Bab 7 Integral Riemann

INTEGRAL RIEMANN

7.1. Integral Riemann Partisi danTanda danTanda Partisi

Jika

 ∶=  , , 

ℝ  ∶= (, ,…,, )  =  <  , … <  <   =   ∶= ∶=  , ,   ∶=  , ,  ∶=  ,  , … ,   ∶=  ,  adalah interval tertutup terbatas pada

, maka sebuah

partisi(bagian) dari I adalah terbatas, order himpunan dari titik-titik di I sedemikian sedemikian hingga

(Lihat gambar 7.1.1) Titik di Pdigunakan untuk membagi

ke dalam

interval-interval bagian yang tidak tumpang tindih sebagai berikut :

•

•

•

•

a = x0

•

x1

•

x2 x3 xn-1

Gambar 7.1.1 Partisi

•

•

•

•

xn = b

dari

, , 

=  ,   ∶=   −  ,  −  ,…, −  

Biasanya kita akan menunjukkan partisi Pdengan notasi P

kita

mendefinisikan norma dari P:

Sehingga aturan partisi hanya panjang dari interval bagian terbesar ke dalam bagian partisi

, , 

. Jelas bahwa banyak partisi memiliki aturan yang sama, maka

partisi tersebut bukan fungsi dari suatu norma. Jika sebuah titik t i telah dipilih dari masing-masing interval bagian untuk

 = 1,1,2,3, … , 

 =  , 

,

, maka titik tersebut disebut tanda dari interval bagian I i.

( , , ) = (

Sebuah pasangan himpunan P

dari interval bagian dan sesuai

tanda disebut tanda partisi dari I ; lihat gambar 7.1.2. (titik di atas Pmenunjukkan bahwa sebuah tanda telah dipilih untuk masing-masing interval bagian). Kita dapat memilih tanda di titik akhir kiri, atau titik akhir kanan atau di titik tengah dari interval bagian, dan sebagainya. Karena masing-masing tanda dapat dipilih 1 Analisis Real, 2011 Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)

Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

dengan berbagai cara, maka masing-masing partisi dapat di tandai dalam berbagai cara. Aturan dalam menandai partisi didefinisikan untuk partisi biasa dan tidak bergantung pada pilihan tanda. t1

•

•

t 2

•

t 3

•

a = x0

•

t n

•

x1

•

•

•

x 2

• x 3

• x n-1

x n = b

Gambar 7.1.2 Penandaan

partisi dari

, , 

JikaP adalah tanda partisi seperti yang diberikan, kita definisikan jumlah Riemann dari fungsi

:: , ,  ℝ  (; (;)) ∶= (  ()( −  ) 

sesuai pada Pmenjadi bilangan (1)

Kita juga akan menggunakan notasi ini ketika Pdinotasikan sebagai bagian dari partisi dan bukan keseluruhan partisi. Pembaca mungkin mengira bahwa jika fungsi f positif positif pada

, , 

, maka jumlah

Riemann (2) adalah jumlah dari luas persegi m dimana alasnya adalah interval bagian

 ∶=  , 

dimana tingginya adalah

()

Gambar 7.1.3 Jumlah

. (lihat gambar 7.1.3)

Riemann

Definisi Integral Riemann

2 Analisis Real, 2011 Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)


dengan berbagai cara, maka masing-masing partisi dapat di tandai dalam berbagai cara. Aturan dalam menandai partisi didefinisikan untuk partisi biasa dan tidak bergantung pada pilihan tanda. t1

•

•

t 2

•

t 3

•

a = x0

•

t n

•

x1

•

•

•

x 2

• x 3

• x n-1

x n = b

Gambar 7.1.2 Penandaan

partisi dari

, , 

JikaP adalah tanda partisi seperti yang diberikan, kita definisikan jumlah Riemann dari fungsi

:: , ,  ℝ  (; (;)) ∶= (  ()( −  ) 

sesuai pada Pmenjadi bilangan (1)

Kita juga akan menggunakan notasi ini ketika Pdinotasikan sebagai bagian dari partisi dan bukan keseluruhan partisi. Pembaca mungkin mengira bahwa jika fungsi f positif positif pada

, , 

, maka jumlah

Riemann (2) adalah jumlah dari luas persegi m dimana alasnya adalah interval bagian

 ∶=  , 

dimana tingginya adalah

()

Gambar 7.1.3 Jumlah

. (lihat gambar 7.1.3)

Riemann

Definisi Integral Riemann



Sekarang kita akan mendefinisikan Integral Riemann dari fungsi f pada Interval

, , 

.

7.1.1 Definisi

, :: , ,  ℝ ,  ∈ℝ Ԑ , ,   <  Ԑ ( ;; ) −   < , ,  

Sebuah fungsi bilangan L

disebut Integral Riemann pada

dimana untuk setiap  > 0 terdapat

tanda partisi dari

dengan

> 0 dimana jika P adalah 

, maka

Himpunan dari semua fungsi Intergal Riemann pada R

, , 

.

jika jika terdapat

dinotasikan dengan

Catatan : Kadang dikatakan bahwa integral L adalah “limit” dari jumlah j umlah Riemann S ( f f ;P)sebagai norma

  ,

dari

 



f ; P) bukan fungsi 0. Bagaimanapun, karena S ( f

limit ini bukan seperti yang kita pelajari sebelumnya.

∈ , , 

Pertama kita akan menunjukkan bahwa jika f R

, maka bilangan Lditentukan

secara tunggal. Ini kemudian disebut Integral Riemann dari f terhadap terhadap Untuk L, biasanya kita menuliskannya menuliskannya dengan

, , 

.

  =     =  (()

atau

Dapat dipahami bahwa setiapnotasi selain x dapat digunakan untuk tampilan selanjutnya, selama hal itu tidak menimbulkan hasil tak tunggal.

7.1.2. Teorema

∈ , , 

Jika f R

, maka jumlah dari integral Riemann dapat dihasilkan secara

tunggal. Bukti :

" ( ;; ) −   <

Asumsikan bahwa L dan L keduanya terdefinisi dan ambil  > 0. Maka terdapat

 Ԑ/ ′

′

> 0 dimana jika P1 adalah tanda partisi dengan ′

 /2.

 <  Ԑ/ ′

, maka

3

Analisis Real, 2011 Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)


 < " Ԑ/ "Ԑ/ ( ;; ) − "  < Ԑ ∶=  Ԑ/, "Ԑ/  <  Ԑ ( ;; ) −   < ( ;; ) − "  <  − " =  − ( ;; ) +  ( ;; ) − " ≤  − ( ;; ) +  ( ;; ) − "  < Ԑ2 + Ԑ2 = Ԑ

Juga terdapat maka

> 0 dimana jika P2 adalah tanda partisi dengan  /2

Sekarang ambil dengan

,

> 0 dan ambil Psebagai tanda partisi

′

. Karena

′

 /2 dan

 /2, maka

akan mengikuti Pertidaksamaan Segitiga yaitu ′

′

′

Karena  > 0, maka L′ = L". (Artinya, jumlah Integral Riemann dihasilkan secara tunggal)

7.1.3. Beberapa Contoh

, , ,  ,  ( , , ) () ∶=  ∈  , ,  ∶= ∶= ( , ,  ( ;; )  (, )= ( − )  <  Ԑ Ԑ ∶= 1 ( ;P; P) − ( − ))  = 0< Ԑ ∈ , ,    = ( − ) 0,3 ℝ g() ∶= 2 0 ≤  ≤ 1 g() ∶= 3 1 <  ≤ 3. g = 8 (a) setiap fungsi konstan pada

berada dalam R

untuk semua x

Ambil

tanda partisi dari

Untuk  > 0 , kita simpulkan bahwa f R

(b) Ambil g :

untuk

. Jika P

, maka jelas bahwa

Untuk sembarang  > 0, kita pilih



.

adalah

=

maka jika

.

, maka :

dan

didefinisikan sebagai

untuk

, dan

Sebuah pengamatan awal berdasarkan graf pada g

(lihat gambar 7.1.4), anggap kita mungkin mengharapkan bahwa

.



Gambar 7.1.4.

Misal Padalah tanda partisi dari bagaimana mencari



0,3

Graf g



dengan norma < ; dapat kita tunjukkan

(g ;) − 0,1

dengan tujuan untuk menunjukkan bahwa

8 < () = 2 (1,3 g() ∶= 3

. Ambil P1 sebagai himpunan bagian dari P memiliki tanda di

dimana

, dan ambil P2 sebagai himpunan bagian dari P yang memiliki tanda di

, dimana

.

Maka kita peroleh

S(g; P) = S(g; P1) + S(g; P2).

 <  ∈  0,1 − ∈  ,  ≤ 1−  0,1 −    +  ≤ 1 ∈  0,1 0,1 + ∈  0,1  ≤ ≤  , jika u

Karena

sehingga

<

dan u

, untuk tanda t i

maka

. Sehingga, interval

terdapat di dalam gabungan seluruh himpunan bagian pada Pdengan tanda . Hal yang sama, gabungan ini berada dalam

t i

. Karena g(t i) = 2

pada tanda ini, maka kita peroleh 2(1 – )

S(g;P1)

2(1 + ).

Pendapat yang sama menunjukkan bahwa gabungan dari semua himpunan bagian

∈  0,3 1− ,3  ≤ ≤ 

dengan tanda t i

dan terdapat dalam 3(2 – )

S(g;P2)

terdapat dalam interval

1+ ,3 

dengan panjang 2 –

dengan panjang 2 + . Sedemikian hingga

3(2 + ).



