MAKALAH GEOMETRI NON EUCLID : GEOMETRI ELIPTIK
Diajukan untuk memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Geometri
(Dosen : Dr. Sc Mariani, M.Si)
Oleh
ADANG KUSDIANA NIM : 4101508014
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA (PPs) UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2009
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT. Atas berkah dan Rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Geometri Non Euclid : Geometri Eliptik” Penulisan makalah ini hanya penambahan wawasan terhadap geometri non euclid. Sudah pasti makalah ini kurang sempurnaa, masih banyak kekurangankekurangan. Untuk itu masukan dan kritik membangun sangat penulis harapkan.
Kuninngan, Juni 2009
1.
LAHIRNYA GEOMETRI ELIPTIK (NON EUCLID)
Geometri
Non Euclid
lahir
setelah
terpecahkannya permasalahan postulat
kesejajaran Euclid oleh Bolya dan Lobachevsky. Geometri non euclid diantaranya geometri Lobachevsky dan geometri Riemann. Geometri Lobachevsky disebut geometri Hiperbolik, mengingat bahwa melalui 1 titik di luar suatu garis dapat dibuat 2 garis yang sejajar garis tersebut. Geometri Riemann disebut geometri Eliptik, mengingat tidak ada garis yang dapat dibuat sejajar garis tersebut. Sedangkan geometri Euclid disebut geometri Parabolik, mengingat bahwa hanya ada 1 garis yang sejajar
garis tersebut. Geometri Riemann
kontradiksi dengan postulat kesejajaran Euclid dengan mengasumsikan prinsip-prinsip berikut ini: Postulat kesejajaran Reimann: Tidak ada garis yang sejajar.
Sedangkan Postulat Kesejajaran Euclid mengatakan bahwa Dua garis yang tegak lurus dengan garis yang sama akan sejajar.
C
m l
m
l n
A
B
B
A
C’
(a)
(b)
Diketahui: dua garis yang berbeda l, m yang tegak lurus dengan n (gambar (a). Akan dibuktikan l sejajar dengan m Bukti
Andaikan l tidak sejajar dengan m maka l akan berpotongan dengan m di titik C (gambar (b)). Misalkan l, m berpotongan dengan n di A, B. Langka h
Alasan
1. Perluas CA melalui panjangnya sendiri
1. Segmen dapat digandakan
Melalui A ke C’ 2. Gambar C’B
2. Dua titik menentukan suatu garis
3. ΔABC kongruen dengan ΔABC’
3. Sis sudut sisi
4.
4. Bagian yang sehadap
∠ ABC
Jadi
=
∠ ABC’
∠ ABC’
merupakan sudut siku-siku
Karena
∠ ABC
merupakan sudut siku-siku
BC dan BC’ tegak lurus AB 5. BC dan BC’ serupa
5. Hanya ada satu garis yang tegak lurus dengan garis yang diketahui pada titik pada garis yang diketahui pula.
Jadi, AC dan BC, atau l dan m memiliki titik C dan C’ secara bersama-sama. 6. Jadi l dan m serupa
6. Dua titik menentukan garis
Hal ini kontradiksi dengan hipotesis kita bahwa l dan m adalah garis yang berbeda. Jadi pengandaian kita salah dan teorema berlaku. Analisis pembuktian Riemann
Pandangan penting adalah Langkah 6, bahwa “l dan m serupa” karena garis tersebut memiliki titik C dan C’ secara bersama-sama. Langkah ini akan gagal jika C dan C’ tidak berbeda
Euclid mengasumsikan bahwa setiap garis “memisahkan bidang menjadi dua sisi yang berhadapan (Separation Principle)
Dalam pandangan sifat pemisahan, konstruksi dalam Langkah 1 pembuktian di atas (untuk memperluas CA melalui panjangnya C’) menjamin bahwa C dan C’ berada pada sisi sehadap dari n dan merupakan titik yang berbeda.
Tanpa sifat pemisah, keberadaan C dan C’ tidak memiliki justifikasi formal dan bukti tersebut akan gagal.
Menurut Riemann
Jika prinsip pemisahan tersebut diterima, C dan C’ haruslah merupakan titik yang berbeda,
Jika mengabaikan prinsip yang menyatakan bahwa “ dua titik menentukan suatu garis”, artinya memperbolehkan dua garis untuk berpotongan dalam dua titik.
