Tugas Modul 3 KB KB 1: Sistem Sistem Bilangan Real Oleh : I PUTU BUDIANA 18220718010023 PPG DALJAB UNDIKSHA - SMP NEGEI SATAP 5 KINTAMANI
1. Jika a < b dan e < d, tunjukkan bahwa a + e < b + d. Bukti :
<, > 0 <, > 0 Karena > 0 > 0 maka : > 0 >0 >0 > 0 > < 2. Jika 0 < a < b dan 0 < e < d, tunjukkan bahwat 0 < ae < bd Bukti :
0 < < > 0 > 0 0 < < > 0 > 0 > 0 , > 0 > 0 Maka : > > < < Maka 0<< artinya >0
Karena
> 0 , > 0 > 0 ∶ > > < < maka << artinya > 0 Karena
> 0 > 0 Maka : > 0 >0 >0 >0 > < Karena > , > < < < Karena
(Terbukti)
3.
Misalkan
a, b, e, d adalah bilangan real yang memenuhi 0
0 < a < b ma maka ,b > 0 dan a > 0 e < d < 0 maka,e < 0 dan d < 0 a. Untuk < Ambil = 3 =5 =1 =3 Maka :
Jadi
=3. =3. 3 3 = 9 =5.1 1 = 5 =9<=5 <
> =4 =7 =3 =4 Maka : =4. 4 =16 =7. =7. 3 3 =21 =16>21= Jadi >
b. Untuk Ambil
| | = || || ℎ ℎ ≥ 0
4. Jika a, b di R , Tunjukkan bahwa
Akan di tunjukkan (Adt) : Jika
Di berikan
≥ 0 | | = || || ≥0 maka =||
Akibatnya :
2 = 2|| = 2|| | ≥ 0 = || = || × || = || Akibatnya
=|| 2|| | || = || || Karena :
= | | | Akibatnya :
| | = || || | | = || ||
(terbukti)
Akan ditunjukkan (Adt.
Jika
| | = || || maka ≥0
| | = || || 2 22 = 2 2|| 2
||=|||| 2 = 2||.
||=|||| =||⇔≥0.
5. Tentukan semua
∈ yang memenuhi kesamaan | 1| | 2| = 7
Penyelesaian:
| 1| = 1 ≥ 1 …………….(*) | 1| = 1 < 1 | 2| = 2 ≥ 2 | 2| = 2 < 2………………(**) Berdasarkan (*) dan (**) di peroleh untuk nilai ≥ 1 < 2 maka batasnya menjadi 1 ≤ < 2 Selanjutnya di cari nilai untuk batas batas < 1 , ≥ 2 1 ≤ < 2 1 2 <1 <2 Untuk
1 2 -1
1≤<2
1 2 2
≥1 ≥2
< dan < 1 ( 2) = 7 12=7 21=7 2=6 =
Untuk
Untuk
≤< 1 2 2 = 7 12=7 3=7 → ≤ < ≥ ≥ 1 2 = 7 12=7 21=7
2=8 = yang memenuhi untuk | 1| | 2| = 7 adalah: = = Buatlah grafik persamaan = || |1| Maka Nilai
6.
Penyelesaian :
x ( x 1) x ( x 1) f ( x) x ( x 1) x ( x 1)
1 2 x 1 f ( x) 2 x 1 1
= 1 ≥ 0, ≥ 1 = 2 1 < 0, , ≥ 1 = 2 1 ≥ 0, , < 1 = 1 < 0 < 1 atau
= 1,1, ≥ 1 = 1, < 0 =21,0≤<1 =21 tidak termasuk karena pada saat ≥ 1 ℎℎ 1,1, < 0 ℎℎ 1. Maka = 2 2 1 ℎ ℎ..
=1 =21
=1
= || |1|
Grafik :
= :∈. Tunjukkan bahwa SupS = 1 dan dan Inf Inf S = 0 = :∈ Inf S = 0 Untuk menunjukkan bahwa suatu bilangan = maka harus ditunjukkan i. ≥ ∀ ∈ ii. Untuk seiap >0∃ ∈ Sedemikian sehingga <
7. Misalkan a.
Bukti :
i.
ii.
= :∈ Inf S = m = 0 Adt. ≥ ∀ ∈ ≥∀∈ Misalkan < 0 untuk suatu ∈ 1 <0 → <0 Hal ini berbeda dari yang di ketahui yakni ∈ yang artinya ≥ 1 Maka haruslah ≥ 0 Misal = > 0 Adt. = {1 :∈} < 1 <0 < → > Bukti : Untuk
>0
> ∈ Dengan menggunaka postula Archimedes ∃∈ sedemikian sehingga ≥ ∶ ≥ > → ≤ < Ambil
Maka di peroleh :
< Dengan terpenuhinya (i) dan (ii) maka
b.
= = 0
= :∈ = 1 .ℎ ≥ 1 , ∈ Misalkan > untuk setiap ∈ .ℎ Maka :
≤ ∀ ∈ . + = 1 . ada = ∈ sehingga lim →∞ − ≤ + 1 ≤ ∀ > , Dengan kata lain :
∋ + ≥1 ∀>, Sehingga = 1