Jumlahkan pertaksamaan ini dan gunakan persamaan (3), kita dapatkan : 5 Analisis Real, 2011 Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)


≤ (g;) − 8 = 0 ≤  8–5

S(g;P) = S(g;P1) + S(g;P2)

Sedemikian hingga diperoleh :

≤ 

8 + 5 .

5

Ԑ Ԑ ∶= (g;) − 8  <   <  Ԑ ∈ 0,3  g = 8 ∈ 0,1

Untuk mendapatkan hasil akhir <, maka dapat kita ambil

<  /5.

Buat beberapa pilihan (sebagai contoh, jika kita ambil menelusuri argumen dan lihat bahwa

> 0, kita telah membuktikan bahwa g R

(c) Ambil

ℎ() ∶= ∈  0,1

 /10), kita dapat

 untuk

dan bahwa

, akan kita tunjukkan bahwa h R

. Karena 

, sesuai prediksi.

.

Kita akan tunjukkan suatu ‘trick’ untuk memudahkan kita menebak nilai dari integral dengan mempertimbangkan pilihan tertentu dari titik tanda. Memang, jika

()

0, 1  =  ,  ∶=  ( +  )  ∶= ( ,) ℎ()( −  ) = 12 ( +  )( −  ) = 12 ( −  ) 1 (ℎ;) =  2 ( −  ) = 12 (1 − 0 ) = 12 0,1 < ∶=  ,  −      −      adalah partisi dari

dan kita pilih tanda dari interval

sebagai titik tengah

maka kontribusi pada bagian ini kepada

jumlah Riemann sesuai dengan tanda partisi

adalah :

Jika kita masukkan bagian ini dan catat jumlah teleskop, kita peroleh

Sekarang ambil P maka

menjadi tanda partisi dari

dengan

< untuk i = 1, 2, ...., n. Begitupun, ambil Q titik partisi yang

sama, tapi kita memilih tanda kedua dan

sebagai titik tengah dari interval I . Karena

di dalam interval, kita dapatkan

< . Gunakan

pertidaksamaan segitiga, dihasilkan

  (ℎ;) −  (ℎ;) =  ( −  ) −   ( −   )    ≤  −  ( −  ) <   −   =  ( −  ) = 

6



(ℎ;) =  (ℎ;) −  . Karena

, kita anggap bahwa Ptanda partisi dengan

<

, maka

<

Sehingga kita dapat mengambil menelusuri

argumen

   =  . () ∶= 1 (d) Ambil

untuk

untuk

Ԑ ≤

menyimpulkan

 =  ,  ,  ,  ∈ 0,1  = 0. , dan

Akan kita tunjukkan bahwa F R

Ԑ =  ∈ 0,1  ℎ = 0,1 () ∶=0

. Jika kita pilih bahwa

, kita dapat

h R

dan

selainnya pada

.

dan

Terdapat empat titik dimana F tidak nol, masing-masing bisa terdapat pada dua interval bagian yang diberikan oleh tanda partisi P. Hanya term ini yang akan memberikan hasil tidak nol pada

(;)

. Artinya kita pilih

Ԑ

<  /8.

<Ԑ ,,,  (;) (;) = (;) + (;) = (; ) (;) Ԑ, 0 < (;) = (;) < 8. Ԑ = Ԑ ∈ 0,1   = 0. ()∶= 1/  =  ( ∈ ) ()∶= 0 0,1  () ≥  Ԑ ∶= (2Ԑ)  Ԑ   ≤ Ԑ ∈ 0,1   = 0. Jika

, ambil P0 sebagai himpunan bagian dari Pdengan tanda yang berbeda

, dan ambil P1 sebagai himpunan bagian dari P dengan tanda pada titik-

titik

ini.

Karena

=0,

akan

terlihat

bahwa

. Karena terdapat paling banyak 8

bagian pada

Sehingga, F R (e) Ambil

dan masing-masing < 1.

kita simpulkan bahwa

dan

untuk

dan

, untuk selainnya pada

.

Diberikan  > 0, ambil

sebagai himpunan (berhingga) pada titik-titik dimana

. Ambil n sebagai bilangan pada titik di

Ambil Psebagai tanda partisi sedemikian hingga himpunan bagian dari Pdengan tanda diluar bagian dari Pdengan tanda di dalam 0

S (G;P) = S (G;P1)< (2n)

dan ambil <

 /

.

. Ambil P0 sebagai

dan ambil P1 sebagai himpunan

. Sama halnya seperti (d), kita peroleh

= 

Karena  > 0, kita simpulkan bahwa G R

dan



Beberapa Sifat dari Integral

Kesulitan melibatkan dalam menentukan nilai intergal dan

Ԑ

anggap bahwa itu

akan berguna untuk memperoleh teorema umum. Hasil pertama pada arah ini memungkinkan kita untuk mengkombinasi bentuk tertentu dari fungsi integral.

7.1.4. Teorema

, ,   =   ∈ℝ ,  ( + ) =  +  () ≤ g() ∈  ,  ≤ g

Anggap f dan g berada di R (a) Jika

. Maka :

, fungsi kf berada dalam R

(b) Fungsi f + g di dalam R

dan

dan

untuk semua x

(c) Jika

, maka

Bukti :

∶=  .,

Jika P

adalah tanda partisi dari

ditunjukkan bahwa

S (kf ;P) = kS ( f ;P),

≤

S ( f ;P)

(a)

Kita akan membuktikan : Jika

.

∈ℝ

, maka akan mudah untuk

S ( f + g ;P) = S ( f ; P) + S ( g ;P), S (g;P)

, fungsi kf berada dalam R

Bukti :

,

,   =   maka

Diberikan  > 0, kita dapat gunakan pernyataan pada pembuktian pada Teorema Ketunggalan 7.1.2 untuk membangun nilai

 <  Ԑ  (;) −   < Ԑ  ( ;) −   < Ԑ   =  

hingga jika P tanda partisi dengan S (kf ;P) = kS ( f ;P) :

Sehingga diperoleh (b)

Ԑ

> 0

sedemikian

, makadengan menggunakan

Kita akan membuktikan :



Fungsi f + g di dalam R Bukti : Diberikan  > 0,

 <  Ԑ

Ԑ

,  ( + ) =  +  dan

> 0 sedemikian hingga jika P tanda partisi dengan

, maka keduanya

(4)

 ( ;) −    < Ԑ/2  (g;) −  g  < Ԑ/2

dan

Kita gunakanS ( f + g ;P) = S ( f ; P) + S ( g ;P), sehingga :

    (  +g;) −   +  g  = ( ;) + (g;) −   −  g Dengan pertidaksamaan segitiga, diperoleh :   ≤ ( ;) −   +  (g;) −  g

< Ԑ2 + Ԑ2 = Ԑ ∈ ,     ( + ) =   +  

Karena  > 0, kita simpulkan bahwa f + g R

dan integral ini adalah

jumlah dari integral f dan g, dapat ditulis

(c)

Kita akan membuktikan : Jika

() ≤ g()

untuk semua x

Ambil persamaan (4) di atas :

∈  ,  ≤ g , maka



 Ԑ  Ԑ ( ;) −   < 2 (g;) −  g < 2 Ԑ− 2 <  ( ;) −   < Ԑ2 − Ԑ2 <  (g;) −  g < Ԑ2   sehingga  −  /2
 − ≤ g +  /2

≤

S ( g ;P),

kita peroleh

 /2

    ≤  g + Ԑ   Tapi karena  > 0, maka   ≤   g

Teorema keterbatasan

Sekarangakankita tunjukkan bahwa sebuah fungsi yang tidak terbatasan tidak dapat menjadi Integral Riemann.

7.1.5 Teorema

∈ ,

Jika f R

, maka f terbatas pada

Bukti :

, ,

Kita asumsikan bahwa f adalah fungsi yangtidak terbatas pada R



dengan

integral L. Dan terdapat > 0, sedemikian hingga jika Padalah tanda partisi dari

, (5)

   ( ;) −   < 1, ( ;) <   + 1 ,  =  ,   , ,   , (,,…,) dengan

< , maka diperoleh

Sekarang ambil Karena

sebagai partisi dari

tidak terbatas pada

bagian di Q, disebut

dengan

    , < .

, maka terdapat paling sedikit satu interval

, dimana

terbatas pada tiap interval bagian oleh

yang menghasilkan

tidak terbatas padanya. Jika

oleh M, maka akan terbatas pada



Sekarang akan kita ambil tanda untuk Q yang akan menghasilkan kontradiksi untuk (5). Kita tandai Q dengan

,

, sedemikian hingga

 ∶=  

 ≠

untuk

dankita ambil

 ∈

 ()( −  ) >   + 1+  (   )( −   )    +  ≥   −   (;) ≥  ()( −  ) −  ()( −  ) >   + 1

Dari pertidaksamaan Segitiga (dalam bentuk

) kita peroleh

Yang kontradiksi dengan (5).

Akan kita tutup pembahasan ini dengan contoh fungsi yang tidak kontinu pada setiap bilangan rasional dan tidak monoton, namun integral Riemannnya.

