SERIES Y TRANSFORMADA DE FOURIER

DEPARTAMENTO DE ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

ASIGNATURA DE SISTEMA DE COMUNICACIONES

NRC: 2705

LABORATORIO 1 SERIE Y TRANSFORMADA DE FOURIER

PROFESOR

Ing. Raúl Haro

INTEGRANTES

Paola Haro Libeth Pazmiño

2016- SANGOLQUÍ  ECUADOR

Contenido ............................... ..................... ..................... ...................... ..................... ..................... ..................... ................... ......... 3 1. TEMA.................... ................................ ..................... ..................... ...................... ..................... ..................... .................... .........3 3 2. OBJETIVOS..................... ............................... ..................... ..................... ...................... ............................... .................... 3 3. MARCO RCO TEÓR TEÓRIC ICO O.................... ............................... ..................... ..................... ..................................... ........................... 3 3.1. 3.1. Seri Series es de Fouri ourier er..................... ............................... ..................... ...................... ............................................. .................................. 3 3.2. 3.2. Apli Aplica caci cion ones es..................... ................................ ..................... ..................... ........................4 .............4 3.3. 3.3. Transo ransor!a r!ada da de de Four Fourier ier..................... ............................... ..................... ..................... ..................... ..................................... ........................... 4 3." 3.". Modu odulaci laci# #n.................... ................................ ...................... ........................ .............5 5 3.$. 3.$. Se%al Se%al Banda Banda Base Base & 'or(ad 'or(adora ora.....................

3.). 3.). Modu Modula laci ci#n #n de de A!pli A!pli(u (ud d..................................................................5 ". 'ARTE ARTE 1* 1* SERI SERIE E +E FO, FO,RI RIER ER...............................................................6 $. TRATRA-SF SFOR ORMA MA+A +A +E FO,R FO,RIE IER R............................................................9 ). 'ARTE ARTE 2* MO+,A MO+,ACIÓ CIÓ- I-E I-EA A........................................................10 ................................ ..................... ..................... ........................................ .............................. 14 /. CO-C O-C,SIOSIO-ES ES...................... ............................... ..................... ..................... ..................... ..................... ........................14 .............14 0. BIBIORAFA....................

1. TEMA Serie & transfor#ada de Fourier

2. OB OBJE JETI TIV VOS 2.1. 2. 1. O O4e 4e(i (i5o 5o e ene nera rall /btener las $rá)cas de las series & !ransfor#ada de Fourier+ as co#o la #odulación + a tra2%s del uso de la (erra#ienta atlab

2.2. 2. 2. O O4e 4e(i (i5o 5os s Espe Es pec6 c67cos 7cos • •

naliar las seales resultantes obtenidas en la #odulación  Co#parar las seales ori$inales con las obtenidas de las series de Fourier

3. MA MARC RCO O TEÓ TEÓRI RICO CO 3.1 .1.. Ser eriies de Fou Fouri rier er La idea básica de las series de Fourier es que toda función periódica de perodo  ! puede ser e"presada co#o una su#a tri$ono#%trica de senos & cosenos del #is#o perodo ! La idea de desco#posición es un proceso funda#ental en el area cient)ca en $eneral- la desco#posición per#ite el análisis de las propiedades & la sntesis de los obetos o fenó#enos

Series de Fourier

'ara construir la serie de Fourier de una función sólo (a& que calcular sus coe)cientes

Siendo f una función inte$rable en *0+  !,+ & ade#ás periódica de perodo !+ pode#os (ablar de la serie de Fourier de f en *0+ !,.

3.2. Aplicaciones l poder e"traordinario & la e"ibilidad de las series & transfor#adas de Fourier se ponen de #ani)esto en la aso#brosa 2ariedad de las aplicaciones

que ellas tienen en di2ersas ra#as de la #ate#ática & de la fsica #ate#ática+ desde teora de n:#eros & $eo#etra (asta #ecánica cuántica. n esta sección presenta#os al$unas de las #ás i#portantes aplicaciones del análisis de Fourier. Fourier.

3.3. 3. 3. Tra rans nso or! r!ad ada a de de Fou Fouri rier er La transfor#ada rápida de Fourier 7!8F9 es un #%todo #ate#ático para la transfor#ación de una función del tie#po en una función de la frecuencia.

;na aplicación i#portante se da en el análisis del sonido. 5s i#portante e2aluar la distribución de frecuencias de la ener$a que trans#ite un sonido+ porque el oido (u#ano eerce tal capacidad en el proceso de audición

 !ransfor#ad  !ransfor#ad a rápida de Fourier

 2eces se describe co#o la transfor#ación del do#inio del tie#po al do#inio de f recuencia.

5s #u& :til para el análisis de los fenó#enos dependientes del tie#po.

3.". Modulaci#n

La #odulación di$ital o codi)cada i#plica una trans#isión trans#isió n di$ital por #edio de la cual la se4al de banda base se ca#bia de un len$uae si#bólico a otra.