Kesimpulan
Ada dua teori geometris yang mengasumsikan postulat kesejajaran Riemann. Pertama, teori geometri eliptik tunggal,
Sebarang dua garis yang berpotongan dalam tepat satu titik, tetapi tidak ada garis yang memisahkan bidang tersebut, dua titik yang dimetral dianggap sebagai 1 titik. Kedua, teori geometri eliptik rangkap dua,
Dua garis berpotongan dalam tepat dua titik dan setiap garis memisahkan bidang menjadi 2 setengah bidang.
2.
REPRESENTASI BOLA PEJAL EUCLID
Untuk memudahkan pemahaman, maka geometri eliptik ini direpresentasikan dalam bentuk bola pejal euclid. Geometri Eliptik rangkap dua (double elliptic) dalam bentuk bola/bumi dan geometri eliptik tunggal (single elliptic) dalam bentuk setengah bola. Perhatikan representasi berikut ini : a. Double Elliptic U
A1
B1
O B
A
S Dua garis berpotongan pada titik, setiap garis memisahkan bidang menjadi 2 setengah
bidang. b. Single Elliptic
A1 O A
A S
Dua garis berpotongan pada 1 titik, garis tidak memisahkan bidang menjadi 2 setengah bidang. Dua titik yang diametral dianggap sebagai satu titik. Geometri Eliptik Ganda
Representasi Euclid
Titik
Titik pada bola pejal
Garis
Lingkaran besar
Bidang
Bola pejal
Segmen
Busur lingkaran
Jarak antara dua titik
panjang busur terbendek dari lingkaran besar yang menghubungkan 2 titik
sudut (yang dibentuk oleh 2 garis)
sudut bole pejal (yang dibentuk oleh dua lingkaran besar.
Ukuran sudut
Ukuran sudut bola pejal.
Perhatikan bahwa postulat kesejajaran Riemann akan terpenuhi dalam representasi ini:
Setiap dua garis (lingaran besar) bertemu, dan kenyataannya tepat pada dua titik.
Selanjutnya postulat pemisahan akan terpenuhi, karena tiap lingkaran besar akan memisahkan bola pejal tersebut menjadi dua belahan.
3. SIFAT DAN AKSIOMA DALAM GEOMETRI ELIPTIK
Dapat dipahami bahwa urutan tidak berlaku pada geometri rangkap dua, artinya [ABC] dapat sama dengan [BCA]. Dalam geometri eliptik tetap berlaku, bahwa melalui satu titik pada suatu garis hanya dapat dibuat satu garis yang tegak lurus garis tersebut. Tetapi hal ini tidak berlaku, jika titiknya di luar garis tersebut.
Sifat kutub. Misalkan l suatu garis. Maka ada suatu titik k, yang disebut kutub dari l sedemikian sehingga : a. Setiap segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik pada l tegak lurus pada l. b. K berjarak sama dari setiap titik pada l.
Jarak K sampai sebarang titik pada l disebut jarak polar. Jarak polar suatu kutub sampai dengan garisnya adalah konstan, demikian juga panjang suatu garis. Dalil-dalil dasar yang berlaku untuk geometri eliptik : Dalil 1 Dua garis yang tegaklurus pada suatu garis bertemu pada suatu titik Dalil 2
Semua garis tegaklurus pada suatu garis berpotongan pada titik yang disebut kutub dari garis itu dan sebaliknya setiap garis melalui kutub suatu garis tegaklurus pada garis itu. Dalil 3 Dalam sebarang segitiga ABC dengan sudut C = 90 o, sudut A kurang dari, sama dengan atau lebih besar dari 90 o tergantung dari segmen BC kurang dari, sama den gan atau lebih besar dari jarak polar q. Dalil 4 Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga lebih besar dari 180 o. Dalil 5 Jumlah besar sudut-sudut suatu segiempat lebih besar dari 360 o. Dalil 6 Sudut-sudut puncak dari segiempat Saccheri sama dan tumpul. Dalil 7 Dalam segiempat Lambert ABCD dengan sudut A=sudut B=sudut C=90 o, maka sudut keempat D tumpul. Dalil 8 Tidak ada bujur sangkar dalam geometri eliptik. Dalil 9 Dua segitiga yang sebangun adalah kongruen