7.1.6. Contoh

0,1 ℝ ℎ() ∶= 0  ∈  0,1 ℎ(0)∶= 1 ℎ() ∶= 1/  ∈  0,1  = / , ∈  Kita anggap didefinisikan fungsi Thomae h : 5.1.5(h), dengan

jika

jika



, sama seperti contoh

adalah rasional,

bilangan rasional

dan dengan

untuk

, tidak

memiliki faktor umum bilangan bulat kecuali 1. Akan terlihat pada 5.1.5(h) bahwa h kotinu pada setiap bilangan irrasional dan tidak kontinu pada setiap bilangan

∈ 0,1 Ԑ ∶=   ∈  0,1:ℎ)0 ≥ Ԑ/2 Ԑ Ԑ Ԑ ∶= Ԑ/ (4Ԑ)  Ԑ Ԑ 0,1 2Ԑ 2ԐԐ = Ԑ/2 0 < ℎ() ≤ 1 ≤ 1 ℎ() < Ԑ/2 ( ℎ ;  ) 1.2ԐԐ + ( Ԑ/2).1 = Ԑ ∈ 0,1 rasional di

0,1

. Akan kita tunjukan bahwa h R

.

Ambil  > 0 maka himpunan terbatas. Ambil

adalah himpunan

sebagai bilangan pada elemen

Jika P adalah tanda partisi dengan dari P memiliki tanda di selainnya di

<

dan ambil

, ambil P1 sebagai himpunan bagian

dan P2 sebagai himpunan bagian dari Pmemiliki tanda

. Kita amati bahwa P1 memiliki paling besar

total panjangnya <

.

dan bahwa

interval yang

untuk setiap tanda di

P1. Begitupun total panjang dari himpunan bagian di P2 adalah

dan

untuk setiap tanda di P2 . Sehingga kita peroleh = S ( h;P1) + S ( g ;P2) <

Karena  > 0, kita simpulkan bahwa h R

dengan integral 0.



7.2 Fungsi Integral Riemann

Kita mulai dengan pentingnya Kriteria Cauchy. Kemudian akan kita buktikan Teorema Squeeze, yang akan berguna dalam menetapkan keintegralan Riemann untuk beberapa kelas fungsi (langkah fungsi, fungsi kontinu, dan fungsi monoton). Akhirya kita akan menetapkan Teorema Penjumlahan. Kita telah mengenal bahwa yang menggunakan langsung definisi kita tahu nilai integral. Kriteria Caauchy menghilangkan kebutuhan ini, tapi pada kebutuhan mempertimbangkan dua Jumlah Riemann, bukanhanya satu.

7.2.1. Kriteria Cauchy

,  ∶ , ℝ Ԑ > 0 ,  Ԑ  Ԑ ( ;)− (;)  < Ԑ  ∈ , Ԑ ∶=  Ԑ/2 > 0  Ԑ  Ԑ ( ;) −   < Ԑ/2 ( ;) −   < Ԑ/2 ( ;)− (;)  ≤  ( ;) −  +  −  ( ;) ≤  ( ;) −   +   − ( ;) < Ԑ2 + Ԑ2 = Ԑ  ∈   > 0  ( ;)− (;)  < 1/   ∈   ≥    ∶ min,…, ∈    ( ;) −  ( ;) <1/ ( ;) ℝ ℝ  ∶= (;) Sebuah fungsi



 > 0, terdapat 

sedemikian hinggaP dan Qmerupakan tanda partisi dari

dengan

< dan

, terintegral di R

jika dan hanya jika untuk setiap

< , maka

Bukti :

() Jika

dengan integral L, ambil 

jika P , Q adalah tanda partisi dimana

sedemikian hingga

< dan

< , maka

dan

Sehingga diperoleh

() Untuk masing-masing

sedemikian hingga jika P dan Q

, ambil

adalah tanda partisi dengan norma <

, maka

Dapat kita asumsikan bahwa tempatkan

untuk

dengan

Untuk setiap

.

, ambil Pn sebagai tanda partisi dengan

> n maka kedua Pm dan Pn memiliki norma < (1)

Akibatnya, barisan

, di lain pihak, kita

<

. Jelas, jika m

, sehingga

untuk m > n

adalah barisan Cauchy di

teorema 3.5.5) barisan ini konvergen di

dan kita ambil

. Sehingga (dengan . 12



Berdasarkan pada limit di (1) sebagai m



∞

, kita peroleh

( ;) −   ≤ 1/ ∈  <   ∈ ( ;)−  ≤  ( ;)− ( ;)+  ( ;)−  ≤ 1 + 1 < Ԑ  ∈ , untuk semua

Untuk melihat bahwa A adalah Integral Riemann pada f , diberikan  > 0, ambil untuk K > 2/ . Jika Q tanda partisi dngan

Karena  > 0, maka

, maka

dengan integral A.

Sekarang akan kita beri contoh yang menggunakan Kriteria Cauchy.

7.2.2 Contoh

0,3 ℝ   

(a) Ambil g :

sebagai fungsi yang bersesuaian dengan contoh 7.1.3(b).

Pada contoh tersebut kita lihat bahawa jika P adalah tanda partisi dari norma

< , maka

0,3

dengan

8 − 5 ≤ (g;) ≤ 8 + 5   8 − 5 ≤ (g;) ≤ 8 + 5 (g;) − (g;) ≤ 10 Ԑ ∶= Ԑ/20

Jika Q tanda partisi yang lain dengan

< , maka

Jika kita subtitusikan kedua pertidaksamaan ini, kita peroleh

Agar hasil akhirnya <, maka kita diperbolehkan untuk mempergunakan Kriteria Cauchy dengan 

.

: 0,3 ℝ

(b) Kriteria Cauchy dapat digunakan untuk menunjukkan fungsi f



bukan

integral Riemann. Untuk melakukan ini kita harus menunjukkan bahwa : Terdapat 0>

0

sedemikian

hingga

untuk

  ( ;) −  ( ;) ≥ Ԑ  () ∶= 1  ∈  0,1

partisiPdanQdengan

< dan

> 0

setiap 

terdapat

tanda

< sedemikian hingga:

Kita akan memberlakukan catatan untuk fungsi Dirichlet, berdasarkan 5.1.5(g) didefinisikan

0,1

irrasional.

jika

adalah rasional dan

() ∶= 0  ∈ jika



Ԑ ∶= 1/2 ( ;) = 1 ( ;) = 0.

Kita ambil maka

. Jika P adalah partisi dari semua tanda bilangan irrasional

, sedangkan jika Q adalah partisi dari semua tanda bilangan

irrasional maka

Karena kita dapat mengambil beberapa tanda partisi

dengan secara tiba-tiba memiliki norma kecil, kita simpulkan bahwa fungsi Dirichlet bukan Integral Riemann.

Teorema Squeeze

Hasil berikutnya akan digunakan untuk menetapkan keintergalan Riemann untuk beberapa kelas fungsi yang penting. 7.2.3 Teorema Squezze

 ∈  , ℝ  ∈ , Ԑ Ԑ , Ԑ ≤ () ≤  Ԑ()  ∈  , ( Ԑ −  Ԑ)< Ԑ Ԑ =  Ԑ =  Ԑ =  Ԑ ( Ԑ −  Ԑ) = 0 = 0 < Ԑ ( Ԑ −  Ԑ) ( Ԑ −  Ԑ)< Ԑ Ԑ Ԑ , Ԑ > 0  Ԑ (Ԑ;) −  Ԑ < Ԑ (Ԑ;) −  Ԑ < Ԑ   (Ԑ;) −   Ԑ < Ԑ  (Ԑ;) −   Ԑ < Ԑ 

Ambil

terdapat fungsi

jika dan hanya jika untuk semua  > 0,

. Maka

dan

di

(2)

dengan

untuk semua

. Dan dimana

(3)

Bukti () Ambil

untuk semua  > 0. Secaraa tak langsung sudah

memenuhi (2), kemudian akan dibuktikan (3) : Ambil

,

karena

maka

sehingga memenuhi

() Ambil  > 0. Karena

dan

berada di

sedemikian hingga jika P adalah tanda partisi dengan

, maka terdapat

<

, maka

dan

 −Ԑ < (Ԑ;) −   Ԑ < Ԑ

sehingga

 − Ԑ <  (Ԑ;) −   Ԑ < Ԑ

 Ԑ − Ԑ <  (Ԑ;) (Ԑ;) <  Ԑ + Ԑ (Ԑ;) ≤  ( ;) ≤  (Ԑ;) dan

Dari pertidaksamaan (2), kita peroleh

, sehingga 14



   Ԑ − Ԑ < ( ;) <   Ԑ + Ԑ Jika  tanda partisi yang lain dengan  <  Ԑ , maka kita peroleh juga    Ԑ − Ԑ <  ( ;) <   Ԑ + Ԑ Kita subtitusikan kedua pertaksamaan ini dan gunakan (3), kita simpulkan bahwa  (;) <  Ԑ + Ԑ  Ԑ − Ԑ < ( ;)atau −( ;) < −  Ԑ + Ԑ   ( ;) − ( ;) <   Ԑ + Ԑ −   Ԑ + Ԑ   ( ;) −  ( ;) <   Ԑ −  Ԑ + 2Ԑ  =  (Ԑ −  Ԑ)+ 2Ԑ < 3Ԑ Karena

Ԑ > 0,

Kriteria Cauchy menunjukkan bahwa

 ∈ ,

.

Kelas Fungsi Integral Riemann

Teorema Squezee sering digunakan dalam koneksi kelas dalam langkah fungsi. Perlu diingat dari Definisi 5.4.9 fungsi

: , ℝ 

adalah langkah fungsi jika ia

hanya memiliki bilangan berhingga dari nilai berbeda, masing-masing nilai berasal dari asumsi dari satu atau lebih interval bagian dari dari langkah fungsi. Lihat gambar 5.4.3 atau 7.1.4.