5l efecto de la #udulacion es trasladar la se4al #odulante en el do#inio de la frecuencia para re6easrse si#%trica#ente alrededor de la frecuencia de la portadra.. 1odulaci ón

La #odulación es analó$ica cuando se e#plea co#o portadora una se4al continua+ ta#bi%n se conoce co#o #odulación de onda continua

Se puede e#plear para trans#itir infor#ación analó$ica o di$ital

3.$. 3. $. Se Se%a %all Band Banda a Bas Base e & 'or 'or(a (ado dora ra

Se4al
5s un proceso #ediante el cual la a#plitud de la portadora se controla por la se4al #odulante o en2ol2ente

1odulación de 0#plitud 7019

     A       @      ?      C      01odulación 01 >S< o      L Con2encional      ;      >      /      1

1odulación de 0#plitud de doble banda laterar con portadora su#pri#ida 701 >S
5s el proceso de ca#biar la a#plitud de una portadora de frecuencia relati2a#ente alta de acuerdo con la a#plitud de la se4al #odulante 7infor#ación9 Con la #odulación de a#plitud+ la infor#ación se i#pri#e sobre la se4al portadora en la for#a de ca#bios de a#plitud. Cuando se aplica una se4al #odulante+ la a#plitud de la onda de salida 2ara de acuerdo a la se4al #odulante La 01 se utili3a en las bandas de radio co#ercial & en la porción de 2ideo de la tele2isión co#ercial. 5n el e"tre#o receptor de la trans#isión + la infor#ación de audio se recupera de la portadora #odulada #ediante el proceso de de#odulación

La #odulació 01 con2encional 7o >S<9 deido a su sencille3 & efecti2idad+ es un #%todo de #odulación #u& ine)ca3.  5n una se4al de 01B>S<+ la portadora no tiene infor#ación .!oda .!oda la infor#ación trans#itida esta e"clusi2a#ente en las bandas laterales.'or ello + la portadora puede supri#isrso & no trans#ite

". 'AR ARTE TE 1* SERIE +E FO,RIE FO,RIER R -819

Fi:ura 1. Serie de Fourier de un pulso rectan$ular con A10

-8199

Fi:ura 2. Serie de Fourier de un pulso rectan$ular con A100

An;lisis* Co#o se puede obser2ar+ #ediante el uso de la serie de Fourier se puede puede obtene obtenerr la apro" apro"i#ac i#ación ión de una seal+ seal+ en esta esta caso un pulso rectan$ula rectan$ularr. Con un n:#ero n:#ero #a&or de coe)ciente coe)ciente se puede apreciar apreciar que la serie de Fourier se ase#ea #ás la seal ori$inal debido a que al au#entar au#entar las #uestras+ los inter2alos son #ás pequeos+ dis#inu&endo el porcentae de error e rror..

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Fi:ura 3. Serie de Fourier de un tren de pulsos rectan$ular con A10

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Fi:ura ". Serie de Fourier de un tren de pulsos rectan$ular con A100

ri#era ra $rá) $rá)ca ca se obs obser2a er2a que co con n un n:#e n:#erro de An;l An;lis isis is** n la pri#e coe)ciente de 10+ la serie de Fourier es distinta a la ori$inal+ el resultado de esta $rá)ca se debe a que la serie de Fourier es e"presada co#o la su#a de senos & cosenos+ pero a ir incre#entando el n:#ero de coe)cientes+ tiene una relación #ás apro"i#ada a la ori$inal.

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Fi:ura $. Serie de Fourier de una seal senoidal con A10

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Fi:ura ). Serie de Fourier de una seal senoidal con A100

An;lisis An;lisis** 'ara el caso de seales senoidales se obser2a que a pesar de tener un n:#ero n:#ero pequeo de coe)cientes coe)cientes++ la serie de Fourier Fourier se ase#ea a la seal ori$inal+ pues su e"presión está basada en la su#a de senos & cosenos+ & al incre#entar el n:#ero de coe)cientes se puede apreciar co#o las seales están superpuestas.

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Fi:ura /. Serie de Fourier de una seal coseno con A10

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A 100 Fi:ura 0. Serie de Fourier de una seal coseno con A100

An;lisis An;lisis** Lo #is#o ocurre para el caso de una seal coseno+ la serie de Fourier to#a la for#a de la seal ori$inal a pesar de utiliar un n:#ero pequeo de coe)cientes.

$. TRA-SF TRA-SFORM ORMA+A A+A +E +E FO,RIE FO,RIER R "cos7DEpiEf1Etsin7DEpiEfDEt

•

Función !ransfourier

 !ransfor#ada de Fourier Fourier de una seal senoidal "7t "7t centrada en cero cero Fi:ura <.  !ransfor#ada

puede e obse obser2 r2ar ar la $rá) $rá)ca ca tant tanto o de la se sea all co co#o #o de su An;l An;lis isis is** Se pued transfor#ada de Fourier que no es #ás que la traslación de una seal del do#i do#ini nio o del del tie#p tie#po o al do#in do#inio io de la frecu frecuen enci cia. a. qu qu se tien tiene e que que la frecuencia frecuencia cero está situada al centro centro del espectro+ espectro+ per#itiendo per#itiendo una #eor 2isualiación de las co#ponentes espectrales que se e"tienden la #is#a frecuencia a a#bos lados de cero.

