Arwinda Febri 409295 SIFAT ALJABAR DAN URUTAN PADA BILANGAN REAL SISTEM BILANGAN REAL Sistem bilangan real adalah suatu lapangan terurut, lengkap didalamnya berlaku hukum penjumlahan dan perkalian, hukum tersebut dinamakan operasi biner yang dinotasikan oleh tambah (+) dan titik (.) yang disebut dengan penjumlahan dan perkalian.
Sifat Lapangan Bilangan Real Pada himpunan bilangan real terdapat 2 operasi biner yang dinotasikan oleh tambah (+) dan titik (.) yang disebut penjumlahan dan perkalian dengan sifat-sifat berikut: 1. a + b = b + a
a, b
R (sifat komutatif)
2. a + (b + c) = (a + b) + c (sifat assosiatif) 3.
0
R
a + 0 = a+0 = 0+a = a,
4.
a
R (-a)
5. a . b = b . a,
R
7.
a
R, a
R (sifat elemen identitas)
a + (-a) = 0(invers penjumlahan)
a, b
6. a (bc) = (ab) c ,
a
R (sifat komutatif perkalian) a, b, c
0,
R (sifat assosiatif perkalian)
R
a.
=a.
= 1 (invers perkalian)
8.
1
R dengan 1
9.
a, b, c
0
a . 1 = 1 . a = a,
a
R, maka berlaku: = ab + ac = ba + ca
(elemen kebalikan)
Catatan: 0 disebut unsur identitas terhadap penjumlahan disebut unsur invers terhadap perkalian 1 disebut identitas terhadap perkalian Teorema (a) Jika z, a Bukti:
R
z + a = a, maka z = 0
R (identitas perkalian)
Karena a R dan berdasarkan sifat lapangan bilangan real (-a) menurut sifat 3
R
a + (-a) = 0 dan
a + 0 = a+0 = 0+a = a
Akibatnya: z+a
=a
z + a + (-a) = a + (-a) = 0 z+0
= 0,
karena z
R, maka
z+0=0 z=0 (b) Jika u, b
(terbukti)
R, b 0 sehingga u . b = b, maka u = 1
Bukti: Karena u, b
R, b
0
Maka berdasarkan sifat lapangan bilangan real
R sehingga b .
=1
Akibatnya: u.b
=b
u.b.
=b.
u.1
=1
Berdasarkan sifat lapangan bilangan real
1 R, sehingga
u.1=1 u=1
(terbukti)
Tugas soal no. 4 hal Jika a
R sehingga a . a = a, buktikan a = 0 atau a = 1
Bukti: Karena a
R
Maka berdasarkan sifat lapangan bilangan real
R sehingga a .
=1
a.a
=a
a.a.
=a.
a
= 1 (terbukti)
Jika a = 0 adb: a .0 = 0 (ditambah dengan a) a+a.0 =a.0+a.1 a + a . 0 = a (0+1) a+a.0 =a.1 a + a . 0 = a (ditambah –a) -a + a + a . 0 = a + (-a) Menurut sifat lapangan bilangan real (-a) (-a + a) + a . 0 = 0 0+a.0=0 a . 0 = 0 (terbukti) Teorema (a) Jika a, b
R
a + b = 0 maka b = -a
(b) Jika a, b
R
a . b = 1 maka b =
R
a + (-a) = 0, sehingga
Bukti: (a) Karena a, b R -a R a + (-a) = 0 dan 0 R b+0 = 0+b = b Akibatnya a+b =0 a + (-a) + b = 0 + (-a) 0 + b= -a b = -a (terbukti) (b) karena a, b
R
=
dan 1 R b . 1 = 1 . b = b akibatnya: a.b=1 (a . ) . b = 1 . 1.b=1.
R a 0
a.
