∞
∫0
∞
p −1
t
∫0
dt y
p + q −1
∞
∫0
∞
∫0
= y
⋅e
− x ( t +1) y
dy =
∞
p + q −1
= y
p + q −1
⋅e
−y
⋅
⋅e
Γ ( p ) p
y
−y
∫0
dy t
p −1
⋅ e− dt = ty
∞
∫0
dy = Γ ( p ) y
32
q −1
⋅e
−y
dy = Γ ( p ) Γ ( q ).
1 Propoziţia 3.4. Au loc rela ţ iile Γ = π şi 2 Demonstra ţ ie.
În relaţia B ( p, q ) =
Γ ( p ) ⋅ Γ ( q ) Γ ( p + q )
∞
∫e
2 − x
dx =
π.
−∞
din Teorema 3.3., vom
1 lua p = q = , astfel avem 2 21
Γ
1 1 , = π, 2 2
= B
2
deoarece cu schimbarea de variabil ă x = sin 2 t , avem 1
dx 1 1 B , = = 2 2 0 x (1 − x )
∫
π
2
∫0
2sin t cos t dt = π . sin t cos t
În final, cu schimbarea de variabil ă x 2 = t vom obţine ∞ ∞ 2 2 1 − x e dx = 2 e − x dx = Γ = π . 2 −∞ −∞
∫
Observaţie. Γ ( x ) Γ (1 − x ) =
∫
O π
sin ( π x )
alt ă
proprietatea
, pentru orice 0 < x < 1 .
33
a
func ţ iei
Γ ,
este
∞
∫0
Exemplul 3.1. Să se calculeze I = e
− x p
dx, p > 0 . 1
Soluţie.
Se face schimbarea de variabil ă y = x p , de unde x = y p şi se
obţine ∞
∫0
1
1
∞
dx =
e ∫ p 0
1 1
p p
I = e
p
− x
Γ
−y
⋅y
= Γ 1 +
34
p
1
−1
. p
dy =
