Sifat Urutan Bilangan Real Definisi 1.1 (Bilangan Positif) Pada R terdapat himpunan bagian takkosong P dengan sifat berikut: 1. Jika , ∈ maka + ∈ 2. Jika , ∈ maka . ∈ Himpunan P ini selanjutnya disebut himpunan bilangan positif. Salah satu sifat yang sering digunakan yaitu perkalian dua bilangan positif adalah bilangan positif, atau biasa ditulis (+) × (+) = (+). Ternyata fakta ini adalah bagian dari sebuah definisi yang kebenarannya tidak perlu dibuktikan, namun barangkali perlu dipikirkan interpretasi konkretnya untuk menanamkan konsep pada siswa sekolah dasar. Selanjutnya diturunkan sifat trikotomi pada bilangan real, yaitu jika ∈ sebarang maka tepat satu pernyataan berikut dipenuhi, yaitu: ∈ , atau = 0, atau − ∈ Himpunan bilangan negatif didefnisikan sebagai himpunan {−: {−: ∈ } Jadi, himpunan bilangan real terbagi atas tiga himpunan saling asing yaitu bilangan positif, bilangan negatif, dan nol. Perlu ditegaskan bahwa 0 bukanlah bilangan positif dan juga bukan bilangan negatif. Definisi 1.2 (Urutan pada R) Urutan pada R merujuk pada definisi bilangan positif berikut 1. Bilangan ∈ disebut bilangan positif dan ditulis > 0 . Notasi ≥ 0 berarti ∈ ∪ {0} {0} dan disebut bilangan taknegatif 2. Bilangan ∈ sehingga− ∈ disebut bilangan negatif dan ditulis < 0 . Notasi ≤ 0 berarti − ∈ ∪ {0} {0} dan disebut bilangan takpositif 3. Bilangan real dikatakan lebih besar dari , ditulis > jika dan hanya jika − ∈ Teorema 1.7 Misal ,, ∈ maka berlaku 1. Transitif: Jika > dan > maka > 2. Trikotomi: Tepat satu pernyataan berikut memenuhi > , = , < Teorema 1.8 Misalkan ,, , ∈ . Maka pernyataan berikut berlaku: 1. Jika > maka + > + 2. Jika > , , > maka + > + 3. Jika > dan > 0 maka > 4. Jika > dan < 0 maka < Teorema 1.9 1 Jika dan bilangan real dengan < maka < ( + ) < 2
Teorema 1.10 Bila ∈ dengan dengan 0 ≤ < untuk setiap > 0 maka = 0 Teorema 1.11 Jika > 0 maka berlaku salah satu dari dua kemungkinan berikut: 1. > 0 dan > 0, atau 2. < 0 dan < 0