7.2.4. Lemma

Jika J adalah interval bagian dari

∶= 1  ∈  ()∶= 0    =  − . untuk

dan

,

,

. Sebagai ilustrasi

()  ∈  ,

memiliki titik akhir c
untuk selainnya di

,

, maka

dan

Bukti :



Jika

 =  ,

dengan

 ≤

dalam latihan 7.1.15 da dapat kita pilih

Ԑ ∶= Ԑ/4

.

Pembuktian yang sama dapat diberian untuk tiga interval bagian lainnya yang memiliki titik akhir ini. Alternatif lain, kita amati bahwa dapat kita tulis

(,) =  (,) −  (,) (,) =  (,) −  (,) (,) =  (,) −  (,)   (,) = 0, ,

Karena

dan

.

keempat dari fungsi ini memiliki integral sama dengan d

– c.

Hal ini fakta penting, bahwa setiap langkah fungsi adalah integral Riemann.

7.2.5 Teorema

Jika

 ∶ , ℝ 

adalah langkah fungsi, maka

Bukti :

 ∈ ,

.

Langkah fungsi dari tipe muncul dalamdari tipe 7.2.4 disebut “langkah fungsi elementary”. Dalam latihan 5 hal ini ditunjukkan bahwa sebuah langkah fungsi dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari beberapa langkah fungsi dasar : (4)

dimana



memiliki titik akhir

menunjukkan bahwa (5)

 ∈ R,

  =      <  . Lemma



dan teorema 7.1.4 (a,b)

dan bahwa

    =   ( −   ) 

Sekarang akan kita gunakan teorema Squeeze untuk menunjukan terdapatnya fungsi kontinu sebagai integral Riemann.

7.2.6 Teorema

Jika

 ∶ , ℝ

Bukti :



kontinu pada

,  ∈ R, , maka



, Ԑ> 0 Ԑ > 0 , ∈  ,  −  <  Ԑ    () − () < Ԑ/(b− a)  Ԑ  =    ∈     ∈    Ԑ Ԑ() ∶= ()  ∈  ,)( = 1,2,…, − 1) Ԑ()∶= ()  ∈  , Ԑ   Ԑ() ≤ () ≤ Ԑ()  ∈  , Mengikuti teorema 5.4.3 dimana f kontinu seragam pada maka terdapat

. Diberikan

sedemikian hingga jika

dan

maka kita peroleh Ambil

.

sebagai sebuah partisi sedemikian hingga

sebagai titik dimana f mencapai nilai minimum pada

sebagai titik dimana f mencapai nilai maksimum pada Ambil

<

, dan ambil

sebgai langkah fungsi didefinisikan sebagai

untuk

untuk

dengan definisi yang sama menggunakan titik

menjadi

, ambil

.

dan

Ambil

,

untuk semua

.

bukan . Maka satu

.

Lebih lanjut, jelas bahwa

  ( 0 ≤  ( Ԑ −  Ԑ) =   ) − ( )( −   )   Ԑ ( <     −   ) = Ԑ  − 

Karena itu, dengan mengikuti teorema squeeze diperoleh

 ∈ ,

Fungsi monoton tidak selalu kontinu pada setiap titik, tapi fungsi monoton adalah juga integral riemann.

7.2.7. Teorema

,  ∈ R, ,  <  Ԑ >0 ∈ ℎ ∶=  () − () <  −Ԑ   ∶=  () + ℎ  = 0,1,…, ∶= (,))  = 1,…, − 1  ∶=  ,   ,  Jika

 ∶ , ℝ 

monoton pada

, maka

.

Bukti :

Anggap bahwa f meningkat(increasing) pada interval , kita ambil

,

. Jika diberikan

sedemikian hingga

Ambil

untuk

untuk

dan

dan

yang diuraikan berpasangan dan memiliki gabungan

Teorema 2.5.1 menunjukkan bahwa setiap

sesuai

himpunan



. Himpunan

. Karakteristik dari

jika tidak (i) kosong, (ii) mengacu 17



pada satu titik atau (iii) berupa tidak menghasilkan interval (tidak selalu tertutup) di

,

. Kita buang himpunan yang sesuai dengan (i). Jika kita dampingkan titik

      _  , =    () ∈  ,  ∈  Ԑ Ԑ , Ԑ() ∶= Ԑ() ∶=   ∈ . Ԑ() ≤ () ≤ Ԑ()   ∈  ,   ( Ԑ −  Ԑ) = ( −  )( −  )  = ℎ. ( −  ) = ℎ. ( − ) < Ԑ Ԑ > 0  ∈ R, akhir kepada interval sisa

, kita peroleh interval tertutup

untuk menunjukkan bahwa interval sesuai , hingga

dan

untuk

dan

.

pada

dengan mengatur

untuk

Jelas bahwa

Karena

adalah diuraikanberpasangan

dan

Sekarang kita definisikan langkah fungsi

. Jadikan latihan

untuk semua

dan bahwa

, maka teorema squeeze menyiratkan

Teorema Penjumlahan

Sekarang

kita

kembali

ke

fungsi

integral

Riemann.

Hasil

selanjutnya

menunjukkan bahwa integral adalah sebuah “fungsi penjumlahan” dari interval dimana fungsi adalah terintegral. Sifat ini tidak lagi mengejutkan, tapi ini membuktikan bahwa sedikithalusdan dapatdihilangkanpadapembacaanpertama.

7.2.8. Teorema Penjumlahan

Ambil

 ∶ , ℝ 

 ∈  ,  ∈ , , ,     =  +   ,  ,    Ԑ> 0

dan ambil

ada pembatasan untuk hal ini (6)

Bukti :

dan

. Maka

jika dan hanya jika

keduanya adalah integral Riemann. Dalam

() Anggap bahwa dibatasi kepada terintegral Riemann pada masing-masing

dan

dan

dibatasi kepada

. Dan diberikan

, terdapat



,    > 0 ( ;) −  < Ԑ/3 " "> 0 ,   (  ;)−  < Ԑ/3    Ԑ ∶=   ,",Ԑ/6M ,  <  ( ;) − ( −  ) < Ԑ  ,  , ( ;) =  ( ;) +" ( ;),      = ( ,)  ≤  ,  ∈ ( ,)  ∶= (,),(,),…,(,),(,,) ,   ∶= ( ,.)(,),…, (,),  ( ;)− ( ;)− ( ;) = ()( −  )− ()( −  ) = ()− ().( −  ) ( ;)− ( ;)− ( ;) ≤ 2( −  ) < Ԑ/3  <  ≤    <  ≤  " ( ;) −  < Ԑ/3 ( ;) −   < Ԑ/3 Ԑ >0  ∈ ,  ∈ , Ԑ > 0, Ԑ > 0 ,   ,  < Ԑ  < Ԑ  , ,   sedemikian hingga jika P1 adalah tanda partisi dari

maka

. Juga terdapat

adalah tanda partisi dari

Jika M adalah batas untuk

dengan

dengan

sedemikian hingga jika

<

maka

.

, kita definisikan

P sebagai tanda partisi dari

< ,

dan ambil

dengan

. Akan kita buktikan bahwa (7)

(i) Jika c adalah titik partisi dari Q, kita pisahkan Q ke dalam sebuah partisi dari

dan sebuah partisi

dan karena

dari

. Karena

memiliki norma< dan

memiliki norma <

,

maka pertidaksamaan (7) jelas.

(ii) Jika c bukan titik partisi di hingga

terdapat

sedemikian

. Kita ambil Q1 sebagai tanda partisi dari


Dan

sebagai tanda partisi dari


Sebuah perhitungan sederhana menunjukkan bahwa

Yang mengikuti

.

Tapi karena

dan

, mengikuti

dan

.

Dari mana kita mendapatkan (7). Karena

, kita nyatakan

dan

memenuhi (6). () Anggap

dan diberikan

Cauchy 7.2.1. Ambil

sebagai pembatas dari f pada

sebagai tanda partisi dari

menambahkan

memperpanjang

partisi

dan

ambil 

dengan

penjumlahan

dan



tanda

mengikuti Kriteria , dan ambil

dan



dari

kita

kepada tanda partisi P dan Q dari

,

. Dengan dapat

sedemikian 19



 <

Ԑ dan  < Ԑ. Jika kita gunakan titik penjumlahan yang sama dan



tanda di



,

untuk kedua P dan Q, maka

( ;) −  ( ;) =  ( ;)− (;) < Ԑ ( ;) −  ( ;) < Ԑ   , ,   , , Karena kedua P dan Q memiliki norma



, maka

.

Sedemikian hingga Kondisi Cauchy menunjukkan pembatas yaitu dalam

kepada

dari

kepada

. Dengan cara yang sama, kita lihat pembatas

yaitu dalam

dari

.

Persamaan (6) sekarang mengikuti bagian pertama dari teorema.

7.2.9. Corollary

Jika

 ∈ , , ⊆  , ,  ∈ ,  ∈  , ,  ∈  , , dan jika

dalam

,

, maka pembatas dari f pada

berada

.

Bukti :

Karena

dan

berada dalam

, mengikuti teorema bahwa pembatas

.. Tapi jika

maka aplikasi lain dari teorema

menunjukkan bahwa pembatas dari f pada

7.2.10. Corollary

Jika

 ∈ ,

dan jika

berada dalam

 =  <   < ⋯ <   = , ,      =    

masing-masing interval bagian

,

,

.

maka pembatas dari f pada

adalah integral Riemann dan

Hingga sekarang, kita telah mempertimbangkan bahwa Integral Riemann pada interval

,

dimana

<

7.2.11. Definisi

Jika

 ∈ ,

dan jika

. Mudah mendapatkan definisi integral lebih umum.

