Resumen de las fórmulas para el estudio de las series de Fourier.Descripción completa
Descripción: series de fourier
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Descripción: Funciones ortogonales y Series de Fourier
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Series de fourierDescripción completa
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Teoría y Practica
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El documento presenta varios ejercicios resueltos referentes a las series de Fourier y además ofrece las gráficas de los resultados obtenidos en el software matlab para constatar lo obtenido…Full description
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Si la función tiene algún tipo de simetría en el intervalo el cálculo de sus coeficientes de Fourier se simplifica.
() () para todo en para todo entero
a) Si es una función función par, es decir el intervalo Entonces positivo .
() () para todo para todo entero
a) Si es una función impar, es decir en el intervalo . Entonces no negativo .
En algunos casos la serie de Fourier de una función en el intervalo se reduce a una serie con términos sólo de cosenos de la forma
∑ () O bien a una serie únicamente de senos de la forma
∑ ( ) Tales casos aparecen cuando la función es par o impar Se dice que una función es par si () () ( ).La grafica de una función par es simétrica con respecto al eje vertical.
La función
() es par ya que
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() () () La función ( ) es par, ya que () ( )( )() Se dice que una función es impar si () (). La grafica de una función impar es simétrica respecto al origen.
() (). Entonces () . La función ( ) es impar, ya que () () La función ( ) ( ) es impar, ya que ( ) () . Demostrar que si ( ) () y ( ) (). Entonces ( ) para todo ( trivial) Nótese que en particular
Demostrar que cualquier función definida en un intervalo simétricamente localizado puede expresarse como la suma de una función par y una función impar.
Denotemos por Proyectó: José Humberto Serrano D- U Distrital- Electrónica
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() [ () ()] () [ () ()] Entonces ( ) es una función par y ( ) es impar, ya que () [ () ()] [ () ()] () () [ () ()] [ () ()] () Las funciones pares e impares satisfacen las siguientes propiedades de adición y multiplicación ( también se puede pensar en composición ) 1) La suma de dos funciones pares es una función par.
La suma de dos funciones impares es una función impar .
2) El producto de dos funciones pares es una función par .
3) El producto de dos funciones impares es una función par .
4) El producto de una función par por una función impar es una función impar . Proyectó: José Humberto Serrano D- U Distrital- Electrónica
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Las demostraciones son muy directamente de la definición.
sencillas
y
se
deducen
Por ejemplo, sean y funciones impares y sea . Esta función resulta par, ya que
∫ () si es impar 6) ∫ ( ) ∫ ( ) si es par En (5) y (6) , se supone que es una función integrable en [] 5)
Basta observar que
() () () y
() () ()
donde se hizo la sustitución , para obtener la segunda integral y se uso el hecho de que es par para obtener la tercera integral. De modo similar se demuestra (5)
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Si
es una función integrable en []. Entonces
a) La serie de Fourier de una función términos en cosenos.
contiene únicamente
b) La serie de Fourier de una función únicamente términos en senos
a) Si es
en [] es () ∑ ( )
, la serie de Fourier de
en donde
()( ) y
b) Si es
, la serie de Fourier de en [ ] es () ∑ ( )
en donde
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contiene
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()( ) Sea
() ∑ ( ) ( ) () y () son la parte par e impar de (). Entonces las series de Fourier de ( ) y ( ) son respectivamente ( ) () ∑ ( ) ∑ ( ) Si
()
Demostrar que el valor de la media cuadrática de es igual a la suma de las medias cuadráticas de su parte par e impar es decir