SISTEM BILANGAN RIIL
(Sifat Aljabar ℝ, sifat urutan ℝ, Trikotomi, Ketaksamaan Bernoulli)
Edi Sutomo*
Abstrak: Salah satu konsep dasar untuk mengkaji bidang matematika analisis adalah sistem bilangan Riil ℝ beserta sifat – sifatnya. Ada dua cara yang dapat digunakan untuk mengenali system bilangan real ini, yaitu secara konstruksi dan secara aksiomatik. Pembahasan dalam makalah ini terfokus pada sifat aljabar ℝ, sifat urutan ℝ, trikotomi dan ketaksamaan bernoulli sistem bilangan real akan dikenali secara aksiomatik, yaitu dengan menganggap system bilangan real memenuhi sifat-sifat tertentu yang dirumuskan. Kata kunci: Bilangan riil, aksiomatik
1. Pendahuluan Matematika sebagai suatu ilmu pengetahuan yang sistematis serta ditandai dengan penalaran yang ketat (rigorous) dan terstruktur rapi. Perkembangan matematika yang begitu cepat berimplikasi kepada keluasan cakupan keilmuan dan pencabangannya. Cabang-cabang pokok matematika yang lazim dikenal orang awam adalah geometri, aritmatika, aljabar, logika, analisis, statistika, dan matematika diskrit. Setiap cabang mengenal anak – anak cabang, demikian seterusnya, sehingga diperoleh sebuah pohon keilmuan. Salah satu cabang dalam ilmu matematika adalah analisis. Matematika analisis atau sering disebut analisis, merupakan cabang matematika murni yang banyak mengkaji berbagai teori mengenai limit, deret tak hingga, fungsi analitik, derivative, serta ukuran dan integral. Matematika analisis dapat diaplikasikan pada berbagai cabang matematika yang mempunyai hubungan dengan konsep nearness (ruang topologi) atau distance (ruang metrik). Matematika analisis
* Mahasiswa Magister Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
1
mengajarkan
cara
berfikir
analitis,
sehingga
dapat
membantu
dalam
menyelesaikan masalah-masalah baru yang tidak standar/baku. Salah satu konsep dasar untuk mengkaji bidang matematika analisis adalah sistem bilangan Riil ℝ beserta sifat – sifatnya. Ada dua cara yang dapat digunakan
untuk mengenali system bilangan real ini, yaitu secara konstruksi dan secara aksiomatik. Pembahasan dalam makalah ini sistem bilangan real akan dikenali secara aksiomatik, yaitu dengan menganggap system bilangan real memenuhi sifat-sifat tertentu yang dirumuskan.
2. Pembahasan Pembahasan dalam sistem bilangan riil himpunan semestanya mencakup semua bilangan riil yang ada. Bilangan riil merupakan sekumpulan bilangan rasional dan irasional serta dapat berkoresponden satu – satu dengan sebuah titik pada garis bilangan. Pada sitem bilangan riil terdapat dua operasi biner yang dinotasikan dengan penjumlahan + dan perkalian ∙ . Dengan dua operasi tersbeut disusun beberapa aksioma penting.
Dua aksioma penting dalam bilangan riil adalah eksistensi elemen elemen
dan
. Elemen ini merupakan elemen pertama yang perlu diketahui dalam
kajian sistem bilangan Riil. 2.1 Sifat Aljabar Bilangan Riil Bilangan riil ℝ sebagai suatu himpunan terdapat dua operasi biner yang
disebut " + " dan " ∙ " yang menyatakan pernjumlahan dan perkalian yang memiliki sifat – sifat: (A1)
+
=
+
untuk setiap
terhadap penjumlahan (A2)
+
+
=
+
terhadap penjumlahan (A3) terdapat elemen setiap
+
,
∈ ℝ sehingga dikatakan komutatif
untuk setiap
di ℝ sedemikian hingga
, , ∈ ℝ yaitu asosiatif +
=
+
∈ ℝ sehingga disebut sebagai sifat elemen identitas.