, ∈  ,   <    ∶= −  dengan

, kita definisikan

dan 20 Analisis Real, 2011 Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)


  ∶= 0 7.2.12 Teorema

Jika

 ∈ ,

dan jika

,,    ,   ∶=   +   sembarang bilangan di

Dalam arti bahwa keberadaan

maka (8)

untuk setiap dua integral ini menyiratkan

keberadaan integral ke tiga dan persamaan (8). Bukti :

,,

Jika setiap dua bilangan

adalah sama maka memenuhi persamaan (8).

Selanjutnya kita anggap, bahwa ketiga bilangan tersebut berbeda. Berdasarkan simetri, kami memperkenalkan istilah

   (,,) ∶=  +   +  

Jelas bahwa (8) terpenuhi jika dan hanya jika

(,,) = 0.

Sedemikian hingga,

=0 (,,) = (,,)

untuk membentuk pernyataan , kita harus menunjukkan bahwa kedelapan pernyataan permutasi

untuk

, 

dan .

Kita catat bahwa Teorema Penjumlahan 7.2.8. menunjukkan bahwa

0 << (,,) (,,) (,,),(,,) (,,)  di mana

dan

. Tapi dengan mudah dapat dilihat bahwa kedua

sama dengan

. Sehingga bilangan

dan

adalah sama dengan

−(,,)

. Sedemikian

hingga, hilang untuk semua konfigurasi yang mungkin dari ketiga titik ini.

7.3 Teorema Dasar Teorema Dasar (Formula Pertama) Pertama dari Teorema Fundamental menyediakan dasar teoritis untuk metode perhitungan yang integral yang pembaca pelajari dalam kalkulus. Hal ini menegaskan bahwa jika fungsi ƒ adalah turunan dari F fungsi dan jika ƒ milik integral



R [a, b], maka

ƒ dapat dihitung dengan cara evaluasi F = F (b) - F (a). Sebuah fungsi F

sedemikian sehingga

() = (x) ƒ

untuk semua x ∈ [a, b] disebut anti turunan atau



primitif dari f pada [a, b]. demikian, ketika f memiliki anti turunan, itu adalah hal yang sangat sederhana untuk menghitung integral. Dalam prakteknya, akan lebih mudah untuk memungkinkan beberapa poin yang luar biasa c di mana F '(c) tidak ada di R atau di mana tidak sama f (c). ternyata kita dapat mengizinkan sejumlah terbatas titik yang luar biasa tersebut.

7.3.1 Dasar Kalkulus (Formula Pertama) Misalkan ada E diatur terbatas pada [a, b] dan fungsi f , F: [a, b] R sedemikian sehingga: a.

F kontinu pada [a, b]

b.

F '(x) = f (x) untuk semua x ∈ [a, b] \ E

c. f Milik R [a, b] Lalu kami memiliki

(1)

 = F(b)− F(a) ƒ

Bukti. Kami akan membuktikan teorema dalam kasus di mana E = {a, b}. kasus

yang umum dapat diperoleh dengan melanggar/memutus interval ke dalam gabungan dari bilangan terbatas interval. Mari ε > 0 diberikan. Sejak ƒ ∈ R [a, b] dengan asumsi (c), terdapat δε> 0 sehingga P adalah setiap partisi dengan tag |P | < δε maka

(2)

| S (ƒ ; P) -



ƒ|<ε

Jika subinterval di P adalah { x i-1, xi} maka Teorema 6.2.4 Nilai Rata-rata diterapkan untuk F pada {x

i-1, x i}

menyiratkan bahwa ada µ i ∈ ( xi-1, xi) sehingga

F (xi) – F( x i-1) = F’(µ i) . (xi - xi-1)

for i = 1, …, n

Jika kita menambahkan istilah-istilah ini, perhatikan telescoping dari jumlah dan menggunakan fakta bahwa F’(µ i) = ƒ(µ i). kita mendapatkan F (b) – F (a) =

F (xi)– F( xi −1) =  

Sekarang mari P U = {([ xi - xi-1], µ i)

ƒ (µ i) (xi - xi-1).

jadi jumlah yang sama di sebelah

kanan δ (ƒ, P U). jika kita pengganti F (b) – F (a) = S ( ƒ, P U) ke (2), kami

menyimpulkan bahwa | F (b) – F (a) -



ƒ|<ε



Tapi karena ε > 0 adalah sewenang-wenang, kami menduga bahwa persamaan (1) memegang QED

Catatan Jika fungsi F terdiferensialkan pada setiap titik [a, b], maka (oleh Teorema 6.1.2) hipotesis (a) secara otomatis puas. Jika ƒ tidak ditentukan untuk beberapa titik c ∈ E, kita ambil ƒ(c) = 0, Bahkan jika F terdiferensialkan di setiap titik [a. b], kondisi (c) tidak secara otomatis puas karena terdapat fungsi seperti F yang tidak F' Riemann integrable (lihat contoh 7.3.2 (e)

7.3.2 Contoh 2

(a) jika F (x) = ½ x untuk semua x ∈ [a, b], maka F '(x) = x untuk semua x ∈ [a, b], selanjutnya ƒ = F’ 'kontinu sehingga dalam R [a, b]. maka Teorema Fundamental (dengan E = ∅) menyiratkan bahwa

 x dx

2

2

= F (b) – F (a) = ½ (b - a )

(b) jika G (x) = arctan x untuk x ∈ [a, b], maka G '(x) = 1 / (x 2 +1) untuk semua semua x

∈ [a, b], danjuga G adalah terus menerus, sehingga dalam R [a, b]. maka Teorema fundamental (dengan E = ∅) menyiratkan

 

dx = Arctan b – Arctan a

(c) jika A (x) = |x| for x ∈ [-10,10], maka A '(x) = -1 if x ∈ [-10,0] dan A' (x) = +1 untuk x ∈ (0,10). Mengingat definisi fungsi signum (dalam 4.1.10 (b)), kita memiliki A'(x) = sgn (x) for all x ∈ [-10,10] \ [0]. Karena fungsi signum adalah fungsi langkah, itu milik R [-10,10]. Oleh karena itu Teorema Fundamental (dengan E = [0]) menunjukkan bahwa

  ()  =  (10)− (−10) = 10−10 = 0  

(d) jika H (x) 2

for x ∈ [0, b] maka H kontinu pada [0, b] dan H '(x) = 1 /

 

untuk x

∈ [0, b]. karena h = H 'tidak dibatasi pada [0, b], itu bukan milik R [0, b] tidak peduli



bagaimana kita mendefinisikan h (0). Oleh karena itu Teorema Dasar 7.3.1 tidak berlaku. (Namun, kita akan lihat Contoh 10.1.10 (a) h yang umum Riemann terintegrasikan pada [0, b]). (e) membiarkan K (x) = x 2 cos (1 / x 2) untuk x ∈ [0,1] dan membiarkan K (0) = 0. Ini mengikuti dari Produk Aturan 6.1.3 (c) dan Aturan Rantai 6.1.6 bahwa

2

2

K’(x) = 2x cos (1/x ) + (2/x) sin (1/x )

for x ∈[0,1]

Selanjutnya, seperti dalam contoh 6.1.7 (d), kita memiliki K '(0) = 0. Jadi K kontinu dan terdiferensialkan di setiap titik [0, 1]. Sejak semester pertama di K 'kontinu pada [0,1], itu milik R [0,1]. Namun istilah kedua K 'tidak dibatasi, sehingga tidak milik R [0,1] akibatnya K' ∉ R [0,1] dan Teorema Dasar 7.3.1 tidak berlaku untuk K '. (Namun, kita akan melihat pada Contoh 10.1.10 (b) bahwa K 'adalah Riemann umum integrable).

Teorema Dasar (Formula Kedua) Kami kini giliran Teorema Fundamental (Formula Kedua) yang ingin membedakan integral yang melibatkan batas atas variabel.

7.3.3. Definisi Jika ƒ ∈ R [a, b] maka fungsi yang didefinisikan oleh (3)

F(z) =



ƒ dx

untuk z ∈ [a, b]

Disebut integral tak terbatas f dengan titik dasar a. (Kadang-kadang titik selain digunakan sebagai titik dasar, lihat latihan 6).

