1
MODUL KULIAH MATEMATIKA/KALKULU S1
Pokok Bahasan : Kalkulus I 2
1) Siste istem m Bi Bilan langan gan Re Real 2) Fungs Fungsii dan dan Grafi Grafik k Fungs Fungsi, i, Fung Fungsi si Trig Trigono onomet metri ri 3) Limi Limitt Fung Fungsi si,, Fung Fungsi si Kon Konti tinu nu 4) Turunan Fungsi 5) Peng Penggu guna naan an Turun urunan an,, Graf Grafik ik Fun Fungs gsii 6) Limit Limit Bentuk Bentuk Tak Tentu, Penggunaa Penggunaan n Turuna Turunan n 7) UTS 8) Integral Integral Tak Tentu dan Integr Integral al Tentu 9) Peng Penggu guna naan an Integ Integra rall Tentu entu 10) Fungsi-fu Fungsi-fungsi ngsi Transenden ransenden 11) Metode Metode Integrasi, Integrasi, 12) Penggunaan Tabel Integral 13) 13) UAS UAS
SISTEM BILANGAN REAL Bilangan Kompleks z = a + bi
Bilangan Real (R)
Bilangan Rasional
3
Bilangan Immajiner, i = 1
Bilangan Irrasional
Bilangan yang dapat
Bilangan yang tidak dapat
dinyatakan dalam bentuk pecahan (P/Q) Bilangan yang dapat ditulis sebagai desimal berulang
dinyatakan dalam bentuk pecahan Bilangan desimal tidak berulang
Garis Bilangan Real Bilangan real dinyatakan dengan notasi R. Bilangan-bilangan real dapat dipandang sebagai titik-titk sepanjang sebuah garis bilangan real x < -2
e
=3,14
───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼──> R 0 4/5 1 2 3 4 –3 –2 –1 Bidang Bilangan Kompleks Bilangan komplek, z = a + bi, dalam bentuk geometri bilangan kompleks dinyatakan dalam bentuk bidang kompleks b
Im(z)
P
a 4
Ra(z)
Pengertian Pertidaksamaan 5
Pertidaksamaan adalah himpunan bilangan yang memenuhi sifat urutan bilangan tertentu. Pertidaksamaan dinyatakan dengan salah satu tanda dari lambang berikut : > <. (1) p < q artinya p lebih kecil dari pada q (2) p > q artinya p lebih besar dari pada q (3) p q artinya p lebih kecil atau sama dengan q (4) p q artinya p lebih besar atau sama dengan q
Sifat-sifat Sederhana : (1)Penjumlahan/pengurangan. Jika x < y, maka x + a < y + a Misal, jika x < 10, mk x+2<10+2
(2)Perkalian/pembagian dengan bilangan positip. Untuk, a > 0, Jika x < y, maka ax < ay Misal, jika x < 2, mk 4x < 4(2) (3)Perkalian/pembagian denan bilangan negatif. Untuk a < 0, Jika x < y, maka ax > ay Misal, jk x < 4, mk -2x > -2(4)
Pertidaksamaan dan Interval Persamaan (x2 + 2x – 8 = 0) solusinya adalah sebuah titik di dalam garis
bilangan R (x1 = –4, x2 = 2) Pertidaksamaan (x 2 + 2x – 8 ≤ 0) solusinya adalah sebuah interval tertutup, interval terbuka atau kombinasi, (HP = {x: –4 ≤ x ≤2}) Interval adalah himpunan dari R yang memenuhi sifat urutan bilangan tertentu Interval terdiri interval terbuka, tertutup atau kombinasi dari keduanya. Interval disajikan dengan notasi himpunan, interval dan garis bilangan Contoh Tentukan HP dari : x3 -2x2 – 11x + 12 ≤ 0