=
untuk
2
∈ ℝ, terdapat − ∈ ℝ sedemikian hingga
(A4) untuk setiap
(M1)
−
∙
+
=
=
(eksistensi dari elemen negatif)
∙
untuk setiap
terhadap perkalian ∙
(M2)
∙ =
∙
∙
terhadap perkalian
,
untuk setiap .
, , ∈ ℝ atau sifat asosiatif =
dan
∈ ℝ, sehingga elemen 1 dikatakan elemen satuan
(M4) untuk setiap
∙
(D)
∈ ℝ dan
= , sehingga +
=
∙
≠
.
=
untuk setiap
∈ ℝ sehingga
selalu ada
disebut sebagai kebalikan dari
+
∙
=
∈ ℝ sehingga dikatakan komutatif
∈ ℝ sehingga
(M3) teradapat unsur
∙
+ −
dan
+
∙
=
∙
+
∙
∙
= untuk
semua , , ∈ ℝ, sehingga disebut sebagai distributif perkalian terhadap penjumlahan
Terdapat 4 (empat) sifat yang berkorelasi dengan sifat penjumlahan (Addition) yang dinotasikan dengan �, yaitu sifat � , � , � , dan � , begitu
juga terdapat 4 (empat) sifat berkaitan dengan perkalian (multiplication) yang dinotasikan dengan � yaitu � , � , �
dan �
dan 1 (satu) yang
menggabungkan keduanya, yaitu sifat Distributif � . Kesembilan sifat tersebut merupakan sifat aljabar atau aksioma bilangan riil.
Sampai saat ni belum didefinisikan bilangan negatif dan operasi pengurangan. Notasi − dianggap satu elemen di dalam ℝ, begitu juga elemen kebalikan
dianggap sebagai satu elemen didalam ℝ serta operasi pembagian
belum juga didefinisikan. 2.1.1
Teorema jika
sebarang bilangan riil, maka persamaan
mempunyai penyeleseaian tunggal, � = − Bukti:
+
+� = ,
Perlu ditunjukan terlebih dahulu eksistensi penyelesaiannya terlebih dahulu. +� = 3
−
+
( −
+� = −
+
+ )+� = −
+� = −
�= −
+ ............... sifat (A2)
+
+
............... sifat (A4)
................ sifat (A3)
selanjutnya akan ditunjukan penyelesaiannya adalah tunggal. Misal diberikan �
penyelesaian ytang lain, maka berlaku
sehingga diperoleh hubungan sebelumnya diperoleh � = −
+� = +
+� = ,
+ �. Berdasarkan langkah
+ � . Dengan menggunakan
(A2) kemudian (A4) maka diperoleh � = �, sehingga disimpulkan
penyelesaiannya adalah tunggal. Teorema 1.1 (a) jika � dan (b) jika
, maka
,
adalah bilangan riil, maka � +
∈ℝ
=
∈ ℝ, maka
(c) jika Bukti
,
dan ∙
≠
=
sedemikian
+ −
sehingga
hingga
=
� + (
unsur
. Jadi, � +
+ −
=
+ − )= � +
+ −
=
=
� =
, maka berdasarkan sifat M4 maka terdapat
∈ ℝ dan
∈ ℝ sedemikian sehingga
∙
(M2), (M4) dan (M3) kita peroleh ∙
=
∈ ℝ sedemikian
dan berdasarkan sifat (A2), (A4) dan (A3) kita peroleh
(b) Karena
∙
=
di ℝ, maka berdasarkan A4, terdapat –
(a) karena
maka � =
=
∙
∙( ∙
jadi
(c) Berdasarkan (M3) kita mempunyai
=
= . Berdasarkan sifat )=
∙
∙
= ,
= . Selanjutnya kedua
ruas ditambahkan dengan , sehingga diperoleh +
∙
=
∙ +
∙ 4
=
=
∙
∙
=
+
..............................
sifat (D) sifat (A3)
............................. ...........................
sifat (A3)
teorema 2.1.2 (c) mengatakan bahwa bilangan apapun jika dikalikan dengan nol
maka hasilnya adalah nol. Fakta ini merupakan teorema
yang kebenarannya dapat dibuktikan bukan suatu kesepakatan atau aksioma. Begitu juga dengan fakta lain pada teorema ini. Teorema 1.2 (a) jika ,
(b)
jika
Bukti
=
,
∈ ℝ sedemikian hingga
(a) karena hingga
∈ ℝ dan
≠
+
= , maka
sedemikian sehingga
+ −
= . Jadi,
+ elemen
= , maka
∈ ℝ, berdasarkan (A4), maka ada − ∈ ℝ sedemikian +
+ −
=
dan berdasarkan sifat (A2), (A4) dan (A3) diperoleh
(b) Karena
∙
= −
∈ ℝ dan
+ −
jadi
=
+
+ −
=−
=− .