4. MODEL DALAM GEOMETRI ELIPTIK
Hyperspherical model
Model hyperspherical adalah penyamarataan model yang berbentuk bola dalam dimensi-dimensi yang lebih tinggi. Pokok ruang eliptik n dimensional adalah vektor satuan di R n+1, yang ,rupanya pokok dari bola satuan di ruang n+1 dimensional. Bentuk di dalam model ini adalah jarak terpendek dari permukaan bumi, persimpangan-persimpangan bola dengan permukaan yang datar dimensi n melintas aslinya. Projective model
Di dalam model yang bersifat proyeksi, pokok ruang projektif real n dimensional digunakan sebagai poin-poin dari model. Pokok ruang projektif n dimensional dapat dikaitkan dengan bentuk melalui asli di dalam (n+1)-dimensional ruang/spasi, dan didapat secara
tidak unik yang diwakili oleh vektor-vektor yang tidak nol di Rn+1, dengan
pemahaman, itu u dan λu, untuk setiap skalar yang tidak nol λ,menunjukkan titik yang sama. Jarak dapat digambarkan dengan metrik
Ini adalah homogen pada setiap variabel, dengan d(λ u , μ v) = d(u, v) jika λ dan μbersifat skalar-skalar tidak nol, dengan demikian itu menggambarkan suatu jarak di pokok dari ruang projektif Suatu properti yang terkemuka dari model yang bersifat proyeksi adalah bahwa untuk dimensi-dimensi, seperti pesawat, ilmu ukur itu adalah bisa tidak dunia Timur, menghapus pembedaan antara arah jam dan berlawanan arah jarum jam perputaran dengan mengidentifikasi mereka Stereographic model
Suatu perwakilan model ruang/spasi yang sama seperti model hyperspherical dapat diperoleh atas pertolongan projeksi stereografik. izinkan E n menunjukkan R n ∪ {∞},yang ,ruang(spasi n riil dimensional yang diperluas oleh suatu titik di takhingga. Kita boleh menggambarkan suatu yang metrik, chordal metrik, di En oleh
di mana u dan v adalah setiap dua vektor di Rn dan ||*||adalah Norma Euclides yang umum. Kita juga menggambarkan
Hasil suatu ruang metrik di E n, yang menunjukkan jarak sepanjang suatu tali dari poin-poin yang sesuai di model hyperspherical, itu petakan secara bijektif kepada oleh projeksi stereografik. Untuk memperoleh suatu model dari geometri eliptik, kita menggambarkan yang lain metrik
Hasil itu adalah suatu model dari geometri eliptik.
5.
PERBANDINGAN DENGAN GEOMETRI YANG LAIN Euclid
Lobachevski
Riemann (eliptik) Satu (eliptik
tunggal)
Dua garis yang
Paling banyak
(hiperbolik) Paling banyak
berbeda saling
satu
satu
Titik
berpotongan
Dua (eliptik
Titik
pada Garis L yang
Satu dan hanya
ganda) Tidak ada garis
Yang melali P
diketahui dan P
satu
Setidaknya dua
yang sejajar
tidal pada L,a akan ada Suatu garis
dengan L akan
akan
Tidak akan
Terpisah menjadi dua oleh suatu titik
Garis sejajar
Jika suatu garis
Dimana-mana
Dimana-mana
berjarak sama
berjarak tidak
haruslah
sama Kemungkinan
berpotongan
atau tidak
dengan satu dari
mungkin
tidak
-
Akan memotong garis tersebut
dua garis yang sejajar,maka garis tersebut Hipotesis
Hipotesis sudut
Hipotesis sudut
Hipotesis sudut
Saccheri yang
siku-siku
lancip
tumpul
valid adalah Dua garis yang
Akan sejajar
Akan sejajar
Akan
berbeda akan
berpotongan
tegak lurus dengan garis yang sama maka Jumlah sudut
Akan sama
Akan kurang
Akan lebih dari
1800
suatu segitiga Luas segitiga
dengan Akan bebas
dari Sebanding
Sebanding
Jumlah sudutnya
Dua segitiga yang mempunya sudut sehadap sama besar akan
Sama besar
dengan
dengan
kekurangan kongruen
kelebihan kongruen