Contoh x 2 x Tentukan HP dari : 8 x x 4 dg, x 8, x –4
Solusi : - -0 + + + 0 - - - - 0 + + +
Solusi : - -0 + + + 0 - - - - 0+ + ++0- - -
─┼────┼────┼───> R 1 4 –3 HP = {x: x ≤ –3 V 1 ≤ x ≤ 4} 6
─┼────┼────┼────┼──> R 4 8 –4 –1 HP = {x: x < –4 V –1 ≤ x ≤ 4 V x > 8}
Pertidaksamaan Sederhana 7
Solusi pertidaksamaan adalah himpunan bilangan yang memenuhi pertidaksamaan. Solusinya dapat digambarkan pada garis bilangan. Contoh : Solusi dari : x + 4 > 7 Ruas kiri dan kanan dikurangi 4 diperoleh, x + 4 – 4 > 7 – 4 x>3 Jadi semua nilai x lebih besar dari 3 yang memenuhi pertidaksamaan, ---------+----+----+----+--------- x 0 1 2 3
Contoh : Cari nilai x yang memenuhi pertidaksamaan, 3 + 4x 6x + 7 Tulis pertidaksamaan menjadi, 4x – 6x 7 – 3 –2x 4 2x –4 x –2 Jadi semua nilai x lebih kecil atau sama dengan –2 yang memenuhi pertidaksamaan. Garis bilangannya :
---------+----+----+----+--------- x –3 –2 –1 0
Pertidaksamaan Kuadratik (1) 8
Pertidaksamaan kuadratik adalah pertidaksamaan yang memuat persamaan kuadratik. Tahap-tahap menentukan solusinya adalah : (1) Ubah bentuk pertidaksamaan menjadi persamaan (2) Carilah akar-akar persamaan kuadratnya, jika mungkin dengan faktorisasi (3) Selidikilah nilai-nilai yang mungkin dengan menggunakan garis bilangan (4) Tentukan solusinya dari langkah (3).
Contoh : Tentukan HP dari x2 – 4x – 12 < 0 Faktor dari, x 2 – 4x – 12 = 0 adalah, (x + 2)(x – 6) = 0, dan akar-akarnya x= –2, x=6. Perhatikan garis bilangan
- - -0 + + + + + + + + (x+2) -----+------------+------ 6 –2 ------- ---0+++ (x –6) -----+------------+------ –2 6 + + 0 - - - - - -0++ + (x+2)(x –6) -----+------------+----- 6 –2 HP, –2 < x < 6.
Pertidaksamaan Kuadratik (2) 9
Contoh : Tentukan HP dari 2x 2 + 3x – 9 0 Faktor, 2x2 + 3x – 9 = 0 adalah, (2x – 3)(x + 3) = 0, dan akarakarnya x=3/2, x= –3. Perhatikan garis bilangan - - -0 + + + + + + + (x+3) -----+-----------+----- 3/2 –3 ------ ---0++ (2x –3) -----+----------+------ –3 3/2 + + 0 - - - - - -0++ + (2x+3)(x –3) -----+-----------+----- Jadi nilai x yang memenuhi pertidaksamaan, x –2 v x 6.
Contoh : Tentukan HP : 0 < x 2 – 4x – 12 < 20 Solusi pertidaksamaan diatas adalah irisan HP : 00, atau (x+2)(x – 6) > 0 adalah x< –2 v x > 6 Solusi dari, x 2 – 4x – 12 < 20 atau x2 – 4x – 32 < 0, (x + 4)(x – 8) < 0 adalah –4< x < 8 Irisan kedua solusi adalah – 4
10
Pertidaksamaan dan Pecahan (1)
Sifat-sifat : p p (1) Jika, 0, maka harus positip q q p (a). 0, syaratnya p 0 dan q 0 q p (b). 0, syaratnya p 0 dan q 0 q
(2) Jika
p q
0, maka
p harus negatif q
p 0, syaratnya p 0 dan q q p (b). 0, syaratnya p 0 dan q q Batas interval, solusinya adalah p=0, dan q 0
(a).