≠ , berdasarkan sifat (M4) maka terdapat
∈ ℝ sehingga
∙ = . Jadi
∙
∙ =
∙
melalui penggunaan sifat (M2), (M4) dan (M3) diperoleh =
Teorema 1.3
∙( ∙
)=
=−
∙
= jadi,
=
= ,
∙
∙
Jika , , ∈ ℝ, maka pernyataan berikut berlaku (a) Jika
(b) Jika (c) Jika
≠
∙
∙
maka ≠
=
=
∙ dan
dan
1 �
=
≠ , maka
maka berlaku
=
=
atau
=
5
Bukti ≠ , maka sesuai sifat (M4) selalu ada
(a) Karena =
maka diperoleh
=
∙( )=
∙
∈ ℝ. Andai
=
Hal ini kontradiksi dengan (M3). Jadi pengandaian ini tidak benar ≠ . Karena
sehingga
=
teorema 1.2, maka ≠
(b) Karena
dan
∙
∙
∙ )∙
(
(c) Misalkan bahwa
∙
≠
1 �
∙
dan
=
maka berdasarkan
∈ ℝ maka terdapat ∈ ℝ =
= ∙
∙
=( =
=
dikalikan dengan
( ∙ )
..........................
∙ ) ∙ ................. Sifat (M2)
∙
.............. sifat (M4). ≠
dan
. Selanjutny, jika kedua ruas
dikalikan dengan , maka akan diperoleh =
∙
= ( )∙
∙
=( )∙
∙
=( )∙
=
dengan alasan yang sama dapat digunakan untuk menunjukkan jika b 0, maka diperoleh a = 0. 2.1.2
Beberapa Operasi Lainnya pada ℝ
Sejauh ini, hanya ada dua operasi pada bilangan riil. Melalui dua operasi ini diturunkan beberapa operasi lain yang didefinisikan sebagai berikut (a)
Operasi pengurangan Bila ,
∈ ℝ, maka notasi
−
dibaca
−
≔
+ −
didefinisikan oleh
dikurang
dengan
6
(b)
Operasi pembagian Jika ,
∈ ℝ dan
≠
maka notasi
dibaca
dibagi dengan
dan didefinisikan oleh
(c)
≔
Operasi pangkat Jika atau
∈ ℝ maka notasi
∙( )
dibaca
dipangkatkan dengan dua
kuadrat dan didefinisikan sebagai �
umum untuk � bilangan asli, maka
dengan � didefinisikan oleh �
Untuk notasi 2.1.3
≠ , notasi
−�
untuk
�
−
≔ ⏟∙
∙
adalah
≔
∙ . Secara
dipangkatkan
∙ ⋯∙
y k�
k
dimaksudkan untuk menuliskan
dan
Beberapa himpunan bagian pada ℝ
Pada sistem bilangan riil memiliki himpunan bagian (subset) diantaranya bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional dan sebagainya. Dalam tulisan ini akan diberikan beberapa himpunan bagian yang dianggap penting dalam kajian analisis riil, diantaranya: (a) Bilangan asli Himpunan bilangan asli dinotasikan dengan ℕ dan � ∈ ℕ ∈ ℝ dan difenisikan sebagai
(b) Bilangan bulat Himpunan
� ≔ ⏟+ +
bilangan
+ ⋯+
y k�
bulat
k
dilambangan
dengan
keanggotaannya didefinisikan sebagai berikut:
ℤ
dan
ℤ ≔ {−�: � ∈ ℕ} ∪ ℕ ∪ { }, dengan
−� ≔ ⏟−
+ −
+ −
y k�
+ ⋯+ − k
7
(c) Bilangan rasional dan irasional Himpunan bilangan rasional dinotasikan dengan
yang dapat
ditulis dalam bentuk pecahan, jadi ≔{ : ,
∈ ℤ,
≠ }
Dalam sistem bilangan riil selain bilang rasional terdapat bilangan irrasional dan himpunan bilangan irrasional dinotasikan dengan ℝ∖
≔ {⋯ , − , − , , , , , ⋯ }
ℤ ≔ {⋯ , −
,− ,−
ℕ≔{
, , , ,⋯}
ℝ
ℝ∖
, , , ,⋯}
≔
, �,
��
� ���
Gambar 1. Struktur bilangan riil 2.2 Sifat Urutan Bilangan Riil Urutan pada bilangan riil mengacu pada hubungan ketaksamaan antara dua bilangan riil. Definisi 1.1 Pada sistem bilangan ℝ terdapat himpunan bagian tak kosong dengan sifat – sifat berikut 1. Jika ,
2. Jika ,
Himpunan
∈
∈
maka maka
+
∙
∈
∈
ini selanjutnya disebut sebagai himpunan bilangan positif.