=1
b=
(terbukti)
Teorema Misalkan a R maka berlaku: 1) a . 0 = 0 2) (-a) . a = -a 3) - (-a) = a 4) -1 (-1) = 1 Bukti: 1) a . 0 = 0 karena a R maka 1, 0 R, 1 0 sehingga a . 1 = 1 . a = a akibatnya: a = a.1 a+a.0=a.1+a.0 = a (1 + 0) (sifat distributif) =a.1 a+a.0=a karena a R -a R a + (-a) = 0 akibatnya: (-a + a) + a . 0 = (-a + a) 0+a . 0 =0 a . 0 = 0 (terbukti) 2) (-1 ) . a = -a Berdasarkan teorema sebelumnya a . 0 = 0 Karena 1 ℝ -1 ℝ 1 + (-1) = 0 Akibatnya a.0=0 a . (1+ (-1)) = (1+(-1)) 1 a + (-1)a = 0 Karena a ℝ -a ℝ a + (-a) = 0 Akibatnya (-1) a + 1 a =0 -1a + a + (-a) = 0 + (-a) -1a + (a +(-a)) = 0 + (-a) -1(a) + 0 = -a -1(a) = -a (terbukti)
3) - (-a) = a Karena a ℝ -a ℝ (-a) + a = 0 Akibatnya a + (-a) = 0 (dikali -1) -a + - (-a) = 0 -a + a + -(-a) = 0 + a 0 + -(-a) = 0 + a Karena a ℝ 0 ℝ 0 + a = a + 0 = a Akibatnya 0 + -(-a) = 0 + a -(-a) = a (terbukti) 4) -1 (-1) = 1 Karena a ℝ, a 0 Akibatnya a.
ℝ
a.
= (a . ) (-a . - ) = (-a . ) (a . - ) = (-1) . (-1)
Karena
a. =1
(-1) (-1) = a . (-1) (-1) = 1 (terbukti) Teorema Misalkan a, b, c 1)
0
R berlaku: 0 dan =
2) a . b = a. c dan a 0 b = c 3) a . b = 0 a = 0 atau b = 0 Bukti: 1) karena a
R, a
0
0
andaikan = 0 maka: 1=a. =a.0 1=0 bertentangan dengan sifat lapangan bilangan real yang menyatakan 1
0
Jadi haruslah = 0 Mengingat a .
=1
Maka: a = *)
R
R
*)
R
=
0
R
.
=1
=
=1
Perhatikan bahwa
.
=1
. .
=
.1
= = 2) a, b, c
R, a
Karena a
(terbukti)
0
R, a
0,
=
R
.
Akibatnya = ( .
(dikali
)b=( .
)
)c
1.b =1.c Karena b, c R 1 R
b.1=1.b=b c.1=1.c=c
Sehingga berlaku b = c (terbukti) 3) a . b = 0
a = 0 atau b = 0
karena a, b dan
b.
R
a.
=b.
=1
akibatnya a.b =0
( ) . (a. b) = ( ) . 0 ( . a) (b)
=0
=a.
=1
=1
1.b b
=0 =0
dengan cara yang sama kedua ruas dikalikan dengan ( a.b (a. b) . ( (a) (
), maka diperoleh
=0
) =0.( )
. b) = 0
a.1 a
=0 =0 ℝ
karena a, b
a.
=a.
= 1 dan
b.
=b.
=1
Maka berlaku a = 0 atau b = 0 (terbukti) Bilangan Rasional Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ⁄ dengan q ℤ atau Q = {
p dan q
ℤ
}
Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ⁄ {
}
Teorema Tidak ada bilangan rasional x yang memenuhi x2 = 2 Bukti: Andaikan x ℚ x2 = 2 Tulis: x =
dan P, Q
Sehingga
ℤ, P
0
=2
Asumsikan bahwa P dan Q Perhatikan bahwa =2
Q, Q
=>
0 dan tidak mempunyai faktor sekutu selain 1 =2
= bilangan genap bilangan genap 2 bukan faktor sekutu dari p dan q maka haruslah q nya bilangan ganjil Perhatikan bahwa: P bilangan genap => p = 2m untuk m ℕ
0,
= 4 m2 = 2 = bilangan genap
Hal ini bertentangan dengan pernyataan bahwa Q bilangan ganjil, sehingga dapat disimpulkan bahwa tidak ada bilangan rasional yang memenuhi x2 = 2