). 'AR ARTE TE 2* MO+, MO+,ACI ACIÓÓ- I-EA I-EA

Funci#n Transourie Transourier! r!

 !ransfor#ada de Fourier Fourier de una seal senoidal "7t "7t Fi:ura 19.  !ransfor#ada

An;lisis An;lisis** >e i$ual #anera que el literal anterior se tiene la $rá)ca de la seal & de la transfor#ada de Fourier pero en este caso se obtiene las co#p co #pon onen ente tess es espe pect ctra rale less a part partir ir de 0G+ 0G+ las las cual cuales es se encu encuen entr tran an posicionadas de acuerdo a la frecuencia de #uestreo+ per#itiendo tener una 2isualiación co#pleta de las co#ponentes espectrales de frecuencia en tie#po real.

Fi:ura 11. nálisis espectral de una seal portadora c7t c cos7DHf ct

An;lisis* n la $rá)ca se #uestra la a#plitud que tiene la seal portadora+ su análisis espectral+ as co#o ta#bi%n se indica su transfor#ada de Fourier de la #is#a.

Fi:ura 12. nálisis espectral de una seal de #ensae #7tsin7DHf #t

esta ta )$ur )$ura a nos nos per per#ite #ite anal anali iar ar se sea all de #e #ens nsa ae e & su An;l An;lis isis is** n es traslación al do#inio de la frecuencia.

#odulada en >
An;lisis* Se presenta la onda #odulada de la seal . n una seal de B >S<+ >S<+ la port portad ador ora a no tien tiene e nin$ nin$un una a infor infor#a #aci ción ón .!od .!oda a la info infor# r#ac ació ión n tran trans# s#it itid ida a está está e"cl e"clus usi2a i2a#e #ent nte e en las las band bandas as late latera rales les .'or .'or ello ello++ la portadora puede supri#irse & no trans#ite. Co#o se obser2a en la )$ura la parte ne$ati2a se eli#ina & se #antiene solo las bandas laterales de la seal trans#itida.

espectral de de una seal #odulada #odulada en  s7t*1Ia#7t,c7t Fi:ura 1". nálisis espectral

An;lisis* l analiar la $rá)ca se puede deter#inar que la #odulación de #plitud  per#ite ca#biar la a#plitud de una portadora de frecuencia relati2a#ente alta de acuerdo con la a#plitud de la seal #odulante+ es decir la infor#ación. Con la #odulación de a#plitud+ la infor#ación se i#pri#e sobre la seal portadora en for#a de ca#bios de a#plitud. Cuando se aplica una seal #odulante+ la a#plitud de la onda de salida 2ara de acuerdo a la seal #odulante. /. CO-C CO-C ,S ,SIOIO-ES ES n el cá cálc lcul ulo o de las las se seri ries es de Four Fourie ier+ r+ #ien #ientr tras as el n:#e n:#erro de #uestras es ele2ado+ lo que per#itió que el cálculo de las series será #ás apro"i#ado & #ás parecido a las seales ori$inales ori$inale s l uso uso de un soft softJar Jare e de pro$ pro$ra ra#ac #ació ión n co co#o #o el atl atlab ab per#it per#itió ió desarrollar la transfor#ada rápida de Fourier+ con solo i#ple#entar un co#ando de esta #anera se econo#ian los recursos &a que el tie#po de cálculo es relati2a#ente rápido La #odulación de a#plitud  es un proceso #ediante el cual la a#pl a# plit itud ud de la port portad ador ora a se co cont ntro rola la por por la se sea all #odu #odula lant nte e o en2ol2ente.

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0. BI BIB BIO IOR RAF AFA A *1 K. Konále+ Series de Fourier+ !ransfor#adas+M !ransfor#adas+M *n lnea,. 2ailable, (ttp-NNJJJ.e#is.deNournalsN>N25Nart6.pdf (ttp-NNJJJ.e#is.deNournalsN>N25Nart6.pdf.. *Olti#o acceso- 9 a&o D016,. *D ate#áticas 2anadas para ?n$eniera+M *n lnea,. 2ailable, (ttp-NNcb.#t&.ites#.#"N#a300DN#aterialesN#a300DBseriesBfourier (ttp-NNcb.#t&.ites#.#"N#a300DN#aterialesN#a300DBseriesBfourier.pdf .pdf.. *Olti#o acceso- 9 a&o D016,. *3 Series de Fourier.+M Fourier.+M #pliación de ate#áticas. sp. lectrónica , ?ndustrial.+ *n lnea,. 2ailable(ttp-NNpersonal.us.esNniei#i#Nte#a0P.pdf.. *Olti#o acceso- 9 a&o (ttp-NNpersonal.us.esNniei#i#Nte#a0P.pdf D016,. *4 . /. 8. Aa2e+ nálisis & Sntesis de Fourier+M *n lnea,. 2ailable, (ttp-NN(&perp(&sics.p(&Bastr (ttp-NN(&perp(&sics.p(&Bastr.$su.eduN(baseesNaudioNF .$su.eduN(baseesNaudioNFourier ourier.(t#l. .(t#l. *Olti#o acceso- 9 a&o D016,.