Selanjutnya, akan diturunkan sifat trikotomi pada bilangan riil, yaitu apabila sebarang berikut:
∈ ℝ maka akan memenuhi tepat satu pernyataan ∈
atau
=
atau − ∈
Terdapat − atau bilangan negatif yang didefinisikan oleh {− :
∈ }
8
Jadi himpunan bilangan riil terbagi atas tiga himpunan yang saling asing, yaitu bilangan positif, bilangan negatif dan nol yang didefinisikan lebih lanjut. Definisi 1.2 ∈
1. Bilangan
dikatakan bilangan positif dan dinotasikan oleh
> . Untuk notasi
bilangan tak negatif. ∈
2. Bilangan
sehingga − ∈
∪ { } dan
3. Bilangan riil
Teorema 1.4 Misalkan , , (a) Jika
dikatakan bilangan negatif
−
∈
dan
>
maka
>
< ,
(b) Akan memenuhi tepat satu pernyataan Bukti >
(a) Karena
dan
−
berlaku
∈
>
>
dan
− ∈
−
+
+
− ∈
+
−
+
−
− ∈
−
∈
− ∈
− ∈
− ∈
................ sifat A1 ................ sifat A2
sesuai dengan definisi 1.2 poin 3 berlaku
satu yang akan memenuhi −
>
, sehingga
(b) Dari sifat trikotomi berakibat bahwa untuk , i. Jika
= ,
maka berdasarkan definisi 1.2 bagian 3
−
∈
dan ditulis
∈ ℝ, maka akan berlaku pernyataan berikut ini:
>
Karena
berarti
disebut bilangan tak positif.
dikatakan lebih besar dari
jika dan hanya jika
disebut
< . Untuk notasi
dan dinotasikan oleh − ∈
∪ { } dan
∈
berarti
∈
−
berakibat pada
∈ , −
−
>
∈ ℝ terdapat tepat =
atau −
−
>
9
−
Jika
>
diperoleh −
ii. Jika
dikedua ruas ditambahkan dengan b, −
=
+
>
+
=
>
kebudian dikedua ruas ditambahkan dengan
b, diperoleh
− iii. Jika –
−
−
Jika
<
diperoleh −
Teorema 1.5
∈
+
+
=
=
+ −
berakibat pada
<
dikedua ruas ditambahkan dengan b,
<
+
=
<
Jika sembarang , , ∈ ℝ, maka akan berlaku: (a) Jika
(b) Jika (c) Jika (d) Jika Bukti (a) Jika
>
>
maka
>
maka
dan
>
+ >
maka
>
dan
>
dan
<
>
dan
+
Karena (b) Jika −
Maka +
+
<
>
>
−
maka berakibat
−
+
∈
maka berlaku +
−
+
− ∈
>
+
dan
>
>
dan −
(c) Jika
>
+
∈
+
>
+
+
berakibat dan
>
>
+
−
∈ , maka
∈ .