Kami pertama-tama akan menunjukkan bahwa jika if ƒ ∈ R [a, b] maka F tidak terbatas ingtegral yang memenuhi kondisi Lipschitz, maka F kontinu pada [a, b]

7.3.4 Teorema

(1) F tidak terbatas didefinisikan oleh

F(z) =



ƒ dx

untuk z ∈ [a, b]

kontinu pada [a, b], pada kenyataannya, if | ƒ(x)| < M untuk semua kemudian

|F(z)-

F(w)| < M |z – w| untuk semua z, w ∈ [a, b]



Bukti. Aditif Teorema 7.2.8 menunjukkan bahwa jika z, w ∈ [a, b] dan w < z kemudian

F (z) =

  +  ƒ =

ƒ

Diperoleh F(z) – F(w) = Sekarang jika –M <



ƒ = F(w) +



ƒ

ƒ

ƒ(x) < M untuk semua x ∈ [a, b], maka Teorema 7.1.4 (c)

menunjukkan bahwa

 

- M ( z – w) <

ƒ < M ( z – w)

Mana hal berikut yang

|F(z) – F(w)| < | Seperti yang sudah ada

ƒ | < M | z – w|

Sekarang kita akan menunjukkan bahwa F integral tak tentu terdiferensialkan pada setiap titik di mana f kontinu

7.3.5 Teorema Dasar Kalkulus (Formula Kedua) Biarkan ƒ ∈ R [a, b] dan membiarkan f menjadi kontinu di titik c ∈ [a, b]. maka integral tak terbatas, ditetapkan oleh (3) terdiferensialkan pada c dan F '(c) = f (c). Bukti. Kami akan menganggap bahwa c ∈ [a, b] dan mempertimbangkan tangan kanan turunan F pada c. karena f kontinu di c, ε > 0 diberikan ηε > 0 terdapat c < x < c + ηε (4)

ƒ (c) - ε < ƒ (x) < (c) + ε

Biarkan h memenuhi 0 < h < ηε.. The aditif Teorema 7.2.8 menunjukkan bahwa f adalah terintegrasikan pada interval [a, c], [a, c + h] and [c, c + h] dan bahwa F (c + h ) – F (c) =



ƒ

Sekarang pada interval [c, c + h] fungsi f memenuhi ketimpangan (4), sehingga (oleh Teorema 7.14 (c)) kita (ƒ (c) - ε) . h < F (c + h ) – F (c) =



ƒ < (ƒ (c) + ε) . h

Jika kita membagi dengan h> 0 dan mengurangi f (c), kita memperoleh

 (  ) –  ()− (c) ƒ

< ε

25



Tapi, karena ε > 0 adalah sewenang-wenang, kita menyimpulkan bahwa batas tangan kanan diberikan oleh

lim  (  ) –  () = (c) ƒ

Hal ini dibuktikan dengan cara yang sama bahwa tangan kiri batas bagi perbedaan ini juga sama f (c) ketika c ∈ [a, b], mana pernyataan berikut. QED Jika f kontinu pada semua [a, b], kami memperoleh hasil sebagai berikut

7.3.6 Teorema Jika f kontinu pada semua [a, b], maka F integral tidak terbatas, yang didefinisikan oleh (3) terdiferensialkan pada [a, b] dan F’(x) = ƒ (x) untuk semua x ∈ [a, b]. Teorema 7.3.6 dapat disimpulkan: Jika f kontinu pada semua [a, b], maka integral tak tentu adalah antiturunan dari f . Kita sekarang akan melihat bahwa, secara umum integral waktu yang tidak terbatas tidak perlu menjadi seorang antidervative (baik karena derivatif dari integral tak tentu tidak ada atau tidak sama f (x))

7.3.7 Contoh (a) jika ƒ (x) = sgn x pada [-1, 1] kemudian ƒ ∈ r [-1,1] dan memiliki F integral waktu yang tidak terbatas (x) = | x | - 1 dengan basepoint -1. Namun, karena F '(0) tidak ada, F bukan antiturunan dari f pada [-1, 1]

7.3.8 Teorema Substitusi Biarkan J = [ α, β] dan membiarkan ϕ : J  R memiliki turunan kontinu pada J. jika F: Saya à R kontinu pada suatu interval I yang mengandung ϕ (J), maka

(5)

Bukti Teorema ini didasarkan pada Aturan Rantai 6.1.6 dan akan garis besar dalam latihan 15. Hipotesis bahwa f dan ϕ’ adalah terus menerus membatasi, tetapi digunakan untuk memastikan keberadaan Riemann integral di sisi kiri (5)

7.3.9 Contoh



  

. Di sini kita pengganti ϕ (t) =

(a) Pertimbangkan integral

 

for t ∈ [1, 4]

sehingga ϕ'(t = 1 / (2) kontinu pada [1, 4]. Jika kita membiarkan f (x) = 2 sin x, maka integran memiliki bentuk form (ƒ o ϕ) . ϕ’ dan substitusi teorema 7.3.8 Mengimplikasikan bahwa integral



2sin   = −2cos � = 2 ��1−��2�

.

(b) mempertimbangkan integral

   

. Sejak ϕ(t) =

 

tidak memiliki turunan

kontinu pada [0, 4], Teorema Substitusi 7.3.8 tidak berlaku, setidaknya dengan substitusi ini. (Pada kenyataannya, tidak jelas bahwa ini ada yang tidak terpisahkan, namun kita dapat menerapkan latihan 7.2.11 untuk mendapatkan kesimpulan ini 0. Bisa Kami kemudian menerapkan Fundamental Teorema 7.3.1 untuk F (t) = - 2 cos

[0].

 

dengan E =

Lebesgue's integrability Kriteria Sekarang kita akan menyajikan laporan iuran teorema definitif untuk Henri Lebesgue (1975-1941) dan cukup memberikan kondisi yang diperlukan untuk fungsi yang akan Riemann integrable, dan akan memberikan beberapa aplikasi dari teorema ini. Untuk negara hasil ini, kita perlu untuk memperkenalkan gagasan penting untuk satu set null.

Peringatan Beberapa orang menggunakan istilah "null" ditetapkan sebagai sinonim untuk istilah "kosong" mengatur atau "void set" mengacu pada ∅ (= kelompok yang tidak memiliki unsur-unsur). Namun kami akan selalu menggunakan istilah "null" diatur sesuai dengan definisi berikutnya kami seperti adat dalam teori integrasi.

7.3.10 Definisi (a) Satu set Z ⊂ R saya dikatakan sebagai null ditetapkan jika untuk setiap ε > 0

�

terdapat koleksi dapat dihitung {(ak , bk )

interval terbuka seperti yang



(6)

(b) jika Q (x) adalah pernyataan tentang titik x ∈ I saya, kita katakan bahwa Q (x) memegang hampir di mana-mana di I (atau untuk hampir setiap x ∈I), jika terdapat set null Z ⊂ I seperti bahwa Q (x) berlaku untuk semua x ∈ I \ z. dalam hal ini kita dapat menulis Q(x) for a. e. x ∈ I Hal ini sepele bahwa setiap subset dari himpunan null juga satu set null dan mudah untuk melihat bahwa persatuan dua set null adalah satu set null.

Kita sekarang akan

memberikan contoh yang mungkin sangat mengejutkan.

7.3.11 Contoh Q1 dari bilangan rasional dalam [0, 1] adalah satu set null. Kami menghitung Q 1 = [r

1,

r

2,

..]. diberikan ε > 0, diketahui bahwa interval

terbuka J1 = (r 1 - ε / 4, r1 + ε / 4) mengandung r 1 dan memiliki panjang ε /2; juga interval terbuka J2 = (r2 - ε / 8, r2 +ε / 8) berisi r 2 dan memiliki panjang ε / 4. Secara umum, interval terbuka.

k. Berisi rk dan memiliki panjang ε /2

Oleh karena itu, persatuan ini berisi interval

terbuka setiap titik Q1, apalagi, jumlah panjang adalah

 �/2 �

= ε. .Sejak ε > 0

adalah sewenang-wenang, Q 1 adalah satu set null. Argumen yang diberikan hanya dapat dimodifikasi untuk menunjukkan bahwa: setiap set dapat dihitung adalah satu set null. Namun, dapat ditunjukkan bahwa terdapat set null terhitung dalam R, misalnya, set penyanyi yang akan diperkenalkan di 11.1.10 definisi. Kita sekarang negara integrability kriteria's Lebesgue.

Hal ini menegaskan

bahwa fungsi dibatasi pada interval adalah integrable Riemann jika dan hanya jika poin atas diskontinuitas dari satu set null.

7.3.12 Lebesgue's integrability Kriteria.



Fungsi dibatasi f : [a, b]  R adalah integrable Riemann jika dan hanya jika terus menerus hampir setiap di mana-mana pada [a, b]. Sebuah bukti dari hasil ini akan diberikan pada Lampiran C. Namun, kami akan menerapkan Legesgue Teorema di sini untuk beberapa fungsi tertentu dan menunjukkan bahwa beberapa hasil sebelumnya kita mengikuti langsung dari itu. Kami juga akan menggunakan teorema ini untuk mendapatkan komposisi yang penting dan teorema produk.

7.3.13 Contoh (a) fungsi langkah g pada contoh 7.1.3 (b) kontinu di setiap titik kecuali titik x = 1. Oleh karena itu mengikuti dari Lebesgue Integrabilitiy Kriteria yang g Riemann integrable. Bahkan, karena setiap fungsi step memiliki paling banyak satu set hingga titiktitik diskontinuitas, maka: setiap fungsi step pada [a, b] adalah Riemann integrable. (b) karena terlihat di Teorema 5.5.4 bahwa himpunan titik diskontinuitas sebuah fungsi monoton adalah dihitung, kita menyimpulkan bahwa: Setiap fungsi monoton pada [a, b] adalah Riemann integrable. (c) Fungsi G pada contoh 7.1.3 (e) terputus tepatnya di titik-titik D = {1, ½, .. , 1/n}. karena ini adalah satu set dihitung, itu adalah satu set null dan Lebesgue's Kriteria menyiratkan bahwa G adalah Riemann integrable (d) Fungsi Dirichlet ditunjukkan pada contoh 7.2.2 (b) tidak menjadi Riemann i ntegrable. Perhatikan bahwa terputus di setiap titik [0, 1]. Karena dapat ditunjukkan bahwa interval [0, 1] adalah bukan null set, Lebesgue's Kriteria menghasilkan kesimpulan yang sama. (e) Mari h: [0, 1]  R fungsi Thomaes, yang didefinisikan pada contoh 5.1.4 (h) dan 7.1.6.

kontinu di setiap bilangan rasional dalam [0, 1].