0 0
Contoh : Hitunglah HP dari, x 2 0 3 x 9 Jawab Batas interval pertidaksamaan adalah x1=2, dan x2 –3. Perhatikanlah garis bilangan berikut : - - - - - - - - - 0+ + + (x – 2) -----+-----------+----- 2 –3 ---0+++++++ (3x+9) -----+----------+------ –3 2 + + 0 - - - - - -0++ + HP -----+-----------+----- 2 –3 Jadi HP pertidaksamaan, –3 < x 2
11
Pertidaksamaan dan Pecahan (2) Contoh : 2 x Hitunglah HP dari, x 3 x 3 Jawab Tulislah pertidakamaan menjadi, 2 x x 3 x 3 2 x 0 x 3 x 3 x (x 3) 2(x 3) 0 (x 3)( x 3)
x 2 5x 6 (x 3)( x 3)
0
( x 1)( x 6) (x 3)( x 3)
0
Perhatikanlah garis bilangan berikut, -------0+++++++ (x + 1) -----+-----+-------+------+-- 3 6 –3 –1 --------------- 0++ (x – 6) -----+-----+-------+------+-- 3 6 –3 –1 ---0++++++++++ (x + 3) -----+-----+-------+------+-- 3 6 –3 –1 ----------- 0 ++++ (x – 3) -----+-----+-------+------+-- 3 6 –3 –1 + + 0- - - 0 + + 0 - - - 0+ + HP -----+-----+-------+------+-- 3 6 –3 –1
Nilai Mutlak Bilangan Nilai mutlak suatu bilangn real x selalu bernilai positip. Nilai mutlak bilangan real x ditulis |x|, didefininisikan oleh : y Y=-x Y=x x , jika x 0 | x | x , jika x 0 x 0 Grafik persamaan, y = |x| ───┼─────┼─────┼─> R 0 x –x y Y=x-a Kasus khusus, Y=a-x a x a , jika x a | x a | ( x a ), jika x a x a ───┼─────┼─────┼─> R Grafik persamaan, y = |x – a| 0 x-a –(x-a) 12
Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak (1) Nilai mutlak bilangan x, ditulis |x| didefinisikan,
| x |
x , jika x
0
x , jika x
0
Dari definisi diatas nilai mutlak bilangan selalu bernilai positif. Pertidaksamaan dengan nilai mutlak yang penting : (1) | x | < a (2) | x | > a
–a < x < a x< –a V x> a
Sifat (1) berlaku pula untuk ( ), sifat (2) berlaku pula untuk ( )
Contoh : Hitunglah HP dari, |2x – 5| < 9 Jawab Menurut definisi, |2x – 5| < 9 –9 < 2x – 5 < 9 –9+5 < 2x < 9+5 –4 < 2x < 14 Jadi, HP : –2 < x < 7 Contoh : Hitunglah HP dari, |2x + 3| > 11 Jawab Menurut definisi, |2x + 3|>11 2x+3< –11 v 2x+3>11 2x< –11 –3 v 2 x >11 –3 2x < –14 v 2x > 8
13
Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak (2) Contoh : Hitung HP dari, |x 2 – 4x – 25|< 20 Jawab Menurut definisi, |x2 – 4x –25|<20 –20
Demikian pula dari, x2 – 4x – 25 < 20 x2 – 4x – 45 <0 (x + 5)(x – 9) < 0 Solusinya adalah : ++0------0+++ HP (2) -----+------------+------- 9 –5 Jadi HP (2) : –5 < x < 9
