Series de Fourier con MATLAB.docx

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA, UNIDAD ZACATENCO

Prácticas de laboratorio 5to semestre COMUNICACIONES ANALÓGICAS “Series de Fourier con MATLAB ”

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Introducción Teórica:

Series de Fourier periódica de período Definiciones. Sea f: R R una función continua a trozos y periódica T y sea ω = 2π /T . Los coeficientes coeficientes de Fourier Fourier de f son los números definidos →

por Puesto que la función función tiene período T , las integrales integrales anteriores anteriores pueden hacerse sobre cualquier intervalo de longitud T , , por ejemplo [−T /2, T /2]. P 1 La serie a0 + [an cos(nωt) + bn sen (nω t)], donde los an y los bn son los 2 n= 1 corresp ondientes coeficientes de Fourier de una función f , se llama desarrollo en serie de d e Fourier, o simplemente serie de Fourier, de f . Para indicar que una serie trigonomé gonométrica es la serie de Fourier Fourier de una función dada se suele escribir ∞

Condiciones de Dirichlet. Sea f : R R una función función periódica de período T . Se dice que f satisface las condicion condiciones es de Dirichlet Dirichlet si en cada período la función función f : [0, T ] R es continua salvo en un número finito de discontinuidades todas ellas de salto y sólo tiene una cantidad finita de máximos y mínimos locales estrictos. Puede probarse, en lla y su derivada derivada están definidas y particular, que si una función periódica es tal que eella son continuas salvo un número finito de discontinuidades de salto, entonces dicha función verifica las condiciones de Dirichlet. Prácticamente todas las funciones – señales– de interés en las aplicaciones las verifican. T eorema de convergencia de Dirichlet. Sea f : R R una función periódica de período T que satisface las condiciones de Dirichlet y se a: →

→

→





f (t + τ ) indica el límite de f en t por la derecha.

Ejemplo: Se considera la función f : [0, 2] R dada por f (x) (x) = 1 − x/2. Un cálculo elemental muestra que los coeficientes del desarrollo desarrollo en serie serie de Fourier de →

2

Senos de f vienen dados por bn = . Diseña una función de Matlab que dibuje la nπ suma parcial de los N primeros primeros sumandos sumandos de la serie de Fourier de senos de la función y muestre simultáneamente la gráfica de f . Basta crear la siguiente función función en un archivo archivo llamado fousen.m. Obsérvese la estructura de la línea que define la función f. function fousen(N) x=2:0.005:2; sumparcial=0; b=zeros(1,N); for for k=1:N b(k)=2/(k*pi); sumparcial=sum parcial+b(k)*sin(k*x*pi /2); end f=(x<0).*(-1-x/2)+(x >=0).*(1-x/2); plot(x,f,’b’,x,sumparcial,’g’),shg En el ejercicio anterior hemos obtenido explícitamente el valor valor de los coeficientes coefici entes de Fourier de la función f. Usando Matlab podemos aproximar dichos coeficientes mediante las diferentes funciones de integración numérica entre las que que destacamos destacamos quad y quadl. 

Objetivo:

Verificar el funcionamiento de MATLAB y aplicarlo para graficar una función por medio de aproximación con series de Fourier, realizar sus gráficas por medio del





Y el código es el siguiente:

clear all all,clf,clc ,clf,clc t=0:pi/99:pi; y=(4/pi)*sin(t); subplot(3,3,1) plot(t,y) title('Aproximación title( 'Aproximación de una ArmÓnica') ArmÓnica' ) ylabel('f(t)' ylabel('f(t)') ) grid axis([0 pi 0 1.2]) y1=y+(4/pi)*(sin(3*t)/3) subplot(3,3,2) plot(t,y1) title('Aproximac title( 'Aproximación ión con dos Armonicas') Armonicas' ) ylabel('f(t)' ylabel('f(t)') ) grid axis([0 pi 0 1.2]) y2=y1+(4/pi)*((1/5)*sin(5*t)) subplot(3,3,3) plot(t,y2) title('Aproximación title( 'Aproximación con tres Armonicas') Armonicas' ) ylabel('f(t)' ylabel('f(t)') ) grid axis([0 pi 0 1.2]) y3=y2+(4/pi)*(sin(7*t)/7) subplot(3,3,4) plot(t,y3) title('Aproximación title( 'Aproximación con cuatro Armonicas' ) ylabel('f(t)' ylabel('f(t)') ) grid axis([0 pi 0 1.2]) y4=y3+(4/pi)*(sin(9*t)/9) subplot(3,3,5) plot(t,y4) title('Aproximac title( 'Aproximación ión con cinco Armonicas') Armonicas' ) ylabel('f(t)' ylabel('f(t)') ) grid axis([0 pi 0 1.2])





Cuyas gráficas son las siguientes: siguientes: Aproximación de una ArmÓnica 1 ) t ( f

1 ) t ( f

0.5 0

Aproximación con dos Armonicas Aproximación con tres Armonicas

0

1

2

) t ( f

0.5 0

3

1

0

1

2

0.5 0

3

0

1

2

3

Aproximación con cuatro Armonicas Aproximación con cinco A Armonicas rmonicas Aproximación con seis Armonicas 1 ) t ( f

1 ) t ( f

0.5 0

0

1

2

3

1 ) t ( f

0.5 0

0

1

2

3

0.5 0

0

1

2

3

De esta manera, podemos apreciar que entre mayor sea el número de aproximaciones, más cercana es la representación de la función a la que se le desarrolla en series de Fourier. 

Diseño del Código:

Calculando los coeficientes de Fourier para la l a siguiente función:

           Se tiene que f(t) es una funciones impar, por lo que las componentes pares (

  

) de





Habiendo calculado los coeficientes, se realiza un algoritmo en MatLab que realice las sumatorias de la Serie Trigonométrica de Fourier: Se crea una variable N la cual define el el número de armónicos que tendrá la serie. serie. Luego se crea un vector vector X que cubre el intervalo intervalo [-2,2] de integración integración con saltos de 0.01.

  

Siendo los coeficientes nulos, no es necesario agregarlos al algoritmo, solo será necesario necesario realizar la sumatoria de . Para ello se realiza un ciclo “for” que realiza la sumatoria. Finalmente se grafica la función original y sobre ella la serie de Fourier correspondiente:

Con N=1 se obtiene la siguiente grafica:









Como se puede observar, la serie se aproxima mejor a f(t) con mayor cantidad de armónicos . Si N=55:







Conclusiones:

Aplicando los conceptos de la Serie trigonométrica de Fourier en el paquete conocido como MATLAB pude concluir que habiendo mayor numero de armónicos (n) en la sumatoria de los coeficientes calculados de la serie de Fourier para una función f(t), se aproxima mucho mejor a dicha función f(t). En el desarrollo de esta práctica verificamos y comprobamos el uso de la herramienta MATLAB para determinar y graficar aproximación de funciones en series de Fourier, cabe mencionar que durante la realización r ealización de los experimentos pudimos constatar que la dependencia de la precisión con el número de armónicos utilizados es directamente proporcional, es decir, que mientras más términos o armónicos utilicemos, la función será más cercana a la original





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