Dengan contoh 7.3.11, itu

terputus pada satu set null, jadi Lebesgue's Kriteria menyiratkan itu fungsi Thomae adalah Riemann terintegrasikan pada [0,1] seperti yang kita lihat dalam contoh 7.1.6 Kita sekarang memperoleh hasil yang akan memungkinkan kita untuk mengambil kombinasi lain dari fungsi terintegral Riemann.

Komposisi Teorema 7.3.14

ƒ ∈ R [a, b] dengan ƒ [a, b] ⊆ [c, d] and let ϕ: [c, d]

 R

terus menerus.

Kemudian komposisi ϕ o ƒ milik R [a, b].



Bukti. Jika f kontinu di titik point µ ∈[a, b], kemudian ϕ o ƒ juga kontinu di µ. Karena D titik diskontinuitas set f adalah satu set null.

Oleh karena itu, D1 ⊆ D titik

diskontinuitas ϕ o ƒ juga satu set null. Oleh karena itu komposisi ϕ o ƒ juga milik R [a, b]. Akan terlihat latihan 22 bahwa hipotesis yang ϕ kontinu tidak dapat dijatuhkan. Hasil berikutnya adalah akibat wajar dari teorema komposisi.

7.3.15 Corollary Misalkan ƒ ∈ R [a, b]. maka nya nilai absolut | f | adalah dalam R [a, b] dan

Dimana | f (x) |
Bukti. Kita telah melihat dalam Teorema 7.1.5 bahwa jika | adalah integrable, maka ada pintu keluar M seperti yang | f (x) |
|t

| untuk t ∈{-M, M}, kemudian teorema komposisi menyiratkan bahwa that |ƒ| = ϕ o ƒ ∈ R [a, b]. ketidaksetaraan pertama berikut dari kenyataan bahwa -|ƒ| < ƒ < |ƒ| dan 7.1.4 (c) dan yang kedua dari kenyataan bahwa | f (x) |
7.3.16 Teorema Produk/Hasil Jika f dan g milik R [a, b], maka produk f g milik R [a, b], 2

2

Bukti. Jika ϕ (t) = t untuk t ∈ [-M, M]. mengikuti dari teorema komposisi yang f = ϕ 2 2 o f milik R [a, b]. sama, ( f + g) dan g milik R [a, b]. tapi karena kita dapat menulis

produk sebagai 2

2

g = ½ [( ƒ + g) - ƒ - g

2

Oleh karena itu, ƒ g ∈ R [a, b],

7.3.17 Bagian Integrasi Biarkan F, G terdiferensialkan pada [a, b] dan f = F 'dan g = G' milik R [a, b], maka

(7)



Bukti. Dengan Teorema 6.1.3 (c), derivatif (FG) 'ada di [a, b] dan (FG) '= F'G + FG' = | G + g G Sejak F, G adalah kontinu dan f g milik R [a, b].,, Teorema produk 7.3.16 menyiratkan | G dan F g adalah integrable. Oleh karena itu teorema Fundamental 7.3.1 menunjukkan bahwa

khusus namun bermanfaat ini, kasus dari teorema ini adalah ketika f dan g kontinu pada [a, b] dan F, G tak terbatas mereka integral F (x) =



ƒ and G(x) =

 �

Kami tutup bagian dengan versi Teorema Taylor untuk Integral Riemann. 7.3.18 Teorema Taylor dengan Remainder (n) (n +1) (n+1) ∈ R [a, b] maka kita harus Misalkan f ', .., f , f ada di [a, b] dan bahwa ƒ

(8) Dimana sisanya diberikan oleh

(n)

n

Bukti. Terapkan integrasi Part untuk persamaan (9) F(t) = ƒ (t) dan G(t) = (b-t) /n !, n-1

jadi g(t) = -(b - t) /(n – 1)!, untuk mendapatkan

Jika kita terus mengintegrasikan dengan bagian dalam cara ini, kita memperoleh (8)

7.4. Perkiraan Integrasi Teorema dasar kalkulus 7.3.1 menghasilkan metode yang efektif untuk mengevaluasi integral



ƒ asalkan kita dapat menemukan antiderivate F sehingga F '(x)

= f (x) ketika x ∈ [a, b]. Namun, ketika kita tidak dapat menemukan seperti F, kami mungkin tidak dapat menggunakan Teorema Dasar. Namun demikian, ketika ƒ adalah



terus-menerus, ada sejumlah teknik untuk mendekati Riemann integral



ƒ

dengan

menggunakan jumlah yang menyerupai jumlah Riemann. Salah satu dasar prosedur yang sangat untuk mendapatkan perkiraan cepat



ƒ

berdasarkan Teorema 7.1.4 (c), adalah untuk dicatat bahwa jika g (x) ≤ f (x) ≤ h (x) untuk semua ∈ x [a, b] maka

Jika integral dari g dan h dapat dihitung, maka kita memiliki batasan untuk



ƒ

seringkali batas ini adalah akurat cukup untuk kebutuhan kita. Sebagai contoh, misalkan kita ingin memperkirakan nilai untuk menunjukkan bahwa

  ≤

Akibatnya, kami telah 1–1/e ≤

 

dx.

Sangat mudah

≤ 1 untuk [0, 1] sehingga

 

dx. ≤ 1. Jika kita menggunakan rata-rata nilai

Kami memperoleh estimasi 1-1/2e ≈ 0,186 untuk integral dengan

tanda kurung.

kesalahan kurang dari 1/2e <0,184. perkiraan ini kasar, tetapi diperoleh dengan cepat dan dapat cukup memuaskan untuk kebutuhan kita. Jika pendekatan yang lebih baik adalah yang diinginkan, kita dapat mencoba untuk menemukan fungsi yang kurang lebih dekat g dan h.

6.4.1 Teorema Taylor dapat digunakan untuk perkiraan oleh polynomial



. Dalam

menggunakan Teorema Taylor, kita harus mendapatkan batas pada istilah sisanya untuk

perhitungan kami untuk memiliki signifikansi. Sebagai contoh, jika kita menerapkan -y

Teorema Taylor ke e untuk 0 ≤ y ≤ 1,, kita mendapatkan

4 -c Dimana R3 = y e /24 di mana c adalah beberapa nomor dengan 0 ≤ c ≤ 1. Karena kita

tidak memiliki informasi yang lebih baik sebagai ke lokasi c, kita harus puas dengan 4

-c

estimasi 0 ≤ R3 = y e /24. Oleh karena itu kami telah

8

Dimana 0 ≤ x / 24 untuk x ∈ [0, 1]. Oleh karena itu, kita memperoleh



Karena kita memiliki 0 ≤

 

3 dx

≤

 =  < 0.005 itu berikut yang . 

Dengan kesalahan kurang dari 0,005

Persamaan Partisi Jika ƒ : [a, b]  R adalah terus menerus, kita tahu bahwa perusahaan integral Riemann ada. Untuk menemukan nilai perkiraan ini tidak terpisahkan dengan jumlah minimum perhitungan, akan lebih mudah untuk mempertimbangkan P n partisi P dari [a, b] menjadi n selang bagian yang sama memiliki panjang h n = (b-a) / n. maka P n adalah partisi:

Jika kita mengambil poin tag kami untuk menjadi titik-titik ujung kiri dan kanan titik akhir subinterval, kita mendapatkan ke-n kiri pendekatan yang diberikan oleh:

Dan hak pendekatan ke n yang diberikan oleh

Perlu dicatat bahwa hampir semudah untuk mengevaluasi kedua pendekatan sebagai hanya salah satu dari mereka, karena mereka berbeda hanya dalam persyaratan f (a) dan f (b). Kecuali kita punya alasan untuk percaya bahwa salah satu L n (ƒ) atau Rn(ƒ) lebih dekat dengan nilai sebenarnya dari integral dari yang lain, kita biasanya mengambil mereka berarti:

Yang mudah terlihat sama



(1) Sebagai pendekatan yang wajar untuk

 

Namun, kami mencatat bahwa jika f adalah peningkatan pada [a, b], maka jelas dari sketsa grafik f yang

(2)

Dalam hal ini, kita mudah melihat bahwa

Perkiraan kesalahan seperti ini bermanfaat, karena memberikan batas atas untuk kesalahan pendekatan dalam hal kuantitas yang diketahui sejak awal. Secara khusus, dapat digunakan untuk menentukan seberapa besar kita harus memilih n dalam rangka untuk memiliki sebuah pendekatan yang akan tepat untuk dalam kesalahan tertentu ε > 0. Diskusi di atas berlaku untuk kasus yang f meningkat pada [a, b]. jika f adalah menurun, maka ketidaksetaraan dalam (2) harus dibalik. Kita dapat meringkas kedua kasus dalam pernyataan berikut.

7.4.1 Teorema Jika f :[a, b]  R adalah monoton dan jika T n (f) diberikan oleh (1), maka

(3) 7.4.2 Contoh

   

Jika f (x) = = 8, maka |

pada [0, 1] maka f adalah menurun. Ini mengikuti dari (3) bahwa jika n -1 - Tg( f ) | ≤ (1 – e )/16 < 0.04 dan jika n = 16, maka |

  

–



-1

T16( f ) | ≤ (1 – e )/32 < 0.02.