mengakibatkan
+
>
− >
sehingga bisa dinotasikan
> , Kedua ruas dijumlahkan dengan
+
−
∈
∈ , maka
−
Maka,
=
∈
−
maka berlaku −
−
−
>
maka
sehingga bisa dinotasikan −
>
+
+
di
−
+
dan dinotasikan dengan
dinotasikan dengan
∈ , maka sesuai 10
definisi sebelumnya yaitu “jika
,
berakibat ∙
−
∙ >
(d) Jika −
∈
−
∈
∙
∙
<
∙
(b)
−
∙
+ − ∙ ∙
>
−
∙
∙
>
∙
>
+
>
∈ ∙
∙
<
≠ , maka
− ∙
∙
∈ ”
∈
+
∙
sehingga
− − ∙ >
maka
sehingga bisa dinotasikan
−
∙ ∈ ℝ dan
>
+
>
maka − ∈
Teorema 1.6 (a) Jika
− ∙
∙
maka berakibat dan
= ∙
∈
>
+
∙
∙
>
(c) Jika � ∈ ℕ maka � >
Bukti
(a) Dari sifat trikotomi, jika satu ditulis
∈
atau − ∈
≠
. jika
>
maka akan memenuhi tepat ∈
maka
Dengan cara yang sama jika − ∈ ,
∈
∙
maka
diperoleh −
⋅ −
=
∈
=
∈
∈
dan
maka dari definisi jika
dapat ditulis
∈ ℝ dan
=
(b) Dari teorema 1.6 (a) jika diambil ⋅
=
∈ ” dan sifat – sifat aljabar bilangan riil
Sehingga disimpulkan jika =
⋅
∈
, karena
>
≠ , maka
>
maka diperoleh
maka ditulis
>
(c) Jika � ∈ ℕ dan � ∈ ℕ ∈ ℝ dan difenisikan sebagai � ≔ ⏟+ +
+ ⋯+
y k�
k
11
dari teorema 1.6 (b) diperoleh bahwa � ≔ ⏟+ +
Teorema 1.7 Jika =
+ ⋯+
y k�
> , maka � >
k
∈ ℝ sedemikian hingga
> , sehingga
< � untuk setiap � > , maka
Bukti Andaikan kesimpulannya tidak demikian, yaitu a > . Jika diambil ε = a, akan diperoleh
< ε = a < a. Sehingga bertentangan
a < ε untuk setiap ε > . Jadi pengandaian tidak benar
dengan
dan seharusnya a = Teorema 1.8 Jika yaitu: (a) (b) Bukti Jika
> , maka salah satu dari dua bentuk berikut akan dipenuhi, a>
a< >
dan b >
atau
dan b <
≠
maka berakibat
sesuai sifat trikotomi berlaku (a)
(b)
Jika
Jika −
>
maka >
<
=
>
maka >
>
>
dan atau
≠ . Karena
< .
maka
dengan demikian diperoleh bahwa
< sehingga − >
=− >
≠
=
dan dituliskan
<
2.3 Ketaksamaan bernoulli Jika � > − , maka
+�
�
+ �� untuk semua � ∈ ℕ
Persamaan Bernoulli akan dibuktikan dengan induksi matematika, Sebagai berikut:
12
(i) akan dibuktikan benar untuk � =
�
+�
+�
+ ��
+
+�
+�
(ii) akan dibuktikan benar untuk � = � �
+�
+ ��
�
+�
+ ��
(iii) akan dibuktikan benar untuk � = � + �+
+�
=
=
+�
+ �� + � + ��
=
Karena ��
�
+�
∙�
+ �+ +�
, maka
�=�+
�+
+ ��
� + ��
+ ��
+ �+
� yang berarti
+�
+ �� untuk
Jadi terbukti bahwa apabila � > − , maka semua n ∈ ℕ
2.4 Contoh Penggunaan Contoh 1 Jika
<
dan
+ <
, buktikan bahwa
Penyelesaian Diketahui hingga
−
<
>
Berdasarkan −
+
− ∈ −
−
∈
∈
−
dan
−
dan dinotasikan
Selanjutnya diketahui dinotasikan
>
maka berakibat
+
∈
maka berakibat ∪{ }⟺
− ∈
dan
=
−
= −
= + =
− ∈
+
−
dan − ={ }
∪
−
sedemikian −
dan
diperolah
+
+
>
−
− >
− >
−
+
> > 13
+
= = +
+ <
akibatnya
+
>
−
+
+
+
+
>
+
+
Contoh 2 <
Buktikan jika Penyelesaian
< <
diketahui bahwa >
diketahui
⟺
−
>
dan
∙ =
⟺
, maka
atau , ∈
>
∙
−
atau