Mengingat, –20
Jadi solusi pertidaksamaan adalah :
x2 – 4x – 5 > 0 (x + 1)(x – 5) > 0
Solusinya adalah : ++0------0+++ HP (1) -----+------------+------- 5 –1
14
HP -----+------+------+-------+--- 5 9 –5 –1 Solusi : –5 < x < 1 v 5 < x < 9
Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak (3) Demikian pula dari, x2 – 5x – 21 > 15 x2 – 5x – 36 >0 (x + 4)(x – 9) > 0 Solusinya adalah : ++0------0+++ HP (2) -----+------------+------- 9 –4 Jadi HP (2) : x < –4 v x > 9
Contoh : Hitung HP dari, |x 2 – 5x – 21|> 15 Jawab Menurut definisi, |x2 – 5x – 21|> 15 x2 –5x – 21< –15 atau x2 – 5x – 21>15 Jadi, HP merupakan gabungan HP, (1) x2 – 5x – 21 < –15 atau (2) x2 – 5x – 21 > 15
Jadi solusi pertidaksamaan adalah :
Mengingat, x2 – 5x – 21< –15
HP (1)
x2 – 5x – 6 < 0 (x + 1)(x – 6) <0 ++0------0+++ -----+------------+------- 6 –1
15
HP -----+-------+---------+-------+--- 6 9 –4 –1 Solusi : x < –4 v –1< x < 6 v x > 9
Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Bentuk grafik
Y=x2 + 2x – 16
Contoh Tentukan HP dari :
8
|x2 + 2x – 16| ≤ 8
–8 ≤
x2 +
2x – 16
+ 0 - - - - 0 ++
x2 +
2x – 16 ≤ 8
+ 0 - - - - 0 ++
─┼────┼─> R ─┼────┼─> R 2 –4 4 –6 Solusi :
─┼────┼────┼────┼──> R 2 4 –6 –4 HP = {x: –6≤ x ≤–4 V 2 ≤ x ≤ 4} 16
–6 – 4
2
4
x
–8 Grafik persamaan kuadrat,
Contoh Tentukan HP dari : |x2 – 6x – 16| ≥ 8
Soal-soal latihan 17
Carilah solusi pertidaksamaan berikut ini : 1. –13 < 3x – 7 < x+17 2. x2 – 10x + 24 < 0 3. 10 < x2 – 4x + 5 < 17 4. 8 < 2x2 – 5x + 5 < 30 5. –1< 3x2 – 4x – 5 < 10 x 4 x 2 ( 10 ) ( 6) 3 x 10 x 2 x 3 20 x x 2 ( 11 ) (7 ) 0 x 4 x 2 2 x x 12 2 12. |2x + 5| < 17 x 2 x 11 (8 ) 4 13. |3x – 4| > 14 x 1 14. |x2 – 5x – 32| 18 21 (9) x 0 15. |x2 + 4x – 22| > 10 x 4
Soal-Soal Latihan : Soal 16.Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini 2(a
(a ). x
2
x
b
(a
2) x
b ) x
0
(b ). x
ab
ab
2
x
2
ax
b
2
0
Soal 17. Diberikan, 4
(a ). f ( x )
x
3
x
3 x 2
2ax 2
(a
3
2
( b ). f ( x ) b ) x
x
3
x
9 x 2 2
ax
24 x 20 2
b x
a. Tentukan nilai x agar f(x) = 0 b. Nilai x agar f(x) tidak ada (penyebut sama dengan 0) c. interval f(x) > 0 dan f(x) < 0
18
ab
2
Sistem Koordinat Kartesius dan Grafik Garis Lurus (1) Grafik : gambar mempresentasikan informasi hubungan satu variabel dengan variabel yang lain. Grafik dg sistem koordinat kartesius.