Sebenarnya, pendekatan ini cukup baik seperti yang akan

kita lihat dalam contoh 7.4.5

Aturan Trapezoidal Metode numerik yang disebut "Aturan Trapezoidal" didasarkan pada kurang lebih sama dengan fungsi kontinu f : [a, b]  oleh fungsi linear kontinu sesepenggal. Misalkan n ∈ N dan seperti sebelumnya, biarkan let hn = (b-a)/n dan mempertimbangkan P n partisi. Kami perkiraan f oleh fungsi linier sesepenggal g n yang melewati titik-titik (a + kha, f (a + kha)), dimana k = 0,1, ..., n. yang tampaknya masuk akal bahwa integral

 

"kira-kira sama dengan" integral

 

akan

bila n cukup besar (asalkan f cukup halus).

Karena luas trapesium dengan h dasar horisontal dan vertikal sisi I 1 dan I 2 dikenal menjadi ½ h (l 1 + l2), kita memiliki

Untuk k = 0,1, ..., n-1. Menjumlahkan syarat dan suara, yang setiap partisi di P n kecuali a dan b milik dua subinterval berdekatan kita peroleh.

Tapi istilah di sebelah kanan justru T

n

(f), ditemukan dalam (1) sebagai ol L n mean (f)

dan R n (f), kita sebut T n (f) Trapezoidal n Perkiraan dari f. Dalam teorema 7.4.1 kami memperoleh perkiraan kesalahan dalam kasus di mana f adalah monoton, kita sekarang negara satu tanpa pembatasan ini f, namun dari segi turunan kedua f "dari f.

7.4.3. Teorema / Dalil Biarkan f, f 'dan f "kontinu pada [a, b] dan biarkan T

n

(f) menjadi Trapezoidal n

Aproksimasi (1). Lalu terdapat c ∈ [a, b] seperti itu.



(4) Sebuah bukti dari hasil ini akan diberikan pada Lampiran D, itu tergantung pada sejumlah hasil kami telah memperoleh dalam bab 5 dan 6. Persamaan (4) bunga karena dapat memberikan baik batas atas dan batas bawah untuk T n perbedaan Tn ( f ) -

 

Sebagai contoh, jika f "(x) ≥ A> 0 untuk semua x ∈ [a,

b], maka (4) menunjukkan bahwa perbedaan ini selalu melebihi 1 / 12 A (b - a) h n . jika kita hanya memiliki f "(x) ≥ 0 untuk x ∈ [a, b], yang terjadi ketika f adalah cembung, mereka Aproksimasi Trapezoidal selalu terlalu besar. Pembaca harus menggambar sosok untuk memvisualisasikan ini. Namun, biasanya batas atas yang lebih menarik.

7.4.4 Corollary Biarkan f, f 'dan f "akan terus-menerus, dan membiarkan | f" (x) | ≤ B 2 untuk semua x∈ [a, b] maka

(5) Ketika sebuah B2 batas atas

dapat ditemukan (5) dapat digunakan untuk

menentukan seberapa besar n dapat dipilih untuk menjadi tertentu akurasi yang diinginkan.

Aturan Midpoint Salah satu metode yang hampir sama dengan integral f adalah jumlah Riemann dievaluasi pada titik tengah subinterval. Jadi jika P n adalah spasi partisi yang sama diberikan sebelumnya, Midpoint Aproksimasi dari f diberikan oleh

(6) Metode lainnya mungkin menggunakan sepenggal fungsi linear yang bersinggungan dengan grafik dari f pada titik tengah dari subinterval.

Pada pandangan pertama,

tampaknya seolah-olah kita akan perlu untuk mengetahui kemiringan dari garis singgung



grafik f pada setiap titik-titik tengah a + (k – ½ h n)

(k = 1, 2, ..., n). Namun, itu adalah

latihan dalam geometri untuk menunjukkan bahwa daerah trapesium yang puncaknya ini garis singgung di titik-titik tengah sebuah a + (k – ½ h n) adalah sama dengan luas persegi panjang yang tingginya adalah f a + (k – ½ h n) (Lihat gambar 7.4.1). demikian, daerah ini diberikan oleh (6) dan "Tangent Aturan Trapesium" berubah menjadi sama seperti "aturan titik-titik tengah". Kita sekarang negara teorema menunjukkan bahwa aturan titik tengah memberikan akurasi yang lebih baik daripada Aturan Trapezoidal dengan faktor 2.

Teorema 7.4.6 Misalkan f, f ', dan f "kontinu pada [a, b] dan biarkan Mn (f) menjadi n Aproksimasi titik tengah (6). Maka terdapat y (7)

 " ��    −  � � =   ��

Bukti

dari

hasil

ini



[a, b] sedemikian sehingga

adalah

pada

Lampiran

D.

Seperti dalam kasus dengan Teorema 7.4.3, rumus (7) dapat digunakan untuk memberikan baik upper terikat dan batas bawah untuk perbedaan

  −  � �

meskipun itu adalah batas atas yang biasanya kepentingan yang

lebih besar. Berbeda dengan Aturan Trapezoidal, jika fungsi tersebut cembung, maka Aproksimasi Hasil

Titik

berikutnya

Tengah adalah

sejajar

selalu dengan

7.4.7 Corollary Letf, f ', and f "terus menerus, dan biarkan

terlalu

kecil.

Corollary

7.4.4.

 "�� ≤ 

untuk

37



semua x ε [a, b]. Kemudian (8)

 � � −   ≤  

�− �ℎ2  �− �ℎ�  2� 2 2� 2

=

Aturan Simpson Prosedur pendekatan terakhir yang kita akan mempertimbangkan biasanya memberikan perkiraan yang lebih baik daripada baik Trapezoidal atau Aturan Titik Tengah dan memerlukan perhitungan tambahan pada dasarnya tidak ada. Namun, sifat busung (atau cekung) dari f tidak memberikan informasi tentang kesalahan untuk metode ini. Bahwa Aturan Trapezoidal dan Titik Tengah didasarkan pada pendekatan dari f oleh fungsi linier piecewise, 'Aturan Simpson mendekati grafik dari f dengan busur parabola. Untuk membantu memotivasi formula, pembaca dapat menunjukkan bahwa ji ka tiga poin

�−ℎ�� ��0�� �ℎ��

2

diberikan, maka fungsi kuadrat q(x) := Ax + Bx + C yang melewati ini poin memiliki properti yang

  =  ℎ �  + � + 

Sekarang mari f menjadi fungsi kontinu pada [a, b] dan biarkan ε n N bahkan, dan biarkan let

hn

=

(b

-

[ a , a + 2hn],

a)/n.

Pada

setiap

"subinterval

[a+ 2hn , a + 4hn], ..., [b - 2hn

ganda"

, b],

kami perkiraan f oleh n / 2 fungsi kuadrat yang setuju dengan f di titik-titik Yo =

f(a), Y1= f(a + hn), Y2= f(a + 2h n), ....…. yn= f(b).

Ini ke Aproksimasi Simpson n, definisinya (9) Sn(f)

:= 1/3hn(f(a) + 4f(a + hn) + 2f(a + 2hn) + 4f(a + 3hn) +2f(a + 4hn) + ... … + 2f(b - 2h n) + 4f(b – h n) + f(b) )

Perhatikan bahwa koefisien dari nilai-nilai dari f di + n 1 poin partisi mengikuti pola 1, 4, 2, 4, 2, .. .... , 4, 2, 4, 1. Kita sekarang negara Teorema yang memberikan perkiraan tentang akurasi Simpson pendekatan, melibatkan turunan keempat f. Teorema 7.4.8 Misalkan f, t, f ", f (3) dan f (4) kontinu pada [a, b] dan membiarkan n ε N akan bahkan. Jika Sn (f) adalah Aproksimasi Simpson n (9), maka ada c ε [a, b] seperti bahwa



(10)

   � �  � � −  −=   ��

Sebuah

bukti

dari

hasil

ini

diberikan

dalam

Lampiran

D.

Hasil berikutnya adalah sejajar dengan kololari 7.4.4 dan 7.4.7.

7.4.9 Korolari Misalkan f, f ', f ", f (3) dan f (4) kontinu pada [a, b] dan biarkan Jika (4) (x) 1 ; B4 untuk semua x ε [a, b]. Kemudian (11)

 � − �ℎ �  − �  � �−   ≤ 1�0  = 1�0 

Keberhasilan penggunaan memperkirakan (11) tergantung pada kemampuan untuk menemukan turunan

batas

atas

pada [0, 1] maka perhitungan menunjukkan

20 untuk x ε [0, 1], sehingga kita bisa

dari mana ia berikut bahwa mengambil |

keempat.

�� = � ���� = � � � − 12 + �  ��� ≤

7.4.10 Contoh Jika bahwa

untuk

B4

=

20.

Maka

dari

(11)

bahwa

jika

n

=

8

maka

  � �−   ≤ 1�0.1 � .20 = �6�1�6� < 0�0000�

dan bahwa jika n = 16 maka (1 1)

  � �−   ≤ 5�9�1�2� < 0�0000017

Catatan Pada Titik Tengah Aproksimasi Mn nth (f) dapat digunakan untuk "melangkah" ke th (2n) Trapezoidal dan Simpson Aproksimasi dengan menggunakan rumus Dan yang diberikan dalam Latihan. Jadi setelah Aproksimasi Trapezoidal awal T1 = T1 (f) telah dihitung, hanya Aproksimasi Titik Tengah Mn = Mn (f) perlu ditemukan. Artinya, kita menggunakan urutan berikut perhitungan:

 =  � −�� ��+  ��  = � −� �  � +� , T2 = ½ M1 + ½ T1

,

S2 = 2/3 M1 + 1/3T1



Bab 7 Integral Riemann

Recommend Documents