− >
berakibat
>
berakibat
⟺
maka
untuk , >
<
maka
∈
∪ { } berakibat
, ∈
untuk
dan
=
∙ =
−
>
atau
∈
berakibat
dan
=
atau ∈
diperoleh bahwa .......................(2)
<
maka
∪{ }
− ∈
atau
− =
atau
∈
atau
>
.............. (1)
dan berakibat pada
dari persamaan (1) dan (2) dapat dituliskan ∙
atau
diketahui untuk ∙
untuk
>
−
−
−
dan >
>
∪ { } ........................(3)
∙ ∈
dan
−
>
∈
=
dan
−
−
∪{ }
∈
sehingga >
− >
=
>
......................... (4)
sehingga −
−
∙
>
>
−
−
+
+
+
>
> −
>
−
−
>
...............................(5)
dari persamaan (4) dan (5) dapat ditulis bahwa >
berakibat
−
>
atau
−
∈
.................(6)
14
untuk −
− = −
dan =
−
−
∙
∈
diperoleh
−
−
⟺ =
=
=
−
+
+
+
+
−
− −
=
=
− =
−
= .........................(7)
dari persamaan (5), (7) dan (4) dapat dituliskan bahwa −
Serta
atau −
−
∈
berakibat
∪{ }
..............(8)
dari persamaan (3) dan (8) dapat disimpulkan bahwa
Contoh 3 Buktikan bahwa tidak ada elemen Penyelesaian ∈
Andaikan terdapar
dapat dituliskan dengan
∈
dan
genap maka
Karena sebelumnya sudah didapat ganjil sebab jika jadi
=
atau
juga genap akibatnya
= �, ∀� ∈ ℕ sehingga
=
∈
maka
tidak mempunyai faktor yang
berserikatan kecuali 1, sehingga diperoleh adalah genap, maka
= . Karena
sedemikian hingga dengan
=
sedemikian hingga
=
�
dan
=
. Karena
juga genap. Karena = � .
genap berakibat pada
genap maka faktor yang berserikat
dan
tidak hanya 1,
harus ganjil.
Sehingga diperoleh
yang berarti
genap.
=
⟺ � =
⟺ � =
15
Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa pengandaian salah, sehingga tidak ada
∈
harus ganjil. Jadi,
sedemikian hingga
Soal – soal Latihan yang Bisa diselesaikan: 1. ika atau 2. Jika
∈ ℝ dan memenuhi . =
= . Buktikan bahwa salah satu
!
dan , tunjukkan bahwa
3. Misalkan , , ∈ ℝ, buktikan a. Jika
+
=
dan
=
+
=
=
= ∙ ! , maka
b. Jika a 0, ab = 1 dan ac = 1, maka
=
=
= !
= −
4. Buktikan bahwa tidak ada r sedemikian sehingga r2 = 6 dan r2 = 3
3. Penutup Ada dua cara yang dapat digunakan untuk mengenali system bilangan real ini,yaitu secara konstruksi dan secara aksiomatik. Sifat-sifat atau aksioma aljabar yang terdapat pada bilangan riil dapat dikembangkan menjadi teorema-teorema yang berlaku secara umum dalam sistem bilangan riil. Nantinya, teorema-teorema yang telah dikembangkan bisa membantu dalam pembuktian persoalan analisis riil yang lebih kompleks. Untuk pembahasan berikutnya dengan tema yang sama diharapkanj bisa menambahkan contoh soal yang lebih banyak dan lebih bervariasi
Daftar Bacaan Trech, William F. 2003. Introduction to Real Analysis. Texas: Trinity University Bartle, Robert G. & Sherbert, Donald R. 2000. Introduction to Real Analysis. 3rd Edition. John Willey & Sons, Inc
16