Grafik yang paling sederhana adalah garis lurus, dima persamaannya : y=mx + c m disebut dengan gradien. Persamaan garis yang melalui dua buah titik P(x0,y0) dan Q(x 1,y1) adalah :
19
y x
y 0 x 0
y 1 x 1
y 0 x 0
y
y 0
y 1 x 1
y 0 (x x 0
y
y 0
m (x
dimana, m
y 1 x
y 0 x 0
x 0 )
x 0 )
Grafik Garis Lurus (2) 20
Contoh : Persamaan garis lurus yang melalui titik P(1,5) dan Q(2,8) seperti terlihat pada gambar berikut :
m
8 5 2 1
3
Q(2,8)
P(1,5)
Garis Sejajar. Garis sejajar adalah garis lurus yang memiliki gradien yang sama
Grafik Garis Lurus (3) 21
Contoh : Garis berpotongan. Carilah titik potong dua garis, 3x+y = –1, dan – x+2y=5. Dan buat pula sketsa grafiknya. Jawab Titik potong diperoleh dengan cara eliminasi atau substitusi. 3x+y = –1 x 1 3x + y = –1 –x+2y=5 x 3 –3x +6y=15 ---------------- (+) 7y=14 Untuk, y=2, maka x=2(2) – 5 = –1
Sketsa grafik kedua garis
–x+2y=5 Titik potong ( –1,2)
Jadi titik potong kedua garis adalah ( – 1,2) 3x+y = –1,
Grafik Garis Lurus (4) 22
Contoh : Garis tegak lurus. Carilah garis yang tegak lurus garis, 3x + y = 9, dan melalui titik (1,6) Jawab Dua garis saling tegak lurus, maka m1m2= –1. Dari, garis 3x+y=9, maka diperoleh, m1= –3, dengan demikian,
m 2
1 (x 1) y 6 3 3y 18 x 1 3y
3x + y = 9
(1,6)
1 3
dan persamaan garisnya adalah,
x
Sketsa grafiknya adalah :
17
x – 3y = –17
–3 –2 –1
0
1
2
3
4
Grafik Parabola (1) 23
Grafik persamaan kuadrat yang berbentuk, y=ax2+bx+c disebut dengan parabola Sifat-sifat grafik parabola. 1. Kecekungan. (a) a > cekung terbuka keatas (b) a < cekung terbuka kebawah. 2. Sumbu simetri. Garis, b x 2a adalah sumbu simetri parabola 3. Titik potong dengan sumbu y. Grafik memotong sumbu di titik (0,c )
4. Titik potong dengan Sumbu x (a) Kasus D > 0. Grafik parabola memotpng sumbu di dua tempat, yaitu :
x 12
b
b 2 2a
4ac
(b) Kasus D = 0 Grafik parabola menyinggung sumbu x di titik,
x
b 2a
(c) Kasus D < 0 Grafik parabola tidak memotong sumbu x
Grafik Parabola (2) 24
Langkah-langkah membuat sketsa grafik adalah : (1) Bilamana mungkin tentukanlah pula titik potongnya dengan sumbu koordinat. (2) Tentukanlah koordinat-koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaan. (3) Buatlah diagram pencar titik-titik di bidang (4) Hubungkan titik-titik tersebut sehingga membentuk suatu kurva yang mulus
Contoh : Buatlah sketsa grafik parabola, y=4x2 + 4x – 15 Jawab (a) Untuk x=0, y= –15, sehingga titik potong dengan sumbu y adalah (0, – 15) (b) Titik potong dengan sumbu x. Untuk y=0, diperoleh persamaan kuadrat, 4x2 + 4x – 15 =0, (2x + 5)(2x – 3) = 0 dimana akar-akarnya adalah : x1= –2,5 dan x2=1,5 Jadi titik potong dengan sumbu x di ( –2,5,0) dan (1,5,0)
Grafik Parabola (3) 25
(c) Sumbu simetri,
x
4 2(4)
a=4> 0
0,5
Untuk x=1 – 0,5, y=1 – 16. Puncak parabola di ( –0,5, –16)
(d) Diagram pencar untuk beberapa nilai diberikan tabel berikut, x –3 –2 –1 0 1 2 -----------------------------------y 9 –7 –15 –15 –7 9 (e) Sketsa grafik lihat gambar samping
Titik potong Sumbu simetri
